Topicos de Informatica_Unip 2013

7/28/2019 Topicos de Informatica_Unip 2013

1/48

i!" . " ~ . = - - > - ." "" "" m "_ . " ~ - - - - - - - - - _ _ .I.J ..'.. :;.\SOdOld SOPplaX3 - SOp!f\IOsatj SOPPJaX3 - epOal

-

~ - " " " - - a . ".;-r."W " ,.._~.p".

)~."'i\NHO:lNI30 SOJ ldOl. III I,.I


2/48

"

.'\

p ic o s d eI n fo rm t i c a

TeoriaExerccios ResolvidosExerccios PropostosTarefas

Mirtes Vitria MarianoChristiane Mazur LauricellaAlexandre Daliberto Frugal!


3/48

-"._-.- ..-_ ..-.--._._._----_. y

NDICECAPTULO 1: EXPRESSES NUMRICAS1, Clculos algbricos2, Operadores aritmticos3, Planilhas, clulas e frmulas4, Funes matemticasTarefa 1: Expresses Numricas

111235

CAPTULO 2: FRMULAS E APLICAES1, Frmulas e AplicaesTarefa 2: Frmulas e Aplicaes9915

CAPTULO 3: MATRIZES1. Definio2. Soma de matrizes3. Multiplicao de um escalar por uma matriz4. Multiplicao de matrizesTarefa 3: Matrizes

232323262933

CAPTULO 4: FUNES1. Definio2. Representaes de uma funo3. Assistente de grficoTarefa 4: Funes

3737373847

CAPTULO 5: FUNO DO 1GRAU1. Equao e grfico2. Retas que "passam pela origem"3. Retas paralelas4. ExemplosTarefa 5: Funo do 1 grau

535353565767

I'"

CAPTULO 6: FUNO DO 2 GRAU 751. Equao e grfico 752. Razes da funo do 2 grau 763. Vrtice da parbola 774. Clculos das razes e do vrtice com "frmulas eletrnicas" 785. Construo de grficos de parbolas 816. Funes do tipo y=a,x2 84Tarefa 6: Funo do 2Q grau 87


4/48

e

CAPTULO 7: FUNES SENO E COSSENO1. Circunferncia Trigonomtrica2.Grfico dafuno y-cosx3.Grfico dafuno y=senx4. Variaes na amplitude5, Variaes noperodo6. Tabela deexemplosTarefa 7: Seno e cosseno

939397103109110113115

CAPTULO 8: FUNO EXPONENCIAL1, Funo exponencial de base a2. Funo exponencial de base eTarefa 8:Funes diversas

12 312312513 1

CAPTULO 1: EXPRESSES NUMRICAS1.Clculos algbricos.Diariamente "fazemos contas": calculamos o troco quar:passagem de nibus, estimamos nossos gastos mensais,tentaupouco a cadams...Podemos fazer "clculos simples", como 7.10=70, ou resolvernumricas, como 21.{5.cos(n/6)+47].(5/11-2/3]+2/5} 1\1" ,, '.devemos respeitar as operaes (somar, subtrair, elevar u ,, ', I[ ideterminado expoente etc) e os parnteses, colchetes e chavesDependendo das operaes algbricas, precisamos de lI'r1d "iiJUcalcular ou at mesmo um computador para auxiliar nas "contastambm utilizar os recursos de uma planilha eletrnica para ,;-("algbricos, resolver equaes, operar com matrizes, reCO'Ho'numricas e apresentar grficos.2.Operadores aritmticos.Os principais operadores algbricos soos citados noquadro ''>) , .

Operador Algbrico Smbolo1ADIAO + .SUBTRAAO -

MULTIPLlCAAO * IDIVISAO /

EXPONENC IAAO 1\

.J _


5/48

Os "nveis" de prioridade da execuo das operaes algbricas so: Prioridade 1 - Exponenciao. Prioridade 2 - Multiplicao e Diviso. Prioridade 3 - Adio e Subtrao.

Os clculos so realizados segundo os nveis de prioridade listados mas, como uso de parnteses, voc pode estabelecer uma "nova" prioridade de clculo.

3. Planilhas, clulas e frmulas.O "ambiente" no qual resolveremos as expresses numricas (no Excel) aplanilha eletrnica, composta por 16.777.216 clulas, dispostas em 65.536linhas e 256 colunas. Cada clula identificada pelo seu "endereo" (por umacoluna e uma unha). Na figura 1.1 est identificada com "X" a clula deendereo A1.

.. :. . ~ " . . : I ' i L _ A _ ~.~~._ :'.. '{::": " ', '" ~ - ~ - 1F ig. 1.1: Identificao da clula de endereo A1.

Para calcular o resultado de uma expresso numrica, voc deve inserir uma"frmula" na clula. A digitao de uma frmula deve iniciar com o sinal deigual (=). Por exemplo, para exibir o resultado da expresso 53+2.1'3_8.(4/5-6/7)na clula A1 voc deve digitar a seguinte frmula: A1=5"3+2*7"-3-8*(4/5-6/7),conforme ilustrado na figura 1.2.

=5'" 3+Z7A -3-8>\'(415-:6/7)Fig. 1.2: Exemplo de frmula inserida na clula A1.

2

.~

Ao acionar a tecla "enter", o resultado exibido em A1 ser 125,46. Caso vocno introduza a "frmula" com o sinal de igual, a informao na clula serconsiderada "apenas texto". Ou seja, sem o sinal de igual na "frente" de5"3+2*7"-3-8*(4/5-6/7), ao teclar "enter" no aparecer o resultado 125,46. Natabela a seguir, encontram-se algumas expresses numricas e as respectivasfrmulas.

Expresso Numrica Frmula2[30. (1/6-10)-4] =2* ((3"5)* (1/6-10)-4"3)2.[3.1/6-(10-4J)] =2* ((3"5)*(1/6)-(10-4"3))2.[3o.\lIb.l0)_4J =2*(3"(5*( 1/6-10) )-4"3)13+52 =3"(1/2)+5"2)3+52 =(3+5A2) A( 1/2)

13-V3 =3A(1/2)-3A(1/4)2/Vt1 +2/5 =2/(4"(5/3))+2/5)125-V 2 =(125-2"(1/3))"(1/2)n/,;; mLembre que: '[a'" = a/li, .c: 31 ?G li~23=2/4 e.J3=~31=y2 r:

4. Funes matemticas.

Algumas das funes que sero estudas esto sumarizadas na tabela abaixo.Funo SintaxeCosseno COS(argumento)"-eno SEN(argumento) . .-Exponencial de base e - , EXP(argumento)Logaritmo neperiano LN(argumento)

3


6/48

J Comentrio: o argumento pode ser um nmero ou uma referncia a umaclula ( qual esteja atribudo valor numrico). No caso das funestrigonomtricas, o argumento um ngulo em radianos.

