EQ/UFRJ Carlos André Vaz Junior [email protected]

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Carlos André Vaz Junior

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Agora a = 2, faço tudo de novo?!

Command Window

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Arquivo de Programação: m-file

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Current Directory

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Criando variáveis

Char ArrayMatriz

Tipos Básicos

Case Sensitive!

Estrutura

CaSe SeNsItIvE!

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Criando uma matriz:

Tipo Matriz

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Criando um “char array”:

Tipo Char Array

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Estrutura:

turma.alunos.nomes=strvcat( 'carla',’joao','bruno', ... 'luis', 'marcela‘ );turma.professor.nome=(‘Marcelo‘)turma.horario=1300turma.sala=221

Banco de Dados da “Turma”: Alunos: Carla, João, Bruno, Luis, Marcela Professor: Marcelo Horário: 13h Sala: 221

Tipo Estrutura

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Comando “who” e “whos”

Comando “who” e “whos”

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Use A=0:0.5:10 para gerar matrizes com dados em seqüência.

Use “;” para evitar que o resultado apareça na tela.

Dicas!

Use “clear A” para apagar a variável A.

Dicas!

Use “size(A) ” para identificar as dimensões da matriz. A maior dimensão é dada pelo comando “length(A) ”

Use “clear all” para apagar todas as variáveis armazenadas.

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i) Soma e subtração: soma (ou subtrai) elemento por elemento da matriz. A+B A-B ii) Multiplicação e Divisão de matrizes: atenção às regras da álgebra, pois as dimensões das matrizes têm que ser coerentes! A * B A / B iii) Multiplicação e divisão elemento por elemento:A .* BA ./ B

Operações Matemáticas Simples

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iv) Matriz Transposta:A’ v) Cria Matriz Identidade:eye(número de linhas, número de colunas) vi) Cria Matriz Zeros:zeros(número de linhas, número de colunas)

vii) Cria Matriz Uns:ones(número de linhas, número de colunas) viii) Cria Matriz Randômica (composta de números aleatórios):rand(número de linhas, número de colunas)


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ix) Determinante:det(matriz) x) Inversa:inv(matriz) xi) Dimensões da matriz:size(matriz)lenght(matriz)numel(matriz)


Veja também: flipud e fliplr

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1 5 9 13

2 6 10 14

3 7 11 15

4 8 12 16

Elemento = Matriz(2,3) ou Matriz(10)

Referenciar um Elemento de uma Matriz

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Arquivo Function

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A=1B=2global CC=100

Função Alfa

E=15F=55C=23

Função Beta

Escopo das Variáveis

Programa Principal / Workspace

global CC=100D=22

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x=[1 2 3 4 5 6; 2 1 3 3 2 1];

%Forma linear: xmin=min(x); xmin=min(xmin); [i,j]=find(x==xmin);

Exemplo Rápido

Achando a posição do menor valor de uma matriz:

%Forma condensada: [i,j]=find(x==(min(min(x))));

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X = fzero('sin',2)

Exemplo Rápido

Achando o menor valor de uma função:

função estimativa inicial

Veja também: fsolve e fmin

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Estruturas Lógicas

if:

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Estruturas Lógicas

AND OR

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Falso Verdadeiro

AND

a b resultado

1 1 1

0 1 0

1 0 0

0 0 0

OR

a b resultado

1 1 1

0 1 1

1 0 1

0 0 0

Estruturas Lógicas

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Case: switch I case 1, disp('I vale 1') case 2, disp('I vale 2') otherwise disp('I nao eh nem 1 nem 2') end

Estruturas Lógicas

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While: while I < 10, disp(‘oi’); I=I+1; end

Manipule o ponteiro I na rotina executadapelo “while”

Estruturas Lógicas

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For: for J = 1:100, A(1,J) = 1/(I+J-1); end

Incremento automático do ponteiro J a cada loop

Estruturas Lógicas

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Try: try

I = 15 J = ‘teste’

