Física Moderna - (Paul a. Tipler) - Cap_06-07

8/15/2019 Física Moderna - (Paul a. Tipler) - Cap_06-07

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TERCEIRA EDIÇÃO

Paul A. Tipler

Ex-profe ssor da Oakland U nivers ity

Ralph A. Llewellyn

Universi ty of Central Florida

CEFETCE/BIBUOIECA- V ' %

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COMPRA

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T r a d u ç ã o •

Rona ldo Sérgio de Biasi,

Ph. D.

Professor Ti tu la r do Depar tamento de Engenhar ia Mecânica e de Mater ia is

do Inst i tu to Mil i ta r de E ngenhar ia

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EDITORA

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Sumário

Parte 1

RELATIVIDADE E MECÂNICA QUÂNTICA:

O s FUNDAMENTOS DA FÍSICA MO DERN A I

C a p í tu l o 1 R e l a t i v i d a d e I 3

1-1 Provas Exper im entais da Relat ividade 3

• Q O Experimento de Michelson-Morley 8

1-2 Os Postulados de Eins te in 12

1-3 A Trans form ação de Lorentz 16

Calibração dos Eixos do Espaço-Tempo 22

1-4 Di la tação dos Tem pos e Cont ração das Dis tâncias 23

1-5 O Efei to Dopp ler 30

( O Efeito Doppler Transversal 32

1-6 O Paradox o dos Gêm eos e Out ras Surpresas 32

l ã l O Caso dos Gêmeos Identicamente Acelerados 34

Ç ) Velocidades Superluminares 37

Capítu lo 2 R e l a t i v i d a d e I I 4 6

2-1 Mo me nto Relat iví s t ico 46

2-2 Energia Relat iví s t ica 49

2-3 Co nversão de Massa em Energia e a Energia de Ligação 54

2-4 Mas sa Invar iante 56

2-5 Relat ividade Geral 64

Deflexão da Luz em um Campo Gravitacional 65

Desvio Gravitacional para o Vermelho 68

jj^.' O Periélio da Órbita de Mercúrio 69

^ O Retardo da Luz em um Campo Gravitacional 70

C a p ít u lo 3 Q u a n t i z a ç ã o d a C a r g a , L u z e E n e r g i a 77

3-1 Quan t ização da Carga Elét r ica 77

3 O Experim ento de Millikan 81

O símbolo j j ^ indica Leitura Suplementar cujo texto original es tá disponível, em inglês , na home page www.whf r eem an .com /phys ic s .

O s ímbolo • . indica um assunto de grande interesse.

http://www.whfreeman.com/physics

http://www.whfreeman.com/physics



viii Sumário

3 - 2 R a d i a ç ã o d e C o r p o N e g r o 8 3

3-3 O E fe i to Fo te lé t r i co 87

3-4 Ra io s X e o E fe i to Co mp ton 91

g j Demo nstração da Equação de Compton 95

C a p í tu l o 4 O Á t o m o N u c l e a r 101

4-1 E s pec t r os Atô mic os 102

4 - 2 O M o d e l o N u c l e a r d e R u t h e r f o r d 1 0 3

A Previsão de Rutherford e os Resultados de Geiger e Marsden 107

4 - 3 O M o d e l o d e B o h r p a r a o Á t o m o d e H i d r o g ê n i o 1 1 0

Átomos Gigantes 116

4-4 E s pe c t ros de Ra ios X 116

4 - 5 O E x p e r i m e n t o d e F r a n c k - H e r t z 1 1 8

4-6 Cr í t i ca da T eo r ia de Bohr e da "V e lha " Me cân i ca Qu ân t i ca 121

C a p ít u lo 5 P r o p r i e d a d e s O n d u l a t ó r i a s d a s P a r t í c u l a s 128

5-1 A Hipó te s e de de Brog l i e 128

5 - 2 M e d i d a d o C o m p r i m e n t o d e O n d a d a s O n d a s d e M a t é r i a 1 2 9

5-3 Paco te s de On das 136

5-4 In te rp re taçã o Proba b i l í s t i ca da Fu nção de On da 139

5-5 O Pr inc íp io de Inde te rm inaçã o 140

j O Microscópio de Raios Gama 143

5 - 6 A l g u m a s C o n s e q ü ê n c i a s d o P r i n c í p i o d e I n d e t e r m i n a ç ã o 1 4 4

5 - 7 O D u a l i s m o O n d a - P a r t í c u l a 1 4 5

gj. O Experimento de Duas Fendas 146

C a p í tu l o 6 A E q u a ç ã o d e S c h r õ d i n g e r 1 53

6 - 1 A E q u a ç ã o d e S c h r õ d i n g e r e m U m a D i m e n s ã o 1 5 3

6 - 2 O P o ç o Q u a d r a d o I n f i n i t o 1 5 7

6 - 3 O P o ç o Q u a d r a d o F i n i t o 1 6 2

jj ^ Solução Gráfica do Poço Quadrado Finito 165

6 - 4 V a l o r e s E s p e r a d o s e O p e r a d o r e s 1 6 6

j ã l Transições entre Níveis de Energia 168

6 - 5 O O s c i l a d o r H a r m ô n i c o S i m p l e s - _ — — 1 7 0

Q j Pa ridade 172

6 - 6 R e f l e x ã o e T r a n s m i s s ã o d e O n d a s 1 7 2

Decaimento Alfa 177

Q O Relógio Atômico de NH

3

178

ã i O Diodo Túnel 178

6-7 A E qu ação de Schr õd ing e r pa ra Du as (ou Ma is ) Pa r t í cu la s 179

C a p í tu l o 7 F í s i c a A t ô m i c a

186

7 - 1 A E q u a ç ã o d e S c h r õ d i n g e r e m T r ê s D i m e n s õ e s 1 8 6



Sumário

7-2

Quant ização do Momento Angular e da Energia do Átomo de Hidrogênio

188

7-3 As Funç ões de Onda do Átom o de Hidrog ênio

192

7-4 O Spin do Elétron

195

Ç^Jj O Experimento de Stern-Gerlach

197

7-5

Momento Angular Tota l e o Efe i to Spin-Órbi ta

199

7-6

Estados Fundamenta is dos Átomos dos Elementos: A Tabe la Per iódica

201

7-7 Estados Exc i tados e os Espec t ros dos Elementos 204

J Átomos com Mais de um Elétron Externo

206

^ O Efeito Zeeman

209

Capítulo 8 F í s i c a E s t a t í s t i c a

218

8-1

Esta t í s t ica Clássica

218

jg[ A Teoria Cinética dos Gases: Uma Breve Revisão

218

' J Ü Demo nstração do Teorem a da Equipartição para um Caso Particular

227

8-2

Esta t í s t ica Quânt ica

230

8-3 A Condensação de Bose-Einste in 234

Ç

- j Hélio Líquido

235

8-4 O Gás de Fótons: Um a Apl icação da Esta t í s t ica de Bose-Einste in

241

8-5

Propriedades de um Gás de Férmions

244

Parte 2

APLICAÇÕES

251

Capítulo 9

E s t r u t u r a e E s p e c t r o s d a s M o l é c u l a s

252

9-1 A Ligação Iônica 252

9-2 A Ligação Covalente

255

Outras Ligações Covalentes

259

O

9-3

Outros Tipos de Ligação

264

9-4 Níve is de Energia e Espec t ros de Mo léculas Dia tômicas

266

9-5 Absorç ão , Emis são Est imulada e Espa lh amento

272

9-6 Lasers e Mase rs

276

C a p í tu l o 1 0 F í s i c a d o E s t a d o S ó l i d o

287

10-1 A Est ru tura dos Sól idos

287

10-2

Teoria Clássica da Condução de Ele t r ic idade

293

J J Condução de Calor — O Modelo Clássico

297

10-3 O Gás de Elé t rons Livres nos Meta is

298

10-4 Teoria Quânt ica da Cond ução de Ele t r ic idade

300

^ Condução de Calor — O Modelo Quântico

303

10-5 Banda s de Energia em Sól idos

303

Í Bandas de Energia em Sólidos — Uma Abordagem Alternativa

308



viii Sumário

10-6 Semicondu to res Dopados

309

0 Efeito Hall 311

10-7 Junçõe s e Disposi t ivos Sem icondu tores 312

10-8 Supe rcondu tividade 317

Quantização do Fluxo Magnético - 320

Junções de Josephson 323

C a p í tu l o 1 1 F í s i c a N u c l e a r

329

11-1 A Com pos ição do Núcleo 329

11-2 Proprie dades dos Núc leos no Estado Fund am ental 330

O Modelo da Gota de Líquido e a Equação de Weizsäcker 337

11-3 Radio at ividade 340

j j Seqüências de Decaimentos 342

11-4 Decaim en tos Al fa , Beta e Gam a 344

Q

.•

Níveis de Energia do Decaimento Alfa 346

O Efeito Mössbauer 351

11-5 A Força Nuc lear 353

Densidade de Probabilidade dos Mésons Virtuais 356

11-6 O Mode lo de Cama das 357

O Modelo de Camadas de Mayer e Jensen 358

C a p í tu l o 1 2 R e a ç õ e s N u c l e a r e s e S u a s A p l i c a ç õ e s 367

12-1 Rea ções Nuc leares 369

12-2 Fissão, Fusã o e Reatore s Nuc leares 374

Ggf A Segurança dos Reatores de Fissão 382

jj ü Interações de Partículas com a Matéria 387

12-3 Aplic ações 391

Q Efeitos Biológicos da Radiação 396

C a p í tu l o 1 3 F í s i c a d e P a r t í c u l a s 403

13-1 Part ículas e Antipart ícu las 403

13-2 Interações Fun dam entais e a Classific ação das Part ículas 408

Ç ^ Comentários Adicionais a Respeito da Intensidade das Interações 413

13-3 Leis de Con serva ção e Sime trias 415

t j ' Em que Circunstâncias uma Grandeza Física é Conservada? 417

- j Ressonâncias e Estados Excitados 422

13-4 O Mod elo Padrão 423

De Onde Vem o Spin do Próton? 428

13-5 Para Além do Mod elo Padrão 434

C a p ít u lo 1 4 A s t r o f í s i c a e C o s m o l o g i a 441

14-1 O Sol 441



Sumánc

14-2 As Estre las 446

14-3 A Evo lução das Estre las 450

14-4 Even tos Cataclísm icos 452

14-5 Os Esta dos Finais das Estre las 454

14-6 Galáxias 456

14-7 Gravi tação e Cosm ologia 460

14-8 Cosm ogonia 462

A p ê nd ic e A T a b e l a d e M a s s a s A t ô m i c a s 471

A p ê n d ic e B I I n t e g r a i s Ú t e i s

485

A p ê n d ic e B 2 F u n ç õ e s d e D i s t r i b u i ç ã o 486

A p ê nd ic e B 3 D e m o n s t r a ç ã o d a D i s t r i b u i ç ã o d e B o l t z m a n n 488

A p ê nd ic e C C o n f i g u r a ç õ e s E l e t r ô n i c a s 491

A p ê nd ic e D C o n s t a n t e s F í s i c a s F u n d a m e n t a i s 494

A p ê n d ic e E F a t o r e s d e C o n v e r s ã o 497

A p ê n d ic e F G a n h a d o r e s d o P r ê m i o N o b e l d e F í s i c a 498

Respostas 502

í n d i c e 507



Prefácio

Esta nova edição de Física Moderna re f le te as mui tas descober-

tas que ampl ia ram os hor izontes da f í s ica moderna no f ina l do

século XX e a tende às numerosas sugestões ofe rec idas pe los

leitores das edições anteriores. Tentamos preservar o sabor his-

tórico e cultural e t ivemos o cuidado de manter o nível matemá-

t ico daque las ed ições, ao mesmo tempo que aumentamos subs-

tancialmente a flexibilidade do texto para que pudesse ser util i-

zado em vários t ipos de cursos, como cursos de um e dois se-

mestres e cursos com consulta à Internet.

Características

Mu i ta s c a ra c t e r í s t ic a s d a s e d i ç õ e s a n t e r io re s fo ra m m a n t id a s ,

e n t r e e la s a e s t ru tu ra l ó g i c a — c o m e ç a n d o c o m u m a in t ro d u -

ç ã o à r e l a t i v id a d e e à q u a n t i z a ç ã o e c o n t in u a n d o c o m a p l i c a -

ções — e a apresentação qua l i ta t iva de ondas de de Brogl ie

no Cap. 5 , i lust rada com mui tas fo tograf ias de padrões de d i -

f ração de par t ícu las e de ra ios X. O uso de mui tos exemplos

com cá lculos de ordem de grandeza e cá lculos com base em

modelos s impl i f icados, e logiado por a lunos e professores , fo i

mant ido . Como nas edições ante r iores , os problemas apresen-

tados no f ina l de cada capí tu lo foram separados em grupos, de

acordo com o grau de d i f icu ldade . Como nas edições ante r io-

r e s , u sa m o s g ra n d e z a s c o m p o s t a s c o m o hc, hc e k e

2

e m e V -n m

para s impl i f ica r mui tos cá lculos numéricos. Natura lmente , os

sumários e l i s tas de re fe rênc ias no f ina l de cada capí tu lo fo-

ra m m a n t id o s ; o fo rm a to d o s p r im e i ro s fo i m o d i f i c a d o p a ra

to rn á - lo s m a i s c l a ro s . Co n t in u a m o s a u sa r d a d o s r e a i s e m f i -

g u ra s , fo to g ra f i a s d e p e sq u i sa d o re s e i n s t ru m e n to s d e p e sq u i -

sa , e c i tações de mui tos c ient is tas que par t ic iparam do desen-

v o lv im e n to d a f í s i c a m o d e rn a . Es t a s i n fo rm a ç õ e s , j u n t a m e n te

com as notas no f ina l de cada capí tu lo , se rvem para dar mais

vida aos eventos da h is tór ia da c iênc ia e combater a v isão , re -

la t ivamente comum entre os estudantes de hoje , de que a f í s i -

ca é uma cole tânea monótona e impessoa l de fa tos e fórmulas.

Os exercícios para discussão e revisão no final de várias seções,

a p ro v a d o s p o r m u i to s p ro fe sso re s , fo ra m u sa d o s n o v a m e n te

nesta ed ição .

Novidades

Várias novidades foram in t roduz idas, en t re e las as seguin tes:

• U m a n o v a home page na Internet está totalmente integra-

da com o l ivro ; o endereço é w w w . w h f r e e m a n . c o m /

physics.

• Os textos originais em inglês das trinta e uma Leituras S u-

plementares , indicadas pe lo desenho de um computador ,

estão à disposição dos leitores nessa home page, na form a

de a rquivos do Adobe Acroba t .*

• Um novo capí tu lo , o Cap. 14 , "Astrof ís ica e Cosm ologia",

também está d isponíve l em inglês na home page, com fo-

tograf ias e desenhos color idos.*

• Existem mais de 700 problemas nesta ed ição , 600 de les

to ta lmente novos. Os problemas agora são separados em

três níveis de dificuldade (em vez de dois), com os pro-

blemas do Nível I (os mais fáceis) divididos por seção.

• As Seções Explora tór ias , indicadas pe lo desenho de um

átomo, l idam com assuntos de grande in te resse e estão

distribuídas ao longo do texto.

• Num erosa s referên cias, apresentad as nas Notas ao final de

cada capí tu lo , apresentam de ta lhes fasc inantes a respe i to

da vida e do trabalho de muitos cientistas que contribuí-

ram para o desenvolv imento da f í s ica moderna .

• A bibliogr afia no final de cada capítulo inclui l ivros e ar-

tigos escritos por cientistas de renome, entre eles vários

ganhadores do prêmio Nobel .

• Tam bém foram inc lu ídas re fe rênc ias a program as de de-

monst ração e s imulação em computador .

• Esta ed ição contém aproximad amente 500 f iguras e dese-

nhos, quase o dobro da edição anterior.

Organização e Cobertura

Esta edição, como a anterior, está dividida em duas partes: Parte

1 , "Rela t iv idade e Mecânica Quânt ica : Os Fundamentos da Fí -

s ica Moderna", e Par te 2 , "Apl icações". O longo capí tu lo de

abertura da edição anterior, a respeito da relatividade, foi divi-

d ido em dois capí tu los para permit ir que os professores abordem

apenas os conce i tos básicos ou cubram o assunto com maior

profundidade. O Cap. 1, o primeiro dos dois capítulos a respeito

da relatividade, trata dos aspectos básicos da relatividade restri-

ta e d iscute vár ios paradoxos, como o paradoxo dos gêm eos e o

paradoxo da vara no cele i ro , que sempre desper ta ram o in te res-

se dos estudantes. A energia e o momento relativísticos são dis-

cutidos no Cap. 2, que termina com uma seção qualitativa a res-

peito da relatividade geral que se concentra principalmente nas

ver i f icações exper imenta is . Com o apenas a re lação E

2

= pV +

(m e

1

)

1

é usada nos capítulos posteriores, é possível omitir este

capí tu lo sem pre judicar a cont inuidade . Os Caps. 3 a 7 foram

atua l izados e mui tos novos exemplos e d iagramas foram acres-

centados. Alguns destes tópicos foram inc lu ídos na forma de

Lei turas Suplementares , como a demonstração da equação ce

Compton (Cap. 3) , os de ta lhes da teor ia de espa lhamento de

* Este material foi incorporado, em papel, à edição em portuguêí

http://www.whfreeman.com/

http://www.whfreeman.com/



XII Prefácio

Ruthe rford (Cap. 4) , a so lução grá f ica do poço de potenc ia l qua-

drado finito (Cap. 6) e os estados excitados e espectros dos áto-

mos de dois elétrons (Cap. 7). O Cap. 8, "Física Estatística", que

com pleta a Parte 1, cont ém parte do capítulo sobre estatística quân-

tica da primeira edição. A seção que tratava da teoria cinética no

segundo capítulo da primeira edição foi transferida para este capí-

tulo na form a de uma Leitura Sup lementar, servindo com o revisão

introdutória da estatística clássica. A comparação entre as estatís-

ticas clássica e quântica é i lustrada com vários exem plos, e o C ap.

8, ao contrário dos capítulos da Parte 1, pode ser estudado de for-

ma resum ida e qualitativa, se o professo r assim desejar. Este capí-

tulo, como o Cap. 2, não é essencial para a compreensão dos as-

suntos tratados na Parte 2 e pode ser usado pelo professor como

um capítulo de aplicação ou omitido sem perda de continuidade.

Mantendo a abordagem adotada na edição anterior, na Parte 2

as idéias e métodos d iscutidos na Parte 1 são aplicados ao es tudo

de moléculas, sólidos, núcleos, partículas e do Universo. O Cap.

9 ("Estrutura e Espectros das Moléculas"), que foi totalmente re-

visto, apresenta uma ampla discussão das l igações moleculares e

inclui uma nova seção a respeito dos lasers. Seções que tratam do

efeito Hall quantizado e da supercon dutividade e m altas tempera-

turas foram acrescentadas ao Cap. 10 ("Física do Estado Sólido" ).

O Cap. 11 ("Física Nuclear"), que também foi revisto, discute as

propriedad es e a estrutura dos núcleos e contém um a nova seção a

respeito da força nuclear. A discussão do mo delo da gota de líqui-

do e da equação de W eizsäcke r passou a fazer parte de uma L eitu-

ra Suplementar . Os fenômeno s de f i ssão e fusão e as ap l icações

das reações nuc leares const i tuem o assunto predominante do

novo Cap. 12, no qual as interações de partículas e radiação com

a matér ia e os e fe i tos b io lógicos da radiação são t ra tados em

Leituras Suplementares. O texto a respeito da física de partícu-

las , que const i tu i o Cap. 13 , fo i considerave lmente mod if icado

de modo a refletir as novas descobertas que ocorreram desde que

a última edição foi publicada; noss a preocup ação foi discutir qua-

li tativamente as interações fundam entais entre as partículas, as leis

de conservação e o modelo padrão. Finalmente, um no vo capítulo,

o Cap. 14 ("Astrofísica e Cosm ologia") discute as observações atu-

ais de estrelas e galáxias e integra, de form a qualitativa, nos sas dis -

cussões de m ecânica quântica, átomos, núcleos, partículas e um pou -

co de relatividade para explicar nossa visão atual do Universo.

Novos Assuntos

As pesquisas rea l izadas nas ú l t imas duas décadas ampl ia ram

consideravelmente nossos conhecimentos, reforçaram as l igações

da física com outras disciplinas e contribuíram para melhorar a

qua l idade de v ida dos se res humanos. A qui estão apenas a lguns

dos tópicos cober tos em Física Moderna, Terceira Edição, que

ref le tem os ú l t imos 20 anos de pesquisa no campo da f í s ica .

• O e fe i to Hal l quantizado permitiu a adoção de um padrão

mais preciso para a resistência elétrica.

• A descoberta do quark top completou a tabela periódica

de quarks e léptons.

• A observação exper imenta l de um novo estado da maté-

ria , o c o nde nsa do de Bo se -Einste in , sugere que lasers

a tômicos e re lógios a tômicos mais prec isos esta rão d ispo-

níve is no fu turo próximo.

• O mic r o sc ó p io de tune la me nto e o microscópio de for-

ça atômica estão sendo usados para observar e manipular

á tomos iso lados.

• A temperatura cr í t ica dos supercondutores cerâmicos

já passou de 130 K, embora os cientistas ainda não sai-

bam com cer teza qua l é o mecanismo responsáve l pe la

supercondut iv idade nestes mater ia is .

• A s lentes gravitac ionais estão sendo usadas pelos astrô-

nomos para estudar as propr iedades do universo pr imi t i -

vo.

• Á t o m o s g i g a n t e s ,

o b t i d o s c o m o a u x í l i o d e l a s e r s

sin tonizáve is , poderão se r usados para o pr imeiro teste

di re to do pr inc íp io de correspondênc ia .

• Grandes detectores de neutr inos estão sendo usados para

invest igar o problema da massa dos neutr inos.

• Apare lhos de tomografia por emissão de pósi trons es -

tão sendo usados para obter imagens de alta resolução do

in te r ior do corpo humano, espec ia lmente do cérebro .

• Nove novos e lementos quím icos foram descober tos .

Mui tas out ras descober tas recentes são d iscut idas em vár ios ca-

p í tu los de Física Moder na, Terceira Edição.

Algumas Sugestões

Este l ivro pode ser usado em cursos de um ou dois semestres.

Os capítulos da Parte 2 são independentes uns dos outros e po-

dem ser estudados em qua lquer ordem, com um a única exceção:

o Cap. 12 deve ser precedido pelo Cap. 11. Eis algumas suges-

tões para cursos de um semestre:

• Parte 1, Cap s. 1, 3, 4, 5, 6 e 7; Parte 2, Caps . 11 e 13

• Parte 1, Cap s. 3, 4 , 5, 6, 7 e 8; Parte 2, Cap s. 9 e 10

• Parte 1, Ca ps. 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7; Parte 2, Cap. 9

• Part e 1, Ca ps. 1, 3, 4, 5, 6 e 7; Parte 2, Caps . 11, 13 e 14

No caso de um curso de dois semestres, duas possibilidades são

as seguintes:

• Pa r te l ,C a p s . 1 , 3 , 4 , 5 , 6 e 7 ; Pa r t e 2 , Ca p s . 9 , 1 0 ,1 1 ,1 2 ,

13 e 14

• Parte 1, Caps. 1,2 ,3 ,4 ,5 ,6 ,7 e 8: Parte 2, Caps. 9, 10 ,11 e 12

Há um enorme potenc ia l de recursos para o desenvolv imen-

to de pro je tos e de a t iv idades ext ra -c lasse pe los a lunos, com

b a se n a s Le i tu ra s Su p le m e n ta re s . N e la s sã o i n d i c a d o s links

para encora ja r o le i tor a invest igar out ras fontes de informa-

ção na Web.

Agradecimentos

Muitas pessoas con tr ibuí ram para o sucesso de edições ante r io-

res deste l ivro e muitas mais contribuíram para a preparação da

terceira edição. Agradecemos a todas essas pessoas. Entre os que

fizeram a revisão desta edição, no todo ou em parte, estão Bill

Bassichis , Texas A&M Universi ty ; Brent Benson, Lehigh Uni-

versi ty ; H. J . Bir i tz , Geórgia Inst i tu te of Technology; Pa t r ick

Briggs, The Ci tade l ; David A. Briodo, Boston Col lege ; Tony

Buffa, Califórnia Polytechnic State University, San Luis Obispo;

D u a n e C a r m o n y , P u r d u e U n i v e r s i t y ; A t a u r R . C h o w d h u r y ,

Universi ty of Alaska-Fa irbanks; B i l l Fadner , Universi ty of Nor-

thern Colorado; Ron Gautreau , New Jersey Inst itu te of Tech no-



Prefáoo xm

logy; Char les Glashauser R utgers , The Sta te Universi ty of New

Jersey; Roger Hanson, Universi ty of Northern Iowa; Gary G.

Ihas, Universi ty of Flor ida ; Yuichi Kubota , Universi ty of Min-

n e so t a ; D a v id La m p , Te x a s Te c h U n iv e r s i t y ; Ph i l i p L ip p e l ,

Universi ty of Texas a t Arl ington; A. E. Liv ingston , Universi ty

o f N o t re D a m e ; S t e v e Me lo m a , G u s t a v u s A d o lp h u s Co l l e g e ;

Benedic t Y. Oh, The Pen nsylvania Sta te Universi ty ; Paul Sokol ,

The Pennsylvania Sta te Universi ty ; Thor F . St romberg , New

Mex ico Sta te Universi ty ; Maurice Webb, Universi ty of Wiscon-

sin-Madison; Jesse Wei l , Universi ty of Kentucky. Mui tas des-

sas pessoas leram várias versões do original e todas ofereceram

val iosas sugestões.

Agrade cemos o apoio , o encora jam ento e a pac iênc ia de nos

sas famíl ias durante o pro je to . Somos espec ia lmente gra tos

Mark Llewel lyn por seus esforços incansáve is e numerosas su

gestões desde o início do projeto e a Rob Christie da W. H. Fre

eman por seu trabalho na home page. Fina lmente , gosta r íamo

de manifesta r a Susan Brenn an, nossa edi tora na W . H. Freem an

and Company, nosso s incero reconhec imento por sua capac ida

de , compreensão e apoio neste pro je to .

Paul A. Tip le r , Berke ley , Ca l i fórn i

Ralph A. Llewel lyn , Oviedo, Flór id

Janeiro de 199



C a p í t u l o

z :

v / A Equação de Schrõdinger

O s uc e s s o da h i pó t e s e de de Br og l i e a o p r e ve r a d i f r a ç ã o de e l é -

t rons e out ras par t ículas e o fa to de que o uso de ondas es tac io-

ná r i a s pa r e c i a s e r uma f o r ma na t u r a l de qua n t i z a r o mome n t o e

a e ne r g i a da s pa r t í c u l a s c om m a s s a de r e pous o d i f e r e n t e de z e r o

l e va r a m os f í s i c os a bus c a r uma t e o r i a ondu l a t ó r i a pa r a o e l é -

t r o n s e m e l h a n t e à t e o r i a o n d u l a t ó r i a d a lu z . N e s t a t e o r i a

ondu l a t ó r i a do e l é t r on , a me c â n i c a c l á s s i c a a pa r e c e r i a c omo o

l i mi t e pa r a pe que nos c ompr i me n t os de onda , a s s i m c omo a ó t i -

c a ge om é t r i c a é o l i m i t e da t e o r i a ondu l a t ó r i a da l uz pa r a pe que -

nos c om pr i me n t os d e onda . A gê ne s e da t e o r ia c o r r e t a é de s c r i t a

da s e gu i n t e f o r m a po r Fe l i x B l oc h ,

1

que e s t a va p r e s e n t e na oc a -

sião:

. . . em uma das palestras seguintes, Schrõdinger apresentou uma

explicação muito clara do modo como de Broglie associava uma onda

a uma partícula e a forma como ele [de Broglie] podia chegar às

regras de quantização. . . impondo que uma órbita estacionária con-

tivesse um número inteiro de ondas. Quanto terminou, Debye

2

co -

mentou que achava aquela maneira de trabalhar quase infan til. . . [que

para] lidar com ondas de forma adeq uada, era preciso dispor de uma

função de onda.

Erwin Schrõdinger.

[Cortesia da Nieis BohrLibrary. American Institute ofP hysics.]

Em 1926 , E r wi n Sc h r õd i nge r

3

pub l i c ou s ua ho j e f a mos a e qua -

ç ã o de onda , que gove r na a p r opa ga ç ã o da s onda s de ma t é r i a ,

i n c l u i n d o a s d o s e l é t r o n s . A l g u n s m e s e s a n t e s , W e r n e r

He i s e nbe r g ha v i a p r opos t o uma t e o r i a a pa r e n t e me n t e d i s t i n t a

pa r a e xp l i c a r o s f e nôme nos a t ômi c os . A t e o r i a de He i s e nbe r g

i nc l u í a a pe na s g r a nde z a s me ns u r á ve i s . Gr a nde z a s d i nâ mi c a s ,

c omo e ne r g i a , pos i ç ã o e mome n t o , e r a m r e p r e s e n t a da s po r ma -

t r izes ; os e lementos das d iagonais dessas mat r izes representavam

o s r e s u l t a d o s p o s s í v e i s d a s m e d i d a s . E m b o r a a s t e o r i a s d e

S c h r õ d i n g e r e H e i s e n b e r g p a r e ç a m d i f e r e n t e s , o p r ó p r i o

Sc h r õd i nge r ma i s t a r de p r ovou que s ã o na ve r da de e qu i va l e n -

tes , i s to é , que uma pode ser demonst rada a par t i r da out ra . A

t e o r i a r e s u lt a n t e , ho j e c onhe c i da c om o

mecânica ondulatória

ou

mecânica quântica,

f o i um a da s t e o r i a s ma i s be m- s uc e d i d a s de

t odos o s t e mpos . Embor a s e us p r i nc í p i o s pos s a m pa r e c e r e s t r a -

nhos pa r a a que l e s de nós c u j a s e xpe r i ê nc i a s s e l i m i t a m a o m un-

do ma c r os c óp i c o , e e mbor a a ma t e má t i c a ne c e s s á r i a pa r a r e s o l -

ve r a t é me s mo os p r ob l e ma s ma i s s i mp l e s s e j a ba s t a n t e s o f i s t i -

c a da , pa r e c e nã o ha ve r a l t e r na t iva pa r a de s c r e ve r c o r r e t a me n t e

os r e s u l t a dos e xpe r i me n t a i s da f í s i c a a t ômi c a e da f í s ic a nuc l e -

a r . Ne s t e l i v r o , va mo s l i mi t a r nos s o e s t udo à t e o r i a de S c h r õd i n -

ge r po r que é ma i s f á c i l de a p r e nde r e um po uc o m e nos a bs t r a t a

que a t e o r i a de He i s e nbe r g . I n i c i a l me n t e , va mos l i mi t a r nos s a

d i s c us s ã o a p r ob l e ma s un i d i me ns i ona i s .

6 - 1 A E q u a ç ã o d e S c h r õ d i n g e r e m

U m a D i m e n s ã o

A e qua ç ã o de onda que gove r na o mov i me n t o de e l é t r ons e ou -

t r a s pa r t í c u l a s c om ma s s a de r e pous o d i f e r e n t e de z e r o , que é

a ná l oga à e qua ç ã o de onda c l á s s i c a ( Eq . 5 - 11 ) , f o i p r opos t a po r

Sc h r õd i n ge r no f inal de 1925 e ho j e é c onhe c i da c om o e q ua ç ã o

de Sc h r õd i nge r . C om o a e qua ç ã o de onda c l á s s ic a , a e qua ç ã o de

Sc h r õd i nge r r e l a c i ona a s de r i va da s da f unç ã o de onda e m r e l a -

ç ã o a o t e mp o e e m r e l a ç ã o a o e s pa ç o . O r a c i oc í n i o s e gu i do po r

Sc h r õd i nge r pa r a c he ga r à e qua ç ã o que r e c e be u o s e u nome f o i

a lgo tor tuoso e não há necess ida de de reproduz i - lo aqui . De qual -

que r f o r ma , a e qua ç ã o de Sc h r õd i nge r nã o pode s e r de mons t r a -

da , a s s i m c om o nã o é pos s í ve l de mons t r a r a s l e is de Ne wt on . Sua

va l i da de , c omo a de qua l que r e qu a ç ã o f und a me n t a l , e s t á na c on -

c o r dâ nc i a c om os r e s u l t a dos e xpe r i me n t a i s . As s i m c omo a s e -

gunda l e i de Ne wt on nã o é r e l a t i v i s t i c a me n t e c o r r e t a , o me s mo

a c on t e c e c om a e qua ç ã o de Sc h r õd i nge r , que nã o pa s s a de . uma

a p r ox i m a ç ã o da e qua ç ã o de onda r e l a t i v í st i c a . En t r e t a n t o , c o mo

o l e i t o r be m s a be , a s l e is de Ne wt o n s ã o pe r f e i t a m e n t e s a t i s f a t ó -



1 54 A Equação de Schrõdinge r

r ias para resolver uma imensa quant idade de problemas não-re-

la t iví s t icos . O mesmo acontece com a equação de Schrõdinger

quando é apl icada a problemas não-rela t iví s t icos de f í s ica a tô-

mica, molecular e da matér ia condensada. Schrõdinger tentou

sem sucesso formular uma equação de onda re la t iví s t ica , o que

só foi conseguido por Di rac em 1928.

Em bora fosse apropr iado s implesmen te postular a equa ção de

Schrõdinger , podemos ter uma idéia do que esperar consideran-

do pr imei ro a equaçã o de onda para fótons , que é a Eq. 5-11 com

a velocidade v igual a c e com a f unção y(x, t) subst i tuída pelo

campo elé t r ico %(x, í):

dx

2

l ü ü

c

2

dt

2

6 - 1

C om o v i mos no C ap . 5 , uma so l ução pa r t icu l a r ment e i mpor t an-

te des ta equação é a função de onda harm ônica ^ (x , t) =

c

é

0

c o s(kx

— cot). Diferenciando es ta função duas vezes , t emos:

d

2

%

— 7 = — tu

2

©

0

co s {kx — cot) =

dt

co

r

ê(x, t)

ção de onda

y

V(x, t). I s to assegura que se ^ , (x, t) e ^V

2

(x, t) f o -

rem soluções da equação de onda para a mesma energia poten-

cia l , qualquer combinação l inear des tas soluções também seja

uma solução, i s to é , que ^(x, t) = a^V,(x, t) + aA'\(x, t) seja

uma so l ução , onde a

l

e a

2

são constantes arbi t rár ias . Uma com-

binação des te t ipo é di ta linear por que a s f unções ^ , (x, t) e

t) aparecem apenas e levadas à pr imei ra potência . A l inear idade

garante que di ferentes funções de onda se somem para produzi r

inter ferência const rut iva e des t rut iva , que, como vimos, é uma

ca r ac t e r í s t i ca i mpor t an t e das ondas de ma t é r i a . Obse r ve , em

particular, que (1) todos os termos da equação de onda devem

ser lineares em relação a ^ ( x , í ) ; (2) todas a s de r i vadas de ^ ( x ,

t) devem ser l ineares em relação a ^ (x, í ) -

4

A Equação de Schrõdinger

Estamos agora prontos para postular a equação de Schrõdinger

para uma par t ícula de massa m. Em uma dimensão, a equação

tem a seguinte forma:

dx

2

- k

2

%(x, t)

Subst i tuindo na Eq. 6-1, t emos:

-k

2

=-~-

ou

co = kc

6 -2

F a z e n d o co = E/h e p = hk, já qu e se tra ta de uma radiação ele-

t romagnét ica , t emos:

E = pc 6-3

que, com o já vim os, é a re lação ent re a energia e o mo me nto de

um fóton.

Vamos agora apl icar as equações de de Brogl ie a uma par t í -

cula como o e lé t ron e determinar uma relação ent re co c k que

seja análoga à Eq. 6-2. Pod erem os então usar es te resul tado para

ver i f icar qual deve ser a di ferença ent re a equa ção de on da p ara

e l é t r ons e a E q . 6 - 1 . A ene r g i a t o t a l de uma pa r t í cu l a ( não-

rela t iví s tica) de m assa m é dada p or

h

2

d

2

V(x,t)

T

, â^(x,í)

- - V - + V (x, t) ^ (x, /) = ih

6 - 6

2 m dx

2

dt

Vamos most rar que es ta equação é sa t i s fe i ta por uma função de

onda harmônica no caso especial de uma par t ícula l ivre , i s to é ,

sobre a qual não age nenhuma força e para a qual , por tanto, a

energia potencial é constante: V(x, t) = V

0

. Observe em pr imei -

r o l uga r que uma f unçã o da f o r ma cos (kx — wt ) nã o sat i s faz es ta

equação porque a di ferenciação em relação ao tempo t ransfor -

ma o co-seno em seno, mas a segunda der ivada em relação a x

produz um co-seno . Um raciocínio semelhante most ra que a fun-

ção sen

(kx —

cot) também não pode ser uma solução. Ent re tan-

to, a forma exponencial da função de onda harmônica sat i s faz a

equação . C ons i de r e a f unção

^ ( x , í ) = A é ^

OJ

" 6-7

= A [cos (kx — cot) + i se n (kx — wt)]

o n d e A é uma constante . Nesse caso,

çTV

dt

- iüjAe'

(k

* ""> = - iwty

E = — + V

2 m

6-4

o n d e V é a energia potencial . Usan do as equações de de Bro gl ie ,

ob t emos :

hc

h

2

k

2

2 m + V

d

2

V

dx

2

= (ikfAe'""

ú

"> = -k

2y

V

6-5

Exis tem d uas di ferenç as impor tantes en t re a Eq. 6-5 e a Eq. 6-2:

a presença da energia potencial V e o fa to de a f reqüên cia

a»

não

var iar l inearmente com

k.

Obse r ve que ob t emos um f a t o r de

oj

quando d i f e r enc i amo s uma f unção de onda ha r môni ca em r e la -

ção ao temp o e um fator de k quando d i f e r enc i amos a f unção em

relação à posição. Esperamos, por tanto, que a função de onda

para os elétrons relacione a primeira der ivada em relação ao tem-

p o à segunda der ivada em relação ao espaço e que também en-

volva a energia potencial do e lé t ron.

F inalmente , t ambém é preciso que a equação de onda para os

elé t rons seja uma equação di ferencial l inear em relação à fun-

Subst i tuindo es tas der ivadas na equaçã o de Schrõdinger e fazen-

do V(x, t) = V

0

, temos:

(-k

2

V) + VoV = ih( — iw)V

2 m

ou

h

2

k

2

2 m

+ V

0

= ftw

que é a Eq. 6-5.

Uma di ferença impor tante ent re a equação de Schrõdinger e

a equação de onda c láss ica es tá no fa to de o número imaginá r io

i = T aparecer expl ic i tamente

5

na equação de Schrõdinger .

As funçõ es de onda que sat i s fazem a equaçã o de Schrõdinger n ão

são necessar iamente reais , como podemos ver no caso da fun-



A Equação de Schrõdinger 1 55

ção de onda de uma partícula livre (Eq. 6-7). Isso significa que a

função de onda ^(x, t) que satisfaz a equação de Schrõdinger

não é uma fu nção diretamente mens urável com o a função de onda

c láss ica y(x, t), já que os resultados de medições são necessaria-

mente números reais. Entretanto, como vimos na Seção 5-4, a

probabilidade de encontrarmos um elétron no intervalo entre x e

x + dx ce r tamente pode se r de te rminada , a ss im como podemos

determina r a probabilidade de o resultado de uma joga da de cara-

ou-coroa ser cara . A probabilidade P(x) dx de o elétron ser en-

contrado no intervalo entre x e x + dx foi definida pela Eq. 5-26

com sendo igual a -dx. Esta interpretação probabilística de

foi proposta por Max Born e reconhecida, apesar dos imediatos

e respeitáveis protestos de Einstein e Schrõdinger, como a for-

ma mais apropr iada de re lac ionar a s so luções da equação de

Schrõdinger aos resultados de medições. A probabilidade de um

elétron estar no intervalo dx , um número rea l , pode se r medida

verificando em que fraçã o do tempo a partícula é encontrada n esta

região em uma série muito grande de situações idênticas. De

acordo com a interpretação de Born, temos:

P(x, t)dx = t) V{x,t)dx = l ^ ( x , t)\

2

dx

6 - 8

onde o complexo con jugado de é ob t ido subst i tu indo i

p or — i na fun ção " í

7

.

6

A natureza comp lexa de ^ serve para en-

fatizar o fato de que é inútil tentar responder às pergun tas "O que

está oscilando em uma onda de matéria?" e "Em que tipo de meio

as ondas de ma té r ia se p ropagam ?" A fun ção de onda não passa

de um artifíc io matemático; o que tem significado real é o pro-

duto = ^

2

, que representa uma distribuição de probabili-

dade P(x, t) ou , como também é f reqüen temente chamado , uma

densidade de probabilidade. Para manter a analogia com as on-

das e funções de onda c lá ss icas , ^ (x , t) é às vezes chamada de

amplitude de densidade de probabilidade ou s implesm ente am -

plitude de probabilidade.

A probabilidade de um elétron ser encontrado no intervalo

entre x, e x

x

+ dx ou no intervalo entre x

2

e x

2

+ dx é a soma das

probab i l idades ind iv idua is , Pix^dx + P(x

2

)dx. Como o e lé t ron

tem que estar necessariamen te em algum ponto do espaço, a soma

das probabilidades para todos os valores possíveis de x deve ser

igual a 1. Assim, temos:

7

6-9

A Eq. 6 -9 é conhec ida como condição de normalização. Esta

c o n d i ç ã o d e s e m p e n h a u m p a p e l i m p o r t a n t e n a m e c â n i c a

quântica, pois impõe uma restrição adicional às possíveis solu-

ções da equação de Schrõdinger. No caso particular que estamos

conside rando , a cond ição de normal ização s ign if ica que a fun-

ção de onda t) deve tender a zero com rapidez suficiente

para que a integral da Eq. 6-9 perm aneça finita quand o x —» ±

Se isso não acontecer, a probabilidade não poderá ser definida.

Como vamos ver na Seção 6-3, é esta restrição, combinada com

as condições de contorno do problema, que leva à quantização

da energia .

Nos capítulos que se seguem, vamos estudar as soluções da

equação de Schrõdinger para uma grande variedade de sistemas

reais, mas no restante deste capítulo estaremos interessados ape-

nas em apresentar a lgumas das técnicas usadas para resolver a

equação e discutir as propriedades muitas vezes surpreendentes

das so luções. Com este ob je t ivo , vamos nos concen tra r em pro-

b lemas un id imens iona is e usa r a lgumas funções de ene rg ia po-

tencial pouco realistas, como por exemp lo barreiras infinitas, que

nos permitirão investigar as várias propriedades das soluções sem

nos pe rde rmos em complicações ma temát icas .

