TOPICOS DE EQUAC˘ OES DIFERENCIAIS~ ORDINARIAS · 2019. 10. 9. · TOPICOS DE EQUAC˘ OES DIFERENCIAIS~ ORDINARIAS PAULLA BORGES AVILA DA SILVA Trabalho de Conclusao~ de Curso apresentado

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RECÔNCAVO DA BAHIA

CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS

BACHARELADO EM CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS

TÓPICOS DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS

ORDINÁRIAS

PAULLA BORGES AVILA DA SILVA

CRUZ DAS ALMAS

2019

TÓPICOS DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS

ORDINÁRIAS

PAULLA BORGES AVILA DA SILVA

Trabalho de Conclusão de Curso apresentado ao

Colegiado do Curso de Bacharelado em Ciências

Exatas e Tecnológicas da Universidade Federal do

Recôncavo da Bahia como parte dos requisitos para

obtenção do t́ıtulo de Bacharel em Ciências Exatas e

Tecnológicas.

Orientador: Prof. Dr. Alex Santana dos Santos

Cruz das Almas

2019

Aos meus familiares, com

muito amor.

Agradecimentos

Primeiramente gostaria de agradecer à Deus, por ter me concedido a vida e estar

sempre ao meu lado traçando a minha trajetória e guiando todos os meus passos.

A minha mãe, por todo amor e carinho, por me apoiar em minhas decisões, está

presente e procurar dá sempre a melhor educação posśıvel, sendo o suporte fundamental

para que eu pudesse chegar até aqui.

A meu pai e aos meus avôs que estão sempre presentes e dispostos a ajudarem

da melhor maneira posśıvel.

As minhas irmãs Kamila, Rafaella e Marcella, por estarem ao meu lado dando

apoio, amor e compreensão.

Ao meu namorado Marcus Vinicius por todo amor e paciência, por fazer parte

de cada passo, de cada momento dif́ıcil e está sempre me motivando a acreditar cada vez

mais em mim, amo muito você.

Aos professores Adson Mota, Erikson Alexandre e Mariana Pinheiro por toda

contribuição para este trabalho.

Aos professores Alex Santana e Jarbas Fernandes, que me deram todo apoio para

o desenvolvimento deste trabalho, sempre com muita dedicação e paciência. Obrigada

por tudo.

Resumo

Neste trabalho foram estudados alguns tópicos de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs)

não usuais em um curso inicial de Cálculo Diferencial e Integral. Primeiramente, fo-

ram estudadas as EDOs de primeira ordem, em particular, demonstrou-se o teorema da

existência e unicidade para EDOs. Além disso, foi obtida uma solução para o problema da

propagação da podridão em maçãs. Posteriormente, foi abordado o método das séries de

potências para solução de EDO. Especificamente, encontram-se as soluções das equação

de Legendre, polinômios de Legendre e por fim o método de Frobenius.

Palavras-chave: Séries de Potência; Equação Diferencial Ordinária; Método das Séries

de Potências; Existência e Unicidade.

Abstract

In this work, we have studied some topics of Ordinary Differential Equations

(ODEs) that are not usual in an initial course of Differential and Integral Calculus. Firstly,

the first-order ODEs were studied, in particular, the existence and uniqueness theorem

was demonstrated for ordinary differential equations. In addition, a solution was obtained

for the problem of rot propagation on apples. Lastly, the power series method for ODEs

solution. Specifically, it was found the solutions of the Legendre equation, Legendre

polynomials, and finally the Frobenius method.

Keywords: Power Series; Ordinary Differential Equations; Power Series Method; Exis-

tence and Uniqueness.

Sumário

Introdução 1

1 Conceitos Básicos 4

1.1 Sequências e Séries Infinitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.1.1 Sequências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.1.2 Série Infinita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.3 Série de Potência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.1.4 Operações em Séries de Potências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2 Equação Diferencial Ordinária 11

2.1 Equações Diferenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2 Soluções de EDOs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.3 Problema de Valor Inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.4 Existência e Unicidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.5 Equação Loǵıstica Cont́ınua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.5.1 Propagação da Podridão em Maçãs . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3 Soluções para EDOs por Série 33

3.1 Método das Séries de Potências para Solução de EDO . . . . . . . . . . . . 33

3.1.1 A Ideia do Método das Séries de Potências . . . . . . . . . . . . . . 34

3.2 Classificação de pontos singulares de equações lineares homogêneas . . . . 35

3.2.1 Pontos ordinários e singular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.2.2 Ponto Singular Regular e Irregular . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.2.3 Existência de Soluções das EDOs em Séries de Potências . . . . . . 37

3.3 Equação de Legendre e Polinômios de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.3.1 Polinômios de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.4 Método de Frobenius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

Conclusão 51

Introdução

Uma equação diferencial (ED) pode ser definida como sendo uma equação na

qual a incógnita é uma função, e possui uma relação com as derivadas desta função. As

equações diferenciais são utilizadas para modelar problemas da Matemática, por exemplo

são fundamentais para encontrar a taxa de variação com o tempo das grandezas que

caracterizam o problema, ou seja, a dinâmica temporal do sistema de interesse.

Com a resolução das equações diferenciais, que caracterizam determinados siste-

mas, consegue-se extrair informações importantes sobre os mesmos, podendo então prever

o seu comportamento. Sendo assim, a modelagem através de equações diferenciais fornece

o comportamento de alguns sistemas. Cabe salientar que a modelagem de um sistema

quase sempre é uma descrição aproximada e simplificada do processo real (Boyce and

DIPRIMA, 2010; Figueiredo, 2007).

Segundo Rooney (2012); Boyce and DIPRIMA (2010), nomes importantes no

estudo e desenvolvimento da teoria das equações diferenciais foram Isaac Newton (1642-

1727) e Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716). Mais tarde surgiram outros nomes, como

dos irmãos Bernoulli, Jakob (1654-1705) e Johann (1667-1748), que tiveram seus trabalhos

voltados para a formulação de métodos para resolver equações diferenciais.

Historicamente, tem-se que a evolução da Matemática, onde está inserido o estudo

das equações diferenciais, está atrelado com o desenvolvimento da F́ısica, tornando-as

uma ferramenta de cálculo das equações de movimento da mecânica Newtoniana, do

eletromagnetismo e da f́ısica ondulatória (Figueiredo, 2007).

Os estudos das equações diferenciais se dividem em dois amplos campos de estu-

dos, o das Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs) e o das Equações Diferenciais Parciais

1

(EDPs). Neste trabalho, será dada atenção somente às EDOs. As equações diferenciais

ordinárias ocorrem quando a função desconhecida depende de uma única variável inde-

pendente. No dias atuais, as equações diferenciais ordinárias são usadas em diversas áreas

do conhecimento tais como, Engenharia, Saúde e Ciências Sociais Aplicadas. Especifica-

mente, EDO tem sido aplicada com sucesso no estudo da dinâmica populacional, datação

por carbono radioativo, em sistema predador-presa ou propagação de epidemias. Além

disso, as equações diferenciais podem também ser aplicadas na Economia, no Comércio e

em outras áreas (Bassanezi, 2015; Boyce and DIPRIMA, 2010; Figueiredo, 2007).

Diversos problemas nas Ciências e Engenharia são descritos de forma matemática

por EDOs, que representam variações das quantidades f́ısicas que os descrevem. A maioria

desses problemas exige uma solução que satisfaça a uma dada condição inicial, chamados

problemas de valores iniciais (PVI) (Boyce and DIPRIMA, 2010; Figueiredo, 2007).

Existem diversos métodos anaĺıticos para encontrar uma solução das EDOs, mas

muito deles são restritos às equações mais simples, o que engloba uma pequena quantidade

de problemas. Este trabalho tem como objetivo principal estudar tópicos de EDOs que

não são vistos em um curso Cálculo Diferencial e Integral. Especificamente, neste trabalho

é estudado o Teorema da Existência e Unicidade para EDOs. Além disso, é abordado um

método para solucionar tais equações. Precisamente, é estudado o método das séries de

potências para soluções de EDOs, visto que é uma alternativa para resolver este tipo de

equações por meio da teoria de séries de funções.

Vale ressaltar que este estudo é significativo devido à existência de uma série de

problemas nas Ciências e na Engenharia, tal como a propagação da podridão em maçãs.

Desta forma, este texto está dividido em três caṕıtulos. No primeiro, Caṕıtulo 1, foi feito

um breve estudo sobre alguns conceitos básicos fundamentais para o desenvolvimento do

trabalho, tais como definição de sequências, séries numéricas infinitas e séries de potências.

No Caṕıtulo 2, foram realizados estudos sobre as equações diferenciais, especificamente

as equações diferenciais ordinárias, onde foi realizada a demonstração do teorema da

existência e unicidade. Além disso, foi resolvido o problema da propagação da podridão

em maçãs. No Caṕıtulo 3, foi feito um estudo sobre o método das séries de potencias para

2

solução de EDOs, classificação dos pontos ordinários e singulares, Equação e Polinômio de

Legendre e o Método de Frobenius. Por fim, texto é finalizado com uma breve conclusão.

3

Caṕıtulo 1

Conceitos Básicos

Ao longo deste caṕıtulo serão apresentados conceitos e notações que servirão para

o desenvolvimento dos próximos caṕıtulos. Precisamente, serão abordados os seguintes

tópicos: sequências, séries infinitas e séries de potências. Para um estudo mais detalhado

desses tópicos, são indicados as seguintes literaturas (Boyce and DIPRIMA, 2010; Munem,

1982; Kreyzig, 2009).

1.1 Sequências e Séries Infinitas

1.1.1 Sequências

Para iniciar o estudo sobre séries é de grande importância que seja realizada uma

breve discussão sobre as sequências. Quando fala-se em sequência numérica vem em mente

uma sucessão de números que são postos em uma ordem definida, sendo que cada número

da sequência é denominado de termo da mesma. Uma sequência que possui números

finitos de termos é denominada de sequência finita; já a que possui números infinitos de

termos é, portanto, uma sequência infinita. Para o estudo em questão, serão tratados

somente as sequências infinitas, que possuem diversas aplicações como em problemas que

envolvem progressões aritméticas ou geométricas.

Progressão aritmética (PA) é definida como sendo uma sequência de números onde

cada um de seus termos, a partir do segundo, é igual a soma do anterior por uma constante

4

r, denominada de razão da PA, sendo bastante presente em situações do cotidiano. Já a

progressão geométrica (PG) é uma sequência de números reais em que cada um de seus

termos, a partir do segundo, é igual ao produto do anterior por uma constante q, chamada

razão PG.