Para calcularmos o valor da expresso 5.{7.cos(n/3)+27].[ 1/3-4/5]+ 12/7}utilizando recursos do Excel, podemos inserir, na clula A31, a frmula=S*((7*COS(PI()/3)+2f17)*(1/3-4/S)+12/7), conforme ilustrado na figura 1.3.

~~OMA " , ..... ":": . iX ;'~;";- ';;S*((Y 'COS(P10/3)+2A7)*(1/3-4/5}+12J7 )1 ::\ ,;:/ ; / v-.~~EXP.esSO.um#iea: \-~T-_f

1...01 . I ,- - . - - - - . - - - - - - - - t - - - - - - - - - - - - T - . ,I: - 3 1 : 1 =5' ((reoS ( P I(ti 3 )+2"7)'( 1 / 3 - 4 / 5 ) + 2 m [ ~ : ~ : ~ = ~ : ~ ~ \ : = = : ~ = - - - ~ : - : ] : - : . ~ - :32 I I

_ ' . _ , . 0 _ o _ 0 I .... 0 _ .1 o . 1

Fig. 1.3: Exemplo de expresso numrica no Excel.Acionando a tecla "enter", exibe-se o resultado da expresso, ou seja, -298,26.

Comentrios:e Lembrar de tntroduzlr as frmulas em clulas com o sinal de igual;

Usar apenas parnteses (no usar chaves ou colchetes);A funo que "retorna o valor de '/tu no Excel P IO

O "significado" da funo cosseno ser discutido no captulo 7.

f\la tabela a seguir, esto expostas algumas expresses numricas e asfrmulas a serem digitadas em clulas do Excel para a sua execuo.

~ Expresso Numrica Frmula no ExcelI-~ =2*(SEN(3115-4f13))2.sen(3 -4 ) .-5.e3 =S*EXP(3)2.[3.(1/0-1)_ln5] =2*(311(5*( 1/6-1 O))-LN(5))- - . ~ - ~ . ....~... ,."....


7/48

!~1. hP",or _W~~~; .1~wr. Jj!.7 - ! !r .n7!~ .: "~ " . L' Z!! l=;! . 11~It ~r~Z.-{"!.~,:,~!"~l~~~qiJ'" 7~~!;.}~~r; .~o.~~n~-;. ",,:;PJYt:: r. :;;i~ 2, Completar a tabela a seguir com as frmulas a serem inseridas em clulas,i de uma planilha eletrnica.,Ii . , : u[ :!tIr: j; JHI~r l(;:,i"

Expresso Numrica IIFrmula~a) 6 -8-1/3

',11 b)~c) 5,35_62d) 5.(35-62)e) 5,(35.62)+12/32f) 5.(35-f}+ 12/('.2)g) - !5h) J . f i 2i) ~h2-1-j) ifi2-1k) 8+sen(3,1t)

~t~

r) .J 7 _e2

r: I) 8+sen(3.1t+ 1t/2)/,i".-'f;c:'"L :

m) (1+518).[5 .2 .(2-215)] I - - _u ========111n) (2+7/8)3,[S4_2a(2-1/4l]~ o ) 27 /8 - [53. (2~2 /5 ) j:Cos (1 tJ2 ) 1 1 1 ~ 1 ~===~=====~

p) 3-S.~S" -12 Iq) )125- . J 0 .

,/'}"

~'~

- - - - - ~ - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - _ . . .- ....~~~? ):5G"~b~4~~~~,qL:.m~m;:,%1>:" '.z :3i,.jL ~ ~L III~;1! i

. . rll U !j ..~ :; 1, l i~: ' . ~ ', . r I!-i(1\1M ' .

z) 1/5-(1/6) ,ln2+3

~~'j~'nx) In7-cos(ln5)y) 1/5-1/(6.ln2-4)+3 li ;~ij;~:~

3, Elabore uma tabela que sumarize os operadores e as funes estudadas, ~': : . ~com seus respectivos "smbolos". J

j : ,

Operador/Funo Smbolo .~-\_~~~! '.- !'j , >\ j

f 1H,'::J;~,I~~~~~)fin~~~~~! ll~':ri11;,1n~ ~ >;.L' " Z~ ,o.. : :: .t,,, :" :_:~O :,~ ..";_~O: ' .: ~ : :~.i , ;


8/48

~~Th~~~.::::::!::~:!:~~:~~~~~:~~~!!!!:~!=:~!~~:!!!~!:::~!!~~~:!::!!l~.riil I:; I1II l'~ I'1 i \ri t> I !:i f!i~l~ !

l '~ '"l ;li~r j~1~\ 1P.

"

I:~. j:i~

L-

"l)'

~'\: 1l ' l; .1

'1:~'i: :1

. .CAPTULO 2: FRMULAS E APLICAES

1. Frmulas e Aplicaes.

APLICAO 1. Dado o valor do lado de um quadrado (em Gl! , isua rea (em em").A rea de um quadrado calculada pelo valor do ladoquadrado. Podemos utilizar o formato de planilha ilustrado na

; ; ; 0 ' > : ,' i; \~~: .~~}; ~~{!~: t\; -0 :~:~~;! ii ; A ~;~~~:~,:; l: : ; A * i ~!~.!;!R :~.i;: ; 'fl~>/(;;:r L : :~ .>:~19;; I _ _ ._ +I:: : ;A R : I ? A ;e i, \ i!M ;{- \:. I A [ j J : ~ DO ;; ~. - - 1 -I I~ J i i ; o - l a dO do. qua{]r;d - (e~'! :! . .!=.! !1il L': :23 ,~ L-.....lm i.; rea do~~;;:d;;~Te~-'~~n~2):~~:'----J:

Fig. 2.1: rea de um quadrado.Procedimento: Atribuir valor clula 822 (que representa o lado do qUrl.0i'e:,

exemplo, 20 em.-Inserir a frmula =B22"2 em B24 (vide figura 2.2). Acionar a tecla "enter" para visualizar o resultado da rea ,: i ' J- w - P - . ' , " , ' . A _. . 1 . B li

2glREAOEUMQUADRADO i.;2 1 : I22Tg-il~-~~~_ ~!Lo -'~~~~~J ~~;~~~il0 l .~. i',.24 ' r~; -d'~~d;;d~- (~;;; -~;;~;2)~ .-- ._. . =822"2_ ._ _ .. _ . . . . .. . w

Fig. 2.2: Frmula para clculo da rea de um quadrado

Observe que a "entrada de dado" o valor atribudo cluucaso, 20 em) e a "sada de dado" o valor calculado pela t rr m uem B24 (no caso, 400 crrr). Se alterarmos o nmero associaoteremos a respectiva mudana no resultado exibido em 824.

