Equacoes Diferenciais Ordinarias

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Equacoes Diferenciais

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  • Equaes Diferenciais OrdinriasNotas de aulas - 21 de Maio de 2003

    Computao, Engenharia Eltrica e Engenharia Civil

    Prof. Ulysses Sodr

  • ii

    Copyright c2002 Ulysses Sodr. Todos os direitos reservados.

    email: email: Material compilado no dia 21 de Maio de 2003.

    Este material pode ser usado por docentes e alunos desde que citada a fonte, mas no pode ser vendidoe nem mesmo utilizado por qualquer pessoa ou entidade para auferir lucros.

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    Ora, a f o firme fundamento das coisas que se esperam e aprova das coisas que no se vem. Porque por ela os antigos al-canaram bom testemunho. Pela f entendemos que os mundosforam criados pela palavra de Deus; de modo que o visvel nofoi feito daquilo que se v. HEBREUS 11:1-3, Bblia Sagrada.

  • CONTEDO iii

    Contedo

    1 Conceitos fundamentais em equaes diferenciais 1

    1.1 Definio de Equao Diferencial Ordinria . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

    1.2 Ordem e Grau de uma Equao Diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

    1.3 Classes de diferenciabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

    1.4 Operadores diferenciais lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

    1.5 Equao Diferencial Ordinria Linear de ordem n . . . . . . . . . . . . . 3

    1.6 Soluo de uma Equao Diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

    1.7 Existncia e unicidade de soluo para uma EDO . . . . . . . . . . . . . 4

    1.8 Problema de Valor Inicial (PVI) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

    2 Equaes diferenciais ordinrias de primeira ordem 5

    2.1 As formas normal e diferencial de primeira ordem . . . . . . . . . . . . . 5

    2.2 Equaes separveis de primeira ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

    2.3 Modelos Matemticos e Equaes Diferenciais . . . . . . . . . . . . . . . 6

    2.4 Crescimento Populacional: Modelo de Malthus . . . . . . . . . . . . . . . 7

    2.5 Crescimento Populacional: Maodelo de Verhulst . . . . . . . . . . . . . . 9

    2.6 Equaes homogneas de primeira ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

    2.7 Equaes Exatas de primeira ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

    2.8 Teorema de Existncia e Unicidade de soluo de um PVI . . . . . . . . . 15

    2.9 Simplificao de equaes lineares de primeira ordem . . . . . . . . . . . 15

    2.10 Complementos de Anlise na reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

    2.11 Mtodo do Fator Integrante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

    2.12 Equaes no lineares de primeira ordem redutveis a lineares . . . . . . 20

    3 Equaes diferenciais ordinrias de segunda ordem 24

    3.1 Equaes lineares de segunda ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

  • CONTEDO iv

    3.2 Equaes Lineares homogneas de segunda ordem . . . . . . . . . . . . 24

    3.3 Teorema de Existncia e Unicidade de soluo de um PVI . . . . . . . . . 24

    3.4 Equaes Lineares de 2a. ordem com coeficientes constantes . . . . . . . 25

    3.5 Soluo da equao homognea associada . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

    3.6 Mtodo de dAlembert para obter outra soluo . . . . . . . . . . . . . . 27

    3.7 Equao eqidimensional de Euler-Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

    3.8 Mtodo dos Coeficientes a Determinar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

    3.9 Mtodo da Variao dos Parmetros (Lagrange) . . . . . . . . . . . . . . 38

    4 Reduo da ordem de uma equao diferencial 42

    4.1 Equao do tipo y(n) = f(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

    4.2 Equao que no tem o termo em y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

    4.3 Equao que no tem os termos em y e em y . . . . . . . . . . . . . . . . 43

    4.4 Equao que no tem os termos em y, y e y . . . . . . . . . . . . . . . . 44

    4.5 Equao que no tem y, y, y, ... , y(k1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

    4.6 Equao que no tem a varivel independente x . . . . . . . . . . . . . . 44

    4.7 EDO F (y, y, ..., y(n)) = 0, F homognea s nas variveis y(k) . . . . . . . 45

    5 Aplicaes de equaes diferenciais ordinrias 46

    5.1 Decaimento Radioativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

    5.2 Lei do resfriamento de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

    5.3 Elementos de Eletricidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

    5.4 Circuitos Eltricos RLC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

  • Seo 1 Conceitos fundamentais em equaes diferenciais 1

    1 Conceitos fundamentais em equaes diferenciais

    1.1 Definio de Equao Diferencial Ordinria

    Uma Equao Diferencial Ordinria (EDO) uma equao da forma

    F (x, y(x), y(x), y(x), ..., y(n)(x)) = 0

    envolvendo uma funo incgnita y = y(x) e suas derivadas ou suasdiferenciais. x a varivel independente, y a varivel dependente e osmbolo y(k) denota a derivada de ordem k da funo y = y(x).

    Exemplos:

    1. y + 3y + 6y = sin(x)

    2. (y)3 + 3y + 6y = tan(x)

    3. y + 3y y = ex

    4. y = f(x, y)

    5. M(x, y)dx+N(x, y)dy = 0

    1.2 Ordem e Grau de uma Equao Diferencial

    A ordem da equao diferencial a ordem da mais alta derivada da fun-o incgnita que ocorre na equao. Grau o valor do expoente para aderivada mais alta da equao, quando a equao tem a forma de umpolinmio na funo incgnita e em suas derivadas, como por exemplo:

    A y(3) +B y(2) + C y(1) +D y(0) = 0

    Exemplos:

    1. y + 3y + 6y = sin(x) e y + 3y y = ex tm ordem 2 e grau 1.