Matematicamente uma sequência é uma função f cujo domı́nio é o conjunto dos

números inteiros positivos. Dessa forma, o valor f(n) é denominado o n-ésimo termo da

sequência f . Aqui, a notação (an) será utilizada como simbologia para as sequências que

possuem an como seu n-ésimo termo.

No estudo de sequências é de suma importância saber se a mesma converge ou

diverge. Dessa forma, escreve-se limn−→+∞

an = L e é dito que a sequência an converge para

o limite L desde que, para cada número positivo ε exista um inteiro positivo N tal que

n ≥ N =⇒ |an − L| < ε.

Divergente é toda sequência que não é convergente. E escreve-se limn−→+∞

an = +∞

quando a sequência é dita divergente, desde que para todo ε > 0 exista um natural n > N .

Pode ser observado que as definições anteriores são exatamente as mesmas quando trata-se

com limite de uma função f(n), para todo n −→ +∞, sendo assim, todas as propriedades

para limn−→+∞

f(n) = L podem ser aplicadas aqui.

1.1.2 Série Infinita

Em conformidade com Munem (1982), uma soma de todos os termos de uma

sequência numérica infinita é chamada de série infinita, ou simplesmente série. Denota-se

uma série numérica infinita por∑∞

k=1 ak. Os termos a1, a2, a3, ... são os termos da série e

o termo an é o n-ésimo termo ou termo geral.

Literalmente não é posśıvel realizar a soma de uma série numérica infinita, mas

pode-se estudar a convergência da série por meio das sequências das somas parciais. Uma

sequência de somas parciais sn é a soma dos primeiros n termos de uma série∑n

k=1 ak.

5

Em termos matemáticos, a soma parcial da série é dada por

sn = a1 + a2 + a3 + ...+ an =n∑k=1

ak.

Se a sequência sn das somas parciais da série infinita∑∞

k=1 ak converge para um

limite S, então a série infinita é converge e sua soma é S, ou seja,

S =∞∑k=1

ak.

Se a série numérica infinita não converge, pode-se dizer que é divergente.

Exemplo 1.1. Dada a série∞∑n=0

(1/2)n.

Vai-se verificar a convergência da série. Observa-se inicialmente que:

sn =∞∑k=0

(1/2)k = 1 +1

2+

1

22+ ...+

1

2n=

1− (1/2)n+1

1− 1/2= 2− 1

2n.

Como

S = limn−→+∞

sn = limn−→+∞

(2− 1/2n) = 2,

tem-se que a série é convergente.

Neste trabalho, a atenção será focada nas séries de potência que serão apresen-

tadas a seguir.

1.1.3 Série de Potência

Uma série de potência com variáveis e constantes reais é uma série infinita escrita

na seguinte forma

∞∑m=0

am(x− x0)m = a0 + a1(x− x0) + a2(x− x0)2 + ..., (1.1)

onde x é uma variável real e a0, a1, a2, ... são constantes denominadas coeficientes da série

e x0 é uma constante denominada de centro da série. Em particular se x0 = 0 obtêm-se

uma série de potência expressa em termos de potências de x

∞∑m=0

amxm = a0 + a1x+ a2x

2 + ... (1.2)

6

Nas séries de potências (1.1) é posśıvel que sejam convergentes para alguns valores

de x, mas divergentes para outros.

Uma série de potência da forma da Eq. (1.1) é convergente num ponto x quando

o seguinte limite

limm−→∞

∞∑m=0

am(x− x0)m

existe. Claramente, para x = x0, a série de potência converge e, ainda, seu limite é a0.

De forma geral, pode-se investigar a convergência de uma série por meio do teste

da razão. Este teste se baseia no resultado que se

limm−→∞

|am+1(x− x0)m+1||am(x− x0)m|

= r < 1,

então a série converge. Por outro lado, se

limm−→∞

|am+1(x− x0)m+1||am(x− x0)m|

= r > 1,

então a série diverge.

Nos casos no qual r = 1 o critério não é conclusivo, devendo ser realizada uma

nova análise por meio de outro método (Guidorizzi, 2000).

Um conjunto I de todos os números x para os quais uma série de potência converge

é nomeado de intervalo de convergência. Para qualquer série de potência o intervalo de

convergência I sempre tem uma das seguintes formas:

1. A série da Eq. (1.1) sempre converge em x = x0, pois todos os seus termos

são nulos. Em casos excepcionais, x = x0 pode ser o único x que haja a convergência da

Eq. (1.1).

2. Se existirem outros valores de x para os quais a série converge, esses valores

formam o intervalo de convergência. Se tal intervalo for limitado, ele possui em ponto

central x0, de modo a ter a forma

|x− x0| < R (1.3)

7

e a série da Eq. (1.1) converge para todo x tal que |x − x0| < R e diverge para todo x

tal que |x− x0| > R. Tem-se que o número R é chamado de raio de convergência da Eq.

(1.1). Além disso, obter-se R por meio de qualquer uma das fórmulas a seguir

R = 1/ limn−→∞

|am+1am| (1.4)

ou

R = 1/ limn−→∞

m√|am| (1.5)

desde que esses limites existam e não sejam nulos.

3. Existem casos em que o intervalo de convergência é infinito, ou seja, a série

da Eq. (1.1) converge para todo x. Então, escrevemos R =∞.

Dessa forma, para cada x para o qual a série da Eq. (1.1) converge, ela é um

certo valor s(x). Pode-se dizer que a Eq. (1.1) representa a função s(x) no intervalo de

convergência

s(x) =∞∑m=0

am(x− x0)m (|x− x0| < R).

Teorema 1.1. Seja∑∞

m=0 am(x−x0)m uma série de potência com raio de convergência R.

Suponha que limn−→+∞

|an+1an| = L, onde L é ou um número real não-negativo ou L = +∞

(i) Se L é um número real positivo, então R = 1/L;

(ii) Se L = 0, então R = +∞;

(iii) Se L = +∞, então R = 0.

O exemplo 1.2 ilustra a aplicação do Teorema 1.1.

Exemplo 1.2.

(i) No caso da série∞∑m=0

m!xm = 1 + x+ 2x2 + 6x3 + ...

tem-se que am = m! e pela Eq. (1.4),

am+1am

=(m+ 1)!

m!= m+ 1 −→∞.

Portanto, essa série converge somente no centro x = 0.

8

(ii) Para as séries geométricas, tem-se

1

1− x=

∞∑m=0

xm = 1 + x+ x2 + ... (|x| < 1).

Com efeito, am = 1 para todo m, da Eq. (1.4), obtém-se R = 1, ou seja, a série geométrica

converge e representa 1/(1− x) quando |x| < 1.

(iii) No caso da série

ex =∞∑m=0

xm

m!= 1 + x+

x2

x!+ ...

tem-se que am = 1/m!. Logo, pela Eq. (1.4),

am+1am

=1/(m+ 1)!

1/m!=

1

m+ 1−→ 0,

a medida que m −→∞. De modo que a série converge para todo x ∈ R.

1.1.4 Operações em Séries de Potências

Duas séries de potências podem ser somadas termo a termo, se as séries possúırem

raios de convergências positivos. Considere as seguintes séries com raios de convergência

r1 e r2 positivos, respectivamentes para as séries:

f(x =)∞∑m=0

am(x− x0)m

e

g(x) =∞∑m=0

bm(x− x0)m

então∞∑m=0

(am + bm)(x− x0)m (1.6)

converge. Note que a Eq. (1.6) representa a f(x) + g(x) para cada x situado no interior

do intervalo de convergência de cada uma da séries.

Além da adição, pode ser definida a multiplicação termo a termo entre duas séries

de potências. Precisamente, supõem-se que as séries

f(x) =∞∑m=0

am(x− x0)m

9

e

g(x) =∞∑m=0

bm(x− x0)m

possuem raios de convergências positivos. A série∑∞

m=0 am(x−x0)m.∑∞

m=0 bm(x−x0)m é

obtida multiplicando-se cada termo da primeira por cada termo da segunda e agrupando-

se os termos de mesma potências de x− x0, ou seja,∞∑m=0

am(x− x0)m∞∑m=0

bm(x− x0)m =∞∑m=0

(a0bm + a1bm−1 + ...+ amb0)(x− x0)m

= a0b0 + (a0b1 + a1b0)(x− x0) + ...

que converge e representa f(x)g(x) para cada x no interior do intervalo de convergência

de cada uma das duas séries dadas.

Uma série de potências pode ser derivada termo a termo. Mas para isso

y(x) =∞∑m=0

am(x− x0)m

deve convergir para |x−x0| < R, onde R > 0,e a série obtida por derivação termo a termo

também convergirá para esses valores de x e representa a derivada y′ de y para esses x,

ou seja,

y′(x) =∞∑m=1

mam(x− x0)m−1 (|x− x0| < R)

e

y′′(x) =∞∑m=2

m(m− 1)am(x− x0)m−2 (|x− x0| < R).

Uma função que pode ser representada por uma série de potência de centro x0 e

raio de convergência R é denominada de função anaĺıtica no ponto x0.

10

Caṕıtulo 2

Equação Diferencial Ordinária

Neste caṕıtulo, serão apresentados conceitos importantes para o estudo das Equações

Diferenciais Ordinárias e para construção deste texto, foram usados as referências (Boyce

and DIPRIMA, 2010; Stewart, 2012; Zill, 2011). No entanto, o estudo feito nesse trabalho

foi direcionado para as Equações Diferencias Ordinárias.

2.1 Equações Diferenciais

Uma equação diferencial pode ser definida como sendo uma equação que contém

as derivadas ou diferenciais de uma ou mais variáveis dependentes em relação a uma ou

mais variáveis independentes.

As equações diferenciais possuem duas classificações: Equação Diferencial Or-

dinária (EDO) e Equação Diferencial Parcial (EDP). É classificada em EDO uma equação

diferencial que possui derivadas de uma ou mais variáveis dependentes em relação a uma

variável independente e em EDP quando a equação diferencial possui derivadas parciais

de uma ou mais variáveis dependentes de duas ou mais variáveis independentes.

Muitos problemas importantes da Engenharia, da F́ısica, da Biologia e das Ciências

Sociais são formulados por equações diferenciais, tendo diversas aplicações, como no es-

tudo de tanques interligado, sistemas massa mola ou de um circuito RLC.

O próximo exemplo ilustra algumas EDOs e EDPs.

11

Exemplo 2.1. As seguintes equações são exemplos de EDO e EDP, respectivamente.

dy

dx+ 5y = e5 (2.1)

∂2u

∂x2+∂2u

∂t2= 0 (2.2)

A partir de agora, a atenção deste trabalho será dada às EDOs. As Equações

Diferencias podem ainda ser classificadas quanto à ordem e linearidade. Tais conceitos

são apresentados a seguir.