9

;~. .


9/48

APLICAO 2. Oados os valores do raio (em cm) e da altura (em cm) deum cilindro, calcule a rea lateral do mesmo (em em").A rea lateral de um cilindro calculada pela "multiplicao" entre o valordo raio, o valor da altura e o "fator" 2.1t (ou seja, o produto do permetroda base pela altura do cilindro). Lembre que o "n do Excel" dado pela"funo" PIO. Podemos utilizar o formato de planilha da figura 2.3.

" , "C'A'Y .cr2i~,i'B< ..~2~ 1:'29 A.REALATERALDEUMCILNnRO[:==~~~_i~~30 : I I .~=-"---------,, "--f:~-.31. Digite o raio docilindro (emem):~ ._----_.'--------_ .._--"._ _ ._- . .3Z 1~=~~:~~~~::~~~~,

Fig. 2.3: rea lateral de um cilindro.

:- .-:. '. ',

.)~

Procedimento: Atribuir valor clula 831 (que representa o raio do cilindro), porexemplo, 15 em.

Atribuir valor clula 833 (que representa a altura do cilindro), porexemplo, 12 em.

Inserir a frmula =2*PIO*B31*B33 em B35 (vide figura 2.4), Acionar a tecla "enter' para visualizar o resultado da rea lateral do

cilindro (o resultado ser 1130,97 cm2).;r "'A r R' \:i~AREALATERAL D E U M CILlNDRO[~=-~_=~_=~==~~!"30' ! iI . , ~ ~ ' ,~~=~~~~~~f~~~~=~i~~~~:~~:~~~~21 .C ~~~.F =-5 ~:3: r Digite a altura do cilindro (emem)~ =121"34 --------------'---""------1 -----,-1$,A7~~I~;~~~OCiii~dr~(;;;~~- :; - 2) :" " '2*P I()'B 31"833-----_._-----'_._-"----._--"--,-----,,,,------ Y'Fig. 2.4: Clculo darea lateral de um cilindro. i~

10

L

APLICAO 3. Oado o valor de um ngulo (em graus), calcular o seu~cosseno.

Podemos utilizar o formato de planilha da figura 2.5.~~"",~lili~


10/48

Comentrio:A funo "SE" utilizada na frmula em 859 estabelece uma' CONDi;para que a diviso dos dois nmeros seja efetuada: se o dcno: '''i'.; .(valor atribudo a 851) for zero, "aparecer" texto "Impossvel ,il.;':zero", seno ser feita a diviso., Observar o uso dos parn;r


11/48

'1':'r="'~"," .~:::':~;~:!:~~~!: ::! .:!!.~~;:::~::~:!: :!: !~~!:~;~~!~:~~ : : ;Tarefa 2: Formulas e Apllcaoes. . : ; ; . t, iI N ~ m e , ji~Numero: ITurma: :;' i~ ~ ;~ 1 !~1. Dados trs nmeros, desejamos calcular a sua soma e a sua mdia : i t; ' ;1:. 1 : . (;; ~;arit~tica. Para tanto, considere a s ituao proposta no trecho de planilha ::l ~jilustt ado a seguir. H i'i!;

r~~r~.


12/48

.I~~1 : ,:~~~l!..r,~...r& .!:?~~~l:t .wa.ht t 3.r.. .~~ i:::! : ",,1"":tl!:O~..~._~;.;..r..?-;).- ".~ ': ; '. ': ." '"r:;' 1 ,'; ;', . :: .:"3. Considere a situao proposta no trecho de planilha ilustrado a S' ,! ,:'!

; :;{i ~ ~

Soma dos quadrados: .. _Quadrado da soma:Soma dos Inversos: --------.------Inverso da soma:

Sendo atribudos valores clula B5, C5 e 05, escreva as frmulas aserem inseridas nas clulas B6, B7, 88 e 89. Simule os resultados para osnmeros 1, 2 e 3.

r ; }l f!

S eno do ngulo digitado:

___ -_-----r-i-----i-I

~~Ij~

?~~'{.~)~

I I~~;;~;_~~

Sendo atribudo umvalor clula B65, escreva a frmula a ser in~c:-";:clula 867.

1_l~~

.::~~~:!;:::r.,:;_;.,,.;-~;',~::;:,.-:..::.:".


13/48

;;;'fit~)~d:~~:!~:~~!:~::::~!!::!~?!~:':::~!:!~":!~~!::~~~~~~!~:!:~:~!:~!!:~'; ; : J , 4. Considere a situao proposta no trecho de planilha ilustrado a seguir,'- " " .;. /~

',.~

:~"., ,, , : !: : J . ;i'.:~.~.~~l~~' ,; ;

7~,::+",~;;~:::{,t;;;t:i~A~,?;;!2:;':V>i~~!f~t~:;;:;;;pl~(~S tf.f&!;~f}~;\*~Hf;'} .:'.''~

f i

. 71 .1 READE~MRE:;rAN:Gjj'(}~r!~-------------~"-

t I !

,,,,I,I,I i,II,,III: 1 1, fI,,, .: [ I 'I t" .,1 1, ~

,'72--- I73DigE_~~~~~~~-d_~t~~~uloem ~- ;- " J :- - - C :: I

174 C : I----------.----------.----------------.__:J -.75. Digite outro lado doretngulo (em em):]6 ------ ------------1 I--I-77~19:-!~~~~~~~~==~~~=J :::: r ,

Sendo atribudos valores s clulas 873 e 875, escreva a frmula a serinserida na clula 877,

i,-

1 ,, :-

~.I! :~.

~~

i l ':'a ; : :

; . ~~}~~.::,-;i;:(:;;;~~~;;,:;,;;;;,,~y?,;~;;~~;;;:y;,;;:;~;i;,;;;;;~;.,~

, ~ : ;. . '_"a ~'W ;!t : ! : E: . l7 ,1 .a4< ~ 71 i. ~": 1u,.atc/ : !!if!:..~~.!4:! ~~"/:\:; l.,,; _,~:;;;;; !~_... t .~li:. ..~.!"r!) ." ,.: ._: ;.~ ! :t J , ..~ ! !~lI ! :(. '_ ,~ :, ,-: ._ :_' .'". ;.'.i>~ ,,:.'. ;.,;.~~ :; ,~. :;;:- _~ ,:;.,. ,5, Considere a situaoproposta no trecho de planilha ilustrado a seguir.~~f ;, ! i3' ; '; " ){ ::: r , " ;~t?. i i (~ f,! ~g ,W A [; : ;j \~'!i f; ! ; \ ' $ i f !. " ; I

)7.d~f:~W}W ri: :\:


14/48

W i : i~ v~ ~ ~ '~~ ~ ~ ~~R~~$Z i1~ ~ ~~15 i ~~ iw.J.~~ t~ m~ j~~ j fr~~1~ ~ t~ ~ ii~tIm~~ti~~~~~l~R~!~$~]~~~Wtfi~~~;~~t~t~t1}Ji&~i~~r~~I""'~~~ll f, , " , ,w '6 '.'"C '~~;i d '~7 ; "


15/48

L

~f) [~~~~~!~!~!~: ; ,~!: :~~!:~:~: !~~:::~!: ! : ! ! ! ! ;~!! !~~::! : : !=:: : : : : !: : :~: :~: :@i~

- , i : . :..~~~- - ,- ,

-::j -. '."< ; '11

-

., " !~~i~

--," .. !," .~

"j::~

> ~ d: : J : :

- .:

tiI

1 1.