Separação das Funções de Tempo e Espaço de

^ ( x , t)

Nos problemas em que a energia potencial não varia com o tem-

po , a s funções do tempo e do espaço na equação de onda podem

ser separadas, o que permite escrever a equação de Schrõdinger

em uma fo rma muito ma is s imples .

8

Pa ra isso , e sc revemos a

f u n ç ã o ( x , t) como o produto de uma função apenas de x por

uma função apenas de t:

^ ( x , í ) = iKx)(Kt ) 6 -10

Vam os mostra r em segu ida que a funç ão ^( x , t) pode ser escrita

na fo rma da Eq . 6 -10 , con tan to que a funçã o po tenc ial

não seja

uma fu nçã o explícita do temp o, isto é , poss a ser escrita na form a

V{x).

Subst i tu indo t), dada pela Eq. 6-10, na forma geral

equação de Schrõd inger , Eq . 6 -6 , temos: u J

h

2

duHx)çb(t) ,

V (

.

U

, .,. òMxm t) o

- — + V(x)iKx)4>(t) = ih 6 - l H i

2

m dx

2

dt

ou 3

fi

2

d

2

Hx) „ dé(t)

— <t>(t) - f r

2

+ V(x)4>(xW) = ih>Kx) —jr

2 m dx

2

dt

U J

onde as de r ivadas agora são o rd iná r ia s e não parc ia is . D iv id in do ^

a Eq. 6-12 por tp(x)(t>(t), temos:

h

2

1 d

2

tp(x)

2 m i/*(x) dx

2

+ V(x) = if

1 d m

m dt

6-13

Obs erve qu e o lado esquerdo da Eq. 6-1 3 é fun ção apenas de x e

o lado direito é função apenas de t. Isto significa que variações

de t não podem afetar o valor do lado esquerdo da Eq. 6-13 e

variações de x não podem afetar o valor do lado direito. Assim,

os dois lados da equação devem ser iguais à mesma constante C,

conhec ida como constante de separação, e vem os que a hipóte-

se da Eq. 6-10 é válida: as variáveis podem ser separadas. Com

isso, substituímos uma equação diferencial parcial contendo duas

variáveis independentes, a Eq. 6-6, por duas equações diferen-

ciais ordinárias que contêm apenas uma variável independente

cada uma:

h

2

1 d

2

>p{x)

2m <J/(x) dx

2

+ V(x) = C

• >

1

dW)

in = CcKt) dt

6-14

6-15

Vam os reso lve r p r ime iro a Eq . 6 -15 . Ex is tem do is mot ivos pa ra

isso: (1) a Eq. 6-15 não envolve o potencial V(x); em conseq üên-

cia , a parte dependente do tempo </>{?) d e todas as soluções

t) da equação de Schrõd inger te rá a mesm a fo rm a quando o po-

tencial não for uma função explícita do tempo, de modo que só

precisamos fazer este cálculo uma vez; (2) a constante de sepa-

ração C tem um significado especial que queremos discutir an-

tes de resolvermos a Eq. 6-14. A Eq. 6-15 pode ser escrita na

forma



1 5 6 A Equação de Schrõdinger

d<f>(t) C iC

— = — dt= - — dt

4>{t) ih h

A solução geral da Eq. 6-16 é

4>(l)

= e'

c

"

A

que também pode se r esc r i ta na forma

6 - 1 6

6-17«

4>(t) = e~'

c

"

Â

= cos

(f)-

/sen

(l)

S

(

2 7 T

j ) ~

Í S e n

(

2 7 T

j )

6-llb

A ss im , <p(t), que descreve a var iação com o tempo de ^(x , t), é

um a funç ão osc i la tór ia de f reqüênc ia / = C/h. Entre tanto , de

acordo com a relação de de Broglie (Eq. 5-1), a freqüência da

onda representada por

x

V(x, t) éf= E/h; portanto, a constante de

separação C d eve ser igual a E, a energia total da partícula, e então

<Kt) = e~

6-llc

para todas as so luções da Eq. 6-6 que envolvem potenc ia is inde-

pendentes do tempo. Fazendo C = E na Eq. 6-14 e m ul t ip l ican-

do ambos os membros por

i)j(x),

temos:

ft

2

d

2

ip(x)

2 m dx

2

V(x)i(/(x) = E>l/(x)

6-18

A Eq. 6-18 é conhec ida como equação de Schrõdinger indepen-

dente do tempo.

A equação de Schrõdinger independente do tempo em uma

dimensão é uma equação d i fe renc ia l ord inár ia com apenas u ma

variável independente e portanto é muito mais fácil de l idar que

a forma gera l da equação de Schrõdinger (Eq. 6-6) . A condição

de norm alização da Eq. 6-9 pod e ser express a em term os de i/<(x),

já que a var iação com o tempo desaparece quando ca lculam os o

quadrado d o va lor absolu to da função de onda :

V*(x,t)V(x,t) = il/*(x)e

+i E

"

A

>ji{x)e-

iE

'"

1

= i/f*(x)iA(jt) 6- 19

e portanto a Eq. 6-9 se reduz a

iI/*{x)iIj(x) dx = 1

6 - 2 0

Condições que Uma Função de Onda Deve

Satisfazer

A form a da funç ão de onda tp(x) que sa t i sfaz a Eq. 6-18 depende

da form a da função energia potenc ia l V(x). Nas próximas seções,

vamos d iscut i r a lguns problemas s imples mas importantes nos

qua is V(x) é espec i f icada . Os potenc ia is usados nesses exemplos

serão aproximações de potenc ia is encontrados na na tureza , s im-

pl i f icados para fac i l ita r os cá lculos m atemát icos. Em a lguns ca-

sos, a derivada da energia potencial pode ser descontínua, isto é,

V{x) pode te r uma form a em uma região do espaço e outra forma

em uma região adjacente . [Esta é uma aproximação vá l ida de

situações reais nas quais V{x) var ia rap idamente em uma cer ta

região do espaço, como na superf íc ie de um meta l . ] O método

usado nesses casos consis te em resolver separadamen te a equa-

ção de Schrõdinger para cada região e depois exigir que as solu-

ções se jam idênt icas no ponto de d escont inuidade .

Como a probabi l idade de encontra r uma par t ícu la não pode

var ia r descont inuamente de um ponto para o ponto v iz inho, a

função de onda i /^x) deve se r cont ínua .

9

Co m o a e q u a ç ã o d e

Schrõdinger envolve a segunda der ivada íPtfz/dx

2

= 4>"(x), a pri-

meira derivada, <// , também deve ser contínua. Assim, o gráfico

de ip(x) e m fu n ç ã o d e x não deve apresenta r var iações bruscas.

[No caso especial em que a energia potencial se torna infinita ,

esta rest r ição pode se r ignorada . Com o nenhu ma par t ícu la pode

ter energia potenc ial infinita ,

i

p(x) deve ser nula nas regiões onde

V(x) é infinita . Assim, na fronteira de uma região na qual a ener-

gia potencial é infinita , <// pode ser descontínua.]

Se ip{x) ou difj/dx não for f in i ta ou unívoca , o mesm o aconte -

cerá com t) ou

t f í f / d x .

Como veremos daqui a pouco, a

previsões da mecânica ondula tór ia com re lação aos resul tados

de medições envo lvem essas duas grandezas, e por tanto funçõe s

de onda com essas propriedades não seriam aceitáveis, já que

grandezas mensuráve is , como momento angula r e posição , ja -

mais são inf in i tas ou p lur ívocas. Uma rest r ição f ina l quando à

form a da funçã o de onda ip(x) é que ipix) deve tender a zero quan-

d o x ±

00

com rapidez suficiente para que a normalização seja

preservada . Vam os resumir , para fu turas consul tas , as condições

que uma função de onda ip(x) deve satisfazer:

1. tJAx) deve existir e satisfazer a equação de Schrõdinger.

2. i

p{x)

e difi/dx devem existir e ser contínuas.

3. iIáx) e dip/dx devem ser finitas.

4 . ifAx) e

dipldx

devem ser unívocas.

5.

t/fdeve

tender a zero com suficiente rapidez, quando

>

±°° ,

para que a integral de normalização, Eq. 6-20, seja finita.

Exerc íc ios

1. Co mo a equação de onda c lássica , a equação de Schrõdinger

é linear. Por que isto é importante?

2 . Não exis te nenhum fa tor i na Eq. 6-18 . Isto significa

q ue ifÁx) deve ser real?

3. Por que o campo elétrico

%{x, t)

deve ser real? A equação de

onda c lássica pode se r sa t i sfe ita por funçõ es com plexas?

4. Explique a relação entre a equação de Schrõdinger e a hipóte-

se de de Broglie.

5. Qual seria o efeito sobre a equação de Schrõdinger se somás-

semos a energia de repouso de uma partícula à energia total E

que aparece na re lação de de Brogl ie / = E/hl

6. Descreva em pa lavras o que s igni f ica a normal ização da fun-

ção de onda.

Exemplo 6-1

U ma So luç ã o da Equa ç ã o de Sc hr õ d ing e r

M o s -

tre que para uma partícula l ivre de massa m que esteja se mo-

vendo em uma dimensão a função ip(x) = A se n kx + B co s kx é

uma solução da equação de Schrõdinger independente do temp o

para qualquer valor das constantes Ae B.

Solução

Para uma partícula l ivre, V(x) — 0 e portanto a energia total é

igual à energia cinética; assim, p = hk = (2mE)"

2

. Dife renc ian-

do

i

p(x), temos:

JiA

— = kA co s kx — kB se n kx

dx



A Equação de Schrõdinger 157

Diferenc iando novamente , t emos :

d

2

é

—- = - k

2

A se n kx - k

2

B cos kx

dx

2

- - k\A senfcc + B cos fct) = - k

2

\jt(x)

Subst i tuindo na Eq. 6-18,

V- — [(- k

2

) (A s en kx + B co s 11)]= E[ A se n kx + B co s kx1

2 m

h

2

k

2

— i[>(x) = E 4,(x)

2 m

C o m o f f k

2

= 2mE, temos:

Eip{x) = Eil>(x)

e portanto a função dada é uma solução da Eq. 6-18.

6 - 2 0 P o ç o Q u a d r a d o I n f i n i t o

Um problema que pode ser usado para i lus t ra r vár ias propr ie -

dades das funçõ es de onda e t amb ém é um dos problemas mais

f á c e i s d e r e s o l v e r u s a n d o a e q u a ç ã o d e S c h r õ d i n g e r

unidimens ional independente do t empo é o do poço quadrado

inf in i to , t ambém chamado de problema da par t í cula em uma

caixa . Um exemplo macroscópico ser i a uma conta pendurada

em um f io sem a t r ito e l imi tada a mover - se ent re doi s o bs tácu-

los impenet ráve i s . Podem os t am bém cons t ru i r uma "ca ixa" para

e lé t rons usando e le t rodos e grades em um tubo evacuado, com o

na Fig . 6-1 a. As paredes da ca ixa são representadas pe los po-

tenciais entre as grades G e os eletrodos C (Figs. 6-1 bt c). Para

tornar as paredes arbi t rar iamente al tas e íngremes, basta aumen-

tar o potenc ia l V e diminuir a distância entre os eletrodos e as

grades , r espec t ivamente . No l imi te , a energia potenc ia l t em o

aspec to da Fig . 6-2 , que é um gráf ico da energia potenc ia l de

m

0 L x

F ig . 6 -2 Energia potencial de um poço quadrado infinito. Para 0 <

x< L,

a ener-

gia potencial e nula. Fora desta região, é infini ta. A partícula fica confi -

nada na região do poço, 0 <

x < L.

um poço quadrado inf in i to . Para es te problema, a energia po-

tencial é da forma

V(x) = 0 0 <x<L

V(x) = oo

x

<0

e

x> L

6-21

Embora este t ipo de potencial seja claramente ar t i f icial , vale a

pena anal isar o problema a fundo por várias razões: (1) soluções

exatas da equação de Schrõdinger p odem ser obt idas sem a d i f í-

ci l matemática que em geral envolve a solução no caso de fun-

ções potencia l mais real istas; (2) o problem a está relacionado d e

perto ao problem a da corda vibran te da f ís ica clássica; (3) o pro-

blema pode ser usado para i lustrar muitos aspectos importantes

de todos os problemas da mecânica quântica; (4) este potencial

cons t i tu i uma aproximação razoável para a lgumas s i tuações re -

ais , como a de um elétron l ivre no inter ior de um metal (veja o

Cap. 10).

Como a energia potencial é infini ta do lado de fora do poço,

a função de onda é necessariamente nula nesta região, is to é, a

(a)

Elétron

b)

Energia

potencial

IX

C G

z :

G C x

(o)

Energia

potencial

C

G

G C

F ig . 6 -1 (a) Um elétron que se encontre na região entre as duas grades

G

não

experimenta nenhuma força, já que as grades estão aterradas. Nas regiões entre

as grades

G

e os eletrodos

C,

porém, existe um campo elétrico cuja intensidade

depende do valor da tensão

V.

(

b

) Quando

Vé

pequena, o gráfico da energia po-

tencial do elétron em função de xapresenta "par edes" pequenas e com uma - : •

nação suave, (c) Quando l /é grande, as paredes são altas e íngremes. t o r r ; - ; >

x

se intransponíveis quando






Energia

25

E,

9

Ei

4 E,

Ei

E„=n

2

E,

V = 0

F i g . 6 -3

Gráfico da energia em função de x para uma partícula em um poço qua-

drado infi nito. A energia potencial V(x) está indicada por linhas grossas. Classica-

mente, a energia da partícula pode ter qualquer valor. De acordo com a mecânica

quântica, apenas os valores dados pela Eq. 6-24 fornecem soluções bem-com-

portadas da equação de Schrõdinger.

valor de x ent re — °° e + mas são di fere ntes de zero apenas

pa ra

x

< 0 e x >

L.

O n ú m e r o n que apa rece na s equações ac ima é chamado de

número quântico

e e spec i f i c a t an to a ene rg i a com o a fun ção de

onda . Dado um va lo r qua lque r de

n,

p o d e m o s e s c r e v e r i m e d i -

a t amen te a função de onda e a ene rg i a do s i s t ema . O número

q u â n t i c o

n

apa rece por causa da s cond ições de con to rno , <p(x)

= 0 em x = 0 e i//(x) = 0 em x =

L.

Vamos ve r na Seção 7 -1

q u e n o s p r o b l e m a s t r i d i m e n s i o n a i s a p a r e c e m t r ê s n ú m e r o s

quân t i cos , j á que ex i s t em cond ições de con to rno pa ra a s t r ê s

c o o r d e n a d a s .

Comparação com os Resultados Clássicos

Vam os agora comp arar nossa solução do problem a usando a mec

nica quântica com a solução clássica. Na mecânica clássica, se c

nhecemos a função energia potencia l

V(x),

podemos determinar

força a t ravés da equação

F

x

= —dVIdx

e em seguida a aceleraç

através da equaçã o

a

x

= cPx/df

(segunda lei de Newton). F inalmen

podemos ca lcular a posição x em função do tempo

t

se conhece

mos a posição e ve loc idade inic ia is . No problem a que estamos co

siderando, não existe nenhu ma força quando a par t ícula se enco

tra na região entre as paredes do poço porque nesta região

V =

Assim, a partícula se move com velocidade constante no interior

p o ç o . N a s p a r e d e s d o p o ç o , a e n e r g i a p o t e n c i a l m u

descont inuamente de zero para inf ini to . Podemos interpre tar es

var iação como a presença de um a força mui to grande que age ap

nas a curta distância e faz a partícula ricoch etear na parede, p assa

do a mover-se no sen üdo cont rár io com a mes ma velocidade . Cla

sicamente, qualquer velocidade, e portanto qualquer energia, é pe

mit ida . A descr ição c lássica não é adequada po rque , de acordo co

o pr inc ípio de indeterminação, não pode mos especi f icar exatame

te a posição e o mom ento (e por tanto a ve loc idade) ao mesm o te

po. Isso signi f ica que não podem os especi f icar com prec isão as co

dições iniciais e portanto não podemos atribuir à partícula uma p

sição e um m ome nto def inidos. Natura lmente , no caso de um a pa

t ícula macroscóp ica no inter ior de uma ca ixa macroscó pica , a ene

gia é muito maior qu e a constante

E

t

da Eq. 6-25, e a indeterm inaç

mínim a do mom ento, que é da ordem de f i/L , é mui to menor que

momento e também mui to menor que o erro exper imenta l . Nes

caso, a diferença entre as energias de estados adjac entes correspo n

a um a pequen a f ração da energia tota l, a quant ização é im percep

vel e a descrição clássica é perfeitamente adequada.

11

Va mo s t amb ém com para r a p rev i são c l á ss i ca pa ra a d i s tr i b

ç ã o d a s m e d i d a s d e p o s i ç ã o c o m o s r e s u l t a d o s d a m e c â n i

quân t i ca . C l a ss i camente , a p robab i l i dade de encon t ra rmos a pa

t ícula em uma cer ta região

dx

depend e do t empo que a pa r t í cu

passa na r eg i ão , que é p roporc ion a l a

dx/v,

ond e v é a ve loc id

de . Como a ve loc idade é constante , a função de dist r ibuição c lá

sica é constante no inter ior do poço. A função de dist r ibuiç

c l á ss i ca norma l i zada é dada por

i > c « =

l

•^271

~ / * X

0

U 3 \

j

O

X

2/L

A A A,

1/3 2L/3

r / \ / \ .

0

L/2 L

X

V?

2/L

0

L

X

Fig. 6-4 Funções de onda i/<„(x)e densidades de pro tab i :a dí

r

•

= com n = 1, 2 e 3, para o poço quadradc nfipi to




F i g . 6 - 5 Distribuição de probabilidade do poço quadrado infinito para / j = 10. A linha tracejada é a densidade de probabilidade clássica P = ML, que é igual à médi

da distribuição quântica em uma região \xcontendo várias oscilações. Uma medição com resolução Axfomecerá o valor clássico se n for tão grande que o intervalo

Axcontenha muitas oscilações de ^(x).

A Fig . 6 -4 mos t ra que no ca so dos e s t ados d e ba ix a ene rg i a a

função de d i s t r i bu i ção quân t i ca e s t á l onge de se r un i fo rme . De

acordo co m o p r inc íp io de co r re spon dênc i a de Bohr , t oda d i s t r i-

bu i ção quân t i ca deve t ende r pa ra a d i s t r i bu i ção c l á ss i ca co r re s -

p o n d e n t e q u a n d o n <», i s to é , par a a l tas ener gias. Par a qua l -

que r e s t ado n, a d i s t r i bu i ção quân t i ca ap re sen t a n p i cos . A F ig .

6 -5 mos t ra a d i s t r i bu i ção pa ra n = 10 . N o ca so de va lo re s mu i to

g r a n d e s d e n, os p i cos e s t ão mui to p róx imos ; se ex i s t em mui tos

p i cos em um a pequen a r eg i ão Ax , apen as o va lo r méd io é obse r -

vado . Acon tece que o va lo r méd io de sen

2

k^c para um ou mais

c i c los comple tos é 1 /2 . Ass im ,

- l i - I

wéd L 2 L

que é exa t amen te a d i s t r i bu i ção c l á ss i ca .

"

2

2 ,

— s e n

2

k„x

^ Á x , t ) = ^ s e n « r '» » '

U s a n d o a i d e n t i d a d e

sen k

n

x

li

c i a e ampl i t ude , um a se p ropag and o pa ra a d i r e i ta e ou t ra pa ra

e sque rda .

Exemplo 6-2 U m E l é t r o n e m u m F i o U m e l é t r o n v i a j a n d o e m

um f io f i no de me ta l é uma aprox imação r azoáve l pa ra uma pa r

t í cu l a em um poço i n f in i t o un id imens iona l . O po t enc i a l no i n t e

r i o r do f i o é cons t an t e mas aumenta b ruscamente na s ex t r emi

dades . Suponha que o f i o t em 1 ,0 cm de compr imen to . ( a ) Ca l

cu l e a ene rg i a do e s t ado fundamenta l do e l é t ron . (b ) Se a ene r

g i a do e l é tron é i gua l à ene rg i a c iné t i c a méd ia da s molécu l a s em

u m g á s à t e m p e r a t u r a T = 300 K, ce rca de 0 ,03 eV, qua l é

número quân t i co n do e l é t ron?

S o l u ç ã o

1 . A ene rg i a do e s t ado fundamenta l é dada pe l a Eq . 6 -25 :

A Função de Onda Completa

D e acordo co m a Eq . 6 - 17c , a fun ção de onda com ple t a , i nc lu in -

do a va r i ação t empora l , é ob t i da mul t i p l i c ando a pa r t e e spac i a l

por

£ -iojl — g-i Ea/Ájt

C o m o j á o b s e r v a m o s , a f u n ç ã o d e o n d a c o r r e s p o n d e n t e a u m a

e n e r g i a E

n

v a r i a n o te m p o c o m u m a f r e q ü ê n c i a a n g u l a r a>„ = EJ

fi.

, m a s a d i st r i b u i ç ã o d e p r o b a b i l id a d e ^ „ ( x , t)

2

é i n d e p e n d e n t e

do t empo . Es t a é a r azão pe l a qua l um e s t ado de s t e t i po é cha -

mado de e s t ado e s t ac ioná r io . É i ns t ru t i vo examina r a função de

onda comple t a pa ra um e s t ado n :

Ei =

TT

2

fl

2

2m L

2

t

2

( 1 , 0 5 5 X 1 0 -

3 4

J • s)

2

( 2 ) ( 9 , 1 1 X I O

- 3 1

k g ) ( 1 0

- 2

m )

2

= 6 ,03 x IO"

3 4

J = 3 ,80 x 10"

1 5

e V

2 . A ene rg i a do e s t ado n é dada pe l a Eq . 6 -24 :

E

n

= n

2

E

x

3 . Exp l i c i t ando n na Eq . 6 -24 , t emos :

2 -

E

* Í ;

E por t an to , f a zendo

E

n

= 0 ,03 V e subs t i t u indo

E

l

pe lo va

lo r c a l cu l ado an t e r i o rmen te , t emos :

Ei

p o d e m o s e s c r e v e r a f u n ç ã o d e o n d a n a f o r m a

1 [2

t) - —, / -

2i\J L

Exa tam ente com o no ca so da fun ção de onda e s t ac ioná r i a de um a

corda v ib ran t e , podemos cons ide ra r e s t a função de onda e s t ac i -

o n á r i a c o m o a s u p e r p o s i ç ã o d e d u a s o n d a s d e m e s m a f r e q ü ê n -

0 ,03 eV

3 , 8 0 X IO "

1 5

e V

2 ,81 x 10

6

Observação: O valor de E

x

calculado acima não só é pequen

demais para ser medido mas também é menor que a indeterm

nação da energia d e um elétron confinado em uma região com

1 cm de extensão.



A Equação de Schrõd inger 1 6 1

Exemplo 6-3 Cálcu lo de Probabi l idades Suponha que a pos i -

ção do e lé tron do Exem plo 6-2 possa se r medida enquan to e le se

encont ra no e s tado fundamenta l ,

(a )

Qual é a probabil idade de

encontrá- lo na região 0 <x< L/4? (b) Qual a proba bil idad e de

encont rá - lo em uma reg ião com Ax = 0 .01 L de largura e centro

em x = 5L/8?

Solução

(a) A funç ão de onda do e s tado fundam enta l é dada pe la Eq . 6 -

32 com n = 1:

<h(x) =

2 TTX

—

s e n —

L L

2 (u

— sen' u du = —[ -

0 TT

77

\ 2

2 { TT

sen 2 u

ir 4

0

0,091

Faz end o Ax = 0,01L e x = 5L/8. temo s:

- (0,85 4) (0,0LL)

0,017

A probabi l idade de o e lé t ron se r encont rado na r eg ião e spe -

cif icada é

f

Ui

f

Ui

2 ,

(ttx\

F a z e n d o ttx/L = u (e por tanto dx = L dulir) e expressando o l i-

mite super ior da integral em função de u, temos:

I s to s ign i f ica que a probabi l idade de encont ra rm os o e lé t ron em

u ma r e g i ã o co m 0 , 0 I L de largura e centro no ponto x = 5L I8 é

1,7%. Esta probabil idade está i lustrada pela região sombreada

do lado dire i to da Fig. 6-6.

Exemplo 6-4

U m El é t r o n e m u m a C a i x a d o Ta m a n h o d e u m

Á t o m o (a) De te rmine a ene rg ia do e s tado fundamenta l de um

elé t ron conf inado em uma ca ixa un id imens iona l com L = 0.1

nm de compr imento (o tamanho aproximado de um á tomo) , (b

Faça um d iagram a de n íve is de ene rg ia e calcu le os com pr imen -

tos de onda dos fó ton s emi t idos em todas a s t rans ições que têm

com o es tado in ic ial um es tado com n = 3 ou menos e como es-

tado f ina l um es tado de menor ene rg ia .

Solução

( á ) A ene rg ia do e s tado fundam enta l é dada pe la Eq . 6 -25 . Mul -

tiplican do o num erado r e o denom inad or po r cP-IAií

2

, obtemo s um a

expressão em te rmos de h c e m c

2

. a energia equivalente à massa

de repouso do e lé tron (veja o Cap. 2) :

ss im , se medi rmos seguidamente a pos ição do e lé t ron , e le se rá

ncont rado na r eg ião 0 < x < 0 ,25 , aproximadamente 9% do

empo. Es ta probabi l idade e s tá i lus t r ada pe la r eg ião so mbreada

o lado e sque rdo d a F ig . 6 -6 .

(b) Como a r eg ião Ax = 0 ,01L é mui to pequena em compara -

ção com L. não prec isamos ca lcu la r a in tegra l , mas podemos

de te rmina r o va lor aproximado da probabi l idade da seguin te

f o r ma :

2 TTX

P = P(x) A x = - s e n

2

— A x

Li L

E

,

=

hc )

2

S m c

2

L

2

F a z e n d o hc = 1 .240 eV-nm e mc = 0 ,511 M eV . temos:

Ei =

(1.240 eV -nm )

2

8(5,11 X IO

5

eV)(0,l nm)

2

= 37,6 eV

Esta ene rg ia é da mesm a ordem de grandeza que a ene rg ia c iné -

t ica do e lé t ron no e s tado fund amen ta l do á tomo de h idrogên io

que é 13 ,6 eV. No caso do á tomo de h idrogênio , o c omp r imento

de onda do e lé t ron é igua l ao com pr imento de uma c i r cunfe rên-

cia com 0,0529 nm de ra io. ou se ja , cerca de 0,33 nm, enquanto

que pa ra o e lé t ron em um a ca ixa un id imens ion a l com 0 ,1 nm de

i

F i g . 6 -6 Densidade de probabil idade ^ ( x ) em função de x para uma partícula no estado fundamenta i de um poço quadrado infinito. A probabil idade de a

partícula na região 0 < x < i / 4 está representada pela área hachurada mais larga. A área hachurada mais estreita representa a probabil idade de e n c o " ^ ' a

no intervalo Ax = 0,01 L em torn o do ponto x = 5Í /8 .




hc

£5= 256 , = 940 eV

E

4

= 165, =601,6 eV

£3= 95 , = 338 , 4 eV

E

2

= 4£, = 150,4 eV

E

1 =

37,6eV

hc

A

188 eV

1 . 2 4 0 e V - n m

300,8 eV

6 ,6 0 n m

= 4 .12 nm

A £ ,

1 .2 4 0 eV- n m

112,8 eV

11,0 nm

F ig . 6 -7 Diagrama de níveis de energia do Exemplo 6-4. As setas verticais indi-

cam as transições do estado n = 3 para os estados n=2en = 1 edo estado n

= 2 para o estado n = 1.

co mp r imen to , o co mp r imen to d e o n d a n o es tad o f u n d amen ta l é

2L = 0 ,2 nm.

(b) As energ ias deste s is tema são dadas por

E

n

= n

2

E

l

= n\37,6 eV)

A F ig . 6 - 7 mo s t r a es tas en er g ias em u m d iag r ama d e n ív e i s d e

en er g ia . A en er g ia d o p r imei r o es tad o ex c i tad o é E

2

= 4(37 ,6

eV) = 1 5 0 ,4 eV e a d o seg u n d o es tad o ex c i tad o é E

3

= 9 ( 3 7 ,6

eV) = 3 3 8 ,4 eV . As t r an s içõ es p o ss ív e i s d o n ív e l 3 p a r a o n í -

vel 2 , do n ível 3 para o n íve l 1 e do n ível 2 para o n ível 1 es tã o

in d icad as p o r se tas v e r t ica i s n o d iag r ama. As en er g ias d es sas

t r an s içõ es são

A £

3

_

2

= 33 8,4 eV - 150,4 eV = 188 eV

A£ 3 _ = 338,4 eV - 37 ,6 eV = 300,8 eV

A E

2

^

1

= 150,4 eV - 37,6 eV = 11 2,8 eV

Os co mp r imen to s d e o n d a d o s f ó to n s p r o d u z id o s p o r es sas t r an -

s ições são

hc 1 .2 40 eV - n m

6 - 3 0 P o ç o Q u a d r a d o F i n i t o

A q u an t ização d a en er g ia q u e en co n t r amo s p ar a u ma p ar t ícu

em u m p o ço q u ad r ad o in f in i to é u m r esu l tad o g er a l a s so c iad o

solução da equação de Schrõdinger para qualquer par t ícu la conf

n ad a em u ma cer ta r eg ião d o esp aço . Vamo s i lu s t r a r es te f a t

co n s id er an d o o co mp o r tamen to q u a l i t a t iv o d a f u n ção d e o n d

p ar a u ma f u n ção en er g ia p o ten c ia l u m p o u co mais g e r a l , o p o ç

q u ad r ad o f in i to q u e ap ar ece n a F ig . 6 - 8 . As so lu çõ es d a eq u açã

de Schrõdinger para es te t ipo de potencial são muito d iferente

d ep en d en d o d e se a en er g ia to ta l

E

é maio r o u men o r q u e

V

Va mo s d e ix ar p a r a d i scu t i r o caso em q u e E> V

0

na Seção 6-

l imi tan d o - n o s n o mo m en to a o b ser v ar q u e n es te caso a p a r t ícu

n ão es tá co n f in ad a e q u a lq u er v a lo r d e en er g ia é p e r mi t id o , i s

é , n ão ex is te q u an t iza ção d a en er g ia . No m o me n to , v am o s su p

q u e E < V

0

.

No in te r io r d o p o ço , V(x) = 0 e a eq u ação d e Sch r õ d in g

in d ep en d en te d o tem p o ( Eq . 6 - 1 8 ) se r ed u z à Eq . 6 - 2 6 , a mesm

de um poço inf in i to :

1l>"(x) = - k' >l>(x) k

2

2mE

A solução geral envolve senos e co-senos (Eq. 6-28) . No cas

que e s tam os es tudan do, nã o é necessá r io que </Xx) seja nula n

f r o n te i r as d e r eg ião , co m o n o caso d o p o ço in f in i to , mas ap en a

q u e ifAx) e 1// (x) s e jam co n t ín u as n esses p o n to s . Do lad o d e f o

do poço , is to é , para 0 > x > L, a Eq. 6-18 se torna

r ( x ) =

E)i(f{x) = a

2

ij/(x)

o n d e

2 m

=

~

E ) >

6 -3

6 -3

O méto d o mais d i r e to p ar a d e te r min ar as f u n çõ es d e o n d a e a

en er g ias p e r mi t id as co n s i s te em r eso lv er a Eq . 6 - 3 3 d o lad o d

fora do poço e em seguida ex ig ir que

1

jj(x) e 4>'(x) se jam co

nuas nas f ronteiras . Não é d if íci l reso lver a Eq. 6-33 [a so luçã

é d a f o r ma iftx) = Ce para x posi t ivo ] , ma s a ap lic ação d

co n d içõ es d e co n to r n o en v o lv e u m méto d o co m o q u a l o le i t

t a lv ez n ão es te ja f ami l ia r izad o ; es te méto d o é d esc r i to co m d

talhes na Leitura Suplementar in t i tu lada Solução Gráf ica do Poç

Qu ad r ad o F in i to .

Em p r imei r o lu g ar , v amo s ex p l ica r em p a lav r as d e q u e f o

ma as ex ig ê n c ias d e q u e as f u n çõ es i / fe i/f' s e ja m co n t ín u as n

(a ) V(x)

b)

V(x)

-a 0 + a

F ig . 6 -8 (a) Potencial quadrado finito. (b) 0 mesmo potencial, com a origem dos eixos coordenados no centro do poço.




(a) Função positiva com curvatura positiva; (b ) função negativa com cur-

ntei r as e de que i// —> O q u a n d o

x

—» ±

0 0

l evam à s e l eção de

E < V

0

.

0 aspecto ma is

ip ", que está

e

ifj.

Se ipé pos i t iva,

if/"

t ambé m é pos i t iva e a fun ção de onda

x ,

c o m o n a F ig .

6-9a;

se

ip

é nega t iva ,

ip "

é

nega t iva e ma i s uma vez

iJj

s e a fas t a do e ixo dos

x .

Es te com-

por t amento é d i fe ren te do obse rvado no in t e r ior do poço , i s to

é, na reg ião 0

<x<L.

Ne s ta reg ião ,

é

e

é

" têm s in ais op os tos

e por t an to

ip

s emp re s e aproxima do e ixo dos

x .

c o m o u m a f u n -

ção s eno ou co-seno . Graças a e s t e compor tamento do l ado de

fora do poço , pa ra a ma ior i a dos va lores da ene rg ia a funçã o de

onda s e to rna inf in i t a quando

x

—» ± c°; em o utras pa lavra s , a

f u n ç ã o

ip(x)

não é bem-compor tada . Funções des se t ipo , em-

bora s a t i s façam a equação de Schrõdinger , não s ão funções de

onda apropr i adas porque não podem se r normal i zadas .

A F ig . 6 -10 mos t ra a funç ão de onda pa ra uma en erg ia

E =

p

2

l2m = h

2

2m X

2

pa ra

À

=

AL .

A F ig . 6 -11 mos t ra uma funçã o de

onda bem-comp or tada , cor respondente ao comp r imento de onda

À = Àj, que é a função de onda do es t ado fundam enta l pa ra o

poço f in i to , e o compor tamento das funções de onda pa ra duas

energias próximas . Os níveis de energia permit idos no caso de

um poço quadrado f in i to podem se r ob t idos re so lvendo-se ma-

temat icam ente o problema. A Fig. 6-12 mostra as funções de onda

e as dis t r ibuições de probabi l idade para o es tado fundamental e

os dois primeiros es tados exci tados . De acordo com a f igura , os

compr imentos de onda no in t e r ior do poço s ão l ige i ramente

maiores que os compr imentos de onda no in t e r ior de um poço

e )

(a) Fotografia de um dispositivo semicondutor para cap-

turar imagens conhecido como CCD, constituído por ar-

ranjos bidimensionais de poços quadrados finitos con-

tendo elétrons. A barra horizontal mais escura é a região

fotossensível. Os segmentos verticais acima e abaixo da

barra contêm uma série de eletrodos que transferem

pacotes de carga da esquerda para a direita ao longo dos

poços de potencial até depositá-los em um amplificador

localizado à direita do centro da pastilha, (b ) Imagem não

processada da galáxia espiral Messier 51 e uma galáxia

próxima, obtida com o auxílio de um CCD. (c) A mesma

imagem, depois de processada em computador, na)

Texas

Instruments. (ti) e (c) Panerson Electronics; processamento em computa-

dor John Stantord.]



1

6 4


y (x ) ,

1 X = 4 L

/

N.

/

>

\

r

1 / 1 N l .

—0,5 i. 0 L 1,5 L x

Fig. 6-10

A função que satisfaz a equação de Schrõdinger com A =

4L

no interior

do poço não

é

uma função de onda aceitável porque se torna infinita para grandes

valores de x. Embora em x =

L

a função esteja se aproximando do eixo dos x (a

inclinação seja negativa), a taxa de aumento da inclinação 41"

é

tão grande que a

inclinação se torna positiva antes que a função se anule, e a função volta a au-

mentar para maiores valores de |x|. Como

41

tem o mesmo sinal que ip, a inclina-

ção aumenta sempre e a função aumenta sem limite.

[Este gráfico gerado em computador

é cortesia de Paul Doherty, The Exploratorium.]

in f in i to d e mesm a la r g u r a , p o r tan to as en er g ias co r r esp o n d e n tes

são l ig e i r amen te men o r es q u e as en er g ias em u m p o ço in f in i to .

Ou t r a ca r ac te r í s t i ca d o p o ço f in i to é q u e ex is te ap en as u m n ú -

me r o f in i to d e en er g ias p e r mi t id as ; e s te n ú m er o d ep en d e d o v a-

lor de V

0

. Qu an d o o p o ten c ia l V

Q

é p eq u en o , ex is te ap en as u m

nível permit ido de energ ia, is to é , só pode ex is t ir um estado l i -

g ad o . Es te f a to es tá ev id en te n a so lu ção d e ta lh ad a q u e ap r esen -

tamo s n a Le i tu r a Su p lemen ta r .

Ob ser v e q u e , ao co n t r á r io d o q u e aco n tece n o caso c lás s i

co , ex i s te u ma p r o b ab i l id ad e f in i ta d e a p a r t ícu la se r o b ser v a

da do lado de fora do poço , is to é , nas reg iõe s x > L e x < 0

Nes tas r eg iõ es , a en er g ia to ta l é men o r q u e a en er g ia p o ten c i

a l , p o r tan to é d e se esp er a r q u e a en er g ia c in é t ica se ja n eg a t i

v a . Co mo u ma en er g ia c in é t ica n eg a t iv a n ão f az sen t id o n a f í

s ica , é in te r es san te esp ecu la r q u an to ao s ig n i f icad o d a ex is tên

c ia d a f u n çã o d e o n d a d o lad o d e f o r a d a b ar r e i r a d e p o ten c ia l

Ser á q u e a mecân ica q u ân t ica p r ev ê q u e i r emo s o b te r u m v a lo

n eg a t iv o p ar a a en er g ia c in é t ica d a p ar t ícu la n es tas d u as r e

g iõ es? Se a r esp o s ta f o s se a f i r m at iv a , a t eo r ia es ta r ia em sé r ia

d i f i c u l d a d e s . F e l i z m e n t e , p o d e m o s r e c o r r e r a o p r i n c í p i o d e

in d e te r min ação p ar a ex p l ica r o q u e aco n tece sem ca i r em co n

t r ad içõ es . Co n s id er e a r eg ião x > L ( u m r a c i o c í n i o s e m e l h a n t

se ap l ica à r eg ião

x

< 0 ) . Co mo a f u n ção d e o n d a é p r o p o r c io

n a l a e o n d e a é d a d o p e l a E q . 6 - 3 4 , a d e n s i d a de de p r o ba

bilidade 1//

2

= e~

lax

é mu i to p eq u en a a u ma d is tân c ia d a b ar r e i

ra da ordem de Ax ~ a

- 1

. S u p o n d o q u e ij/(x) ~ 0 p ar a v a lo r e

d e x maio r es q u e L + a

- 1

, p o d emo s d ize r q u e en co n t r a r a p a r

t ícu la n a r eg ião x> L e q u i v a l e a p r o x i m a d a m e n t e a e n c o n t r á

la em u ma r eg ião Ax = a^

1

. Es te t ip o d e med id a in t r o d u z u m

i n d e t e r m i n a ç ã o n o m o m e n t o d a o r d e m d e A p ~ h/Ax — ha

u ma en er g ia c in é t ica mín ima d a o r d em d e (\p)

2

/2m = h

2

a

2

/2m

= V„ - E. Ass im, a en er g ia c in é t ica n u n ca se to r n a n eg a t iv a

A e x i s t ê n c i a d a f u n ç ã o d e o n d a e m u m a r e g i ã o c l a s s i c a m e n t

p r o ib id a é r esp o n sáv e l p e lo f en ô me n o d o tu n e lam en to , q u e se r

d i scu t id o n a Seção 6 - 6 .

Fig. 6-11 Funções que satisfazem a equação de Schrõdinger com comp

mentos de onda próximos do comprimento de onda crítico A,. Quando

é ligeiramente maior que A,, a função tende a infinito como na Fig. 6-1

Para o comprimento de onda

A,,

a função e sua derivada tendem junta

para zero. Esta é uma função de onda aceitável, que corresponde à ene

gia F, = h

2

/2m\f. Quando A é ligeiramente menor que A,, afunção atr

vessa o eixo dos x enquanto a derivada ainda é negativa. A derivada s

torna cada vez mais negativa porque sua taxa de variação 1[i" agora é ne

gativa. Esta função tende a para grandes valores de |xj. [Este gráfico ge

do em computador é cortesia de Paul Doherty, The Exploratorium.]

V3,

A / X ,

0 \ / L x 0

v í

L

\

» — ^

L x

v y r-—_ „

0

\

y ^ " x 0

_ —

L x

0 L ~x 0

L

x

Fig. 6-12

Funções de onda (/<„(x) e distribuições de probabilidad

iA„

2

x) para

o

poço quadrado finito, com

n

=

1,2 e 3.

Compare

gráficos com os do poço quadrado infinito (Fig. 6-4), nos quais a

funções de onda são nulas em x = 0

e

x =

L.

Os comprimentos

onda são ligeiramente maiores do que os comprimentos de ond

correspondentes no poço quadrado infinito e as energias permit

das são ligeiramente menores.




ip{x) = Bê™ + B

2

e~

ax

o n d e B

X

z

B

são co n s tan tes . A co n d ição d e q u e

ip(x)

d o x

—>

— imp l ica em

B

= 0 para x <

B

L

=

0 para x > +a, e por tan to

ip(x) = B x < -a

ili(x) = B

2

e

x > + a

A Eq . 6 - 2 6 é a eq u ação d e Sch r õ d in g er p a r a —a < x < +a.

A so lu ção g er a l , co mo v imo s , é

ip(x) = A

l

sen

kx + A

2

co s

kx

6 -3 8

F ig . 6 -1 3 Potencial arbitrário do tipo poço com um possível nível de energia E.

No interior do poço, ip{x) e i y ( x ) têm sinais opostos e as soluções são do tipo

oscilatório. Do lado de fora do poço, i/<(x) e <y (x) têm o mesmo sinal e a função

não é bem-comportada, exceto para certos valores de £

Bo a p ar te d e n o ssa d i scu ssão d o p r o b le ma d o p o ço q u ad r ad o

f in i to se ap l ica a o u t r o s p r o b lem as n o s q u a is E > V(x) em u ma

c e rt a r eg iã o e £ < V(x) do lado de fora desta reg ião . Considere,

p o r ex emp lo , a en er g ia p o ten c ia l V(x) que aparece na Fig . 6-13 .

