18
ffi$ffimmmm üËrxmmrem EQUAÇAO LINEAR Todâ equação da foíma alxl + â2x2 + ... + anxn = b é denominadâ equação linear en que: a., a/, , . .. a. são os coefjclenleg b Exemplos: a) 2x1 3x2 + N3= S é umaequação linear â três incógnitas. o)x + y = z + t: -1 é umaequaçao nearaquatro iniOg;itas. Obsêrvaçõesj t 1 flï*iïï:"Jãiïïdependente b ror isuar a 2610, a equação rinear denomina.se equação Exemplo: 5x - 3y = O 29)Uma equação linear nãoaprêsenta termos clâ form" xi. x, . x2 elc.. Ístoé.cadalêrmoda equação lem umaúnica incógnita. cujo expoente é sêmpre f. .- -.- -. "-", As equaÇÕes 3x1+2x, = _Je.4x.y +z = vZ náosãolineares. 3f) Á solução dê,uma equação linearan incógnitas é a seqüéncia de números reais ou ènupla lã';ïã;;;#àïï?j''"câdos respectivamente no trs"io"i,, *,, . .i, *ï,ïiiãfr u","o",r"i 4?)Umasolução evidente da equaçâo tineâr homogênea 3x + y = Oé a dupta (0,O). Vejamos alguns êxemplos. 19exemplo: Dâda a equação linêar4x y + z = 2, êncontrar umâ de 6uassolirçóês. Resolução: Vamos atribuir vâlores arbitrários a x e y e obtero valordê z. . _.,x" sãoasincógnitas é o Ìermoindependentê x=2 tortântq uma sotução é a tripla ordenada (2, O, _6). 157

cap.12 - SISTEMAS LINEARES

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lã';ïã;;;#àïï?j''"câdos respectivamente notrs"io"i,, *,, . .i, *ï,ïiiãfr u","o",r"i Resolução: Vamosatribuirvâloresarbitráriosa x e y e obtero valordê z. alxl + â2x2+ ... + anxn= b é denominadâ equaçãolinear . _.,x" sã o a s in c ó g n it a s é o Ìermoindependentê Exemplo:5x - 3y = O tortântq uma sotuçãoé a tripla ordenada(2,O, _6). Vejamosalgunsêxemplos. en que:a., a/, , . .. a. são os coefjclenleg Todâequaçãoda foíma 157 x= 2 b

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Page 1: cap.12 - SISTEMAS LINEARES

ffi$ffimmmm üËrxmmrem

EQUAÇAO LINEAR

Todâ equação da foíma

alxl + â2x2 + ... + anxn = b é denominadâ equação l inear

en que: a., a/ , , . . . a. são os coef jc lenleg

b

Exemplos: a) 2x1 3x2 + N3 = S é uma equação linear â três incógnitas.o)x + y = z + t: -1 é uma equaçao neara quatro iniOg;itas.

Obsêrvaçõesjt 1

flï*iïï:"Jãiïïdependente b ror isuar a 2610, a equação rinear denomina.se equação

Exemplo: 5x - 3y = O

29) Uma equação linear não aprêsenta termos clâ form" xi. x, . x2 elc.. Ísto é. cada lêrmo daequação lem uma única incógnita. cujo expoente é sêmpre f. .- -.- -. "-",

As equaÇÕes 3x1 +2x, = _Je.4x.y +z = vZ náo são l ineares.3f) Á solução dê,uma equação lineara n incógnitas é a seqüéncia de números reais ou ènupla

lã';ïã;;;#àïï?j''"câdos respectivamente no trs"io"i,, *,, . .i, *ï,ïiiãfr u","o",r"i4?) Uma solução evidente da equaçâo tineâr homogênea 3x + y = O é a dupta (0, O).

Vejamos alguns êxemplos.

19 exemplo: Dâda a equação linêar4x y + z = 2, êncontrar umâ de 6uas solirçóês.Resolução: Vamos atribuir vâlores arbitrários a x e y e obter o valor dê z.

. _. , x" sãoas incógni tas

é o Ìermo independentê

x=2

tortântq uma sotução é a tripla ordenada (2, O, _6).

157

Page 2: cap.12 - SISTEMAS LINEARES

29 êxemplo: Dada a equação 3x - ry = 5, determinar d parâ que a dupla (- 1, d) seja soluçãoda equâção.

Resolução: \_1,d|

Resposta: d = -4

EXERCÍCIOS DE APRENDIZAGEM t

fiquat aas seguintes equações são lií€arcs?

a)4a-b+; =0

b\sx+2yz-0c)x 'z-5y-od) xyz = Ì

(lAche duas soluçoes da equação:

- \++&=0.