A= 1/(I+J-1); catch disp(‘Erro na divisão’)

end

Proteção Contra Erros

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Break:

i=0;

while i < 100,

i=i+1; disp(i)

if i>10, break end

end

Encerrando uma Rotina

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>> figure(1)

>> t=0:0.01:10;>> y=sin(t);>> plot(t,y)

>> figure(2)

>> z=cos(t);>> plot(t,z)

Gráficos

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>> figure(3)

>> subplot(1,2,1)

>> plot(t,y)

>> subplot(1,2,2)>> plot(t,z)

Gráficos

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>> t=0:0.25:10;>> y=sin(t);>> plot(t,y,'r+')>> xlabel('tempo')>> ylabel('seno')>> title('Seno vs. Tempo')>> Axis([0 10 -2 2])

Gráficos

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>> t=0:0.01:10;>> y=sin(t);>> z=cos(t);>> plot(t,y,'g-',t,z,'r-')>> legend('seno','cosseno')

Ou...

>> t=0:0.01:10;>> y=sin(t);>> z=cos(t);>> plot(t,y,'g-‘)>> hold on>> plot(t,z,'r-')>> legend('seno','cosseno')

Gráficos

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>> x = [1 3 0.5 2.5 2];

>> explode = [0 1 0 0 0];

>> pie(x,explode)

>> colormap jet

>> legend('EMB','IND','ACO','DIV','POT')

Gráficos - Tortas

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>> x = [1 3 0.5 2.5 2];

>> explode = [0 1 0 0 0];

>> pie3(x,explode)

>> colormap jet

>> legend('EMB','IND','ACO','DIV','POT')

Gráficos - Tortas

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>> x = -2.9:0.2:2.9;

>> bar(x,exp(-x.*x))

>> colormap hsv

Gráficos - Barras

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Gráficos - Superfície

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xx=0:0.01:1;yy=0:0.01:1;[X,Y]=meshgrid(xx,yy);

Z=exp(-0.5*(X.^2+Y.^2));

colormap jetfigure(1);surf(X,Y,Z); rotate3d on; shading interp;


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xx=0:0.01:1;yy=0:0.01:1;[X,Y]=meshgrid(xx,yy);

Z=X.*X.*Y;

colormap jetfigure(1);surf(X,Y,Z); rotate3d on; shading interp;


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%Malha triangular da base %malha da base xx=0:0.01:1; yy=0:0.01:1; [X,Y]=meshgrid(xx,yy); Z=1-X-Y; %aplica a restrição para usar só a base do triangulo %onde existe consistência física (o que nao tem vira "Not a Number") iz=find(Z<0);Z(iz)=nan;


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%Malha triangular da base %malha da base xx=0:0.01:1; yy=0:0.01:1; [X,Y]=meshgrid(xx,yy); Z=1-X-Y; %aplica a restrição para usar só a base do triangulo %onde existe consistência física (o que não tem vira "Not a Number") iz=find(Z<0);Z(iz)=nan;

Composição(3 componentes)


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%Malha triangular da base %malha da base xx=0:0.01:1; yy=0:0.01:1; [X,Y]=meshgrid(xx,yy); Z=1-X-Y; %aplica a restrição para usar só a base do triangulo %onde existe consistência física (o que não tem vira "Not a Number") iz=find(Z<0);Z(iz)=nan;

Alguns Z sãonegativos! Não pode!


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vv1=(X.*log(X))+(Y.*log(Y))+(Z.*log(Z));

%gráfico da superfíciecolormap jetfigure(1);surf(X,Y,vv1); rotate3d on; shading interp;xlabel('X1');ylabel('X2');zlabel('DeltaGi/RT');


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Use “close all” para fechar todas as figuras

Dica!

