Sistemas de Equacoes Lineares

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Sistemas de Equacoes Lineares

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  • Equaes Diferenciais Ordinrias

  • 3.5 Sistemas de Equaes e Equaes de Ordem Elevada

    Em sees anteriores, foram resolvidas equaes diferenciais ordinrias de primeira ordem problemas de valor inicial de primeira ordem.

  • 3.5 Sistemas de Equaes e Equaes de Ordem Elevada

    Em sees anteriores, foram resolvidas equaes diferenciais ordinrias de primeira ordem problemas de valor inicial de primeira ordem.

    Entretanto, a maioria das aplicaes prticas so modelas por equaes diferencias de ordem mais elevada, gerando um sistema de equaes diferenciais.

  • 3.5 Sistemas de Equaes e Equaes de Ordem Elevada

    Em sees anteriores, foram resolvidas equaes diferenciais ordinrias de primeira ordem problemas de valor inicial de primeira ordem.

    Entretanto, a maioria das aplicaes prticas so modelas por equaes diferencias de ordem mais elevada, gerando um sistema de equaes diferenciais.

    Primeiramente, sero abordados como resolver numericamente sistemas de equaes diferenciais de primeira ordem e, para finalizar o captulo, como resolver numericamente um sistema de equaes diferenciais de ordem elevada.

  • 3.5.1 Sistemas de Equaes DiferenciaisConsiderando um sistema de n equaes diferenciais de primeira

    ordem y = f(x, y), ou seja

  • 3.5.1 Sistemas de Equaes DiferenciaisConsiderando um sistema de n equaes diferenciais de primeira

    ordem y = f(x, y), ou seja ),...,,,( 211'1 nyyyxfy =

  • 3.5.1 Sistemas de Equaes DiferenciaisConsiderando um sistema de n equaes diferenciais de primeira

    ordem y = f(x, y), ou seja ),...,,,( 211'1 nyyyxfy =),...,,,( 212'2 nyyyxfy =

  • 3.5.1 Sistemas de Equaes DiferenciaisConsiderando um sistema de n equaes diferenciais de primeira

    ordem y = f(x, y), ou seja ),...,,,( 211'1 nyyyxfy =),...,,,( 212'2 nyyyxfy =

    . . .

    ),...,,,( 21' nnn yyyxfy =onde y, y e f so vetores com componentes yi, yi e fi (i = 1, 2, ... , n).

  • 3.5.1 Sistemas de Equaes DiferenciaisConsiderando um sistema de n equaes diferenciais de primeira

    ordem y = f(x, y), ou seja ),...,,,( 211'1 nyyyxfy =),...,,,( 212'2 nyyyxfy =

    . . .

    ),...,,,( 21' nnn yyyxfy =onde y, y e f so vetores com componentes yi, yi e fi (i = 1, 2, ... , n).

    Para o sistema possuir uma nica soluo imposto uma condio inicial, para um dado x0 e um vetor y0, ou seja,

    00 )( yy =x

  • Considerando um sistema com duas equaes diferencias, conforme mostrado a seguir

    .)()(

    ),,('),,('

    00

    00

    zxz

    yxyzyxgzzyxfy

    =

    =

    =

    =

    (1)

  • Considerando um sistema com duas equaes diferencias, conforme mostrado a seguir

    .)()(

    ),,('),,('

    00

    00

    zxz

    yxyzyxgzzyxfy

    =

    =

    =

    =

    (1)

    Nesta caso, para resolver o sistema de equaes, eq. (1), pelo mtodo de Euler tem-se

    ),,(1 nnnnn zyxfhyy +=+

  • Considerando um sistema com duas equaes diferencias, conforme mostrado a seguir

    .)()(

    ),,('),,('

    00

    00

    zxz

    yxyzyxgzzyxfy

    =

    =

    =

    =

    (1)

    Nesta caso, para resolver o sistema de equaes, eq. (1), pelo mtodo de Euler tem-se

    (2)),,(1 nnnnn zyxfhyy +=+),,(1 nnnnn zyxghzz +=+

  • Exemplos:

    1) Dado o sistema de equaes diferenciais abaixo, determinar y(0,3), usando o mtodo de Euler, com h = 0,05.