No in te r io r d o p o ço , a eq u ação d e Sch r õ d in g er é d a f o r ma

ip'\x) = ~ khp(x) 6 -3 5

o n d e k

2

= 2m[E - V(x)]/h

2

a g o r a é f u n ç ã o d e x. As so lu çõ es

d es ta eq u ação n ão são s imp les co mb in açõ es d e sen o s e co - se -

n o s , p o r q u e o n ú mer o d e o n d a k = 2tt/á v a r ia co m x\ e n t r e t a n -

to , como i / /" e ip têm s in a i s o p o s to s , ip sem p r e se ap r o x im a d o

e ix o d o s x e as so lu çõ es sã o d o t ip o o sc i la tó r io . D o lad o d e f o r a

d o p o ç o , ip se a f as ta d o e ix o d o s x, p o r t a n t o e x i s t e m a p e n a s

a lg u n s v a lo r es d e E p a r a o s q u a is as so lu çõ es ten d em a ze r o

q u a n d o x —>

md Leitura Suplementar*

Solução Gráfica do Poço Qu adrado Finito

Es ta seção p o d e se r o mi t id a sem p r e ju d ica r a co n t in u id ad e d e

n o sso es tu d o d e mecân ica o n d u la tó r ia ; en t r e tan to , a an á l i se d e -

talhada da so lução de um problema mais real is ta será ú t i l para

f u tu r as d i scu ssõ es . Vamo s p r imei r o d es lo car o s e ix o s V(x) e jc

d e mo d o a to r n ar o p o ten c ia l s imét r ico em r e la ção ao p o n to x =

0 , co m as p a r ed es em ±a, co m o n a F ig . 6 - 8 ( b ) . O o b je to é f ac i -

l i t a r o s cá lcu lo s . Co m o n o s caso s an te r io r es , e s tam o s in te r es sa -

dos nas so luções para 0 < E < V

0

.

A Eq . 6 - 3 3 é a eq u ação d e Sch r õ d in g er p a r a —a>x> +a,

o n d e V(x) = V

0

, a so lução geral é

o n d e A , e A

2

s ã o c o n s t a n t e s . A o c o n t r á r i o d o q u e a c o n t e c e

n o c a s o d o p o ç o q u a d r a d o i n f i n i t o , p o r é m , n ã o p o d e m o s e l i -

m i n a r a f u n ç ã o s e n o o u a f u n ç ã o c o - s e n o e x i g i n d o q u e a

f u n ç ã o s e j a n u l a n a s f r o n t e i r a s d o p o ç o p o r q u e a p r o f u n d i -

d a d e d o p o ç o n ã o é i n f i n i t a . E n t r e t a n t o , c o m o a s d u a s f u n -

ç õ e s s e n o i d a i s p o s s u e m s i m e t r i a s d i f e r e n t e s ( o c o - s e n o é par

e o seno é

ímpar),

p o d e m o s e s t u d á - l a s s e p a r a d a m e n t e q u a n -

d o o p o t e n c i a l é d e f i n i d o d e f o r m a s i m é t r i c a , c o m o n a F i g .

6 - 8 b.

As Eq s . 6 - 3 7 e 6 - 3 8 são f u n çõ es co n t ín u as e su as p r imei r as

d er iv ad as tamb ém são co n t ín u as ; a s s im, as f u n çõ es co mp le tas

ip(x)

e ip'(x) p a r a o p o ço q u ad r ad o f in i to tamb ém são co n t ín u as ,

c o m o é e x i g i d o p a r a q u e s e j a m f u n ç õ e s d e o n d a a c e i t á v e i s ,

co n tan to q u e tamb ém se jam co n t ín u as em x = —aex = +a.

C o m o p o d e m o s a s s e g u r a r a c o n t i n u i d a d e d a f u n ç ã o d e o n d a

n esses d o is p o n to s? Vamo s co n s id er a r p r imei r o a so lu ção p ar ,

ip(x) = A

2

CO S

kx.

E m

j

= +a,

Par a q u e ip(x) se ja co n t ín u a , A

2

c o s ka = B

2

e~

aa

6 -3 9 a

Par a q u e ip \x ) se ja co n t ín u a , - kA

2

sen ka = ~aB

7

e~

c,a

6 -3 9 b

E m x = —a,

Par a q u e ip(x) se ja co n t ín u a , A

2

cos (— ka) = A

2

co s ka =

= 6 -4 0a

Par a q u e ip '(x) s e j a c o n t í n u a , — k A

2

sen (— ka) =

= kA

2

sen ka = aB

l

e~

aa

6 -4 0 £

O b s e r v a m o s i m e d i a t a m e n t e q u e 5 = B

2

. Co mb in an d o as Eq s .

6 - 3 9 e 6 - 4 0 , t emo s :

ae

B

cos

ka k

sen

ka

o u

sen

ka a

— = tan

ka- —

cos

ka k

6-41

Su b s t i tu in d o

k

e

a

p o r seu s v a lo r es n a eq u ação ac ima , t emo s :

- E

6 -4 2

No caso d as so lu çõ es ímp ar es , ip(x) = A, sen kx , u m r ac io c ín io

semelh an te lev a à co n d ição

6 -3 6

0 q u an -

a. D a m e s m a f o r m a ,

a

•

cot

ka = —

6 -4 3

6 -3 7 o

6-37A

* O texto original em inglês desta leitura suplementar está disponível na home

page whfreeman.com/physics. (N. do T.)

Emb o r a mu i to t r ab a lh o sa d o p o n to d e v i s ta matemát ico , a so -

lu ção d es tas eq u açõ es t r an scen d en ta i s p o d e se r o b t id a g r a f ica -

men te co m r e la t iv a f ac i l id ad e . As so lu çõ es são o s p o n to s n o s

q u a is o s g r á f ico s d e tan ka e —cot ka t ê m v a l o r e s e m c o m u m

c o m alk. A so lu ção g r á f ica ap ar ece n a F ig . 6 - 1 4 . O p r imei r o

p asso co n s i s te em t r açar o s g r á f ico s d e tan ka e — co t ka e m

f u n ç ã o d e

ka .

Es tes g r á f ico s , n a tu r a lmen te , s ão a cu r v a d e tan

6 e m f u n ç ã o d e 6 e o n eg a t iv o d a cu r v a d a co t 6 em f u n ção d e

d q u e e s t u d a m o s n o s c u r s o s d e t r i g o n o m e t r i a . O " â n g u l o " ka

d ep en d e tan to d a en er g ia E d a p ar t ícu la q u an to d a la r g u r a 2 a



166 A Equação de Schrõdinger

tg

k a

-co t

ka

a/k

F i g . 6 - 1 4 Soluções gráficas das Eqs. 6-41 e 6-43. Afigura mostra duas curvas diferentes de a/k, que correspondem a diferentes valores de V

0

.0 valor de V

0

em c

caso é dado pelo valor de te para o qual a/k = 0, indicado pelas setas. Na curva de cima, por exemplo, a/k = 0 para /ra = (2ml/

0

)

1/2

a/ = 2,75-n-. Os valores permit i

de E são dados pelos valores de ka nas interseções das curvas de a / k com as curvas de tan ka e -co t ka.

do poço. O segun do passo con s is te em t raçar a curva de

a/k

em

f u n ç ã o d a

ka .

O ponto no qual a curva de

a/k

intercepta o e ixo

ka

é o ponto

E =

V,„ que corresponde à a l tura do poço. Vale a

pena chamar a a tenção para a lgumas propriedades das soluções

do poço quad rado f in i to :

1 . Quando aumentamos gradua lmente a profundidade do poço

— is to é , quando des loc amo s para a di reita o ponto da Fig. 6-

14 em q ue

a/k

= 0 — um a nova so lução e uma nova energ ia

permit ida aparecem toda vez que o ponto em que

a/k =

0

passa por um múlt iplo intei ro de -tt/2.

2. Quando reduzimos gradualmente a profundidade do poço

is to é , quan do d es locamos para a esquerda o ponto da Fig.

14 em q ue

a/k

= 0 — uma solução e uma energia permit

desaparecem toda vez que o ponto em que

a/k

= 0 passa

um m últ iplo intei ro de i r/2. Entretanto, por meno r que sej

profundidade do poço, exis te sempre pelo menos uma en

gia permit ida, contanto que

V

0

# 0.

O método gráfico que acabamos de apresentar pode ser u

do para cons truir o diagrama de níveis de energia de um po

quadrado f ini to.

6 - 4 V a l o r e s E s p e r a d o s e O p e r a d o r e s

Valores Esperados

O objet ivo de uma teoria é expl icar um conjunto de observa-

ções exper imenta i s . Na mecânica c l á s s i ca , a so lução de um

problem a muitas vezes cons is te em determ inar a pos ição de um a

ou vá r i a s pa r t í cu las em função do t empo. Como v imos , não é

pos s íve l faze r i s so no caso dos s i s t emas mic roscópicos por

causa dos efei tos ondulatórios ; tudo que podemos calcular é a

funçã o de onda

t)

e a função dis t r ibuição de probabi l ida-

d e ^ ( x ,

t)\

2

.

O máximo que podemos conhecer a re spe i to da

posição de uma part ícula é a probabi l idade de que uma medida

forneça um certo valor de

x.

O

valor esperado

de

x é

de f in ido

através da equação

(x)

í ) x ^ ( x ,

t) dx

6

Assim, por exemplo, no caso de um poço quadrado infini to

fácil mostrar por simetria (ou por cálculo direto) que (x) = L/2

ponto correspondente ao centro do poço.

No caso geral , o valor esperado de qualquer funçã o/(x) é da

por

6-

O valor esperado de (x

1

) para um poço quadrado infini to de

gura L, por exemp lo, pode ser calculado com o auxí l io da Eq.

46. Fica a cargo do leitor mostrar que

6-44

/ 2N

1 2 1 2

(x

2

) = — -

T

—

TT

3

2n

2

v

2

6

O v alor esperado de x é o valor médio de x que esperamos obter

ao medirmos as pos ições de um grande número de part ículas com

a mesm a fu nçã o de onda "^Tx. t). Como vimos, para uma part í -

cula em um es tado de energia definida a dis tr ibuição de p roba-

bi l idade é independen te do tempo. N esse caso, o valor esperado

de

x

é dado por

Observe que não esperamo s necessariamente que o valor de u

medida tenh a uma al ta probabi l idade de ser igual ao valor es

rado. No caso de

n

par , por exemp lo, a probabi l idade de que x

L/2

é nula porque a funç ão de onda sen

(

mrx/L

)

é nula para

x

L/2. Mesmo ass im,

(x) = L/2,

já que a função de probabi l ida

ip*ipé simétrica em relação ao centro do poço.



A Equação de Schrõdinge r 1 6 7

Operadores

S e c o n h e c ê s s e m o s o m o m e n t o p d e u m a p a r t í c u l a e m fu n ç ã o d e

x, p o d e r í a m o s c a l c u l a r o v a lo r e sp e ra d o (p ) u sa n d o a Eq . 6 -4 6 .

En t re t a n to , é im p o ss ív e l e x p re ssa r

p

e m f u n ç ã o d e

x,

já que , de

a c o rd o c o m o p r in c íp io d e i n d e t e rm in a ç ã o , n ã o p o d e m o s c o n h e -

c e r p e x a o m e sm o t e m p o c o m p re c i sã o i l im i t a d a . Pa ra c a l c u l a r

(p), p re c i sa m o s c o n h e c e r a fu n ç ã o d e d i s t r i b u i ç ã o d o m o m e n to .

A aná l ise de Fourie r permite obte r esta função a par t i r da função

d e o n d a i/< jc) . E possíve l most ra r que

(p) =

J

6 -4 8

E t a m b é m p o ss ív e l m o s t r a r q u e

O b se rv e q u e n o c á l c u lo d o v a lo r e sp e ra d o o o p e ra d o r q u e r e p re -

se n t a a g ra n d e z a f í s i c a c u jo v a lo r e sp e ra d o q u e re m o s c a l c u l a r

o p e ra e m

x

V(x, t) e nã o e m t)\ em outras pa lavras , a posi -

ção corre ta do oper ador na exp ress ão é en t re W* e Este fa to

é i r r e le v a n te q u a n d o o o p e ra d o r é u m a c o n s t a n t e o u u m a fu n ç ã o

m u l t i p l i c a t i v a , m a s p o d e s e t o r n a r e x t r e m a m e n t e i m p o r t a n t e

q u a n d o o o p e ra d o r i n c lu i r u m a d i f e re n c i a ç ã o , c o m o é o c a so d o

o p e r a d o r m o m e n t o .

Exemplo 6-5 V a l o r e s e s p e r a d o s d

ep ep

2

D e te r m in e o s v a lo -

res de (p ) e (p

2

) p a ra a fu n ç ã o d e o n d a d o e s t a d o fu n d a m e n ta l d o

p o ç o q u a d ra d o in f in i t o . (A n te s d e c o n t in u a r , t e n t e p re v e r o r e -

su l t a d o . )

S o l u ç ã o

Po dem os ignorar a var iaç ão de ^ com o tem po e escreve r :

dx

t L J L ( f L ± \

i dx

V

i dx J

<P

dx

2

h

2

i r

2

= -I- ó

L

2 T

L

2

2 TTX

— sen

L L

t e m o s :

.

ov

h

2

i r

2

Ç

L

h

2

7T

2

C

L

(p

2

) = — I 4>*4>dx = — I ili*i )dx =

h

2

v

2

L

2

h

d

Pop -

i dx

6 -4 9

A e q u a ç ã o d e Sc h rõ d in g e r i n d e p e n d e n te d o t e m p o (Eq . 6 -1 8 )

pode se r esc r i ta em te rmos de p

op

:

pL'Kx) + V(x)<M = EiP(x)

6 -5 0

onde

P op"AW

- 1 J L r _ - i

i dx i i dx

- ti

2

d

2

ll>

dx

2

N a m e c â n ic a c l á ss i c a , a e n e rg i a t o t a l e x p re ssa e m t e rm o s d a s

v a r i á v e i s q u e r e p re se n t a m a p o s i ç ã o e o m o m e n to é c h a m a d a d e

função hamiltoniana e é r e p re se n t a d a p e lo s ím b o lo H: H = p

1

/

2 m + V. Su b s t i t u in d o o m o m e n to p e lo o p e ra d o r m o m e n to , p

op

,

e o b se rv a n d o q u e V = V{x), o b t e m o s o operador hamiltoniano,

r e p re se n t a d o p e lo s ím b o lo H

op

:

H„

pA

2 m

+ V(x)

6 -5 1

N e sse c a so , a e q u a ç ã o d e Sc h rõ d in g e r i n d e p e n d e n te d o t e m p o

pode se r esc r i ta na forma

H

ov

4> = E4>

6 -5 2

(í,) =

Io ( \ / z

s e n

f ) ( t £ )

( \ / l

s e n

T )

h 2 TT C

L

TTX TTX

sen — cos —

dx = 0

i L L Jo L L

Co m o a p ro b a b i l i d a d e d e a p a r t í c u l a e s t a r se m o v e n d o n o se n t i -

d o p o s i t i v o d o e ix o d o s x é igua l à probabi l idade de esta r se

m o v e n d o n o se n t id o o p o s to , o m o m e n to médio é nulo .

Po r o u t ro l a d o c o m o

A v a n ta g e m d e e sc re v e r a e q u a ç ã o d e Sc h rõ d in g e r d e s t a fo rm a

é q u e f i c a m a i s f á c i l g e n e ra l i z á - l a p a ra p ro b le m a s m a i s c o m p l i -

c a d o s , c o m o o d e v á r i a s p a r t í c u l a s e m m o v im e n to n o e sp a ç o

t r id im e n s io n a l : p a ra o b t e r o o p e ra d o r h a m i l to n i a n o d o s i s t e m a ,

s im p le sm e n te e sc re v e m o s a e n e rg i a t o t a l d o s i s t e m a e m t e rm o s

d a p o s i ç ã o e d o m o m e n to e su b s t i t u ím o s a s v a r i á v e i s q u e r e p re -

se n t a m o m o m e n to p e lo s o p e ra d o re s a p ro p r i a d o s .

A Ta b e la 6 -1 m o s t r a o s o p e ra d o re s q u e r e p re se n t a m a lg u -

m a s g ra n d e z a s f í s i c a s j á d i sc u t id a s e o u t r a s q u e d i sc u t i r e m o s

e m b re v e .

T a b e l a 6 - 1 A lg u n s o p e ra d o re s d a m e c â n ic a q u â n t i c a

Observe que neste caso (p

2

) = 2mE, já que , para o poço quadra-

d o in f in i t o ,

E = p

2

/2m.

A g ra n d e z a

(h/i)d/dx,

que aparece na Eq.

6 -4 8 . é c h a m a d a d e operador momento e é r e p re se n t a d a p e lo

s í m b o l o p

op

\

Sím b o lo G ra n d e z a O p e ra d o r

Ax)

Qualquer função de x , como a posição x ou

a energia potencial V(x)

Ax)

Px Componente x do momento

h d

i d x

Py

Componente y do momento

h d

i d y

Pz

Componente z do momento

ti d

i dz

E Hamiltoniano (independente do tempo)

É L

+

v

w

2 m

E Hamiltoniano (dependente do tempo)

dt

Ek

Energia cinética

A- d-

2m d x

2

L

z

Componente z do momento angular

d<t>



6 8 A Equação de Schrõding er

(p

1

) não é nulo no Ex em plo 6-5 .

(x ) p o d e se r n u l a ?

Leitura Suplementar*

Co m o v im o s , a e q u a ç ã o d e Sc h rõ d in g e r l e v a à q u a n t i z a ç ã o

o o s i s -

N a f í s i c a c l á ss i c a , u m a p a r t í c u l a c a r r e g a d a e m i t e r a d i a ç ã o

f re q ü ê n c i a d e o sc i l a ç ã o . U m a d i s -

r a d i a ç ã o .

Co n s id e re u m a p a r t í c u l a d e c a rg a

q

e m u m e s t a d o q u â n t i c o

n

V

n

(x, t) = 4'n{x)e-'

E

"'

1

"

E

n

é a ener gia e i/ /„(x) é um a soluç ão da equ açã o de Sc hrõd in-

te do temp o para um a cer ta energia potenc ia l V(x) .

e x + dx é Vy„dx. Se f i z e rm o s m u i t a s m e d iç õ e s e m s i s t e m a s

é , e m p a r t í c u l a s c o m a m e sm a fu n ç ã o d e o n d a ) , a

n

"V

n

dx . A ss im , a g ra n d e z a

n

r e p re se n t a u m a densida-

Co m o j á o b se rv a m o s , q u a n d o a fu n ç ã o d e o n d a

12

p

n

= q**(x , (X, t ) = q il>*(x)ikÁx) = q W .

o r e m issã o o u a b so rç ã o d e r a d i a ç ã o . A c a u sa d a s t r a n -

d e s t a i n t e ra ç ã o .

p l e t a é c o m p le x a d e m a i s p a ra se r a n a l i sa d a n e s t e

V a m o s e sc re v e r a fu n ç ã o d e o n d a d e u m a p a r t í c u l a q u e e s t á

fu n ç õ e s d e o n d a d o s e s t a d o s ^ e

V

nm

{x, t) = cOV

n

{x, t) + b^Vjx, t) 6 -5 2 «

N ã o p r ec i s a m o s n o s p r e o c u p a r c o m o s n ú m e r o s a t b \ q u e r e m o s

a p e n a s m o s t r a r q u e s eaeb fo re m d i f e re n t e s d e z e ro , a d e n s id a -

d e d e p ro b a b i l i d a d e e a d e n s id a d e d e c a rg a o sc i l a rã o c o m u m a

f re q ü ê n c i a a n g u la r

&>„„

d a d a p e l a r e l a ç ã o d e Bo h r hf = hw„

m

=

E„ ~ E

m

, ou se ja ,

Pa ra s im p l i f i c a r a n o t a ç ã o , v a m o s su p o r q u e a s fu n ç õ e s i n d e p e n -

dentes do tempo <//„(x) e

i j j j x )

se j a m re a i s . A d e n s id a d e d e p ro -

b a b i l i d a d e p a ra a fu n ç ã o d e o n d a ^ (x , t) é dada por

=

+

b

2

V * V

m

+ +

6 -5 2 c

O s d o i s p r im e i ro s t e rm o s sã o in d e p e n d e n te s d o t e m p o . O t e rc e i -

ro t e rm o d a Eq . 6 -5 2 c c o n té m o s p ro d u to s

t)V„(x, t) = ^*e

iE

'"

h

\\i

m

e-

iE

"'"

h

= W M ' " " " " '

e

V*(x, t)¥„(*, t) =

onde (o„

m

é a f r e q ü ê n c i a a n g u la r d e Bo h r , d a d a p e l a Eq . 6 -5 2 b .

So m a n d o e sse s t e rm o s e u sa n d o a i d e n t id a d e

e

<« W

+

g - w w = 2 c o s cu

nm

t

v e m o s q u e a d e n s id a d e d e p ro b a b i l i d a d e d e p e n d e d o t e m p o e é

d a d a p o r

I % J x , t)\

2

= a

2

<l,

2

n

+ b

2

r

m

+ 2 a b M

m

c o s co

nm

t 6 - 5 l d

A s s i m , a f u n ç ã o d e o n d a f o r m a d a p o r u m a m i s t u r a d e d u a s f u n -

ç õ e s d e o n d a c o r r e s p o n d e n t e s a d o i s e s t a d o s p u r o s l e v a a u m a

d i s t r i b u i ç ã o d e c a r g a q u e o s c i l a c o m a f r e q ü ê n c i a d e B o h r .

Podemos descrever a rad iação de um sis tema da seguin te for-

ma: em um cer to instante , um sis tema se encontra em um estado

e x c i t a d o n descr i to pe la Eq. 6-52a c o m a = 1 e b = 0 . Por causa

da in te ração do s is tema com o campo e le t romagnét ico (que não

foi inc lu ído na equação de Schrõdinger) ,

a

d im in u i e

b

de ixa de

ser nulo . Neste momento , a densidade de carga começa a osc i la r

com freqüênc ia angula r

co

nm

.

Entre tanto , o s is tema não i r radia ener-

g ia cont inuamente , como prevê a teor ia c lássica . Em vez d isso , a

osc i lação na densidade de carga impl ica na exis tênc ia de uma

pro-

babilidade de que um fó ton de energia

u>

nm

= E

n

— E

m

se ja emi-

t ido , de ixando o s is tema no estado m, no qua l a = 0 e b = 1. A

emissão do fó ton é um processo esta t í s t ico . A Fig . 6-15 mostra a

v a r i a ç ã o d e ^„ J

2

durante uma t ransição do pr imeiro estado exc i -

tado para o estado fundamenta l do poço quadrado inf in i to .

T r a n s i ç õ e s T i p o D i p o l o E l é t r i c o

O sis tema c lássico mais s im ples capaz de i r radia r ondas e le t rom ag-

né t icas é o d ipolo e lé t r ico osc i lan te . O va lor esperado do mo me n-

to d ipola r qx de uma par t ícu la cu ja função de onda é é dado por

D e a c o rd o c o m o q u e fo i d i sc u t id o a n t e r io rm e n te , se a fu n ç ã o d e

o n d a c o r re sp o n d e r a u m e s t a d o e s t a c io n á r io , o v a lo r e sp e ra d o d o

m o m e n to d ip o l a r se rá i n d e p e n d e n te d o t e m p o . Ca so , p o ré m , a

fu n ç ã o ^ se j a u m a m is tu ra c o m o a q u e é r e p re se n t a d a p e l a Eq .




6 - 5 2 a , a fu n ç ã o q(x) te rá te rmos depen dentes do tem po que osc i -

la rão com a f reqüênc ia de Bohr . De acordo com a Eq. 6-52d, o

momento d ipola r pode se r esc r i to na forma

q{x) = 2qab co s

w

n m

J

dx + te rmos estac ionár ios

6-52e

A integral que aparece na Eq. 6-52e é chamada de elemento de

matriz.

Existem mui tos casos em que esta in tegra l é nula . Por

exemplo: se

i\>„

e t\>

m

são funçõe s de onda do poço quad rado inf i -

n i to , um cá lculo d i re to mostra que o e lemento de matr iz da E q.

6 -5 2 e é n u lo s e n e m sã o a m b o s p a re s o u a m b o s ím p a re s . Em

casos como este , d izemos que as t ransições do t ipo d ipolo e lé -

t r ico são pro ib idas ent re os estados envolv idos. A ausênc ia de

uma t ransição ent re dois estados devido ao fa to de o e lemento

de matriz ser nulo em geral pode ser expressa através de uma

regra de seleção. Assim, por exemplo , uma regra de se leção para

o poço quad rado inf in i to espec i f ica que o número quânt ico n deve

v a r ia r d e 1 , 3 , 5 , . . . ( e n ã o d e 2 , 4 , 6 , . . . ) . V a m o s d a r o u t ro s e x e m -

plos de regras de se leção no Cap. 7 , quando estudarm os as t ran-

sições ent re os estados estac ionár ios dos á tomos. As t ransições

que estamo s d iscut indo a té agora , resu l tan tes da per turbação de

um sis tema de cargas pe lo seu própr io campo e le t romagnét ico ,

são chamadas de t ransições espontâneas. Se um sis tema (um á to-

mo, por exem plo) se encontra no estado estac ionár io e é expos-

to a uma radiação exte rna de f reqüênc ia <a

nm

correspondente à

freqüê nc ia de Bohr de uma t ransição para um estado exc i tado, o

sis tema pode sofre r esta t ransição absorvendo um fó ton da ra -

d iação exte rna . Se o s is tema está em u m estado ex c i tado e é ex-

posto a uma radiação exte rna de f reqüênc ia correspondente à

freqüênc ia de Bohr de uma t ransição para um estado de menor

energia , o s is tema pode se r est imulado a sofr e r esta t ransição e

emit i r um fó ton exa tamente com a mesma energia que a radia -

ção exte rna . Esta emissão est imulada , que ocorre nos masers e

nos lase rs , é importante porq ue os fó tons emit idos estão em fas e

com os fó ton s que est imulam a t ransição . Os lasers se rão d iscu-

t idos com mais de ta lhes no Cap. 9 .

P ro b le m a s

1. Considere um e lé t ron no sexto estado exc i tado de um poço

quadrad o inf in i to , i s to é , o estado E

v

(a ) Faça um diagrama

dos níveis de energia do sistema para os níveis de n = I a n

= 7 e mostre, através de setas verticais entre os níveis apro-

pr iados, todas as transições que o elétron pode sofrer até che-

gar ao estado fundamenta l . (b) Ca lcule as energias de todas

as t ransições possíve is em função de

2 . Use a Eq. 6-52e para mostra r que o e lemento de matr iz da

t ransição de n = 3 para n = 1 de um poço quadrado inf in i to

é nulo , o que impede que esta t ransição acon teça .

3. Co mo qualquer combina ção linear de duas ou mais soluções da

equação de Schrõdinger tam bém é uma so lução, para uma partí-

cula em um poço quadrado infinito

x

V(x, 0) = A(t//,(x) + ip

2

(x)]

também é uma solução, onde A é u ma consta nte e i/f, e

ip

2

são as

funções de onda do estado fundamental e do primeiro estado

excitado. M ostre que se ip\ e

ip

2

são

funções

normalizadas, a cons-

tante de normalização para ^(x, 0) é A = 1 / V 2 .

F i g . 6 - 1 5

Densidade de probabilidade i/»J

2

(Eq. 6-52d) para uma

partícula em um poço quadrado infinito sofrendo uma transição

do primei ro estado excitado (n = 2) para o estado fundamenta l

(m = 1). As contribuições a e b para a mistura de e (veja

a Eq. 6-52a) foram calculadas (a) para a = 1 e b = 0; (b ) para a

= 0,75 e b = 0,25; (c) para a = 0,50 e b = 0,50: (d ) para a =

0,25 e

b

= 0,75; (e) para a = 0 e

b =

1. A distribuição de proba-

bilidade que aparece em (a) é a do primeiro estado excitado, an-

tes de começar a transição; a que aparece em (e) é do estado fun-

damental, depois de completada a transição.



1 7 0


6 - 5 0 O s c i l a d o r H a r m ô n i c o S i m p l e s

Um dos p r ob l emas r e so l v i dos por S chr õd i nge r no s egundo dos

seus sei s famosos ar t igos foi o de uma par t ícula suje i ta ao po-

t enc i a l do osc i l ador ha r môni co s i mpl es , que é dado por

V(x) = \Kx

2

= \mu>

2

x

2

o n d e K é a cons t an t e de f o r ça e w a f r eqüênc i a angu l a r de v i -

b r ação , de f i n i da por w = (K/m)

112

= 2nf. A so l ução da equa -

ção de S chr õd i nge r pa r a e s t e po t enc i a l é pa r t i cu l a r ment e i m-

por t an t e por que pode s e r ap l i cada a p r ob l emas como o da v i -

b r ação de mol écu l as em gases e só l i dos . A f unção ene r g i a po-

t enc i a l do osc i l ador ha r môni co s i mpl es e s t á r ep r esen t ada g r a -

f i cament e na F i g . 6 - 16 , que mos t r a t ambém um poss í ve l va l o r

pa r a a ene r g i a t o t a l E.

Na mecân i ca c l á s s i ca , uma pa r t í cu l a su j e i t a a e s t e t i po de

potencial f ica em equi l íbr io na or igem (x = 0) , onde V(x) é mí -

n i ma e a f o r ça F

x

= —dV/dx é nu l a . Quan do é a f a s t ada da pos i -

ção de equi l íbr io, a par t ícula passa a osci lar ent re x = —A ex =

+A , os pontos no s quais a energia c inét ica é nula e a energ ia tota l

é i gua l à ene r g i a po t enc i a l . E s ses pon t os s ão conhec i dos como

pont os c l á s s i cos de r e t o r no . A d i s t ânc i a A e s t á r e l ac i onada à

energia tota l E a t r avés da equação

E = i m

o/A>

6 - 5 3

C l as s i cam ent e , a p r obab i l i dade de a pa r t í cu l a se r encon t r ada n o

i n t e r va l o dx é p r opor c i ona l ao t empo qu e a pa r t í cu l a pas sa nes se

intervalo, que é igual a dxlv. A ve l oc i dade da pa r tí cu l a pode s e r

ca l cu l ada a pa r t i r do p r i nc í p i o de conse r v ação d a ene r g i a :

mv + \mM

2

x

2

= E

6 - 5 4

A pr obab i l i dade c l á s s i ca é , por t an t o ,

dx dx

PAx) dx

°c

— = ,

v V ( 2 / m ) ( £ -

\mu)

2

x

7

)

Qual que r va l o r da ene r g i a

E

é pe r mi t i do . A menor ene r g i a é

E

= 0 , que cor r e spo nde ao caso em qu e a pa r t í cu l a s e encon t r a em

r epouso na o r i gem.

A equação de S chr õd i nge r pa r a e s t e p r ob l ema é

fi

2

d

2

<Kx) . 1

û u

,

—- + - m oSr ili(x) = Etfiix)

2 m dx- 2

6-55

As t écn i cas ma t emát i cas envo l v i das na so l ução des t e t i po de

equação d i f e r enc i a l s ão e s t udadas apenas em cur sos avançados ;

por e s sa r azão , vam os d i s cu t i r o p r ob l em a qua l i t a t i vament e . E m

V x)

I m c o V

-A 0

+/4 x

= g 6-16

Função energia potencial do oscilador harmônico simples. Classicamente,

= a

está confinada na região entre os "pontos de retorno"

-A

e +A

pr i me i r o l uga r , obse r v amo s que com o o po t enc i a l é s imé t r i co em

r e l ação à o r i gem (

jc

= 0 ) , e spe r amos que a f unção d i s t r i bu i ção

de p r obab i l i dade ip(x) - t amb ém se j a s imé t r i ca em r e l ação à o r i -

gem, i s t o é , pos sua o mesmo va l o r pa r a — x e +x:

\il/{-x)\

2

= \>fi(x)\

2

I s so s i gn i f i ca que a f unção de ond a i

p(x)

deve ser s imét r ica , com

ilK~x) = + ifrtx), ou an t i - s i mé t r i ca , com 4K~ x) — — i/<

jc

) . Pode-

mos , por t an t o , s i mpl i f i ca r a d i s cus são cons i de r ando apenas a

r eg i ão em que x é pos i t i vo e de t e r mi nando as so l uções pa r a x

negat ivo por s imet r ia . (A s imet r ia de <> s e rá d i s cu t i da com de t a -

l hes na S eção E xp l or a t ó r i a "P a r i dade" , a i nda nes t e cap í t u l o . )

Suponha que a energia tota l da par t ícula se ja E. Para x menor

que o ponto c láss ico de re tom o A def inido pela Eq. 6-53, a energia

potencial V(x) é me nor que a energia tota l £; p ara x>A, V(x) > E.

Noss a discussão da Seção 6-3 pode ser apl icada di re tamente a es te

pr ob l ema . P a r a .v < A, a equação de Schrõdinger assume a forma

V(x) = - k

2

4i(x)

o n d e

2 m

k

2

= - [ E - V « ]

e por t an t o a f unção

i

/<

jt

) s e ap r ox i ma do e i xo dos x e tem um

compor t ament o osc i l a t ó r i o . P a r ax > A , a equação de S chr õd i n -

ger se torna

ifi"(x) = + a

2

tl/(x)

onde

2 m

JTlVM

E]

e por t an t o a f unção i/j(x) s e a f a s t a do e i xo dos x. Apenas ce r t os

va l o r es de E l evam a so l uções bem- c om por t ad as , i s t o é , que t en -

dem a ze r o quando x —»oo. Os valores permi t idos de E no caso

do osc i l ador ha r môni co s i mpl es devem se r ca l cu l ados r e so l ven-

do a equação de S chr õd i nge r . O r e su l t ado é o s egu i n t e :

E

n

= (n + \)hco n = 0, 1, 2, . . . 6-5 6

Ass i m, a ene r g i a do e s t ado f undament a l é

ha>/2

e o e s p a ç a m e n -

to dos níveis de energia é constante; a di s tância ent re dois níveis

ad j acen t es é igua l a hw.

A F i g . 6 - 17 mos t r a a s f unções de onda do e s t ado f undamen-

ta l (n = 0 ) e dos do i s p r i me i r os e s t ados exc i t ados (ri = 1 e n =

2) do osc i l ador ha r môni co s i mpl es . A f unção de onda do e s t ado

f undament a l t em a f o r ma de uma f unção gaus s i ana e a ene r g i a

des t e e s t ado , E

0

=

fi

w/2, é a menor ene r g i a compa t í ve l com o

pr i nc í p i o de i nde t e r mi naçã o . As so l uções pe r mi t i das da equaç ão

de S chr õd i nge r , a s f unç ões de onda do osc i l ador ha r môn i co s i m-

p l es , t êm a s egu i n t e f o r ma :

<A„(X) = C

n

e-

m

^

l2h

H

n

{x ) 6 -57

onde a s cons t an t e s C „ são cons t an t e s de nor ma l i zação e a s f un-

ç õ e s H„(x) s ão po l i nómi os de o r dem n d e n o m i n a d o s polinómios

de Hermite,'

3

As f unções de onda do e s t ado f undam ent a l e dos

do i s p r i me i r os e s t ados exc i t ados ( F i g . 6 - 17) s ão :

ip

0

(x) = A

0

e~

m

""

?l2h

m

(o

,„

i/z^x) = A

1

^ / — xe~

ma

^

n

6-58

<l>2 (X)

( 2mcox

2

\

- H

1

- — )

-moix

2

/2fi




Observe que para valores pares de n as funções de onda são si-

métr icas em relaçã o à origem; para valores ímpa res, são anti-si-

métr icas. A Fig. 6-18 mostra as distr ibuições de probabilidade

ip Z(x) para n = 0, 1, 2, 3 e 10 e as distribuições clássicas cor-

respondentes.

É possíve l demon strar que as funçõ es de onda dad~> pela Eq.

6-57 apresentam a seguinte propriedade:

dx - 0 exce to para n = m ± 1

6-59

Esta propriedade leva a uma regra de seleção para a radiação di

tipo dipolo elétr ico emitida ou absorvida por um oscilador har-

mônico simples:

A diferença entre os número s quânticos d o estado f inal e

do estado inicial deve ser igual a +1 ou a —1.

Esta regra de seleção geralmente é escrita na forma

A/Í = ± 1

6-60

Co mo a diferença de energia en tre dois estados ad jacen tes é ha>,

esta é a energia do fóton emitido ou absorvido em uma transi-

Fig. 6-17 Funções de onda do estado fundamental e dos dois primeiros estados Ç

ã o

do tipo dipolo elétr ico. A freqüência do fóton é portanto

excitados do oscilador harmônico simples. igual à freqüência clássica do oscilador, como imaginou Planck

<

\ /

\ /

\J

\ 1

\ 1

\t

I I I S

n = 0

- 3 - 2 - 1 0 1 2 3

J .

V n r-J

n = 2

J L

- 3 - 2 - 1 0 1 2 3

\ A

A /

7\\ _

IA

n=

3

1

V

/

\

l 1 ^

I

\ J \ \

J \ J

1

^ 1 1

- 3 - 2 - 1 0 1 2 3

\ f \

ÍY

I N\ n

n= 10

J

i \J i V y i v y ^ u r W

WVA7PC/1 \J i

- 5 - 4 - 3 - 2 - 1

3 1 2 3 4

u

5

Fig . 6 -18 Densidade de probabilidade i/<„

z

do oscilador harmônico simples, em função da variável adimensional u = (mWft)

1/2

x, para n = 0,1. 2. 3 e 10. As curvas

tracejadas são as densidades de probabi lidade clássicas para as mesmas energias; as linhas verticais indicam os pontos clássicos de retorno. * = = A



Fig. 6-19

Níveis de energia do oscilador harmônico simples. As

sições que obedecem à regra de seleção An = ± 1 estão indicada

setas (setas apontando para baixo indicam emissão; setas apon

para cima indicam absorção). Como o espaçamento dos níveis

forme, a mesma energia hu> é emitida ou absorvida em todas as

sições permitidas. Para este potencial em particular, a freqüênc

fóton emitido ou absorvido é igual à freqüência de oscilação, o qu

de acordo com as previsões da teoria clássica.

par a chega r à f ó r mul a da r ad i ação do cor po negr o . A F i g . 6 - 19

mos t r a o d i agr ama de n í ve i s de ene r g i a do osc i l ador ha r môni -

co s i mpl es , com as t r ans i ções pe r mi t i das i nd i cadas por s e t a s

ve r t i ca i s .

Ç • Seção Exploratória

Paridade

Na seção anterior, t ivemos o cuidado de representar o potencial do

oscilador harmôn ico simples de uma forma que o tornasse simétrico em

relação ao ponto x = 0 (veja a

Fig.

6-16). Fizemos o mesm o com o poço

quadrado finito da Fig. 6-8b. O objetivo em casos como esses é chamar

a atenção para a simetria do problem a e simplificar os cálculos. O bser-

ve que quando o potencial V(x) é simétrico em relação à origem, V(x)

— V(—x). Isto significa que o operador hamiltoniano definido pela Eq.

6-51 é invariante em relação à transformação x

—»

— x. E sta transforma-

ção é conhecida com operação de paridade e é representada pelo ope-

rador P. Assim, se

ip(x)

é uma solução da equação de Schrõdinger

//„

P

<AW

= Eü,(x) 6-52

a operação de paridade leva a

H

v

K-x) = EiK-x)

e portanto x) é também uma solução da equação de Schrõdinge r,

com a mesma energia E. Quando duas (ou mais) funções de onda são

soluções correspond entes ao mesm o valor de energia, dizemos que esse

nível de energia é

degenerado.

Neste caso, como existem duas funções,

i/<x) e

i/K —j ),

associadas à mesma energia E, dizemos que o nível de

energia é duplamente degenerado.

Examinando as duas equações acima, vemos que

i)Kx)

e

ip(—x)

são

necessariam ente iguais a menos de uma constante multiplicativa C, isto

é,

<Kx) = C M - x ) é ( ~ x ) = t > ( x )

ou

\p(x) = CiK-x) = C

2

i[i(x)

e portanto C = ±1. Se C = 1,

ip(x)

é uma função par, isto é,

tp(—x)

=

t/<x). Se C = — 1, <P(x) é uma função ímpar, ou seja, </<—x) = — i//(x).

A paridade é usada na mecânica quântica para descrever as proprieda-

des de simetria das funçõ es de onda em relação a uma troca de sinal das

coordenadas espaciais na origem, isto é, em relação a uma op eração de

paridade. Os termos par e ímpar são usados para descrever a simetria

das funções de onda e não significam necessariamente que os núm eros

quânticos correspondentes sejam pares ou ímpares.

6 - 6 R e f l e x ã o e T r a n s m i s s ã o d e O n d a

At é agor a , e s t i vemos i n t e r e s sados em pr ob l emas de e s t ado

gados , nos quais a energia potencial era maior que a energia

t a l pa r a g r and es va l o r es de x. Nes t a s eção , vamos cons i de r a

guns exempl os s i mpl es de e s t ados não- l i gados , i s t o é , de e

dos pa r a os qua i s E > V(x) q u a n d o x

—

» ± Ne sse t ipo de

b l e m a , (Pipix^dxr e ifÁx) t êm s i na i s opos t os nas r eg i ões em

E > V(x), e por t an t o , nes sas r eg i ões , ip(x) s e ap r ox i ma do

d o s x e não se torna inf ini ta para grandes valores de |x | . I sso

ni f ica que qu alquer valor de E é permi t ido. Funções de onda d

t i po não são nor ma l i záve i s , j á que ip(x) não t ende a ze r o q u

x ten de a + oo ou a

—

ao (

0

u a ambos ) e , em conseqüênc i a ,

J

\ip(x)\

2

dx ~>

<*>

Uma so l ução compl e t a do p r ob l ema cons i s t e na combi naçã

um númer o i n f i n i t o de ondas p l anas em um paco t e de onda

l a r gur a f i n i t a . E n t r e t an t o , pa r a nos sos p r opós i t os , bas t a obse

que a integral acima tem um valor f ini to ent re dois l imi tes

t rár ios atb, con t an t o que h — a < co. Fu nçõ es de onda d

t i po s ão encon t r adas com f r eqüênc i a no e spa l hament o de f e

de pa r t ícu l a s por po t enc i a i s , por i s so é comu m n or mal i zá - l a

t e r mos da dens i dade de pa r t í cu l a s do f e i xe , p . Ass i m,

J

b

liK*)l

2

dx

= j

pdx=

J*

dN

—

N

o n d e dN é o número de par t ículas no intervalo dxeNéo n ú

de part ículas no intervalo (b — a).

1 4

C om o vamos ve r , mesm o

caso em que a energia não é quant izada, o fa to de as soluçõe

equação de S chr õd i nge r ap r esen t a r em um compor t ament o o

la tór io leva a a lgumas conseqüências mui to interessantes .

