UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MARINGÁCENTRO DE CIÊNCIAS EXATASDEPARTAMENTO DE FÍSICALABORATÓRIO DE FÍSICA I

CINEMÁTICA – PARTE II

MARINGÁ - PARANÁ26/03/2013

1. RESUMO: Neste experimento fez-se deslizar um móvel primeiramente sobre um trilho de ar da Azeheb inclinado, utilizaram-se sensores de tempo conectados a um cronômetro de precisão (±10-3)s para medir os intervalos de tempo em que o móvel passava entre cada sensor, tornando possível então descrever o comportamento deste objeto. Com procedimentos semelhantes a estes utilizou-se o mesmo móvel, preso por um fio inextensível, passando-o por uma roldana e conectando um objeto de pequena massa ao fio, mas agora com o trilho nivelado liberou-se o carrinho que foi puxado pela massa suspensa e anotaram-se os intervalos de tempo que a parte do carrinho que aciona os sensores levou para percorrer o espaço entre estes.

2. OBJETIVO

Descrever o movimento de um móvel sobre um plano inclinado com atrito desprezível, e sobre o plano nivelado e conectado a um fio que passa por uma roldana a outro corpo suspenso, para então encontrar as equações de movimento nos dois casos, e caracterizar o tipo de movimento do móvel em ambos os experimentos.

3. INTRODUÇÃO

“Quando um corpo estacionário recebe um empurrão, ele começa a se mover, e a menos que se continue a empurrá-lo o corpo tende a parar”. Esta observação forma a base para o estudo do movimento pelo filósofo grego Aristóteles (384-322 a.C.), isto olevou a postular que um “agente” era necessário para iniciar e manter um movimento. E apesar de se dispor atualmente de uma vasta gama de observações e recursos do que na época de Aristóteles, observações estas que restringem as conclusões do filósofo, seu postulado ainda está de acordo com a experiência cotidiana.Enquanto o estudo da estática remonta à época dos filósofos gregos, a primeira contribuição significativa ao estudo do movimento se deve a Galileu Galilei (1564-1642), que em sua obra Dialogo sopra i due massimi sistemi del mondo (Diálogo sobre os dois principais sistemas do mundo) deu-se conta de que só se separando o estudo do movimento do estudo das causas (que hoje chamamos de forças) era possível fazer progresso. Ele fez isso através da abstração de experimentos, ou seja, focava-se apenas nas informações mais relevantes para seus estudos tomando experiências que envolviam muitos fatores e variáveis e reduzindo-as a conceitos mais simples de se analisar, o que se mantém até hoje como uma das principais ferramentas da física.Suas experiências sobre o movimento uniformemente acelerado levaram Isaac Newton (1642-1727) a formular as leis fundamentais do movimento. O estudo do movimento divide-se em duas partes: cinemática e dinâmica. A cinemática trata da “geometria” do movimento, relacionando posição velocidade, aceleração e tempo, sem referência às causas do movimento. A dinâmica por sua vez, trata das relações entre as forças agentes num corpo e seu movimento; usa-se a dinâmicapara prever o movimento causado pelas forças aplicadas ou para se determinar as forças necessárias á produção de um determinado movimento.A ciência moderna, inaugurada por Galileu, tem como princípio fundamental a precisão, parte do trabalho de Galileu foi dedicado à cinemática, que busca formular matematicamente leis previsoras para o movimento dos corpos. A análise do movimento de um corpo é feita com o intuito de descrever como este se comporta em determinadas condições.

O Movimento Retilíneo Uniformemente Variado é assim definido, pois uma partícula em MRUV possui aceleração constante, ou seja, sua velocidade varia uniformemente com relação ao tempo.Para se chegar à descrição destes movimentos, devem-se realizar experimentos, observações, medições e, interpretar as informações coletadas. A partir daí tornam-se possíveis previsões de qual será o comportamento do corpo em determinado instante de tempo e sob as condições experimentais especificadas.

4. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA

4.1. CINEMÁTICA

Regra da Potência (regra do tombo)

Se n for qualquer número real e y = xn, então usando a diferenciação logarítmica, tem-se:ln = ln n = n ln , x ≠ 0 (4.1a)Consequentemente:= (4.1b)Daí:y’ = n = n (4.1c)y’ = nxn-1 (4.1d)

Equações do MRUV

A partir da equação do movimento, que descreve a posição (S), a velocidade (v) e aaceleração (a) de um móvel em um determinado tempo (t), temos:S = S0 + v0t + at², (4.2)A equação (4.2) descreve a posição de qualquer móvel em MRUV, que partiu de certo ponto inicial S0, com uma velocidade inicial v0 e com aceleração constante.A velocidade em um dado instante é obtida a partir da velocidade média reduzindo o intervalo de tempo ∆t até torná-lo próximo de zero. À medida que ∆t diminui, a velocidade média se aproxima de um valor limite, que é a velocidade instantânea:v = = = , (4.3)Onde v é a taxa com a qual a posição S está variando com o tempo em um dado instante, ou seja, v é a derivada de S em relação a t. A velocidade v, em qualquer instante, é a inclinação da curva que representa a posição em função do tempo no instante considerado. A velocidade instantânea também é uma grandeza vetorial e, portanto possui direção e sentido.Quando a velocidade de um corpo varia, diz-se que o corpo sofreu uma aceleração. A aceleração instantânea é dada por:a = = = = = (4.4).A aceleração de uma partícula em qualquer instante é a taxa com a qual a velocidade está variando nesse instante. Graficamente, a aceleração em qualquer ponto é a inclinação da curva v(t) nesse ponto.

4.2. DINÂMICA

Aplicação de lei de Newton

Com os dados coletados sobre um sistema onde um ou mais corpos interagem, pode-se determinar as forças que estão atuando sobre o sistema, para isto utilizam-se as três leis de Newton, (1) se nenhuma força resultante atua sobre um corpo suavelocidade não muda, portanto o corpo não sofre nenhuma aceleração, (2) a força resultante que age sobre um corpo é igual ao produto da massa do corpo pela sua aceleração (= m), (3) quando dois corpos interagem as forças que um exerce sobre o outro são sempre iguais em módulo e de sentidos opostos.É importante frisar que as unidades utilizadas neste trabalho são o centímetro (cm) para comprimento [L], segundo (s) para tempo [T] e grama (g) para massa [M].Portanto, de acordo com a segunda lei de Newton a força resultante que age sobre um corpo é igual ao produto da massa do corpo pela sua aceleração:= m (4.5)Esta lei é utilizada para descrever o experimento 2, que é ilustrado na Figura 4.1.

Figura 4.1 - Descrição do Experimento 2, adaptado de [1]Onde:Ps = (mc + ms)a (4.6)então:Ps = msg (4.7)mc → massa do carrinho;ms → massa do corpo suspenso.

4.3. GRÁFICOS

Linearização

Linearizar um gráfico significa basicamente, transformá-lo em uma reta. Sabe-se que os valores do eixo das ordenadas (y) é uma função dos valores do eixo das abscissas (x), portanto, y é proporcional a x elevado a uma potência n.y xn (4.8)O símbolo de proporcionalidade pode ser substituído por uma igualdade e uma constante C:

y = C xn (4.9)Como y = Se x = t:S = C tn (4.10)

Módulo de escala

O módulo de escala é utilizado para distribuir os dados dentro do gráfico de maneira uniforme, melhorando a visualização dos resultados.

Módulo de escala= (4.11)

Ajuste de reta

Para se determinar a equação do movimento devem-se relacionar as grandezas físicas envolvidas no sistema, neste caso é o espaço percorrido (S) e o tempo t, para isso plotam-se os dados recolhidos no gráfico S em função de t², se a relação entre as duas variáveis for linear, não seria o caso se o gráfico fosse S x t (uma curva), como se elevou t a uma potência 2 o gráfico se torna linear, faz-se então um ajuste de reta pelo método dos mínimos quadrados, e obtém-se a equação analítica da reta pelas equações:y=a+bx (4.12)neste caso x=t e y=S:S = a+bt (4.13)como t foi elevado ao quadrado:S = a + bt² (4.14)onde o coeficiente linear a é:a= (4.15)e o coeficiente angular b é:b= (4.16)Os resultados a e b estão relacionados às grandezas físicas medidas, e n é o número de medidas.

4.4. MEDIDAS E ERROS

Determinação do tempo médio de cada sensor

Para isto somam-se os intervalos de tempo e divide-se pelo número de medidas:t = (4.17)onde i é a i-ésimamedida e n o número total de medidas.

Desvio padrão

O desvio padrão associado às medidas de uma determinada grandeza é dado por:σ = , (4.18)onde i é a i-ésima medida e n o número total de medidas.

Regra do primeiro não nulo

Quando o primeiro número após o primeiro algarismo não nulo da medida for maior ou igual a cinco arredonda-se o dígito anterior de uma unidade para cima, se for menor que cinco mantém o valor do dígito anterior.