• Ordem e Linearidade

No estudo das equações diferenciais é de suma importância classificar uma EDO

quanto a sua ordem e linearidade, pois de acordo com sua classificação pode-se usar o

melhor método e as técnicas para a solução da mesma.

Define-se a ordem de uma equação diferencial como sendo a ordem da maior

derivada na equação. Quanto a linearidade, pode-se afirmar que uma EDO é dita linear

se é linear em relação a variável dependente e suas derivadas, caso contrário são ditas não

lineares.

Exemplo 2.2. Considere as seguintes equações diferenciais

(a)d2y

dx2+ 5(

dy

dx)3 − 4y = ex;

(b)dy

dx+ 5y = ex;

(c) y′′′ − 2y′ + y = 0.

Pode ser observado que os itens a, b e c são exemplos de EDOs de segunda, primeira e

terceira ordem respectivamente.

Exemplo 2.3. As seguintes equações

y′′ − 2y′ + y = 0 e d3y

dx3+ x

dy

dx− 5y = ex

12

serão respectivamente equações diferenciais ordinárias lineares de segunda e terceira or-

dem.

Observe que as equações a seguir são equações diferencias ordinárias não lineares

de primeira, segunda e quarta ordem, respectivamente.

(1− y)y′ + 2y = ex, d2y

dx2+ sen y = 0 e

d4y

dx4+ y2 = 0.

Uma EDO de ordem n é expressa como segue

F (x, y, y′, ..., y(n)) = 0, (2.3)

onde F é uma função de valores reais de n+2 variáveis, x, y, y′, ..., y(n), e onde y(n) =dny

dxn.

A Eq. (2.3) pode ainda ser escrita das seguinte forma

dny

dxn= f(x, y, y′, ..., y(n−1)), (2.4)

onde f é uma função cont́ınua de valores reais, a Eq. (2.4). Por exemplo, uma EDO de

primeira ordem é expressa pordy

dx= f(x, y). (2.5)

Finalmente, pode-se dizer que uma EDO de ordem n é linear se tiver a seguinte

forma

an(x)dyn

dxn+ an−1(x)

dyn−1

dxn−1+ · · ·+ a1(x)

dy

dx+ a0(x)y = g(x), (2.6)

onde ai(x), i = 0, 1, . . . , n, g(x) são funções que dependem somente da variável x.

2.2 Soluções de EDOs

Uma função φ definida no intervalo I que tem pelo menos n derivadas cont́ınuas

em I, as quais quando substitúıdas em uma equação diferencial ordinária de ordem n

reduzem a equação a uma identidade, é denominada uma solução da equação diferencial

no intervalo I. Para ilustrar, dada a EDO

dy

dx= xy1/2, (2.7)

13

a função

y =1

16x4 (2.8)

é uma solução da seguinte EDO no intervalo (−∞,∞).

De fato, derivando a Eq. (2.8), tem-se

y′ =1

4x3. (2.9)

Substituindo y e y′ na EDO, observa-se que

dy

dx=

1

4x3 (2.10)

e

xy1/2 =1

4x3. (2.11)

Então a função y = φ(x) é solução da EDO (2.7).

2.3 Problema de Valor Inicial

A maioria dos problemas que englobam as EDOs possui algumas condições auxi-

liares relativas à função y e suas derivavas, como o valor inicial para x ou sobre os valores

dos extremos do intervalo x ∈ [a, b].

Dessa forma, pode-se afirmar que um Problema de Valor Inicial (PVI) está relaci-

onado com a determinação de uma solução da equação diferencial que satisfaça condições

subsidiárias relativas a função y e as suas derivadas referentes a um valor inicial para

x. Por exemplo, sabe-se que um PVI para uma equação diferencial ordinária de n-ésima

ordem consiste em achar uma solução y = φ(x) de maneira que satisfaça as seguintes

condições, dny

dxn= f(x, y, y′, ..., yn−1),

y(x0) = y0, y′(x0) = y1, ... y

n−1(x0) = yn−1.(2.12)

14

Em particular, o PV I para as equações diferenciais de primeira e segunda ordem são

respectivamente dados por dy

dx= f(x, y),

y(x0) = y0,(2.13)

d2y

dx2= f(x, y, y′),

y(x0) = y0, y′(x0) = y1.

(2.14)

2.4 Existência e Unicidade

Quando vem em mente as equações diferenciais existem algumas perguntas que

podem ser feitas. Existe solução para a Equação Diferencial e quais as condições sobre f

para que uma solução da equação (2.5) exista? Se a solução existe, ela é única? Como

pode ser determinada uma solução de uma equação diferencial?

Para responder as duas primeira perguntas, será necessário utilizar o Teorema

(2.1), denominado Teorema da existência e unicidade ou Teorema de Picard. Aqui, apre-

sentaremos a demonstração do Teorema de Picard para o caso unidimensional. Esta

demonstração foi baseada nas seguintes literaturas (Guidorizzi, 2000; Figueiredo, 2007;

Malaquias, 2018).

Cabe salientar que existe uma versão mais geral do Teorema (2.1)que pode ser

encontrada no (Sotomayor, 1979). Aqui, será apresentada uma versão do Teorema de

Picard para R2.

Teorema 2.1. Seja f : Ω ⊂ R2 −→ R, Ω aberto, e seja (x0, y0) ∈ Ω. Suponha que f edf

dysejam cont́ınuas em Ω. Então existe uma única solução para o problema de valor inicial

y′ = f(x, y), y(x0) = y0.

Em outras palavras, o Teorema (2.1) garante as condições em que podem-se ter

a existência e a unicidade de uma equação diferencial ordinária.

Para a demonstração do Teorema (2.1) será apresentado um conjunto de lemas.

15

Lema 2.1. Considere a equação

y′ = f(x, y), (2.15)

onde f : Ω ⊂ R2 −→ R é cont́ınua no aberto Ω. Seja (x0, y0) ∈ Ω. A partir destas

condições, y = y(x), x ∈ I, será uma solução satisfazendo a condição inicial y(x0) = y0,

com x0 no intervalo I, se, e somente se

y(x) = y0 +

x∫x0

f(s, y(s))ds ∀x ∈ I.

Demonstração. =⇒] Tem-se que f : Ω ⊂ R2 −→ R é cont́ınua no aberto Ω. Suponha que

y = y(x), x ∈ I é solução da EDO y′ = f(x, y). Isto é,

y′(x) = f(x, y(x)),

integrando de x0 a x a equação obtém-se

x∫x0

y′(x)dx =

x∫x0

f(s, y(s))ds,

segue que pelo Teorema Fundamental do Cálculo a solução é dada por

y(x) =

x∫x0

f(s, y(s))ds+ c. (2.16)

Sabendo que y(x0) = y0, substituindo em (2.16), é encontrado que c = y0. Assim,

y(x) = y0 +

x∫x0

f(s, y(s))ds.

⇐=]. Suponha que y(x) é dada por

y(x) = y0 +

x∫x0

f(s, y(s))ds. (2.17)

Deseja-se mostrar que (2.17) é solução do PVIdy

dx= f(x, y)

y(x0) = y0.

16

Assim,

(y(x))′ = (y0 +

x∫x0

f(s, y(s))ds)′

y′(x) = f(x, y(x)).

Supondo y(x) = y, tem-se y′ = f(x, y).

Lema 2.2. Sejam f : Ω ⊂ R2 −→ R, Ω aberto, uma função cont́ınua tal que ∂f∂y

é,

também, cont́ınua em Ω e (x0, y0) ∈ Ω. Suponha que Ω aberto, e, assim, existem a > 0 e

b > 0 tais que o retângulo

Q = {(x, y) | x0 − a ≤ x ≤ x0 + a, y0 − b ≤ y ≤ y0 + b}

está contido em Ω. Então f é Lipschitziana em relação a segunda variável sobre o

retângulo Q, ou seja, existe uma constante K > 0 tal que f satisfaz

| f(x, y1)− f(x, y2) |≤ K | y1 − y2 |, ∀(x, y1), (x, y2) ∈ Q.

Demonstração. Como∂f

∂yé cont́ınua em Ω, consequentemente

∂f

∂yé também cont́ınua em

Q. Pelo Teorema de Weierstrass (Lima, 1976), se Q é fechado tem-se que∂f

∂yé limitada,

logo existe uma constante K > 0 tal que∣∣∣∣∂f∂y (x, y)∣∣∣∣ ≤ K,

para todo (x, y) em Q. Agora são considerados dois pontos quaisquer (x, y1) e (x, y2) do

retângulo Q. Segue do Teorema do Valor Médio (Lima, 1976),

f(x, y1)− f(x, y2) =∂f

∂y(x, s)(y1 − y2),

para algum s entre y1 e y2. Aplicando o módulo em ambos os lados da igualdade teremos

| f(x, y1)− f(x, y2) |=∣∣∣∣∂f∂y (x, s)

∣∣∣∣ | y1 − y2 | .Assim,

| f(x, y1)− f(x, y2) |≤ K | y1 − y2 | .

17

Lema 2.3. Seja f : Ω ⊂ R2 −→ R, Ω aberto, cont́ınua e seja (x0, y0) ∈ Ω. Considere

a > 0 e b > 0 tais que o retângulo

Q = {(x, y) | x0 − a ≤ x ≤ x0 + a, y0 − b ≤ y ≤ y0 + b}

esteja contido em Ω. Seja M > 0 tal que

| f(x, y) |≤M, em Q

(Tal M existe, pois f é cont́ınua em Q).

Considere r > 0, tal que

r ≤ a e Mr ≤ b.

Seja yn−1 = yn−1(x), x0 − r ≤ x ≤ x0 + r, cont́ınua e cujo gráfico esteja contido

em Q, seja agora

yn = yn(x), x0 − r ≤ x ≤ x0 + r

dada por

yn(x) = y0 +

x∫x0

f(s, yn−1(s))ds.

Com estas premissas, o gráfico de yn = yn(x) também está contido em Q.

Demonstração. Para demonstrar que o gráfico de yn está contido em Q, conforme Fig.

2.1, é suficiente provar que

| yn(x)− y0 |≤ b, ∀x ∈ [x0 − r, x0 + r].

Sabendo que para todo x no intervalo x0 − r ≤ x ≤ x0 + r

yn(x)− y0 =x∫

x0

f(s, yn−1(s))ds. (2.18)

Aplicando módulo em ambos os lados da igualdade (2.18) encontra-se

| yn(x)− y0 | =

∣∣∣∣∣∣x∫

x0

f(s, yn−1(s))ds

∣∣∣∣∣∣≤

x∫x0

|f(s, yn−1(s))| ds. (2.19)

18

Figura 2.1: Gráfico de yn contido no retângulo Q

Sabendo que para todo s ∈ [x0 − r, x0 + r]

(s, yn−1(s)) ∈ Q.