- '< ' ; :}~.:3 1 '~;

,; ,,~r

CAPTULO 3: MATRIZESi,Definio.Uma matriz de ordem mxn (l-se "m" por "n") uma tabela de nmerosreais dispostos emm linhas e n colunas, Cada nmero umelemento damatriz e identificado pela sua posio (linha e coluna), Exemplo: MatrizAdeordem 3x2 (3 linhas e 2colunas):

A=[_3412 ~Lo elemento daprimeira linha eda primeira coluna da matriz A o nmero3, e assimpor diante,

De modo geral, uma matriz A "qualquer" de ordem rnxn pode serrepresentadapor:

a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33A=

am1 am2 am3

a1na2na3n

amxn mxnUmelemento qualquer da matriz A indicado por aij com i=1,2,3 ,_ ..m ei=1 ,2,3, ... ,n. O ndice i indica a linha em que o elemento est situado e ondicej indica a coluna que o elemento est situado.2.Soma dematrizes.

A soma de duas matrizes A e B somente ser possvel se A e B forem demesmaordem. Se A e B somatrizes de 'ordem mxn, entoC=A+B uma

23


16/48

matriz de ordem mxn, onde cada elemento da matriz C=A+B a soma doselementos correspondentes de A e B. Ou seja: C = A +B < = > C Ij = ali+bl] .Exemplo: Considere as seguintes matrizes:

4 J:..1O e B=(~5-2 - t ~- 3A= ~A soma das matrizes A e B :

(-3) +7

A+B= 6+(-5)2+(-2)4 + < - 6 ) J ( 4(-1) -I - 1 = = 10+8 O - i J

Utilizando recursos da planilha eletrnica, o procedimento :e digitar os elementos das matrizes A e B, por exemplo, nas clulas 02,

E2, 03, E3, 04, E4, H2, 12,H3, 13,H4 e 14(figura 3.1);o introduzir a frmula =02+H2 na clula 06 (figura 3.2); copiar a frmula em 06 para E6, D7, E7, 08 e E8 (figura 3.3).

Fig. 3.1: Oigitao dos elementos das matrizes A e B.

24

"1,B= . "]"oI

Fig. 3.2: Insero de frmula em 06.

- ,.(11-, :8

Fig. 3.3: "Cpia" da frmula em 06 para E6, 07, E7, De (~b'

Quando "copiamos" da frmula em 06 para E6, 07, E7, D8 e l:';:_"atualizao" dos endereos de clulas no deslocamento ci(:"para a direita e para baixo". A figura 3.4 mostra os resultado:correspondentes aos elementos da matriz C.

Fig. 3.4: Matriz C=A+8.

25

.JIi.

-G;1i3, o ----i..

;


17/48

3.Multiplicao de um escalar por uma ma t r i z .Dada uma matriz A de ordem mxn, e um escalar a (nmero real), oselementos da matriz B=a.A so obtidos pelo produto do nmero a peloscorrespondentes elementos da matriz A. Considere a matriz

[- 10

A= 62 ~3J eo nmero a3A matriz B=a.A=3.A :

[3.(-10)

B=3.A= 3.63.23.5 J ( - 3 0.(-3) = 183.7 6

15 J-921

Utilizando os recursos da planilha eletrnica, o procedimento : digitar os elementos damatriz A, por exemplo, nas clulas 09, E9, 010,E10, 011, E11e o escalar a naclula H1O(figura3.5);

introduzir a frmula =$H$1009 naclula 013 (figura 3.6);copiar a frmula em013 para E13, 014, E14, [115e E15(figura 3.7).

I '; : f C A = 1 5 ;. ' 1 ~ ; ; ~ - ~ - ~ - r 'G J 3 '17 F.: ~ : : ;.- - - - - = = = " 2" I . . T ' 1 - ~ - - - ~ F = = = - - - - 1 - - - r JFig. 3.5: Elementos damatriz A e escalar a.

26

=-~~~:=~,~r~l- - - - - - j ' . . . . .- - . . . . - '''''''-- '1-; < ; . , . " r - ~ = : " : ~ = ~ ~ : = = ~ ~ : ~ ~ ~ ~ I = 'Fig. 3.6: Insero defrmula em013.

SF J K-----A; .

i i ,~ Z " : :li~l;*~~ri~.~ : = = : : ~ ~ t~ 15 "'$r.l$:1'O*fD1'.1";'"'-'-'$13I$t0*E:lj'; IJE=-~-=--"'='~~l.~~~~- - - = ~ ~ = ~ _. = ~ _ ~ ~ - = ~ L = : =Fig.3.7:"Cpia" da frmula em013 para E13, D14, E14, D15e E15.

Quando "copiamos" a frmula em013 para E13, 014, E14, 015 e E15,ocorre uma "atualizao" dos endereos de clulas no deslocamento deposies "para a direita e para baixo", com exceo da referncia clulaH'10, pois utilizamos o recurso do "cifro" para a fixarmos. A figura 3.8mostraos resultados numricos (elementos da matriz B).t~ f t , " r : " i C ~ ; i! ; : ; 'I ; ~ ; R ~ i1 t; , i i : ~

Fig. 3.8: Matriz B=a.A.27

;j..


18/48

1:'_ '~"Y O .d" "'"" '."",, , _ ~.,~~,,,~,,~-~" ._ - -- -- ,-- . ..