Gráficos

Use “clf” para apagar a figura atual

Use “[x,y]=ginput(2)” para capturar dois pontos no gráfico

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Exemplos

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Exemplo1

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M o d e l a g e m & D i n â m i c a d e P r o c e s s o s

E x e m p l o 1 :M o d e l o s s i m p l e s - o t a n q u e d e n í v e l

1

h

F E

F

A

h

F E

F

A

h

F E

F

A

C o n s i d e r a n d o c o n s t a n t e s a v a z ã o d e a l i m e n t a ç ã o F E , a

d e n s i d a d e e a t e m p e r a t u r a T , e q u e o s i s t e m a e s t á s u j e i t o à

c o n d i ç ã o i n i c i a l :

00 hth ( 1 )

Modelagem simples de um tanque de nível

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M o d e l o s s i m p l e s - o t a n q u e d e n í v e l

p o d e - s e e s c r e v e r o b a l a n ç o d e m a s s a d o s i s t e m a

1

FFdt

tdmE

dt

tdhA

dttdm

FFAdt

tdhE

1

A i n d a ,

e , p o r t a n t o ,

( 2 )

( 3 )

( 4 )


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F r e q ü e n t e m e n t e , c o n s i d e r a - s e a v a z ã o d e s a í d a d o t a n q u e

p r o p o r c i o n a l à a l t u r a d a c o l u n a d e l í q u i d o é i n v e r s a m e n t e

p r o p o r c i o n a l a u m a r e s i s t ê n c i a a o e s c o a m e n t o ( R ) :

1

Rh

F

Rh

FAdt

tdhE

1

L o g o ,

( 5 )

( 6 )


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E s t e m o d e l o s i m p l e s d e u m t a n q u e d e n í v e l , s e m b a l a n ç o d e

e n e r g i a , p o s s u i u m a s o l u ç ã o a n a l í t i c a :

1

RA

t

E eRFth 1

P a r a s i m u l a r e s t e m o d e l o , b a s t a e s c o l h e r o s v a l o r e s d a s

c o n s t a n t e s R , A e F E , d a s c o n d i ç õ e s i n i c i a i s h 0 e t 0 .

A s i m u l a ç ã o d a s o l u ç ã o a n a l í t i c a d o m o d e l o d o t a n q u e d e

n í v e l é m o s t r a d a a s e g u i r .

( 7 )


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% Definição das constantes do modelo

R = 1; % h/m2

A = 2; % m2

Fe = 10; % m3/h

% Tempo de simulação

t = 0.0 : 0.01 : 10.0; % h

% Simulação da altura de líquido

h = R*Fe*(1 - exp(-t/(R*A))); % m

% Visualização da simulação

plot(t,h);

title('Simulação do tanque de nível');

xlabel('Tempo (h)');

ylabel('Altura (m)');


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Verifique a consistência do calculo: a matriz “h” gerada também deve ser 1x1000, já que cada instante “t” gerou um valor “h”.

É sempre útil conferir a dimensão das variáveis, principalmente a medida que as

rotinas forem tornando-se complexas.

Dica!


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Exemplo2

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Muitas vezes é muito trabalhoso, ou mesmo impossível, encontrar a solução analítica para o conjunto de equações diferenciais. Nesse caso

temos que simular usando solução numérica das equações diferenciais. Vamos assumir que o

modelo do exemplo 1 não tivesse solução analítica, e então usar o Matlab para estudar o

comportamento da altura do nível com o tempo. A equação diferencial será:



F r e q ü e n t e m e n t e , c o n s i d e r a - s e a v a z ã o d e s a í d a d o t a n q u e

p r o p o r c i o n a l à a l t u r a d a c o l u n a d e l í q u i d o é i n v e r s a m e n t e

p r o p o r c i o n a l a u m a r e s i s t ê n c i a a o e s c o a m e n t o ( R ) :

1

Rh

F

Rh

FAdt

tdhE

1

L o g o ,

( 5 )

( 6 )

Modelagem de um tanque de nível via ED

EQ/UFRJ

% Definição das constantes do modeloR = 1; % h/m2A = 2; % m2Fe = 10; % m3/h% Tempo de simulaçãot = 0.0 : 0.01 : 10.0; % h% Simulação da altura de líquido[t,h] = ode45('dhdt',t, 0,[],[R A Fe]);% Visualização da simulaçãoplot(t,h);title('Simulação do tanque de nível');xlabel('Tempo (h)');ylabel('Altura (m)');

function dh = dhdt(t,h,flag,par)R = par(1);A = par(2);Fe = par(3);dh = (Fe-(h/R))/A;


EQ/UFRJ

Nesse caso temos uma equação diferencial, então deveremos usar uma função Matlab específica para a

resolução de eq. diferenciais. No caso temos a ODE45. A função ODE45 implementa um esquema de solução de

sistemas de EDO’s por método de Runge-Kutta de ordem média (consulte o help sobre ODE45 para

maiores detalhes).