    0)0(1)0(

    32''

    =

    =

    +=

    =

    z

    yzyz

    zy

  • Exemplos:

    1) Dado o sistema de equaes diferenciais abaixo, determinar y(0,3), usando o mtodo de Euler, com h = 0,05.

    0)0(1)0(

    32''

    =

    =

    +=

    =

    z

    yzyz

    zy

    Conforme mtodo de Euler para resolver um sistema de equaes diferenciais, apresentado na eq. (1), obtm-se

    ),,(1 nnnnn zyxfhyy +=+),,(1 nnnnn zyxghzz +=+

  • Exemplos:

    1) Dado o sistema de equaes diferenciais abaixo, determinar y(0,3), usando o mtodo de Euler, com h = 0,05.

    0)0(1)0(

    32''

    =

    =

    +=

    =

    z

    yzyz

    zy

    Conforme mtodo de Euler para resolver um sistema de equaes diferenciais, apresentado na eq. (1), obtm-se

    ),,(1 nnnnn zyxfhyy +=+),,(1 nnnnn zyxghzz +=+

    nn hzy +=

  • Exemplos:

    1) Dado o sistema de equaes diferenciais abaixo, determinar y(0,3), usando o mtodo de Euler, com h = 0,05.

    0)0(1)0(

    32''

    =

    =

    +=

    =

    z

    yzyz

    zy

    Conforme mtodo de Euler para resolver um sistema de equaes diferenciais, apresentado na eq. (1), obtm-se

    ),,(1 nnnnn zyxfhyy +=+),,(1 nnnnn zyxghzz +=+

    nn hzy +=)32( nnn zyhz ++=

  • Tabela de clculo

    -1,00000yn

    0,000000,000znxnn

    nnn zhyy +=+1)32(1 nnnn zyhzz ++=+

  • Tabela de clculo

    -1,00000yn

    10,000000,000

    znxnn

    nnn zhyy +=+1)32(1 nnnn zyhzz ++=+

  • Tabela de clculo

    -1,00000yn

    0,0510,000000,000

    znxnn

    nnn zhyy +=+1)32(1 nnnn zyhzz ++=+

  • Tabela de clculo

    -1,00000-1,00000

    yn

    0,0510,000000,000

    znxnn

    nnn zhyy +=+1)32(1 nnnn zyhzz ++=+

  • Tabela de clculo

    -1,00000-1,00000

    yn

    0,100000,0510,000000,000

    znxnn

    nnn zhyy +=+1)32(1 nnnn zyhzz ++=+

  • Tabela de clculo

    -1,00000-1,00000

    yn

    0,1020,100000,0510,000000,000

    znxnn

    nnn zhyy +=+1)32(1 nnnn zyhzz ++=+

  • Tabela de clculo

    -0,99500-1,00000-1,00000

    yn

    0,1020,100000,0510,000000,000

    znxnn

    nnn zhyy +=+1)32(1 nnnn zyhzz ++=+

  • Tabela de clculo

    -0,99500-1,00000-1,00000

    yn

    0,215000,1020,100000,0510,000000,000

    znxnn

    nnn zhyy +=+1)32(1 nnnn zyhzz ++=+

  • Tabela de clculo

    0,66846-0,942050,255

    0,34675-0,984250,1530,49719-0,966910,204

    -0,90863

    -0,99500-1,00000-1,00000

    yn

    0,862930,306

    0,215000,1020,100000,0510,000000,000

    znxnn

    90863,0)3,0( =ySoluo:

    nnn zhyy +=+1)32(1 nnnn zyhzz ++=+

  • 2) Dado o sistema de equaes diferenciais abaixo, determinar y(0,3), usando o mtodo de Runge-Kutta de quarta ordem, com h = 0,05.

    0)0(1)0(

    32''

    =

    =

    +=

    =

    z

    yzyz

    zy

  • 2) Dado o sistema de equaes diferenciais abaixo, determinar y(0,3), usando o mtodo de Runge-Kutta de quarta ordem, com h = 0,05.

    0)0(1)0(

    32''

    =

    =

    +=

    =

    z

    yzyz

    zy

    Observa-se que o mtodo de Runge-Kutta de quarta ordem, para uma simples equao definido por

    { }43211 )(26 kkkkhyy nn ++++=+

  • 2) Dado o sistema de equaes diferenciais abaixo, determinar y(0,3), usando o mtodo de Runge-Kutta de quarta ordem, com h = 0,05.

