Instituto de Física de São Carlos, USP FCM0208 Física (Arquitetura) Prof. Dr. José Pedro Donoso

Equilibrio Estático e Análise de Estruturas

Condições de Equilíbio: (1) a soma vetorial das forças que atuam sobre o corpo deve ser zero, e (2) a resultante dos torques de todas as forças que atuam sobre um corpo, calculadas em relação a um eixo (qualquer), deve ser zero. Torque ou momento de força: é o produto de uma força F pela distância l ao eixo:

τ = F·l [unidade: 1 N·m]

O torque mede a tendência de F de provocar uma rotação em torno de um eixo.

1) Considere o depósito de concreto armado da figura. A estrutura consiste de uma laje, quatro vigas e quatro pilares. Desejamos calcular as cargas que chegam as fundações.

a) Com base das dimensões indicadas na figura, calcule o volume da laje, o volume das vigas e o volume dos quatro pilares. b) Com o volume total da estrutura e a densidade do concreto armado (2500 kg/m3) calcule a carga da estrutura. c) Adicione a esse valor a carga acidental da laje. Esta carga se calcula multiplicando a carga do material a ser colocado acima da laje (estimada em 350 kg/m2) pela área da laje (5.7 m × 4.3 m). Qual a carga total da estrutura? d) Como são quatro pilares, a carga por cada fundação (sapata) se obtém dividindo por quatro a carga total da estrutura. Qual é a carga por cada sapata? (Ref: Manoel H. Campos Botelho, Concreto armado) 2) Observe a figura e responda, qual das duas pessoas, o homem ou a mulher, exerce uma força maior para sustentar a carga? Se a massa da prancha for 10 kg e a massa da carga for 60 kg, calcule a força F1 exercida pelo homem e a força F2 a exercida pela mulher. (Ref: Tipler, Física, 4a Ed. Prob. 12-5)

3) A figura mostra um móbile constituído por 4 ornamentos e 3 varas (de massas desprezíveis). As distâncias (em cm) estão indicados na figura, e a massa de um dos ornamentos é conhecida. Determine as massas dos ornamentos A, B e C de modo que o móbile fique em equilíbrio. (Ref: Young & Freedman, Física 1, 12a ed. 2014) 4) O problema do equilíbrio de um vão livre pode ser ilustrado pelo seguinte exemplo: um mergulhador que pesa 582 N está de pé sobre um trampolim uniforme de 4.5 m, cujo peso é de 142 N. O trampolim está preso por dois pedestais distantes 1.55 m, como mostra a figura. Encontre a força exercida por cada pedestal. (Ref: Resnick, Halliday e Krane, Física, Prob. 14-13). 5) Uma grua utilizada na contrução civil pode levantar 1 ton de carga na ponta da lança. Essa carga é suportada por um contrapeso formado de blocos de concreto colocados na extremidade da estrutura. Estime o comprimento da lança e a distância entre a cabine do operador e os contrapesos. (a) Determine a massa do contrapeso de modo que a grua fique em equilibrio. (b) Se a dimensão do bloco de concreto usado no contrapeso for 1.5 m × 0.8 m × 0.35 m, determine a massa do bloco (densidade do concreto armado: 2550 kg/m3). Quantos blocos precissa ter o contrapeso para equilibrar a carga?

6) Uma escada de 5 m, que pesa 60 N, está apoiada em uma parede vertical. O pé da escada está a 3 m da parede. Determine as forças que agem sobre a escada e aplique as condições para o quilíbrio estático de forma que a escada não escorrege. (Ref: Tipler e Mosca, Física, 6a ed, Exemplo12-6) 7) Uma pessoa de 900 N de peso está no topo de uma escada de duas pernas e de massa desprezível como mostra a figura. A meia-altura da escada há uma travessa de segurança. O ângulo de abertura, no topo, é θ = 30º (a) Qual é a força exercida pelo

