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  • As equaes nos manuais escolares

    RBHM, Vol. 4, no 8, p. 149 - 170, 2004 149

    AS EQUAES NOS MANUAIS ESCOLARES

    Joo Pedro da Ponte

    Universidade de Lisboa - Portugal

    (aceito para publicao em setembro de 2004)

    Resumo

    Este artigo identifica aspectos que foram mudando na abordagem das equaes do 1 grau em quatro manuais escolares portugueses, um do fim do sculo XIX, outro de meados do sculo XX, outro da poca da Matemtica moderna (anos 70) e um da actualidade (anos 90). Os livros analisados testemunham uma evoluo muito grande em pouco mais de mais de 100 anos, no nvel etrio dos alunos que estudam este conceito, na abordagem que se foi simplificando progressivamente, na relao com o leitor, do ponto de vista da viso da Matemtica como uma disciplina com conexes mltiplas e em relao variedade das tarefas propostas. Vrias questes so sugeridas para trabalho futuro relativamente a este e outros conceitos do currculo, em Portugal e noutros pases. Palavras-chave: Ensino da lgebra, Equaes, Manuais escolares, Matemtica escolar, Portugal

    Abstract

    This paper identifies aspects that changed in the approach of first degree equations in Portuguese textbooks, one from the end of the 19th century, other from the middle of 20th century, other from the period of modern mathematics (the 70s) and one contemporary (the 90s). The books analysed represent a strong evolution in little more that a century, in the age level of pupils that study this concept, in the approach that become simpler along the way, in the relationship with the reader, in the perspective of mathematics as subject with multiple connections and regarding the proposed tasks. Several questions are proposed for future work regarding this and other curriculum concepts, in Portugal and elsewhere. Keywords: Algebra teaching, Equations, Textbooks, School mathematics, Portugal

    A aprendizagem das equaes, conceito central da lgebra, representa para os alunos o incio de uma nova etapa no seu estudo da Matemtica. Ao lado das expresses numricas, envolvendo nmeros e operaes com que contactaram anteriormente, surgem agora outras expresses, envolvendo novos smbolos e novas regras de manipulao, que remetem para outro nvel de abstraco. O incio desta etapa revela-se particularmente problemtico para muitos alunos, sendo neste ponto que se decide em grande medida quais

    Revista Brasileira de Histria da Matemtica - Vol. 4 no 8 (outubro/2004 - maro/2005 ) - pg. 149 - 170 Publicao Oficial da Sociedade Brasileira de Histria da Matemtica

    ISSN 1519-955X

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    suas possibilidades de sucesso futuro na aprendizagem escolar desta disciplina. Por isso, de todo o interesse fazer uma anlise histrica acerca do modo como as equaes tm sido introduzidas nos manuais escolares.

    Neste trabalho, procuro identificar aspectos que foram mudando na abordagem deste importante conceito, no modo mais formal ou informal como as noes so apresentadas, na viso da Matemtica que pressupem e na natureza do texto e nas suas implicaes para a leitura e o estudo. Centro a minha ateno em quatro manuais escolares portugueses, um do fim do sculo XIX, outro de meados do sculo XX, outro da poca da Matemtica moderna (anos 70) e, finalmente, um da actualidade (anos 90). Tomando como ponto de partida a metodologia utilizada por Sierra, Gonzlez e Lpez (2002) fao, para cada livro, uma breve descrio geral do modo como o tema abordado, a que se segue uma referncia organizao e grafismo e, de seguida, analiso os aspectos didcticos, incluindo as teorias de ensino-aprendizagem subjacentes e os elementos fenomenolgicos. Termino com um conjunto de reflexes sobre o que mudou no tratamento deste conceito ao longo deste perodo de mais de um sculo nos manuais escolares disposio dos alunos. Elementos de lgebra de Augusto Jos da Cunha

    Trata-se de um livro publicado em 1887, em 5 edio, pela Livraria de Antnio Maria Pereira, destinado a alunos do 4 e 5 anos do liceu (as equaes surgem na parte do 4 ano, que corresponderia hoje ao 10 ano de escolaridade, frequentado por alunos com 15 anos de idade). Na capa existe a meno Redigidos conforme o programma dos lyceus e o autor apresentado como Lente da Escola Polytechnica1. No fim do livro, asseverando a respectiva legitimidade, apresentado o programa de Matemtica. Descrio

    Neste livro, a parte dedicada s equaes do 1 grau tem um total de 14 pginas. Abre com uma pequena seco introdutria (trs pginas) a que se segue um captulo sobre a resoluo da equao do 1 grau a uma incgnita, com duas seces, uma sobre princpios de equivalncia (cerca de cinco pginas) e outra sobre a resoluo da equao (outras cinco pginas) e termina com exerccios2.