    0)0(1)0(

    32''

    =

    =

    +=

    =

    z

    yzyz

    zy

    Observa-se que o mtodo de Runge-Kutta de quarta ordem, para uma simples equao definido por

    { }43211 )(26 kkkkhyy nn ++++=+

    ),(1 nn yxfk =)

    2,

    2( 12 k

    hyhxfk nn ++=

    )2

    ,

    2( 23 k

    hyhxfk nn ++=

    ),( 34 khyhxfk nn ++=

    com

  • O mtodo de Runge-Kutta de quarta ordem, para resolver um sistema de duas equaes diferenciais, fica assim definido

    ))(2(6/ 43211 kkkkhyy nn ++++=+))(2(6/ 43211 llllhzz nn ++++=+

  • O mtodo de Runge-Kutta de quarta ordem, para resolver um sistema de duas equaes diferenciais, fica assim definido

    onde),,(1 nnn zyxfk =),,(1 nnn zyxgl =

    ))(2(6/ 43211 kkkkhyy nn ++++=+))(2(6/ 43211 llllhzz nn ++++=+

  • O mtodo de Runge-Kutta de quarta ordem, para resolver um sistema de duas equaes diferenciais, fica assim definido

    onde),,(1 nnn zyxfk =),,(1 nnn zyxgl =

    )2/,2/,2/( 112 hlzhkyhxgl nnn +++=)2/,2/,2/( 112 hlzhkyhxfk nnn +++=

    ))(2(6/ 43211 kkkkhyy nn ++++=+))(2(6/ 43211 llllhzz nn ++++=+

  • O mtodo de Runge-Kutta de quarta ordem, para resolver um sistema de duas equaes diferenciais, fica assim definido

    onde),,(1 nnn zyxfk =),,(1 nnn zyxgl =

    )2/,2/,2/( 112 hlzhkyhxgl nnn +++=)2/,2/,2/( 112 hlzhkyhxfk nnn +++=

    )2/,2/,2/( 223 hlzhkyhxfk nnn +++=)2/,2/,2/( 223 hlzhkyhxgl nnn +++=

    ),,( 334 hlzhkyhxfk nnn +++=),,( 334 hlzhkyhxgl nnn +++=

    ))(2(6/ 43211 kkkkhyy nn ++++=+))(2(6/ 43211 llllhzz nn ++++=+

  • Considerando o sistema de equaes diferenciais

    0)0(;1)0(32';'

    ==

    +==

    zyzyzzy

    Aplicando o mtodo de Runge-Kutta de quarta ordem))(2(6/ 43211 kkkkhyy nn ++++=+

    ))(2(6/ 43211 llllhzz nn ++++=+

  • Considerando o sistema de equaes diferenciais

    0)0(;1)0(32';'

    ==

    +==

    zyzyzzy

    Aplicando o mtodo de Runge-Kutta de quarta ordem

    ),,(1 nnn zyxfk =

    ))(2(6/ 43211 kkkkhyy nn ++++=+))(2(6/ 43211 llllhzz nn ++++=+

  • Considerando o sistema de equaes diferenciais

    0)0(;1)0(32';'

    ==

    +==

    zyzyzzy

    Aplicando o mtodo de Runge-Kutta de quarta ordem

    ),,(1 nnn zyxfk = nz=

    ))(2(6/ 43211 kkkkhyy nn ++++=+))(2(6/ 43211 llllhzz nn ++++=+

  • Considerando o sistema de equaes diferenciais

    0)0(;1)0(32';'

    ==

    +==

    zyzyzzy

    Aplicando o mtodo de Runge-Kutta de quarta ordem

    ),,(1 nnn zyxfk = nz=),,(1 nnn zyxgl =

    ))(2(6/ 43211 kkkkhyy nn ++++=+))(2(6/ 43211 llllhzz nn ++++=+

  • Considerando o sistema de equaes diferenciais

    0)0(;1)0(32';'

    ==

    +==

    zyzyzzy

    Aplicando o mtodo de Runge-Kutta de quarta ordem

    ),,(1 nnn zyxfk = nz=),,(1 nnn zyxgl = nn zy 32 +=

    ))(2(6/ 43211 kkkkhyy nn ++++=+))(2(6/ 43211 llllhzz nn ++++=+

  • Considerando o sistema de equaes diferenciais