(3ì"t"..in" -

pu. que (-1, 1, -2) s€ja soìu-ção da equação mx + y - 22 = 6.

/s\ !?Daoa a equaçao -t i

= - t ,acne"pa-

ra que (o, a + l) torne a sentença v€rdadeim.

llPekrmine duas soluçòes da equaçàox+2y z=0.

ftCacute a ae moao que ( - l, a + l, 2.) não se]a'- soluçào dâ equação 2x + 4y + z - 0.

.Denomina-se sistema linear de m equaçóês nâs n incógnitas x1, x2, . . ., xn a todo sistê-ma oa Íorma:

em que aÍ, a12, . . -, a1n, bj, b2, .. . , bn são números rêais.

Sê o conjunto ordenado de números reais (ol, 02, . . ., on) satisfizer todâs as equações dosistema, seíá denominado solução do sislema linear.

ObseNação: Sê o teímo independonte de todâs as equações do sistema for nulo, isto é,b1 = b2 = ... = bn = 0, o sistema l inearserá dito homogôn€o

Uma soluçáo êvidente do sistema linear homogéneo é x = y = z = O.. Esla solução chama-se solução lrivial do sistoma homogênêo. Se o sistema homogêneo

admitiroutra solução ondê âs incógnitas não são lodas nulaq a solução será chamâda solu-Qão não.lrivlal.

158

ExgÍnplo: /lAx+v z=ol 'x+y+nz=ot5x - 2y + 32 = 0

SISTEMA LINEAR

Page 3: cap.12 - SISTEMAS LINEARES

SISÏEMAS LI N EARES EQU IVALENTES

Se dois sistemas lineares 51 e 52 admitem a mêsma soluçáq eles são diios sislemas €qui-valentes.

Exemplo: Calcular m e n, de modo que sejam equivalenÌes os sisiêmas:

ResoluÇão:

f x y=r(2x + y = 5

fmx ny= I{nx t my = 2

. Cálculo de x e y.

2x+y=5

Substituindo-se x ê y no segundo sjstema, vem:

2m- n = - '1 2m- n= 1= 2m+4n=4

J

2n +m=2

2m-n=-1

Resposta: m = 0en = 1.

2m-1= 1

_ t* I

EXERCICIOS DE APREN DIZAGEM

' ' '2xÌ+3x, xr=0xl 2xz+xj :5xr + x2+x] = 2

a) Verilique se (2, t, 1) é solução de S.b) Verifique se (0, 0, 0) é solução de S.

\Srseia o. isrema: ì3x + ) = k ' 9

[ \ -zy=K+r

Caìcuìe k pam qüe o ' i . lema 'ejâ hoÌo8èn<o.

3 ve, i t ique se o* isr(ma' . , Í ' : , : : "

,,1 ,ì- i, -; ,"".,,.,.";.d ( l -L!e.r-SPl D(rc ' mi le a e b, de moJo que ,e

l^lam equr larente( o\ \ r \ tcmâ\ 1 . , : . e

Ì11-Ì-4

lax+by=l

159

r

Page 4: cap.12 - SISTEMAS LINEARES

EXPRE MATRICIAL DE UM SISTEMA DEEQU LINEARES

Dentrê suasvariadas aplicaçõês, âs mâÌíizes são uÌilizadas naresoluçãode um sistemade equações lineares.

Seja o sisÌema linear:

, t

Obseíve que se vgcê efetuar a multiplicação das matrizês indicadas irá obter o stsremaoaoo,

Se a matíiz constituída pelos coeflciênteg das incógnilas Íorquadrada, o sêu determinanleé dito determinante do sistema.

t^ -l2xr +5x2- &=0Exêmplo: Sela o sistema: 1 4x1 3xz + 6& = -1

l i lx1 + x"-à3=8

Ele pode ser repÍesentado poí meio de matrizes, da seguinte forma:

ssÃocoEs

+ . . . + ahxn = b1+ . . . + a2nxn = b2

::+ . . . + amnxn = bm

ntar oste sistema da seguintê formâ

l ' ' I lb1 Ilx , I lbz It t=t lt t t lt t t llx" t lb" l

TTmaÍiz coluna maÍiz colunaconstlluída dos termos

pêlasincó0nitas independêntes

ï ,

Util izando

[ í ï i ] [ i i ] tl8l

t

I Exprcsse matÍicialmente os sistemâs:

a1 fzx + y=s(x-3y=0

2a+ b+c= -1a +c=0

_3a+5b-c=2

( -*+y+"-t :z

" , 1 2x-y+t=0- ' l Y-z+31 =l

| \+2y z+4t= -5

2 A c\pressão matricial ale ìrm sistema S é:

[ : s l [a l l -+ ll r i l lb l - I 7 lDetermine as equações de S.

b)

160

I

Page 5: cap.12 - SISTEMAS LINEARES

Os sistemas lineares são classificados, quânto ao número de soluçõês, da seguinte torma:

REGRA DE CRAMER

Veiamos a demonstraçâo dessa regra para um sistema linear de três eeuaçÕes a três in-cógnitas.