Medidas indiretas e Teoria de erros

Uma medida é indireta quando é obtida a partir de operações matemáticas que manipulam dados de medidas diretas. O objetivo da teoria dos erros é determinar o melhor valor possível a partir das medidas

experimentais coletadas.Quando se realizam medidas indiretas, onde se tem multiplicação ou divisão, deve-se aplicar o logaritmo neperiano em ambos os lados da equação em estudo para se calcular a incerteza:ln x ± ln x1 ± ln x2 ± … ± ln xn = ± ± ± …± (4.19)onde (x, x1, x2, ..., xn) são as grandezas físicas de medidas diretas. O sinal (±) é utilizado pois as operações de soma e subtração dependem da expressão que se está trabalhando, como segue abaixo.Para soma ou subtração utiliza-se:W = x ± y ± .... . σ2w = σ2x + σ2y + ....... (4.20)Para as outras operações tem-se:ln(a.b) = ln a + ln b (4.21a)ln ab = b ln a(4.21b)ln (a/b) = ln a – ln b (4.21c)

Para calcular-se a propagação de erros nas medidas de n utilizando a equação (4.23):ln n = ln + ln + ... (4.22)(4.23a) (4.23b)Desvio percentual

O desvio percentual de uma medida é definido pela seguinte expressão.

D = 100% (4.24)

5. EXPERIMENTO 1 - PLANO INCLINADO

5.1. MATERIAIS UTILIZADOS

CarrinhoCinco sensores de tempo (Marca: Azeheb)Compressor de ar (Marca: Azeheb)Crônometro digital (Marca: Azeheb; Precisão: ±0,001s)EletroímãRégua (Marca: WALEU; Precisão: ±0,05 cm)Transferidor ME-9495 (Marca: Pasco scientific; Precisão: ±0,05º)Trilho de ar (Marca: Azeheb).

5.2. MONTAGEM EXPERIMENTAL

Figura 5.1 - Montagem Experimental1) Sensores de tempo;2) Carrinho;3) Eletroímã;4) Acionador do eletroímã;5) Régua;6) Transferidor;7) Cronômetro;8) Compressor de ar.9) 10) 11) Figura 5.2 - Transferidor ME-9495 utilizado (Marca: Pasco Scientific; Precisão: ±0,05º).12) 13) 5.3. DESCRIÇÃO DO EXPERIMENTO14) 15) Com o auxílio de um bloco de madeira inclinou-se o trilho de ar a um ângulo de 2º com relação à horizontal, utilizou-se o transferidor para conferir se a inclinação estava correta. Logo após, posicionou-se o primeiro sensor que é o referencial para os demais sensores de tempo, que foram posicionados a distâncias de 15 cm um dooutro, a parte do carrinho que aciona o sensor foi posicionada muito próxima do primeiro sensor, de modo que, quando o eletroímã fosse desligado o móvel acionasse imediatamente o primeiro sensor, foi feito isto pois se desejava que a velocidade inicial logo antes do móvel acionar o primeiro sensor fosse igual a 0.16) Verificou-se se todas as configurações do sistema estavam corretas, ligaram-se o cronômetro e o compressor de ar, ajustou-se o primeiro na função F1 e com todos os quatro indicadores zerados, deixou-se o compressor e o eletroímã em potência máxima e ligados durante todo o experimento para que não ocorressem variações nas condições iniciais.17) Iniciaram-se as medidas, primeiramente foram feitas quatro aferições dos intervalos de tempo entre cada sensor, com os sensores a distâncias de 15 em 15 cm a partir do primeiro sensor. Feito isto se mudaram as posições dos sensores, não se mudou a posição do primeiro sensor, o segundo foi colocado a 23 cm e o terceiro a 39 cm do primeiro sensor. Fizeram-se mais quatro medições dos intervalos de tempo que o carrinho levou para percorrer a distância entre os sensores e anotaram-se os resultados dos intervalos de tempo entre os sensores para posterior análise.18) 19) 20) 21) 22) 5.4. DADOS OBTIDOS EXPERIMENTALMENTE23) 24) Tabela 5.1 – Dados experimentais da posição do móvel (S) e tempo (t), com seus respectivos desvios.25) S (cm)26) t1 (s)27) t2 (s)28) t3 (s)29) t4 (s)30) 0,00±0,05

