Cap 3 Cinematica Dos Fluidos e 4 Equacoes Fundamentais

3Capítulo 3

Introdução ao Movimento dos Fluidos

3-2

3.1 – Descrição do Movimento dos Fluidos

• O método de Lagrange descreve o movimento de cada partícula, acompanhando-a em sua trajetória total.

• O observador desloca-se simultaneamente como a partícula.

• As partículas individuais são observadas como uma função do tempo.

• A posição, a velocidade e a aceleração de cada partícula são apresentadas como:

),,,(),,,(),,,(

tzyxatzyxVtzyxr

ooo

ooo

ooo

3.1.1 – Descrição Lagrangeana e Euleriana do Movimento dos Fluidos

3-3


• O método de Euler consiste em adotar um intervalo de tempo, escolher uma seção ou um volume de controle no espaço e considerar todas as partículas que passem por esse local.

• Na descrição Euleriana do movimento, as propriedades do escoamento são função do espaço (pontos de observação) e do tempo:

),,,(),,,(),,,(

tzyxatzyxVtzyxr

3.1.1 – Descrição Lagrangeana e Euleriana do Movimento dos Fluidos

3-4


• A aceleração na descrição Euleriana é dada por:

3.1.2 – A aceleração na descrição Euleriana do movimento dos fluidos

dtVda =

• O vetor velocidade é dado por: kwjviuV

⋅+⋅+⋅=

dttVdz

zVdy

yVdx

xVVd

∂∂+

∂∂+

∂∂+

∂∂=

• A derivada de V é dada por:

• A aceleração será, portanto:

tV

zVw

yVv

xVua

∂∂+

∂∂+

∂∂+

∂∂=

3-5


• As equações escalares dos componentes da equação vetorial da aceleração na descrição Euleriana é dada por:

zww

ywv

xwu

twa

zvw

yvv

xvu

tva

zuw

yuv

xuu

tua

z

y

x

∂∂+

∂∂+

∂∂+

∂∂=

∂∂+

∂∂+

∂∂+

∂∂=

∂∂+

∂∂+

∂∂+

∂∂=

3.1.2 – A aceleração na descrição Euleriana do movimento dos fluidos

3-6

3.1 – Descrição do Movimento dos Fluidos3.1.2 – A aceleração na descrição Euleriana do movimento dos

fluidos

• O termo da derivada parcial no tempo é chamado de aceleração local:

tV

zVw

yVv

xVua

∂∂+

∂∂+

∂∂+

∂∂=

tVaL ∂

∂=

• A soma dos termos da derivada parcial no espaço é chamada de aceleração convectiva:

zVw

yVv

xVuaC ∂

∂+∂∂+

∂∂=

3-7


• Linha de Trajetória é o lugar geométrico dos pontos ocupados por uma partícula em instantes sucessivos. É a linha traçada por dada partícula ao longo de seu deslocamento.

3.1.3 – Linhas de Trajetória e Linhas de Corrente

3-8


• Linha de Corrente é a linha tangente aos vetores velocidades de diferentes partículas no mesmo instante. Note-se que, na equação de uma linha de corrente, o tempo não é uma variável, já que a noção se refere a um certo instante.


• Desse conceito decorre que duas linhas de corrente não podem interceptar-se.

3-9


• No interior de um fluido em escoamento existem infinitas linhas de corrente, definidas por suas partículas fluidas.

• Se considerarmos uma curva fechada, que não seja linha de corrente, no interior desse fluido, a superfície constituídas pelas linhas de corrente por ela interceptadas definirá o denominado tubo de corrente, ou veia líquida.


3-10

3.2 – Classif icação de Escoamentos

• Um escoamento se processa em regime permanente (ou estacionário) quando, ao observarmos, ao longo do tempo, um volume de controle previamente escolhido, as propriedades médias das partículas fluidas contidas nesse volume permanecerem constantes.

• No regime permanente a aceleração local é nula.• Nesse caso, as linhas de corrente e as trajetórias coincidem.

