Problemas Cinematica

Departamento de Engenharia Mecânica - DEMec

Secção de Mecânica Aplicada - SMAp

CINEMÁTICA e DINÂMICA

do PONTO MATERIAL e do CORPO RÍGIDO

Aulas Práticas - Problemas

Jorge Humberto Oliveira Seabra

Setembro de 2009

2 / 27 CINEMÁTICA e DINÂMICA do PONTO MATERIAL e do CORPO RÍGIDO

MECÂNICA II - MIEM, MIEIG SMAp – DEMec - FEUP Setembro, 2009

ÍNDICE

CINEMÁTICA

Problema 1 – Lançamento de um projéctil 3

Problema 2 – Movimento plano de trajectória circular: derivada de vector em eixos fixos 4

Problema 3 – Movimento plano de trajectória circular: derivada de vector em eixos fixos e móveis 5

Problema 4 – Movimento polar: derivada de vector em eixos fixos e móveis 6

Problema 5 – Mecanismo tridimensional: derivada de vector em eixos móveis 7

Problema 6 – Mecanismo tridimensional: Equações de Mozzi, caracterização do movimentos, torsor das velocidades contemporâneas de um sólido e torsor das acelerações contemporâneas de um sólido 8

Problema 7 – Mecanismo Plano da pá de uma escavadora 9

Problema 8 – Mecanismo Plano de retorno rápido do limador 10

Problema 9 – Mecanismo Plano – Rolamento sem escorregamento (i) 11

Problema 10 – Mecanismo Plano – Rolamento sem escorregamento (ii) 12

Problema 11 – Mecanismo Tridimensional – Rolamento sem escorregamento (i) 13

Problema 12 – Mecanismo Tridimensional – Rolamento sem escorregamento (ii) 14

DINÂMICA

Problema 1 – Cinemática das Massas – CM2 15



Problema 4 – Teoremas Vectoriais da Dinâmica – TVD1 18




Problema 8 – Teorema do Trabalho e Energia – TE1 22

Problema 9 – Teorema do Trabalho e Energia – TE2 23

Problema 10 – Teorema dos Trabalhos Virtuais – TTV1 24




Aulas Práticas – Enunciados dos Problemas 3 / 27


PROBLEMA 1

Considere um projéctil disparado por um canhão localizado no ponto P, de

coordenadas (1m, 1.5m), como mostra a figura.

A resistência do ar é desprezável e a única força actuante no projéctil é devida à

gravidade.

Admitindo que a velocidade inicial do projéctil tem como componentes (197 m/s, 35

m/s), determine:

a) As coordenadas do projéctil quando este atinge a sua altura máxima,

b) A velocidade em coordenadas intrínsecas para t=5 s,

c) As componentes normal e tangencial da aceleração nesse instante,

d) O raio de curvatura da trajectória para o mesmo instante,

e) O ponto de impacto no solo e correspondente tempo.

P



PROBLEMA 2

O movimento do rolete A, na ranhura circular fixa, é governado pelo braço OA.

Se o braço rodar com uma velocidade angular constante, determine:

a) Determine a velocidade absoluta do ponto A, por derivação de um vector definido

no referencial do observador,

b) Determine a aceleração absoluta do ponto A, por derivação de um vector

definido no referencial do observador,

c) Exprima os vectores velocidade e a aceleração anteriores, no referencial

solidário do braço OA.



PROBLEMA 3

O braço com ranhura roda com velocidade angular θɺ constante, no sentido directo,

em torno do ponto O da placa circular fixa de centro C, com uma excentricidade e.

O pino, representado pelo ponto A, mantém-se permanentemente em contacto com a

placa, por acção de uma mola, tendo uma trajectória circular.

Determinar a velocidade e a aceleração do ponto A:

a) A partir da derivação de um vector expresso num referencial fixo;

b) A partir da derivação de um vector expresso num referencial móvel ligado ao

braço;

c) Mostre que os vectores velocidade das alíneas anteriores representam o mesmo,

recorrendo à matriz transformação.

Y0

Y1

0X

X1



PROBLEMA 4

O mecanismo representado na figura é constituído por:

Corpo 1: Um suporte em forma de U que roda em torno do eixo vertical Z0 = Z1, com

velocidade angular θɺ constante;

Corpo 2: Um disco que roda em torno do eixo horizontal do suporte Y1 = Y2 com

velocidade angular βɺ constante.