Assim,

| f(s, yn−1(s)) |≤M, (2.20)

para todo [x0 − r, x0 + r]. Agora, integrando ambos os lados da inequação (2.20) e pela

desigualdade (2.19) encontra-se

| yn(x)− y0 |≤

∣∣∣∣∣∣x∫

x0

Mds

∣∣∣∣∣∣ ,para todo x ∈ [x0− r, x0 + r]. Assim, para todo x no intervalo x0− r ≤ x ≤ x0 + r, tem-se

| yn(x)− y0 |≤M | x− x0 | .

Logo,

| yn(x)− y0 |≤Mr ≤ b.

Teorema 2.2 (Teorema da Existência). Sejam f : Ω ⊂ R2 −→ R, e (x0, y0) ∈ Ω.

Supondo que f edf

dysão cont́ınuas em Ω. Nestas condições, a equação

y′ = f(x, y),

admite uma solução y = y(x) definida em um intervalo [x0 − r, x0 + r] e satisfazendo a

condição inicial y(x0) = y0.

19

Demonstração. Considere f : Ω ⊂ R2 −→ R, r > 0 e (x0, y0) de acordo com Lema (2.3).

Seja a função constante

y0(x) = y0, x ∈ [x0 − r, x0 + r]. (2.21)

A função (2.21) é cont́ınua e seu gráfico está contido emQ. Seja agora, a sequência

de funções, tal que (yn(x))n ≥ 0

y0(x) = y0 e yn(x) = y0 +

x∫x0

f(s, yn−1(s))ds, n ≥ 1, (2.22)

para todo x ∈ [x0 − r, x0 + r]. Nota-se que para todo n ≥ 1, o gráfico de yn está contido

em Q. A sequência definida em (2.22) é denominada sequência de Picard para o problema y′ = f(x, y)y(x0) = y0. (2.23)Para demonstrar a existência de solução para o problema (2.23), é necessário

mostrar que a sequência (2.22) converge uniformemente a função y = y(x), ∀ x ∈

[x0 − r, x0 + r], além disso a função y é solução de (2.23).

Com efeito, sejam f : Ω ⊂ R2 −→ R, Ω aberto e (x0, y0) ∈ Ω. Suponha que f e∂f

∂ysão cont́ınuas em Ω. Considere r e Q como no Lema (2.3). Seja K segundo o Lema

(2.2). Buscando mostrar que a sequência de Picard (2.22) converge uniformemente em

[x0 − r, x0 + r], considera-se a série

y0 ++∞∑n=1

[yn(x)− yn−1(x)]. (2.24)

Tem-se que, para todo n ≥ 1,

yn(x) = y0 +n∑k=1

[yk(x)− yk−1(x)].

Assim, a sequência (2.22) será uniformemente convergente no intervalo [x0−r, x0+

r], caso a série (2.24) também seja (Guidorizzi, 2000).

Para isso, precisa-se provar que

+∞∑n=1

[yn(x)− yn−1(x)], (2.25)

20

converge uniformemente em [x0 − r, x0 + r].

Considere y = y(x), com x ∈ [x0 − r, x0 + r], dada por

y(x) = limn→∞

yn(x). (2.30)

Para concluir basta demonstrar que

y(x) = y0 +

x∫x0

f(s, y(s))ds, ∀x ∈ [x0 − r, x0 + r].

De (2.29),

limn→∞

yn(x) = y0 + limn→∞

x∫x0

f(s, yn−1(s))ds,

logo,

y(x) = y0 + limn→∞

x∫x0

f(s, yn−1(s))ds. (2.31)

Para permutar os śımbolos

limn→∞

e

x∫x0

,

é necessário mostrar a convergência uniforme da sequência

f(s, yn−1(s)), n ≥ 1

em [x0 − r, x0 + r]. O gráfico da função (2.30), y = y(x), com x ∈ [x0 − r, x0 + r] está

contido no retângulo Q, pois como yn(x) ∈ [y0−b, y0 +b], para todo n natural e para todo

x ∈ [x0− r, x0 + r], lembrando-se que y(x) é o limite de yn(x) quando n tende ao infinito.

Assim, de (2.27), tem-se

| f(x, yn−1(s))− f(x, y(s)) |≤ K | yn−1(s)− y(s) |,

para todo n ≥ 1 e para todo s no intervalo [x0 − r, x0 + r]. A convergência uniforme

de f(x, yn−1(s)) a f(x, y(s)) fica garantida pela convergência uniforme de yn−1(s) a y(s).

Assim, a Eq. (2.31) se torna

y(x) = y0 +

x∫x0

[ limn→∞

f(s, yn−1(s))]ds.

23

Sabendo que

limn→∞

f(s, yn−1(s)) = f(s, y(s)).

Conclui-se

y(x) = y0 +

x∫x0

f(s, y(s))ds ∀x ∈ [x0 − r, x0 + r]. (2.32)

Pelo Lema (2.1) sabe-se que y = y(x) da forma (2.32), com x ∈ [x0 − r, x0 + r], é solução

da equação

y′ = f(x, y),

e satisfaz a condição inicial y(x0) = y0.

Teorema 2.3 (Teorema da Unicidade). Seja f : Ω ⊂ R2 −→ R, Ω aberto, e seja (x0, y0) ∈

Ω. Supondo que f e∂f

∂ycont́ınuas em Ω. Então existe uma única solução para o problema

de valor inicial dy

dx= f(x, y)

y(x0) = y0.(2.33)

Demonstração. Sejam

y1 = y1(x), x ∈ I

e

y2 = y2(x), x ∈ J

onde I e J são intervalos abertos contendo x0, duas soluções da equação

y′ = f(x, y),

e tais que

y1(x0) = y2(x0) = y0.

Querendo mostrar que existe um d > 0 tal que

y1(x) = y2(x) em [x0 − d, x0 + d].

Seja Q o retângulo dado por

Q = {(x, y) | x0 − a ≤ x ≤ x0 + a, y0 − b ≤ y ≤ y0 + b},

24

da continuidade de y1 e y2 segue que existe d1 > 0, com d1 ≤ a, tal que

(x, y1(x)) e (x, y2(x)),

pertencem ao retângulo Q, para todo x no intervalo [x0 − d1, x0 + d1]. Pelo Lema (2.2),

tem-se que existe um K > 0 tal que

| f(x, y1(s))− f(x, y2(s)) |≤ K | y1(s)− y2(s) |, (2.34)

para todo s ∈ [x0 − d1, x0 + d1].

Considere d > 0 tal que

d ≤ d1 e Kd < 1. (2.35)

Como y1 = y1(x) e y2 = y2(x) são soluções do problema de valor inicial (2.33), então

y1(x0) = y2(x0) = y0. Além disso, pelo Lema (2.1)

y1(x) = y0 +

x∫x0

f(s, y1(s))ds (2.36)

e

y2(x) = y0 +

x∫x0

f(s, y2(s))ds, ∀ x ∈ [x0 − d, x0 + d]. (2.37)

Fazendo a diferença das Eqs. (2.36) e (2.37), tem-se

y1(x)− y2(x) =x∫

x0

[f(s, y1(s))− f(s, y2(s))]ds. (2.38)

Aplicando módulo na Eq. (2.38), obtém-se

| y1(x)− y2(x) |=

∣∣∣∣∣∣x∫

x0

[f(s, y1(s))− f(s, y2(s))]ds

∣∣∣∣∣∣ , (2.39)para todo x ∈ [x0 − d, x0 + d]. Sabendo que∣∣∣∣∣∣

x∫x0

[f(s, y1(s))− f(s, y2(s))]ds

∣∣∣∣∣∣ ≤x∫

x0

| [f(s, y1(s))− f(s, y2(s))] | ds ≤

25

≤

∣∣∣∣∣∣x∫

x0

| [f(s, y1(s))− f(s, y2(s))] | ds

∣∣∣∣∣∣ ∀ x ∈ [x0 − d, x0 + d].Assim,

| y1(x)− y2(x) |≤

∣∣∣∣∣∣x∫

x0

| [f(s, y1(s))− f(s, y2(s))]ds |

∣∣∣∣∣∣ . (2.40)Das equações (2.34) e (2.40) tem-se

| y1(x)− y2(x) |≤ K

∣∣∣∣∣∣x∫

x0

| y1(s)− y2(s) | ds

∣∣∣∣∣∣ . (2.41)Considere agora,

M1 = max{| y1(x)− y2(x) || x ∈ [x0 − d, x0 + d]}.

Assim,

| y1(s)− y2(s) |≤M1 ∀s ∈ [x0 − d, x0 + d]. (2.42)

De (2.41) e (2.42),

| y1(x)− y2(x) |≤ KM1 | x− x0 |,

e, portanto,

| y1(x)− y2(x) |≤ KM1d ∀x ∈ [x0 − d, x0 + d].

Logo,

M1 ≤ KdM1,

pois M1 é o máximo de | y1(x)− y2(x) | em [x0 − d, x0 + d].

Se M1 6= 0, resulta

1 ≤ Kd,

isso é um absurdo, visto que foi considerado que Kd < 1, consequentemente M1 = 0.

Logo,

| y1(x)− y2(x) |= 0,

em [x0 − d, x0 + d]. E, portanto,

y1(x) = y2(x),

neste intervalo.

26

Já para o último questionamento pode-se dizer que determinar uma solução de

uma equação diferencial é algo ”similar”ao cálculo de uma integral e sabe-se que há

integrais que não possuem primitivas, como por exemplo as integrais eĺıpticas. Assim,

não é de esperar que todas as equações diferenciais possuam soluções expĺıcitas.

Vale destacar que este tópico de EDO foi estudado durante o projeto de iniciação

cient́ıfica, Métodos Numéricos Aplicados na Engenharia, com a orientação do professor

Jarbas Alves Fernandes.

Na seção 2.6 estudou-se o problema da propagação da podridão em maçãs. Para

este fim, na próxima seção será estudada de forma sucinta a equação loǵıstica cont́ınua.

