cap.12 - SISTEMAS LINEARES

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lã';ïã;;;#àïï?j''"câdos respectivamente notrs"io"i,, *,, . .i, *ï,ïiiãfr u","o",r"i Resolução: Vamosatribuirvâloresarbitráriosa x e y e obtero valordê z. alxl + â2x2+ ... + anxn= b é denominadâ equaçãolinear . _.,x" sã o a s in c ó g n it a s é o Ìermoindependentê Exemplo:5x - 3y = O tortântq uma sotuçãoé a tripla ordenada(2,O, _6). Vejamosalgunsêxemplos. en que:a., a/, , . .. a. são os coefjclenleg Todâequaçãoda foíma 157 x= 2 b

Text of cap.12 - SISTEMAS LINEARES

  • ffi$ffimmmm rxmmremEQUAAO LINEAR

    Tod equao da fomaalxl + 2x2 + ... + anxn = b denominad equao l inear

    en que: a., a/ , , . . . a. so os coef jc lenleg

    b

    Exemplos: a) 2x1 3x2 + N3 = S uma equao linear trs incgnitas.o)x + y = z + t:

    -1 uma equaao neara quatro iniOg;itas.Obsrvaesj

    t 1 fl*i:"Jidependente b ror isuar a 2610, a equao rinear denomina.se equaoExemplo: 5x - 3y = O

    29) Uma equao linear no aprsenta termos cl form" xi. x, . x2 elc.. sto . cada lrmo daequao lem uma nica incgnita. cujo expoente smpre f. .- -.- -. "-",As equaes 3x1 +2x, = _Je.4x.y +z = vZ no so l ineares.3f) soluo d,uma equao lineara n incgnitas a seqncia de nmeros reais ou nupla

    l';;;;#?j''"cdos respectivamente no trs"io"i,, *,, . .i, *,iifr u","o",r"i4?) Uma soluo evidente da equao tiner homognea 3x + y = O a dupta (0, O).

    Vejamos alguns xemplos.19 exemplo: Dda a equao linar4x y + z = 2, ncontrar um de 6uas solirs.Resoluo: Vamos atribuir vlores arbitrrios a x e y e obter o valor d z.

    . _. , x" soas incgni tas o ermo independent

    x=2

    tortntq uma sotuo a tripla ordenada (2, O, _6).

    157

  • 29 xemplo: Dada a equao 3x - ry = 5, determinar d par que a dupla (- 1, d) seja soluoda equo.Resoluo: \_1,d|

    Resposta: d = -4

    EXERCCIOS DE APRENDIZAGEM tfiquat aas seguintes equaes so liarcs?

    a)4a-b+; =0b\sx+2yz-0c)x 'z-5y-od) xyz =

    (lAche duas soluoes da equao:- \++&=0.

    (3"t"..in" -

    pu. que (-1, 1, -2) sja sou-o da equao mx + y - 22 = 6.

    /s\ !?Daoa a equaao -t i = - t ,acne"pa-

    ra que (o, a + l) torne a sentena vrdadeim.llPekrmine duas solues da equao

    x+2y z=0.

    ftCacute a ae moao que ( - l, a + l, 2.) no se]a'- soluo d equao 2x + 4y + z

    -

    0.

    .Denomina-se sistema linear de m equas ns n incgnitas x1, x2, . . ., xn a todo sist-ma oa orma:

    em que a, a12, . . -, a1n, bj, b2, .. . , bn so nmeros rais.

    S o conjunto ordenado de nmeros reais (ol, 02, . . ., on) satisfizer tods as equaes dosistema, se denominado soluo do sislema linear.

    ObseNao: S o temo independonte de tods as equaes do sistema for nulo, isto ,b1 = b2 = ... = bn = 0, o sistema l inearser dito homogno

    Uma soluo vidente do sistema linear homogneo x = y = z = O..

    Esla soluo chama-se soluo lrivial do sistoma homogno. Se o sistema homogneoadmitiroutra soluo ond s incgnitas no so lodas nulaq a soluo ser chamda solu-Qo no.lrivlal.

    158

    Exgnplo: /lAx+v z=ol 'x+y+nz=ot5x - 2y + 32 = 0

    SISTEMA LINEAR

  • SISEMAS LI N EARES EQU IVALENTES

    Se dois sistemas lineares 51 e 52 admitem a msma soluq eles so diios sislemas qui-valentes.

    Exemplo: Calcular m e n, de modo que sejam equivalenes os sisimas:

    Resoluo:

    f x y=r(2x + y = 5 fmx ny= I

    {nx t my = 2

    . Clculo de x e y.