Degrau de Potencial

C ons i de r e um a r eg i ão na qua l a ene r g i a po t enc i a l é desc r i t

uma f unção degr au ( F i g . 6 - 20) , de f i n i da da s egu i n t e f o r ma

V(x) = 0 pa r a x < 0

V(x) = V

0

para x > 0

E s t amos i n t e r e s sados no que acon t ece quando uma pa r t í cu

energia tota l E, que e s t e j a s e movendo da e sque r da pa r a a d

t a , encon t r a o degr au de po t enc i a l .




V(x)

Regi ão I

(x< 0 )

dhp(x)

dx

2

-k]<Kx)

(a)

Energia

V(x)

=

0

V(x)

=

V

0

0

I II

X

b)

\

J

V

o

I

Y y

n

X

Regi ão I I

on de kl =

C * > 0 )

y/2 mE

dhji(x)

dx

2

= -k

2

2

iKx)

6-62

k>

=

V 2 w ( £ - 1 '

0

)

F i g . 6 - 2 0

Degrau de potencial. Classicamente, uma partícula proveniente da es-

querda com uma energia total Emaior que l/

0

é sempre transmitida; a variação de

potencial em x = 0 simplesmente dá origem a uma força impulsiva que reduz a

velocidade da partícula. Uma onda proveniente da esquerda é parcialmente trans-

mitida e parcialmente refletida porque o comprimento de onda muda abruptamente

em x = 0.

A resposta c láss ica é s imples . Para x < O, a par t ícula es tá se

mov endo com um a ve l oc i dade v = ( 2E l m)

11 2

. E m . i = 0 , é subme-

t ida a um a força impu ls iva. Se a energia tota l E é menor que V

0

, a

par t ícula cont inua a se mo ver para a di re i ta , ma s com um a veloci -

dade menor , dada por v = [ 2 (E — V

0

)/m\"

2

. Este problema cláss i -

co cor r e sponde ao de um a bo l a de massa m que e s t á r o l ando e m

uma superf íc ie plana e encont ra uma rampa de a l tura v

0

= VJmg.

Se a energia c inét ica inic ia l da bola é menor que V

0

, a bola sobe

parcia lm ente a ladei ra e depo is rola de vol ta para a esquerda, ch e-

gando à supérf íc ie plana com uma velocidade igual à inic ia l . Se a

energ ia c inét ica inic ia l é ma ior que V

0

, a bola cheg a ao a l to da la-

dei ra e cont inua a rolar para a di re i ta com menor velocidade.

O r e su l t ado da mecân i ca quân t i ca é s eme l han t e ao r e su l t ado

c l á s s i co pa r a E < V

0

, mas bem d i f e r en t e pa r a E > V

0

, como na

F i g . 6-21 a . A equação de S chr õ d i nge r nas duas r eg i ões do e spa -

ço i nd i cadas na f i gur a é dada por

6-63

6-64

6 - 6 1

As so l uções ge r a i s das equações ac i ma são

Regi ão I

(x < 0) ifáx) = Ae

ik

>* + Be

ik

"

Regi ão I I

(x > 0 ) ip

n

(x) = Ce

ik2X

+ De'"™

P ar t i cu l a r i zando e s t a s so l uções pa r a o p r ob l ema que e s t amos

exam i nando , no qua l a s pa r t í cu l a s s e mo vem da e sque r da pa r a a

di re i ta , vem os que o pr imei ro term o da Eq. 6-63 representa o fe ixe

or i g i na l , j á qu e mul t i p l i cand o

Ae'

k

<*

pela par te temporal de

y

\'(x

t), e~

iM

,

ob t em os um a onda p l ana ( i s t o é , um f e i xe de pa r t í cu l a s

l i v r e s ) s e move ndo pa r a a d ir e i t a . O seg undo t e r mo,

Be ~

ik,x

,

re -

p r esen t a pa r t í cu l a s s e movendo pa r a a e sque r da na r eg i ão I . Na

E q . 6 - 64 ,

D

= 0 , j á que o s egund o t e r mo r epr esen t a pa r t í cu l a s s e

movendo i n i c i a l ment e da d i r e i t a pa r a a e sque r da na r eg i ão I I e

não ex i s t e nenhum a pa r t í cu l a nes t a si t uação . Ass i m, a cons t an t e

A

é conhec i da ( j á que o t e r mo

Ae '

k

<

x

,

c o m o v i m o s , p o d e s e r

nor ma l i zado em t e r mos da dens i dade de pa r t í cu l a s do f e i xe ) , a

c o n s t a n t e

D

é nula e os valores de

B

e C devem se r ca l cu l ados

de t a l f o r ma que a so l ução ge r a l s a t i s f aça a s cond i ções de con-

t o r no do p r ob l ema . P a r a de t e r mi na r os va l o r es de

B

e C, apl ica-

mos a cond i ção de con t i nu i dade à s f unções ip(x) e

dip/dx

em x =

0, exig ind o que i/>,(0) = ^„( 0) e

difa(0)/dx = dip

n

(0)/dx.

P a r a que

ijj seja cont ínu a em x = 0, é prec iso q ue

0, 0) =

A + B = MO) =

c

ou

A + B = C

A con t i nu i dade de dipldx em x = 0 impl ica em

k

l

A - k

x

B = k

2

C

6 - 6 5 a

6 - 6

5b

R eso l vendo o s i s t ema de E qs . 6 - 65 ( P r ob l ema 6 - 41) em t e r mos

de B e C, temos:

_ - k

2

_ £1/2 - (E - V

0

)

1 / 2

C = — —

1

— A =

2E

112

ki + k

2

E

m

+ (£ - V

0

)

1/2

6-67

As E qs . 6 - 66 e 6 - 67 pod em se r usadas pa r a ca l cu l a r a s ampl i t u -

des r e l a t i vas da onda r e f l e t i da e da onda t r ansm i t i da , r e spe c t i va -

ment e . T am bém é pos s í ve l de f i n i r os coe f i c i en t e s de r e f l exão ( R )

e t r ansmi s são (T ) como as i n t ens i dades r e l a t i vas dos f e i xes r e -

f l e t i do e t r ansmi t i do :

1 5

Fig . 6 -21

(a) Degrau de potencial. As partículas viajam da esquerda para a direita

com energia total

E> V

0

.(b)0

comp rimento de onda da onda incidente (região I)

é menor do que o da onda transmitida (região II). Como

k

2

< k

v

C

2

>

|d|

2

; entre-

tanto, 7"< 1.

=

w

=

n , - A -A

2

IAI

2

\ * i + k i )

T =

k

2

\C \

2

4 k,k

2

k,\A\

2

(*, + k

2

)

2

6 - 6 8

6-69




É fáci l mostrar (Problema 6-39) que

T + R = 1 6- 70

Entre as conseqüências do fato de as so luções da equação de

Schrõdinger apresentarem um compor tamento ondulatór io , po-

demos destacar as seguin tes :

1 . O coef icien te de ref lexão R não é nulo para E > V

0

. As-

s im, ao contrár io do que acontece no caso cláss ico , a lgu-

mas p ar t ícu las são r e f le t id as p e lo d eg r au d e p o ten c ia l

mesmo que tenham energ ia suf icien te para u l trapassá- lo .

( Es te f en ô men o é an á lo g o à r e f lex ão d e o n d as e le t r o -

magnéticas na in ter face de dois meios com índices de re-

f ração d iferentes . )

2. O valor de R depende da diferença entre /c, e k

2

, m as não

do s inal des ta d iferença; em outras palavras , o coef icien te

de ref lexão ser ia o mesmo se as par t ícu las es t ivessem se

movendo de uma região de potencial maior para uma re-

g ião de potencial menor .

C o m o k = p/h = 2ir/\, o co m p r imen to d e o n d a mu d a q u an d o

as par t ícu las passam pelo degrau . A pr imeira v is ta , a ampli tu-

de da onda transmitida dever ia ser necessar iamente menor que

a da onda incidente; lembre-se, porém, de que i/»p é proporcio-

nal à densidade de par t ícu las . Já que as par t ícu las se movem

mais len tamente na reg ião I I (k

2

< fc,), ip

n

\

2

pode ser maior que

W

2

, como na Fig . 6 .21b . A Fig . 6-22 mostra a var iação com o

tempo de um pacote de ondas incidente em um degrau de po-

tencial , para E > V

0

.

Vamos agora considerar o caso da Fig . 6-23 a, E < V

0

. Clas-

s icamente, esperam os que todas as par t ícu las sejam ref let idas em

x = 0 . No caso quântico , observa mos que k

2

na Eq. 6-64 agora é

um número imaginár io , já que £ < V

0

. Assim,

il%(x) = Ce

ik

*

x

= Ce

6-71

é u ma f u n ção ex p o n en c ia l real, o n d e a = V2 m( V

0

-E)/h.

(E sco lhe mo s a raiz po siti va par a que </>„ —> 0 quando x —>

Is to s ignif ica que o numerad or e o denom inador do lado d irei to

da Eq. 6-66 são complexos conjugados e por tan to B

1

= |A|

2

, R

= 1 e T = 0 . A Fig . 6-24 mostra a var iação de R e Tco m a r e la -

(a) Energia,

V(x)

=

\/

0

V(x) = 0

E

0 X

F i g . 6-23 (a) Degrau de potencial. As partículas viajam da esquerda para a direita

com energia total E < l/

0

. (b) A onda que penetra na região II é uma exponencia

decrescente; entretanto, o valor de R neste caso é igual a

1

e nenhuma energia é

transmitida.

ção E/ V

0

, o n d e E é a energ ia das par t ícu las e V

0

a altura do de

grau . Em concordância com o resu ltado cláss ico , para E/ V

0

< 1

todas as partículas são refletidas de volta para a região I . Entre-

tanto, outro resultado interessante da solução quântica é que nem

todas as par t ícu las são ref let idas no ponto x = 0 . Co mo </*,, é um

funç ão exponencia l decrescente, a densidade de par t ícu las na re

gião II é proporcional a

l

</>

n

l

2

=

I C I

2

í t

2

<" 6-72

A F ig . 6 - 2 3 b mo s t r a a f u n ção d e o n d a p ar a o caso em q u e E

< V

0

. A função de onda não se anula para x = 0 , mas sua am-

p l i tu d e d imin u i ex p o n en c ia lmen te , co mo n o caso d o p o ço d e

p o ten c ia l . A o n d a p en e t r a lig e i r amen te n a r eg ião c las s icam en -

te p r o ib id a ( x > 0 ) , mas em seg u id a é to ta lmen te r e f le t id a .

( Co m o f o i v i s to da Seção 6 - 3 , i s to n ão imp l ica em q u e p ar t í -

F i g .

6-22 Variação com o tempo de um pacote de ondas

unidimensional representando uma partícula incidente

em um degrau de potencial, para

E> V

0

.

A posição de

uma partícula clássica está indicada por um ponto. Ob-

serve que parte do pacote é transmitida e parte é refleti-

da. Os picos estreitos são causados pela descontinuidade

de l/(x) em x = 0.




5

E/V,

0

Altura do degrau

Fig . 6 -24

Coeficiente de reflexão R e coeficiente de transmissão 7"de um degrau de potencial V

0

em função da energia E(em unidades de l/,,).

cuias com energia c iné t ica negat iva se jam observadas ne ssa

região, já que observar uma par t ícula nessa região int roduz

uma indeterminação no momento que corresponde a uma ener-

g i a c iné ti c a mín ima ma io r que V

0

— E.) Es t a s i t uação é seme-

lhante à que ocorre no caso da ref lexão interna tota l na ót ica

c lássica .

Exemplo 6-6 Re f l exão em um Degrau com V„> E Um fe ixe

de elétrons de energia E = 0,1 V

0

inc ide em um degrau de poten-

cial V

0

= 2 eV. Este potencia l é da mesma ordem de grandeza

que a função de trabalho dos elétrons na superfície dos metais.

Faç a um gráf ico da prob abilida de relativa >J/\

2

de os elétrons

penet rarem no degrau a té uma distância* = 10

- 9

m, ou seja, o

equivalente a cinco diâmetros atômicos.

Solução

Para x > 0 , a funçã o de onda é dada pe la Eq. 6-71. De acordo

com a Eq. 6-67, tem os:

ICI

2

2(0,i v

0

y

2

= 0,4

6 8 1 0 x

( 1 0

1 0

m )

Tabe la 6 -2 Cálculo de

x(m)

— 2 ax

o

0,1 x 10- '°

1,0 X 1 0

1 0

2, 0 X 10 -

1 0

5, 0 X 10 "

10

10,0

X

1 0

1 0

0

0,137

1,374

2,748

6,869

13,74

0,40

0,349

0 101

0,026

0,001

= 0

Barreira de Potencial

Vam os agora considerar um d os potencia is mais interessantes da

mec ânica quântica, a barreira de potencial (Fig. 6-26 a), que pode

ser expressa da seguinte forma:

V(x)

pa raO <x< a

para 0 > x

x > a

6-73

(0,1V

0

)

1/ 2

+ (— 0,9V

0

)

1/2

onde tomamos jA:

2

= 1 . Ca l cu l ando — 2axp a ra vá r ios va lo re s

de x entre 0 e 10~

9

m, obtemos, com a = [2w(0,9 e V„)]"

2

M ,

as duas p r ime i ra s co lunas da Tabe l a 6 -2 . Ca l cu l ando e'

2ax

e

mul t i p l i c ando por jcj

2

= 0,4, obtemos |i/»)

2

, que ap arece na te r-

ce i ra coluna da Tabela 6-2 e está plotado na Fig. 6-25 em fun-

ção de x.

No caso c lássico, uma par t ícula que está se move ndo da esquer-

da para a direita na região I, com E > V

0

, cont inua a se mover

para a direita na região II, mas com menor ve loc idade; ao che-

gar à região

III,

recupera a ve loc idade inic ia l . Se a energia da

par t ícula é menor que V

0

, e la não consegue penet rar na região

II, mas é ref le t ida na f ronte i ra ent re as regiões I e II e passa a

se mover da di re i ta para a esquerd a na região I . No caso quân-

t ico, o comportamento das par t ículas é

muito

di ferente , tanto

para energias menores que V

n

quanto para energias m aiores que

V

0

Em p rimeiro lugar , vamos ver o que acontece quando um fe i -

xe de par t ículas, todas com a mesm a energia E < V

0

, incide em

uma barreira de potencial , viajando da esquerda para a direita

(Fig. 6-26). Por analogia com o caso do degrau de potencial , é

fácil ver que as soluções gerais da equação de onda são as se-

guintes:

4>i(x)

= Ae'

k,x

+ Be

ikíX

x < 0

i/í

n

(x) = Ce~°" + De"

0 < x < a

6-74

Fig . 6 -25

4>

m

(x) = Fe * + Ge ** x> a




Energia.nergia.

E

0

1

a x

II III

F i g . 6 - 2 6 (a) Barreira de potencial,

(b )

Penetração da barrei-

ra por uma onda com energia menor que a da barreira. Parte

da onda consegue atravessar a barreira, embora, classicamen-

te, a partícula não possa entrar na região 0 <

x< a,

na qual

a energia potencial é maior que a energia total.

o n d e k

x

= A l 2 m E / h e a = *j2m(V

0

- E)Ih. Obse rve que os

expoentes de </f„ são reais , en qu an to os exp oen tes de e i/>,„ são

imaginários. C om o as partículas do feixe original estão se move ndo

da esquerda para a direita , G = 0. O valor de A depende da in ten-

sidade do fe ixe or ig ina l e as constantes B, C, D e F podem ser

de te rminadas a t ravés das condições de contorno d o problema, i s to

é, exigind o que i/*e dipldx se j a m c o n t ín u as e m i = 0 e i = a. N ã o

vamos nos preocupar com os de ta lhes matemát icos; l imi ta remos

nossa d iscussão aos resul tados mais in te ressantes .

Como vimos no estudo do degrau de potenc ia l , no caso em

q u e E < V

0

, a ampl i tude da função de onda não ca i bruscamente

para zero na f ronte i ra das regiões I e I I, mas so fre um deca im ento

exponenc ia l . Ao chegar à f ronte i ra das regiões I I e I I I , a função

d e o n d a v o l t a a a p re se n t a r u m c o m p o r t a m e n to se n o id a l , c o m o

mostra a Fig . 6-26b. Is to s igni f ica que exis te uma probabi l idade

f in i ta de que a par t ícu la representada pe la função de onda se ja

encontrada do outro lado da barre i ra , embora c lassicamente não

te n h a e n e rg i a su f i c i e n t e p a ra u l t ra p a ssá - l a . Es t e f e n ô m e n o , c o -

n h e c i d o c o m o efeito túnel, ou tunelamento, é aná log o a um fe -

n ô m e n o ó t i c o d e n o m in a d o r e f l e x ã o in te rn a t o t al f ru s t r a d a (v e j a

a Fig . 6-27) . A probabi l idade de o tune lamento ocorre r em uma

dada s i tuação é expressa a t ravés do coef ic iente de t ransmissão .

O c o e f i c i e n t e d e t r a n sm issã o T da região I para a reg ião I I I é

dado pe la seguin te expressão (ve ja o Problema 6-62) :

_ \F\

2

_

~ \A\

2

~

1 +

s e n h

2

aa

M l - * )

Vo\ V j

F i g . 6 - 2 7

0 fenômeno ótico conhecido como reflexão interna total frustrada. Gra-

ças à presença do segundo prisma, parte da onda atravessa o espaço vazio, em-

bora o ângulo de incidência no primeiro prisma seja maior que o ângulo crítico.

Este efeito pode ser demonstrado com um laser e dois prismas de 45° feitos de

vidro ou com um feixe de microondas e dois prismas de 45° feitos de parafina.

6-75

Pa ra a a » 1 , a Eq . 6 -7 5 a ssu m e u m a fo rm a u m p o u c o m a i s

simples:

AV

\6 — ( \ — —

V

0

\ Vo

6-76

O M I C R O S C Ó P I O D E T U N E L A M E N T O N o microscópio de tu-

nelamento ( S T M

+

) , i n v e n ta d o n a d é c a d a d e 1 9 8 0 , o e sp a ç o

T>: inglês Scanning Tunnel ing Microscope, i s to é . Microscópio de Tunelamen-

to e Varredura. (N. do T.)

Fig . 6 -28 Diagrama esquemático mostrando a trajetória (linha tracejada) da agu-

lha de um microscópio de tunelamento ao longo da superfície de uma amostra,

enquanto sua altura é ajustada para que a corrente de tunelamento se mantenha

constante. Como a ponta da agulha é muito larga (linha cheia) em comparação

com os átomos, processos de fabricação especiais são usados para criar uma

miniponta de dimensões atômicas que permita observar até mesmo átomos iso-

lados.

Agulha

Miniponta




vazio entre uma amostra e uma agulha funciona como uma

barreira de potencial para os elétrons da superfície da amos-

tra. Uma t e n s ã o a p l i c a d a e n t r e a a g u l h a e a a m o s t r a f a z c o m

q u e o s e l é t r o n s a t r a v e s s e m o e s p a ç o v a z i o p o r t u n e l a m e n t o .

A c o r r e n t e d e t u n e l a m e n t o v a r i a c o n s i d e r a v e l m e n t e c o m a

d i s t â n c i a e n t r e a a g u l h a e a a m o s t r a . S e a d i s t â n c i a e n t r e a

a g u l h a e a a m o s t r a é a j u s t a d a d e m o d o a q u e a c o r r e n t e d e

t u n e l a m e n t o p e r m a n e ç a c o n s t a n t e , o s m o v i m e n t o s v e r t i c ai s

d a a g u l h a r e p r o d u z e m a t o p o g r a f i a d a s u p e r f í c i e d a a m o s t r a .

D e s t a f o r m a , é p o s s í v e l e s t u d a r a s u p e r f í c i e d e u m a a m o s t r a

c o m r e s o l u ç ã o a t ô m i c a .

• Seção Exploratória

Decaimento Alfa

O efei to túnel foi usado por Gamow, Condon e Gurney em 1928 para

exp l ica r a enorme var iação da v ida média para o deca imento a dos

n ú c l e o s r a d i o a t i v o s e a e x i s t ê n c i a a t é c e r t o p o n t o p a r a d o x a l d o

deca imento a .

16

No decaimento a, que será analisado com mais deta-

lhes no Cap. 11, quanto menor a energia da part ícula a emit ida, maior

a vida média. A energia das part ículas a emit idas pelos átomos radioa-

t ivos var ia de 4 a 7 MeV, enquan to as meias -v idas cor respondentes

variam de IO

10

anos a 10~

6

s . Gamow representou o núcleo radioativo

por um po ço de potencial no inter ior do qual se encontra a part ícula a

(Fig. 6-29 a ) . Para r menor que o raio atômico R. a part ícula a é atraída

pela força nuclear . Como não conheciam prat icamente nada a respeito

des ta fo rça , Gamo w e co laboradores a represen ta ram por um p oço qu a-

drado. Do lado de fora do núcleo, a part ícula a é repelida pela força de

C o u l o m b . E s t a r e p u l s ã o é r e p r e s e n t a d a p e l a e n e r g i a p o t e n c i a l d e

C o u l o m b +kZze

2

/r, o n d e z = 2 para a part ícula aeZeé a carga residu-

a l do núcleo. A energia total E é igual à energia cinética da partícula a

emitida, já que sua energia potencial se reduz praticamente a zero

a

uma

curta distância do núcleo. Podemos ver na Fig. 6-29 que o aumento de

E reduz a al tura da barreira, V — E, e também a sua largura. Como a

probabil idade de transmissão varia exponencialmente com a largura e

a raiz quadrada da largura da barreira (Eq. 6-76), um pequeno aumento

de E leva a um grande aumento da probabil idade de transmissão e por-

tan to a uma grande redução da v ida média . A par t i r des te mode lo ,

Gamow e colaboradores conseguiram chegar a uma expressão para a

taxa de decaimento a dos núcleos radioativos em função da energia

cinética das part ículas emit idas que concordava muito bem com os re-

sultados experimentais . O raciocínio que eles usaram será apresentado

a seguir.

A probabil idade de que uma part ícula a atravesse a barreira por

tune lame nto em um a ún ica t en ta t iva é dada pe la Eq . 6 -76 . Na maior ia

dos casos , o va lo r do p roduto aa é tão grande que a expressão se re-

duz a

„-2^/2míVo-E)a/h

6-77

O va lor dado pe la Eq . 6 -77 é um número mui to pequeno , ou se ja , é

extremamente provável que a part ícula a seja ref let ida. O número de

vezes N por segundo que a part ícula a se aproxima da barreira é dado

aprox imadamente por

v

iV« —

2R

6-78

onde v é a velocidade da part ícula no interior do núcleo. Assim, a taxa

de decaimento, is to é , a probabil idade por unidade de tempo de que o

núcleo emita uma part ícula a , que também é igual ao inverso da vida

média r , é dada por

T a x a d e d e c a i m e n t o = -

2R

6-79

A Fig. 6-29b i lustra a boa concordância entre os resultados teóricos

obtidos a part ir do modelo de Gamow e dos dados experimentais .

(a)

V(r)

R r,

(b)

10

6

10°

1 0 "

1 0 "

1 0 "

1 0 "

p

0

2 1 2

0,3

• U

238

_L

0,4

E ~

1/ 2

( M e V "

1/ 2

)

0,5

Fig. 6-29

(a) Modelo da função energia potencial para uma partícula a dentro e fora de um núcleo atômico. No interior do núcleo (isto é, para r< R), a interação

nuclear forte pode ser descrita aproximadamente por um poço de potencial. Do lado de fora do núcleo, a interação nuclear forte é insignificante e o potencial pode ser

descrito pela lei de Coulomb, V(i) = +kZze

í

lr, onde Z eé a carga residual do núcleo e ze é a carga da partícula a. No interior do núcleo, a partícula a oscila de um lado

para o outro e é refletida repetidamente pela barreira de potencial. De acordo com a mecânica quântica, cada vez que a partícula a se choca com a barreira existe uma

pequena probabilidade de conseguir atravessá-la e aparecer do lado de fora do núcleo em r= r

v

A função de onda é semelhante à que aparece na Fig. 6-266. (6) Taxa

de decaimento para a emissão de partículas a por vários núcleos radioativos em função da energia das partículas emitidas. A reta representa a previsão teórica (Eq.

6-79); os pontos são resultados experimentais.




(a ) xk b)

b)

V x)

\

t

/

E

2

0

^ m

X

Fig. 6-30 a) A molécula de NH

3

oscila entre as duas posições de equilíbrio

indicadas na figura. As três moléculas de H formam um plano; o átomo de N pode

estar acima ou abaixo deste plano. (b) Energia potencial do átomo de N em fun-

ção da distância em relação ao plano formado pelos átomos de H. Algumas ener-

gias permitidas, incluindo as energias do estado fundamental

e

do primeiro esta-

do excitado, ficam abaixo da barreira central, mas mesmo assim o átomo de N é

capaz de atravessá-la por tunelamento.

Seção Exploratória

O Relógio Atôm ico de NH

3

O efeito túnel também desempenha um papel importante na inversão

periódica das moléculas de amónia. A molécula de NH, possui duas

configurações de equilíbrio (Fig. 6-30a). Os três átomos de hidrogênio

estão no mesmo plano; o átomo de nitrogênio oscila entre duas posi-

ções de equilíbrio, de um lado e do outro do plano formado pelos áto-

mos de hidrogênio. A funçã o energia potencial V(x) a que o átomo de N

está sujeito possui dois mínimos dispostos simetricamente em relação

ao plano (Fig. 6-30è). Como o átomo de nitrogênio está l igado à molé-

cula. sua energia é quantizada; os níveis de menor energia estão muito

abaixo do máximo central do potencial . O máximo central consti tui

portanto uma barreira para os átomos de N que se encontram nos níveis

de menor energia. Classicamente, esta barreira seria intransponível;

graças ao efeito túnel, porém, existe uma probabilidade finita de que

ela seja atravessada pelos átomos de N. O resultado final é que os áto-

mos de N oscilam lentamente de um lado para o outro do plano forma-

do pelos átomos de H.

17

A freqüência de oscilação é igual a 2,3786 X

IO

10

Hz quando o átomo de nitrogênio se encontra no estado caracteri-

zado pela energia £, da

Fig. 6-30i>.

Esta freqüên cia é relativamente baixa

em com paração com a da maioria das vibrações moleculares, um fato

que permitiu que a freqüência de tunelamento do átomo de N na molé-

cula de NH, fosse usada como padrão nos primeiros relógios atômicos,

dispositivos que são usados hoje em dia para medir o tempo com extre-

ma precisão.

Fig.

6 31

Densidade de probabilidade para um pacote de ondas incidindo em dua

barreiras. As duas barreiras têm uma altura l/

0

e a energia das partículas é F<

Como em cada choque parte do pacote é transmitida e parte é refletida, uma pa

do pacote fica retida entre as duas barreiras. Os picos estreitos são causados pel

descontinuidades do potencial.

o p e r a ç ã o d e d i s p o s i t i v o s c o m o o d i o d o t ú n e l e a j u n ç ã o d

J o s e p h s o n .

C omo se r i a de s e e spe r a r , t ambém ex i s t e a p r obab i l i dade d

que um elé t ron proveniente do exter ior consiga a t ravessar as dua

ba r r e i r a s , como mos t r a a F i g . 6 - 31 . A r eg i ão en t r e a s ba r r e i r a

pode s e r cons i de r ada como um poço de po t enc i a l ; a d i f e r enç

es t á no f a t o de que , ao con t r á r i o do que aco n t ece no ca so do p oç

de po t enc i a l r ep r esen t ado na F i g . 6 - 8 , a s pa r edes do po ço p os su

em uma l a r gur a f i n i t a . C omo nos casos e s t udados an t e r i o r men

t e , a so l ução da equaçã o de S chr õd i nge r l eva a um a qu an t i zaçã

da energia na região ent re as duas bar re i ras . I s to leva a um resul

t ado mui t o i n t e r e s san t e : s e a ve l oc i dade v de um elé t ron que s

apr ox i ma do poço é t a l que sua ene r g i a c i né t i ca E

k

é igual a um

dos n í ve i s de ene r g i a pe r mi t i dos no i n t e r i o r do poço ,

E„,

a largu

r a do poço é i gua l a um múl t i p l o i n t e i r o de me t ade do compr i

ment o de onda do e l é t r on :

Leitura Suplementar*

O Diodo Túnel

U m a v a r i a ç ã o d o p r o b l e m a d o t u n e l a m e n t o c o n s i st e e m c o n -

s i de r a r duas ba r r e i r a s de po t enc i a l s epa r adas por uma d i s t ânc i a

L, c om o na F i g . 6 - 31 . Uma pa r t í cu l a que s e encon t r e i n i c i a l ment e

na região ent re as duas bar re i ras osci la de um lado para out ro,

i nc i d i ndo pe r i od i cament e nas ba r r e i r a s . C ada vez que a pa r t í cu -

l a i nc i de em uma das ba r r e i r a s , ex i s t e um a p r obab i l i dade peque-

na mas f i n i t a de que cons i ga a t r aves sá - l a po r tune l am ent o . E s t e

comp or t amen t o é r e sponsáve l por vá r i os f enôme nos f í s i cos e pe l a

* O texto or ig inal em inglês des ta l e i tura suplementar es tá d i sponível na home

p ag e w h f r eem an .co m / p h y s i c s . N. do T.)

Micrografia eletrônica de um conjunto de diodos túnel fabricado por Gerhar

Sollner e colaboradores no MIT Lincoln Laboratory. Cada diodo tem 8 ^m de la

gura. Camadas de semicondutor com uma espessura da ordem de nanômetro

formam um poço quântico em cada diodo. Os diodos foram usados para gera

uma freqüência de 720 GHz, o que constitui um recorde para osciladores sem

condutores. 1Cortesia de Gerhard Sollner, MIT Lincoln Laboratory.]



A Equação de Schrõdi nger 1 7 9

L =

n ^ n h ^ n h

= =

n h

= 6

_

8 0

2 2 p 2y[2mÊ

k

2j2mÊ

n

I s t o s i gn i f i ca que a s ond as r e f l e t i das nas pa r ed es do poç o i n t e r -

f e r em cons t r u t i vament e e em conseqüênc i a a p r obab i l i dade de o

elé t ron a t ravessar as duas ba r r e i r a s pode chega r a 100%, embo-

r a a p r obab i l i dade de que e l e a t r aves se uma das ba r r e i r a s s e j a

m e n o r q u e 1 % ( U m f e n ô m e n o ó t i c o a n á l o g o é o b s e r v a d o n o

i n t e r f e r ômet r o de F abr y- P e r o t . ) E s t a transmissão ressonante para

ce r t a s ene r g i a s l evou à c r i ação do diodo túnel ressonante por

E sak i , C hang e T su . '

8

E s t e d i spos i t i vo pode s e r usado em vá r i a s

a p l i c a ç õ e s i m p o r t a n t e s . O s d i o d o s t ú n e l q u e a p a r e c e m n a

mi c r ogr a f i a ao l ado , por exempl o , f o r am usados pa r a ge r a r uma

f r eqüênc i a de 720 GHz , o que cons t i t u i um r ecor de pa r a osc i l a -

dor es s emi condu t or es .

6 - 7 A E q u a ç ã o d e S c h r õ d i n g e r p a r a

D u a s ( o u M a i s ) P a r t í c u l a s

Nossas d i s cus sões de s i s t emas quân t i cos s e l i mi t a r am a t é ago-

r a a s i t uações nas qua i s uma ún i ca pa r t í cu l a e s t ava su j e i t a a um

c a m p o d e f o r ç a d e s c r i t o p o r u m a e n e r g i a p o t e n c i a l V. O p r o -

b l ema f í s i co ma i s i mpor t an t e des t e t i po é o do á t omo de h i d r o -

gên i o , no qua l um e l é t r on e s t á su j e i t o ao campo e l é t r i co p r o -

d u z i d o p o r u m p r ó t o n . E s t e p r o b l e m a , q u e s e r á a n a l i s a d o c o m

d e t a l h e s n o p r ó x i m o c a p í t u l o , é n a v e r d a d e u m p r o b l e m a d e

d o i s c o r p o s , p o i s o p r ó t o n t a m b é m e s t á s u j e i t o a o c a m p o e l é -

t r i c o p r o d u z i d o p e l o e l é t r o n . E n t r e t a n t o , c o m o n a m e c â n i c a

c l á s s i c a , p o d e m o s t r a t á - l o c o m o u m p r o b l e m a d e u m ú n i c o

c o r p o s u p o n d o q u e o p r ó t o n s e e n c o n t r a e m r e p o u s o e s u b s t i -

t u i n d o a m a s s a r e a l d o e l é t r o n p o r u m a m a s s a r e d u z i d a . N o

c a s o d e o u t r o s á t o m o s m a i s c o m p l e x o s , t e m o s q u e a p l i c a r o s

m é t o d o s d a m e c â n i c a q u â n t i c a a u m s i s t e m a c o n s t i t u í d o p o r

do i s ou ma i s e l é t r ons su j e i t os ao campo e l é t r i co p r oduz i do pe l o

núc l eo . E s t e p r ob l ema é compl i cado pe l a i n t e r ação dos e l é t r ons

en t r e s i e t ambém pe l o f a t o de que t odos os e l é t r ons s ão i dên-

t icos .

A i n t e r ação dos e l é t r ons é de na t u r eza e l e t r om agné t i ca e não

d i f e r e mui t o da i n t e r ação c l á s s i ca en t r e pa r t í cu l a s do t adas de

ca r ga e l é t r i ca . A equação de S chr õd i nge r pa r a um á t omo com

dois ou mais e lé t rons não tem solução anal í t i ca e deve ser resol -

v i d a p o r m é t o d o s d e a p r o x i m a ç ã o , m a s i s s o t a m b é m é c o m u m

nos p r ob l emas c l á s s i cos que envo l vem t r ê s ou ma i s pa r t í cu l a s .

A compl i cação causada pe l a i den t i dade dos e l é t r ons , por ou t r o

l ado , é uma pecu l i a r i dad e da mecân i ca quân t i ca pa r a a qua l n ão

ex i s t e equ i va l en t e na mecân i ca c l á s s i ca .

O f a t o de s e r i mpos s í ve l d i s t i ngu i r pa r t í cu l a s do me sm o t i po

t em i mpor t an t e s conseqüê nc i a s na mecân i c a quân t i ca , en t r e e l a s

o p r i nc í p i o de exc l usão de P au l i . Nes t a s eção , vamos i l us t r a r a

or igem des te pr incípio considerando o caso mui to s imples de duas

pa r t í cu l a s i dên t i cas em um poço quadr ado i n f i n i t o . O p r i nc í p i o

d e e x c l u s ã o s e r á d e f i n i d o f o r m a l m e n t e n o p r ó x i m o c a p í t u l o ,

depo i s que i n t r oduz i r mos o conce i t o de sp i n .

A equação de S chr õd i nge r i ndependen t e do t empo pa r a duas

pa r t í cu l a s i dên t i cas de massa m é

fi

2

d ^ x ^ x j ) fi

2

d

2

ip(x

u

x

2

)

onde x , e x

2

s ão a s coor denadas das duas pa r t í cu l a s . S e a s pa r t í -

cu l a s e s t ão i n t e r ag i ndo , a ene r g i a po t enc i a l V con t ém t e r mos que

e n v o l v e m x , e x

2

e nor ma l ment e não podem se r s epa r ados . As -

s i m, por exemp\ o , s e a s duas pa r t í cu l a s pos suem ca r ga e l é t r i ca ,

a energia potencial e le t ros tá t ica mútua (em uma dimensão) é dada

p o r +ke

2

/| x, - x , . S e a s duas pa r t í cu l a s não i n t e r agem , por ém,

p o d e m o s e s c r e v e r V na forma V|(x, ) 4- V

2

(x

2

). No caso de um

poço de po t enc i a l quadr ad o i n f i n i t o , p r ec i s amo s r e so l ve r a equa -

ção de S chr õd i nge r apenas no i n t e r i o r do poço , onde V = 0, e

ex i g i r que a f unção de onda s e anu l e nas pa r edes do poço . As

so l uções da E q . 6 - 81 podem se r e sc r i t a s em t e r mos de p r odu t os

de so l uções que envo l ve m ape nas um a das pa r t í cu l a s . E s ses p r o -

du t os s ão da f o r ma

^nm(Xl, X

2

) = tA* (* i

(*2

) 6-8 2

onde i /z/x,) e (

J

j

2

(x

2

) s ão a s so l uções pa r a uma pa r t í cu l a i so l ada

em um poço quadr ado i n f i n i t o ( E q . 6 - 32) . Ass i m, por exempl o ,

p a r a n = 1 e m = 2, t emos:

TTX, 2 TTX

2

(An = C sen —— sen — y —

6 - 8 3

A p r o b a b i l i d a d e d e e n c o n t r a r m o s a p a r t í c u l a 1 n o i n t e r v a l o

dx

x

e a pa r t í cu l a 2 no i n t e r va l o dx

2

é t j t

2

) |

2

d x , d x

2

» q u e a p a -

r e n t e m e n t e s e r i a s i m p l e s m e n t e o p r o d u t o d a s p r o b a b i l i d a d e s

i n d i v i d u a i s

]

ijf(x

l

)

2

dx

l

e IKX

2

)

2

dx

2

. E n t r e t a n t o , e m b o r a t e -

n h a m o s r o t u l a d o a s p a r t í c u l a s a t r a v é s d o s í n d i c e s 1 e 2 , n ã o

p o d e m o s s a b e r q u a l d e l a s e s t á n o i n t e r v a l o dx

l

e qua l e s t á no

i n t e r v a l o dx

2

. N o c a s o d e p a r t í c u l a s i d ê n t i c a s , p o r t a n t o , d e -

v e m o s e n c o n t r a r u m a f u n ç ã o d e o n d a t a l q u e a d e n s i d a d e d e

p r o b a b i l i d a d e c o n t i n u e a m e s m a s e i n t e r c a m b i a r m o s o s í n -

d i c e s :

Ii KX

1(

x

2

)I

2

= ltAU

2

>*i)l

2

6-84

P ar a que a E q . 6 - 8 4 se j a ve r dade i r a , é p r ec i so que a f unçã o i /<x„

x

2

) se ja s imét r ica ou ant i - s imét r ica em relação à t roca das par t í -

culas , i s to é , que

<AU

2

,Xj) = +<l/(x

1

,x

2

)

<l'(x

2

, xi) = -

1

p(Xi ,X

2

)

s imét r ica

ant i - s imet r ica

2 m

dxj

2 m dxl

+ V ^ ( x

u

x

2

) = 6 - 8 1

= Eij/(x

1

,x

2

)

O b s e r v e q u e a f u n ç ã o d e o n d a g e n é r i c a d a E q . 6 - 8 2 e o e x e m -

p l o d a E q . 6 - 8 3 n ã o s ã o s i m é t r i c o s n e m a n t i - s i m é t r i c o s ; a o

i n t e r c a m b i a r m o s X e x

2

, o b t e m o s u m a f u n ç ã o d e o n d a d i f e r e n -

t e , o que equ i va l e a d i ze r que é pos s í ve l d i s t i ngu i r a s duas pa r -

t í cu l a s . Ass i m, e s sas f unções de onda não são c o m p a t í v e i s c o m

o pr i nc í p i o de que a s pa r t í cu l a s não pod em se r d i s t i ngu i das . E n-

t r e ta n t o , e x i s t e m d u a s c o m b i n a ç õ e s l i n e a r e s d e p r o d u t o s c o m o

o s d a E q . 6 - 8 2 q u e f o r m a m u m a f u n ç ã o s i m é t r i c a e u m a f u n -

ção an t i - s i mé t r i ca , e por t an t o , a l ém de cons t i t u í r em so l uções

da equação de S chr õd i nge r pa r a duas pa r t í cu l a s , E q . 6 - 81 ( l em-

b r e - s e d e q u e s e d u a s f u n ç õ e s s ã o s o l u ç õ e s d a e q u a ç ã o d e

S c h r õ d i n g e r , q u a l q u e r c o m b i n a ç ã o l i n e a r d e s s a s f u n ç õ e s t a m -

b é m é u m a s o l u ç ã o ) , t a m b é m r e s p e i t a m o p r i n c í p i o d e

i nd i s t i ngu i b i l i dade :

<As- = C ['/ '„ (* i )il'

m

{x

2

) + i W x z j i AJ x i ) ] s i mé t ri ca

<I>a = C[i>„(Xi)</U*2) ~ 2)<l>m(Xi)] ant i - s imét r ica

E x i s t e u m a i m p o r t a n t e d i f e r e n ç a e n t r e a s f u n ç õ e s s i m é t r i c a s e

as f unções an t i - s i mé t r i cas : a s f unções de onda an t i - s i mé t r i cas

s e a n u l a m p a r a n = m, o que não acon t ece com as f unções s i -

m é t r i c a s . O b s e r v a - s e e x p e r i m e n t a l m e n t e q u e a s f u n ç õ e s d e

onda dos e l é t r ons ( e de mui t a s ou t r a s pa r t í cu l a s , en t r e e l a s os



1 8 0 A Equação de Schrõd inger

pr ó t ons e os nêu t r ons ) s ão s empr e an t i - s i mé t r i cas . Ass i m, a s

f un çõe s de ond a das pa r t í cu l a s i nd i v i dua i s , co mo i p j x ^ e i//,„ (x

2

)

n ã o p o d e m t e r o s m e s m o s n ú m e r o s q u â n t i c o s , c a s o c o n t r á r i o a

f unção de onda t o t a l s e anu l a r i a . E s t e é um exempl o do princí-

pio de exclusão de Pauli, q u e s e r á d i s c u t i d o c o m m a i o r p r o -

f u n d i d a d e n o C a p . 7 . ( N o c a s o d o s e l é t r o n s d e u m m e s m o á t o -

mo, o e s t ado de cada á t omo pode se r desc r i t o por qua t r o nú-

m e r o s q u â n t i c o s , u m p a r a c a d a c o o r d e n a d a e s p a c i a l e u m a s -

soc i ado ao sp i n . ) De acor do com o p r i nc í p i o de exc l usão de

P a u l i , d o i s e l é t r o n s d e u m m e s m o á t o m o n ã o p o d e m t e r o s

q u a t r o n ú m e r o s q u â n t i c o s i g u a i s . O u t r a s p a r t í c u l a s , c o m o a s

p a r t í c u l a s a , o s d ê u t e r o n s , o s f ó t o n s e o s m é s o n s , p o s s u e m

f unções de onda s i mé t r i cas e não e s t ão su j e i t a s ao p r i nc í p i o de

exc l usão de P au l i .

SUMÁRIO

Tópico

Equações e comentár ios

1. Equação de Schrõdinger

Dependente do tempo, em uma dimensão

Independente do tempo, em uma dimensão

Condição de normalização

Condições de aceitabilidade

2. Poço quadrad o infinito

Energias permitidas

Funções de onda

h

2

d

2y

V(x,t) ,, JW(x ,t)

- - — ~ ~ + v(x,tmx ,t) = ih : "

2m dx

2

dt

h

2

d

2

ili(x)

2m dx

2

+ V(x)4i(x)

=

E4

'(X)

f :

e

/:

V*(x,t)V(x,t) dx = 1

kIi*(x)4i(x

) dx = 1

1. tpix)

e

dip/dx devem ser contínuas.