2.5 Equação Loǵıstica Cont́ınua

A equação loǵıstica cont́ınua possui um grande importância, pois modela diver-

sos problemas do cotidiano, como por exemplo a propagação da podridão em maçãs e na

dinâmica populacional. Sendo assim, tal formulação auxilia na resolução de tais proble-

mas, fazendo com que os mesmo sejam solucionados de maneira mais fácil e eficiente. A

equação loǵıstica cont́ınua é formulado da seguinte formady

dx= ay(k − y)

y(0) = y0.(2.43)

Rescrevendo a Eq. (2.43) tem-se

y′ = aky − ay2. (2.44)

Claramente a Eq. (2.44) pertence à classe de equações diferenciais de Bernoulli 1, que é

dada pela Eq. (2.45),

y′ + p(x)y = q(x)yn, (2.45)

em que p(x) = −ak, q(x) = −a e n = 2.1A solução da equação de Bernoulli pode ser encontrada em (Guidorizzi, 2000)

27

Para obter uma solução da EDO de Bernoulli, multiplica-se a Eq. (2.45) por

(1− n)y−n, o que resulta em

(1− n)y−ny′ + (1− n)y1−np(x) = q(x)(1− n).

Adotando

v(x) = y1−n. (2.46)

Derivando implicitamente a Eq. (2.46) em relação x, obtém-se

v′ = (1− n)y−ny′. (2.47)

Fazendo p(x) = −ak, q(x) = −a e n = 2, tem-se

v′ + akv = a. (2.48)

Resolvendo a EDO pelo método do fator integrante 2, tem-se que

v =eakx/k + c

eakx=eakx + kc

keakx.

Sabendo que v = y1−n = y1−2 = y−1, a solução da Eq. (2.43) é dada por

y =keakx

eakx + c.

Encontrando a solução particular do PVI, tem-se que c = ky0− 1, logo

y =k

1 + ( ky0− 1)e−akx

. (2.49)

Pode ser observado que na solução (2.49) da Eq. (2.43) tem-se

limx−→+∞

y(x) = k e limx−→0

y(x) = y0, (2.50)

ou seja, quando x cresce muito então a variável y(x) tende a y = k e, para x = 0, tem-se

a condição inicial y(0) = y0.

A seguir será apresentado um aplicação de EDOs em situações comuns do coti-

diano. Mais preciso, será abordado o problema da propagação da podridão em maçãs.

Cabe destacar que este problema foi inicialmente proposto no artigo (Bassanezi and Ju-

nior, 2005). Neste trabalho segue-se a formulação e solução apresentada em (Bassanezi

and Junior, 2005).

2O método do fator integrante para EDO de primeira ordem pode ser encontrado em (Boyce and

DIPRIMA, 2010; Guidorizzi, 2000)

28

2.5.1 Propagação da Podridão em Maçãs

Segundo Bassanezi (2015), o armazenamento de maçãs normalmente é realizado

em câmaras frigoŕıficas, onde são depositadas em caixas de madeiras sobrepostas que

comportam cerca de 3000 frutas. Quando ocorre a contaminação de alguma maçã com a

podridão, a doença consegue se propagar de maneira rápida contaminado as frutas que

estão ao seu redor. Algumas estimativas afirmam que em cerca de 12 dias aproximada-

mente oitenta porcento das maçãs estarão contaminadas, comprometendo todo o estoque.

Veja a Fig. 2.2. A modelagem matemática, nesse problema, visa analisar a dinâmica da

propagação da doença.

Figura 2.2: Propagação da Podridão em Maçãs

Para realizar o estudo de tal problema serão considerado alguns dados e variáveis

importantes, sendo eles

1. M = M(t) é a quantidade de maçãs contaminadas no instante t;

2. t= tempo de propagação (dias);

3. T= quantidade total de maçãs em um bin ∼= 3000 frutas;

4. Se o processo de dispersão da doença se inicia com uma maçã, então M0 = M(0) = 1

(condição inicial);

29

5. Quando a doença se inicia com uma fruta contaminada, então em 12 dias, oitenta

porcento das maçãs do bin estarão podres, isto é, M(12) = 0, 8T .

Hipótese: ”A velocidade de propagação da doença é proporcional à proximidade entre

maçãs sadias e contaminadas”.

Usando o modelo cont́ınuo para a variação populacional, deve-se representar tal

variação por derivada, ou seja,

dM

dt= M ′

que representa a velocidade de propagação.

Como a quantidade total de maçãs T é constante, então tem-se que a população

de frutas sadias S(t) é dada por S(t) = T −M(t). Para modelar o encontro entre frutas

contaminadas e sadias, pode-se usar a seguinte expressão matemática

E = MS = M(T −M).

Das hipóteses formuladas acima, tem-se o seguinte modelo matemático para pro-

pagação da epidemia da podridão da maçãdS

dt= −βSM

dM

dt= βSM

M(0) = 1 e S +M = T,

(2.51)

onde β é taxa de contaminação.

O sistema (2.51) pode ainda ser reduzido a um problema de valor inicial com

apenas uma equação diferencial, tendo que S = T −M ,dM

dt= βM(T −M)

M(0) = 1.(2.52)

Tem-se que o modelo (2.52) descrito é uma equação loǵıstica cont́ınua cuja solução foi

obtida na seção 2.5. Assim, a quantidade de maçãs contaminadas no instante t é

M(t) =KTeβTt

1 +KeβTt. (2.53)

30

Agora, levando em consideração a condição inicial M0 = M(0) = 1, pode-se obter o valor

da constante arbitrária K. De fato,

M(0) = 1 =⇒ 1 +K = KT =⇒ K = 1T − 1

' 1T' 0, 00033.

Como uma consequência a solução particular é dada por

M(t) =eβTt

1 + 1TeβTt

=TeβTt

T + eβTt=

T

Te−βTt + 1. (2.54)

Usando a estimativa que em 12 dias aproximadamente oitenta porcento das maçãs são

contaminadas, isto é, M(12) = 0, 8T , e a taxa de contaminação β. Com efeito, usando

(2.54), tem-se

0, 8T =T

Te−12βT + 1=⇒ 0, 8e−12βT = 0, 2.

Aplicando o logaritmo, obtém-se

−12βT = ln( 1

4T

)=⇒ β = − 1

12Tln( 1

4T

)' 0, 000261.

Portanto, a equação determińıstica que permite fazer previsões de maçãs contaminas em

cada instante é

M(t) =3000

3000e−0,783t + 1. (2.55)

Ademais, pode-se ainda obter a previsão do tempo t necessário para cada por-

centagem p de frutas contaminadas. Para isso, deve-se ter t em função de M(t) = pT ,

substituindo este valor na equação de M(t), obtém-se

pT =T

Te−βTt + 1=⇒ pTe−βTt + p = 1 =⇒ e−βTt = 1− p

pT.

Aplicando o logaritmo natural em ambos os membros da última equação acima, obtém-se

−βTt = ln(1− ppT

).

Logo,

t = − 1βT

ln(1− ppT

).

31

Sabe-se que o valor de β = − 112T

ln 14T

. Dáı, o tempo t necessário para cada porcentagem

p de frutas contaminadas é dado por

t =12

ln1/4Tln(1− ppT

)com 0 < p < 1. (2.56)

Na Fig. 2.3 pode-se analisar o comportamento da propagação da podridão em

maçãs, a medida que o tempo vai passando, todas as maçãs são contaminadas pela doença.

Por exemplo, se desejar o tempo necessário para que metade das maçãs estejam conta-

minadas, basta tomar p = 0, 5. Dessa forma, quando se tem 3000 maçãs metade estará

contaminada quando

Figura 2.3: Gráfico do Comportamento da Propagação da Podridão em Maçãs

t =12

ln1/4Tln( 1

0, 5T

)= (−1, 277) ∗ (−8, 006) = 10, 224dias.

32

Caṕıtulo 3

Soluções para EDOs por Série

Existem diversos métodos anaĺıticos para solução de EDO, mas muito deles são

restritos. Muitos acabam falhando ou produzindo uma solução muito complexa para

ser facilmente manipulada. Quando isso acontece, uma alternativa para solucionar o

problema de maneira mais simples pode ser por meio das séries de potência, ao longo

deste caṕıtulo será abordado tal método para solução de EDO. Cabe destacar que este

caṕıtulo é inspirado nas seguintes referências (Kreyzig, 2009; Oliveira, 2010).

3.1 Método das Séries de Potências para Solução de

EDO

O método das séries de potências é definido como sendo o método-padrão de

resolução de EDOs lineares com coeficientes variáveis. Este método fornece solução na

forma de série de potência. Desta forma, ela pode ser utilizada para o cálculo de valores,

obtenção do gráfico de curvas e exploração de propriedades da solução. A seguir será

abordada uma visão geral do método das séries de potências para EDOs.

33

3.1.1 A Ideia do Método das Séries de Potências

A ideia do método das séries de potências para resolver as EDOs é simples e

natural. Dada EDO de segunda ordem, isto é,

y′′ + p(x)y′ + q(x)y = 0, (3.1)

em que p e q são representados através de séries de potências em torno de x0 = 0. Supõe-

se que exista uma solução y com coeficientes desconhecidos na forma de uma série de

potências em torno de x0 = 0, isto é,

y =∞∑m=0

amxm = a0 + a1x+ a2x

2 + a3x3 + ... (3.2)

Derivando termo a termo a equação (3.2), tem-se

y′ =∞∑m=1

mamxm−1 = a1 + 2a2x+ 3a3x

2 + ... (3.3)

Agora pela derivação termo a termo da equação (3.3), obtém- se a segunda derivada da

função y que é expressada por

y′′ =∞∑m=2

m(m− 1)amxm−2 = 2a2 + 6a3x+ 12a4x2... (3.4)

Substituindo-se as Eqs. (3.2), (3.3) e (3.4) na EDO (3.1), tem-se

∞∑m=2

m(m− 1)amxm−2 + p(x)∞∑m=1

mamxm−1 + q(x)

∞∑m=1

amxm = 0, (3.5)

onde p e q podem ser representados em série de potências em torno de x0 = 0.

Em seguida, as potências de mesma ordem de x são agrupadas e iguala-se a zero

a soma dos coeficientes de cada potência observada de x. O procedimento é iniciado

com os termos constantes, em seguida os termos em x, x2, e assim por diante. Através

de tal procedimento serão obtidas equações que fornecerão sucessivamente os coeficientes

desconhecidos da solução y, dada pela Eq. (3.2). Para fixar esses conceito, o exemplo a

seguir descreve a ideia do método de séries de potências mencionado acima.

34

Exemplo 3.1. Dada a EDO

y′ = 2xy. (3.6)

Será usado o método método das séries de potências para encontra uma solução em torno

de x0 = 0. Com efeito, para solucionar este problema, usando primeiramente as Eqs.

(3.2) e (3.3) na EDO definida em (3.6). Assim, tem-se a seguinte igualdade

a1 + 2a2x+ 3a3x2 + ... = 2x(a0 + a1x+ a2x

2 + a3x3 + ...).