Seja o sistêmâ:

f^Seiam A = la",_t^-

lo'Io'

l , / lult ipl icando: a'1? equâção porArl (coíatoídearìa 2? êquâção por 421 lcoÍaior de aã)a 39 êquação por A31 lcofalorde a3r) ê somando os produtos, temos:â11411x1 1_ â12A11x2 + â13A11x3 = b1A1ìã21421x1 t ã22Avx2 + aBA21x3 = b2421a3rA31xl + 432431x2 t â$A31xs = b3431

{a1jA1j + aã421 t a31A3tx1 + (aj2A11 + a22A,21+ a32A3ìx2 +(a1341í + a23421 + a$43ìx3 = b1411 + b2A21 + bsA3i

Nessa igualdade, convém dêstacar que:. A exprêssão âÍAÍ + az1A2j + fu1431, pelo têoíeínade Lâplace, pode seí repíêsentadâ

por dêt A.. As expressões â124Í + a22421 + a$Â31 ê arcAÍ * a23A2ì + asA31 são iguais a 0.. A expressão blAÍ + b2421 + qA3r, pelo teorema dê Laplacq pode ser representada por

det 41.

412 â13 |ar) a' | â matriz incompleta desse sistema.-^ l

(auxr+ar"*r*a13x3=b11a)1X1 + atxt + âÌxì = Dr

la31xi+a32X2+â313=D3

ap 413422 423432 433

a matrizobtida de A, substituindo-se a coluna dos coeÍicien.tes de xr pela coluna dos termos independênÌês.

È

t

A íegra de Crameí consiste num método Dârâ se resolver um sistema linear.

ì-

161

Page 6: cap.12 - SISTEMAS LINEARES

Daí a igualdade é expíessa por: det A x1 = det A1.

Ì

i

t i ;

^r- detA

Do mesmo modo, se mulÌiplicârmos â:1: equação por A1,2f equâção por 4223f equâção por A3r, âo somârmos os produlos, terêmos:

em queA2é ãmaÍizobtidadê A, substituindo-se a coluna doscoêficientes oe xr- pela Jolunados têrmos indêpêndêntes.

Analogâmentê, podêmos obtêr:

substituìndo.se a coluna dos coeficientes de x3 pêla coluna dos têrmos indepêndentes.

Genêralizândq num sisÌema lineaí o valor da incógnita xi é dado pela expressão

A é â matrìz incomplêta do sistema;em que: Ai é â matriz obtida dê A, substituindo.se as colunas dos

coêÍicientes de x, pela coluna dos termos independenles.

Vejamos alguns exemplos.( ^..19 exemplo: Resotver o sistema I 2l

, .I = 7

----- - ( x+5Y=-2

Resotução: ^=[ l

- l l +dêÌA=11

| 7 í l

^ '=l_) Ãl=detar - 33

det A, 33 ^"- dêtA - 11 -"

Observe que o sistema é possível e determinado

Resposfa. S = [(3, -1)]

( - . , . .2? exemplo: Rêsolvêro sistema I : +

I = 5

- --- - - - ( x Y=2

Hesotuceo: I í r l' A =l j j l=detA=0t- ' - ' t

A. = l : i l - detA. = -7

logo:7= o rmpossrver

det A., em que A3 é a mâtriz obtida de A,

nz=l ì ; l=derAr= 11

dêt A" 11 ,Y =

-;tã-

&=[-] t ]=detAv=7

r=:Ë* =f , impossiverdet A,^ - dêtA

Besposta: S = A

162

.. det A,x i = detA

Page 7: cap.12 - SISTEMAS LINEARES

ix ,+2xr- &=or39 êxomplo: Resolver o sistema { 3x1 4x; + 5& = 10

Ix1 + x2+ x3=1

Resolução: . Cálculo do determinantê da matriz incompleta.