    2x+y=5

    Substituindo-se x y no segundo sjstema, vem:2m- n = - '1 2m- n= 1

    = 2m+4n=4

    J

    2n +m=2

    2m-n=-1

    Resposta: m = 0en = 1.

    2m-1= 1_ t* I

    EXERCICIOS DE APREN DIZAGEM

    ' ' '

    2x+3x, xr=0xl 2xz+xj :5xr + x2+x] = 2

    a) Verilique se (2, t, 1) soluo de S.b) Verifique se (0, 0, 0) soluo de S.

    \Srseia o. isrema: 3x + ) = k ' 9[ \ -zy=K+r

    Cacue k pam qe o ' i . lema 'ej hoo8n

  • EXPRE MATRICIAL DE UM SISTEMA DEEQU LINEARES

    Dentr suasvariadas aplicas, s mizes so uilizadas naresoluode um sistemade equaes lineares.

    Seja o sisema linear:

    , t

    Obseve que se vgc efetuar a multiplicao das matrizs indicadas ir obter o stsremaoaoo,

    Se a matiz constituda pelos coeflcinteg das incgnilas orquadrada, o su determinanle dito determinante do sistema.

    t^ -l2xr +5x2- &=0

    Exmplo: Sela o sistema: 1 4x1 3xz + 6& = -1l i lx1 + x"-3=8

    Ele pode ser repesentado po meio de matrizes, da seguinte forma:

    ssocoEs

    + . . . + ahxn = b1+ . . . + a2nxn = b2

    ::+ . . . + amnxn = bm

    ntar oste sistema da seguint form

    l ' ' I lb1 Ilx , I lbz It t=t lt t t lt t t llx" t lb" l

    TTmaiz coluna maiz colunaconstlluda dos termosplasinc0nitas independntes

    ,

    Util izando

    [ i ] [ i i ] tl8lt

    I Exprcsse maticialmente os sistems:a1 fzx + y=s(x-3y=0

    2a+ b+c= -1a +c=0

    _3a+5b-c=2

    ( -*+y+"-t :z" ,

    1 2x-y+t=0- ' l Y-z+31 =l

    | \+2y z+4t= -52 A c\presso matricial ale rm sistema S :

    [ : s l [a l l -+ ll r i l lb l - I 7 lDetermine as equaes de S.

    b)

    160

    I

  • Os sistemas lineares so classificados, qunto ao nmero de solus, da seguinte torma:

    REGRA DE CRAMER

    Veiamos a demonstrao dessa regra para um sistema linear de trs eeuaes a trs in-cgnitas.

    Seja o sistm:

    f^Seiam A = la",

    _t^-

    lo'Io'

    l , / lult ipl icando: a'1? equo porArl (coatodeara 2? quo por 421 lcoaior de a)a 39 quao por A31 lcofalorde a3r) somando os produtos, temos:11411x1 1_ 12A11x2 + 13A11x3 = b1A121421x1 t 22Avx2 + aBA21x3 = b2421a3rA31xl + 432431x2 t $A31xs = b3431{a1jA1j + a421 t a31A3tx1 + (aj2A11 + a22A,21+ a32A3x2 +(a1341 + a23421 + a$43x3 = b1411 + b2A21 + bsA3i

    Nessa igualdade, convm dstacar que:. A exprsso A + az1A2j + fu1431, pelo toenade Lplace, pode se repsentadpor dt A.. As expresses 124 + a22421 + a$31 arcA * a23A2 + asA31 so iguais a 0.. A expresso blA + b2421 + qA3r, pelo teorema d Laplacq pode ser representada por

    det 41.

    412 13 |ar) a' | matriz incompleta desse sistema.-^ l

    (auxr+ar"*r*a13x3=b11a)1X1 + atxt + x = Drla31xi+a32X2+313=D3

    ap 413422 423432 433

    a matrizobtida de A, substituindo-se a coluna dos coeicien.tes de xr pela coluna dos termos independns.

    t

    A egra de Crame consiste num mtodo Dr se resolver um sistema linear.

    -

    161

  • Da a igualdade expessa por: det A x1 = det A1.

    i

    t i ;

    ^r- detA

    Do mesmo modo, se muliplicrmos :1: equao por A1,2f equo por 4223f equo por A3r, o somrmos os produlos, termos:

    em queA2 maizobtidad A, substituindo-se a coluna doscoficientes oe xr- pela Jolunados trmos indpndntes.

    Analogment, podmos obtr:

    substitundo.se a coluna dos coeficientes de x3 pla coluna dos trmos indepndentes.

    Genralizndq num sisema linea o valor da incgnita xi dado pela expressoA matrz incomplta do sistema;

    em que: Ai matriz obtida d A, substituindo.se as colunas doscoicientes de x, pela coluna dos termos independenles.