2. tjÁx) e dip/dx devem ser finitas.

3.

ip(x)

e dip/dx devem ser unívocas.

4. ip

—>

0 quando x —» ±

7r%

2

2mL>

n = 1, 2, 3, . . .

[2 nnx

tp„(x) =

A

/ - se n - y - n = 1, 2, 3,

6-6

6 - 1 8

6-9

6-20

6-24

6-32

3. Poço quadrado finito

4. Valores esperados e operado res

5. Oscilador harmônico simples

Energias permitidas

6. Reflexão e transmissão

As energias permitidas em um poço finito são menores que as energias

correspondentes em um poço qu adrado infinito de mesma largura. Todo poço

finito possui pelo menos um estado ligado, ao qual está associada uma energia

permitida.

O valor esperado ou valor médio de uma grandeza física representada p or um

operador, como por exemplo o operador momento p ,

v

, é dado por

E„=(n + {)h(ú n = 0 , 1, 2, . . .

^ dx

6-48

6-56

Quando o pontencial varia bruscamente em uma distância pequena em comparação

com o com primento de onda de uma part ícula, a part ícula pode ser refletida mesm o

qu e E > V(x). Uma part ícula também pode penetrar em uma região na qual E < V(x).






tam bém oscila no sentido oposto ao do átom o de N. Na verdade,

como a massa dos átomos de h idrogênio é muito menor que a

dos átomos de n i trogênio , a amp li tude do movim ento do p lano é

maior que a do movimento do átomo de n i trogênio . Entretan to ,

é o movimento relat ivo que é impor tan te.

18. V e j a , p o r e x e m p l o , F . C a p a s s o e S . D a t t a , " Q u a n t u m

E l e c t r o n D e v i c e s " , Physics Today, 43 , 7 4 ( 1 9 9 0 ) . Leo Esak i

r e c e b e u o p r ê m i o N o b e l d e f í s i c a d e 1 9 7 3 ( j u n t a m e n t e c o m

I v ar G iav er e Br ian D . Jo sep h so n ) p e la in v en ção d o d io d o

tú n e l .

P R O B L E M A S

Nível I

Seçã o 6 -1 A Equa çã o de Schrõ d ing er em Uma Dimensã o

6-1 . Mostre que a funçã o de onda t) = Ae

(kx

~

M)

não sat is faz

a equação de Schrõdinger dependente do tempo.

6 - 2 . M o s tr e q u e a f u n ção ^ ( x , t) = Ae'

ikx

"

M)

satisfaz tanto a equa-

ção de Schrõdinger dependente do tempo quanto a equação de

onda cláss ica (Eq. 6-1) .

6-3 . Em uma região do espaço , uma par t ícu la possui uma fun-

ção de onda dada por ip(x) = Ae'"

2n ü

e uma energ ia dada por

h

2

/2mL

2

, o n d e L é u m co mp r imen to , (a ) Determine a energ ia

potencial em fu nçã o de x e faça um grá f ico de V em f u n ção d e x.

(b) Que t ipo de potencial c láss ico tem esta forma?

6 - 4 . (a) Dete rmine a energ ia cinét ica em funç ão de x para a par -

t ícu la do Problema 6 -3 . (b ) Mos tre que x = L é o ponto de retor-

no cláss ico , (c) A energ ia potencial de um oscilador harmô nico

simples é dada por V(x) = morx

2

/2 , onde u> é a f reqüê ncia ang u-

lar do osci lador . Compare es te valor com o encontrado no i tem

(a) do Problema 6-3 e mostre que a energ ia to tal para es ta fun-

ção de onda pode ser escr i ta na forma E = hw/2.

6-5 . (a) Mostre que a função de onda t) = A sen(fcc — cot)

não satisfaz a equaçã o de Schrõdinger depend ente do temp o. (b )

Mostre que ^(x , í ) = A co s (kx - wt) + iA sen(fct - cot) sat is faz

a equação de Schrõdinger dependente do tempo.

6-6 . A função de onda de um elétron l ivre, ou seja , um elétron

que não es tá su jei to a nenhuma força, é dada por ip(x) = A sen(2,5

X 10 '°x) , onde x es tá em metros . Determine (a ) o mo men to d o

elétron; (b) a energ ia to tal do elétron; (c) o comp rimen to de on da

do elétron.

6-7 . Uma par t ícu la de massa m e energ ia to tal zero se encontra

em uma região do espaço na qual sua função de onda é ip(x) =

Ce~'

2/L

. (a) Determine a energ ia potencial V da par t ícu la em

função de x ; (b ) faça um gráf ico de V(x) em função de x .

Seçã o 6 -2 O Po ço Q ua dra do In f in i to

6-8 . Uma par t ícu la se encontra em um poço quadrado inf in i to

de largura L. Calcule a energ ia do es tado fundamental

(a)

se a

par t ícu la é um pró ton e L = 0 ,1 nm, o tamanho aproximado de

u ma mo lécu la ; (b) se a partíc ula é um próto n e L = 1 fm , o ta-

manho aproximado de um núcleo .

6-9 . Uma par t ícu la se encontra no es tado fundamental em um

p ço quadrado inf in i to cu jo potencial é dado pela Eq. 6-21 . De-

termine a probabil idade de a par t ícu la ser encontrada no in ter -

valo Ar = 0 .002L em

(a) x

= L/2;

(b) x =

2L/3; (c) x = L. (Como

A é muito pequeno, não é necessár io executar nenhum a in te-

gração . )

6-10 . Repita o Problema 6-9 para o caso de uma par t ícu la no

-

- . • d e s ta d o e x c it a do (n = 3) em um potencial quadrado in-

fiuo

6 - 1 1 . Um co r p o co m u ma massa d e I O"

6

g es tá se mo v en d o

co m u ma v e lo c id ad e d e 1 0 "

1

cm/s em u m a ca ix a d e 1 cm d e

co mp r imen to . Co n s id er an d o a ca ix a co mo u m p o ço u n id imen -

s io n a l q u ad r ad o in f in i to , ca lcu le o v a lo r ap r o x imad o d o n ú -

m e r o q u â n t i c o n d o es tad o em q u e se en co n t r a a p a r t ícu la .

6-12. (a) D etermine os valores de Ax e Ap para o corpo do Pro-

b lema 6-11 , supondo que Ax/L = 0 ,01% e A p / p = 0 ,0 1 %. (b)

Qual é o valor de Ax Ap/hl

6 -1 3 . U ma p ar t ícu la d e massa m es tá co n f in ad a em u m tu b o d e

c o m p r i m e n t o L . (a) Use a relação de indeterminação para es t i-

mar a menor energ ia poss ível do s is tema,

(b)

Su p o n h a q u e n ão

exis ta nenhuma força no in ter ior do tubo e que a par t ícu la so-

f ra choques elás t icos com as paredes das ex tremidades do tubo .

Use a eq u ação d e Sch r õ d in g er p a r a d e te r min ar a en er g ia d o

es tad o f u n d am en ta l d a p ar t ícu la . Co mp ar e a r esp o s ta co m a d o

item (a).

6 -1 4 . (a) Qual é o comprimento de onda da par t ícu la do Proble-

ma 6 - 1 3 n o es tad o f u n d amen ta l? (b ) Qual é o comprimento de

onda da par t ícu la no segundo es tado excitado (n = 3)? (c) Use a

relação de de Broglie para determinar o módulo do momento da

p ar t ícu la n o es tad o f u n d amen ta l , (d) Mostre que a energ ia da

par t ícu la no es tado fundamental é igual a p

2

/2m.

6 - 1 5 . 0 c omprim ento de onda da luz emit ida por um laser de rubi

é 694,3 nm. Supondo que a emissão de um fó ton deste compri-

mento de onda es teja associada à t ransição de um elétron do n í-

vel « = 2 para o n ível n = 1 de um poço quadrado inf in i to , de-

termine a largura L do poço .

6 -1 6 . Suponha que uma conta macroscópica com uma massa de

2 ,0 g es teja pendurada e m um f io sem atr i to no qual ex is tem dois

batentes a 10 cm de distância um do outro. Se a conta estiver se

movendo com uma velocidade de 20 nm/ano ( is to é , uma velo-

cidade ex trem ame nte pequen a) , qual será o valor do seu núm ero

quântico?

6 -1 7 . Um elétron se encontra no es tado n = 5 de um poç o unid i-

mensional quadrado inf in i to , (a ) Mostre que a probabil idade de

enco ntrar o elétron na região entre os pont os x = 0,2 L e x = 0,4L

é 1 /5. (b) Calcule a probabil idade de encontrar o elétron no "vo-

lume" Ar = 0 ,01L em torno do ponto x = L/2 .

6 -1 8 .

No s pr imórdios da f ís ic a nuclear , an tes que o nêutron fos-

se descober to , acreditava-se que o núcleo fosse const i tu ído por

elétrons e pró tons . Consideran do o núcleo como um poço unid i-

mensional q uadrado inf in i to com L = 10 fm e ignorando efei to s

relat iv ís t icos , calcu le a energ ia do es tado fundamental (a) para

um elétron e (b) para um pró ton no in ter ior do núcleo , (c) Deter -

mine a d iferença de energ ia en tre o es tado fundamental e o pr i-

meiro es tad o excitado de cada par t ícu la. (As d iferenç as en tre os

n íveis de energ ia dos núcleos são da ordem de 1 Me V.)

6 -1 9 . Um elétron se encontra no es tado fundam ental de um poço

unid im ensional inf in i to de largura L = 10"

10

m. Calcule a força

que o elétron exerce ao se chocar com uma da s paredes do poço .

(Sugestão: F = —dEJdL. Por quê?) Com o esta força se compa-

ra com o peso de um elétron na superf ície da Terra?




Energia,

v

2

V

2

v=o

0

X

Fig . 6 -32

Seção 6 -3 O P oço Quadrado F in i to

6 - 2 0 . F a ç a u m g r á f i c o

(a )

da função de onda e

(b )

da dis t r ibui-

ção de p roba b i l idade p a ra o e s t ado

n =

4 do poço quadrado f i -

nito.

6-21 . Rep i t a o Prob lem 6-20 pa ra o e s t ado

n

= 5.

6 - 2 2 .

Um e lé t ron e s tá conf inado em um poço quadrado f in i to

cujas paredes têm 8,0 eV de a l tura . Se a energia do es tado fun-

damental é 0 ,5 eV, es t ime a largura do poço.

6-23 . Levan do em conta caracter ís t icas com o a curvatura , o com-

pr imen to de onda e a ampl i tude , faça um grá f i co da função de

onda associada a uma part ícula de energia

E

no poço de poten-

c ia l f ini to que aparece na Fig. 6-32.

6 - 2 4 . P a r a u m p o ç o q u a d r a d o f i n i t o d e l a r g u r a

a

= 10 nm,

c o m s e i s n í v e i s d e e n e r g i a p e r m i t i d o s ,

(a )

f a ç a u m g r á f i c o

d o p o ç o d e p o t e n c i a l ; ( b ) f a ç a u m g r á f i c o d a f u n ç ã o d e o n d a

d o e s t a d o c o m n = 3 , e n t r e x = — 2a a x = + 2a; (c) faça um

g r á f i c o d a d e n s i d a d e d e p r o b a b i l i d a d e p a r a o m e s m o i n t e r -

va lo do i t em

(b).

Seção 6 -4 Valores Esperados e Operadores

6-25 . De te rmine

(a) (x); (b

) (x

2

) para o segundo es tado exci tado

(n = 3) de um poço quadrado infini to .

6-26 .

(a )

Mo stre que a dis tr ibuição c láss ica de probabi l idade para

uma pa r t í cu la em um poço un id im ens iona l quad rado in f in i to de

la rgura

L

é dada por

P(x)

= l /L .

(b )

Use o resul tado do i tem

(a)

para calcular (x) e

(x

2

)

para um a part ícula c láss ica n es te t ipo de

poço.

6 - 2 7 . Mos t re , d i re t amente a pa r t i r da equação de Schrõd inge r

dependen te do t empo , que

(p

2

) =

2m\E —

V(x)] para qualq uer

po tenc ia l

V(x)

e que (p

2

>

= 2mE)

para o poço quadrado infini to .

Use es te resul tado para ca lcular (p

2

) pa ra o e s t ado funda men ta l

do poço quad rado in f in i to .

6 - 2 8 . Ca lcu le

a

x

=

*J(x

2

) -

( x f ,

a

p

= ^'p

2

)

—

(pf

e

cr

x

a

p

para a

funç ão de onda do e s tado fundam enta l do poço quadrad o in f in i -

to. (

Suge s tão :

por s imetr ia ,

(p )

= 0 ; de acordo com o Prob lem a

6-27, <p

2

) =

(2mE).)

6 - 2 9 . Determine os valores de

(x )

e (JC

2

) pa ra o e s t ado fundamen-

ta l de um osci lador harmônico (Eq. 6-58). O valor de A

0

é (mco/

Ã7T)"

4

.

6 - 3 0 . Use a lei de conserv ação da energia para obter um a exp res-

s ão re l ac ionando

x

2

e

p

2

no ca s o do os c i l ador ha rmônico . E m

seguida , use es ta expressão e o resul tado do Problema 6-29 para

calcular o valor de

(p

2

)

pa ra o e s t ado fundam enta l do os c i l ador

ha rmônico .

6 - 3 1 .

(a )

Usando o valor de A„ dado no Problema 6-29, escreva

a função de onda to ta l ^„ (x , t ) pa ra o e s t ado fundamenta l do

os c i l ador ha rmônico . (

b

) Us e o ope rador

p

x

da Tabela 6-1 para

calcular (p

2

).

Seção 6 -5 O Osc i lador Harm ônico S im ples

6 - 3 2 . Pa ra o e s t ado fundamenta l do os c i l ador ha rmônico (n =

0) , o po l inómio de H ermi te

H„{x)

da Eq. 6-57 é

H

0

(x )

= 1. De -

te rmine (a ) a cons tante de norm alização C

0

; (b ) x

2

; (c ) {V(x) para

es te es tado. (

S u g e s t ã o

: Us e a T abe la B l -1 pa ra de te rmina r os

valores das integra is . )

6 - 3 3 . Pa ra o p r ime i ro e s t ado exc i t ado do os c i l ador ha rmônico

(n

= l , o po l inóm io de Hermi te da E q . 6 -57 é

H,(x) = x.

De te r -

m i n e

(a )

a cons tante de normalização C, ;

(b )

(x);

( c)

(x

2

);

(d) (V(x)i

para es te es tado (veja o Problema 6-32).

6 - 3 4 . U m os c i l ador ha rmônico quân t i co de mas s a m se encon t ra

no e s tado fundam enta l com pon tos de re to rno c lá s s i cos em

±A.

(a ) Calcule o valor de Ap para es te es tado, supondo que a massa

es tá confinada em uma região Ax = 2A;

(b )

Compare a ene rg ia

cinét ica associada ao valor de Ap obt ido no i tem

(a):

(1) com a

energia tota l do es tado fundamental ; (2) com o valor esperado

da energia c inét ica .

6 - 3 5 . C a lcu le o e s paçamento en t re n íve i s de ene rg ia ad jacen te s

por unidade de energia , is to é , o valor de A

E J E „ ,

para o osci la-

dor ha rmônico q uân t i co ; em s egu ida , faça

n —»<*=

e mostre que o

resul tado es tá de acordo com o princípio de correspondência de

Bohr (veja a Seção 4-3) .

6-36. O pe r íodo de um pêndu lo mac ros cóp ico cons t i tu ído por

uma esfera de 10 g suspensa por um fio de massa ins ignif icante

com 50 cm de compr imen to é 1 , 42 s .

(a )

Calcule a energia do

es tado fundam enta l do s i s t ema (ene rg ia de pon to ze ro ) . (

b

) Se o

pêndu lo é co locado em um es tado no qua l a mas s a a t inge uma

al tura 0 ,1 mm acima da a l tura mínima, qual é o número quânt i -

co desse es tado? (c) Qual é a freqüência de osci lação do pêndu-

lo quando e le se encontra no es tado do i tem

(b)1

Seção 6 -6 Ref lexão e Transm is são de Ondas

6-37 . Uma part ícula l ivre de massa m e número de onda fc , es tá

via jando para a dire i ta . No pon to

JC

= 0, o potencia l muda brusca-

mente d e 0 para

V

0

e permanece com es te valor para todos os valo-

res pos i t ivos de

x. (a)

Se a energia inic ia l da part ícula é

E =

h

2

k{ /2m

= 2V

0

, qual é o número de onda

k

2

na região

x

> 0?

Expresse a respos ta em fun ção de

k,. (b)

Calcule o coeficiente de

reflexão

R

do degrau de potencial, (c) Qual é o valor do coeficie nte

de t ransmissão

Tl (d)

A cada milhão de partículas com nú mer o de

onda

k

t

que incidem no degrau de potencial, quantas partículas, em

média , cont inuam a via jar no sent ido pos i tivo do e ixo dos x? Co mo

es te valor se comp ara com a previsão c láss ica?

6 - 3 8 . No P rob lema 6 -37 , s uponha que o po tenc ia l va r i e b rus ca -

mente de 0 para

— V

0

em x = 0, fazen do a velocid ade da part ícu -

la aumentar em vez de diminuir . O compr im en to de onda da pa r -

t ícula incidente cont inua a ser

k

í

e a energia inic ia l cont inua a

se r

2V

0

. (a)

Qual é o comprimento de onda da part ícula na re-

gião x > 0? (

b

) Ca lcu le o coe f i c i en te de re f l exão

R

do degrau de

potencia l , (c) Qual é o valor do coefic ien te de t ransm issão 77

(d)

A cada mi lhão de pa r t ícu la s com núm ero de onda

k

, que incidem

no degrau de potencia l , quantas part ículas , em média , cont inu-

am a via jar no sent ido pos i t ivo do e ixo dos x? Como es te valor

se compara com a previsão c láss ica?




6 -3 9 . Use as Eqs. 6-68 e 6-69 para demonstrar a Eq. 6-70 .

6 -4 0 .

Use a Eq. 6-70 para mostrar que T = 0 no caso de par t ícu-

las incidentes em um degrau de potencial com E < V

0

.

6 -4 1 . De mon stre as Eqs. 6-6 6 e 6-67 a par t ir das Eqs. 6-65a e 6-

65 b.

6 -4 2 . Um feixe de elétrons com uma energ ia cinét ica E = 2,0

eV incide em uma barreira de potencial de al tura V

0

= 6,5 eV e

largura L = 5 ,0 X IO"

10

m (veja a Fig . 6-26) . Qual a f raç ão dos

elétrons que consegue transpor a bar reira?

6 -4 3 . Um feixe de pró tons com uma energ ia cinét ica de 40 MeV

incide em um degrau de potencial de 30 MeV . (a) Que f ração do

feixe é ref let ida? Que f ra ção é transmitida ? (b ) Resp onda ao i tem

(a) supondo que as par t ícu las são elétrons .

Seçã o 6 -7 A Equa çã o de Schrõ d ing er pa ra Dua s (o u Ma is )

Pa rt ícu la s

6 -4 4 . Mostre que a função de onda da Eq. 6-83 sat is faz a equa-

ção de Schrõdinger (Eq. 6-81) com V = 0 e determ ine a energ ia

deste es tado .

6 -4 5 . Do is n êu t r o n s se en co n t r am em u m p o ço q u ad r ad o in f in i -

to de largura L = 2 ,0 fm. Qual é a energ ia m ínima p ermit ida para

o s is tema? (Os nêutrons , como os elétrons , possuem funções de

onda anti- s imétr icas . Ignore o sp in . )

6 - 4 6 . Cin co p ar t ícu las id ên t icas são co lo cad as em u m p o ço

q u ad r ad o in f in i to d e la r g u r a L = 1 ,0 n m. Su p o n d o q u e as p a r -

t í cu las n ão in te r ag em en t r e s i , d e te r m in e a men o r en er g ia p e r -

mi t id a p ar a o s i s tema se as p a r t ícu las f o r em ( a ) e lé t r o n s ; ( b )

p ío n s . Os p ío n s têm f u n çõ es d e o n d a s imét r icas e massa ig u a l

a 264m

e

.

Nível II

6-47. Um próton se encontra em um poç o quadrado inf in i to dado

pela Eq. 6-21 com L = 1 fm . (d) Calcu le a energ ia do es tado

f u n d amen ta l em M eV. (b ) Faça um diagrama de n íveis de ener-

g ia para es te s is tema. Calcule os comprimentos de onda dos fó-

tons emit idos nas transições (c) de n = 2 para n = 1; (d) de n =

3 para n = 2 ; (e ) d e n = 3 para n = 1.

6 -4 8 . Uma par t ícu la se encontra no es tado fundamental de um

poço quadrado inf in i to dado pela Eq. 6-21 . Calcule a probabil i-

dade de a par t ícu la ser encon trada na reg ião (a) 0 < x < L/2 ; (b)

0 < x < L/3; (c) 0 < x < 3L/4.

6 - 4 9 . ( a ) M o s t r e q u e p ar a g r an d es v a lo r es d e n a d i f e r e n ç a

fracion ár ia de energ ia en tre o es tado n e o es tado n + 1 de um a

par t ícu la em um p oço quadrado inf in i to é dada ap roximadam ente

por

Ln+l ~ L/l __

E

n

n

(b ) Qual é a d iferença percentual aproximada entre as energ ias

dos es tadosw, = 1 .000 e n

2

= 1 .001? (c) Com ente a respeito da

relação entre os resu ltados dos i tens (a) e (b) e o pr incíp io de

correspondência de Bohr .

6 -5 0 . M o s t r e q u e

(x

2

)

= L

2

/3 para a funç ão de d is tribuição clás-

s ica do poço quadrado inf in i to .

6 -5 1 . Neste problema, o lei tor vai obter a equação de Schrõdin-

ger independente do temp o a par t ir da equação com pleta usando

o método de separação das var iáveis , (a) Faça ^(x , t) = ip(x)fit)

na Eq. 6-6 e d iv ida ambos os membros por i

p(x)f{t)

para obter a

e q v i a ç ã o

ih

f \ t

)

_ ti

2

r(x)

m

= - — 7 7 7 + V(x)

2 m tp(x)

(b) Como o lado esquerdo da equação acima não envolve a var i-

ável x , o lado d irei to deve ser independente de x ; como o lado

direi to da equaçã o não envolve a var iável t, o lado esquerdo deve

ser independente de t. Assim, os dois membros devem ser iguais

a uma constan te C. Mostre que nesse caso devemos ter J{t) =

e~ '

ÍCI)

'. Use a relação de de Broglie para mostrar que C deve ser

igual à energ ia to tal , E. (c) Use o resu ltado do i tem (b) para ob-

ter a Eq. 6-14.

6 -5 2 . De acordo com a mecânica quântica, qualquer par t ícu la

co n f in ad a em u ma r eg ião d o esp aço tem u ma v e lo c id ad e d i f e -

ren te de zero e por tan to jam ais pode es tar em repouso . Consid e-

re uma bola de p ingue-pongue de 2 cm de d iâmetro e 2 g de massa

q u e es te ja co n f in ad a em u m a ca ix a d e 2 ,0 0 1 cm d e co mp r im en -

to . Nestas condições , a bola d ispõe de um esp aço de apenas 0 ,001

cm para se mover , (a) Qual a me nor velocidade possível da bola,

de acordo com a equaçã o de Schrõdinge r? (b) Qual o per íodo de

uma osci lação da bola?

6 -5 3 . Uma par t ícu la de massa m se encontra em um poço qua-

drado inf in i to cu jo potencial é dado por

V = 00

V = 0

v = 00

x < - \L

- \L < x < +\L

+ |L < x

Como este potencial é s imétr ico em relação à or igem, a densi-

d ad e d e p r o b ab i l id ad e i /^ ( x ) t amb ém d ev e se r s imét r ica , ( a )

Mostre que a simetria de i/^(x) implica em

1

p(—x)

= ip(x) ou e m

1/<—x) = — 0(x). (b) Mostre que as so luções correspondentes da

eq u ação d e Sch r õ d in g er in d ep en d en te d o temp o p o d em se r es -

cr i tas na forma

<AW

<l'{x)

2

nrrx

- cos

L L

2 niTx

- sen

L L

n = 1 ,3 ,5 , 7 , . . .

2 , 4 , 6 , 8 , .

( c ) M o s t r e q u e a s e n e r g i a s p e r m i t i d a s s ã o a s m e s m a s q u e

p ar a o p o ço q u ad r ad o in f in i to cu jo p o ten c ia l é d ad o p e la Eq .

6 - 2 4 .

6 -5 4 . A f u n ção d e o n d a d o es tad o fu n d am en ta l d e u m o sc i lad o r

h ar mô n ico é ip

0

(x) = Ae'"

2/2l}

. (a) M o s t r e q u e

tp

}

= Ld\\)

n

(x)ldx

também é uma so lução da equação de Schrõdinger . (b) Qual é a

energ ia deste novo es tado? (c) Depois de examinar os nós da

função de onda do i tem (b) , como você class if icar ia es te es tado

ex c i tad o ?

6 -5 5 . Para as funções de onda

/2 nTTX „ „

<P n{x)

=

\ l J

s e

» — « = 1, 2, 3, . . .

correspon dentes a um poç o quadrado inf in i to de largura L, mos-

tre que

3 2n

2

77

2



A Equação de Schrõd inge r 1 8 5

6-56 . Um e lé t ron com uma ene rg ia de 10 eV inc ide em uma

bar re i ra de po tenc ia l de 25 eV de a l tu ra e 1 nm de l a rgura , ( a )

U s e a E q . 6 - 7 6 p a r a c a l c u l a r a o r d e m d e g r a n d e z a d a p r o b a -

b i l idade de o e l é t ron a t raves s a r a ba r re i ra por tune lamento .

(b ) Rep i t a o cá lcu lo s upondo que a ba r re i ra t em 0 , 1 nm de

la rgura .

6 - 5 7 . U m a p a r t í c u l a d e m a s s a m s e e n c o n t r a e m u m a r e g i ã o

n a q u a l a e n e r g i a p o t e n c i a l t e m u m v a l o r c o n s t a n t e V

0

. (a)

M o s t r e q u e n e m ^ ( x , t) = A sen(fc t — cot) n e m ^ Q c , t) = A

cos(kx — cot)

s a t i s f a z a e q u a ç ã o d e S c h r õ d i n g e r d e p e n d e n t e

d o t e m p o . ( S u g e s t ã o : Se C , s en </> + C

2

co s

(f>

= 0 pa ra qua l -

qu er v alo r de </>, en tã o C, = C

2

= 0 . ) (b ) Mos t re que ^ (x , t )

= A [cos(fcc - cot) + i sen(fc t - (ot)]

=

Ae '

{k

* ~

M )

s a t i s faz a

e q u a ç ã o d e S c h r õ d i n g e r i n d e p e n d e n t e d o t e m p o , c o n t a n t o q u e

a re l ação en t re k,V

0

eco s e ja dad a pe la E q . 6 -5 .

6-58 . A energia potencia l de uma part ícula de mass a m sobre um a

mesa pode ser descri ta pelas equações

V = mgz par a z > 0

V = °° pa ra z < 0

Pa ra um va lo r pos i t ivo qua lque r da ene rg ia to ta l E, indique a

reg ião c la s s i camente pe rmi t ida em um grá f i co de

V(z)

e m f u n -

ção de z. Faça t ambém um grá f i co da ene rg ia c iné t i ca em fun-

ção de z. A equação de Schrõd inge r pa ra e s t e p rob lema é mui to

d i f í c i l de re s o lve r . Us ando a rgumentos s eme lhan te s aos da Se -

ção 6-3 a respei to da curvatura das funções de onda que repre-

s en tam s o luções vá l idas da equação de Schrõd inge r , f aça e s bo-

ços das funções de onda do e s tado fundamenta l e dos do i s p r i -

meiros es tados exci tados .

6 - 5 9 . Uma pa r t í cu la é s ubme t ida a um po tenc ia l dado por V(x

= A|JC|. Sem ten tar resolver a equ ação de Sc hrõd inger, faç a um

es boço da fu nção de onda (a ) do e s t ado fundam enta l ; (b ) do p r i

meiro es tado exci tado.

Nível III

6 - 6 0 . Us e a equação de Schrõd inge r pa ra mos t ra r que o va lo

esperado da energia c inét ica de uma part ícula é dado por

6 - 6 1 . Um e lé t ron no in te r io r de um poço quadrado in f in i to de

l a r g u r a L = 1 0 "

1 2

m e s t á s e m o v e n d o c o m v e l o c i d a d e

re la t ivís t ica ; is so s ignif ica que seu momento não é dado po r p =

( 2 m E )

m

. (a) Us e o p r inc íp io de inde te rminação pa ra conf i rmar

que a velocidade é re la t ivís t ica . (b) Enco ntre um a expressão para

os níveis permit idos de energia do e lé tron, (c) Calcule o valor

d e £ , . (d ) Qual é o valor não-re la t ivís t ico de £,?

6 - 6 2 .

(a ) Dem ons t re a E q . 6 -75 . (b ) M os t re que a E q . 6 -76 cons

t i tu i uma aprox imação da E q . 6 -75 pa ra

aa » 1.

6 - 6 3 . U m fe ixe de p ró tons com u ma ene rg ia de 20 Me V inc ide

n o p o n t o JC = 0 , em um deg rau de po tenc ia l de 40 M eV de a l tu

ra . Faça um grá f i c o da p robab i l idade re l a t iva de os p ró tons s e

r e m o b s e r v a d o s n a r e g i ã o e n t r e x = 0 e x = 5 f m e m f u n ç ã o d e

x. (Sugestão: Fa ça |A;

2

= 1 e us e o re s u l t ado do E xem plo 6 -6 .

x





C a p í t u l o

7

Física Atômica

N e s te c a p í tu lo , v a m o s a p l i c a r a t e o r i a q u â n t i c a a s i s t e m a s a tô -

m ic o s . Pa ra t o d o s o s á to m o s n e u t ro s , c o m e x c e ç ã o d o h id ro g ê -

n io , a e q u a ç ã o d e Sc h rõ d in g e r n ã o p o d e se r r e so lv id a e x a t a m e n -

te . Apesar d isso , fo i no re ino da f í s ica a tômica que a equação

d e Sc h rõ d in g e r c o lh e u se u s m a io re s su c e sso s , j á q u e o s f í s i c o s

s a b e m c o m o d e s c r e v e r m a t e m a t i c a m e n t e a i n t e r a ç ã o e l e t r o -

m a g n é t i c a d o s e l é t ro n s c o m o u t ro s e l é t ro n s e c o m o n ú c l e o a tô -

m ic o . Co m o u so d e m é to d o s a p ro x im a d o s e d e c o m p u ta d o re s

d e a l t a v e lo c id a d e , v á r io s a sp e c to s d o c o m p o r t a m e n to d e á to -

m o s m a i s c o m p le x o s q u e o h id ro g ê n io , c o m o o s c o m p r im e n to s

d e o n d a e i n t e n s id a d e s d a s l i n h a s e sp e c t r a i s , p o d e m se r c a l c u -

l a d o s , m u i t a s v e z e s c o m u m a p re c i sã o t ã o a l t a q u a n to se d e se -

j e . A e q u a ç ã o d e Sc h rõ d in g e r p a ra o á to m o d e h id ro g ê n io fo i

resolv ida no pr imeiro a r t igo de Schrõdinger , publ icado em 1926.

Es t e p ro b le m a é m u i to im p o r t a n t e , n ã o só p o rq u e n e s t e c a so a

e q u a ç ã o d e Sc h rõ d in g e r p o d e se r r e so lv id a e x a t a m e n te , m a s

t a m b é m p o rq u e a s so lu ç õ e s o b t id a s se rv e m c o m o p o n to d e p a r -

t i d a p a ra so lu ç õ e s a p ro x im a d a s n o c a so d e o u t ro s á to m o s . Po r

e ssa r a z ã o , v a m o s e s tu d a r e s t e p ro b le m a c o m u m a c e r t a p ro f u n -

d i d a d e . E m b o r a a l g u m a s p a s s a g e n s m a t e m á t i c a s n e c e s s á r i a s

p a ra r e so lv e r a e q u a ç ã o d e Sc h rõ d in g e r se j a m u m p o u c o d i f í -

c e i s , v a m o s t e n t a r a p re se n t a r r e su l t a d o s q u a n t i t a t i v o s se m p re

q u e p o ss ív e l , m o s t r a n d o a lg u n s r e su l t a d o s se m d e m o n s t r á - lo s

e d i sc u t in d o q u a l i t a t i v a m e n te a sp e c to s im p o r t a n t e s d e s t e s r e su l -

t a d o s a p e n a s q u a n d o n e c e ssá r io . Se m p re q u e p o ss ív e l , fo rn e c e -

re m o s a rg u m e n to s f í s i c o s s im p le s p a ra m o s t r a r q u e o s r e su l t a -

d o s sã o r a z o á v e i s .

7 - 1 A E q u a ç ã o d e S c h r õ d i n g e r e m

T r ê s D i m e n s õ e s

N o Ca p . 6 , c o n s id e ra m o s m o v im e n to s e m a p e n a s u m a d im e n -

sã o , m a s , n a tu ra lm e n te , o m u n d o re a l t e m t r ê s d im e n sõ e s . Em -

b o ra e m m u i to s c a so s o e s tu d o d o m o v im e n to e m a p e n a s u m a

dimensão se ja suf ic iente para reve la r todos os aspec tos f í s icos

im p o r t a n t e s d o p ro b le m a , e x i s t e m a lg u m a s p e c u l i a r id a d e s d o

m o v im e n to e m t rê s d im e n sõ e s q u e p re c i sa m se r d e s t a c a d a s . E m

coordenadas re tangula res , a equação de Schrõdinger independen-

te do tempo tem a seguin te forma:

2m\dx

2 +

dy

2 +

dz

2

+ Vip = Eij, 7-1

N o c a s o m a i s g e r a l , t a n t o a f u n ç ã o d e o n d a c o m o a e n e r -

g i a p o t e n c i a l s ã o f u n ç õ e s d a s t r ê s c o o r d e n a d a s e s p a c i a i s ,

x, y e z.

0 Poço Quadrado Infinito em Três Dimensões

Pa ra c o m e ç a r , v a m o s c o n s id e ra r a v e r sã o t r id im e n s io n a l d o p

blema da par t ícu la em uma ca ixa . Neste caso , a função energ

p o te n c i a l

V(x, y, z)

é nula para

0 <x < L, 0<y<Le0<

L. A energia potenc ia l é inf in i ta do lado de fora desta região

fo rm a c ú b ic a . A p l i c a n d o e s t a s c o n d iç õ e s d e c o n to rn o , v e r i f i

mos que a função de onda é nula nas paredes da ca ixa e é um

função do t ipo seno no in te r ior da ca ixa . Na verdade , se con

d e ra rm o s a p e n a s u m a d a s c o o rd e n a d a s , c o m o p o r e x e m p lo

c o o rd e n a d a x , o b t e re m o s u m a so lu ç ã o id ê n t i c a à d o p ro b le m a

p a r t í c u l a e m u m a c a ix a u n id im e n s io n a l , d i sc u t id o n a Se ç ã o 6

Em o u t ra s p a l a v ra s , a v a r ia ç ã o d a fu n ç ã o d e o n d a c o m x será

fo rm a se n k

x

x, o n d e k

x

= n , i r /L e é um núm ero in te i ro . A fu

ç ã o d e o n d a c o m p le t a ip(x, y, z) p o d e se r e sc ri t a c o m o u m p ro

to d e t r ê s fu n ç õ e s : u m a fu n ç ã o a p e n a s d e x, u m a fu n ç ã o a p e n

de y e u m a fu n ç ã o a p e n a s d e z :

7

o n d e c a d a u m a d a s fu n ç õ e s

i/c„

é u m a f u n ç ã o se n o , c o m o n o p

b le m a u n id im e n s io n a l . A ss im , p o r e x e m p lo , e x p e r im e n ta n d o

solução

ip(x, y,z) = A

se n

k

x

x

se n

k

2

y

se n

k

3

z

consta tamos, subst i tu indo esta função na Eq. 7-1 , que a ener

é dada por

E = T~m + ki + kl)

2 m

que é equiva lente a

{pi + pi + pj)

2 m

o n d e p

x

= hk

t

, p. = hk

2

e p

z

= hk

v

Pa ra q u e a fu n ç ã o de o n

se ja nula nas paredes, é necessár io que k

x

= n

]

tt/L, k

2

= n^rr/L

k

3

= M

3

7T/L. Nesse caso , a energia to ta l é dada por :

h

2

TT

2

2 mL

2

(n\ + n\ + n\) 7

onde «[ , n

2

e n

3

sã o n ú m e ro s i n t e i ro s .

Observe que a energia e a função de onda são carac te r izad

por t rês números quânt icos, resu l tan tes de t rês condições de co

torno . uma para cada coordenada . Neste caso , os t rês númer

q u â n t i c o s sã o i n d e p e n d e n te s , m a s e m o u t ro s p ro b le m a s o v a l

d e u m d o s n ú m e ro s q u â n t i c o s p o d e a fe t a r o v a lo r d o s o u t ro

A ss im , p o r e x e m p lo , c o m o v a m o s v e r d a q u i a p o u c o , e m p r

b l e m a s c o m o o d o á to m o d e h id ro g ê n io , n o s q u a i s o p o t e n c



Física Atômica 1 8 7

L, = L

2

= L

3

E-t?? —

: E

22 1

- 9 •

^211

=

£i?i

=

£119 = 6E,121

= 3Hi

(a)

L, <L,< L,

£221

£212

' £122

' £211

' £121

' £112

b)

Co m o n a t e o r i a d e Bo h r , i n c lu ím o s o n ú m e ro a tô m ic o Z , q u e é

igua l a 1 no caso do h idrogên io , para pode rm os apl ica r os resul -

t a d o s a s i s t e m a s se m e lh a n te s , c o m o o á to m o d e h é l io i o n i z a d o

H e

+

, p a ra o q u al Z = 2 . O b se rv e t a m b é m q u e p o d e m o s l e v a r e m

c o n ta o m o v im e n to d o n ú c l e o su b s t i t u in d o a m a ssa d o e l é t ro n ,

m

e

, p e l a m a ssa r e d u z id a /x = mj{ 1 + mJM

s

), o n d e M

s

é a mas-

sa d o n ú c l e o . A e q u a ç ã o d e Sc h rõ d in g e r i n d e p e n d e n te d o t e m p o

e m t r ê s d im e n sõ e s p a ra u m a p a r t í c u l a d e m a ssa / x é a Eq . 7 -1

c o m ia em lugar de m:

F g . 7 -1 Diagrama de níveis de energia (a) de um poço cúbico infinito; (b) de um

Doço infinito em forma de paralelepípedo. No poço cúbico, muitos níveis de ener-

: a são triplamente degenerados, isto é, existem três funções de onda diferentes

:: ~i a mesma energia. Esta degeneração desaparece quando a simetria do poten-

: i é menor, como em (b). 0 diagrama é apenas esquemático; nenhum dos ní-

te

s

de (b) tem necessariamente a mesma energia que um dos níveis de (a).

h

2

/d

2

ê d

2

ib d

2

é\

•— —^ + —T + —T + Vé = E\h

2fx\dx

2

dy

2

d?

2

'

V

7-7

Co m o a e n e rg i a p o t e n c i a l V(r) depende apenas da d is tânc ia ra -

dial r = (x

2

+ y

2

+ z

2

)

1

'

2

, é mais fác i l reso lver o problema em

c o o rd e n a d a s e s fé r i c a s r, 6 e 4>, q u e e s t ã o r e l a c io n a d a s à s c o o r -

d e n a d a s x, y e z a t r a v é s d a t r a n s fo rm a ç ã o

z = r cos

:em simetr ia esfé r ica , é mais fác i l reso lver a equação de Schrõdin-

g e r e m c o o rd e n a d a s e s fé r i c a s . O s n ú m e ro s q u â n t i c o s a sso c i a d o s

1 c o n d iç õ e s d e c o n to rn o e m c o o rd e n a d a s e s fé r i c a s sã o i n t e rd e -

pendentes .

N o c a so d a c a ix a c ú b ic a , o e s t a d o fu n d a m e n ta ] ( e s t a d o d e

r j e n o r e n e rg i a ) é d a d o p e l a Eq . 7 -4 c o m « , = n

2

= n

3

= 1. A

r -e rg i a c o r re sp o n d e n te a o p r im e i ro e s t a d o e x c i t a d o p o d e se r

o b t id a d e t r ê s fo rm a s d i f e re n t e s : n

t

= 2 , n

2

= n

3

= 1; n

2

= 2 ,

n = n

3

= 1; n

3

= 2 , « j = n

2

= 1 , já que , de acor do co m a Eq.

~-4,E

21l

= £ 1 2 1 ~ E

2-

A c a d a u m d e sse s c o n ju n to s d e n ú m e -

ro s q u â n t i c o s c o r re sp o n d e u m a fu n ç ã o d e o n d a d i f e re n t e . Po r

e x e m p lo : a fu n ç ã o d e o n d a p a ra n

x

= 2 e n

2

= n

3

= 1 é

2 TTX 77-y 7TZ

é n i i = , 4 s e n s e n — s e n —

Y211

L L L

U m

n íve l de energia ao qua l estão assoc iadas duas ou mais fún-

de onda recebe o nom e de degenerado. Neste caso , a degene-

a ç ã o é t r ip la, já que exis tem t rês funções de onda com a m esm a

pa . A degeneração está re lac ionada à s imetr ia do problema;

que dest ró i ou modif ica a s imetr ia também dest ró i ou modif i -

a . i regeneração .

1

Se , por exemp lo , t ivermos uma ca ixa em form a

Jc r-iialelepípedo, na qual V = 0 para 0 < x < L,, 0 <

>•

< ío e 0 <

< E. as condições de contorno levarão às re lações k

l

L

l

= «,7r,

« = n-.iT, k

}

L3 = n

3

77, e a energ ia total será dada por

h

2

TT

2

(n\

— + — + —

2m \L\ L\ L\

7-5

- F ig . 7 -1 m o s t r a o s n ív e i s d e e n e rg i a d o e s t a d o fu n d a m e n ta l

r d o s d o i s p r im e i ro s e s t a d o s e x c i t a d o s p a ra u m a c a ix a c ú b ic a

L = L

2

= L

3

), c a so e m q u e o s e s t a d o s e x c i t a d o s sã o d e g e n e ra -

dos, e para uma ca ixa em forma de para le lepípedo (L, # L

2

L

3

), c a so e m q u e n ã o e x i s t e d e g e n e ra ç ã o .