Podemos efetuar a soma de produtos de matrizes por escalares. Paraexemplificar esta operao, considere as matrizes D e E a seguir:

[-3 1.J '5 -]0= 2 O e [

-2E= -5

- 2- ~ 6 1

A matriz F=2.0-5.E :

(2.(-3)-5.(-2)

F=2.0-5.E= 2.(5)-5.(-5)2.2-5.(-2)2.1-5.(-6)J [42.(-1)-5.1 == 352.0-5.8 14

32 J7-40

Utilizando os recursos da planilha eletrnica, o procedimento : digitar os elementos das matrizes O e E, por exemplo, nas clulas 019,E19, 020, E20, 021, E21, H19, 119,H20, 120,H21 e 121(figura 3.9);

introduzir a frmula =2*D19-5'H 19 naclula 023 (figura 3.10);tO copiar a frmula em023 paraE23, 024, E24, 025 e E25(figura 3.11).

~(i :1,l\ i;i ~cq;% j (Y lf! IW f~f J; \~:l;'j)i,;% (~~ '!i~~,i;\:t)@1? ;'i(:EI

Fig. 3.9: Oigitaodos elementos das matrizes O e E.

;'2t'!220'23 ,': Z i\ i ; ; \ F=2.D-5.E=/25;---Fig. 3.10: Insero de frmula em023.

28

~ r ~ ' O 'o, H : : " " :

________ .__ ~2.r E=;" 5 , :, = = = r = = = '~l= - - = - I - - = = - ~ = ~ =. . . ..~-----'''I'''''---''--'s i , _

!

Fig. 3.11: "Cpia" dafrmula em023 para E23, 024, E24, D2'Quando "copiamos" a frmula em 023 para E23, 024, E24, D~.ocorre uma "atualizao" dos endereos de clulas no deslocarre:posies "para a direita e para baixo". A figura 3.12 mostra os i'(::>UI:",-numricos correspondentes aos elementos damatriz F.

c '. F IG I Hl, ~~__-3 1 I -25.:' -1 = : = : C = ' I ~ . -5-2 " : 0 0 o. . ",O .::. - - - - - .- 1- - - .. . -2! ,= = J ~ ~ ~ ' : ~ ~ ~ f ~ ~ ~ : ~

,_ - ' - - - _ - ' - ._ . - =r= i-'--'--Fig.3.12: Matriz F=2.0-5.E.

:~1a :19;f}' .- - --- -. -- -- - -.I'1: ---- --- .. .---22'i~~~~fZ . !264. Mul tip li cao de matri zes.o produto da matriz A de ordem mxn pela matriz B de ordemmatriz C=A.B de ordem mxp. Em outras palavras: o produto das 1",1(11,A e B somente ser possvelse o nmero de colunas da matriz i\ ,c ;; '.

29

!~


19/48

."~"' ~'~~~~ ' : w ; c : "ao nmero de linhas da matriz B, Os elementos da matriz C so dados ]5