piso sobre cada perna da escada? (b) Calcular a tensão na braçadeira. (c) Se a braçadeira for fixada num ponto mais baixo (mantendo-se porém o ângulo no topo), a tensão que suportará será maior ou menor? (Ref: Tipler e Mosca, Física, 6a ed, Prob. 12-36. Resposta: (a) 450 N (b) 249 N (c) a tensão diminui) 8) Uma porta de 18 kg tem 2 m de altura e 0.8 m de largura. A porta tem duas dobradiças, uma a 20 cm do topo e outra a 20 cm da base. Admitindo que cada dobradiça suporte metade do peso da porta, calcule o módulo e a direção das forças exercidas pelas duas dobradiças sobre a porta. (Ref: Tipler e Mosca, Física, 5a edição, Prob. 12-30. Resposta: 44 N). 9) Os prédios muito altos podem sofrer cargas muito altas por causa dos ventos. Para saber se um prédio está bem equilibrado e não va inclinar-se com a força de um vento forte, podemos fazer um calculo aproximado para saber se o peso da estrutura é suficiente para manter o prédio de pé numa tormenta. Considere a torre da figura, de 1.2×105 toneladas de massa, área da fase 1.63×104 m2 e com 36 m de largura e 412 m de altura. (a) Quando a torre sofre ventos de 160 Km/h, a força que o vento exerce sobre o prédio é F = 19×106 N. Calcule a pressão exercida sobre a face da torre. (b) Mostre que o torque produzido pelo vento, obtido do produto da força F vezes a altura do centro de gravidade da torre, é τ1 = 3.9×109 N m (sentido horário). (c) Mostre que o torque resultante do peso da torre vezes a meia-largura da torre, é τ2 = 2.2×1010 N m (sentido anti-horario). (d) Com base dos resultados das partes (b) e (c), discuta se a torre se mantem em pé numa tormenta com ventos de até 160 km/h. (Ref: Hecht, Physics)

10) Uma igreja gótica possui um telhado que pesa 20 mil Newton e se ergue a 40o do plano horizontal em cada parede. As paredes tem 40 m de altura. A força horizontal que o telhado exerce no topo da parede tende a empurrar as paredes para fora, desabando a estrutura. Uma solução usada nas grandes catedrais góticas nos anos 1200 foi o arcobotante, um suporte de pedra apoiado na parede que ajuda a conter a força horizontal. Um arcobotante encontra a parede 10 m abaixo da base do telhado. Qual força horizontal deve aplicar o arcobotante na parede? Ref: Young e Freedman, Física 1: mecânica (12a edição, Pearson 2014) Probl 11-71.

Elasticidade Considere uma barra sólida de comprimento L sujeita a uma força de tração F. Define-se a deformação (strain ou deformation) como a variação relativa do comprimento da barra:

Deformação = ∆L/L Define-se a tensão (stress) como a força de tração aplicada ao corpo por unidade de área:

Tensão de tração = F/A [unidade: N/m2]

O modulo de Young (Y) é a razão entre a tensão e a deformação: ( )( )L

LA

FY

∆=

1) Um cabo de 1.5 m de comprimento tem área da seção reta de 2.4 mm2. O cabo está pendurado na vertical e sofre alongamento de 0.32 mm quando sustenta um corpo de 10 kg preso na sua ponta inferior. Calcular: (a) a tensão, (b) a deformação e (c) o módulo de Young do material do cabo. (Tipler & Mosca, Física, 6a ed. Problema prático 12-4. Resposta: 4.08 × 107 N/m2; 2.13 × 10-4; 191 × 109 N/m2) 2) Um cabo de aço de 2.5 cm2 de área suporta um elevador de 1 tonelada. O limite de ruptura do aço (ultimate strength) é de 300 × 106 N/m2. Se a tensão no cabo não deve exceder 20% desse limite, encontre a máxima aceleração do elevador quando este se movimenta para acima. (Beiser, Applied Physics, Prob. 13-7. Respota a = 5.2 m/s2) 3) Um túnel de L = 150 m de comprimento, H = 7.2 m de altura e 5.8 m de largura deve ser construído a uma profundidade de d = 60 m. O teto do túnel deve ser sustentado por colunas quadradas de aço de 960 cm2 de seção reta. A densidade do material do solo é 2.8 g/cm3. (a) Qual é o peso total que as colunas do tunel devem sustentar?. (b) Quantas colunas são necessárias para ter um fator de segurança de dois contra ruptura? A carga de ruptura do aço é 400 M N/m2(ou seja, 400×106 N/m2) [Ref:Halliday, Resnick, Walker, Fundamentos da Física, 8a ed., Prob. 12-49. Resposta: (a) 1.4 × 109 N, (b) 75]