A Equação de Schrõdinger em Coordenadas

Esféricas

Po d e m o s c o n s id e ra r o á to m o d e h id ro g ê n io c o m o u m a p a r t í c u l a

iso lada , o e lé t ron , se movendo com energia c iné t ica p

2

/2m

e

n o

c a m p o e l é t r i c o d o n ú c l e o , r e p re se n t a d o p o r u m a e n e rg i a p o t e n -

cial

V{r)\

V(r) =

Zk e

2

7-6

x = r se n 6 cos </>

y = r s en 6 sen

7 -8

Essas re lações estão i lust radas na Fig . 7-2 . A t ransformação da

e q u a ç ã o d e Sc h rõ d in g e r e m t r ê s d im e n sõ e s p a ra c o o rd e n a d a s

esfé r icas não é d i f íc i l , mas é bastante t raba lhosa . Vamos nos l i -

mi ta r a apresenta r o resul tado:

OIUL

2/1 r

2

br dr 2jj.r

2

1 3 / d4>

1 sen 9 —

sen 6dd\ d6

+

sen

1 d

2

ili

1

V{r)ip = Ei// 7-9

A p e sa r d o a sp e c to a ssu s t a d o r d e s t a e q u a ç ã o , Sc h rõ d in g e r n ã o

te v e d i f i c u ld a d e p a ra r e so lv ê - l a p o rq u e é se m e lh a n te a o u t r a s

e q u a ç õ e s d i f e re n c i a i s p a rc i a i s a s so c i a d a s a p ro b le m a s d e f í s i c a

c l á ss i c a , q u e j á h a v i a m s id o e x a u s t iv a m e n te i n v e s t i g a d a s p e lo s

m a te m á t i c o s . V a m o s a p re se n t a r a so lu ç ã o d e s t a e q u a ç ã o c o m

todos os de ta lhes, tendo o cuidado de indicar a or igem do núme-

ro q u â n t i c o a sso c i a d o a c a d a d im e n sã o .

y = r

sen 9 sen

Intervalos das variáveis

Em coordenadas cartesianas

x, y, z: -c o +«.

Em coordenadas esféricas

r: 0 -> +00

6:

0

ó:

0 2ir

Fig . 7 -2 Relações geométricas entre coordenadas

e s f é nc a s s r e E

-

: .



1 8 8 Física Atômica

7 - 2 Q u a n t i z a ç ã o d o M o m e n t o A n g u l a r

e d a E n e r g i a d o Á t o m o d e H i d r o g ê n i o

Nes ta s eção , vamos reso lve r a equação de Schrõdinger inde-

pendente do t empo pa ra o á tomo de h idrogênio e pa ra out ros

á tomos com um e lé t ron . Veremos que a quant i zação da ene r -

gia e do momento angular são conseqüências naturais das con-

dições de acei tabi l idade das fun çõe s de onda (Seção 6- 1) e dis -

cu t i remos a or igem e o s ign i f i cado f í s i co dos núm eros quânt i -

co s

n, l

e

m.

O primeiro passo para resolver um a equação diferencial par-

cial como a Eq. 7-9 cons is te em procurar soluções separáveis

escrevendo a função de onda

ip(r, d, é)

como o produto de fun-

ções de uma única variável . Ass im, escrevemo s:

«A(r,

e,

4>)

= R(r)f{6)g(4>)

2/JL

fg

r

2

dr\

dR

dr

h

2

1

fi

2

2fir

2

R g

se n

6 d 6

Rf d

2

g

(

«

d

f

se n d —

d6

2/j,r

2

sen

2

6 d cj?

1 d ( , dR(r)\ 2ar

2

1

J(6)

se n

6 de

sen

d

2

g«t>)~

df(6)\ 1

de /

g(4>)

sen

2

e dd>

2

angular) da Eq. 7-12 deve ser a mesma para

qualquer po

cial

que dependa apenas de

r?

Tendo em vis ta o segundo ponto, vamos resolver primei

equação angula r pa ra que os re su l t ados es t e j am di sponí

quand o começarm os a exam inar as soluções da equaçã o que

pende de r , conhecida como

equação radial,

para valores p

culares do potencial

V(r).

Fazendo o lado direi to da Eq.

igual a

1(1

+ 1 ) , m ul t ip l i cando por s en

2

9 e reagrupando os

mos, temos:

1 d

2

g{4>) _ sene d

= — / ( / +

1 )

se n

2

e

g(d>) dp rn de

se n

i

,dA6)

d(6)

7-10

o n d e

R

depend e apenas da coordenad a rad ia l

r,

/depende ape-

nas de

6

e

g

depende apenas de

</>

Q u a n d o e s t a f o r m a d e

i

fj(r,

e, </>) é subs t i tu ída n a Eq. 7 -9, a equa ção dife ren cial parc ial

pode s e r t rans formada em t rês equações d i fe renc ia i s ord iná -

r i a s , uma pa ra

R(r

) , uma para/ (0) e uma para g(</>). Muitas

das so luções da Eq. 7-9 , na tura lmente , não pos suem es t a for -

ma; en t re t an to , s e um número suf i c i en te de so luções com a

form a da Eq. 7-10 for encont rado ,

2

todas as soluções da equa-

ção poderão s e r expres sas como combinações l inea res des -

t a s so luções . Acontece que as so luções com a forma da Eq.

7-10 s ão f i s i camente a s ma i s impor tan tes , porque cor respon-

dem a va lores de f in idos (au tova lores ) da ene rg ia e do mo-

mento angula r . Subs t i tu indo a Eq . 7-10 na Eq. 7-9 e execu-

t ando todas a s d i fe renc iações ind icadas , t emos :

Como o l ado esquerdo da Eq. 7-13 depende apenas de

<

l ado d i re i to depende apenas de 0 , ambos devem se r igua

mesma cons tan te , que vamos chamar , por razões que v

mos em seguida, de — m

2

. Fazen do o lado esquerdo da Eq.

igual a

—

m

2

e re so lvendo a equação d i fe renc ia l re su l t

t emos :

gjct>) = e'""f

Para qu e a fu nç ão de ond a total <// se ja unív oc a, é pr e

q u e

g((j) + 2-it) =

g(<t>), e p o r t a n t o q u e o n ú m e r o

m

aparece na Eq. 7-14 s e j a 0 ou um número in t e i ro pos i t ivo

n e g a t i v o .

Fazendo o lado direi to da Eq. 7-13 igual a — m

2

e re so

do a equação d i fe renc ia l re su l t an te , t emos (a so lução nã

óbvia):

f

lm

(8) =

onde

(sen

2 > l \

d

d(

cos e)

(cos

2

e - í ) '

+ VRfg = ERfg 7-11

já que as derivadas em relação a

r

n ã o a f e t a m / ( 0 ) e g((f>), as

derivadas em relação a

6

não afetam

R(r)

e g(cf>) e as derivadas

em relação a <t> não afetam

R(r)

e / (0) . Para separar as funções

que dependem de

r

das funçõe s que depend em de Q e d e <t>, bas ta

mult ipl icar a Eq. 7-11 por

—2/jLr

2

/ã

2

Rfg

e reagrupa r os term os.

O resultado é o seguinte:

7-12

/ = 0 , 1 ,2 ,3 , . . .

m = 0, ± 1 , ± 2 , . . . , ± /

As l imi t açõe s ind icadas ac ima pa ra os va lores de / e m re

t am da ex igênc ia de que / (0) s e j a f in i t a em d = 0 e e =

Observe que ex i s t e uma re l ação en t re l e m: pa ra cada v

de l , são perm it ido s ap enas v alores de m tais que m ^ l

f u n ç õ e s

f,

m

(e )

dadas pe la Eq . 7-15 s ão conhe c idas com o

ções de Legendre associadas.

A s f u n ç õ e s d e L e g e n d r e a

c iadas com

m

= 0 recebem o nome espec ia l de

polinó

de Legendre.

O produto de/,„,(0) por

gjé).

que descreve a variação a

lar de i

p(r,

9

,

4>

) para

qualquer

potencial com s imetr ia es

cons t i tui uma famíl ia de funções

Y

lm

(e ,

<f>) que aparecem

freqüência em problemas de f ís ica ,

Y,je,

4>)

= f

,

m

(e)g

m

(4>)

7

Dois pontos impor tan tes podem se r obse rvados co m re l ação à

Eq. 7-12: (1) O l ado esquerdo contém apenas t e rmos que de -

pendem de r , enquanto o l ado d i re i to contém apenas t e rmos

que depende m de d e de Com o as va r i áve i s s ão indepen-

dentes , mudanças em

r

não podem al terar o valor do lado di-

rei to da equaçã o, en qua nto m uda nça s em 6 e (/> não pod em

alterar o valor do lado esqu erdo. As s im, os dois lados da equa -

ção devem ser iguais à mesma cons tante , que vamos chamar,

por razões qu e verem os m ais tarde, de 1(1 + 1) . (2) Com o o

potencial depende apenas de

r ,

a solução do lado direito (a parte

e que s ão chamadas de

harmônicos esféricos.

A Tabe la

mostra a lgum as dessas funç ões . É fáci l obter o valor das funç

de Legendre associadas e dos pol inómios de Legendre a pa

dos harmônicos esfér icos .

Quantização do Momento Angular

O momento angular L de um corpo de massa m cuja pos iç

especif icada por um vetor pos ição

r

é dado por



F ís i c a A t ô m i c a 1 8 9

Tabe l a 7 - 1

Ha r m ôn i c os e s f é r i c o s

/ = 0

l = 1

/ = 2

m = 0

m = 1

m = 0

7n = — 1

m = 2

m = 1

m = 0

m =

— 1

m = —2

Fnn — * / .

477

F il = - • V i ^ s en

e e'*

Y

l0

= Vf 7 7 C OS 0

^ î - i = V f i s e n

1 3

YJJ

2 a „2i

3277

T J

y , , = —. / — sen 0 cos 6 e'*

1

8 7T

^20 ^ / t t - ( 3 COS

2

0 -

1 )

1677

F, , = / — sen 0 cos d e~'*

- 1

^ ' 877

^2-2

—

3277

M

/d A

p

'

=

' Y *

e o módulo do ve tor cons tante L é dado por

L = rp se n A = rp,

Fig. 7-3 Quando

V=

V(r), a órbita de uma partícula clássica está em um plano

perpendicular a

L.

As componentes do momento

p

nas direções paralela e per-

pendicular a r são p

r

e

p

(

,

respectivamente. 0 vetor posição r faz um ângulo A com

a direção de referência.

Em termos dessas componentes , a energia c iné t i ca pode ser es -

cr i t a como

P_

2/JL

PÎ+PÎ

2 m

Pl , L

2

2

\x

2/JL

r

2

7-17

e por tanto a energia c láss ica to ta l E é dada por

£ i + J L

2/ JL 2fir

2

R e e s c r e v e n d o a E q . 7 - 1 7 e m t e r m o s d o p o t e n c i a l " e f e t i v o "

V

eí

(r) = L

2

/2)jLr + V(r), t e m os :

+ V(r)

p

2

TT + VAr)

2jl

7- 18

Nota: Para uma representação tridimensional dos harmônicos esféricos, con-

sulte a página da Internet http://www uniovi es/~quimica f isicaJqeg/harmonics/

charmonics.html

L = r

X

p

onde p = m(dr/dt). Se o potenc ia l a que o corp o es tá sub met ido

é f unç ã o a pe na s de r (como acontece com o e lé t ron do á tomo de

h i d r ogê n i o ) , o m o m e n t o a ngu l a r L é conservado (ve ja o Proble-

ma 7-15) e o movimento c láss ico do corpo ocor re em um plano

f ixo perpendicular a L pa s s a ndo pe l a o r i ge m . As c om pone n t e s

d o m o m e n t o p na d i reção de r , p

r

, e na d i reção perpendicular a r

(e a L ) , são dadas por

que é idênt i ca à Eq. 6-4 , usada para demons t rar a equação de

Sc h r õd i nge r .

Com o f i z e m os no Ca p . 6 , va m os u s a r a e xp r e s s ã o da e ne r -

g ia to ta l da par t í cula , que no caso a tua l é a Eq. 7-17, para che-

ga r à e qua ç ã o de Sc h r õd i nge r . Pa r a i s s o , va m os u s a r a r e l a ç ã o

de de Br og l i e e i n t r oduz i r o s ope r a do r e s d i f e r e nc i a i s a p r op r i -

a dos ( e m c oo r de na da s e s f é r i c a s ) pa r a p

2

e

L

2

.

No c a s o de p

2

,

o ope r a do r é

(P r

2

) o

r

2

dr \ dr

7- 19

que , d iv id ido por 2 /u e operand o em ifi, é o pr im ei ro t e rmo (ener -

g ia c iné t i ca) da equação de Schrõdinger em coordenadas es fér i -

cas (Eq. 7-9) . O operador L

2

é dado por

(L

2

)

ov

=-fi-

1

se n 6

d

e

sen

1

7- 20

sen

2

6 d 4>

2

_

que , d iv id ido por

2/j.r

2

e ope r a ndo e m

ip, 6

o s e gundo t e r m o da

equação de Schrõdinger em coordenadas es fér i cas (Eq. 7-9) . O

lado d i re i to da Eq. 7-1 2, que é igua l a 1(1 + 1 ) , p ode , por tanto ,

s e r e s c r i t o d a s e g u i n t e f o r m a , d e p o i s d e m u l t i p l i c a d o p o r

â

2

f(0)g(<f>) e l em b r an d o q u e / J % „ ( < £ ) = F J 0 , < « :

1

se n 6 d e

sen

a \ 1 d

2

I —

+

d 6/ sen

2

9 d

4>

2

rjO, 4

>)

= /(/ + 1 )h

2

Y

lm

(6 , cf>) 7-21fl

ou

(.L

2

)

ov

Y

lm

(6 , 4>) = 1(1 + 1 )fi

2

Y

lm

(0 , 4>)

ou , c om o iJXr, d, <j>) = R(r) Y(d, é),

(L

2

)

op

>{f(r, 6, 4>) = 1(1 + l)h

2

ip(r, 0, tf,)

7- 216

7 - 21 c

Assim, temos o resultado m uito importante de que para qualquer

potencia l da forma V = V(r), o momento angular é quant izado c

seus módulos permi t idos (autovalores ) são dados por

ILI = V/(/ +

1

)h pa ra / = 0, 1, 2, 3,

7- 22

onde l é c ha m a do de número quântico de momento angular.

P o d e m o s u s a r o m e s m o m é t o d o d e s u b s t i t u i ç ã o p a r a L . . a

c o m p o n e n t e z de L , e m os t r a r que a c om pone n t e r do m o-

m e n t o a n g u l a r é q u a n t i z a d a e s e u s v a l o r e s p e r m i t : d o - - ã o

da dos po r

L, = mh

para m = 0, ± 1, ± 2 , .

7-23

Órbita

http://www.uniovi.es/~quimica.fisicaJqeg/harmonics/

http://www.uniovi.es/~quimica.fisicaJqeg/harmonics/



19 0 Física Atômica

t

\

L = fi^l l+

1) 2(2 + 1) =f iV 6

5. De acordo com a Fig . 7-4 , o ângulo

9

ent re L e e ixo dos

é dado por :

cos 0 = — =

mh

L

V / ( / +

l)h

m

~

V/(Z + 1)

6 . O menor ângulo poss íve l ent re L e o e ixo dos z ocor re para

m = ±1. No caso de / = 2 , t emos :

cos 6 — — ~ — 0 ,816

>/6

Fig. 7-4

Modelo vetorial ilustrando as orientações possíveis de

L

no espaço e os

valores possíveis de L

z

para o caso em que / = 2.

O s igni f i cado f í s i co da Eq. 7-23 é que o momento angular L,

cu jo mó du lo é qua ntiza do em valores de -I- 1) /S, po de apon -

ta r apenas em di reções

no espaço

t a i s que a proje ção de L n o

eixo dos z se ja 0 ou um múl t ip lo in te i ro de f t . Ass im, L é t am-

b é m espacialmente quantizado.

O d i a g r a m a que a pa r e c e na F i g . 7 - 4 , de nom i na do modelo

vetorial do á t om o , m os t r a a s pos s í ve i s o r i e n t a ç õe s do ve t o r

m om e n t o a ngu l a r . Obs e r ve que o ve t o r m om e n t o a ngu l a r nunc a

aponta no sent ido do e ixo dos z, j á que a m a i o r c om pone n t e pos -

s íve l de z ,

mh,

é s e m pr e m e nor do que o m ódu l o do ve t o r ,

yj1(1

+ . Es te fa to é conse qüên cia do pr inc íp io de inde term i -

nação do momen to angular (que não vam os demons t rar ) , segund o

o qual é imposs íve l de terminar com prec i são absolu ta duas com-

pone n t e s do m om e n t o a ngu l a r ,

4

a não ser no caso t r ivial em que

o momento angular é nulo . Observe que para um dado va lor de

l , ex i s t em 21 + 1 va lores poss ív e i s de m, que vão de

—

/ a + / em

ou

= 35,3°

in terva los in te i ros . Operadores para L

x

e L

y

t a m bé m pode m s e r

obt idos pe lo método de subs t i tu ição; ent re tanto , operando com

eles na funçã o de onda (//, não ob temo s autova lores . I s to aco nte-

ce porque para espec i f i car ro tações em torno dos e ixos dos x e

do s y é prec i so medi r doi s ângulos d i fe rentes , 6 e <b.

Exemplo 7-1

V a l o r e s Q u a n t i z a d o s d e

L Se um s i s t ema tem um

m om e n t o a ngu l a r c a r a c t e r i z a do pe l o núm e r o quâ n t i c o l = 2,

quai s são os va lores poss íve i s de L

z

, qua l é o módu lo de L e qua l

é o menor ângulo poss íve l ent re Le o eixo dos z?

S o lu ç ã o

1. Os va lores poss íve i s de L

z

são dados pe la Eq. 7-23:

L

z

= mh

2. Os valores de m para l = 2 são:

m

= 0 ±

1,

± 2

3. Ass im, os va lores permi t idos de L

z

são:

L

z

— — 2 h , - Ih ,

0

h, 2h

4. O mód ulo de L é dad o pe la Eq. 7-22. Para 1 = 2, t emos :

ILI = 4W+T)h

= J 6 h = 2 , 4 5 h

Quantização da Energia

Os resul t ados d i scut idos a té agora se apl i cam a qualquer s i s t e -

ma que se ja es fer i camente s imét r i co , i s to é , no qual a energia

potenc ia l só dependa de r. A solução da equação radia l para R(r)

por ou t r o l a do , de pe nde da f o r m a de t a l ha da de V(r). O novo

núm e r o quâ n t i c o a s s oc i a do à c oo r de na da r é d e n o m i n a d o nú -

mero quântico principal e é repr esen tado pe la l e t ra n. C o m o

vamos ver , es te número quânt ico es tá re lac ionado à energia no

caso do á tomo de h idrogênio . A Fig . 7-5 mos t ra um gráf ico da

e ne r g i a po t e nc i a l , d a da pe l a Eq . 7 - 6 , e m f unç ã o da d i s t â nc i a

radia l r. Se a energia to ta l é pos i t iva , o e lé t ron não es tá l igado

a o á t om o . No m om e n t o , e s t a m os i n t e r e s s a dos a pe na s e m e s t a -

dos l igado s , i s to é , es tado s para os qua i s a energ ia E é negat iva .

Nes te caso , como mos t ra a f igura , a energia potenc ia l se torna

m a i o r que E para grandes va lores de r. Ac on t e c e que no c a s o

de s i s t emas l igados , como já v imos , apenas cer tos va lores de E

l e va m a s o l uç õe s be m - c om por t a da s . Es s e s va l o r e s pode m s e r

de t e r m i na dos r e s o l ve ndo a e qua ç ã o r a d i a l , que é ob t i da i gua -

lando o l ado esquerd o da Eq. 7-12 à cons ta nte 1(1 + 1 ) . Pa ra o

potenc ia l de Coulomb, dado pe la Eq. 7-6 , a equação radia l t em

a f o r m a

-h

2

d

2ixr

2

d

dR(r)\

+

kZ e

2

h

2

l(l + 1)

r

2

pr

2

R(r) = ER(r) 7 -2 4

A e q u a ç ã o r a d i a l p o d e s e r r e s o l v i d a u s a n d o o s m é t o d o s c o n -

ve nc i ona i s de s o l uç ã o de e qua ç õe s d i f e r e nc i a i s ; o s de t a l he s

da s o l uç ã o s e r ã o om i t i dos e xc e t o pa r a obs e r va r ( 1 ) que e s -

pe r a m os que e x i s t a um a l i ga ç ã o e n t r e o núm e r o quâ n t i c o p r i n -

c i p a l n e o n ú m e r o q u â n t i c o d e m o m e n t o a n g u l a r /, j á q u e o

ú l t i m o e s t á p r e s e n t e na Eq . 7 - 24 , e ( 2 ) que pa r a que a s s o l u -

ç õ e s d a E q . 7 - 2 4 s e j a m b e m - c o m p o r t a d a s a p e n a s c e r t o s v a -

l o r e s da e ne r g i a s ã o pe r m i t i dos . Os va l o r e s pe r m i t i dos de E

s ã o da dos po r

E = (kZe*\* M _ Z

2

Et

\ h ) 2 n

2

n

2

7-25



Energia

R

nl

(r) = a

0

e-^"r^J -

n = 1

n = 2

n

= 3

=

O

= O

= 1

= O

= 1

/ = 2

*io = ~F=

e

V«o

-r/ao

R™ —

R-,

1 r

a ia

Q

-

2

( _ lL

2 r 2

\

- O - r - V

a

o\

6

a j

1^601

4

r

2

8 J í Õ ã i a f

Resumo dos Números Quânticos

Os valores permit idos dos números quânticos n , l e m associa-

dos às variáveis r, Oe 4> são os seguintes:

n =

1, 2, 3 . . .

/ = 0 , 1 ,2 , . . . , ( » - 1)

m

= - / , ( - / + 1), . . . , 0 , 1 , 2 , . . . , + /

7-27

F i g . 7 - 5

Energia potencial de um elétron em um átomo de hidrogênio. Se a

energia total é positiva, como F, o elétron não está ligado ao átomo e a ener-

gia não é quantizada. Quando a energia total é negativa, como E, o elétron está

ligado ao átomo e apenas certos valores discretos da energia total levam a

soluções bem-comportadas.

o n d e

E

1

=

jxê^Hfr ~

13 ,6 eV e o núm ero quântic o pr incip al

n pode assumir os valores 1 , 2 , 3 , . . . , com a res tr ição ad icional

de que n deve ser maior que /. Estes valores de energia são idên-

t ico s ao s en co n t r ad o s n o mo d e lo d e Bo h r . As f u n çõ es r ad ia i s

encontradas reso lvendo-se a Eq. 7-24 para o caso do átomo de

h id r o g ên io são d ad as p e la seg u in te eq u ação :

7-26

onde £„,(r/a

0

) são funções especiais denominada s polinómios de

Lag u er r e c a„ =

frlpke

2

é o raio de Bohr . A Tabela 7-2 mostra

as funçõe s rad iais

R

n

,(r)

para

n

= 1, 2 e 3.

Ta bela 7 -2 Funções rad iais do átomo de h idrogênio

0 f a to d e a en er g ia d o á to mo d e h id r o g ên io n ã o d ep en d e r d e

1 es tá d e aco r d o c o m a teo r ia c lás s ic a , j á q u e , d e aco r d o co m

a mecân ica c lás s ica , a en er g ia d e u ma p ar t ícu la q u e se mo v e

em u ma ó r b i ta e l íp t ica so b a ação d e u ma f o r ça p r o p o r c io n a l

ao in v er so d o q u ad r ad o d a d i s tân c ia n ão d ep en d e d a ex cen -

t r ic id ad e d a ó r b i ta . A ó r b i ta d e men o r ex cen t r ic id ad e ( i s to é ,

a mais p r ó x ima d e u m c í r cu lo ) es tá as so c iad a ao maio r v a lo r

p o s s í v e l d o m o m e n t o a n g u l a r (l = n — 1 ) , en q u an to u m v a-

lor de

I

p e q u e n o c o r r e s p o n d e a u m a ó r b i t a a l t a m e n t e e x c ê n -

t r ica . ( Qu an d o o mo m en to an g u la r é n u lo , i s to é , q u an d o l =

0 , o e lé t r o n se l imi ta a ex ecu ta r o sc i laçõ es ao lo n g o d e u ma

l in h a r e ta q u e p assa p e lo n ú c leo . ) Tan to n a teo r ia c lás s ica

como na teor ia quântica, quando a força central não var ia com

o q u ad r ad o d o in v er so d a d i s tân c ia , a en er g ia d ep en d e d o

mo men to an g u la r . Nesse caso , a en er g ia é f u n ção tan to d e

n

como de l .

O n ú mer o q u ân t ico

m

es tá r e lac io n ad o à co mp o n en te

z

d o

momento angular. Como não existe uma direção preferencial para

o eixo dos

z

no caso de uma força central , a energ ia não pode

depender de m. Vamos ver mais tarde que quando o átomo es tá

imer so em u m camp o mag n é t ico ex te r n o , ex i s te u ma d i r eção

preferencial no espaço e a energ ia depende de m. (Este fenôm e-

no, conhecido como

efeito Zeeman

, será discuti do no final deste

capítulo.)

A Fig . 7-6 mostra o d iagrama de n íveis de energ ia do áto-

mo d e h id r o g ên io . O d iag r ama é sem elh an te ao d a F ig . 4 - 1 6 a ,

exceto pelo fato de os es tados com o mesmo valor de n mas

v a lo r es d i f e r en tes d e / s e r em in d icad o s sep ar ad am en te . Esses

es tados são identif icados pelo valor de

n

e por uma letra mai-

ú scu la :

S

p a r a

l

= 0,

P

para / = 1,

D

p a r a

l

= 2 e F p a r a

l

= 3.

Essas letras são as in iciais das palavras usadas pelos espectros -

copis tas para descrever as l inhas das quatro pr imeiras sér ies

esp ec t r a i s : Sh ar p , P r in c ip a l , D i f f u se e Fu n d amen ta l .

1

(Para

valores de l maiores que 3 , as le tras são usadas em ordem al-

f ab é t ica ; a s s im,

G

co r r esp o n d e a

l

= 4 e ass im por d ian te. ) As

transições do t ipo d ipolo elétr ico en tre os n íveis de energ ia

o b ed ecem às r eg r as d e se leção

A m = 0 ou ± 1

M = ± 1

7-28

O f a to d e q u e o n ú mer o q u ân t ico / d ev e v ar ia r d e ± 1 q u a n -

d o o á to mo emi te o u ab so r v e u m f ó to n es tá r e lac io n ad o à

c o n s e r v a ç ã o d o m o m e n t o a n g u l a r , j á q u e o f ó t o n p o s s u i u m

m o m e n t o a n g u l a r i n t r í n s e c o i g u a l a 1 h . Po r o u t r o lad o . n ão

e x i s t e m r e s t r i ç õ e s q u a n t o à v a r i a ç ã o d o n ú m e r o q u â n t i c o

p r i n c i p a l ,

An.

' Ou

seja,

Estreitas, Principais,

Difusas

e Fundamentais, respectix amec.e- N

do

T




Energia, eV

n

1 =

0

1

-13,6 eV

Fig . 7 -6 Diagrama de níveis de energia do átomo de hidrogênio, mostrando as

trans ições que obedecem à regra de seleção A/ = ± 1. Os estados com o mesmo

valor de ne valores diferentes de /têm a mesma energia, -f,//

2

, onde E, = 13 ,6

eV, como na teoria de Bohr. Os comprimentos de onda da linha a da série de Lyman

[n = 2 - > n = 1) e da linha a da série de Balmer (n = 3 n = 2) estão indicados

em nm. Observe que no segundo caso existem três transições distintas com o

mesmo comprimento de onda (de n = 3, / = 0 para n = 2,

Z

= 1; de n = 3, l =

1 para

n =

2,

i

= 0; de

n

= 3, / = 2 para

n =

2, / = 1).

Exercícios

1. Por que a quantização do mom ento angular não fo i observada

na f ís ica cláss ica?

2 . Quais as semelhanças e as d iferenças en tre a quantização do

mom ento angular na teor ia de Schrõdinger e no modelo de Bohr?

3 . Por que a energ ia do átomo de h idrogênio não depende de /?

Por que não depende de m?

7 - 3 A s Fu n çõ e s d e O n d a d o Á to mo d e

H i d r o g ê n i o

As funções de onda i//„

ím

(r, 9, <fi) que sat is fazem à equação de

Schrõdinger do átomo de h idrogênio são funções complicadas

de r , 9 e çi>. Ne sta s eção, va mo s es crever p or exte nso algum as

dessas funçõe s e mostrar graf ica men te algum as de suas propr ie-

dades mais impor tan tes .

Como vimos, a var iação com <f> da função de onda (Eq. 7-14)

éd ad a s implesmente por A var iação com 0(Eq . 7-15) é dada

pelas funções de Legendre associadas/

/m

(0) . A var iação angular

comple ta é dada pelos harm ônicos esfér icos Y

lm

(9 , <fi), o produto

átf

lm

(d) p o r gJ4>) (Eq. 7-16) ; os valores dos harmô nicos esfér i-

cos para l = 0, 1 e 2 aparecem na Tabela 7-1. As soluções da

equação rad ial R„,(r) são da forma indicada na Eq. 7-26; os valo-

res para n = 1 , 2 e 3 aparece m na Tabe la 7-2 . De acordo com a

Eq. 7-10 , a função de onda completa do átomo de h idrogênio é

dada por

iLm(r, 9, <f>) = C

nlm

R

ln

(r)f

lm

(9)g

m

(4>) 7-

onde C

nlm

é uma constan te de normalização .

Podemos ver pela forma da Eq. 7-29 que a função de onda

completa depende dos números quânticos n,lem, que por sua

vez resu ltam das condições de contorno impostas às funções R(r),

flff) e g(4>).

A

energia, por outro lado, depende apenas do valo

de n. De a cordo com a Eq. 7-27 , para cada valor de n ex is tem n

valores poss íveis de 1(1 = 0, 1, 2, . . . , n— 1) e para cada valor de

/ ex is tem 21+1 valores poss íveis de m (m = —/, —/ + 1, ...,

+/ ) . Exceto no caso do es tado fundam ental (para o qual n = 1 e

por tan to l = m = 0) , ex is tem vár ias funções de onda c orrespon-

dentes à mesma energ ia. Como vimos na seção anter ior , a or i-

gem desta degeneração es tá na var iação com l /r

2

da força de

atração do núcleo e no fato de que não exis tem or ien tações pr i-

v i leg iadas no espaço .

0 Estado Fundamental

Vamos examinar mais de per to as funções de onda de alguns

estados , começando pelo es tado de menor energ ia, ou es tado

fundamental , para o qual n = 1,1 = 0 e m = 0. Ne sse caso, o

poli nóm io de La gue rre ££„, da Eq. 7-2 6 é igual a 1 e a funç ão de

onda é dada por

0100

=

C

100

e-

Zr

<°<>

A constan te C

10 0

é determinada por normalização:

7-30

h ^ l í t

ijj*il/r

2

se n d dcj) dd dr = 1

onde usamos o elemento de volume em coordenadas esfér icas

(Fig. 7-7)

dr= ( r s e n 9 dcf>)(r d8)(dr)

r

sen 0

d

ij>

dx= (rsen 9 d$)(rdB) dr

=

r

2

se n 9

dr dB

dij>

F i g . 7 - 7

Elemento de volume C/T em coordenadas esféricas.




Com o 0 * 0 é e s fe r i cam ente s imé t ri ca pa ra e s t e e s t ado , o re s u l ta -

do das integrações em d e 0 é 4 In teg rando em r , t emos :

5

_ i / z y » _ i / i v «

7

,

Cioo - - p i — ) - "7= 1 — ) para Z - 1 7-31

A p r o b a b i l i d a d e d e e n c o n t r a r u m e l é t r o n n o v o l u m e d r é

0*0Í/T .

A dens id ade de proba bi l idad e 0 * 0 es tá i lus trada na Fig. 7-8.

No caso do es tado fundamental , a dens idade de probabi l idade é

máxima na origem. Muitas vezes é mais interessante ca lcular a

probabi l idade de encontrar o e lé t ron em uma casca es férica en-

tr e r e r + dr. E s ta p robab i l idade , P(r) dr, conhec ida como den-

sidade de probabilidade radial, é igual à dens idade de probabi-

l idade 0*0 mult ipl icada pelo volume de uma casca es férica de

es pes s ura dr:

P(r) dr = ip*<p4iTr

2

dr = 4irr

2

Cl

<x

,e-

2Zrla

° dr 7 -32

A Fig. 7-9 mostra um gráfico de P(r) e m f u n ç ã o d e r/a

0

. Fica a

cargo do le i tor (Problema 7-20) mostrar que o valor de P(r) é

- : 7- 8 Densidade de probabilidade

<p*ip

para o estado fundamenta l do átomo

fe hi drogên io. A grandeza e ^ i p pode ser encarada como a densidade de carga

associada ao elétron, (a) A densidade de probabilidade tem simetria esférica, é

s> ~a na origem e diminu i exponencialmente com r. Para gerar este gráfico,

sr

co gr am a de computador realizou centenas de "observações" do elétron no

: a r z xz [ou seja, com 0 = 0] e assinalou com um ponto as posições em que o

s e n o foi "observado". (b) Gráfico mais convencional da densidade de probabi-

tetK j--,-

2

em função de rla

0

. Compare os dois gráficos,

[o

gráfico gerado em compu-

ser t ::~isis de

Paul Doherty, T he Exploratorium.]

Fig . 7 -9

Densidade de probabilidade radial

P(i)

em função de r/a

0

para o estado

fundamental do átomo de hidrogênio. P(r) é proporcional a r

2

^ , J

2

. A distância

mais provável é igual ao raio de Bohr, a

0

.

<r.

máx imo pa ra r = a^Z. Ao contrár io do que ocorre no mo delo de ^

Boh r do á tomo d e hidrogênio , em que o e lé tron possui um a ór- I—•

b i t a bem de f in ida com r = a

0

, no mode lo de Schrõd inge r o e l é - b

tron pode ser encon trado a qualqu er dis tância do núcleo; entre-

tanto, a dis tância mais provável é a

0

, e a proba bi l idade de o e lé- —

tron ser enco ntrado a um a dis tância muito diferen te des te valor

é ex t remam ente pequena . É pos s íve l imag ina r o e l é t ron como

sendo uma nu vem de carga negat iva de dens idad e p = e i/** i/f, sem

esquecer , porém, que o e lé tron é sempre observado como uma r

ca rga i s o lada . Obs e rv e que o mom ento angu la r do e lé t ron no

e s tado fundam enta l é ze ro e não

1

h , com o na teoria de Bohr .

Estados Excitados

N o p r i m e i r o e s t a d o e x c i ta d o , n = 2 e / = 0 o u l . P a r a l = 0,

m = 0 , e novamente t emos uma função de onda com s ime t r i a

e s fé r i ca , dada por

0200

= C

2

0 0 ( 2 - fje-

Zr,2a

°

7 - 3 3

Para l =

1

, m = + 1 , 0 ou —1. As funções de onda cor re spon-

dentes (veja as Tabelas 7-1 e 7-2) são

Zr

021o = C

210

— e-

Zrl2a

° cos 6 7 -34

a o

021*1 = C

2

i*i — e~

Zr,2a

° se n 0 7-35

a

0

A F ig . 7 -10a mos t ra P(r) e m f u n ç ã o de r a

n

para essas funções

de onda. Para n — 2 , l = 1, o valor de P(r) é máx imo quando a

dis tância radia l é igual ao ra io da segunda órbi ta de Bohr,

r

máx = 2

2

a

0

enquan to pa ra n = 2 e / = 0, P(r) t em do i s máx imos , o ma io r

dos quais ocorre para uma dis tância um pouco maior que o ra io

da segunda órbi ta de Bohr.

A dens idade de probabi l idade radia l para os outros es tados

exci tados do hidrogênio pode ser ca lculada da mesma forma. A

Fig . 7 -10 b , por exemplo , mos t ra a função P(r) para o segundo




(b) P(r)

O

P(r)

O

P(r)

O

I I I I I I I I I

10 15

n= 3

=2

10

15

r/a„

r/a

n

Fig . 7 -10 (a) Densidade de probabilidade radial P(r) em função de r/a

0

p

os estados

n=

2 do átomo de hidrogênio. l\lo caso de

l

= 1,

P[i)

é máx

para o valor de Bohr, 2

2

a

0

. No caso de / = O, existe um máximo nas vizinh

ças deste valor e um máximo secundário perto da origem. As marcas no e

dos x mostram os valores correspondentes de

(r/a

0

). {b)

em função

r/a

0

para os estados

n

= 3 do átomo de hidrogênio.

es tado exci tado, n = 3. A não ser nas viz inhanças da or igem, a

pr i nc i pa l va r i ação r ad i a l de P( r) e s t á con t i da no f a t o r e~

Zr

'""".

Uma aná l i s e de t a l hada dos po l i nómi os de L aguer r e mos t r a que

<// —» r

1

q u a n d o r 0 ; a s s i m , pa r a um dado n. tl/^ é ma ior nas

pr ox i m i dades da o r i gem qua ndo / é pequen o .

Uma pr opr i edade i mpor t an t e des t a s f unções de onda é que a s

d e n s i d a d e s d e p r o b a b i l i d a d e a p r e s e n t a m s i m e t r i a e s f é r i c a p a r a

/ = 0 , mas dependem de d pa r a 0 . Os g r á f i cos de dens i dad e

de p r obab i l i dad e da F i g . 7 - 11 i l us t r am es t e f a t o pa r a o p r i me i r o

es t ado exc i t ado , n = 2 . E s sas d i s t r i bu i ções angu l a r es de dens i -

dade de carga do e lé t ron depe nde m d o valor de / , mas nã o da par te

radial da fun ção de onda . Dis t r ibuições d e carga semelhan tes p

os e l é t rons de va l ênc i a de á t omos ma i s compl exo s desem penh

um pape l i mpor t an t e na f o r mação de l i gações qu í mi cas .

E x e r c í c i o

4 . No caso do e s t ado f undam ent a l do h i d r ogên i o , pa r a que va

d e r a d e n s i d a d e d e p r o b a b i l i d a d e ifr* (// é m áx im a? Por q u

máxi mo da dens i dade de p r obab i l i dade r ad i a l P(r) ocor r e p

um va l o r d i f e r en t e de rl

1 s

2 P

3 d

4

•

t 1

• «

•

•

177 = 0

(77=

±1

m =

± 2

m

= ±3

*

*

4»

* *

« •

m = O

(77=

±1

777 = ±2

¥

4 »

*

* »

m 0

777 = ±1

f

*

777 = 0

• I » • • »

777 = ±1

777 - ±2

# %

• • »

W

m= 0

m= ±1

•

W ß

777 = 0

Representação da densidade de probabilidade |i>„J

2

para

trons com vários valores dos números quânticos. Os dia

mas são simétricos em relação a um eixo vertical no pl

do papel, passando pelo centro de cada figura. A escala

é a mesma em todos os diagramas. [Fonte. ArthurBeiser. con

of Modem Physics, 5. ed. Copyright 1995 by McGraw-Hill, Inc., p. 216.]



Física Atômica 195

1 .

n =

2 n

=

2 n

=

2

/ = 0 / = 1 / = 1

m = 0 m=O m = ± 1

F i g . 7 - 1 1 Densidade de probabilidade i m p a r a os estados /7 = 2 do hidrogênio. A probabilidade tem simetria esférica para ; = 0, é proporcional a cos

2

0 para / = 1,

m = 0 e é proporcional a sen

2

e para / = 1, m = ± 1. Como as densidades de probabili dade são simétricas em relação ao eixo dos z, a densidade tridimensiona l de

carga tem a forma de uma esfera para o estado / = 0, m = 0, a for ma de um haltere para o estado l = 1, m = 0 e a for ma de um pneu para o estado z = 1, m = ± 1.

As formas dessas distribuições são típicas para todos os átomos em estados S (I = 0) e P (/ = 1) e desempenham um papel importan te nas ligações moleculares.

[Estes gráficos g erados em computado r são cortesia de Paul Doherty, The Exploratorium.]

7 -4 O Sp in do E lé t r on

Como fo i d i to no Cap. 4 , quando uma l inha espectral do h idro-

gênio ou de outros átomos é observada com alta reso lução , ve-

r if ica-se que ex is te um a estrutura fina, ou seja, que a suposta linha

é const i tu ída na verdade por duas ou mais l inhas muito próxi-

mas. Comentamos na ocasião que os cálcu los relat iv ís t icos de

So mmer f e ld , b asead o s n o mo d e lo d e Bo h r . e s tav am d e aco r d o

com os resu ltados exper imentais para a es tru tura f ina do h idro-

gênio , mas es ta concordância revelou-se for tu i ta: o número de

linhas observadas e m outros átomos e ra maio r que o previs to por

So m mer f e ld . Par a ex p l ica r a es t r u tu ra f in a e ao mesm o temp o

concil iar a tabela per iódica com o pr incíp io de exclusão (veja a

Seção 7-6) , W. Pauli

6

suger iu em 1925 que além dos números

quântico s n , l e m o elétron possuía um q uar to núm ero quântico ,

que podia assumir apenas dois valores .

Co m o v imo s , o s n ú mer o s q u ân t ico s r esu l tam d as co n d içõ es

de f ronteira para algum a coordenada. Pauli esperava in icialmente

que o quar to número quântico es t ivesse associado à coordenada

temp oral em um a teor ia relat iv ís t ica, mas es ta idéia não se reve-

lo u

frutífera.

N o mesm o an o , S . Go u d smi t e G . Uh len b eck ,

7

alu-

nos de doutorado em Leiden , propuseram que es te quar to núme-

r o q u ân t ico e r a a co mp o n en te

z,

m

s

, d e u m mo men to an g u la r

in tr ínseco do elétron que chamaram de spin. Eles atr ibuíram ao

módulo do vetor sp in S a mesma forma que o módulo do vetor

mo m en to an g u la r o r b i ta l L assume na mecânica ondulatór ia de

Sch r õ d in g er :

ISI = Js(s + 7-36

Co mo es te mo men to an g u la r in t r ín seco é d esc r i to p o r u m n ú -

m e r o q u â n t i c o s semelh an te ao n ú mer o q u ân t ico Z u sad o p ar a

d escr ev er o mo men to an g u la r o r b i ta l , e sp er amo s q u e ex is tam

2s + 1 v a lo r es p o ss ív e i s p a r a a su a co m p o n e n te

z,

a s s i m c o m o

e x i s t e m

21 +

1 v a lo r es p o ss ív e i s p a r a a co m p o n e n te

z

d o m o -

men to an g u la r o r b i ta l . Pa r a q u e m

s

ten h a ap en as d o is v a lo r es ,

como fo i suger ido por Pauli , é preciso que s seja igual a 1 /2 ,

caso em q u e m

s

p o d e te r o s v a lo r es +1 /2 e —1 /2 . A lém d e

explicar a es tru tura f ina e a tabela per iódica, a h ipótese do sp in

e le t r ô n ico tamb ém ex p l ico u o r esu l tad o in esp er ad o d e u m in -

te r es san te ex p er imen to r ea l izad o p o r O . S te r n e W. Ger lach

em 1 9 2 2 e q u e se r á d esc r i to d aq u i a p o u co em u ma Seção

Ex p lo r a tó r ia . Par a co mp r een d er mo s p o r q u e o sp in d o e lé t r o n

p r o d u z o d esd o b r amen to d o s n ív e i s d e en er g ia co n h ec id o c o mo

es t r u tu r a f in a , p r ec i sa mo s ex am in ar a r e lação en t r e o mo m en -

to an g u la r e o mo men to mag n é t ico d e u m s i s tema d e p ar t ícu -

las ca r r eg ad as .