    A introduo visa sobretudo esclarecer aspectos de terminologia como igualdade, identidade, equao, incognitas, solues ou raizes, grau da equao, equao numrica e literal, e equaes equivalentes (figura 1). Para distinguir equaes numricas e literais indica os casos xxx 3243 2 +=- e

    bxacbxax -=+- 22 52 . Como primeiro exemplo de equaes equivalentes apresenta

    28

    3

    4

    23=-

    +x

    x e 16346 =-+ xx .

    1 Nos termos indicados entre aspas, mantive a grafia original. 2 A este captulo, segue-se um captulo II que j no aqui objecto de anlise por versar Equaes simultneas do 1 grau.

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    O captulo Resoluo da equao do 1 grau a uma incgnita tem um ponto I relativo aos princpios em que se funda a resoluo da equao. Este ponto comea com o enunciado do 1 principio ( 89), a que se segue um corollario relativo transposio dos termos ( 90) (figura 2).

    Figura 1 Pgina com definies do livro Elementos de lgebra Segue-se o 2 principio ( 91) e depois uma observao importante o

    multiplicador tem de ser diferente de zero, questo que discutida em pormenor ( 92). O 2 princpio permite tratar a Reduco de uma equao frma inteira (por contraponto com a forma fraccionria), sendo apresentados trs exemplos e enunciada uma regra prtica ( 94): Procura-se o menor multiplo commum de todos os denominadores; multiplicam-se os termos inteiros por esse multiplo; o numerador de cada termo fraccionario multiplica-se pelo quociente desse multiplo dividido pelo respectivo denominador; e supprimem-se os denominadores. Os exemplos so os seguintes:

    3

    12

    2

    74

    5

    2

    4

    3+-=+-

    xx

    x

    2

    145222

    +

    +

    -=

    -

    +

    bax

    ba

    ax

    a

    x

    22 2)(2

    )(

    2

    3 b

    x

    baa

    x

    baa

    ax

    ab

    x+

    +

    =

    +

    -

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    Como se verifica, trata-se de exemplos com assinalvel complexidade, o primeiro com uma equao de coeficientes numricos onde aparecem desde logo fraces com quatro nmeros diferentes em denominador e os outros dois com equaes de coeficientes literais, tanto em numerador como em denominador.

    O ponto II intitula-se Resoluo da equao. Este ponto trata da resoluo de qualquer equao do 1 grau a uma incgnita, comeando com um exemplo ( 96) onde surgem desde logo termos com coeficientes inteiros e fraccionrios:

    Figura 2 Pgina com um princpio de equivalncia do livro Elementos de lgebra

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    xx

    x -=+-3

    5

    23

    4

    3

    O 97 respeita verificao do valor da incgnita. Por sua vez, o 98 apresenta uma regra com 4 passos para a resoluo de equaes, seguindo-se quatro exemplos:

    6

    32

    420

    3 +=-+

    xx

    x

    1--

    =+-

    a

    ba

    a

    x

    b

    ax

    )(

    21

    )(

    2222 bab

    a

    ba

    bx

    baba

    ax

    ++

    -

    =-

    +

    +

    5

    3

    1

    3=

    +

    -

    x

    x

    Note-se de novo a complexidade dos exemplos a segunda e a terceira equaes so literais e a ltima tem a incgnita em denominador. Finalmente, o 99 mostra como toda a equao se pode reduzir forma ax = b (sem usar o termo forma cannica) e o captulo termina propondo 22 exerccios, todos enunciados sem quaisquer palavras, como expresses para calcular, indicando frente a respectiva soluo (figura 3). O mais

    complexo desses exerccios o seguinte: 1

    235

    235

    1416

    13

    125

    +

    +=

    +

    +

    +

    +

    -

    xx

    x

    x

    x.

    Figura 3 Primeiros nove exerccios propostos do livro Elementos de lgebra

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    Anlise

    Organizao e grafismo. O texto est dividido em 18 pargrafos numerados ( 82 a 99). de notar que muitos pargrafos tm subttulos. Ressalta de imediato a densidade do texto e o corpo de letra muito pequeno. No h figuras, tabelas, ou esquemas. No entanto, so profusamente usados vrios tipos de letra, maisculas, minsculas, itlicos, etc.

    Aspectos didcticos. Este livro representa uma abordagem com um nvel de abstraco e formalizao bastante elevado. Na verdade, lida, logo desde o incio, com equaes de coeficientes tanto numricos como literais. Alm disso, pressupe um conhecimento anterior aprofundado de expresses algbricas, operaes com monmios, polinmios e fraces algbricas. A terminologia essencial explicada nas trs pginas da parte introdutria.

    O autor d bastante relevo forma inteira, apresentando a forma ax = b apenas no fim do captulo ( 99). A noo de identidade tem uma proeminncia significativa, aparecendo logo no 83. Existe uma preocupao em ensinar tcnicas