    2. (y)3 + 3(y)10 + 6y = tan(x) tem ordem 2 e grau 3.

    3. y = f(x, y) eM(x, y)dx+N(x, y)dy = 0 tm ordem 1 e grau 1.

  • 1.3 Classes de diferenciabilidade 2

    1.3 Classes de diferenciabilidade

    Uma funo real f : R R pertence classe de diferenciabilidadeCn(R), se:

    1. f contnua;

    2. Todas as derivadas f (k) (k = 1, 2, 3, ..., n) so funes contnuas

    Quando n = 0, identificamos a classe da funes reais contnuas comC0(R).

    Exemplos:

    1. A funo f : R R definida por f(x) = |x| pertence classe C0(R)mas no pertence classe C1(R).

    2. A funo g : R R definida por g(x) = |x|3 pertence classe C3(R)mas no pertence classe C4(R).

    3. A funo h : R R definida por h(x) = ex pertence classe C(R).

    1.4 Operadores diferenciais lineares

    Demonstra-se que o conjunto F = Cn(R) de todas as funes reais nvezes continuamente diferenciveis, um espao vetorial sobre R. Paracada f F , definimos o operador diferencial D : F F por

    D(f) = f

    sendo D0(f) = f . Para cada k = 1, 2, 3, ..., n, definimos o operador dife-rencial recursivo Dk : F F por

    Dk(f) = D[Dk1(f)] = f (k)

    que representa a derivada de ordem k da funo f F .

  • 1.5 Equao Diferencial Ordinria Linear de ordem n 3

    Demonstra-se que so lineares estes operadores diferenciais Dk : F F , isto , para quaisquer f, g F e para quaisquer a, b R:

    Dk(af + bg) = a Dk(f) + b Dk(g)

    Exemplo: O operador L = x5D2 + exD + sin(x)I linear sobre o espaovetorial F = C2(R), pois para para quaisquer f, g F e para quaisquernmeros reais a e b, vale a identidade

    L(af + bg) a L(f) + b L(g)

    1.5 Equao Diferencial Ordinria Linear de ordem n

    Uma equao diferencial linear de ordem n da forma

    a0(x) y(n) + a1(x) y

    (n1) + a2(x) y(n2) + ...+ an(x) y = b(x)

    onde as funes b = b(x) e ak = ak(x) (k = 0, 1, 2, ..., n), so funes co-nhecidas sendo a0 = a0(x) no identicamente nula e todas estas funesdevem depender somente da varivel x. A funo (incgnita) desconhe-cida y = y(x).

    Em virtude das informaes da seo anterior, possvel definir o ope-rador diferencial linear

    L = a0(x) D(n) + a1(x) D

    (n1) + a2(x) D(n2) + ...+ an(x) I

    e assim a equao diferencial acima ter a forma simplificada

    L(y) = b(x)

    e este o motivo pelo qual, a equao diferencial acima recebe o nomede linear.

    1.6 Soluo de uma Equao Diferencial

    Uma soluo para uma equao diferencial uma funo que satisfazidenticamente equao. A soluo mais geral possvel que admite uma

  • 1.7 Existncia e unicidade de soluo para uma EDO 4

    equao diferencial denominada soluo geral, enquanto que outra so-luo chamada uma soluo particular.

    Exemplos:

    1. y(x) = ex uma soluo particular de y + y = 0.

    2. y(x) = Cex a soluo geral de y + y = 0.

    3. y(x) = sin(x) uma soluo particular de y + y = 0.

    4. y(x) = A sin(x) +B cos(x) a soluo geral de y + y = 0.

    5. y(x) = 777 uma soluo particular de y + 3y y = 0.

    1.7 Existncia e unicidade de soluo para uma EDO

    Trs perguntas importantes sobre solues para uma EDO.

    1. Dada uma equao diferencial, ser que ela tem soluo?

    2. Se tiver soluo, ser que esta soluo nica?

    3. Existe uma soluo que satisfaz a alguma condio especial?

    Para responder a estas perguntas, existe o Teorema de Existncia e Uni-cidade de soluo que nos garante resposta para algumas das questesdesde que a equao tenha algumas caractersticas.

    Alertamos que descobrir uma soluo para uma Equao Diferencial algosimilar ao clculo de uma integral e ns sabemos que existem integraisque no possuem primitivas, como o caso das integrais elpticas. Dessaforma, no de se esperar que todas as equaes diferenciais possuamsolues.

  • 1.8 Problema de Valor Inicial (PVI) 5

    1.8 Problema de Valor Inicial (PVI)

    Uma equao diferencial satisfazendo algumas condies adicionais denominado Problema de Valor Inicial (PVI).

    Exemplo:

    ex y + 2y = arctan(x)y(0) = pi

    Se so conhecidas condies adicionais, podemos obter solues particu-lares para a equao diferencial e se no so conhecidas condies adici-onais poderemos o