Momento Magnético

De aco r d o co m o ch amad o teorema de Larmor, um s is tema de

p ar t ícu las ca r r eg ad as an imad o d e u m mo v imen to d e r o tação

apresenta um momento magnético p r o p o r c io n a

1

ao seu mo men -

to angular . Considere uma par t ícu la de massa M e carga q d es -

crevendo uma circunferência de raio r com velocidade v . A f re-

q ü ên c ia d o mo v imen to d a p ar t ícu la é d ad a p o r / = v /2

irr

e seu

mo men to an g u la r é L — Mvr. O mo men to mag n é t ico d e u ma

espira percorr ida por cor rente é dado pelo produto da corrente

pela área da esp ira . No caso de uma carga em movimento circu-

lar , a cor rcntc é igual à carga mult ip l icada pela f reqüência do

mo v imen to :

O m o m e n t o m a g n é t i co p é por tan to dado por

8

<

í = i A =

« ( ú ) ^

2 ) =

h

v r = l

A j ò

^

Co mo p o d emo s v er n a F ig . 7 - 1 2 , s e q é p o s i t iv a , o mo men to

mag n é t ico tem o mes mo sen t id o q u e o mo m en to an g u la r : s e

q

é



196 Física Atômica

F i g . 7 - 1 2 Uma partícula que se move em órbita circular tem um momento angu-

lar L cujo módulo é dado por L = Mvr. Se a carga da partícula é positiva, o mo-

mento magnético /u associado à corrente tem o mesmo sentido que L.

n e g a t iv a , / í e L t ê m se n t id o s o p o s to s , o u se j a , sã o a n t ip a ra l e -

lo s . I s t o n o s p e rm i t e e sc re v e r a Eq . 7 -3 8 c o m o u m a e q u a ç ã o

ve tor ia l :

* 2 M

e eh ,

/JL = - — L = -— V/(7 + 1)

2m,

2m,

VW + 1

)P

B

A lé m d i s so , d e a c o rd o c o m a Eq . 7 -2 3 , a c o m p o n e n te z d o m o -

m e n to é d a d a p o r

eh

2m

m = — 7?7 /U

b

7 -4 1

caso do momento angula r L do e lé t ron , a Eq. 7-39 pode se

cr i ta na forma

L

e as Eqs. 7-40 e 7-41 na forma

M = V W + l j & M s

7 -3 9

A Eq . 7 -3 9 , q u e d e m o n s t r a m o s p a ra u m a ú n ic a p a r t í c u l a m o -

v e n d o -se e m c í r c u lo s , é v á l i d a p a ra q u a lq u e r s i s t e m a d e p a r t í -

c u l a s e q u a lq u e r t i p o d e m o v im e n to , c o n ta n to q u e a r e l a ç ã o q /

M ent re a ca rga e a massa se ja a mesma para todas as par t ícu las

d o s i s t e m a .

A p l i c a n d o e s t e r e su l t a d o a o m o v im e n to orbital do e lé t ron no

á to m o d e h id ro g ê n io e su b s t i t u in d o o m ó d u lo d e L p e lo se u v a -

lor , dado pe la Eq. 7-22 , temos:

= - mg

L

fi

B

o n d e g

L

= 1.

O sina l nega t ivo n as Eqs. 7- 43 e 7-45 se deve ao fa to de a

d o e l é t ro n se r n e g a t iv a . O s v e to re s m o m e n to m a g n é t i c o e

m e n to a n g u la r a s so c i a d o s a o m o v im e n to o rb i t a l d o e l é tro n

p o r t a n to , se n t id o s o p o s to s . A s Eq s . 7 -4 4 e 7 -4 5 m o s t r a m

q u a n t i z a ç ã o d o m o m e n to a n g u la r l e v a à q u a n ti z a ç ã o d o m o m

m a g n é t i c o .

O c o m p o r t a m e n to d e u m s i s t e m a c o m u m m o m e n to m a g n

dife rente de zero na presença de um campo magnét ico pod

visua l izado imaginando o que acontece com um pequeno ím

form a de barra (Fig . 7-13) . Quand o o ímã é subm et ido a um

p o m a g n ét ic o u n if o rm e B , s ur ge u m to rq u e r = / t X B q u

com que o e ixo do ímã precesse em torno da d i reção do c

magnét ico , da mesma forma como o e ixo de ro tação de um

ou de um giroscópio precessa em torno da d i reção do campo

vitacional.

(a)

7 -4 0

T = J IX B

(b)

o n d e m

e

é a ma ssa do e lé t ron , m é a c o m p o n e n t e z d o m o m e n t o

a n g u la r e é u m a u n id a d e n a tu ra l d e m o m e n to a n g u la r c o n h e -

c id a c o m o magnéton de Bohr, cu jo va lor é

eh

Ms = = 9 ,27 X IO"

2 4

joule / tesla

2 m

e

' 7 .4 2

= 5 ,7 9 X IO "

9

e V / g a u s s = 5 ,79 X IO"

5

eV/ tesla

Em b o ra a p ro p o rc io n a l id a d e e n t r e /w e L se j a u m a p ro p r i e d a -

d e g e ra l d e d i s t r i b u i ç õ e s d e c a rg a a n im a d a s d e u m m o v im e n to

de ro tação , a re lação expressa pe la Eq. 7-39 se apl ica apenas a

u m a c a rg a i so l a d a q d e sc re v e n d o u m m o v im e n to c i r c u l a r . Pa ra

p e rm i t i r q u e a m e s m a e x p re s sã o m a te m á t i c a se j a u sa d a e m s i t u -

a ç õ e s m a i s c o m p le x a s , c o s tu m a -se e x p re ssa r o m o m e n to m a g -

- é t ico em te rmos de

JL

B

e d e u m a g ra n d e z a a d im e n s io n a l d e n o -

m i n a d a razão giromagnética ou fator g, representada pe la le t ra

. . cu jo va lor depende da geometr ia da d is t r ibuição de cargas. No

F i g . 7 - 1 3 Representação de um momento magnético por um ímã em fo

barra, (a) Em um campo magnético externo, o momento experimenta um

t

=

ix

x B.

(b)

0

torque faz com que o eixo do ímã precesse em torno da

do campo magnético.



Física A t ô - c í ' r~

Para mu dar a or ien tação do ímã em re lação à d i reção do cam po

_rl icado, é prec iso rea l iza r um cer to t raba lho . O t raba lho neces-

sá r io para que o ângulo var ie de d d é d a d o p o r

dW = rdO = IJLB s e n 6 d8 = d{- fxB c o s 0 ) = d ( -

|x

•

B )

A energia potenc ia l do s is tema é , por tanto ,

U = -

|A B 7- 46

7 : — a n do a d i re ç ã o d o c a m p o B c o m o e ix o d o s z, t e m o s :

U = ~/jl

z

B

7-47

N : ; aso do sp in do e lé t ron , te mo s:

fi = + l)fi

B

=

e

m

s

fi

B

= 7 - 4 8

E m u m á t o m o , o s e l é t r o n s es t ã o s u b m e t i d o s a o c a m p o m a g n é -

t i c o r e su l t a n t e d o m o v im e n to a p a re n t e d o n ú c l e o . D e a c o rd o

c o m a Eq . 7 -4 7 , a i n t e ra ç ã o e n t r e o sp in e l e t rô n i c o e e s t e c a m -

p o m a g n é t i c o t e m v a lo re s d i f e re n t e s p a ra e l é t ro n s c o m m

s

=

+ 1 / 2 e p a r a e lé t r o n s c o m m

s

= —1 /2. Es t e d e sd o b ra m e n to d o s

n ív e i s d e e n e rg i a é o r e sp o n sá v e l p e l a e s t ru tu ra f i n a d a s l i n h a s

e sp e c t r a i s .

A re s t r i ç ã o d o sp in , e p o r t a n to d o m o m e n to m a g n é t i c o i n -

t r í n se c o d o e l é t ro n , a d u a s o r i e n t a ç õ e s n o e sp a ç o c o m m

s

= ± 1 /

2 . é m a i s u m e x e m p lo d e q u a n t i z a ç ã o e sp a c i a l . O m ó d u lo d o

m o m e n t o m a g n é t i c o a s s o c i a d o a o m o m e n t o a n g u l a r d e s p i n

p o d e se r d e t e rm in a d o a p a r t i r d a d e f l e x ã o d o f e ix e d e p a r t í c u -

l a s e m u m e x p e r i m e n t o d e S t e r n - G e r l a c h ( v e j a a S e ç ã o E x p l o -

ra tó r i a a se g u i r ) . O r e su l t a d o não é /x

fi

/2 , como ser ia de se es-

p e ra r u sa n d o a Eq . 7 -4 1 c o m m = m

s

= 1 /2 , m a s d u a s v e z e s

e s t e v a lo r . (Es t e t i p o d e e x p e r im e n to n ã o é u m a fo rm a p re c i sa

d e m e d i r m o m e n t o s m a g n é t i c o s , e m b o r a a m e d i d a d o m o m e n -

to a n g u la r se j a p re c i sa , p o i s e n v o lv e a s im p le s c o n ta g e m d o

n ú m e r o d e l i n h a s . ) M e d i d a s m a i s p r e c i s a s r e v e l a m q u e o m o -

m e n to m a g n é t i c o i n t r í n se c o d o e l é t ro n é d a d o p o r

- m

s

g

s

f i

B

Seção Exploratória

F =

-V U

= - V ( - | x - B )

Fig. 7-14 No experimento de Stern-Gerlach, os átomos provenientes de um forno

são colimados, passam por um campo magnético não-homogêneo e incidem

em uma placa coletora.

Se o campo magnético B for homogêneo nas direções x e ^ o gradiente

estará orientado ao longo da direção z e o módulo da força será dado por

fjL.(clB/dz) = —m g

L

jí

B

(dBldz)

7-51

7 -4 9

o n d e g

s

= 2 ,002319. Este resul tado , e o fa to de que s não é um

número in te i ro como o número quânt ico de momento angula r or-

b i ta l / , sugere que o modelo c lássico do e lé t ron como uma esfe ra

carregada g i rando em torno de s i me sm a não deve se r tomado l i te -

r a lm e n te . Em b o ra n ã o f a ç a p a r t e d a m e c â n ic a o n d u la tó r i a d e

Schrõdinger , o fenôm eno do sp in está inc lu ído na mecânica ondu-

la tória re la tiv ís t ica formula da por Dirac . O va lor exper im enta l de

g

t

é previs to corre tamente pe la e le t rodinâmica quânt ica (QED

f

) ,

uma teor ia quânt ica re la tiv ís t ica que não cabe d iscut i r aqui .

O Experimento de Stern-Gerlach

Quando uma partícula de momento mag nético f i é submetida a um cam-

po magnético não-homogêneo B, a partícula sofre o efeito de uma for-

ça proporcional a

\x

e à divergência de B. Isso acontece po rque a força

F é igual ao negativo do gradiente da energia potencial, e portanto, de

acordo com a Eq. 7-46,

7-50

Do inglês çuantum e lec t rodynamics . (N. do T . )

Este efeito foi usado por Stern e Gerlach

9

em 1922 (antes da descoberta

do spin) para investigar as orientações no espaço, ou seja, a quantização

espacial, dos momentos magnéticos de átomos de prata. O experimento

foi repetido em 1927 (depois da descoberta do spin) por Phipps e Taylor,

usando átomos de hidrogênio.

A Fig. 7-14 m ostra o arranjo experimental usado por Stern e Gerlach.

Os átomos provenientes de um forno são colimados e passam por um ímã

cujos pólos possuem uma form a tal que a componente B . do campo mag-

nético aumenta gradualmente com z, enquanto as componentes

B

x

e

B

y

permanecem constantes. Depois de passarem pelo ímã, os átomos inci-

dem em uma placa coletora. A Fig. 7-15 ilustra o efeito de dB/dz sobre

mom entos magnéticos com diferentes orientações. Além do torque, que

produz apenas uma precessão do mom ento magnético em torno da dire-

ção do campo, existe uma força

F.

no sentido positivo ou negativo do eixo

dos z, dependendo do sinal de

fx„

já que a derivada dB/dz é sempre posi-

tiva. Esta força desvia os átomos para cima ou para baixo; o valor da de-

flexão

depende dos valores de

dB/dz e

da componente

/u.,

do momento mag-

nético. Classicamente, os momentos magnéticos dos átomos p oderiam ter

qualquer orientação; entretanto, como o mom ento m agnético é proporci-

onal ao momento angular L, que é quantizado, a mecânica quântica esta-

belece que pode assumir apenas os

21

+ 1 valores correspondentes aos

21+1 valores possíveis de m . Esperamos, portanto, 21+1 deflexões di-

ferentes (considerando uma deflexão nula como deflexão). Assim, por

exemplo, para / = 0 deveria ser observada uma linha na placa coletora,

correspondente a uma deflexão nula, e para 1 = 1 deveriam ser observa-

das três linhas, correspondentes aos três valores possíveis do número

quântico m:

—

1,0 e 1. O caso em que I = 1 está ilustrado na Fig. 7-15«.

Quando usaram átomos neutros de prata, Stern e Gerlach espera-

vam observar um a única linha, a l inha do meio da Fig. 7-15 è, já que

outras observações indicavam que o estado fundamental dos átomos

de prata era um estado com / = 0 e portanto com m = 0 e ^ = 0; as-

sim, a força F , seria nula e não haveria nenhum a deflexão. E ntretan-

to, quando o experimento foi executado, tanto com átomos de prata

como com átomos de hidrogênio, foram observadas duas Unhas, como

na Fig. 7-15c. Como o estado fundamental do hidrogênio também é

um estado com / = 0, seria observada uma única linha se não existis-

se o spin eletrônico. Entretanto, como o elétron possui um spin intrín-

seco cujo módulo é |s | = + \)ã, onde s = 1/2, a componente z

pode ter os valores +ã/2 e —h/2. Como o momento angular orbital é

nulo, o momento angular total do átomo é igual ao spin

10

e são obser-

vadas duas linhas. Stern e Gerlach foram os primeiros a observar di-

retamente o spin eletrônico e a quantização espacial.

Placa

coletora

Forno




F ig . 7 - 15

(a) Na presença de um campo magnético não-homogêneo, um momento magnético /u experimenta uma força F

z

cujo sentido depende do sinal dacor:

nente n

z

de e cujo módulo depende dos valores absolutos de de dBJdz. 0 feixe de átomos provenientes de um forno (que não aparece na ilustração) é col -

atravessa a região onde existe o campo magnético não-homogêneo e incide em uma placa coletora, (b ) Figura observada na placa coletora para o caso / = 1 i lus : i ;

em (a). As três linhas convergem nas extremidades e têm formas diferentes por causa de pequenas diferenças no gradiente do campo, (c) Figura observada na pta

coletora quando o feixe é constituído por átomos de prata ou hidrogênio.

As Funções de Onda Completas do Átomo de

Hidrogênio

N o s s a d e s c r i ç ã o d a s f u n ç õ e s d e o n d a d o á t o m o d e h i d r o g ê -

n i o n a S e ç ã o 7 - 3 n ã o e s t á c o m p l e t a p o r q u e n ã o l e v a e m c o n -

t a o s p i n d o e l é t r o n . A s f u n ç õ e s d e o n d a d o á t o m o d e h i d r o -

g ê n i o t a m b é m d e p e n d e m d o v a l o r d a c o m p o n e n t e z d o sp in ,

m

s

, q u e p o d e s e r + 1 / 2 o u - 1 / 2 . ( N ã o é n e c e s s á r i o e s p e c i f i -

c a r o v a lo r d o sp in t o t a l s p o rq u e e l e é se m p re i g u a l a 1 /2 . ) A

f u n ç ã o d e o n d a g e n é r i c a p o d e , p o r t a n t o , s e r e s c r i t a n a f o r m a

(/ /„ , ,„ ,„ , onde m, representa a componente

z

d o m o m e n t o a n -

g u l a r o r b i t a l . T e m o s a g o r a d u a s f u n ç õ e s d e o n d a p a r a o e s t a -

do fundamental do átomo de hidrogênio, «Aioo-i-1/2

e

•Aioo-ic 1

u e

c o r r e s p o n d e m a u m á t o m o n o q u a l o s p i n d o e l é t r o n e s t á

" p a r a l e l o " o u " a n t i p a r a l e l o " a o e i x o d o s z ( d e f i n i d o , p o r

e x e m p l o , p o r u m c a m p o m a g n é t i c o e x t e r n o ) . N o c a s o m a i s

g e r a l , o e s t a d o f u n d a m e n t a l d o á t o m o d e h i d r o g ê n i o é u m a

c o m b i n a ç ã o l i n e a r d e s s a s f u n ç õ e s d e o n d a :

i/r = C ^ 00+1/2 +

A p ro b a b i l i d a d e d e o b se rv a r u m á to m o c o m

m„

= +1 /2 (v e r i f

cando, por exemplo , em que ponto o á tomo a t inge a p laca cc

tora no exper imento de Ste rn-Gerlach) é dada por |C,p . A men.:

que os á tomos tenham sido se lec ionados previamente de a lg i_ m

fo rm a ( f a z e n d o -o s p a ssa r p o r u m c a m p o m a g n é t i c o n ã o -h o m o g ê

n e o , p o r e x e m p lo ) , j c j

2

= |C

2

|

2

= 1 /2 , e p o r t a n to a s p r o b a b i l i d a

de observarmos um á tomo com o sp in do e lé t ron apontando "par

c ima" e o sp in do e lé t ron apontando "para ba ixo" são igua is .

Ex e r c í c io s

5. Um sis tema tem que possui r uma carga e lé t r ica to ta l d i fe rent

d e z e ro p a ra p o ssu i r u m m o m e n to m a g n é t i c o ?

6 . Co n s id e re d o i s f e ix e s d e á to m o s d e h id ro g ê n io e m e rg in d o c

re g i ã o e m q u e e x i s t e c a m p o m a g n é t i c o n o e x p e r im e n to d e S t e r r

G e r l a c h . Q u a l é a d i f e re n ç a e n t r e a s fu n ç õ e s d e o n d a d o s á to m c

d e u m d o s f e ix e s e as fu n ç õ e s d e o n d a d o s á to m o s d o o u t ro f e

x e ? Q u a l é a d i f e re n ç a e n t r e e ssa s fu n ç õ e s d e o n d a e a fu n ç ã o c

onda dos á tomos do fe ixe or ig ina l , an tes de passar pe la regia

e m q u e e x i s t e c a m p o m a g n é t i c o ?

Imagens obtidas por Stern e Gerlach usando um feixe d

átomos de prata, (a) Na ausência de campo magnétic

todos os átomos atingem a placa coletora em uma lin

localizada na região central,

(b )

Na presença de um cam

po magnético não-homogêneo, a linha se divide em dL=

[Fonte: 0. Stern e W. Gerlach, Zeitschr. f. Physik 9, 349 (1922).]



Física Atômica 1 99

7 - 5 M o m e n t o A n g u l a r T o t a l e o E f e i t o

S p i n - Ó r b i t a

No caso mais gera l , um e lé t ron em um á tomo tem um momento

angu lar orb i ta l , ca rac te r izad o pe lo núm ero qu ânt ico Z, e um

momento angula r in t r ínseco , ou sp in , ca rac te r izado pe lo núme-

ro quânt ico 5 . Mui tos s is temas c lássicos também possuem dois

t ipos de momento angula r . A Terra , por exemplo , apresenta um

mov imento de ro tação em torno do própr io e ixo e um mov imen-

to de translação em volta do Sol; o giroscópio, além de girar em

torno de si mesm o, apresenta um movim ento de precessão . Clas-

s icamente , o momento angula r to ta l

J = L + S 7-52

é uma grandeza importante porque em qua lquer s is tema o tor-

que resul tan te é igua l à taxa de var iação do momento angula r

to ta l ; a lém disso , no caso de forças centra is , o momento angu-

lar total é constante. Nos sistemas clássicos, o módulo J d o m o -

mento angular total pode ter qualquer valor entre L + S e \L

—

S|.

Já v imos que na mecânica quânt ica a s i tuação é mais comple-

xa : L e S são quant izados e podem assumir apenas a lgumas or i -

entações re la t ivas . As regras da mecânica quânt ica para combi-

nar o momento angula r orb i ta l com o sp in (ou , no caso mais

gera l , para combinar dois momentos angula res d i fe rentes , como

os assoc iados a duas par t ícu las) , são um po uco com pl icadas, de

mo do que vam os nos l imi ta r a apresenta r os resul tados. No caso

que estamos examinando, o módulo do momento angula r to ta l

J é dado por

IJI

=

y/Kj + 7-53

onde o número quânt ico assoc iado ao momento angula r to ta l . j.

pode ser

j = l + s o u j = \l — s \ 7-54

e a componente z de J é dada por

J. = rrijh o n d e m

= - ; , - ; ' + 1, . . - ,j ~ h j 7-55

(Q u a n d o

Z

= 0 , o mom ento angula r é igua l ao sp in e j = s) . O

mode lo ve tor ial s impl i f icado da Fig . 7-16a m ostra as duas com -

binações possíve is , . / =

Z

+ 1/2 = 3/2 ej — l — 1/2 = 1/2, para

o caso de um elétron para o qual

Z

= 1 . Os módulos dos ve tores

são proporc iona is a

[1(1

+ l)]

1

'

2

, [s(s + l) ]

1

'

2

e [/'(/' + l) ]

1

'

2

. Dize-

mos que os ve tores assoc iados ao sp in e ao momento angula r

orb i ta l es tão "para le los" quando j = 1 + se "ant ipara le los" quan-

do j = \l — í | . A Fig. 7-16fo mostra um modelo mais preciso da

soma ve tor ia l . De acordo com a Eq. 7-55 , o número quân t ico m

J

pode assumir 2 / + 1 valore s, em intervalos inteiros, de — j a +j.

A Eq. 7-55 também permite conc lu i r que n i j = m, + m„ já que

J

Z

= L

:

+ S

z

.

A Eq. 7-54 é um caso espec ia l de uma regra mais gera l para

combinar momentos angula res , que pode se r usada no caso de

duas ou mais par t ícu las (o á tomo de hé l io , por exemplo , possui

dois e lé trons, cada um com um m omen to angula r orb i ta l, um spin

e um momento angula r to ta l ) . A regra é a seguin te :

S e J , e J

2

sã o do i s mo me nto s a ng u la r e s qua i sque r (o r b i -

ta i s , in tr ínse c o s o u uma c o m bina ç ã o do s do i s ) , o m ó dulo

do mo me nto a ng u la r r e su l ta nte J = J, + J

2

é da do po r

[/'(/' + 1)]

1/2

Ã, onde j po de se r qua lque r um do s se g u in te s

v a lo r e s :

j i +Ji, ji +A " 1, . . . , IA -j

2

\

F i g . 7 - 1 6 (a) Modelo vetorial simplificado ilustrando a adição dos momentos angulares orbital e intrínseco para o caso em que l = 1 e s = 1/2. Existem dois

valores possíveis para o número quântico associado ao momento angular total, y = / + s = 3/2 e / = / - s = 1/2. (b) Adição vetorial dos momentos angulares

orbital e intrínseco, também para o caso em que / = 1 e s = 1/2. De acordo com o princípio de indeterminação, os vetores podem ser encont rados em qualque r

lugar dos respectivos cones, que correspondem a valores definidos de suas componentes z. Observe que existem dois modos possíveis de formar os estados j =

3/2, m, = 1/2 e / = 1/2, m

;

= 1/2.



Exemplo 7-2 A d iç ã o d e Mo m e n to s A n g u la r e s I Dois elétrons

possuem momento angu la r o rb i ta l nu lo . Qua is são os números

quân t icos possíve is pa ra o momento angu la r to ta l de um sis te -

ma fo rmado pe los do is e lé t rons?

estados possíve is :

1/2

. (Alguns au to res omi-

tem o número quân t ico p r inc ipa l e o índ ice que ind ica o sp in

to ta l quando esta s in fo rmações e s tão impl íc i ta s ou são desne-

cessá r ia s . )

Solução

Neste caso , j , = j

2

= 1/2. De acordo com a regra geral, existem

dois va lo res possíve is pa ra j, j = 1 e j = 0. No primeiro caso,

dizemos que os spins dos elétrons estão paralelos; no segundo,

que os spins estão antiparalelos.

Exemplo 7-3 A d iç ã o d e Mo m e n to s A n g u la r e s I I Um e lé t ron

em um á tomo tem um m ome nto angu la r o rb i ta l L j com /, = 2 e

um segundo e lé t ron tem um momento angu la r o rb i ta l L

2

c o m

l

2

= 3 . Qua is são os números quân t icos possíve is pa ra o mo-

men to angu la r o rb i ta l to ta l L = L

l

+ L

2

?

Solução

C o m o Z] + /

2

= 5 e |Z,

4,3, 2 e 1.

1, os valores possíveis de Z são 5,

Notação Espectroscópica

A notação espec troscóp ica , uma espéc ie de cód igo desenvolv i-

do nos p r imórd ios da espec troscop ia pa ra condensa r a s in fo r-

mações e s impl i f ica r a desc r ição das t ransições en tre e s tados,

fo i ma is ta rde ado tada pa ra uso ge ra l na f ís ica a tômica , mole -

cu la r , nuc lea r e de pa r t ícu las e lementa res . A no tação pa rece a r-

b i t rá r ia , " mas é fác i l de aprender e , como o le i to r te rá oportun i-

dade de constatar, fácil de usar. No caso de elétrons isolados,

temos:

1. As letras s, p, d,f, g,h . .. são usadas para designar estado s

co m Z = 0, 1 , 2 , 3 , 4 , 5 . . . Assim, por exemplo, dizemos

que um e lé t ron com Z = 2 se encon tra em um estado d.

2. Os níveis de energia do elétron são cham ados de camadas

e designados pelas le tras K, L,M,N,0,P... que represen-

tam estados com

n =

1,2, 3 , 4 , 5 , 6 . . . Assim, por exem-

p lo , d izemos que um e lé t ron com n = 3 se encontra na

c a m a d a M. (Esta notação é menos usada que a anterior.)

No caso de camadas a tôm icas com um ou mais e lé t rons, a no ta -

ção inc lu i o núm ero quân t ico p r inc ipa l e os números quân t icos

de momento angu la r . O va lo r do número quân t ico assoc iado ao

momento angu la r o rb i ta l é represen tado por uma le t ra ma iús-

cu la , usando a mesm a conven ção que pa ra e lé t rons iso lados, ou

seja , as le tras S, P, D, F... corresp ondem a es tados com Z = 0,

1 , 2 , 3 . . . O va lo r de n é esc r i to como pr e f ixo e o va lo r do núm e-

ro quân t ico assoc iado ao momento angu la r to ta l j, como índ ice

inferior. O valor do spin total aparece como índice superior, à

esquerda da le t ra ma iúscu la , na fo rm a 2 s + 1.

12

Os estados co m

Z = 1 são , por tan to , represen tados por s ímbolos cu ja fo rm a ge -

nérica é

n

2s+1

Pj

Assim, por exemplo , o e s tado fundamenta l do h id rogên io é o

estado l

2

5

I/ 2

, que se lê da segu in te fo rm a: "um du ble to S me io" .

-ü -o de um e lé t ron na camada L(n = 2 ) , o momento angu-

lar orbita l / pode ser igual a 0 ou a 1, de modo que existem três

Acoplamento Spin-Órbita

E s ta d o s a tô m ic o s c o m o s m e sm o s v a lo re s de n e / mas d i fe ren -

te s va lo res de j possuem energ ias l ige i ramente d i fe ren tes por

causa da in te ração do sp in dos e lé t rons com seu movim ento em

torno do núc leo . Este fenômeno é conhec ido como efeito spin-

órbita. O desdobram ento resu l tan te das linhas e spec trais , com o

por exemplo o desdobramento das l inhas a ssoc iadas à t ransi -

ção 2

P

—> 15 do h id rogên io , é conhec id o co mo

desdobramen-

to fino. P o d e m o s c o m p re e n d e r q u a l i t a t i v a m e n te o e fe i to sp in -

órb i ta a pa r t i r do mode lo s imples de Bohr (F ig . 1-lla). Nesta

f igura , o e lé t ron está se movendo em uma órb i ta c i rcu la r , com

ve loc idade v , no sen t ido an t i -horá r io , em to rno de um pró ton

e s t a c io n á r io ; o m o m e n to a n g u la r

L

apon ta pa ra c ima . No re fe -

renc ia l do e lé t ron (F ig . 1 - l lb ) , é o p ró ton que se move em uma

órb i ta c i rcu la r , comportando-se por tan to como uma esp ira pe r-

c o r r id a p o r c o r re n te q u e p ro d u z u m c a m p o m a g n é t i c o

B

n a

posição do e lé t ron . O campo B também aponta pa ra c ima , sen-

do por tan to pa ra le lo a

L.

A energ ia po tenc ia l de um momento

m a g n é t i c o n a p re se n ç a d e u m c a m p o m a g n é t i c o d e p e n d e d a

or ien tação re la t iva en tre o momento e o campo magné t ico e é

dada por :

U = - |x B = - fi.B

7-56

A energ ia po tenc ia l é mín ima quando o momento magné t ico é

pa ra le lo a B e máxima quando o momento e o campo são an t i -

pa ra le los . Como o momento magné t ico do e lé t ron tem o sen t i -

do oposto ao do spin (já que o elétron tem carga negativa), a

energia de acoplamento spin-órbita é máxima quando o spin está

pa ra le lo a

B

e portanto a

L .

Assim, a energia do estado 2P

3/ 2

d o

h idrogên io , no qua l L e S são pa ra le los , é l ige i ramente ma ior

que a do estado

2 P

m

,

no qual

L

e

S

são antiparalelos (Fig.7-18).

13

O desdobramento obse rvado é de aprox imadamente 4 ,5 X IO"

5

eV para os estados 2 P

m

e 2 P

m

do h id rogên io . No caso de ou tros

á tomos, o desdobramento f ino pode se r bem maior . No sód io ,

por exemplo , e s te desdobram ento , com o veremos na Seção 7 -7 ,

é da ordem de 2 X IO"

3

eV.

(a)

P ©

/

v

(b) P

v

í

°Q

\

F ig . 7 -17

(a) Elétron girando em torno de um próton com o momento angular

L

apontando para cima. (b) 0 campo magnético B na posição do elétron devido ao

movimento aparente (relativo) do próton também aponta para cima. Quando o spin

do elétron está paralelo a L , o momento magnético tem a orientação oposta à de

L e B e portanto a energia de acoplamento spin-órbita tem o maior valor possivel.





2 P.

/2

2 P

2 P I ,

1S

~~t +HB

-AU

| b

K

| S

t *

H K I»

l

s

AC = 2 | i B

F i g . 7 - 1 8 Diagrama de níveis de energia mostrando o desdobramento fino. À es-

querda aparecem os níveis na ausência de um campo magnético; à direita, os

mesmos níveis na presença do campo magnético produzido pelo movimento re-

lativo do núcleo. A interação spin-órbita faz com que o nível 2Pse desdobre em

dois. O nível / ' = 3/2 tem uma energia ligeiramente maior que o nível j = 1/2. Em

conseqüência, a linha espectral associada à transição 2P-» 1S também se des-

dobra em duas linhas de comprimentos de onda ligeiramente diferentes.

Exemplo 7-4

D e sdo br a me nto F ino O desdobramento f ino dos

estados 2P

m

e 2P

V 2

do hidrogênio é 4,5 X IO"

5

eV. A partir desta

inform ação, est ime o va lor do campo magnét ico exper imentad o

por um e lé t ron 2p em um á tomo de h idrogênio . Suponha que o

c a m p o B é paralelo ao eixo

z.

Solução

1. A contribuição do campo magnético para a energia do elé-

tron é dada pela Eq. 7-56:

U = - |A B = - /JL.B

2. A energia U pode se r posi t iva ou nega t iva , dependen do da

orientação relativa entre /n e B . A diferen ça de energia entre

as duas orientações possíveis é dada por

A £ = 2U = 2/jl.B

3. Como o momento magnét ico do e lé t ron é /x

B

, p.

z

= /jl

b

e

por tanto

A E » 2yu,

b

B

4. Expl ic i tando B e subst i tu indo fji

B

e AE por seus valores,

temos:

A E

B «

ponente z do momen to magnét ico to ta l . Este desdobram ento dos

níve is de energia dá or igem a um desdobramento das l inhas do

espec t ro de emissão do á tomo. O desdobramento das l inhas es-

pec t ra is de um á tomo quando este é submet ido a um campo

mag nético exter no foi desco berto por P. Zee man (veja a nota 17)

e é conhec ido como efeito Zeeman.

7 - 6 E s t a d o s F u n d a m e n t a i s d o s

Á t o m o s d o s E l e m e n t o s : A T a b e l a

P e r i ó d i c a

Vamos agora examinar qua l i ta t ivamente as funções de onda e

níve is de energia de á tomos mais complexos que o de h idrogê-

nio . Como já d issemo s, a equação de Schrõdinger não pode se r

resolv ida exa tamente para á tomos com mais de um e lé t ron por

causa das interações entre esses elétrons, de modo que se torna

necessário recorrer a métodos aproximados. Vamos discutir nesta

seção as energias e funções de onda dos estados fundamenta is

dos á tomos dos e lementos; os estados exc i tados e os espec t ros

de a lguns e lementos se rão d iscut idos na próxima seção . Pode-

mos escrever a função de onda de um á tomo complexo em te r-

mos das funç ões de onda de e lé t rons indiv idua is . Desprezan do

as interações entre os elétrons, esta função de onda pode ser es-

c r i ta como uma soma de produtos das funções de onda de e lé -

t rons indiv idua is . Essas fun ções de onda são semelhantes às do

á tomo de h idrogênio e podem ser ca rac te r izadas pe los nú meros

quânt icos n, l, m, e m

s

. A energia de um elétron é determinada

princ ipa lmente pe los números quânt icos n (que está relaciona-

Energia

2 Ms

4, 5

X

1Q -

5

eV

(2)(5,79 X IO"

5

eV/T)

= 0,39 T

Observação : Trata-se de um campo magnético bastante elevado.

Quando um á tomo é submet ido a um campo magnét ico ex-

terno B , o momento angula r to ta l J é quant izado no espaço em

re lação à d i reção de B e o estado a tômico carac te r izado pe lo

número quânt ico de momento angula r j é desdobrado em 2 j + 1

níve is , que correspondem aos 2 j + 1 va lores possíve is da com-

p o n e n te z de J e portanto aos 2j + 1 valores possíveis da com-

/ 6 p

z £ -5d

Al

6 s

_ / 5 p

_ / 4 p

—3 d

3 p

3s

2 P

2 s

1s

F i g . 7 - 1 9 Energias relativas das camadas e subc ar = :a ; = : :

_

:-=;




do à parte radial da função de onda) e / (que caracteriza o mo-

mento angula r orb i ta l ) . Em gera l , quanto men ores os va lores de

n e de / , menor a energia do estado (veja a Fig. 7-19). A especi-

f icação de n e / para cada um dos elétrons de um átomo recebe o

n o m e d e configuração eletrônica. A nota ção util izada é a mes -

ma que fo i apresentada na Seção 7-5 .

0 Princípio de Exclusão

A configu ração e let rônica dos á tomos e moléculas obedece a um

p r in c íp io fu n d a m e n ta l , d e n o m in a d o princípio de exclusão de

Pauli, que já foi discutido bre vem ente na Seção 6-7:

Um estado atômico espec i f icado por um conjunto de nú-

me r o s quâ nt i c o s

n, l, m,

e

m

s

pode ser ocupado por apenas

um e lé tron.

O efeito desta regra, que se deve ao fato de as funções de onda

dos elétrons serem sempre anti-simétricas, é excluir muitos es-

tados possíveis de um sistema de vários elétrons. Trata-se de uma

condição adicional que deve ser imposta às soluções da equação

de Schrõdinger .

Os Estados Fundamentais dos Átomos dos

Elementos

HÉLIO (Z = 2) A energia dos dois e lé t rons do á tomo de hé l io

é a soma das energias c iné t icas dos dois e lé t rons, das energi -

as potenc ia is dos dois e lé t rons em conseqüênc ia da a t ração

do núc leo , ambas da forma —2fce

2

/ r„ e da energia potenc ia l

de in te ração V

m

assoc iada à repulsão mútua dos dois e lé t rons,

que é dada por

onde r

(

e r

2

são os vetores posição dos dois elétrons.

Como o te rmo de in te ração V

int

envolve as coordenadas dos

dois e lé t rons, sua presença na equação de Schrõdinger impede

que ela seja separada em duas equações, uma para cada elétron.

George Gamow e Wol fgang Paul i na Suíça, em 1930. [Cortesia de George Gamow.]

Desprezando o te rmo de in te ração , porém, podemos separar a

equação de Schrõdinger e obter soluções exatas para os dois elé-

trons. Essas soluções são idênticas às do átomo de hidrogênio,

exceto pelo fato de que Z = 2. As energias permitidas são por-

tando dadas por

4 E

0

4 £

0

E

= ^ r-

2

o n d e

E

0

= 13,6 eV

7-58

nf «j

A m e n o r e n e rg i a ,

E, =

— 8

E

0

~

—108,8 eV, ocorre para

n

{

=

n

2

= l . N e s t e ca s o , Z, = l

2

= 0 . A função de onda to ta l , ig -

n o ra n d o o sp in d o s e l é t ro n s , é d a fo rm a

<A = fAiooî, 01, «ÊiMooto, 02» 2) 7-59

Os números quânt icos n,lem, pod em ser iguais para os dois elé-

trons apenas se o quarto número quântico, m

s

, for diferente, isto

é , sem, = +1/2 para um dos e lé t rons e m

s

= —1/2 para o outro

elétron. O spin resultante dos dois elétrons deve, portanto, ser

nulo.

Pode mos obte r uma correção em pr imeira ordem para a ener-

g ia do estado fundam enta l usando a funç ão de onda apro ximada

da Eq. 7-59 para calcular o valor médio da energia de interação

V

iIlt

, que é s implesm ente o va lor esperado (V

int

). O resultado des-

te cálculo é o seguinte:

<V

mt

> = + 34 eV 7-60

Com esta correção , a energia do estado fundam enta l se torna

E = - 108,8 + 34 = - 74,8 eV 7-61

Este método aproximado, no qua l desprezamos a in te ração en-

t re os e lé t rons para encontra r uma fun ção de onda aproximada e

usam os em seguida esta fun ção de onda para ca lcula r a energia

de in te ração , é conhec ido com o

teoria das perturbações de pri-

meira ordem. O processo pode se r estendido a ordens mais e le -

vadas: o passo seguinte, por exemplo, consiste em usar a nova

energia do estado fundam enta l para encontra r uma apro ximação

melhor para a função de onda do estado fundamenta l . Este mé-

todo de aproximação é semelhan te ao que é usado na m ecânica

clássica para calcular as órbitas dos planetas em torno do Sol.

Em pr imeira aproximação , a in te ração dos p lane tas é ignorada e

é calculada a órbita elíptica de cada planeta. Em seguida, essas

órbitas são usadas para estimar a influência exercida pelos pla-

netas sobre os vizinhos.

O va lor exper imenta l da energia necessár ia para remover os

dois e lé t rons do á tomo de hé l io é aproximadamente 79 eV. A

discrepância entre este valor e o valor calculado de 74,8 eV se

deve à imprec is ão das aproximaçõ es usad as para ca lcula r (V

Hll

).

(Convém observar que exis tem métodos melhores para ca lcu-

lar a energia de interação entre os elétrons do átomo de hélio,

que fornecem resul tados mui to mais próximos do va lor exper i -

menta l . ) O íon He

+

, que contém um elétron, é idêntico ao áto-

mo de h idrogên io , exce to pe lo fa to de que Z = 2; assim, a ener-

g ia do estado fundamenta l é

- Z

2

(13 ,6) =

—

54,4 eV

A e n e rg i a n e c e ssá r i a p a ra r e m o v e r o p r im e i ro e l é t ro n d o á to -

mo de hé l io é 24 ,6 eV. O potenc ia l e lé t r ico correspondente ,

2 4 ,6 V , é c o n h e c id o c o m o primeiro potencial de ionização d o

á to m o .

A c o n f ig u ra ç ã o d o e s t a d o fu n d a m e n ta l d o á to m o d e h é l io é

re p re se n t a d a c o m o l i

2

. O 1 s igni f ica que n = 1, o s q u e l = 0

e o 2 que exis tem dois e lé t rons neste estado. Como / só pode




se r ze ro pa ra n = 1 , o s d o i s e l é t ro n s p re e n c h e m to t a lm e n te a

c a m a d a K (n = 1).

LÍTIO (Z = 3 ) O l í t io possu i t rê s e lé t rons. Dois desses e lé t rons

e s t ã o n a c a m a d a K (n = 1 ) , mas o te rce i ro não pode ocupar a

m e sm a c a m a d a p o r c a u sa d o p r in c íp io d e e x c lu sã o . O n ív e l d e

mai s ba ixa ene rg ia que es te e lé t ron pode ocupar é o n íve l n = 2 ;

os va lo res possíve is de / são l = 1 e / = 0 .

N o á t o m o d e h i d r o g ê n i o , o s e s t a d o s c o m e s s e s d o i s v a l o -

r e s d e l t ê m a m e s m a e n e r g i a p o r c a u s a d a d e g e n e r a ç ã o a s -

s o c i a d a à s f o r ç a s q u e v a r i a m c o m o i n v e r s o d o q u a d r a d o d a

d i s t â n c i a . O m e s m o n ã o a c o n t e c e c o m o á t o m o d e l í t i o e

o u t r o s á t o m o s p o r q u e a c a r g a q u e o e l é t r o n d e m a i o r e n e r -

g i a " e n x e r g a " n ã o é u m a c a r g a p o n t u a l .