31) 0,000±0,00132) 0,000±0,00133)0,000±0,00134) 0,000±0,00135) 15,00±0,0536) 0,922±0,00137) 0,930±0,00138) 0,917±0,00139) 0,914±0,00140) 23,00±0,0541) 1,139±0,00142) 1,136±0,00143) 1,143±0,00144) 1,138±0,00145) 30,00±0,0546) 1,311±0,00147) 1,320±0,00148) 1,307±0,00149) 1,304±0,00150) 39,00±0,0551) 1,504±0,00152) 1,501±0,00153) 1,509±0,00154) 1,504±0,00155) 45,00±0,0556) 1,619±0,00157) 1,628±0,00158) 1,615±0,00159) 1,612±0,00160) 60,00±0,0561) 1,880±0,00162) 1,888±0,00163) 1,875±0,00164) 1,873±0,00165) Ângulo de inclinação (θ) com relação à horizontal: (2,00±0,05)º66) 67) 68) 5.5. INTERPRETAÇÃO DOS RESULTADOS69) 70) Utilizando os dados da Tabela 5.1, e as equações (4.17) e (4.18), calcula-se o tempo médio e o desvio padrão respectivamente. Os resultados estão apresentados na tabela 5.2. O método de arredondamento foi a regra do primeiro não nulo no desvio.71) 72) Tabela 5.2 – Dados experimentais da posição do móvel (S) e do tempo médio () e os respectivos desvios.73) S (cm)74) (s)75) 0,00±0,05

76) 0,000±0,00177) 15,00±0,0578) 0,921±0,00779) 23,00±0,0580) 1,139±0,00381) 30,00±0,0582) 1,311±0,00783) 39,00±0,0584) 1,505±0,00385) 45,00±0,0586) 1,619±0,00787) 60,00±0,0588) 1,879±0,00789) 90) Para interpretar os dados da Tabela 5.2, confecciona-se o gráfico S(cm) versus (s), o gráfico está apresentado na Figura 5.3.91) 92) 93) Figura 5.2 - Gráfico S(cm) versus (s), confeccionado com os dados da tabela 5.294) 95) Observando o gráfico da Figura 5.3, vemos que esta érepresentada por uma função não linear, no caso é uma parábola, e como a relação entre a variável dependente S e a variável independente é tal que:96) S n (5.1a)97) substituindo o símbolo de proporcionalidade () por uma constante de proporcionalidade C tem-se:98) S = C n (5.1b)99) Para obtermos C, deve-se linearizar o gráfico da Figura 5.3, ou seja, tornar a curva (função não linear) em uma reta (linear), para isso utilizaremos duas metodologias: via papel milimetrado e via papel dilog.100) 1) Via papel milimetrado:101) 102) Para obter C é necessário conhecermos n, para saber qual gráfico vamos confeccionar para tornar a curva em uma reta. O n pode ser visto pelo tipo de função da Figura 5.3, como a função é quadrática, por ter um comportamento parabólico, então n=2. Logo pode-se reescrever a Equação (5.1b) como:103) S = C 2 (5.2)104) 105) Obter C na Equação (5.2) significa confeccionar um gráfico onde C seja dado pela inclinação (coeficiente angular) da reta do gráfico S x 2. Para isso é necessário obtermos o dados do 2 e seus desvios, a partir dos dados da Tabela 5.2. Estes dados estão apresentados na Tabela 5.3. O desvio de (s2) foi obtido pela equação (4.23b).106) 107) Tabela 5.3 – Dados utilizados na confecção do gráfico no papel milimetrado obtidos a partir da Tabela 5.2, comseus respectivos desvios.108) S (cm)109) (s2)

110) 0,00±0,05111) 0,000±0,001112) 15,00±0,05113) 0,848±0,007114) 23,00±0,05115) 1,297±0,003116) 30,00±0,05117) 1,719±0,007118) 39,00±0,05119) 2,265±0,003120) 45,00±0,05121) 2,621±0,007122) 60,00±0,05123) 3,531±0,007124) 125) Confeccionando-se o gráfico da com os dados da Tabela 5.3, temos o gráfico que está representado na figura 5.4.126) 127) Figura 5.3 - Gráfico S(cm) versus (s2), confeccionado com os dados da tabela 5.3.128) 129) Para traçar a reta no gráfico da Figura 5.4, faz-se o ajuste de reta utilizando-se o método dos mínimos quadrados, equações (4.12), (4.15), (4.16), onde x=t² e y=S. Realizando-se os cálculos obtém-se para a equação da reta ajustada que é S= 0,55 + 16,95t².130) A Tabela 5.4 apresenta os dados da equação da reta ajustada que foi representada na Figura 5.4.131) 132) Tabela 5.4 – Dados da reta ajustada, obtidos a partir da Tabela 5.3 pelo método dos mínimos quadrados.133) S (cm)134) (s2)135) 0,00±0,05136) 0,000±0,001137) 14,92±0,05138) 0,848±0,007139) 22,53±0,05140) 1,297±0,003141) 29,69±0,05142) 1,719±0,007143) 38,94±0,05144) 2,265±0,003145) 44,98±0,05146) 2,621±0,007147) 60,40±0,05148) 3,531±0,007149) 150) Portanto temos que C=17,5 cm s-2. E que a equação de movimento é dada por:151) S=17,5t² (5.3)2) Via papel dilog:

152) 153) Neste caso aplica-se logaritmo na equação (5.1b), e se obtém:154) log S = log C + n log(5.4)155) Assim temos que n é o coeficiente angular do gráfico log S(cm) x log (s), ou seja, a inclinação da reta do gráfico feito em papel dilog, com os dados da Tabela 5.2. E C será o valor do eixo das ordenadas do papel dilog para quando t=1 s, visto que na equação (5.4) log 1 = 0. O gráfico log S x log t está apresentado na Figura 5.5.156) 157) 158) Figura 5.4 - Gráfico log S(cm) x log t(s) obtidos com os dados da Tabela 5.2159) 160) Pela figura 5.5 tem-se que n= tg α, então:161) tg α = n = = 1,97162) Observando-se que n deve ser um número inteiro, então n=2. Calculando o desvio percentual, do valor obtido com o teórico (n=2), utilizando a equação (4.24), temos:163) Desvio percentual na medida de n = 1,5%164) E C é dado por: C=17,0 cm s-2. Assim a equação do movimento é dada por:165) S=17,0t² (5.5)166) Obteve-se assim a equação de movimento do móvel, onde o valor de C teve uma variação, isto pode ser observado no valor do coeficiente linear fornecido pela equação do ajuste de reta no papel milimetrado do gráfico da Figura 5.4. Observando esta quantidade vemos que ela refere-se à posição inicial do móvel, e que esta deveria ser igual a zero de acordo com as condições iniciais adotadas para a realização do experimento. Assim se compensarmos este valor veremos que os resultados estão aproximadamente iguais (desvio de 3%). Mas esta informação numérica não nos permite ainda caracterizar o tipo demovimento, somente concluímos que o móvel possui seu movimento representado por uma função quadrática (n=2). Deste modo, para se caracterizar o tipo de movimento, vamos explorar a única grandeza envolvida que não conhecemos, que é a constante de proporcionalidade C da equação (5.1b) para n=2:167) S = C t² (5.6)168) Para termos ideia de qual grandeza física C está relacionada, faz-se uma análise dimensional na equação (5.6), pois se sabe que S está relacionada à posição do móvel para cada tempo t. E que S possui dimensão de comprimento [L] e o tempo tem dimensão [T], logo C tem dimensão de [L][T]-2. Assim conclui-se que a única grandeza física que é uma constante e que possui esta dimensão no sistema, é a aceleração do sistema, que denota-se pela letra a, e escreve-se que C a, ou que169) C = C1a (5.7)170) onde C1 é uma constante adimensional. Para obter C1 deve-se saber quanto vale a.171) Obtenção de a:172) Utilizaram-se duas formas de obtenção: via Cinemática e via Dinâmica.173) 174) a) Via Cinemática: foi obtida através de gráficos pela definição de derivada instantânea da velocidade e depois da aceleração pelas equações (4.3) e (4.4) respectivamente. Bem como pela regra de derivação (regra do tombo) partindo da equação de movimento (5.3) ou (5.5). As equações da velocidade e aceleração então são (utilizando a equação (5.3)):175) v = 35,0 t(5.8a)176) a = 35,0 cm s-2 (5.8b)177)