[ r z -r lA=13 4 5l=dêtA= -12

[1 1 1l

. Cálculo do dêterminante dâs incógnitâs.I o r - r l

n,=lrõ r- d l -aeta, = -zn A:=11 1 1l

l r zol tls a rol= det Á: = o-l l 1 lJ

1 0 1l310 5l+detA, =1 1 1J

3v=s

+12

EXERCICIOS DE APRENDIZAGEM

I Resolva os sistemas a seguit utìtizando a regÌ-ade Crâmer.

") l , i13ï=' . ' ) l ' ï .

ó Ache o conjunto solução do sistema

ia+b+c+d=0I 2a+5d=4I ì3c-2d=1I ,4b + 3d:5

. 163

. Cálculo das incógnitas.

, =:1"-:i' = ---:-:: =2

det A' +1,xz= "^, í .=- l ; = 1

O sistema é possível e dêtermtnaoo.Fesposfa. S = l(2, - j ,0)l

,."=#nr. ==j =o

4 Determine o conjunto soÌução alo sistema:x+y-10:0x-z- 5=0y-z 3=0

5 Resolva as equações matdciais:

"(? - l) ( i ) :( , ' ï2 Resolva o sisrema: Í^" *

^t =

|' ' - - - - ' ' - t2\+2) I0

3 Resolva, utjljzando a regra de Cmmer:. , (*+zy z=2\ " l 12" y+32=e

(3x + 3y 22 = 3

fzu r* "=:b) la b+2c=3

la+b+ c-6

(2"- y- t"=tc) í -x + 3y + z= -10

l3x+2y -22= -2

"(i í i)(') É)

Page 8: cap.12 - SISTEMAS LINEARES

DISCUSSAO DE UM SISTEMA LINEAR

Seia o sistema linear de n equaçóes â n incógnitas.

aÍx1 + 412X2 + . . . + alnxn = bl

ax( l + autY2 +. . . +.aàXn =b2

an1x1 + an2x2 + ... + annxn = bn

Discutir o qistema é saber se êle é possÍvel, impossível ou iídotgÍminado

Utlllzando â Íegía de Cíâmer,lemos:

.. det A1 ..2 det A2 det A"xt = detA x- = detA " x" =

ìët Ã:

Vejamos alguns exemplos.

í_í9 6xêmolo: Discutiro sisteme I 3x + my = 2

- - - - -L x Y='r

Resolução: Vamos calcular o valor dos determinantes:

l= l i _ï l=detA= -3-mt l

Ar = l i - ì l - det Aí = -2 - mt l

A, = l : Í l= det A' = 1- t , , t

Fazendo: det A = 0 á -3 - m = 0m=-3

det A1 = 0 -

-2 - m = 0ín= 2

rI

Diacussão:SPD+mí-3sPl 3

'mSl ém=-3

164

I

(sistema possívêl e del€rmlnâdo)(slstema po8eÍvel e IndeteÍminado)(sistêma impossÍv€l)

Page 9: cap.12 - SISTEMAS LINEARES

2? exemplo: Determinar k, de modo que o sistema

lkx+2y - z=0{x-3v+z=0lx+ú =2 admita soluçâo única.

Rêsolução: O sistema admite soluçâo única, quando é possível e determinado, isto êdetA + 0.

lk 2 1lA=11 -3 l l=detA.o t

11 0 2l -6k 5/0_6k r 5k' -+

Resposta: kt -Ê

39 gx€mploi Determinaí m, de modo que o sistema

x Y =2x+mY+z=0

-x+ y-z=4 seia incompatível .

Resoluçáo:

| 1 -1 0lA=l 1 m 1l=dêtA= m 1

l-1 1 -11

12 -1 0lA, =10 m 1l=detA' = 2m-6

14 1 -11

1 2 0l' I 0 1l=dotAz= -+

-1 4 ,11

| 1 -1 2lA3=l 1 m 0l=detA3=6m+6

l-1 1 4l

Fazendo: det A =O+-m-1=0

det A1 =0+ 2m 6=0m= 3

detAg=0- 6m +6=0

l%íam= l teremos:x = - 4

- t- ( impossivel). y =

õ ( impossível) e

z = * (indetêrminado).

Respogíaj Sl 3m=-1.

ffiffiffi$i

Page 10: cap.12 - SISTEMAS LINEARES

EXERCICIOS DE APRENDIZAGEM

I Classifique e resol!" os sisremas: 7 Determine a e b para que o sistema

le"+^y=tzt4x + 4y = b sejaindet€Íminâdo.