Determine a velocidade e a aceleração do ponto A localizado na periferia do disco

derivando os vectores posição e velocidade:

a) Projectados em S0.

b) Projectados em S1.

c) Projectados em S2.

d) Confirme os resultados recorrendo às matrizes de transformação.

βɺ

θɺβɺx2

11

1

y2

z0

2z



PROBLEMA 5


Corpo 1 Um braço em forma de U, que roda em torno de um eixo vertical fixo

(Z0 ≡≡≡≡ Z1) com velocidade angular ɺθθθθ e aceleração angular ɺɺθθθθ .

Corpo 2 Um cilindro (motor eléctrico) que roda relativamente ao corpo (1), em

torno de um eixo horizontal (Y1 // Y2), com velocidade angular ɺϕϕϕϕ e

aceleração angular ɺɺϕϕϕϕ .

Corpo 3 Um disco que roda relativamente ao corpo (2), em torno do eixo de

revolução dos dois corpos (X2 ≡≡≡≡ X3), com velocidade angular ɺγγγγ e

aceleração angular ɺɺγγγγ e translada relativamente ao corpo (2) com

velocidade ɺs e aceleração ɺɺs .

Determine:

a) Os vectores velocidade e aceleração contemporâneas dos pontos A e C, por

derivação em ordem ao tempo de vectores projectados em S1.

b) Os vectores velocidade e aceleração contemporâneas dos pontos A e C, por derivação em ordem ao tempo de vectores projectados em S2.

y1

x1 y2

z2 z1 x2

A

O

C

ɺ ɺɺθ,θ,θθ,θ,θθ,θ,θθ,θ,θ

ɺ ɺɺϕ,ϕ,ϕϕ,ϕ,ϕϕ,ϕ,ϕϕ,ϕ,ϕ

( )ɺ ɺɺAC = f s,s, s

ɺ ɺɺγ,γ, γγ,γ, γγ,γ, γγ,γ, γ



PROBLEMA 6


Corpo 1 Um braço em forma de U, que roda em torno de um eixo vertical fixo

(Z0 ≡≡≡≡ Z1) com velocidade angular ɺθθθθ constante.

Corpo 2 Um cilindro (motor eléctrico) que roda relativamente ao corpo (1), em

torno de um eixo horizontal (Y1 // Y2), com velocidade angular ɺϕϕϕϕ e

aceleração angular ɺɺϕϕϕϕ .

Corpo 3 Um disco que roda relativamente ao corpo (2), em torno do eixo de

revolução dos dois corpos (X2 ≡≡≡≡ X3), com velocidade angular ɺγγγγ constante e

translada relativamente ao corpo (2) com velocidade ɺs e aceleração ɺɺs .

a) Defina, pelas suas coordenadas vectoriais num ponto, os campos de velocidades

contemporâneas absolutas de cada um dos três corpos representados.

b) Defina, pelas suas coordenadas vectoriais num ponto, os campos de acelerações

contemporâneas absolutas de cada um dos três corpos representados.

c) Calcule a aceleração do ponto C do corpo 3, supondo-o animado dos movimentos

1/0, 2/0 e 3/0.

d) Defina o eixo instantâneo de rotação do movimento 2/0.



PROBLEMA 7

BCAB ⊥


Corpo 1 Um braço de accionamento, com movimento de translação horizontal

imposto pelo guiamento existente no corpo 4 horizontal, definido pela lei

de movimento s(t) conhecida.

Corpo 2 Uma pá de uma escavadora que roda em torno do ponto B do corpo 4 com

velocidade angular ɺθθθθ e aceleração angular ɺɺθθθθ .

Corpo 3 Uma barra, ligada ao corpo 3 no ponto C e ligada ao corpo 4 no ponto D,

podendo o ponto D transladar ao longo de uma guia existente no corpo 4.

As ligações B e C são articulações planas, enquanto A e D são ligações do tipo

pino/guia. Considerando o corpo 4 imóvel, determine:

a) Os campos de velocidades absolutas de todos os corpos.

b) As velocidades do ponto A relativamente aos corpos 2 e 3.

c) O campo de velocidades do movimento 3/1.

d) Graficamente a posição de I31.

e) O campo de acelerações do movimento 2/1.

f) A aceleração do ponto D associado ao movimento 2/1.