[t,h] = ode45('dhdt',t, 0,[],[R A Fe]);


EQ/UFRJ

Os parâmetros enviados entre parênteses são aqueles que devemos passar para a ODE45:

-1º argumento de ode45 é uma string contendo o nome do

arquivo .m com as equações diferenciais. Neste caso, o arquivo chama-se dhdt.m.

-2º argumento é um vetor que pode conter (i) dois elementos:

os tempos inicial e final da integração, ou (ii) todos os valores de tempo para os quais deseja-se conhecer o valor da variável

integrada.

-3º argumento é o vetor contendo as condições iniciais das variáveis dependentes das EDO’s. Os valores dos elementos do vetor de condições iniciais precisam estar na mesma ordem em

que as variáveis correspondentes são calculadas na função passada como 1º argumento para ode45 (neste caso, dhdt.m). Nesse caso em particular só temos uma variável dependente,

assim temos uma única condição inicial.


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-4º argumento é o vetor de opções de ode45. Há várias opções do método que podem ser ajustadas. Entretanto, não deseja-se alterar os valores-padrão. Neste caso, é passado um vetor vazio, apenas para marcar o lugar das opções.

-5º argumento é um vetor contendo parâmetros de entrada para a função dhdt.m. Observe que a função .m deve ler

esses parâmetros na ordem correta (recebe como variável local “par”).

Os resultados da simulação são obtidos nos dois parâmetros entre colchetes (t , h).


EQ/UFRJ

A codificação do arquivo .m segue o mesmo formato já explicado para funções porém com algumas particularidades.

No caso específico de um arquivo .m que deve ser chamado por uma função de solução EDO’s (todas as ODExx), a declaração

deste arquivo deve seguir a sintaxe:

function dy = nomefun(t, y, flag, arg1, ..., argN)

onde •dy é o valor da(s) derivada(s) retornadas•t e y são as variáveis independente e dependente, respectivamente.•Opcional: caso deseje-se receber outros parâmetros, a função deve receber um argumento marcador de lugar chamado flag. Após este, ela recebe quaisquer outros parâmetros.


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Exemplo3

EQ/UFRJ


E x e m p l o 3 T a n q u e d e a q u e c i m e n t o

1

h

F E , T E

F , T

A

T h

T h

h

F E , T E

F , T

A

T h

T h

C o n s i d e r a n d o c o n s t a n t e s a v a z ã o d e a l i m e n t a ç ã o F E , a

t e m p e r a t u r a T h , o c o e fi c i e n t e g l o b a l d e t r a n s f e r ê n c i a d e c a l o r U e

a s p r o p r i e d a d e s d o fl u i d o e C p e q u e o s i s t e m a e s t á s u j e i t o à s

c o n d i ç õ e s i n i c i a i s :

00 hth 00 TtT

Modelagem de um tanque de aquecimento

EQ/UFRJ


M o d e l o s s i m p l e s - t a n q u e d e a q u e c i m e n t o

C o m o n o c a s o a n t e r i o r , o b a l a n ç o d e m a s s a p o d e s e r e s c r i t o

c o m o :

1

Rh

FAdt

tdhE

1( 6 )

O b a l a n ç o d e e n e r g i a é e s c r i t o c o m o :

QFHHFdtVTd

C EEp ( 8 )


M o d e l o s s i m p l e s - t a n q u e d e a q u e c i m e n t o

1

dtdh

Tdt

dThA

dtdV

Tdt

dTV

dtVTd

( 9 )