I Qual o valor de p para que o sisrema

[n, r , , = +I x + py + z = 0 admiraumasoluçãolinical

[* -Y=z9 Determine o valor de k para que o sjsÌema

(u q-r\4x 22 = 2 seia indeterminado.(2Y-:*=: t

l0 Determineosvalores ileme k, de modo quese,ja compativel e inde(erminado o sistema:

( "+zy m"= - t

\3x y+z=4

l-bt+4y-22=kll (Fuvest-SP) Para qüais valores de a o sistema

{" * y * '

= tìinear l2x + 3y + 42 = a^ admiresolução?

I t zz=a'| 2 Para que valores d€ k o sisrema

I x+y +zz= r\3x - y + 22 = 3( r+kz= z

é compatível e determinado?

. (x*,=ta ' i : " iy = -r

. . íx + v = :o) lz* + 'zy = I

2 Discuta os sistemas:

a1 [ ,n +y=z

. (N+zr=s"r i*+y=4

blfkx+y=1tx + Y:2

3 (Faap-SP) Discuta o sistema

[zr , - ty=t ,1t x+kY=1-k

4 Determine k para que o sist€ma iídicado sejadeterminado:

[ r+y=s{3x 2y=k

tx+ky=55 Calcule â pam que o sistema

la-r- 2y+u=t[ -2\ + ay - 2a = I seja determinado(Sugeçrào: tÍanspone os termos que nào pos.suem ìncógnitas paÉ o 2: membro.)

ó Calcule os \,ãlores de a pala que o sistema

í3x+2v=l

Iax - +i, O sejacompatrlqeoeleÍÌnrnado

t

. Comojá vimos, um sistema linear homogêneo é formado porequaçõês cujos termos in-dêpendentes são todos nulos, isto é:

a1jx1 + Afx2 +. . , + ahxn =0

anxl + Au:X2 + ... + a2nxn = 0

An1\ + ad2x2 + . . . + annxn

. Todo sislema lineal homogêneo é sompre possível, pois admite a solução (0, O, . . ., O),chamada solução trlvial.

166

DISCUSSAO DE UM SISTEMA DE EQUACÕESLINEARES HOMOGENEAS

Page 11: cap.12 - SISTEMAS LINEARES

det A1 = 0,detA2 = 0, . ,detA. = 0.

Fortanlo, para adiscussáo de um sistema linear hoíhogêneo é suficienÌe o estudo do de.têrminante dos coêÍicientes das incógnitas.

Í - "*y-r=o -- !

Exêmplo: Calcular o valor de m paía que o sistemâ I x - y + mz = O tenha somente

a soruçâo triviar. lx + Y -z = o

Feso/ução. Paraquêo sistema tenha somente a soluçâotriviâ|, isto ê, sêia determinado, é ne-cessário quê det A . 0.

ffiffi,18ffi

Ím(R m*11

EXERCíCIOS DE APRENDIZAGEM \,',Iü\

/Ì\Iassifique quanroao número de.oluçóe'. o,' seguintes sistemas homogêneos:

. í:,, r*, = oar l -àx ' +ãx,=o

(x+y+u=ob){x y-32=0

. lx + 4Y = 0

VCalcule o r.alor de a oara oue o sistema

^' Iax+v:0

l* - í =-o renhâ soluçõe1 di lèrentes dâ

triüaÌ.

t{oet.rrnin.rn para que o sisrema

I t

l2x-y+32=0lx + 4y - 52:0(3x + my + 22 = 0

tenha soluções pÍóprias.

Obsgrve que para um sistema homogêneo teromos sempre

1 1 -111 1 ml=detn=2m-270I 1 1) 2m-2-m,1

\fl:alcule o valor de a para que o sisrema

/ lax + y + 2 = 0' \2*-y +z-a=0

{.ar -r a,/ 5 - 0 .era impo\.í\e..

ÁGuvest-SP) Seja M a matriz alos coeficientes do

f ' , , + a* x,+2\=olxr + xr+ 2rr+ Àa=0) x1 +2\2+ xr+ &=0(2xr + xr+ xr+ &=0

a) Calcule o determinante de M.b) Prcve que o sistema admite uma única so-

Ìução.