PROBLEMA 8

O mecanismo representado na figura é

constituído por cinco corpos:

Corpo 1 – Uma manivela que roda em

torno de um ponto O fixo;

Corpo 2 – Uma corrediça articulada ao

corpo 1 no ponto A e que

desliza no interior de um rasgo

do corpo 3

Corpo 3 – Uma barra com rasgo que roda

em torno do ponto C fixo

Corpo 4 – Uma barra articulada aos corpos 3 e 5 nos pontos B e D respectivamente

Corpo 5 – Uma corrediça que translada horizontalmente

Sabendo que o corpo 1 roda com velocidade angular θɺ constante e que, quando o

corpo 3 se encontra na vertical o ponto B está alinhado na horizontal com D,

determine:

a) A velocidade absoluta do corpo 5;

b) O torsor gerador do movimento 2/0 no ponto A recorrendo à Teoria de

Movimentos c)Relativos e à decomposição

=

0

3

3

2

0

2;

c) A aceleração do ponto A no movimento 2/0 seguindo o mesmo procedimento da

alínea anterior.

1

5

2

3

4



PROBLEMA 9

O mecanismo representado na figura é constituído por quatro corpos.

Corpo 1 Um cursor, com movimento de translação vertical imposto pela guia

vertical fixa, definido pela lei de movimento s(t) conhecida;

Corpo 2 Um disco, com movimento de rotação em torno do ponto A de ligação ao

corpo 1;

Corpo 3 Outro disco, em contacto com o corpo 2 no ponto C e com o exterior no

ponto D, e que roda em torno do ponto B de ligação ao corpo 4;

Corpo 4 Um cursor, com movimento de translação horizontal imposto pela guia

horizontal fixa, ligado ao corpo 3 no ponto B.

Na ausência de escorregamento nos pontos C e D, determine:

a) A velocidade angular absoluta do corpo 2 e a velocidade de translação do corpo 4;

b) O CIR do movimento 2/4, usando um método gráfico;

c) A velocidade de permutação do CIR do movimento 2/3;

d) A aceleração do ponto C do corpo 2 relativamente ao corpo 4.



PROBLEMA 10

H

O

R2

1

R1

ω

A 2B

C

4

E

3

LD

O mecanismo ilustrado na figura é constituído por:

corpo 1 - um disco que roda em torno de O com velocidade angular ω, constante e

conhecida;

corpo 2 - um disco que rola sem escorregar nos pontos A e C, contactando em C com

um corpo fixo;

corpo 3 - uma barra articulada ao disco 2 em B e guiada em D pela manga 4;

corpo 4 - uma manga articulada ao exterior no ponto fixo D.

Determine:

a) A velocidade de escorregamento no ponto D, 34vD ;

b) A velocidade de permutação do CIR do movimento 2/0;

c) A aceleração do ponto A do corpo 1 relativamente ao corpo 3;

d) Graficamente a localização do CIR do movimento 3/1.



PROBLEMA 11

O mecanismo da figura é constituído por quatro corpos:

corpo 1 - Um veio que está animado de um movimento de rotação em torno de um

eixo vertical com velocidade angular 10ω conhecida;

corpo 2 - Uma roda dentada animada de um movimento de rotação conhecido 20ω ,

independente da rotação do corpo1;

corpo 3 - Um suporte articulado ao corpo 1 no ponto A;

corpo 3 - Uma roda dentada que pode rodar relativamente ao corpo 3 e rola sem

escorregar sobre a roda dentada, corpo 2.

Supondo constantes e conhecidas as velocidades de rotação dos corpos 1 e 2:

a) Calcule a velocidade angular do corpo 4.

b) Obtenha a velocidade do ponto de contacto C no seu movimento relativamente a

um observador solidário do corpo 2.

c) Determine a aceleração do ponto D no movimento relativo 2/4.

d) Esboce as superfícies axóides fixa e móvel do movimento relativo 2/4. Explique o

porquê das formas encontradas e qual o movimento da geratriz formadora destas

supefícies.