Agora, aplicando a propriedade distributiva, obtém- se

a1 +2a2x+3a3x2 +4a4x

3 +5a5x4 +6a6x

5 + ... = 2a0x+2a1x2 +2a2x

3 +2a3x4 +2a4x

5 + ...

Note que a igualdade acima é válida se os coeficientes da mesma potência de x são iguais.

Como uma consequência,

a1 = 0, 2a2 = 2a0, 3a3 = 2a1, 4a4 = 2a2, 5a5 = 2a3, 6a6 = 2a4, ...

Como uma consequência, se n é impar, tem-se an = 0. Por ouro lado, os coeficientes

ı́ndices pares são dados por

a2 = a0, a4 =a22

=a02!, a6 =

a43

=a03!, ...,

em que ao é qualquer número real. Desta maneira, a solução y por meio do método da

série de potência para a Eq. (3.2) é

y = a0(1 + x2 +

x4

2!+x6

3!+x8

4!+ ...) = a0e

x2 .

As próximas seções serão dedicadas a formalizar o método das séries de potências

para solução de EDOs.

3.2 Classificação de pontos singulares de equações li-

neares homogêneas

Nesta seção, o método de séries de potências será brevemente formalizado e algu-

mas definições importantes serão apresentadas. O leitor interessado em todo formalismo

matemático pode consultar (Boyce and DIPRIMA, 2010; Oliveira, 2010; Kreyzig, 2009).

35

3.2.1 Pontos ordinários e singular

Considere a EDO de segunda ordem

y′′ + p(x)y′ + q(x)y = 0. (3.7)

Oliveira (2010) afirma que o ponto x0 é um ponto ordinário da Eq. (3.1) se as funções

p(x) e q(x) forem anaĺıticas em x0, ou seja, se é posśıvel as representações

p(x) =∞∑m=0

pm(x− x0)m, |x− x0| < R1, (3.8)

e

q(x) =∞∑m=0

qm(x− x0)m, |x− x0| < R2, (3.9)

com R1 e R2 números positivos, caso contrário x0 é dito ponto singular da Eq. (3.1).

3.2.2 Ponto Singular Regular e Irregular

O ponto x0 é dito singular regular da Eq. (3.1) quando pelo menos uma das

funções p(x) e q(x) não é anaĺıtica em x0, mas são anaĺıticas as funções

p̃(x) = (x− x0)p(x) (3.10)

e

q̃(x) = (x− x0)2q(x). (3.11)

Pode-se reescrever a Eq. (3.1) em termos de p̃(x) e q̃(x), encontrando

(x− x0)2y′′ + (x− x0)p̃(x)y′ + q̃(x)y = 0, (3.12)

onde p̃(x) e q̃(x) são funções anaĺıticas em x0. Por outro lado, um ponto singular irregular

é todo o ponto singular da Eq. (3.1) que não é um ponto singular regular.

36

3.2.3 Existência de Soluções das EDOs em Séries de Potências

Uma grande questão é saber se as EDOs podem ter soluções em forma de séries

de potências. Uma resposta simples é que se os coeficientes p e q e a função r do lado

direito da Eq.(3.13) possúırem representação em séries de potências, então a Eq. (3.13)

possui soluções em série de potências.

y′′ + p(x)y′ + q(x)y = r(x). (3.13)

Pode-se realizar a mesma verificação para na equação abaixo

h̃(x)y′′ + p̃(x)y′ + q̃(x)y = r̃(x), (3.14)

se h̃, p̃, q̃, r̃ possúırem representação em séries de potências e h̃(x0) 6= 0.Tem-se que na

maioria dos casos os coeficientes das EDOs são polinômios, ou seja, séries de potências

com número finito de termos, de modo que as condições serão satisfeitas, quando r(x)

for também uma série de potência. Caso h̃ 6= 0, então a divisão da Eq. (3.14) por h̃(x)

resulta a Eq. (3.13) com p = p̃/h̃, q = q̃/h̃, r = r̃/h̃. Isto motiva o uso da notação da Eq.

(3.14). O próximo teorema apresenta a resposta do questionamento inicial.

Teorema 3.1 (Existência de Soluções por Séries de Potências). Se, em (3.13), p, q e r

forem anaĺıticas em x = x0, então toda solução da Eq. (3.13) é anaĺıtica em x = x0,

podendo então ser representada por meio de uma série de potência de em x−x0, com um

raio de convergência R > 0. Logo, o mesmo se verifica se, em (3.14), h̃,p̃,q̃ e r̃ forem

anaĺıticas em x = x0 e h̃ 6= 0.

A demonstração deste teorema pode ser encontrada em (Boyce and DIPRIMA,

2010; Ince, 1956).

3.3 Equação de Legendre e Polinômios de Legendre

De acordo com Rooney (2012), Adrien Marie Legendre nasceu em Toulouse em

18 de setembro de 1752, e morreu em Paris em 10 de janeiro de 1833. Pertenceu a uma

geração de grandes matemáticos a exemplo de Lagrange [1736-1813], Laplace [1749-1827]

37

e Gauss [1777-1855]. É conhecido pela transformação de Legendre, que é usada para ir da

Lagrangiana à formulação hamiltoniana na mecânica clássica. Ele também é o nominador

dos polinômios de Legendre, as soluções da equação diferencial de Legendre, que ocorrem

com freqüência na f́ısica e em aplicações de engenharia, como por exemplo na eletrostática.

Ele foi educado no Colégio Mazarin, uma das escolas mais avançadas do século XVII, em

Paris, durante cinco anos, de 1775 a 1780, trabalhou junto com Laplace, quando ambos

lecionavam na École Militaire de Paris.

A equação de Legendre é um equação dada por

(1− x2)y′′ − 2xy′ + n(n+ 1)y = 0 (3.15)

onde n é uma constante dada.

A equação de Legendre é uma equação de grande importância, pois surge em

diversos problemas. Tem-se que qualquer solução da Eq. (3.15) é denominada de função

de Legendre.

Se realizar a divisão da Eq. (3.15) pelo coeficiente 1− x2 é posśıvel notar que os

coeficientes −2x/(1 − x2) e n(n + 1)/(1 − x2) da nova equação são anaĺıticos em x = 0.

Portanto, pelo Teorema 1 tem-se que a equação de Legendre possui soluções em séries de

potências da forma

y =∞∑m=0

amxm. (3.16)

Substituindo a Eq. (3.16) e suas derivadas na Eq. (3.15) e denominado que a

constante k é igual a n(n+ 1), obtém-se

(1− x2)∞∑m=2

m(m− 1)amxm−2 − 2x∞∑m=1

mamxm−1 + k

∞∑m=0

amxm = 0.

Dáı,∞∑m=2

m(m− 1)amxm−2 −∞∑m=2

m(m− 1)amxm −∞∑m=1

2mamxm +

∞∑m=0

kamxm = 0.

Para obter-se a mesma potência xs em toda a equação, faz-se m− 2 = s na primeira série

e nas demais simplesmente substitui-se m por s, assim∞∑s=0

(s+ 2)(s+ 1)as+2xs −

∞∑s=2

s(s− 1)asxs −∞∑s=1

2sasxs +

∞∑s=0

kasxs = 0.

38

Pode ser notado na primeira série que o somatório começa com s = 0. Tem-se

também que essa equação com o lado direito nulo deve ser uma identidade em x se a

Eq. (3.16) for uma solução da Eq. (3.15). Dessa forma, a soma dos coeficientes de cada

potência de x no lado esquerdo deve ser igual a zero, nota-se que x0 ocorre na primeira e

última série, dáı tem-se

2 · 1a2 + ka0 = 0.

Logo,

2 · 1a2 + n(n+ 1)a0 = 0. (3.17)

x1 ocorre na primeira, terceira e quarta séries, o que fornece

3 · 2a3 + [−2 + n(n+ 1)]a1 = 0. (3.18)

As potências superiores x2, x3, ... ocorrem em todas as quatro séries, dáı

(s+ 2)(s+ 1)as+2 + [−s(s− 1)− 2s+ n(n+ 1)]as = 0.

Logo,

(s+ 2)(s+ 1)as+2 + [(n− s)(n+ s+ 1)]as = 0. (3.19)

Resolvendo a Eqs. (3.17) para a2, (3.18) para a3 e (3.19) para as+2, obtém-se a

fórmula geral

as+2 = −(n− s)(n+ s+ 1)

(s+ 2)(s+ 1)as. (3.20)

onde s = 0, 1, 2...

A Eq. (3.20) é denominada de relação de recorrência ou fórmula de recursão.

Encontra-se sucessivamente

a2 = −n(n+ 1)

2!a0

a3 = −(n− 1)(n+ 2)

3!a1

39

a4 = −(n− 2)(n+ 3)

4.3a2 = −

(n− 2)n(n+ 1)(n+ 3)4!

a0

a5 = −(n− 3)(n+ 4)

5.4a3 = −

(n− 3)(n− 1)(n+ 2)(n+ 4)5!

a1

e assim por diante.

Se forem inseridas na Eq. (3.16) as expressões desses coeficientes obtém-se

y(x) = a0y1(x) + a1y2(x) (3.21)

onde tem-se que

y1(x) = 1−n(n+ 1)

2!x2 +

(n− 2)n(n+ 1)(n+ 3)4!

x4 − ... (3.22)

e

y2(x) = x−(n− 1)(n+ 2)

3!x3 +

(n− 3)(n− 1)(n+ 2)(n+ 4)5!

x5 − ... (3.23)

Essas séries convergem para |x| < 1. Como a Eq. (3.22) contém apenas potências

pares e a Eq. (3.23) contêm potências impares de x tem-se que a razão de y1/y2 não é

igual a uma constante, pois y1 e y2 não são proporcionais, sendo soluções linearmente

independentes entre si.

3.3.1 Polinômios de Legendre

Na maioria das aplicações as soluções das EDOs por série de potências são re-

duzidas a polinômios. Tem-se que para a equação de Legendre isso acontece quando o

parâmetro n é um inteiro não-negativo, pois o lado direito da Eq.(3.20) é nulo para s = n,

dai an+2 = 0, an+4 = 0, an+6 = 0, ... Portanto,se n for par y1(x) se reduz a um polinômio

de grau n, e se for ı́mpar o mesmo ocorre para y2(x). O polinômio de Lengendre (Pn(x))

é o nome dado a esses polinômios multiplicados por algumas constantes. Para escolher a

constante escolhe-se o coeficiente an da maior potência xn como

an =(2n)!