'!167

Page 12: cap.12 - SISTEMAS LINEARES

Vejamos alguns exemplos:

(nx - sv= 219 gxemDlo: Resolver o sìstema I ;:: ;L--- ' - - tzx + 4Y = 10

Reaoluçâo: Dividindo-se â 29 equaçáo por 2 e trccandca de posição com a 1f equação parafazer o coeficiente de x igual a 1, vem:I .)x+zY=5t4x-3y= -2

Para eliminaí a incógnita x, multiplica-se a 19 equação por (-4) e soma-se c$ma 2i equação:

lx + zy = s| -11y = -22

Da 2? equaçãq vem:11y = -22-y =2

Substituindo y = 2 na 29 êquaçãq temos:x+4=53x=1

Observâção:Fodomos resolver este sislema utilizando somente os coeÍicientes, isto é, a mâ-triz completa associada ao sistema da sêgulnle forma:

I't z 5l f914 -3 -2-

I'r z sll0 11 221

Da 2? equaçáo, vêm:11y=-22)y=2

Substituindo na 1i equaçáq temos:x+2Y=5-x+4=5

FesposÍaj S = [(1,2)]

Íx+2y+42=529 ex€m9fo: Resolver o sistema l2x - y+22=8

(3x 3Y - z=7

Resolução: O coeÍiciente da primeira incógnitâ x é aÍ = 1.

. Ìúulliplicando a primeira equaçáq respectivamente, por (- 2) e por (- 3), e soman-do, respectivamonte, com â 29 e 39 equações, oblemos o sislema equivalente:

5

-8

lx+zy+ tz={ -5y- 62 =

[ -w-tsz =

169

Page 13: cap.12 - SISTEMAS LINEARES

ESCALONAMENTORESOLUCÃO DE UM SISTEMA LINEAR POR

â) Sistema escálonado

Um sislêma linear é dito escalonado quando eslá disposto nâs seguintes formas:

I

. Observeq-ue na pÍimêirâ equação aparecem todâs as incógnitas, na 2? desapaÍece a in-cógnita x, na 39 desaparecê a incógnita y, e assim sucessivamãnte.

b) Método do €scalonamento

, . O procêsso de resolução de um sistema linear que envolve â eliminação de incógnitasè denominado método do oscalonemênto

Este método procuíâ transformaro sistemadadoem sistemas equivalentes ítêm a mes"ma solução), ate chegar a um sistema êscalonado, usando as sêguintes propriedades:

. Trocar as posiçôes de duas equações.

. Trocaí as incógnitas de posição

. Dividir uma das equações por um númeío real diÍerente de zêro

. Í\4ultiplicar uma êquação por um número rêalê adicionaro resultado a outraequaoáo

. Aplicação do método

Sejâ o sistema

lx+3y=4 lx+2y-z=2(0x+ y=1 e í0x.r5y+z=1

tox +0y z=7 t

411X1 + ãpx2axxl + 422x2

::

+ 413x3 +* azsx: +

-f a.3x3 +

. . . t â1nxn = b1

.. . +az.xn= b2

.. . + amnxn = Dm

Parâ transÍormá.lo num sistema escalonadq devemos prccedêr da seguinte forma:

. Tornar o coeficiênte aÍ igual â 1.

. Tornar iguais a zero os coeficientes de x1 nas êquaçóes Localizadas abaixo da 1?.

. Fazer, se houvêr necessidâde, o coeficiênte de x2 na 2a equação igual a 1.

. Tornar iguâis a zero os coeficientês de x2 nas êquaçóes localizâdas abaixo da 2: ê as-sim sucessÍvamentê. aÌé obtêr um sistema equivalentê na forma escalonada-

. Da última.equaçáo, âchâ.se ovalordâ incógnitaxn, quêsubstituído na penúltimaequa_ção permile encontíaí xn 1, e assim por diante com os valores de x3, ;2 e xj.

168

Page 14: cap.12 - SISTEMAS LINEARES

rr

i*'iti'.gi:,Ì:r l

L

x+2y+42=5

" , 9, = Z-gy- l3z= 8

. Multiplicandose a 29 êquâçâo por(9) e somando-èe com a 3a equaçâq vem:

. Dividindo-se a 29 equação por -5, vem:

lx + 2y + 42 = 5) , , -6.-2

í ^ 11 _ 22

Da 3? equação, vem:

Ëz= -È -z=2

Substituindo na 2i equaçâo, temos:

v+9 =? =v= z

Substituindo na 1? equaçãq obtemos:x-4+8=5+x = 1

s = t0, -2, 2Ì

_r

I rz45ll0 -5 6 2l :[0 -s -13 8l

l r r4slor9Zlc5l0 I -13 ,8

I t z 4 5llor9?lI c c ll " "

11 22 1I c c l

Resposta:

170

Dâ 3: equaçâq temos:

- !z= 4 -z=zSubstituindo-se na 29 equação. vem:. . 12 2 ^

Dâ 1i equaçáq lemos:x-4+8=5=x=1

Utilizando a matriz completa, podemos simplificar ã resoluçâo

l . z 45112 -1 28113 3 - l 7 l

o

ls

Page 15: cap.12 - SISTEMAS LINEARES

( at bt c=39 sx€mplo: Rêsolveí o sistêma 1 3a - b + 2c =

l2a-2b+ c=

Resolução: Utilìzando a matrìz complêta, têmos:

14.-3

1, l oÉà14l-- ì- Í

-31+

t

Da 3i equaçãq temosl0a + 0b + 0c = -5 (impossível)

Reêposta: S = A)

( x+2v -z=q4: exempfo: i Íesotvero srsrema L3X _ y-z=S

Resolução: Obsêrve que o número de incógnitas (três) é maioí do que o número de equações(duas).