3.2.1 – E scoamentos em R egime Permanente e Não-Permanente

0=∂

∂=tVaL

3-11


• Exemplo prático de escoamento em regime permanente:


3-12


• Exemplo prático de escoamento em regime não-permanente:


3-13


Escoamentos Tridimensionais:

• Todos os escoamentos que ocorrem na natureza são tridimensionais. As grandezas que nele interferem, em cada seção transversal de um filamento ou tubo de corrente, variam em três dimensões.

3.2.2 – E scoamentos Uni, Bi e Tridimensionais

3-14



Escoamentos Bidimensionais:

• Se as grandezas do escoamento variarem em 2 dimensões, isto é, se o escoamento puder definir-se, completamente, por linhas de corrente contidas em um plano, o escoamento será bidimensional.

• É o caso de um vertedor de uma barragem.

3-15


Escoamentos Unidimensionais:

• O escoamento é dito unidimensional quando uma única coordenada é suficiente para descrever as propriedades do fluido.

• Para que isso aconteça é necessário que as propriedades sejam constantes em cada seção.


3-16


• Um escoamento não-viscoso é aquele no qual os efeitos da viscosidade não influenciam significativamente o escoamento e são, portanto, desprezados.

• Pode ser também chamado de escoamento de fluido ideal ou perfeito.

3.2.3 – E scoamentos Viscosos e Não-viscosos

• Um escoamento viscoso é aquele no qual os efeitos da viscosidade são importantes e não podem ser desprezados.

• Pode ser chamado também de escoamento de fluido real.

3-17


EXPERIÊNCIAS DE REYNOLDS

3.2.4 – E scoamentos Laminares e Turbulentos

3-18


EXPERIÊNCIAS DE REYNOLDS

3.2.4 – E scoamentos Laminares e Turbulentos

νµρ DVDV ⋅=⋅⋅=Re

Re < 2000 : ESCOAMENTO LAMINAR

2000 < Re < 2400(*) : Escoamento de Transição

Re > 2400 : ESCOAMENTO TURBULENTO

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• Um escoamento incompressível existe se a massa específica de cada partícula de fluido permanece relativamente constante enquanto a partícula se move através do campo de escoamento:

0=DtDρ

• Isso não exige que a massa específica seja constante em todo lugar. Se a massa específica é constante em todo lugar, então, obviamente, o escoamento é incompressível, mas isso seria uma condição mais restrita.

• O escoamento atmosférico, no qual ρ = ρ(z), em que z é vertical, assim como os escoamentos que envolvem camadas adjacentes de água doce e salgada, são exemplos de escoamentos incompressíveis nos quais a massa específica varia.

3.2.5 – E scoamentos de Fluidos Compress íveis e Incompress íveis

3-20


• Além de escoamentos de líquidos, escoamentos de gás com baixa velocidade, tais como o escoamento atmosférico mencionado anteriormente, são também considerados como escoamentos incompressíveis.

• O Número de Mach é definido como:

cVM =

• Onde: V é a velocidade do gás e c = (k.R.T)1/2 é a velocidade do som.


3-21


• O número de Mach é útil para decidir se determinado escoamento de gás pode ou não ser estudado como um escoamento incompressível. Se M < 0,3, as variações de massa específica são no máximo de 3% e o escoamento é assumido como incompressível. Para o ar padrão, isso corresponde a uma velocidade abaixo de 100 m/s.

• Escoamentos incompressíveis de gases incluem: escoamentos atmosféricos, a aerodinâmica de aterrissagem e decolagem de aviões comerciais, os escoamentos de ar em sistemas de ar condicionado e de aquecimento, os escoamentos em torno de automóveis e através de radiadores e ventiladores, e o escoamento de ar em volta de edifícios, por exemplo.

• Escoamentos compressíveis incluem: a aerodinâmica de aeronaves de alta velocidade, o escoamento de ar através de turbinas de jatos, o escoamento de vapor através de turbina em usinas termoelétricas, o escoamento de ar em um compressor, e o escoamento de mistura de ar-gasolina no motor de combustão interna.