PROBLEMA 12

A figura representa um mecanismo (diferencial), utilizado nos automóveis para

transmitir o movimento do motor para as rodas motoras, permitindo que estas possam

ter velocidades angulares diferentes. O diferencial é composto pelos seguintes corpos:

corpo 1 - Um pinhão cónico (pinhão de ataque), de eixo fixo, que roda com

velocidade angular 10ω constante e conhecida;

corpo 2 - Uma roda cónica (roda de coroa), de eixo fixo, que roda com velocidade

angular 20ω , rigidamente ligada ao porta satélites;

corpo 3 - Veio e satélite, que roda relativamente ao corpo 2 em torno do eixo FH��

;

corpo 4 - Pinhão cónico de saída do movimento para a roda direita;

corpo 5 - Pinhão cónico de saída do movimento para a roda esquerda;

Sabendo que a roda (4) está parada ( 40 0ω = ), determine:

a) A velocidade angular absoluta da roda (5);

b) A velocidade de permutação do ponto B pertencente ao EIR do movimento 3/5;

c) O vector aceleração absoluta do ponto B da roda (3);

d) Esboce as superfícies axóides, fixa e móvel, no movimento relativo 3/5.



Problema CM2

1

2 3

OG a

OB

A G G

=

=

≡ ≡

ℓ

O sistema mecânico representado na figura é constituído por:

Corpo 1 - uma barra, articulada ao exterior no ponto 0, animada de velocidade angular θɺ e

aceleração angular θɺɺ ;

Corpo 2 - um cursor, que se desloca ao longo do corpo 1, e está articulado com o corpo 3 no

ponto A.

Corpo 3 - um outro cursor, articulado com o corpo 2 no ponto A, que desliza ao longo de

uma guia exterior horizontal, e está ligado ao exterior por um conjunto mola -

amortecedor.

Todos os corpos têm um plano de simetria coincidente com o plano de movimento, e são

conhecidas as matrizes de inércia de cada corpo referidas a eixos principais centrais de

inércia. O movimento do sistema é conhecido.

Determine:

a) O torsor das quantidades de aceleração no centro de massa de cada um dos corpos que

constituem o mecanismo.

b) O torsor das quantidades de aceleração do sistema global reduzido no ponto 0.

c) A energia cinética do mecanismo.

d) O valor da energia cinética quando 5 = 5/6.

A

x0

y0

x1

y2//y1

x2 G1

B

O θθθθ

ℓℓℓℓ

1

2 3



Problema CM3


corpo 1 - uma manga que pode transladar ao longo do eixo Z1 com velocidade sɺ e

aceleração sɺɺ , e rodar em torno do mesmo eixo com velocidade angular θθθθɺ e

aceleração angular θθθθɺɺ ;

corpo 2 - um braço cilíndrico (de topos perpendiculares ao seu eixo de revolução)

rigidamente ligado ao corpo 1.

Desprezando a massa e a inércia do corpo 1, determine:

a) O torsor das quantidades de movimento do mecanismo no centro de massa do corpo 2.

b) O torsor das quantidades de aceleração do mecanismo no ponto 0.

c) A energia cinética do corpo 2.

θ , θ

1

Os , s

z0 z

φ

O

G

G

1

2z

constante

φ

ℓ

2

2

1y

y

OG

Constanteφ

=

=

ℓ



Problema CM4

A antena parabólica representada na figura é constituída por:

Corpo 1 - uma base circular, de massa e inércia desprezáveis, que roda em torno do eixo

vertical Z1 com velocidade angular θθθθɺ constante;

Corpo 2 - uma casca semi-esférica, de massa m, que roda relativamente à base em torno do

eixo Y1 com velocidade angular ϕϕϕϕɺ e aceleração angular ϕϕϕϕɺɺ .

Determine:

a) O torsor das quantidades de movimento do mecanismo no ponto O.

b) O torsor das quantidades de aceleração do mecanismo no ponto O.

c) A energia cinética do mecanismo.

z zz2 3

z

1XA

φφφφ

θθθθ

Y2Y 1

G

3X

O

Y3

R

0zz 0 zz 11

φφφφ



Problema TVD1


Corpo 1, um disco de massa m1 e de raio R, que roda

em torno do ponto O fixo, com velocidade angular θɺ e

aceleração angular θɺɺ , accionado pelo momento motor

Mm, e estando articulado com uma barra no ponto A

(A ≡ G1);

Corpo 2, uma barra de massa e inércia desprezáveis, de

comprimento L, articulada com um cursor no ponto B;

Corpo 3, um cursor de massa m3, que desliza ao longo

de uma guia vertical, e está ligado ao exterior por uma

mola de rigidez k.