Utilizândo a matriz complêtâ, têmos:

l r 2 -1 4l ! -3 '13- i i5 l " -

l ' t "141l0 7 4 7l

O sistema equivalente é:

lx+\-z=aI 7y+42: 7

Note que o sistema é indeterminadq porém, fazêndo z = a, obtemos a soluçãogeral:

. Da 2l equação

-7y + 4a = -z - v = a^ï 7

l1 1 113 -1 2L2 -2 1

11 1 1l0 -4 1[041

11 1 1l0 4 1l0 0 0

12 | ,^.-221 \- 't)

X+

? equâção

,Wl-a=+-x=14ía

$. '+'41Fesposta. S =

171

Page 16: cap.12 - SISTEMAS LINEARES

r

í l t -gv* r=g59 ex€mpfo: Resolvor o sistema l3x + y + 42 = -1

[5x-ry+32=2Rosoluçáo: Ìocando a 3? coluna de posiçâo com â 1:, temos:

z-3y+4x=342+ yl-3x= 13z-2y+5x=2

Utilizando a matíiz completa, lemos:

[ r -ar 3 l ìG14 13 - lJ--- : - Ì13 2s 2l-Í t -s 4 3llo rs -rs r3l , r )l0 7 -7 -71

lr s 4 3l ,.---l0 1 1 -11 i - 7,107771

il + sistema indererminado

!f

Fazêndcse x = À,vem:. Da 2i equação

y-I= -1 -y=À- 1. Da 1: equação

z 3(À-1)+4ì=3+z= - lResposla. S= i0, ì - 1, - \ ) l

6? gxgmplo: Qual o valor de m parâ que o sislema a seguir tenhâ solução única?

fmx + 3y = tzt4x- y=10

Resolução: Opeíando com a matrÍz completa,lemos:

[m o rzl*1[ 4 ,1 101+

l1 -3 4l0 1 -1[000

I r - r ro l@lm 3 121

l . 1 5l -ml ' -T z l[m 3 12t

- i

mrfZ

Da 2: equaçáo, vem:lm+12 I 24 5ml-^ tt = --------

Obsêívândo esta equação, verificâmosque o sistema será possívele delermina-ÃL1t

dose ; - -0, istoé.m

/ 12.

Resposta: m I -12

172

5

24-5m

r -

Page 17: cap.12 - SISTEMAS LINEARES

EXERCICIOS DE APREN DIZAGEM

I Resolva os sistemâs:

at lax-2y=8Ix+5y=-9

. - í :x+lv=lD'{ :x + zy = 2

2 Resoba os sistemas:

a+4b+3c=la-3b-2x.=5

2a+5b+4c:4

3 Resolm o sistema:

í x+y+ z+ t=2I x-y-22-3t= 5\2x+y-31'+ t= -9l3x-y- z+ t= -6

4 Àche o !ãlor de y Íro sistema:(*++y- z=rl4x+5y+22=12Ix 2y+32=8

5 DeteÍmine o conjunto solução dos sistemas:

atí zx+ y+ z=5 b) i :** y=3l-2x+ y+ z-L l5x+3y=1(2x+5Y+52=17 [x-aY=7

EXERCíC|OS DE F|XAçÃO

233 Ache m, de modo que ( - l, 2, - 3) seja solu-çâodâequaçãolinear2a - 4b + mc : 0.

234Resolm os sistemas:

235 Resoll"4 utilizando a regra de Cramer:

. , [ x + 2y=t- ' t l3x+Xy=9

üí z*-r-q( -ax+6y= -8

\y'

ó Discuta os srstemas;

a) [x+3y=ab)[ x+ y+ z=0(2x+by=4 I "-

y+mz=2

tmx+2y+ z=l

7 Detemine k, parâ que o sistemâ

I4x+Ln:14Ì|g + 9i :2l seja Indetenrunado l

8 Calcule os valoÍes de k e m, de modo que o s$-í , . - . .

tema linear | Ï - 'v :

' seiaimpossivel.(a- Y:

9 Determine m, de modo que o sistema a segurse.,a determinado

Í 3x- y+mz=r

I x+ y+42=0[ -2x +4y z=3

lO Ache o llalor de k paÌa qu. o .irt"."

x- y z=Ox- 2y -22 =0 adrnitasoluF€spóprias.