2n(n!)2=

1.3.5...(2n− 1)n!

, (3.24)

40

onde n e um inteiro positivo e an = 1 se n = 0.

Então, calcula-se os outros coeficientes a partir da Eq. (3.20), que é resolvida

para as em termos de as+2, logo

as = −(s+ 2)(s+ 1)

(n− s)(n+ s+ 1)as+2, (3.25)

onde s 5 n− 2.

A escolha da Eq. (3.24) faz Pn(1) = 1 para todo n, da Eq. (3.25) com s = n− 2

e a Eq. (3.24), obtém-se

an−2 = −n(n− 1)2(2n− 1)

an = −n(n− 1)(2n)!

2(2n− 1)2n(n!)2.

Usando (2n)! = 2n(2n − 1)(2n − 2)!, n! = n(n − 1)!, e n! = n(n − 1)(n − 2)!,

obtém-se

an−2 = −n(n− 1)2n(2n− 1)(2n− 2)!

2(2n− 1)2nn(n− 1)!n(n− 1)(n− 2)!

n(n− 1)2n(2n− 1) se cancela, dáı

an−2 = −(2n− 2)!

2n(n− 1)!(n− 2)!.

Da mesma forma,

an−4 = −(n− 2)(n− 3)

4(2n− 3)an−2 =

(2n− 4)!2n2!(n− 2)!(n− 4)!

,

e assim por diante. De forma geral, quando n− 2n = 0

an−2m = (−1)m(2n− 2m)!

2nm!(n−m)!(n− 2m)!. (3.26)

A solução da Eq. (3.15) é denominada de polinômio de Legendre de grau n. Da

Eq.(3.26), obtém-se

Pn(x) =M∑m=0

(−1)m (2n− 2m)!2nm!(n−m)!(n− 2m)!

nn−2m (3.27)

=(2n)!

2n(n!)2xn − (2n− 2)!

2n1!(n− 1)!(n− 2)!xn− 2+...,

onde M = n/2 ou (n− 1)/2, é número inteiro.

41

3.4 Método de Frobenius

Ferdinand Georg Frobenius foi Matemático e autor alemão nascido em Charlot-

tenburg, distrito de Berlim, Prússia, hoje Berlim, Alemanha, destaque no desenvolvimento

da teoria dos grupos, seus trabalhos versaram sobre a teoria algébrica dos grupos finitos

e sobre a sistematização da álgebra à luz axiomática e a lógica matemática . De uma

famı́lia de protestantes, era filho do pároco Christian Ferdinand Frobenius e de Christine

Elizabeth Friedrich, foi educado no Joachimsthal Gymnasium (1860-1867) (Escola).

O Teorema 3.2 pode ser visto como uma extensão do método de séries de potências,

chamado de Método de Frobenius. Este método tem sido útil nas soluções de EDOs devido

a sua utilização em programas de computadores.

Teorema 3.2 (Método de Frobenius). Considerando que b(x) e c(x) sejam funções

anaĺıticas em x = 0, então tem-se que a EDO

y′′ +b(x)

xy′ +

c(x)

x2y = 0 (3.28)

possui pelo menos uma solução que pode ser representada na forma

y(x) = xr∞∑m=0

amxm = xr(a0 + a1x+ a2x

2 + ...) (3.29)

sendo que r pode ser qualquer número (real ou complexo) escolhido de forma que a0 6= 0.

A EDO (3.28) possui também uma segunda solução similar a Eq. (3.29), sendo

que essas duas soluções são linearmente independentes e a segunda solução possui valores

diferentes para r e para os coeficientes, ou ainda pode conter um termo logaŕıtmico.

Na prática, para usar o método de Frobenius, é necessário determinar o ı́ndice r

e os coeficientes am. Estes valores podem ser obtidos como segue. Multiplicado-se a Eq.

(3.28) por x2, chega-se a forma

x2y′′ + xb(x)y′ + c(x)y = 0. (3.30)

Expandindo inicialmente b = b(x) e c = c(x) em série de potências, tem-se

b(x) = b0 + b1x+ b2x2 + ...

42

c(x) = c0 + c1x+ c2x2 + ...

Então, derivando a Eq. (3.29) termo a termo, obtêm-se

y′(x) =∞∑m=0

(m+ r)amxm+r−1

= xr−1[ra0 + (r + 1)a1x+ ...] (3.31)

y′′(x) =∞∑m=0

(m+ r)(m+ r − 1)amxm+r−2

= xr−2[r(r − 1)a0 + (r + 1r)a1x+ ...]. (3.32)

Se forem inseridas todas essas séries acima na Eq. (3.30), encontra-se

xr [r(r − 1)a0 + (r + 1r)a1x+ ...] + (b0 + b1x+ ...)xr[ra0 + (r + 1)a1x...]

+ (c0 + c1x+ ...)xr(a0 + a1x+ ...) = 0. (3.33)

Agrupando os termos da Eq. (3.33), obtém-se

xr[r(r − 1)a0 + b0ra0 + c0a0] + xr+1[(r + 1)ra1 + (r + 1)a1b1 + a1c1] + ... = 0. (3.34)

Igualando a soma dos coeficientes de cada potência xr, xr+1, xr+2, ... a zero, encontra-se

um sistema de equações que envolvem os coeficientes desconhecidos am da Eq. (3.29).

Tem-se então a equação correspondente à potência xr sendo

[r(r − 1) + b0r + c0]a0 = 0. (3.35)

Supondo que a0 6= 0, tem-se que a expressão da Eq.(3.35) deve ser igual a zero. O que

resulta em

r(r − 1) + b0r + c0 = 0, (3.36)

sendo uma equação quadrática importante para a determinação do ı́ndice r da Eq. (3.29).

A Eq. (3.36) é referida como equação indicial da EDO (3.28).

Tem-se então que o método de Frobenius fornece uma base de soluções, no qual

uma das soluções possui a forma da Eq. (3.29), onde r será uma raiz da Eq. (3.36) e a

outra solução possuirá uma forma que é decorrente pela equação indicial. Dessa forma,

exitem três casos distintos, são eles

43

• Caso 1: Ráızes distintas não se diferindo por números inteiros, isto é, se r1 e r2 são

ráızes de 3.36, então não existe p inteiro tal que r1 = r2 + p;

• Caso 2: Uma raiz dupla;

• Caso 3: Ráızes diferindo-se por números inteiros, ou seja, se r1 e r2 são ráızes de

3.36, então existe p inteiro tal que r1 = r2 + p;;

Note que o caso 1 inclui ráızes complexas, isto é, r1 = z1 + iz2 e r2 = z1 − iz2,

em que z1, z2 ∈ R e i =√−1. Com efeito, r1− r2 = 2z2i, logo não existe p inteiro tal que

r1 = r2 + p.

O próximo teorema estabelecerá uma base de soluções para Eq. 3.28, sem um te-

oria geral de convergência, porém em cada caso particular é posśıvel testar a convergência

das séries em questão (Kreyzig, 2009; Ince, 1956).

Teorema 3.3. Base de Soluções Considere que a EDO (3.28) satisfaça as condições

anteriores. As ráızes da equação indicial (3.36) serão chamadas de r1 e r2. Então tem-se

os seguintes posśıveis casos:

Caso 1. Ráızes distintas não diferindo por um número inteiro: Uma base é

dada por

y1(x) = xr1(a0 + a1x+ a2x

2 + ...)

e

y2(x) = xr2(A0 + A1x+ A2x

2 + ...)

com os coeficientes obtidos sucessivamente da Eq. (3.34).

Caso 2. Ráızes duplas: Uma base é dada por

y1(x) = xr(a0 + a1x+ a2x

2 + ...) [r = 1/2(1− b0)]

e

y2(x) = y1(x)lnx+ xr(A1x+ A2x

2 + ...).

Caso 3. Ráızes diferenciando-se por um número inteiro: Uma base é

y1(x) = xr1(a0 + a1x+ a2x

2 + ...)

44

e

y2(x) = ky1(x)lnx+ xr2(A0 + A1x+ A2x

2 + ...),

onde as ráızes são assim escritas de modo que se obtenha um resultado nulo.

Demonstração. Caso 1. Ráızes distintas não diferindo por um inteiro Uma pri-

meira solução de (3.28) é da forma

y1(x) = xr1(a0 + a1x+ a2x

2 + ...)

e pode ser determinada como no método das séries de potências. Para uma demonstração

de que, nesse caso, a EDO (3.28) tem uma segunda solução independente, com a forma

y2(x) = xr2(A1x+ A2x

2 + ...),

pode-se consultar (Ince, 1956).

Caso 2. Raiz dupla A Eq. indicial (3.36) tem uma raiz dupla r se somente se

(b0 − 1)2 − 4c0 = 0, e com isso r =1

2(1− b0). Uma primeira solução

y1(x) =∞∑m=0

amxm+r = xr(a0 + a1x+ a2x

2 + ...), r =1

2(1− b0), (3.37)

pode ser determinado como no Caso 1. Será mostrada uma segunda solução independente

que é dado na forma

y2(x) = y1lnx+ xr(A1x+ A2x

2 + ...) (x > 0). (3.38)

Para isto, utilizando o método de redução de ordem 1, será determinado u(x) de forma

que y2(x) = u(x)y1(x) seja uma solução da Eq. (3.28). Inserindo essa expressão e as

derivadas

y′2 = u′y1 + uy

′1, y

′′2 = u

′′y1 + 2u′y′1 + uy

′′1

na EDO (3.30), obtém-se

x2(u′′y1 + 2u′y′1 + uy

′′1) + xb(u

′y1 + uy′1) + cuy1 = 0.

1O método de solução de ordem pode ser encontrado em (Boyce and DIPRIMA, 2010; Kreyzig, 2009)

45

Segue que,

u(x2y′′1 + xby′1 + cy1) + x

2u′′y1 + 2x2u′y′1 + xbu

′y1 = 0.

Como y1 é uma solução de (3.30), a soma dos termos envolvendo u vale zero, e essa

equação se reduz a

x2y1u′′ + 2x2y′1u

′ + xby1u′ = 0.

Dividindo por x2y1 e inserindo a série de potências para b em torno de 0, tem-se

u′′ +(

2y′1y1

+1

x

∞∑m=0

bmxm)u′ = 0

u′′ +(

2y′1y1

+b0x

+∞∑m=0

bm+1xm)u′ = 0. (3.39)

Agora, derivando a Eq. (3.37), obtém-se

y′1 = xr−1[r

∞∑m=0

amxm +

∞∑m=0

mamxm] = xr−1

∞∑m=0

(r +m)amxm.