    Vejamos alguns exemplos.( ^. .19 exemplo: Resotver o sistema I 2l , .I = 7

    ----- - ( x+5Y=-2Resotuo:

    ^=[ l - l l +dA=11

    | 7 l^ '=l_) l=detar -

    33

    det A, 33 ^"- dtA - 11 -"

    Observe que o sistema possvel e determinado

    Resposfa. S = [(3, -1)]

    ( - . , . .2? exemplo: Rsolvro sistema I : + I = 5

    - --- - - - ( x Y=2Hesotuceo: I r l

    ' A =l j j l=detA=0t- ' - ' t

    A. = l : i l - detA. = -7

    logo:7

    = o rmpossrver

    det A., em que A3 a mtriz obtida de A,

    nz=l ; l=derAr= 11

    dt A" 11 ,Y =

    -;t-

    &=[-] t ]=detAv=7

    r=:* =f , impossiverdet A,^ - dtABesposta: S = A

    162

    .. det A,x i = detA

  • ix ,+2xr- &=or39 xomplo: Resolver o sistema { 3x1 4x; + 5& = 10

    Ix1 + x2+ x3=1Resoluo: . Clculo do determinant da matriz incompleta.

    [ r z -r lA=13 4 5l=dtA= -12[1 1 1l

    . Clculo do dterminante ds incgnits.I o r

    - r ln,=lr r- d l -aeta, = -zn A:=

    11 1 1ll r zol tls a rol= det : = o-l l 1 lJ

    1 0 1l310 5l+detA, =1 1 1J

    3v=s

    +12

    EXERCICIOS DE APRENDIZAGEM

    I Resolva os sistemas a seguit uttizando a reg-ade Crmer.

    ") l , i13=' . ' ) l ' .

    Ache o conjunto soluo do sistemaia+b+c+d=0I 2a+5d=4I 3c-2d=1I ,4b + 3d:5

    . 163

    . Clculo das incgnitas.

    , =:1"-:i' = ---:-:: =2

    det A' +1,xz=

    "^, .=- l ; = 1

    O sistema possvel e dtermtnaoo.Fesposfa. S = l(2, - j ,0)l

    ,."=#nr. ==j =o

    4 Determine o conjunto souo alo sistema:x+y-10:0x-z- 5=0y-z 3=0

    5 Resolva as equaes matdciais:

    "(? - l) ( i ) :( , ' 2 Resolva o sisrema: ^" * ^t

    = |' ' - - - - ' ' - t2\+2) I0

    3 Resolva, utjljzando a regra de Cmmer:. , (*+zy z=2\

    " l 12" y+32=e

    (3x + 3y 22 = 3

    fzu r* "=:b) la b+2c=3

    la+b+ c-6

    (2"- y- t"=tc) -x + 3y + z= -10

    l3x+2y -22= -2

    "(i i)(') )

  • DISCUSSAO DE UM SISTEMA LINEAR

    Seia o sistema linear de n equaes n incgnitas.ax1 + 412X2 + . . . + alnxn = blax( l + autY2 +. . . +.aXn =b2

    an1x1 + an2x2 + ... + annxn = bn

    Discutir o qistema saber se le possvel, impossvel ou idotgminadoUtlllzando ega de Cmer,lemos:.. det A1 ..2 det A2 det A"xt = detA x- = detA " x" = t :

    Vejamos alguns exemplos.

    _9 6xmolo: Discutiro sisteme I 3x + my = 2

    - - - - -L x Y='rResoluo: Vamos calcular o valor dos determinantes:

    l= l i _ l=detA= -3-m

    t l

    Ar = l i - l - det A = -2 - mt l

    A, = l : l= det A' = 1- t , , t

    Fazendo: det A = 0 -3 - m = 0m=-3

    det A1 = 0 -

    -2 - m = 0n= 2

    rI

    Diacusso:SPD+m-3sPl 3

    'mSl m=-3

    164

    I

    (sistema possvl e delrmlndo)(slstema po8evel e Indeteminado)(sistma impossvl)

  • 2? exemplo: Determinar k, de modo que o sistema

    lkx+2y - z=0{x-3v+z=0lx+ =2 admita soluo nica.

    Rsoluo: O sistema admite soluo nica, quando possvel e determinado, isto detA + 0.

    lk 2 1lA=11 -3 l l=detA.o t

    11 0 2l -6k 5/0_6k r 5k' -+

    Resposta: kt -

    39 gxmploi Determina m, de modo que o sistemax Y =2

    x+mY+z=0-x+ y-z=4 seia incompatvel .

    Resoluo:| 1 -1 0l

    A=l 1 m 1l=dtA= m 1l-1 1 -11

    12 -1 0lA, =10 m 1l=detA' = 2m-6

    14 1 -1