20/48

Ii~1,. dr,~~I~Ii~'1 1Ij

32

~~~~t .~ .&i'VX"~.a;&::7.~s:;r.!:;~.r:~:;-:U~~~~ .T.~:;I"....t~;:~~r.a~~%z


21/48

?; } 1I I~':1 \1;tl ~;~ " '1 '1

j" Ir~~::.!:::~!:::~~:~~:!~;:!!~5.~~~::::=!:~:!~:~~::~!:~:!~~:~~::::!~r'; J ~ ~t I 4 i ; ~ ~ 1. .v ;f ~ , ~n . ~ [t j ~ : , if ~ 1 'I* ;1 JI'hj I !~lj~,I. l~i; j

: '1;: [ 11'iI I

CAPITULO 4: FUNES1.Definio.Funo: lei ou "regra" que relaciona a cada elemento de um 'c,. j'.' .partida" (denominado de domnio da funo) um nico elemour."conjunto de chegada" (denominado de imagem da funo).considere a seguinte "regra": escolha um nmero, multipiiquf'"some 3e observe o resultado. Caso voc escolha o nmero i.,);:.;;ser 38, pois 7.5+3=38.

2. Representaes de uma funo.As funes podem ser representadas por:

Tabelas, Equaes. Grficos.

Considere o exemplo anterior e sua representao por tabela, ':'.;grfico.Tabela:

"Partida" "Chegada"-1 -2O 31 82 133 18

Equao:Inicialmente, devemos pensar em smbolos para representar', '.,I',!de partida" (domnio) e o "conjunto de chegada" (imagem). t:n ,...

37


22/48

I :I x: smbolo que representa os elementos do domnio da funo. No caso, xpode assumir o valor de qualquer nmero real.y: smbolo que representa os elementos da imagem da funo. No caso, ypode assumir o valor de qualquer nmero real.A equao relacionada com a "regra" do exemplo em estudo : y :: 5.x + 3Grfico:O grfico da funo y ==5.x +3 a reta ilustrada na figura 4.1.

Fig. 4.1: Grfico de y=5.x+3.3. Assistente de grfico.

A planilha eletrnica do Excel possui vrias ferramentas grficas, incluindotipos de grficos padronizados e personalizados.As confeces de grficos com o auxlio do Excel so simples, por meioda guia "inserir" destacada na figura 4.2.

38

'~ r ~ > ':' ~

~~" .;: , '

.~.fb".

Fig. 4.2: Guia "inserir" do Excel.

o tipo de grfico mas utilizado nesta fase de estudos ser "disperso",incluindo os subtipos padres mostrados na figura 4.3.

.. _ _ -_ ..~_ .. _ . ---'.-.- ..-..- _ "..- _ _ -... '._--:-- _ -- - .. _ . - _ .._ '.

Fig. 4.3: Grficos do tipo "disperso".

:~

Para exemplificar, considere a funo y==x3. O conjunto domnio composto por qualquer nmero real, assim como o conjunto imagem.Tomemos alguns valores do domnio de y=x3 e calcule as respectivasimagens. Isso pode ser feito atribuindo valores nas clulas da coluna A,desde a linha 2 at a linha 12, inserindo a frmula ==A2f\3 na clula 82 ecopiando a frmula at a clula 812, segundo indicado na figura 4.4.

i~."',~ 39


23/48

"Automaticamente", a frmula ser atualizada ao longo da coluna, ou seja,na clula 83 a frmula ser =A31\3e assim por diante.

x

-1 -- [O I- - - \12 =:=l3 J4 !

, _.lj I .--J'. -~Fig.4.4: Tabela associada com a funo y=x3.

-5I 'D \ - ~~=J I2

o conjunto de valores de "y" igual ao respectivo conjunto de valores de"x" elevados ao cubo (figura 4.5).

~\:: ~>.~;....~ii~1Ii.i~i.:.;, * ;: ; ;r . .; ; ; : ! ; p : : . : ~ l , B2 ..(~$.if~";;&.~ii',1A2"3f :.~~1 -5 I -125'3;1 -4 I -64,4\ -3 \ -27; 5 I -2 I -8.6.\ -1 \ -1

" i ", " i

/7.1 o I o \. . .- _ L _ ._ ou. _ _ t,8 I 1 1'sl 2 I 8.iol 3 I 27;1.3

I , . ~ ; J ~ \ ~ 5 1 - . . . . - . . i... _ _ . 1 -Fig. 4.5: Pares (x,y) da funo y=x3.

40

"~f"~", Selecione o conjunto de valores desde a clula A 1 at a ciulc :;.,isso, posicione o cursor na clula A i, mantenha o boto eSOUfOl"mouse" pressionado, mova o cursor para a coluna 8 e desloque -'.final do intervalo das clulas). Selecione o tipo de grfico "dispor.subtipoindicado na figura 4.6.

~ - ; J ~ ~ ~ F ~ ~ ~ ~ = ~ t - ~ Ir.~-:---'-, ...- II'.':"/.... .1 .., . . . - clk ~L J :.~~::..~~! I .~:.:_ :.:_~.._ - _ _ . . ;, _ _.} _ .- . ;_ _ ..---;_ .

-i-'-' -"---.--- -: .. -. ._ . . -1 - _ " - " -'--i" .._-_ _--~-_.__ -:- .

!

Fig.4.6: Etapa inicial da construo do grfico da funa.Obteremos umgrfico simular aoapresentado na figura 4.7.I y

---------- ---1-501..--------...1 0 0 - 1 --.--- -so-l--.--L----

6 -4, -2 9 / se \~ : : : t - _ - - - - - - . . -. .. .Fig. 4.7: Grfico "preliminar"da funo y==x3.

41""."

x

Pedem-se:a) o coeficiente angular a da reta;b) o coef'lciente linear b da reta;c) a equao da reta,

,':; ' .1i

.~

: - . 1',:

7'2"1 " ;'):

: : ' : '

:;(r(lf.lf~UUI!>?".l:.~;I~~r ;Y);"jJW~f!


34/48

\!(~~~112":.7-;;:!J-;j;?;@~~~~;- 1 i . ~ r ?

!IIIi,!iiogrfico de Y=_x2 +5x - 4 est representado na figura 6.1.

,I :I!I ',l i \iiI,'Ir!:i

y=-x+5.x-4

>

l__-----IFig. 6.1: Grfico de y'"_x2 +5x-4.

2. Raizes da funo do 22 grau.As raizes da funo do 2Q grau so geralmente representadas por xi e x2e indicam as posies onde a parbola "cruza" o eixo x. Inicialmente,devemos determinar o "valor de delta" por: 6. = b 2 - 4.a.c. Se o valorde ;:.,or negativo (6


35/48

r ,ii~f

"I r

i :~jil. '~

I ;:~~(j:i~~gf.U_ - = E1 - 2 1 = ~ - . _ J ~ ~ I .- 1 ~]-- '- I =--!I 1 6 [ = - ~ _ = = tI 31=---i - 1 1 - _ ~ - - - ' - - '-=i 1 __ . .- I 11 1 . _ . L .-I . ---4

Fig. 6.5: Razes e das coordenadas do vrtice de uma funo do 2 grau.

Se alterarmos os valores de a, b e c para -2, 4 e -5, respectivamente,obtemos os resultados expressos na figura 6.6.

, . : : . , j.: :? " ~ i:':::'~~~:J ~/A{~~\:~r,\::'B.;;i;/.~:.fa;~~~~~~):r~::'~~~e~?~:.~~.;~l~t:::~::~~~.~~:~~~1~~~E r"


36/48

jr=-=--~---'-------,I~IriI;I !

1 1:I', ]'1"JIfIr

Fig. 612: Grfico de y=x2-2.x-3.

6. Funes do tipo y=a.x'Z.Os grficos de funes do tipo y=a.x2 so parbolas cujos vrticeslocalizam-se na origem. A figura 6.13 compara os grficos de y1=x2 (a=1),y2=2.x2 (a,=2) e y3=O,5.x2 (a=O,5). So grficos de concavidade paracima, mas com diferentes taxas de crescimento.