178) b) Via Dinâmica: aplicando a segunda lei de Newton, equação (4.5). Neste caso é necessário conhecermos a inclinação do trilho, que de acordo com a Tabela 5.5 é de (2,00±0,05)º.179) Com o valor de a obtido na equação (5.8b) obtém-se o valor de C1, visto que o valor de C é conhecido da equação (5.2). Então sabendo-se que a=35,0cm s-2 e que C=17,5 cm s-2 e que:180) C1 = = = ;181) Logo a equação (5.5) fica como:182) S = at² (5.9)183) Que é a equação de movimento escrita de forma geral para qualquer móvel que percorra seu trajeto de forma retilínea, com aceleração constante, respeitando as mesmas condições iniciais de que v0 = 0, em S0 e t0 = 0. Agora sim se caracterizou o movimento, que é um Movimento Retilíneo Uniformemente Variado.184) 185) 5.6. DISCUSSÃO DOS RESULTADOS186) 187) Primeiramente traçaram-se os dados da Tabela 5.2 na Figura 5.3 e pôde-se perceber que o comportamento do gráfico é parabólico, então se sabe que a função que descreve o movimento em questão é quadrática.188) Sabendo pela equação (5.1b) que S = C n precisou-se encontrar os valores das constantes C e n, para isto fez-se a linearização do gráfico da Figura 5.3 utilizando dois métodos de análise, via papel milimetrado e via papel dilog, ambos são métodos gráficos, o primeiro utiliza gráficos com escalamilimétrica e o segundo com escala logarítmica.189) Na análise via papel milimetrado o valor de n é obtido observando-se o comportamento da função, como a função da Figura 5.3 tem um comportamento parabólico então se concluiu que n=2, não há como quantificar seu desvio pois o método utilizado para a determinação de n neste caso é apenas a observação do comportamento da função.190) O valor de C foi encontrado a partir do ajuste de reta dos dados da Tabela 5.3. 191) Os resultados obtidos para o valor de C a partir da análise pelo papel milimetrado e pelo papel dilog foram ligeiramente diferentes como se pode ver pelas equações (5.3) e (5.5), houve um desvio de 3% entre os dois valores de C obtidos por estes métodos. Este pequeno desvio deve-se principalmente nas diferentes maneiras de se trabalhar com os dados em cada metodologia, pois não há motivo para haver esta diferença, já que as informações trabalhadas são as mesmas em ambas.192) Mesmo com todos os cuidados tomados não se obtiveram resultados precisos, os possíveis motivos são as incertezas nas medidas, e as diferenças nas metodologias.193) 194) 195) 196) 197) 198) 199) 200) 201) 202) 203) 204) 205)

206) 207) 208) 209) 210) 211) 212) 213) 214) 215) 216) 217) 218) 6. EXPERIMENTO 2 – MASSA SUSPENSA219) 220) 6.1. MATERIAIS UTILIZADOS221) 222) Balança digital SSR-3000 (Marca: Bel; Precisão ±0,1 g)223) Carrinho224) Cinco sensores de tempo (Marca: Azeheb)225) Compressor de ar (Marca: Azeheb)226) Cronômetrodigital (Marca: Azeheb; Precisão: ±0,001s)227) Eletroímã228) Fio inextensível229) Nivelador (Marca: Bellota)230) Peça de metal de 19,5 g.231) Régua (Marca: WALEU; Precisão: ±0,05 cm)232) Trilho de ar (Marca: Azeheb).233) 234) 6.2. MONTAGEM EXPERIMENTAL235) 236) 237) Figura 6.1 - Montagem experimental1) Suporte para a massa;2) Trilho de ar;3) Acionador do eletroímã;4) Cronômetro;5) Compressor de ar;6) Sensores de tempo utilizados;7) Carrinho;8) Eletroímã.9) 10) 11) Figura 6.2 - Nivelador de alumínio utilizado (Marca: Bellota), adaptado de [8].12) 13) 6.3. DESCRIÇÃO DO EXPERIMENTO14) 15) Primeiramente utilizou-se um nivelador de alumínio reforçado com espessura de 2 mm da marca Bellota, que possibilita três tipos de leitura (horizontal, vertical e 45º), utilizou-se a

leitura horizontal para nivelar o trilho de ar. 16) Logo após foram dispostos os sensores, da seguinte maneira: colocou-se o primeiro que é o referencial para os demais, o segundo a 15 cm do primeiro, o terceiro a 30 cm, o quarto a 45 cm e o quinto a 60 cm.17) Amarrou-se ao carrinho (de massa (219,0±0,1)g) um fio inextensível que foi passado por uma roldana na extremidade do trilho e conectado a uma peça de metal de (19,5±0,1)g de modo que quando o eletroímã fosse desligado a peça de metal impulsionada pela força da gravidade o tirasse da inércia, esta peça de metal foi disposta de modo que não tocasse o solo antes do carrinho passar pelo último sensor, as medidas foram feitas em tréplica. 18)Mudaram-se então as posições dos sensores, sem desligar os equipamentos, na seguinte configuração: não se moveu o primeiro sensor, colocou-se o segundo sensor a 23 cm do primeiro e o terceiro a 39 cm, realizaram-se três medidas dos intervalos de tempo que a parte do carrinho que aciona os sensores levou para percorrer a distância entre estes.19) 20) 21) 22) 23) 24) 6.4. DADOS OBTIDOS EXPERIMENTALMENTE25) 26) Tabela 6.1 - Medidas experimentais do MRUV, com S a posição do móvel e t o seu tempo, e das massas do carrinho e da peça de metal, com os respectivos desvios.27) S (cm)28) t1 (s)29) t2 (s)30) t3 (s)31) 0,00±0,0532) 0,000±0,00133) 0,000±0,00134) 0,000±0,00135) 15,00±0,0536) 0,535±0,00137) 0,524±0,00138) 0,502±0,00139) 23,00±0,0540) 0,665±0,00141) 0,662±0,00142) 0,665±0,00143) 30,00±0,0544) 0,780±0,00145) 0,769±0,00146) 0,746±0,00147) 39,00±0,0548) 0,892±0,00149) 0,889±0,00150) 0,882±0,00151) 45,00±0,0552) 0,971±0,001