No instante inicial, o ponto A está na posição mais baixa

(θθθθ = 0) e a deformação da mola é nula.

Suponha conhecida a matriz de inércia do corpo 1 em

relação a eixos principais centrais de inércia, e que

todas as ligações são perfeitas.

Aplicando os Teoremas Vectoriais da Dinâmica, determine:

a) As forças de ligação entre o disco e a barra;

b) As reacções no ponto O;

c) As forças de ligação entre o cursor e a guia vertical;

d) A equação diferencial de movimento do mecanismo;

e) O momento motor necessário para garantir a velocidade angular constante do disco.

OA r

AB

=

= ℓ

k

1

2

3 B

A

r

O

θθθθ

ϕϕϕϕ

Mm



Problema TVD2

a

b

R

Mm

θ(t)x

y

k

O

A

B

C

1

2

3

φ(t)

s(t)


Corpo 1 – Um braço de massa 1m , que roda em torno do ponto O fixo com velocidade

angular θɺ constante, accionado pelo momento motor mM ;

Corpo 2 – Um outro braço de massa 2m , articulado no ponto A com o corpo 1 e que desliza

no interior do corpo 3, estando submetido à acção de uma mola de rigidez k ;

considere que para 0θ = a deformação inicial da mola é nula;

Corpo 3 – Uma guia de massa 3m , ligada ao exterior no ponto B por uma articulação fixa:

Suponha conhecidas as matrizes de inércia dos três corpos em relação a eixos principais

centrais de inércia.

Considere a existência de atrito entre os corpos 2 e 3, sendo µ o correspondente coeficiente

de atrito. As restantes ligações são perfeitas.


a) As forças de ligação ao exterior e entre os vários corpos;

b) A equação de movimento do sistema.



Problema TVD3

.bEB;ROE;2GBAG 22 ==== ℓ


Corpo 1 – Um braço de suporte, com massa e inércia desprezáveis, que roda em torno do

eixo X1 com velocidade angular θɺ e aceleração angular θɺɺ , accionado pelo

momento motor M1;

Corpo 2 – Um prisma quadrangular de massa m2 e comprimento l, que pode rodar em

relação ao corpo 1 com velocidade angular ϕɺ e aceleração angular ϕɺɺ , accionado

pelo momento motor M2;

Suponha conhecida a matriz de inércia do corpo 2 em relação a eixos principais centrais de

inércia.

Todas as ligações são perfeitas e o apoio B não absorve esforços axiais.


a) As forças de ligação nos apoios A e B;

b) O torsor das forças de ligação ao exterior no ponto O.

Z0

O

Y0

Z1’ ≡≡≡≡ Z2 Y1 ≡≡≡≡ Y1’

B

ϕϕϕϕ

θθθθ

M2 A

X1

G2

ϕϕϕϕ

Y1’

Y2

X1

X2

M1

Z0

Y0

Z1

O

θθθθ

θθθθ

E

B G2

A

b

R

Y1

Y2

X1 ≡≡≡≡ X0

Z2



Problema TVD4 O mecanismo representado na figura é constituído por:

Corpo 1 – Um braço de massa m1, que roda em torno do eixo Z com velocidade angular θθθθɺ e

aceleração angular θθθθɺɺ , accionado pelo momento motor M1;

Corpo 2 – Um cursor e um veio, de massa e inércia desprezáveis, que transladam

relativamente ao corpo 1, e estão submetidos à acção de uma mola de rigidez k;

Corpo 3 – Um disco de massa m3, que roda relativamente ao corpo 2 com velocidade angular

ϕϕϕϕɺ e aceleração angular ϕϕϕϕɺɺ , accionado pelo momento motor M2;

A mola não apresenta deformação quando r(t) = a.