8'!

Fig. 6.13: Grficos das funes y1=x2, y2=2.x2 e y3=O,5.x2.Na figura 6.14 esto exibidos os grficos de y1=x2 (a=1) e y2=.parbola y1 tem concavidade para cima e a parbola y2 tem r:'para baixo, sendo simtricas em relao ao eixo x.

85i .I~


37/48

,IIII j iI~!l iJI IiiI1:~:11- }i!\

: "rr.,=~.{...~..< ". ; .~r" wn ~ ' " n I! . '"): "nT.~~ .Y.1W .

f;;1tl~f;~y.3 --1*A2A2+A2+6- 2- 1o24

Pedem-se:a) aequao da funo y=y(x) relacionada com a tabela aCII:.b) o preenchimento da tabela com os valores obtidos pelafrmula inserida na clula 82 at a clula 89;

c) o esboo do grfico de y=y(x) nosistema de eixos ilustrado:

--------J- --l--- - - - - ' - - - 6 - - - - - - - - - . - - - - - - - - - - - - 1 - - -I , I---,- -1-.5 - 1 - , -I ! . . 1"-';i ,r -- " " !. I~ffir - i-1--j- _~-o 2 ~ 4-n : r1I . , . { - - - - + - - . - - .. . .rt:.. -- - - -- - , - 1I .-.-.------.-..-- ---+--- ---.-- .-------1------------2 . !-J -l-I I i . - a ! I I. . . . . ' - 1 - + . ~::~~-:~-i~~,:::~~~~. - - - . - - - - - - - 1 - - - '- 6 --[---'--- -1---------_ .._-I.R9 ..


38/48

I' ; l t : l r f t , ~ : : : : ~ , ; : : : ~ ; ~ j , ; ' : ~ ~ ~ ': : : : ; l : i : i : , ~ : : i : '! ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ : ~ ~ ; : : ~ ~ i ! : : : ~ : : : : ~ : ! . ~ ~ ! ; ~ : ' : ~ ! . ~ ! ~ : ! ! : ! ~ ~ ; ! ~ ~ ~ ~ ~ ~ : '~ ~ : ~ ~ ~ : . : : : ~ : ~ : : ! : ~ ~ : !;J : : 'I 6. Considere a tabela a seguir, extrada de uma planilha eletrnica,i : . : : : ~ : ' .: . : : : ; . 1j'j

~,[t' jlI,~I~.i~~,I~1I

:. ;:~

. 'i: :

.":

'! : ? P i ' y

- - - - _ _ 'l. ; l ~ : . " , : " '. . - . .: ,1

, -, :~

' : ; . '!:::;..- \~:;,: !

x'~;eJ -5 --1A512+4CAPITULO 7: FUNCES SENO E COSSENO

1. Circunferncia Trigonomtrica.

comum pensarmos em ngulos "em graus", conforme o eSCii i,:figura 7,1,

Fig, 7,1: Exemplo de "abertura angular" em grausPodemos "converter" um ngulo de graus para radianos u.:."equivalncia": rr radianos = 180,

fLembre que ti o smbolo de um nmero lrraciona:aproximadamente 3,14, Podemos escolher "x" como (. .CI.representa a medida de um ngulo, As "equivalncias" ele C /lu,de x em graus e em radianos so mostradas na tabela a S8il.li

$2 '1 -45 , 3 " 1 -3~I-2 I Ib:' 1W ! . O

T~~

x (graus) x (radianos)O O90 rr/2180 11 :270 3n:/2360 2n: .

93

$ !} I 15$ :,1 2.'~~I 3~q;1 4(3 ; 1 : , , 1 5Pedem-se:

a) a equao da funo y=y(x) relacionada com a tabela acima;b) o preenchimento da tabela com os valores obtidos pela cpia da

frmula inserida na clula 851 at a clula 861;c) o esboo do grfico de y=y(x) no sistema de eixos ilustrado a seguir,

..-6-' -

= ~ = = : ~ - ~ : : : t - = = = - = - = =r..-~;..--.~:.~.: : r : '~ -; - ~ ~ - - - ~ ~ ~.=A I

-...- --8..--- - --10

....... -. ------..-12

1-.- .. -... - .. .- .......... -.. --16....... -- .... -.. -- ..-18-

1. - .. .. ..-.... - .. - ..- ..- ..20-'- .. - .. -- ..--- ..-------.----.-----22-1-- -------.------

.-.- .... .-.--.-.-.- ..-----?4-1- . . -..- ....------1

? . ? : . . " . , . . . .. , , ' , . , " . . _. 1"


39/48

:--senx' j .811 900=TIi2 rad

p\i\ 1800=Jl radL I 170" - "/,,,'r,i, \\ .I;

1!",

cosx360 =}R rado

Fig. 7.4: Circunferncia trigonomtrica.

Os valores de cosseno so tomados ao longo do eixo horizontal, na regio"intema" circunferncia de raio unitrio. Logo: -1 S cos x S1.Os valores de seno so tomados ao longo do eixo vertical, na regio"interna" circunferncia de raio unitrio. Logo: -1 Ssenx S1.A tabela a seguir mostra alguns valores de cosseno e de seno.

90 I rc/2

senxx (graus) Ix (radianos) cosxo I o 1 I O. I O I 1 I

- 180 1 n~[270[_:,/2 hi[ 36 0 t 2n 1 I O

96

~F . f rObserve que na "segunda volta" sobre a circunferncia \ri(,I!"'""passaremos" pelos mesmos pontos, ou seja:

e cosO = cos2n = cos4n = cossn =... = 16 cosn/2 =cos5n/2 =cos9n/2 =cos1371:/2=... =O cosn: =cos3n: =cos z =cos Zn = ... =-1 cos3n/2 =cos 771:/2=cos 11 1 t/2 =cos 151(/2 = ... =Oe senO =sen2n: =sen4n =sen6n =... = O senn/2 =sen5n/2 = sen91t/2 = sen13n/2 = ... = 1 senn =sen3n =sen5n =sen71t = ... = O sen3n/2 =sen711:/2=sen1111:/2=sen1511:/2=... = -1Dizemos que o cosseno e o seno so funes peridicas. ',l',:-,"valores" so "repetidos" em intervalos de 2n: (o perodo vale 2[

2. Grf ic o da funo y=cosx.Para sabermos "como" o cosseno de x varia com x, podemo.grfico da funo y=cosx. O domnio de y=cosx o coniunto >: .1 'reais e a imagem -1::; y ::;I, Ou seja, o "mnimo" valor IX' .e o "mximo" valor de seno 1.Tomemos alguns valores do domnio de y=cosx 8 Cd>.,respectivas imagens. Isso pode ser feito, por exemplo, atribuinonas clulas da coluna A, desde a linha 2 at a linha 31, Ir;'l','frmula =cos(A2) na clula 82 e copiando a frmula at


40/48

( M j ~Na guia "inserir", opte pelo grfico do tipo disperso, com o subtipoindicado na figura 7.7.

Ii!fI 1' J1 1li~: 1~,~III

. i

, . ~ : . - . . . .. . T . = - ~ I = ~ ~ r = : ~ l ! ~ ~ T : ~ ; ; ; ; ' ; ' ; : ; ; . = :L . ! I

;"-T~..- ... ; .- ..!...

Fig. 7.7: Construo do grfico da fun o y=cosx.

Ser obtida uma figura similar ao grfico mostrado nafigura 7.8.

100

y- - - - - - - - ~~ ~. - - - - - - -

--------j5 I '\ '-- - ...,---_ . ._ ...- - .-4 6

III.~A ,k , .

-----1~1 ~Fig. 7.8:Grfico "preliminar" dafuno y=cosx

A prxima etapaconsiste emadicionar ttulo aogrfico (figura 7.9::i~~_.'_'M. -~~-_"""_ -_ ...

-4 6

:i ;:: . . . . .. _ _ , _ _ - ;.~--- - . -.- -- --- - . - . - , .. . _ _ .. _ ,_ _ . ..