3-22


• Um escoamento de um fluido é UNIFORME, do ponto de vista cinemático, quando o campo de vetores velocidade, no instante considerado, é constante ao longo do escoamento.

• No escoamento uniforme as trajetórias são retas paralelas e, ao longo de cada trajetória, no mesmo instante, todas as partículas têm igual velocidade.

• A definição de escoamento uniforme obriga a constância da velocidade ao longo do escoamento, e não transversalmente, isto é, as velocidades em trajetórias distintas, no mesmo instante, podem diferir.

• Nos escoamentos uniformes, em virtudes das trajetórias serem retilíneas, coincidem as trajetórias e as linhas de corrente.

• A velocidade média torna o escoamento uniforme na seção:

3.2.6 – E scoamentos em R egime Uniforme e Variado

3-23


• Escoamentos variados:

3.2.6 – E scoamentos em R egime Uniforme e Variado

3-24


• Um escoamento de um fluido é CONSERVATIVO, quando a massa permanece constante ao longo do escoamento do fluido.

• Este caso, de ocorrência freqüente, verifica-se nos encanamentos onde não há adição nem subtração de matéria ao longo da parede sólida que contorna o fluido em movimento.

• Quando houver acréscimo (fontes) ou subtração de massa (poços) à corrente de matéria, o escoamento é dito NÃO-CONSERVATIVO.

3.2.7 – E scoamentos Conservativos e Não-Conservativos

3Capítulo 4

EQUAÇÕES FUNDAMENTAIS

3-26

4.1 – As Leis Básicas

• EQUAÇÃO DA CONSERVAÇÃO DA MASSA: a massa de um sistema deve ser conservada, isto é, permanecer constante.

• EQUAÇÃO DA QUANTIDADE DE MOVIMENTO: a força resultante agindo sobre um sistema é igual à taxa com a qual a quantidade de movimento do sistema está mudando. É a segunda lei de Newton.

• PRIMEIRA LEI DA TERMODINÂMICA: A taxa de transmissão de calor para um sistema menos a taxa com a qual o sistema realiza trabalho é igual à taxa pela qual a energia do sistema está variando. É a lei que relaciona taxa de transmissão de calor, a taxa de realização de trabalho e a taxa de variação da energia de um sistema.

3-27

4.2 – Equação da Conservação de Massa (ou Equação da Continuidade) para Regime

Permanente• Seja o escoamento de um fluido por um tubo de corrente:

• Seja a vazão em massa na seção de entrada do sistema Qm1 e na saída Qm2.

3-28


Permanente

• Para que o regime seja permanente é necessário que não haja variação de propriedades, em nenhum ponto do fluido, com o tempo.

• Se, por absurdo, Qm1 ≠ Qm2 , então em algum ponto interno ao tubo de corrente haveria ou acúmulo ou redução de massa. Dessa forma, a massa específica nesse ponto variaria com o tempo, o que iria contrariar a hipótese de regime permanente.

3-29


Permanente

Assim:

Qm1 = Qm2 ou ρ1Q1 = ρ2Q2 ou ρ1A1V1 = ρ2A2V2

• Então a EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE PARA UM FLUIDO QUALQUER EM REGIME PERMANENTE pode ser resumida como:

Qm = ρQ = ρ . A . V = constante

3-30


Permanente

• Se o fluido for incompressível, então a massa específica na entrada e na saída do volume de controle deverá ser a mesma. Então:

ρQ1 = ρQ2 ou Q1 = Q2 ou A1V1 = A2V2

• Logo, a vazão de fluido incompressível é a mesma em qualquer seção do escoamento.

• A EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE PARA UM FLUIDO INCOMPRESSÍVEL EM REGIME PERMANENTE é:

Q = A . V = constante

3-31


Permanente

• Para o caso de diversas entradas (e) e saídas (s) de fluido do sistema, a equação da continuidade pode ser generalizada por uma somatória de vazões na entrada e outra na saída, isto é:

para fluidos quaisquer.∑∑ =s

me

m QQ

∑∑ =se

QQ para fluidos incompressíveis.

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