Suponha conhecidas as matrizes de inércia dos corpos 1 e 3 em relação a eixos principais

centrais de inércia. Todas as ligações são perfeitas.


a) O torsor das forças de ligação do sistema ao exterior no ponto O;

b) O torsor das forças de ligação do corpo 3 ao corpo 2 no ponto G2.

z1

x1

y1

O

r(t)

a

G1

G2

G3

b

x1

M1, θ(t)

M2,ϕ(t)

1 3 2



Problema TE1

O sistema de elevação representado na figura é

constituído por:

Corpo 1, um motor de massa e inércia

desprezáveis, que desenvolve um binário motor

constante mM ; no motor está montada uma roda

dentada com um raio primitivo 1R que engrena com

o corpo 2;

Corpo 2, uma roda dentada de raio primitivo 2R ,

que engrena com o corpo 1, acoplada a um tambor

de raio r, com massa 2m e raio de giração gR ,

sobre o qual se enrola um cabo inextensível que

sustenta o corpo 3;

Corpo 3, Uma roldana móvel, de massa e inércia

desprezáveis, com raio 3R , que sustenta o corpo 4;

Corpo 4, uma massa 4m , que se pretende movimentar na vertical.

Aplicando o Teorema do Trabalho e Energia, determine a velocidade do corpo 4, quando este

parte do repouso, após ter subido uma altura h0.

Calcule a velocidade do corpo 4 nas seguintes condições:

mM 75 Nm= 2m 20 kg= gR 0.12 m= 4m 15 kg=

1R 0.075 m= 2R 0.2 m= r 0.1m= 3R 0.05 m= 0h 1.5 m=

A B

PQ

r

R1

R2

R3

I

Mm

h0

corpo 1

corpo 2

corpo 3

corpo 4

O1

O2



Problema TE2 A figura representa um mecanismo constituído por uma barra cuja extremidade superior A se

desloca numa guia horizontal e cujo ponto intermédio B é forçado a deslocar-se na direcção

vertical.

A extremidade inferior D está permanentemente submetida à acção de uma mola de rigidez k

constante.

Ao ponto B está ligado o êmbolo de um cilindro hidráulico, o qual aplica uma força F,

constante, durante o movimento de descida do êmbolo e uma força nula no seu movimento

em sentido inverso.

Considere apenas a massa da barra AD, suposta uniformemente distribuída ao longo do seu

comprimento. Suponha que todas as ligações são perfeitas.

Considere também a existência de uma deformação inicial da mola que estabelece o

equilíbrio do sistema em repouso.

Aplicando o Teorema do Trabalho e Energia, determinar:

a) A constante elástica da mola, de modo que no final do percurso de descida do êmbolo a

velocidade angular da barra seja nula;

b) A velocidade angular da barra, quando esta atingir novamente a posição inicial, definida

por 0θ = θ .

A

B

k

F

D

E

xO

ℓ

1ℓ

0θ



Problema TTV1 O ≡≡≡≡ G1

B ≡≡≡≡ G3 O sistema mecânico representado na figura é constituído por:

Corpo 1 - Um disco de massa m1, que roda em torno do eixo Z com velocidade angular θɺ e

aceleração angular θɺɺ , accionado pelo momento motor Mm constante e conhecido.

Corpo 2 - Um braço de comprimento ℓ , de massa e inércia desprezáveis, articulado em A

com o corpo 1 e em B com o corpo 3.

Corpo 3 - Um disco de raio r e massa m3, que rola sem escorregar sobre o plano horizontal,

no ponto C, e está ligado ao exterior por uma mola de rigidez K; considere que

para θθθθ = 0 a deformação da mola é nula.

Suponha conhecidas as massas dos corpos 1 e 3, e as respectivas matrizes de inércia em

relação a eixos principais centrais de inércia.

a) Determine a equação de movimento do sistema, aplicando o Teorema dos Trabalhos

Virtuais;

b) Escreva as equações de trabalhos virtuais que permitem determinar as forças de ligação

ao exterior no ponto O, e determine o campo de deslocamentos virtuais aplicado;

c) Escreva as equações de trabalhos virtuais que permitem determinar as forças de ligação

ao exterior no ponto C, e determine o campo de deslocamentos virtuais aplicado;

d) Admitindo que o sistema parte do repouso, da posição θθθθ = 0, e aplicando o Teorema do

Trabalho e Energia, determine a velocidade angular do corpo1 quando θθθθ = ππππ/2.

k

X

Mm

R

θθθθ

A

B

r

ββββ

C

Y

O

2 1 3

ϕϕϕϕ



Problema TTV2 O sistema mecânico representado na figura é constituído por:

Corpo 1 - Um braço de massa m1, que roda em torno do ponto O fixo com velocidade

angular θɺ e aceleração angular θɺɺ , accionado pelo momento motor Mm conhecido.