Logo,

y′1y1

=xr−1[ra0 + (r + 1)a1x+ (r + 2)a2x

2 + ...]

xr[a0 + a1x+ a2x2 + ...](3.40)

=1

x

(ra0 + (r + 1)a1x+ (r + 2)a2x2 + ...a0 + a1x+ a2x2 + ...

)(3.41)

=1

x

[r(a0 + a1x+ a2x2 + ...)a0 + a1x+ a2x2 + ...

+a1x+ 2a2x

2 + ...

a0 + a1x+ a2x2 + ...

](3.42)

=1

x

[r +

a1x+ 2a2x2 + ...

a0 + a1x+ a2x2 + ...

](3.43)

=[ rx

+a1 + 2a2x+ ...

a0 + a1x+ a2x2 + ...

]. (3.44)

Portanto, pode-se escrever a Eq.(3.39) como

u′′ +(2r + b0

x+ 2

a1 + 2a2x+ ...

a0 + a1x+ a2x2 + ...+∞∑m=0

bm+1xm)u′ = 0 (3.45)

como r = (1− b0)/2, o termo (2r + b0)/x vale 1/x, e, dividindo por u′, tem-se então

u′′

u′= −

(1x

+ 2a1 + 2a2x+ ...

a0 + a1x+ a2x2 + ...+∞∑m=0

bm+1xm).

46

Por integração, obtém-se

lnu′ = −lnx−∫ (

2a1 + 2a2x+ ...

a0 + a1x+ a2x2 + ...+∞∑m=0

bm+1xm)dx. (3.46)

Então,

u′ = (1/x)e(I),

onde I =∫ (

2a1 + 2a2x+ ...

a0 + a1x+ a2x2 + ...+∑∞

m=0 bm+1xm)dx.

Expandindo a função exponencial em potências de x e integrando novamente,

nota-se que u é da forma

u = lnx+ k1x+ k2x2 + ...

Inserindo isso em y2 = uy1, obtém-se para y2 uma representação na forma da Eq. (3.38).

Caso 3. Ráızes diferindo por um inteiro. Escrevendo r1 = r e r2 = r − p,

onde p é um inteiro positivo. Pode-se determinar uma primeira solução

y1(x) = xr1(a0 + a1x+ a2x

2 + ...) (3.47)

como nos casos anteriores. Será mostrado que uma segunda solução independente tem a

forma

y2(x) = ky1(x)lnx+ xr2(A0 + A1x+ A2x

2 + ...), (3.48)

onde pode-se ter k 6= 0 ou k = 0. Como no Caso 2, fazendo y2 = uy1. Os primeiros passos

são literalmente os mesmos do Caso 2 e fornecem a equação, dada por

u′′ +(2r + b0

x+ 2

a1 + 2a2x+ ...

a0 + a1x+ a2x2 + ...+∞∑m=0

bm+1xm)u′ = 0. (3.49)

Agora, pela álgebra elementar, o coeficiente b0 − 1 de r em (3.36) é igual ao negativo da

soma das ráızes,

b0 − 1 = −(r1 + r2) = −(r + r − p) = −2r + p.

Dai,

2r + b0 = p+ 1.

47

Fazendo a substituição da relação anterior na Eq. (3.49), tem-se

u′′

u′= −

(p+ 1x

+ 2a1 + 2a2x+ ...

a0 + a1x+ a2x2 + ...+∞∑m=0

bm+1xm),

onde J = 2a1 + 2a2x+ ...

a0 + a1x+ a2x2 + ...+∑∞

m=0 bm+1xm. Os passos subsequentes são como no

caso 2. Integrando, encontra-se

lnu′ = −(p+ 1)lnx+∫Jdx.

Assim,

u′ = x−(p+1)e(∫Jdx).

Expandindo a função exponencial, obtém-se uma série da forma

u′ =1

xp+1+k1xp

+ ...+kp−1x2

+kpx

+ kp+1 + ...

Integrando mais uma vez. Escrevendo primeiro o termo logaŕıtmico resultante, tem-se

u = kplnx+ (−1

pxp− ...− kp−1

x+ kp+1x+ ...).

Logo, de (3.47), tem-se para y2 = uy1 a fórmula

y2 = kpy1lnx+ xr1−p(−1

p− ...− kp−1xp−1 + ...)(a0 + a1x+ ...).

Mas essa equação possui a forma da Eq. (3.48) com k = kp, visto que r1 − p = r2 e o

produto das duas séries envolve somente potências inteiras não-negativas de x.

Exemplo 3.2. Dada a EDO

(x2 − x)y′′ − gxy′ + y = 0. (3.50)

Inserindo a Eq. 3.37 e suas derivadas na Eq. (3.50), obtém-se

(x2 − x)∞∑m=0

(m+ r)(m+ r − 1)amxm+r−2 − x∞∑m=0

(m+ r)amxm+r−1 +

∞∑m=0

amxm+r = 0.

Agora, simplificando a expressão e agrupando todos os termos de potência de xm+r, tem-se

∞∑m=0

[(m+ r)(m+ r − 1)− (m+ r) + 1]amxm+r −∞∑m=0

(m+ r)(m+ r − 1)amxm+r−1 = 0.

48

Dáı,

∞∑m=0

(m+ r − 1)2amxm+ r −∞∑m=0

(m+ r)(m+ r − 1)amxm+ r − 1 = 0.

Fazendo na primeira série m = s e na segunda m = s+ 1, logo, s = m− 1. Então∞∑s=0

(s+ r − 1)2asxs+r −∞∑

s=−1

(s+ r + 1)(s+ r)as+1xs+r = 0. (3.51)

A menor potência é xr−1, fazendo s = −1 na segunda série que fornece a equação indicial

r(r − 1) = 0.

As ráızes são r1 = 1 e r2 = 0. Elas se diferem por um número inteiro. Assim, pode-se

usar os resultados do caso 3. Da Eq. (3.51), com r = r1 = 1, tem-se

∞∑s=0

[s2as − (s+ 2)(s+ 1)as+1]xs+1 = 0. (3.52)

Isso resulta na seguinte equação

as+1 =s2

(s+ 2)(s+ 1)as.

Logo, a1 = 0, a2 = 0, .... Fazendo a0 = 1, tem-se como primeira solução y1 = xr1a0 = x.

Aplicando a redução de ordem, tem-se

y2 = y1u = xu.

Derivando a equação acima, encontra-se

y′2 = xu′ + u

e

y′′2 = xu′′ + 2u′.

Substituindo essas equações na EDO (3.50), obtém-se

(x2 − x)(xu′′ + 2u′)− x(xu′ + u) + xu = 0,

49

dai,

x3u′′ + 2x2u′ − x2u′′ − 2xu′ − x2u′ − xu+ xu = 0,

dividindo por x e simplificando, resulta em

(x2 − x)u′′ + (x− 2)u′ = 0,

Disso, usando frações parciais 2 e integrando, tomando como zero a constante de inte-

gração, obtém-se

u′′

u′= − x− 2

x2 − 2= −2

x+

1

1− x, lnu′ = ln

∣∣∣x− 1x2

∣∣∣.Passando para a forma exponencial e integrando, tomando como zero a constante de

integração, obtém-se

u′ =x− 1x2

=1

x− 1x2, u = lnx+

1

x, y2 = xu = xlnx+ 1,

y1 e y2 são linearmente independentes e y2 tem um termo logaŕıtmico. Logo, y1 e y2

constituem uma base de soluções para todo x positivo.

2O método das frações parciais pode ser encontrado em (Guidorizzi, 2000)

50

Conclusão

Desde o advento do Cálculo Diferencial e Integral, o estudo de EDOs tem sido

fonte de pesquisa tanto para matemáticos, f́ısicos e engenheiros. Além disso, inúmeros

modelos matemáticos baseados em EDOs e métodos de soluções foram propostos ao longo

do tempo. Este trabalho dedicou-se ao estudo de alguns tópicos de equações diferenci-

ais ordinárias que não são abordados no curso básico de Cálculo Diferencial e Integral.

Precisamente, foi estudado o Teorema da Existência e Unicidade, o método das séries

de potências e o método de Frobenius. Em termos práticos, estudou-se a solução da

Equação Loǵıstica Cont́ınua que foi aplicada para a solução do problema da propagação

da podridão em maçãs.

Com o desenvolvimento do trabalho foi posśıvel notar que tendo garantia da

existência da solução de uma EDO pelo Teorema da Existência e Unicidade, nem sempre

é posśıvel obter a solução na forma expĺıcita usando as técnicas estudadas no curso básico

de Cálculo Diferencial e Integral. Mostrando a grande importância do estudo do método

das séries de potências, equação de Lengendre e o Método de Frobenius, pois através

de tais aplicações são posśıveis encontrar as soluções de PVIs que descrevem diversas

situações do cotidiano.

Pretende-se estudar outros métodos para solução de EDOs. Em particular, estu-

dar o método numérico de diferenças finitas para solução de problemas na Engenharia tal

como o problema da Viga de Euler. Ainda, será estudado com mais detalhes a teoria das

séries de funções e suas aplicações em EDOs.

51

Referências Bibliográficas

R. C. Bassanezi. Modelagem matemática: teoria e prática. São Paulo: Contexto, 2015.

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https://brasilescola.uol.com.br/biografia/ferdinand-georg-frobenius.htm Acesso: 06 de janeiro 2019https://brasilescola.uol.com.br/biografia/ferdinand-georg-frobenius.htm Acesso: 06 de janeiro 2019

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D. G. Zill. Equações diferenciais: com aplicações em modelagem. São Paulo: Cengage

Learning, 2 edition, 2011.

53

IntroduçãoConceitos BásicosSequências e Séries InfinitasSequênciasSérie InfinitaSérie de PotênciaOperações em Séries de Potências

Equação Diferencial OrdináriaEquações DiferenciaisSoluções de EDOsProblema de Valor InicialExistência e UnicidadeEquação Logística ContínuaPropagação da Podridão em Maçãs

Soluções para EDOs por SérieMétodo das Séries de Potências para Solução de EDOA Ideia do Método das Séries de Potências

Classificação de pontos singulares de equações lineares homogêneasPontos ordinários e singularPonto Singular Regular e IrregularExistência de Soluções das EDOs em Séries de Potências

Equação de Legendre e Polinômios de LegendrePolinômios de Legendre

Método de Frobenius

Conclusão

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TOPICOS DE EQUAC˘ OES DIFERENCIAIS~ ORDINARIAS · 2019. 10. 9. · TOPICOS DE EQUAC˘ OES DIFERENCIAIS~ ORDINARIAS PAULLA BORGES AVILA DA SILVA Trabalho de Conclusao~ de Curso apresentado