Fig. 7.9: Inserode ttulo aogrfico da funo y~C()

101

f.Z-~~-7.-T E- ,.-;&;t.iP.~-=~


41/48

I~. j11!!

/

' ,1 'r~'r~fljI~~:

'1 "I Como resultado, temos os pares de valores exibidos na Iiqur ..conjunto de valores de "y" ("valores de sada" exibidos na colun...~aos senos dos respectivos valores de "x".

Fig. 7.12: "Frmula" para o clculo do seno.

Importante: escrever o argumento ("valor de entrada" atribudo a umaclula) entre parnteses

104 I:I ..~

Fig. 7.12: Pares (x ,y) da funo y=sellY105

~~??L?~;::qq:.:o:;:::u:c


42/48

I'

'IrjIi jl i)~' I

Aps insero de ttulo e formatao da rea de plotagem, podemos tercomo resultado, por exemplo, o grfico ilustrado na figura 7.16. Trata-sede uma funo peridica, ou seja, "repetitiva" em intervalos de 2n. Aamplitude (valor de pico") de y=senx vale 1, Em alguns trechos, a funoseno crescente e, em outros, decrescente. Seu grfico chamado de"senide". Vale lembrar que a frmula inserida na clula 82 (vide figura7.12), e copiada at a clula 831, "interpreta" os argumentos (valoresatribudos s clulas A2 a A31) em radianas.r-------------.-.\! y=senx

y

Fig. 7.16: Grfico da funo y=senx.

10R

" '~ I ' ' ' ' '' '' ':~: V !~ r; .. . ,~ " : : W tIIIIII

4. Variaes na amplitude,

Para variar as amplitudes das funes seno e cossenomultiplicar as funes originais por um fator. Por exemplo.y=4.senx tem amplitude igual a 4 e perodo de 2n. J a f un o .tem amplitude igual a 0,5 e perodo de 2n. Podemos construir.sistema de eixos, os grficos de y1=senx, y2=4.senx e y3=O.:~:-.auxlio do "assistente de grfico" do Excel. A figura 7.19 mostra L "de uma tabela, em planilha eletrnica, contendo alguns '.i.:Ii; .domnios das funes, no intervalo de clulas de A2 at .'\,frmulas inseridas nas clulas 82, C2 e 02, 11:::.:respectivamente, com as funes y1=senx, y2=4.senx e y3=O.~.

~ A ... (~-2'~

I '" '. . - '.~ , .B ,-; :.... . ...r : r .sz_ ~ - ~ t1 :

Fig. 7.17: Funes y1=senx, y2=4.senx e y3=0,5.88r:Um trecho dos resultados das cpias das frmulas de 82 ;:1;.1.: .de C2 at clula C31 e de 02 at 031 est ilustrado na fi9U1','l

Fig 7.18: Valores das funes y1=senx, y2=4.senx e y:l~,109

..)~!:.

; ! r ~ W


43/48

c : - - ~ r i "A ;::';'CJ i,,,,.:r,"N \')'?;;':''''';''' :o"::"'f1,~,[ooo~ ," .: ': 3 ''', '. , '1 -2,7 , V '-"0/"--' 1; :' . ; ': . '; : :" .~. l i U (Jij'::)",/ 1 \ '. :. . : . . . . . ..[ -2 .1 1< -w, I''4 . , ]'":'5


44/48

~:~.~}!!.C",)1~; ! :~C."". ;~m: / I"~:::::r.r"mvr4r. JLll:.~; 1?~ 1. ; lI:v '(~D" (?m~;[ "T.~~w;n~,1r }r:rrt '. ' .U;-~:a.~. Xq(":!o{";;;0;~':~tW;:t~ ! ; !~ :."CII."!-:eJ ~: ..: ~ ;u:~~r~ 2. Considere o grfico ilustrado a seguir.tIfi< I"?!t~; i~ i~ 1I.;~

i.~. \!.l i .1\I~f : ' ,: .:[, : " 1

a) Qual a amplitude da funo representada no grfico?b) Qual o perodo da funo representada no grfico?c) Qual a expresso y=y(x) da funo representada no grfico?

" ,~1 ~";:' 7 : . . ~ _' H " " ' ~;,r.1~U";;. ;n': ;-;:" ~.; ;:. . ~~:-(.~~~,~;":~":~1 :;rn. "~

~~!"M~


45/48

I, I, I~~

. JI1,jf :'~

':'1

.._----------------------_.;.< I ~s . r. ~~ . ! d . ~X :~< .L o M ~:i 'l ;r mM !!\:;JI'~ii au ;.:lT.lr .~""t ;l V.'L~l, I.~ ; _ .:t".f.J "I;r :r"',;.


46/48

!JI

IIIIIIIIIIIII

IIIIIIIIIIIIIIIIII

o grfico de y1 =2x mostra uma funo crescente que "cruza" o eixove rtica l em y= 1 (pois 2=1),

Caso 2: 0


47/48

I :;,!irII1, 1I I

1 1 \,1 :' u '~1I1!1

De maneira anloga apresentada, possfvel construir "variaes" dafuno y=e', A tabela a seguir indica alguns exemplos de "variaes" e asfrmulas que devem ser inseridas na clula 82 da figura 8.3.

Funo Frmulay=2.e' 82=2*EXP(A2)y=-5,ex 82=-5*EXP(A2)y=?x 82=EXP(3*A2)y=e-4X B2=EXP(-4*A2)y=0,3,ex 82=0,3*EXP(A2)y=7.e'"x B2=7*EXP(3*A2)y=4 +e 82=4+EXP(A2)

Comentrio:Uma funo logartmica de grande interesse para diversas para a Fsica epara a Engenharia a funo logaritmo neperiano. indicada por: y=nx,Esta funo a inversa de y=ex, ou seja, seu grfico simtrico ao daexponencial de base e em relao reta y=x (vide figura 8.6). No Excel,atribuindo valor clula A2. por exemplo, o logaritmo neperiano de A2ser calculado em 82 pela frmula: =LN(A2). Nessa frmula, A2 denominado de argumento da funo e. no caso da funo logartmica,deve ser umnmero maior do que zero,

iIjIIIIIi\: ILII

Fig. 8.6: Grficos deyi =ex, y2=x e y3=m,

\_1_18 129

m~'~Idffl't~iiI! 1""1a'J!~~"}~~:!h~mk'aJ&.1i~i.ii.iiil~!.._WtlI'ltl\l!l!ill'llllll1tIDJ!lml"""",_, .'~z~M:t,~r;\~~l'li!i:il~W'"'lf,t~~W.w.!


48/48

" ' l " " < o " , ~ " , , , r n , , , , ," ", , , , , , , " , ,, , . ,- , , ," , , , , . , r m , . , - "" , , ,, , , ", ,, ,m , , , , = " ,, , m ' - '' '' '1 i , , : r . " L ~ " J l ''' ' '' '' " ' ' ' ':. j , j;~1 !;!,I Il i

;: : '- : . 1, > ~ ~ . i

'jlfI,,~'i-.'...

..

~~

,. . .

-. ;:" j

'~_ -------..--..=...,.",J ~ .~

--.----1----1---24--1---1---.----_--I--I~-,--I--I---------1--481-.--._-I----l---I----I--,&I-,-I~------__-----1- 1 -,100o--8--- - 10--f-- -+-- -f--1--+1--1-66 I

1-4-~~~o I- oI--+-f-~~ 11- 0- ,I Iil I4 3 2 -1 6

v=O.5 EXP (A2)-3-21

fi

', !Hb ~, " " 1 J (~1jit;ft;

1'1

Pedem-se:a) a equaoda funo y=y(x) relacionada comatabela acima;b) o preenchimento da tabela com os valores obtidos pela cpia da

frmula inserida na clula 82 at a clula 814;c) o esboo do grfico de y=y(x) no sistema deeixos ilustrado a seguir.

; {;~

~",; .I

132

~: ~; ; .~; ~; ~~~~; ,; ~~: ~~~~; ~~: ~~~ ~~~~.: ; i ; } :

Documents

Topicos de Informatica_Unip 2013