Suponha conhecida a matriz de inércia do corpo 1 em relação a eixos principais

centrais de inércia.

Corpo 2 - Uma corrediça, de massa m2, que translada horizontalmente sobre duas guias; a

corrediça está ligada ao corpo 1 no ponto A através de um pino e ao exterior por

duas molas iguais de rigidez K, estando submetida à acção da força resistente Fr

conhecida. Considere que para θ θ θ θ = 0 a deformação inicial das molas 5 é

conhecida.

Considere a existência de atrito entre o pino e o rasgo do corpo 2, sendo 5 o correspondente

coeficiente de atrito. Considere as restantes ligações perfeitas. Determine:

a) A equação de movimento do sistema, aplicando o Teorema dos Trabalhos Virtuais;

b) As forças de ligação ao exterior no ponto O, aplicando o Teorema dos Trabalhos Virtuais;

c) A velocidade angular do corpo1 quando θθθθ = ππππ/2, admitindo que o sistema parte do

repouso, da posição 5 = 0, e aplicando o Teorema do Trabalho e Energia (considere Mm e

Fr constantes);

x

y

K

K

L

Mm

r

R

θ

H

B

C

G

G

2

1 Fr

A

O



Problema TTV3

O sistema mecânico (serrote mecânico) representado na figura é constituído por:

Corpo 1: um disco, de raio R e massa m1, que roda em torno do ponto O fixo com

velocidade angular θɺ e aceleração angular θɺɺ , submetido à acção do momento

motor constante M conhecido;

Corpo 2: uma barra AB, de comprimento 2a e massa m2, articulada em A com o corpo 1 e

em B com o corpo 3;

Corpo 3: um cursor de massa m3, com movimento imposto pela guia horizontal, e

submetido à acção da força de corte constante FC conhecida.

Considere a massa e a inércia de todos os corpos, admitindo conhecidas as matrizes de inércia

de todos os corpos em relação a sistemas de eixos principais centrais de inércia.

Suponha que todas as ligações são perfeitas.

a) Represente o Diagrama de Corpo Livre e determine a equação de movimento do

sistema aplicando o Teoremas dos Trabalhos Virtuais;

b) Represente o Diagrama de Corpo Livre e determine as forças de ligação ao exterior no

ponto O aplicando o Teoremas dos Trabalhos Virtuais;

c) Determine a velocidade do ponto B quando θθθθ = ππππ/2, admitindo que o sistema parte do

repouso a partir da posição θθθθ = 0, aplicando o Teorema do Trabalho e Energia;

aAG

a2AB

rOA

GB

GO

2

3

1

=

=

=

≡≡

r

θ

X

Y

H

A 1 2

3

B

ϕ M

FC



Problema TTV4

d

G4

O

a

A

G

Mm

2

C

G1

b

E

D

c

3G

θθθθ

P

B FR

h2PG

hOG

2OC

OG

4

3

2

=

=

=

=

ℓ

ℓ


Corpo 1 - Uma barra de massa m1, que translada horizontalmente e sobre a qual actua

uma força resistente; a barra está ligada ao corpo 2 no ponto C através de um

pino deslizante;

Corpo 2 e 3 - Duas barras rigidamente ligadas entre si, respectivamente de massas m2 e m3,

que rodam em torno do ponto O fixo com velocidade angular θɺ e aceleração

angular θɺɺ , sob a acção do momento motor Mm; a barra 3 está ligada ao corpo 4

no ponto P através de um pino deslizante;

Corpo 4 - Uma barra de massa m4, que translada verticalmente.

Suponha conhecida a matriz de inércia de cada corpo em relação a eixos principais centrais

de inércia. Considere todas as ligações perfeitas.

Aplicando o Teorema dos Trabalhos Virtuais, determine:

a) A equação de movimento do sistema;

b) As forças de ligação ao exterior no ponto O;

c) As forças de ligação ao exterior nos apoios D e E;

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Problemas Cinematica