53) 0,960±0,00154) 0,936±0,00155) 60,00±0,0556) 1,133±0,00157) 1,122±0,00158) 1,098±0,00159) Massa do carrinho: (219,0±0,1) g60) Massa da peça de metal: (19,5±0,1)g61) 62) 63) 6.5. INTERPRETAÇÃO DOS RESULTADOS64) 65) Tabela 6.2 – Dados experimentais da posição do móvel (S) e do tempo médio () e os respectivos desvios.66) S (cm)67) (s)68) 0,00±0,0569) 0,000±0,00170) 15,00±0,0571) 0,520±0,01772) 23,00±0,0573) 0,661±0,00574) 30,00±0,0575) 0,765±0,01776) 39,00±0,0577) 0,888±0,00578) 45,00±0,0579) 0,956±0,01880) 60,00±0,0581)1,118±0,01882) 83) Para interpretar os dados da Tabela 6.2 confecciona-se o gráfico S x , que está representado na Figura 6.3.84) 85) Figura 6.3 - Gráfico S x , confeccionado com os dados da Tabela 6.2.86) 87) Observando a Figura 6.3 percebe-se que a relação entre as variáveis é não linear, neste caso uma parábola, e sabe-se que a relação entre a variável dependente S e a variável independente é tal que:88) S n (6.1)89) Substituindo o símbolo de proporcionalidade () por uma constante de proporcionalidade C, tem-se:90) S = C n (6.2)91) Para obter C, lineariza-se o gráfico da Figura 6.3, tornando uma função não linear, linear. Para isto se utilizará a metodologia via papel dilog.92) Aplicando logaritmo na equação (6.2), se obtém:93) log S = log C + n log (6.3)94) Assim temos que n é o coeficiente angular do gráfico log S(cm) x log (s), ou seja, a

inclinação da reta do gráfico feito em papel dilog, com os dados da Tabela 6.2. E C será o valor do eixo das ordenadas do papel dilog para quando t=1 s, visto que na equação (6.3) log 1 = 0. O gráfico log S x log está apresentado na Figura 6.4.95) 96) Figura 6.4 - Gráfico log S x log , confeccionado com os dados da Tabela 6.2.97) 98) Pela figura 6.4 tem-se que n= tg α, então:99) tg α = n = = 1,69100) Como n deve ser umnúmero inteiro, então n=2. Calculando o desvio percentual, do valor obtido com o teórico (n=2), utilizando a equação (4.24), temos:101) Desvio percentual no valor de n = 16%102) O valor da constante C da equação (6.2) obtém-se tomando-se t = 1s no gráfico da Figura 6.4 pois log 1 = 0, então a equação (6.3) fica: log S = log C, portanto, quando t = 1s no papel dilog, S=C, e fazendo a análise dimensional:103) C = 45,5 cm s-2 (6.4)104) Assim a equação do movimento é dada por:105) S = 45,5 2 (6.5)106) Mas a equação (6.5) não nos permite ainda caracterizar o tipo de movimento, somente concluímos que o móvel possui seu movimento representado por uma função quadrática (n=2). Deste modo, para se caracterizar o tipo de movimento, vamos explorar a única grandeza envolvida que não conhecemos, que é a constante de proporcionalidade C da equação (6.2) para n=2:107) S = C t² (6.6)108) Para termos ideia de qual grandeza física C está relacionada, faz-se uma análise dimensional na equação (6.6), pois se sabe que S está relacionada a posição do móvel para cada tempo t. E que S possui dimensão de comprimento [L] e o tempo tem dimensão [T], logo C tem dimensão de [L] [T]-2. Assim conclui-se que a única grandeza física que é uma constante e que possui esta dimensão no sistema, é a aceleração do sistema, que denota-se pela letra a, eescreve-se que C a, ou que:109) C = C1a (6.7)110) onde C1 é uma constante adimensional. Para obter C1 deve-se saber quanto vale a.111) Para se obter o valor de a utilizou-se a cinemática.112) Foi obtida através de gráficos pela definição de derivada instantânea da velocidade e depois da aceleração pelas equações (4.2) e (4.3) respectivamente. Bem como pela equação (4.1d) (regra do tombo) partindo da equação de movimento (6.5). As equações da velocidade e aceleração então são:113) v = 91,0 t (6.8a)114) a = 91,0 cm s-2 (6.8b)115) Com o valor de a obtido na equação (6.8b) obtém-se o valor de C1, visto que o valor de C é conhecido da equação (6.4). Então sabendo-se que a=91,0cm s-2 e que C=45,5 cm s-2, então:116) C1 = = = (6.9)117) Logo a equação (6.6) fica como:118) S = at² (6.10)119) Que é a equação de movimento escrita de forma geral para qualquer móvel que percorra seu trajeto de forma retilínea, com aceleração constante, respeitando as mesmas condições iniciais de que v0 = 0, em S0 e t0 = 0. Agora sim se caracterizou novamente o movimento, que é um Movimento Retilíneo Uniformemente Variado.120)