QFHHFRh

FA

Tdt

dThAC EEEp

( 1 0 )

p

E

p

hEE

CU

AF

TC

UTA

TFhdt

dT

1( 1 1 )


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Matlab Real

dy(1) dh/dt

y(1) h

dy(2) dT/dt

y(2) T

Traduzindo as equações diferenciais para o Matlab:


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% Definição das constantes do modeloR = 1; % h/m2A = 2; % m2Fe = 10; % m3/hCp = 0.75; % kJ/(kg . K)Ro = 1000; % kg/m3U = 150; % kJ/(m2 . s . K)Te = 530; % K Th = 540; % K % Tempo de simulaçãot = 0.0 : 0.01 : 10.0; % h % Simulação do modelo[t,y]=ode45('dydt',t,[(5/A) Th],[],[U A Ro Cp Fe R Te Th]);


EQ/UFRJ

% Visualização da simulaçãofigure(1);plot(t,y(:,1)); title('Tanque de aquecimento');xlabel('Tempo (h)'); ylabel('Altura (m)');figure(2);plot(t,y(:,2)); title('Tanque de aquecimento');xlabel('Tempo (h)'); ylabel('Temperatura (K)');


EQ/UFRJ

A única modificação em relação ao exemplo anterior é que estamos passando duas condições iniciais (pois

existem duas variáveis dependentes):

[t,y]=ode45('dydt',t,[(5/A) Th],[],[U A Ro Cp Fe R Te Th]);


EQ/UFRJ

A função .m tem o código apresentado a seguir:

function dy = dydt(t,y,flag,par);U = par(1);A = par(2);Ro = par(3);Cp = par(4);Fe = par(5);R = par(6);Te = par(7);Th = par(8);dy(1) = (Fe-(y(1)/R))/A;dy(2) = (1/y(1))* ( ((Fe*Te/A)+(U*Th/(Ro*Cp)))... - ( y(2)*((Fe/A)+(U/(Ro*Cp)))) );dy = dy(:);


EQ/UFRJ

O vetor dy é criado como vetor linha (dy(1)) e (dy(2)). Porém temos que retornar como vetor coluna.

Use o comando:matriz coluna = matriz linha (:)

Dica!


EQ/UFRJ

figure(1);plot(t,y(:,1));title('Tanque de aquecimento');xlabel('Tempo (h)'); ylabel('Altura (m)');

Quando for fazer os gráficos no programa principal lembre-se que a primeira coluna de “dy”

refere-se a “h” e a segunda a “T”. Então para graficar h vs. tempo faça:

Dica!


EQ/UFRJ

Exemplo4

EQ/UFRJ

Aplicando perturbações no CSTR

EQ/UFRJ

As equações diferenciais que descrevem o processo são:

O modelo matemático do nosso reator CSTR tende ao estado estacionário. Ou seja, seus parâmetros tendem a ficar constantes no tempo infinito. Seria interessante introduzir perturbações em

algumas variáveis e observar como o reator se comporta.


EQ/UFRJ

Uma perturbação degrau em uma entrada u do sistema é tal que:

u = u0 , t < tdegrauu = u0 + du, t > tdegrau

Ou seja: antes do degrau a entrada u vale u0. Após o tempo determinado para que o degrau ocorra (tdegrau) temos que u

passa a valer u0 + du.


EQ/UFRJ

% Definição das constantes do modeloU =50; % BTU/(h.ft2.R)A = 120; % ft2DH = -30000; % BTU/lbmRo = 50; % lb/ft3Cp = 0.75; % BTU/(lbm.R)E = 30000; % BTU/lbm R = 1.99; % BTU/(lbm.R)k0 = 7.08e10; % 1/h V =48; % ft3Te = 580; %R Th = 550; %RFe = 18; % ft3/h Cre = 0.48; % lbm/ft3 % Tempo de simulaçãot = 0.0 : 0.01 : 10.0; %h % Perturbação na vazão de entradatd = 5.0; %Tempo onde ocorre o degraufd = 2*Fe; %Valor assumido após o degrau

Programa principal:

continua...