2x+ky+ z=0

23ó Calcule o valor de t no sistema:

Ix + y + z + t : ol2x-y+t=lly+z-2r:o

l4y+32=7237 Resolva o sistema:

[* *ru*y.sena: -senatx (-sena) + y.cosa = cosa

23E (Fuvest-SP) Ache ÍrL de modo que o sistema

f "o" t +.."o":0 na incógnitâ x

[cosx- mseux: I teúa solução

b)5xr4y-22=Ox+8y-22=O

2.,{+ y- z=O

a\[2,- y = rsb) [x +y+22: -rlx+3y=25 l4x+y+42: -2'

[2x y+22=-4

ll Para que valores reais dep e q o seguinte siste-ma não admite soluçãol

(3x+py+az:ol-x + y+32: 5{2x-3y+ z:q

2a-3b+c=23a+2Ì=o

b-c+d= -4

r

173

Page 18: cap.12 - SISTEMAS LINEARES

239 nesolvâ as equaçòes:

" , / r r ì / - ì / r ì*, ( r _r / (y/ \5/o,(? t ì í , ì = í r ì

\ r r / \y/ \ / /

240 Ounesp) Derermineum vatordep que tomeincompatíveÌ o seguinte sistema:

(*+zy-s"- tl2x 6y+pz=9( ix ay z=p

241 Calcule o valor de a, para que o sistema

f,, * y = r seja compativel et3x + 3Y = a + I d€termjnado.

242 GEI,SP) Derermine a€ b paÍa que o sisrema

f1a t l r+(â+b)y=a{ta' u':rr + {a2 + b1y = badmita uma úniôâ solução.

243 Discuta o sist€ma:

f rx+r 3z= loÍx + y + z = ó(4x+y+pz=q

244 Calcule os ralores de a para que o sist€ma(_"," ,=_,

l* :" - r -a

reìa compaÌ ivele

lüt- 2y + 42 = 5 determirÌado.

í**unr=t245 oaao o s isterna lx +;4J+z=a,

l2x.+2y+(3-a\z=b,calculeos valores dea e b, paú que estesiste-ma seja compativ€l e indeterminado.

24ó Calcule o vaÌor de \ para que o sistema

[x+y v=o{x + Ày z = 0{x + ô + l )y + z = 0âdmita soluções (\ y, z) distintas de (0, 0, 0).

247 Determine os valores de a pâra que o sistema

f ** ' " y = o(x+y 2cosa=0nas incógnitas x e y tenha sotuções diferenrcsda rriviâ1.

248 Calcule o valor de ). para que a equação ma,

/À a s -a\ /x\ /o\Ì r ic iar | - t

^ 0 l ly l= l0 l

I 0 t I l lz l l0 lseia indeterminada.

174

249 Ache o conjunto solução do sisrema abaixo,por escalonam€nio.

íx+zy+ ,=tl3x+ y- 1rz = -2l2x+3y - z=l

250 Resolva, por escalonamento, o sistema:

l2a+3b+4c=sia+ b+ c=2[4a-5b+2c=3

251 Resolva o sistema: .Ìl tx+y z= z| 7x 2z=1

| 5y+32= -1

252 Resolva o sistema por escâlonamento:

fzx+:y++z=e1" y+22=2

\\+1y+22=7253 P.esolva, por escalonâmenro, o sistema:

Í

--")x+y-z+r=0x-y+z-t=2x+y+z-t= 4x-y z- Ì= 4

254 Discura, por escalonamertq o sistema:

fzr+my=:{mx 8y = 0

255 Determine m, para que o sisrema

í+r+rm-2tr=oi r. ' rx iri i0 (eÌâ rmpo'trver'

25ó Calculem ep, deformaqueosistemaseguÌn-te seja impossível.

13\+2y=4Íí ,+4(6x (p+2)y=l

257 Calculemep, deformaqueo sistemasegüin-te seja ind€terminado.

fo" + 1- - 1y = l{9x-2y=p+l

258 Ache o valor de a para que o sistema

l i i r ï . ' i _ l tenhama;sdeuma

lzr+:y+lz=a soruçao'

259 Calcule X, de modo que o sistema a seguir se-ja impossível.(x+3y+42=t

I v+\ '=z| 2x+22=3