121) 6.6. DISCUSSÃO DOS RESULTADOS122) 123) Observou-se que o valor de n obtido a partir da Figura 6.4 teve umdesvio muito grande (16%) em relação ao valor teórico, onde n=2. Tal desvio é indesejável, já que se esperava um desvio menor de 5%. Isto se deve ao fato de terem sido feitas apenas três repetições no experimento, diminuindo seu nível de confiança. Os erros observados podem ser minimizados com mais repetições no experimento e pode-se também utilizar equipamentos ainda mais precisos.124) Na obtenção do valor da constante adimensional C1 não houve desvio, pois esta é obtida a partir do valor de C que é a constante que multiplica t² na equação (6.5), e do valor da aceleração constante do sistema que é encontrada a partir da derivada segunda da equação (6.5), portanto a aceleração é derivada da constante C, ou seja, é obtida a partir do mesmo “número” e, portanto a razão (C/a) da equação (6.9) não possui desvio e é adimensional, pois C e a têm a mesma dimensão.125) 126) 127) 128) 129) 130) 131) 132) 133) 134) 135) 136) 137) 138) 139) 140) 141) 142) 143) 144) 145) 146) 147) 148) 7. CONCLUSÕES149) 150) No experimento 1 todos os erros foram abaixo de 5%, dando mais confiança aos resultados, já no experimento 2 o erro relativo ao valor de n foi de 16%, muito maior que o desejado.151) Conclui-se que o objetivo do trabalho foi alcançado, pôde-se determinar a equação geral de movimento. Que é caracterizada pelas equações (5.9), (6.10) , que é válida apenas S0=0, v0=0 e t0=0 e aceleração constante. Caracterizou-se então por diferentes metodologias que o tipo de movimento emambos os experimentos, é o Movimento Retilíneo Uniformemente Variado, que é assim nomeado, pois ocorre em uma reta e possui aceleração constante.152)

153) 154) 155) 156) 157) 158) 159) 160) 161) 162) 163) 164) 165) 166) 167) 168) 169) 170) 171) 172) 173) 174) 8. Referências bibliográficas175) 176) [1] H. Mukai, P. R. G. Fernandes. Manual de laboratório de física I – Departamento de Física – Universidade Estadual de Maringá, 1-49, (2013).177) 178) [2] D. Halliday, R. Resnick, J. Walker. Fundamentos de Física. Vol 1, 6ª Edição. LTC. Rio de Janeiro (2002).179) 180) [3] H. M. Nussenzveig. Curso de Física Básica – Mecânica. Vol. 1, 4ª Edição. Edgard Blücher Ltda (2002).181) 182) [4] F. P. Beer, E. R. Jonhston, Jr. Mecânica Vetorial para Engenheiros. Vol 2, 5ª Edição. Pearson Education do Brasil – São Paulo (2006).183) 184) [5] J. L. Synge, B. A. Griffith. Mecânica Racional. 2ª Edição. Editora Globo S. A. Porto Alegre (1969).185) 186) [6] L. R. B. Elton. Concepts of Classical Mechanics. Editora McGraw-Hill. Inglaterra (1971).187) 188) [7] M. C. D. Neves. Memórias do Invisível – Uma reflexão sobre a história do ensino de física e a ética da ciência. 2ª Edição. Editora da Universidade Estadual de Maringá. Maringá (2008).189) 190) [8] Site: http://www.bellota.com.br/produtos/?Tp=1#produto=115, página visitada em 06/2013.191) 192) [9] J. Stewart. Cálculo. Vol. 1, 5ª Edição. Editora Pioneira Thomson Learning. São Paulo

(2006).193) 194) 195)