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% Condições iniciaisCr0 = 0.16; % lbm/ft3T0 = 603; %R % Simulação do modelo[t,y] = ode45('dcstrdeg',t,[Cr0 T0],[],[U A DH Ro Cp E R k0 V Te Th … Fe Cre],[td fd]);% Visualização da simulaçãofigure(1);plot(t,y(:,1)); title('CSTR com Reação Exotérmica');xlabel('Tempo (h)'); ylabel('Concentração de Reagente (lbm/ft3)');figure(2);plot(t,y(:,2)); title('CSTR com Reação Exotérmica');xlabel('Tempo (h)'); ylabel('Temperatura (R)');

Programa principal (continuação):


EQ/UFRJ

function dy = dcstrdeg(t,y,flag,par,deg); U = par(1); A = par(2);DH = par(3); Ro = par(4);Cp = par(5); E = par(6);R = par(7); k0 = par(8);V = par(9); Te = par(10);Th = par(11);

Função “dcstrdeg”:

continua...


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%Verifica a ocorrência de degrau:

if t >= deg(1)

Fe = deg(2);

else

Fe = par(12);

end;

Cre = par(13);

dy(1) = (Fe/V)*(Cre-y(1)) - k0*exp(-E/(R*y(2)))*y(1);

dy(2) = (Fe/V)*(Te-y(2)) + ((DH*k0*exp(-E/(R*y(2)))*y(1))/(Ro*Cp)) - ...

(U*A*(y(2)-Th)/(V*Ro*Cp));

dy = dy(:);

Função “dcstrdeg” (continuação):


EQ/UFRJ

Exemplo5

EQ/UFRJ

Simulação em batelada

Uma das grandes vantagens no uso de ferramentas computacionais é reduzir o nosso esforço repetitivo, tarefa para a qual o computador é muito eficiente. Supomos que

temos um processo no qual gostaríamos de testar uma série de condições iniciais. Para cada nova condição inicial

teríamos de refazer todas as contas. Um esforço enorme! As linguagens de programação, e o Matlab em particular,

resolvem esse problema facilmente usando o já apresentado comando “for”.

Usaremos o mesmo reator CSTR do exemplo anterior.

EQ/UFRJ

% Definição das constantes do modeloU =50; % BTU/(h.ft2.R)A = 120; % ft2DH = -30000; % BTU/lbmRo = 50; % lb/ft3Cp = 0.75; % BTU/(lbm.R)E = 30000; % BTU/lbm R = 1.99; % BTU/(lbm.R)k0 = 7.08e10; % 1/h V =48; % ft3Te = 580; %R Th = 550; %RFe = 18; % ft3/h Cre = 0.48; % lbm/ft3 % Tempo de simulaçãot = 0.0 : 0.01 : 10.0; %h % Condições iniciaisCr0 = [0.16 0.32 0.48 0.64]; % lbm/ft3T0 = 603; %R

Programa principal:

continua...


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% Simulação e visualização do modelo em bateladacor = 'brmk';leg = ['Cr0=0.16'; 'Cr0=0.32'; 'Cr0=0.48'; 'Cr0=0.64'];

for aux = 1 : length(Cr0) [t,y] = ode45('dcstr',t,[Cr0(aux) T0],[], [U A DH Ro Cp E R k0 V… Te Th Fe Cre]); % Visualização da simulação figure(1); hold on; plot(t,y(:,1),cor(aux)); title('CSTR com Reação Exotérmica'); xlabel('Tempo (h)'); ylabel('Concentração de Reagente (lbm/ft3)'); figure(2); hold on; plot(t,y(:,2),cor(aux)); title('CSTR com Reação Exotérmica'); xlabel('Tempo (h)'); ylabel('Temperatura (R)');end;


continua...


EQ/UFRJ

figure(1); legend(leg);figure(2); legend(leg);hold off;


A seqüência de cores usadas é dada pelo vetor “cor”, “letra a letra” através da flag. Consulte o comando “plot” para detalhes.

Dica!


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Carlos André Vaz Junior

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