1 4

A c a r g a p o s i t i v a

d o n ú c l e o ,

+Ze,

p o d e s e r c o n s i d e r a d a a p r o x i m a d a m e n t e

c o m o u m a c a r g a p o n t u a l , m a s a c a r g a n e g a t i v a d o s e l é t r o n s

d a c a m a d a K,

—

2e , e s t á d i s t r i b u í d a n o e s p a ç o e m u m v o l u -

m e c u jo r a io é d a o rd e m d e aJZ. P o d e m o s s u p o r q u e a d e n -

s id a d e d e c a rg a d e c a d a u m d o s e l é t ro n s in t e rn o s é d a d a p o r

p = —e\ip\

2

, o n d e i p é u m a f u n ç ã o d e o n d a s e m e l h a n t e à f u n -

ç ã o d e o n d a I s d o h i d r o g ê n i o ( d e s p r e z a n d o a i n t e r a ç ã o e n -

t r e o s d o i s e l é t ro n s d a c a m a d a K) . A d i s t r i b u i ç ã o d e p r o b a -

b i l i d a d e c o r r e s p o n d e n t e a o s e s t a d o s 2s e 2p é a q u e a p a re c e

n a F i g . 7 - 1 0 . V e m o s q u e n o s d o i s c a s o s a d i s t r i b u i ç ã o d e

p r o b a b i l i d a d e a p r e s e n t a u m m á x i m o p r i n c i p a l d o l a d o d e f o r a

d a c a m a d a K, m a s a d i s t r i b u i ç ã o d o e s t a d o 2s t a m b é m a p r e -

s e n t a u m m á x i m o s e c u n d á r i o n a s v i z i n h a n ç a s d a o r i g e m .

P o d e m o s i n t e r p r e t a r e s t e f a t o d i z e n d o q u e o e l é t r o n n o e s -

t a d o 2 p p a s s a q u a s e t o d o o t e m p o i s o l a d o d o n ú c l e o p e l o s

d o i s e l é t r o n s

Is

d a c a m a d a

K

e p o r t a n t o " e n x e r g a " u m a c a r -

g a c e n t r a l e f e t i v a eZ

ef

~ le, e n q u a n t o o e l é t r o n n o e s t a d o 2s

p e n e t r a c o m m a i o r f r e q ü ê n c i a n e s t a b l i n d a g e m e p o r t a n t o

" e n x e r g a " u m a c a r g a c e n t r a l u m p o u c o m a i o r . A e n e r g i a d o

t e r c e i r o e l é t r o n é p o r t a n t o m e n o r n o e s t a d o 2 s d o q u e n o

e s t a d o 2 p , e a c o n f i g u r a ç ã o d o e s t a d o f u n d a m e n t a l d o á t o -

m o d e l í t i o é 1 Í

2

2 Í .

C o m o o s t r ês e l é t ro n s t ê m m o m e n to a n g u la r o rb i t a l n u lo e o

sp in to ta l dos do is e lé t rons da camada K t a m b é m é n u lo , o m o -

men to angu la r to ta l do á tom o de l í t io é igua l a h 2 , o sp in do te r-

ce i ro e lé t ron . O pr ime iro po tenc ia l de ion ização do l í t io é ape -

nas 5 ,39 eV. Podemos usa r e s te dado pa ra ca lcu la r a ca rga cen-

t ra l e fe t iva do pon to de v is ta do e lé t ron 2s . Pa ra Z = Z

ef

e n = 2,

t e m o s :

E =

Z

2

E

0 =

Z

2

f

(13 ,6 eV)

n

2

2

2

= 5 ,39 eV

e por tan to Z

ef

— 1 , 3 . Q u a n to m e n o r o v a lor d e /, m a io r a p ro b a -

b i l idade de que o e lé t ron se aprox ime do núc leo ; a ss im, pa ra um

d a d o n. a ene rg ia do e lé t ron aumenta à medida que I a u m e n ta .

(Ve ja a F ig . 7 -19 . )

BERÍLIO (Z = 4) O q u a r to e l é t ro n p o d e o c u p a r a se g u n d a v a g a

d i sp o n ív e l n o e s t a d o 2 s . D e a c o rd o c o m o p r in c íp io d e e x c lu -

sã o , o s sp in s d o s d o i s e l é t ro n s 2 s d e v e m se r a n t ip a ra l e lo s , e

p o r t a n to o m o m e n to a n g u la r t o t a l d o s q u a t ro e l é t ro n s é n u lo .

A c o n f ig u ra ç ã o e l e t rô n ic a d o b e r í l i o é l s

2

2 s

2

. O p r im e i ro p o -

tenc ia l de ion ização é 9 ,32 V, ma ior que o do l í t io por causa do

maior va lo r de Z .

BORO A NEÔNIO (Z = 5 a Z = 10) C o m o a s u b c a m a d a 2s e s tá

c o m p le t a , o q u in to e l é t ro n d o b o ro d e v e i r p a ra a su b c a m a d a

2 p , c o m n = 2 e l = 1 . C o m o e x i s t e m t r ê s v a lo re s p o ss ív e i s d e

m , (+1 , 0 e

—

1 ) e do is va lo res possíve is de m

s

(+ 1/2 e —1/2),

e s t a s u b c a m a d a c o m p o r t a n o m á x i m o s e i s e l é t r o n s . A c o n f i -

g u ra ç ã o e l e t rô n ic a d o b o ro é \s

2

2s

2

2p . A p e s a r d o a u m e n t o n o

v a lo r d e Z , o p o te n c ia l d e io n iz a ç ã o d o b o ro , 8 , 3 V , é m e n o r

q u e o d o b e r í l i o p o rq u e u m e l é t ro n 2 p s e a p r o x i m a m u i t o

m e n o s d o n ú c le o q u e u m e l é t ro n 2 s . A c o n f i g u r a ç ã o e l e t r ô n i -

c a d o s e l e m e n to s c a rb o n o (Z = 6 ) a t é n e ô n io (Z = 1 0 ) d i f e re

d a d o b o ro a p e n a s q u a n to a o n ú m e ro d e e l é t ro n s n a su b c a m a -

d a 2 p . N e s s e s e l e m e n t o s , o p o t en c i a l d e i o n i z a ç ã o a u m e n t a

g ra d u a lm e n te c o m Z , c h e g a n d o a 2 1 , 6 V p a ra o ú l t im o e l e -

m e n to d o g ru p o , o n e ô n io . O n e ô n io p o ssu i o m a io r n ú m e ro

p o ss ív e l d e e l é t ro n s n a c a m a d a n = 2 ; su a c o n f ig u ra ç ã o e l e -

t rô n ic a é ls

2

2s

2

2p

6

. G ra ç a s a o se u p o te n c ia l d e io n iz a ç ã o e x -

t r e m a m e n t e e l e v a d o , o n e ô n i o , c o m o o h é l i o , é q u i m i c a m e n -

t e i n e r t e . O e l e m e n to im e d ia t a m e n te a n te r io r n a t a b e l a p e r ió -

d i c a , o f l ú o r , a p re se n ta u m " b u ra c o " n a c a m a d a n = 2 , i s to é ,

t e m e sp a ç o n e s t a c a m a d a p a ra m a i s u m e l é t ro n . P o r e s sa r a -

z ã o , o f l ú o r se c o m b i n a f a c i l m e n t e c o m e l e m e n t o s c o m o o l í-

t i o , q u e p o ssu i u m e l é t ro n a m a i s q u e o n e c e ssá r io p a ra c o m -

p le t a r u m a c a m a d a ; o r e su l t a d o é u m p a r d e ío n s , c o m o F " e

L i

+

, q u e sã o m a n t id o s ju n to s p e l a a t r a ç ã o e l e t ro s t á t i c a . E s t e

é u m e x e m p lo d e u m t ip o d e l i g a ç ã o q u ím ic a c o n h e c id o c o m o

l ig a ç ã o iô n ic a , q u e se rá d i sc u t id a n o C a p . 9 .

SÓDIO A ARGÔNIO (Z = 11 A Z = 18) O d é c i m o p r i m e i r o e l é -

t ron deve i r pa ra a camada n = 3 . Como este e lé t ron está f raca -

mente l igado ao á tomo de Na , o sód io se com bina fac i lm ente com

á to m o s c o m o o d e F .

O

po tenc ia l de ion iza ção do sód io é apenas

5 ,14 V. Graças ao e fe i to de b l indagem exerc ido pe los ou tros 10

e lé t rons, o e s tado 3 s tem uma energ ia menor que os e s tados 3 p e

3d . (Pa ra n = 3 , / = 0 , 1 ou 2 . ) A conf igur ação e le t rôn ica do N a

é p o r t a n to ls

2

2s

2

2p

6

3s

l

. Q u a n d o p a ssa m o s p a ra e l e m e n to s c o m

m a io re s v a lo re s d e Z , p r im e i ro a su b c a m a d a 2

s

é comple tada e

em segu ida é a vez da subcamada 2 p . E s t a s d u a s su b c a m a d a s

p o d e m a c o m o d a r 2 + 6 = 8 e l é t ro n s . A c o n f ig u ra ç ã o d o a rg ô -

nio (Z = 18) é ls

2

2s

2

2p

6

3s

2

3p

6

. Se r ia de se e spe ra r que o déc im o

nono e lé t ron fosse pa ra a subcamada 3d \ en tre tan to , o e fe i to de

b l in d a g e m d o s p r im e i ro s d e z o i to e l é t ro n s é t ã o g ra n d e q u e a

e n e rg ia d o e s t a d o As é menor que a do estado 3d . Como ex is te

uma grande d ife rença de ene rg ia en tre o déc imo o i tavo e o déc i-

mo nono e lé t rons, o a rgôn io , com a subcamada 2 p comple ta , é

estáve l e ine r te .

ÁTOMOS COM Z > 18 O d é c im o n o n o e l é t ro n d o p o tá s s io (Z

= 1 9 ) e o v ig é s im o e l é t ro n d o c á l c io (Z = 2 0 ) v ã o p a ra a su b -

c a m a d a As e n ã o p a ra a su b c a m a d a 3 d . A s c o n f i g u r a ç õ e s e l e -

t rô n i c a s d o s 1 0 e l e m e n to s se g u in t e s , d o e sc â n d io (Z = 2 1 ) a o

z in c o (Z = 3 0 ) , d i f e re m a p e n a s q u a n to a o n ú m e ro d e e l é t ro n s

n a su b c a m a d a 3 d , e x c e to n o c a so d o c ro m o (Z = 2 4 ) e d o c o -

b re (Z = 2 9 ) , q u e p o ssu e m a p e n a s u m e l é t ro n 4 s . O s e l e m e n -

to s c o m Z = 2 1 a 2 9 sã o c o n h e c id o s c o m o elementos de tran-

sição e a p r e s e n t a m p r o p r i e d a d e s q u í m i c a s m u i t o s e m e l h a n -

t e s , d e v id o a o f a to d e se u s e l é t ro n s m a i s e x t e rn o s se re m e l é -

t r o n s As.

A F ig . 7 -20 mostra um grá f ico da p r ime ira ene rg ia de ion iza -

ção dos á tom os em fu nçã o de Z en tre Z = 1 e Z = 90 . As qu eda i

b ru sc a s d a e n e rg i a d e io n iz a ç ã o p a ra Z = 3 , 1 1 , 1 9 , 3 7 e 5 5 in d i -

c a m q u e u m a c a m a d a o u su b c a m a d a fo i c o m p le t a d a e m Z = 2 .

10 , 18 , 36 e 54 . Ao mesmo tempo, ocorre um aumento b rusco

do ra io a tômico , como se pode ve r na F ig . 7 -21 . As conf igura -

ções e le t rôn icas dos á tomos dos e lemen tos no estado fundam enta l

a p a re c e m n o A p ê n d ic e C 2 .




F i g . 7 - 2 0 Primeira energia de ionização em função de Z, entre Z = 1 e Z = 90. Esta energia, que é a energia de ligação do últ imo elétron do átomo, aumenta com Zaté

que uma camada ou subcamada é completada em Z = 2, 10 ,1 8, 36, 54 e 86. 0 elétron seguinte vai para uma camada ou subcamada mais externa e portanto está

preso mais fracamente ao núcleo. O potencial de ionização (em volts) é numericamente igual à energia de ionização (em elétrons-volts).

Exerc íc ios

7. Por que a energia do estado 3s é bem menor que a do estado

3p no caso do sódio , enquanto no h idrogên io esses estados têm

pra t icamente a mesma energia?

8 . Discuta os indíc ios exis ten tes na tabe la per iódica de que é

necessár io um quar to número quânt ico para espec i f ica r os es-

tados possíve is de um e lé t ron em um á tomo. Quais se r iam as

propr iedades do hé l io se houvesse apenas os números quânt i -

c os n, l e ml

0 3 10 20

11 19

100

F ig . 7-21 0 gráfico do raio atômico em função de Zmostra um aumento brusco

depois que cada camada ou subcamada é completada. Em seguida, o raio passa

a diminuir com Zpor causa da penetração das funções de onda dos elétrons que

vão sendo acrescentados à camada incompleta. É por causa de padrões repetiti-

vos como os que aparecem nesta figura e na Fig. 7-20 que a tabela dos elementos

é chamada de tabela periódica.

7 - 7 Es t a d o s Exc i t a d o s e o s Esp e c t r o s

d o s E l e m e n t o s

Metais Alcalinos

Para podermos entender os espec t ros dos elementos, p rec isamos

primeiro com preender os estados exc i tados dos á tomos. No caso

de um átomo com muitos elétrons, a situação é, em geral, muito

mais compl icada que no caso do h idrogênio . O estado exc i tado

de um á tomo pode envolver a mudança de estado de qua lquer

dos e lé t rons ou mesm o mu danças de estado de dois ou mais e lé -

t rons. Mesm o nos casos em que apenas um e lé t ron é exc i tado , a

mudança de estado deste elétron altera as energias de outros es-

tados. Felizmente, existem muitos casos nos quais este efeito é

mui to pequ eno e os n íve is de energia pode m ser ca lculados com

boa precisão a partir de um modelo relativame nte simp les no qual

o á tomo é comp osto por um e lé t ron exte rno e um caroço estáve l

formado pe lo núc leo mais os e lé t rons restantes . Este modelo

func io na par t icu la rmente b em no caso dos m eta is a lca linos: Li ,

Na , K, Rb e Cs. Sob vár ios aspec tos, o espec t ro destes e lemen-

tos, que pertencem à primeira coluna da tabela periódica, é se-

melhante ao do h idrogênio .

Outra s im pl i f icação é possíve l graças à grande d i fe rença que

existe entre a energia de excitação de um elétron do caroço e a

energia de exc i tação do e lé t ron exte rno . Considere o caso do

sódio , que possui um caroço sem elhante ao neônio (exce to pe lo

fato de que Z é 11 em vez de 10) e um elétron externo no nível

3s. Se este elétron não penetrasse no caroço, enxergaria u ma carga

central efe tiva Z

ef

= le resul tan te da soma da carga nuc lear + 1 le

com a carga

—

10e dos elétrons do caroço. A energia de ioniza-

ção seria portanto igual à energia de ionização do nível n = 3 do

hidrogênio, cerca de 1,5 eV. A penetração no caroço faz com que

o valor de Z

ef

aum ente e por tanto que o e lé t ron se ja a t ra ído m ais

for teme nte pe lo núc leo , o que aumenta a energia de ionização; o



Física Atômica 2 05

va lor exper imenta l da ene rg ia de ion ização do sód io é aprox i-

m a d a m e n te 5 V . A e n e rg ia n e c e ssá r i a p a ra r e m o v e r u m d o s e l é -

t rons ex te rnos do ca roço , ou se ja , um dos e lé t rons 2 p , é ce rca de

3 1 e V , e n q u a n to a e n e rg i a n e c e ssá r i a p a ra r e m o v e r u m d o s e l é -

t ro n s l i é a p ro x im a d a m e n te 1 0 4 1 e V . U m e lé t ro n d o c a ro ç o n ã o

p o d e se r e x c i t a d o p a ra n e n h u m d o s n ív e i s n — 2 por causa do

princ íp io de exc lusão ; a ss im, a exc i tação de um e lé t ron com n =

2 ex ige sua t ransfe rênc ia pa ra a camada n = 3 , o que envo lve

u m a e n e rg ia a p e n a s l i g e i r a m e n te m e n o r q u e a e n e rg i a n e c e ssá -

r ia pa ra removê-lo to ta lmente do á tomo, ou se ja , uma energ ia da

o rd e m d e 3 0 e V . C o m o a s e n e rg i a s d o s fó to n s d o e sp e c t ro v i s í -

v e l ( c o m c o m p r im e n to s d e o n d a d e 4 0 0 a 8 0 0 n m ) e s t ã o n a f a ix a

de 1 ,5 a 3 eV, o e spec tro ó t ico ( is to é . v is íve l ) do sód io se deve

e x c lu s iv a m e n te a t r a n s i ç õ e s e n v o lv e n d o o e l é t ro n e x te rn o . A s

t r a n s i ç õ e s q u e e n v o lv e m o s e l é t ro n s d o c a ro ç o p ro d u z e m l in h a s

na reg ião de ra ios X do espec tro e le t romagné t ico .

A F ig . 7 -2 2 m o s t r a o d i a g ra m a d e n ív e i s d e e n e rg i a p a ra a s

t ransições ó t icas do sód io . Como o sp in to ta l do ca roço é nu lo ,

o sp in de todos os e s tados exc i tados é igua l a 1 /2 . Graças ao

e fe i to sp in -ó rb i t a , o s e s t a d o s c o m j = / — 1 /2 t ê m u m a e n e rg ia

l ig e i r a m e n te m e n o r q u e o s e s t a d o s c o m j = 1+ 1 /2. Tod os esses

e s t a d o s , p o r t a n to , s ã o d u b le to s , e x c e to , n a tu ra lm e n te , o s e s t a -

d o s S. E s t e d e sd o b ra m e n to é m u i to p e q u e n o e n ã o é v i s ív e l n a

e sc a l a d e e n e rg i a s u sa d a p a ra c o n s t ru i r a F ig . 7 -2 2 , m a s e s t á

re p re se n ta d o n a F ig . 7 -1 8 . N a F ig . 7 -2 2 , o s e s t a d o s fo ra m ro -

tu l a d o s d e a c o rd o c o m a n o ta ç ã o e sp e c t ro sc ó p ic a , c o m o ín d i -

ce super io r 2 ind icando que o e s tado é um dub le to . Assim,

2

P

3/ 2

,

2

n

2

5/2, 3/2 7/2, 5/2

- 1

- 5

-5,14

L

3 s

F i g . 7 - 2 2

Diagrama de níveis de energia do átomo de sódio (Na) com algumas

transições indicadas. Os comprimentos de onda estão em nanômetros. As linhas

espectrais D, e D

2

, particularmente intensas, são responsáveis pela cor amarela-

da das lâmpadas de vapor de sódio. Os desdobramentos dos níveis De F, que

também são dubletos, não aparecem na figura.

q u e se l ê " d u b le to P t r ê s m e io s" , i n d ic a u m e s t a d o n o q u a l I =

1 e j = 3 /2 . (C o s tu m a -se r e p re se n ta r o s e s t a d o s S c o m o se fo s -

se m d u b le to s , e m b o ra , n a v e rd a d e , s e j a m e s t a d o s d u p la m e n te

d e g e n e ra d o s . I s to é f e i t o p o rq u e p e r t e n c e m a o c o n ju n to d e e s -

t a d o s c o m S = 1 /2 , m e sm o q u e , a o c o n t r á r io d o s o u t ro s , p o s -

su a m / = 0 e p o r t a n to n ã o p o ssa m se r d e sd o b ra d o s p e lo e fe i to

sp in -ó rb i t a . O n ú m e ro q u e in d ic a o v a lo r d e n pa ra o e lé t ron

q u a se se m p re é o m i t id o . ) N o p r im e i ro e s t a d o e x c i t a d o , o e l é -

t ron ex te rno é t ransfe r ido do n íve l 3s pa ra o n íve l 3p , que se

e n c o n t r a a p r o x i m a d a m e n t e 2 , 1 e V a c i m a d o e s t a d o f u n d a m e n -

t a l . A d i f e re n ç a d e e n e rg ia e n t r e o s e s t a d o s P

y2

e P

m

e m c o n -

seqüênc ia do e fe i to sp in -órb i ta é de aprox imadamente 0 ,002 eV.

A s t r a n s i ç õ e s d e sse s e s t a d o s p a ra o e s t a d o fu n d a m e n ta l d ã o

o r ig e m a o c o n h e c id o d u b le to a m a re lo d o só d io

3 p ? P

m

) — 3 Í (

2

S

1 /2

)

3 P Í

2

P

3 n

) ^ 3 í (

2

S

1 /2

)

A = 589 ,6 nm

A = 589 ,0 nm

É importan te d is t ingu ir en tre os e s tados dub le tos e os dub le -

tos de l inhas e spec tra is . Todas a s t ransições que começam ou

te rm in a m e m u m e s t a d o S d ã o o r ig e m a l i n h a s d u p la s p o rq u e

e n v o lv e m u m e s t a d o d u b le to (u m e s t a d o P) e um estado s ing le -

to (o e s tado S) . (A regra de se leção Al = ±

1

p ro íb e t r a n s i ç õ e s

en tre e s tados S . ) Ex is tem qua tro t ransições possíve is en tre do is

estados do t ipo dub le to . Uma de las é p ro ib ida pe la regra de se le -

ç ã o p a ra j, segundo a qua l

15

Aj = ± 1 ou 0 (m as não de j = 0 pa ra j = 0 ) 7 -6 2

As t ransições en tre do is dub le tos re su l tam portan to em t rês l i -

nhas e spec tra is , ou se ja, em um tr ip le to . Quan do obse rva das c om

b a ix a r e so lu ç ã o , a s tr ê s l in h a s p o d e m p a re c e r u m d u b le to , c o m o

mo stra a F ig . 7 -23 , já que duas de las e s tão semp re mui to p róx i-

mas . Por e s ta razão , a lguns c ien t is ta s a s cham am de

dubleto com-

posto, o q u e a o m e sm o t e m p o re s sa l t a o f a to d e e n v o lv e re m e s -

tados do t ipo dub le to .

f

F i g . 7 - 2 3 Transições entre dois dubletos em um átomo de cálcio monoioniza-

do. A trans ição i ndicada pela linha tracejada é proibida pela regra de seleção Sj =

± 1 ou 0. A espessura das linhas mostr a sua intensidade relativa. Quando a re-

solução não é muito grande, a linha mais fraca na extremidade esquerda do

espectro se confunde com a linha vizinha e o dubleto composto (ou tripleto] se

parece com um dubleto.




2

P3/2

2

1/2

2

n 2 p

5I 2

, 3/2 7/2, 5/2

F i g . 7 - 2 4 Diagrama de níveis de energia do átomo de potássio (K) com algumas

transições indicadas. Os comprimentos de onda estão em nanômetros. Os des-

dobramentos dos níveis D e F, que também são dubletos, não aparecem na figu-

ra. (Compare com a Fig. 7-22.)

Os n íve is de ene rg ia e e spec tros dos ou tros me ta is a lca l inos

são semelhan tes aos do sód io . A F ig . 7 -24 mostra o d iagrama de

n íve is de ene rg ia do á tom o de po tás sio (Z = 19) , que é const i tu -

ído por um ca roço semelhan te ao á tomo de a rgôn io mais um e lé -

t ron ex te rno .

Leitura Suplementar

Átomos com Ma is de um Elétron E xterno

Os n íve is de ene rg ia e e spec tros ó t icos são mui to ma is com-

p l i c a d o s n o c a so d e á to m o s c o m m a i s d e u m e l é t ro n n a c a m a d a

e x te rn a . N e s t a L e i tu ra S u p le m e n ta r , v a m o s d i sc u t i r q u a l i t a t iv a -

men te os n íve is de ene rg ia do hé l io e dos me ta is a lca l ino- te rrosos ,

e lementos que pe r tencem à segunda co luna da tabe la pe r iód ica .

E sse s á to m o s sã o fo rm a d o s p o r u m c a ro ç o m a i s d o i s e lé t ro n s e m

uma camada ex te rna do t ipo s . Quase todos os e spec tros obse r-

v a d o s p o d e m se r e x p l i c a d o s e m t e rm o s d a t r a n s fe rê n c ia d e u m

dos e lé t rons ex te rnos pa ra um estado de maior ene rg ia . Estas

t r a n s i ç õ e s sã o c o n h e c id a s c o m o transições normais. As t ransi -

ções que envo lvem a exc i tação s imul tânea dos do is e lé t rons da

c a m a d a e x te rn a p a ra e s t a d o s d e m a io r e n e rg i a sã o c h a m a d a s d e

transições anômalas e se rão d iscu t idas apenas de passage m.

N o m o d e lo u sa d o p a ra c a l c u la r o s n ív e i s d e e n e rg i a d e sse s

e l e m e n to s , o á to m o é c o m p o s to p o r d o i s e l é t ro n s id ê n t i c o s e

*0 texto original em inglês desta leitura suplementar está disponível na home

page whfreemaiLcom/physics, (N. do T.

u m c a ro ç o f o rm a d o p e lo n ú c le o e o s e l é tro n s r e s t a n te s . O

s im p le s d e sse s á to m o s é o h é l io , m a s o b e r í l i o , o m a g n é s

c á l c io , o e s t rô n c io , o b á r io e o r á d io se c o m p o r t a m d e f

m u i t o s e m e l h a n t e . V a m o s c o n s i d e r a r o m a g n é s i o ( Z =

c o m o u m e x e m p lo e sp e c í f i c o . A c o n f ig u ra ç ã o d o e s t a d o

d a m e n t a l é (ls

2

2s

2

2p

6

)3s

2

. N o e s t a d o fu n d a m e n ta l , o s d o i s

t rons ex te rnos têm os mesmos números quân t icos e spac ia is

3 , / = 0 , m, = 0 ) , e por tan to o sp in to ta l é nu lo . Quan do um

e lé t ro n s e x te rn o s é t r a n s fe r id o p a ra u m e s t a d o d e m a io r

g i a , c o m o o e s t a d o 3 p , o s n ú m e ro s q u â n t i c o s e sp a c i a i s d e

de se r igua is e por tan to os sp ins dos do is e s tados podem

d i fe re n te s . A ss im , o sp in r e su l t a n t e 5 p o d e se r i g u a l a 1 (

pa ra le los) ou a 0 (sp ins an t ipa ra le los) . Um estado com 5 =

c o n h e c i d o c o m o singleto. Q u a n d o 5 = 1 , e x i s t e m t r ês v a

p o ss ív e i s p a ra o m o m e n to a n g u la r t o t al j, q u e c o r re sp o n d e

t r ê s o r i e n t a ç õ e s p o ss ív e i s d o v e to r S e m re l a ç ã o a

L :

y

= /

j = l e y = /

—

1 ( e x c e to p a ra / = 0 , caso em que ex is te ap

u m v a lo r p o ss ív e l p a ra j , j = / ) . Graças ao e fe i to sp in -ó

esses t rê s e s tados possuem energ ias l ige i ramente d i fe ren tes

é , ex is te um desdobramento f ino . Por e ssa razão , um estado

5 = 1 é c o n h e c id o c o m o tripleto. A ss im , n e s t e c a so e x

dois c o n ju n to s d i f e re n te s d e n ív e i s d e e n e rg ia e dois c o n j u

d e l i n h a s e sp e c t r a i s , u m p a ra 5 = 0 e o u t ro p a ra 5 = 1 . A l

dos n íve is de ene rg ia e t ransições pa ra o á tomo de hé l io a

cem na F ig . 7 -25 .

A F ig . 7 -2 6 m o s t r a o d i a g ra m a d e n ív e i s d e e n e rg i a d o

nésio e a s t ransições p r inc ipa is . Na esca la deste d iagrama ,

t a m b é m n a d a F ig . 7 -2 5 , o d e sd o b ra m e n to f i n o d o s e s t a d o

p le to n ã o p o d e se r o b se rv a d o . R e p a re q u e to d a s a s t r a n s

d o m a g n é s io , e x c e to u m a , o b e d e c e m à r e g ra d e se l e ç ã o A

0 , i s to é , os e s tados t r ip le to e s ing le to não se mistu ram.

t r a n s i ç ã o q u e v io l e e s t a r e g ra , c o m o a t r a n s i ç ã o in d ic a d

f ig u ra ( e n t r e o e s t a d o t r i p l e to 3s3p e o e s t a d o fu n d a m e n t

c o n h e c i d a c o m o linha de intercombinação. O b se rv e q u

a u sê n c ia d e l i n h a s d e in t e rc o m b in a ç ã o e x i s t e m c e r to s e s

e x c i t a d o s a p a r t ir d o s q u a i s o á to m o n ã o p o d e d e c a i r f a c i l

te . Os es tados 2 '5

0

e 2

3

5 , d o h é l io sã o d o i s e x e m p lo s (v

F ig . 7 -2 5 ) . E s t a d o s d e s t e t i p o sã o c o n h e c id o s c o m o e

metaestáveis, e su a e x i s t ê n c i a é im p o r t a n te p a ra o fu n c io n a

to d o s l a se r s , c o m o v e re m o s n o C a p . 9 . V o l t a re m o s à q u

d a s l i n h a s d e in t e rc o m b in a ç ã o e m u m m o m e n to , a p ó s d i sc

m o s a d i f e re n ç a d e e n e rg ia e n t r e o s e s t a d o s d o t i p o s in g l

t r ip le to .

E x a m in a n d o d e p e r to a F ig . 7 -2 6 , p o d e m o s v e r q u e o s n

de ene rg ia dos s ing le tos são maiores que os dos t r ip le tos c

m e s m a c o n f ig u ra ç ã o e l e t rô n ic a. C o n s id e re , p o r e x e m p lo , o

tados que possuem um e lé t ron no estado 3p . Se não fosse

in te ração e le t rostá t ica en tre os do is e lé t rons, o e s tado s in

l

P\{j = 1, já que 5 = 0 e / = 1) e os e s tados t r ip le to

3

Pj ( c o m

2 ,1 o u 0, já qu e 5 = 1 e l = 1) te r iam a mes ma ener g ia , a nã

p e lo p e q u e n o d e sd o b ra m e n to f in o . E v id e n te m e n te , a e n e rg

in te ração e le t rostá t ica en tre os do is e lé t rons é mui to ma io

estados s ing le to do que nos e s tados t r ip le to .

A causa desta d i fe rença de ene rg ia é um e fe i to quân t ico

que tem a ve r com a s ime tr ia da função de onda to ta l de

pa r t ícu las idên t icas . Com o v imo s na Seção 6 -7 , a fun ção de

d e d u a s p a r t í c u l a s e m u m a d im e n sã o , c o m u m a d a s p a r t í c

no estado n e ao ou tra no estado m, é dada por

>p(x

1

,x

2

) = C m x ^ M ± ^{x^Jx,)}

onde o s ina l posi t ivo se ap l ica a uma função s imé tr ica em

ç ã o a o intercâmbio das duas partículas e o sinal negativo a




>

<1

ÇB

2

1

a>

O

- 1

- 2

- 3

- 4

- 5

- 6

-24

-25

Singletos

1

sn p

1

snd

1

P

1

D

-4 — 4

Tripletos

3sns 3snp 3

s n d

3

S

3p 3

D

Fig . 7 -25 Singletos e tripletos do átomo de hélio. O desdobramento dos tripletos é pequeno demais para ser visível na escala da figura. Observe que não existem

transi ções entre níveis que rão pertencem ao mesmo conjunt o, pois isto violar ia a regra de seleção AS = 0.

fun ção ant i-simétr ica. Dissemo s na ocasião que a funç ão de onda

de um s i s t ema de e lé t rons é sempre ant i - s imét r i ca . Devemos

agora incluir o spin na função de onda. A função de onda total

de duas part ículas pode ser escri ta como o produto da parte es-

pac ia l ifj(x), dada pe la Eq. 7-63, por uma fun ção x assoc iada ao

spin. A fun ção de onda total , incluindo o spin, é portan to igual a

if/X• A parte de spin da função de onda é simétr ica para o estado

tr ipleto (5 = 1) e ant i-simé tr ica para o estado sing leto

(S =

0).

Ass im, para que a funçã o de onda total seja ant i-simétr ica, é pre-

ciso que a parte espacial da função de onda seja ant i-simétr ica

se o estado for um tr ipleto e que seja simétr ica se o estado for

um singleto. Observ e na Eq. 7-63 que se x, = x

2

, a funçã o de onda

espac ia l ant i - s imét r i ca é nula . Es te é um ex emplo da propr ieda-

de geral , i lustrada na Fig. 7-27 , de que, no estado ant i-simétr ico,

as part ículas tendem a se manter mais afastadas do que no esta-

do simétr ico. Como a energia de interação devida à repulsão ele-

trostát ica é posi t iva e varia inversamente com a distância entre

as part ículas, esta energia é maior no estado simétr ico (no qual

os spins dos dois elétrons estão ant iparalelos) do que no estado

anti-simétr ico (no qual os spins estão paralelos) . Esta diferença

é da ordem de 1 eV, ou seja, muito maior do que o de sdobra -

mento f ino .

16

A s imet r i a da função de onda t am bém expl ica a regra de se-

l eção AS = 0 que proíbe t ransições entre singletos e t r ipletos.

- 1

2

- 3

- 4

- 5

- 7

-7 ,62

Fig . 7 -26 Singletos e tripletos do átomo de magnésio. 0 desdobramento dos tripletos é pequeno demais para ser visível na escala da figura. Obser.e : . : « : • : • ; = •

dos singletos são maiores que as dos tripletos correspondentes. Isto acontece porque, como mostra a Fig. 7-27, a distância média entre os elétrons da

L T

- = :.=mana

é maior nos estados tripletos do que nos estados singletos.

Singletos

3 sns 3 snp 3 snd 3 snf

Tripletos

3 sn s 3 snp 3snd 3 snf

S

'

3

2,1,0 21

3

^4,3,2

6

5






s i ç õ e s e n v o lv e n d o e s t a d o s e x c i t a d o s d e d o i s o u m a i s e l é t ro n s ,

A / p a ra o á to m o c o m o u m to d o p o d e se r z e ro , c o n ta n to q u e a s

m u d a n ç a s d e n ív e l d o s e l é t ro n s a s so c i a d o s à t r a n s i ç ã o r e sp e i -

t e m a r e g ra d e se l e ç ã o A l = ± 1. E s t a d o s a n ô m a lo s fo r a m o b -

se rv a d o s n a m a io r i a d o s e l e m e n to s , m a s sã o r e l a t iv a m e n te r a -

ro s n o s e l e m e n to s l e v e s , p o i s n e sse s e l e m e n to s su a e n e rg ia d e

for ma ção é em gera l ma io r que a ene rg ia de ion ização . Por o u tro

l a d o , o s e s t a d o s a n ô m a lo s sã o n u m e ro so s n o s e l e m e n to s p e sa -

d o s , o q u e e x p l i c a e m p a r t e a m a io r c o m p le x id a d e d o s e sp e c -

t ro s d e sse s e l e m e n to s .

Energia

Leitura Suplementar

AE = - |j, B = - n

z

B

eh

A E = + m, B = mifjL

B

B

2m

r

1 = 2 -

= •

/

2

- 1

- 0 -

- - 1 -

- -2

- efi

-2/71 '

-+1

- 0

- -1

efi

2 m„

O Efeito Zeeman

C o m o fo i d ito n o C a p . 3 , o d e sd o b ra m e n to d a s l i n h a s e sp e c -

t r a is d e u m á to m o p o r a ç ã o d e u m c a m p o m a g n é t i c o e x te rn o fo i

in v e s t ig a d o se m su c e sso p o r F a ra d a y , p re v i s to p o r L o re n tz c o m

base na teor ia c lá ss ica e obse rvado pe la p r ime ira vez por Zee-

m a n ,

1 7

nome pe lo qua l o e fe i to é ho je conhec ido .

N a m e c â n ic a q u â n t i c a , a m u d a n ç a d a f r e q ü ê n c ia e d o c o m -

primento de onda de uma l inha espec tra l ind ica que houve uma

mudança da ene rg ia de um dos es tados envo lv idos na t ransição

ou das ene rg ias dos do is e s tados. Por razões h is tó r icas , o e fe i to

Zeeman assoc iado a t ransições en tre e s tados do t ipo singleto é

c h a m a d o d e e fe i to Z e e m a n normal, e n q u a n to o e fe i to a s so c i a d o

a t ransições en tre e s tados dos qua is pe lo menos um tem o sp in

d ife ren te de ze ro recebe o nome de e fe i to Zeeman anômalo.

18

C o m o n a v e rd a d e n ã o e x i s t e n e n h u m a d i f e re n ç a fu n d a m e n ta l

en tre os do is e fe i tos , não fa remos nenhuma d is t inção en tre e le s ,

a não se r por uma exceção : como a p resença do sp in complica

um pou co os cá lcu los no caso do e fe i to Zee man anômalo , o e fe i to

Zeeman em t ransições en tre e s tados do t ipo s ing le to se rá d iscu-

t ido em pr ime iro lugar .

E f e i t o Z e e m a n N o r m a l

No caso de es tados do t ipo s ing le to , o sp in é ze ro e o momento

angula r to ta l J é igua l ao momento angu la r o rb i ta l L . Q u a n d o o

á to m o é su b m e t id o a u m c a m p o m a g n é t i c o e x te rn o , su a e n e rg ia

v a r i a p o r c a u sa d a in t e ra ç ã o d o m o m e n to m a g n é t i c o d o á to m o

c o m o c a m p o m a g n é t i c o , q u e é d a d a p o r

7-65

onde , como na Eq . 7 -56 , a d i reção

z

fo i de f in ida como sendo a

d ireção de B . S u b s t i t u in d o (JL

z

pe lo seu v a lo r , dado p e la Eq . 7 -

4 5 , t e m o s : JL

z

= —m,g

L

ix

B

= —m,(e 12m

e

), e por tan to

Fig . 7 -29 Desdobramento dos níveis de energia produzido por um campo mag-

nético no caso de uma transição de um estado com l = 2 para um estado com

/ = 1 (efeito Zeeman normal). Cada nível é desdobrado em 2/ + 1 níveis. As nove

transições que respeitam a regra de seleção A m = 0 ou ±1 dão origem a apenas

três linhas espectrais porque a diferença de energia entre níveis adjacentes é

e

AB 1m

e

, independentemente do valor de 1.

Como os desdobramentos do estado in ic ia l e do es tado f ina l

são igua is , ex is tem apenas t rê s ene rg ias de t ransição d ife ren tes:

£

e

+ ehB/2m

£

. E

ü

e E

ü

— ehB 2m

c

q u e c o r re sp o n d e m à s t r a n s i-

ç õ e s c o m Am , = + 1 , 0 e — 1 . re spec t ivamente . É fác i l ve r que

e x i s t e m se m p re t r ê s e n e rg i a s d i f e re n te s , s e j a m q u a i s fo re m o s

va lo res de / nos e s tados in ic ia l e f ina l . A va r iação de f reqüênc ia

das l inhas do espec tro é igua l à va r iação de ene rg ia d iv id ida por

h. As va r iações de f reqüê nc ia das t rê s l inhas são por tan to eB/2m

e

,

0 e -eB/2m

e

.

E f e i t o Z e e m a n A n ô m a l o

C o m o j á d i s se m o s , o e fe i to Z e e m a n a n ô m a lo o c o r re q u a n d o o

sp in d e u m d o s e s t a d o s e n v o lv id o s n a t r a n s i ç ã o (o u d e a m b o s )

é ig u a l a z e ro . N e sse c a so , o c á l c u lo d o s d e sd o b ra m e n to s d o s

n ív e i s d e e n e rg i a é c o m p l i c a d o p e lo f a to d e a r e l a ç ã o e n t r e o

m o m e n to m a g n é t i c o a s so c ia d o a o sp in e o m o m e n to a n g u la r

in t r ínseco se r duas vezes ma ior do que a re lação en tre o mo-

m e n to m a g n é t i c o a s so c ia d o a o m o m e n to a n g u la r o rb i t a l e o

m o m e n to a n g u la r o rb i t a l , o q u e s ig n i f i c a q u e o m o m e n to m a g -

n é t i c o to t a l n ã o é p a ra l e lo a o m o m e n to a n g u la r t o t a l . C o n s id e -

re u m á to m o c o m m o m e n to a n g u la r o rb i t a l L e sp in S . O m o -

m e n to a n g u la r t o t a l é

e n q u a n to o m o m e n to m a g n é t i c o to t a l é

7-66

C o m o g, = 1 e g

s

= 2 ( a p r o x i m a d a m e n t e ; v e j a a E q . 7 - 4 9 ) ,

t e m o s :

Co mo m, pode ass umir 2 / + 1 va lo res d i fe ren tes , cada n íve l de

energ ia é desdob rado em

21 +

1 níveis. A Fig. 7-29 mostra o des-

dobram ento dos n íve is de ene rg ia no caso de uma t ransição de um

estad o com l = 2 para um estado com / = 1. A regra de seleção

Am , = 0 ou ± 1 l imi ta a s t ransições à s nove ind icadas na f igura .

+ 2S)

7-67

*0 texto original em inglês desta lei tura suplementar está disponível na home

page whfreeman.com/phys ics . (N. do T.)

A F ig . 7 -3 0 m o s t r a u m m o d e lo v e to r i a l d a c o m b in a ç ã o d e L e

S p a ra d e t e rm in a r o v a lo r d e J . O s m o m e n t o s m a g n é t i c o s t a m -

b é m e s t ã o r e p re se n ta d o s p o r v e to re s . Mo d e lo s c o m o e s t e p o -

d e m se r u sa d o s p a ra c a l c u la r o d e sd o b ra m e n to d o s n ív e i s , m a s

o c á l c u lo é m u i to t r a b a lh o so e n o s l im i t a re m o s a d i sc u t i r : -

r e su l t a d o s .

1 9

C a d a n ív e l d e e n e rg i a é d e sd o b ra d o e m 2 j — 1 n íve i s , que

c o r re sp o n d e m a o s p o ss ív e i s v a lo re s d e m , . P a ra o s c a m p :

>

m a g -




Fig . 7 -30 Diagrama vetoria l usado para determinar o momento magnéti co total n

quando S # 0 . 0 momento magnético não é paralelo ao momento angular total J

porque nJSé duas vezes maior que /*,/ /.. (Os sentidos de n,, e n foram inver-

tidos para tornar o desenho mais compacto.)

nét icos normalmente gerados em labora tór io , que são peque-

nos e m c om pa r a ç ã o c om o c a m po m a gné t i c o i n t e r no a s s oc i a -

do ao efe i to sp in-órbi t a , os desdobramentos dos n íve i s são pe-

que nos e m c om pa r a ç ã o c om o de s dob r a m e n t o f i no . Ao c on t r á -

r io do que acontece no efe i to Zee man normal , os desd obram en-

tos de Zeeman desses n íve i s dependem de

j, l

e 5, e em geral

exi s tem mais de t rês l inhas , j á que os desdobramentos dos es -

t ados in ic ia l e f ina l são d i fe rentes . O desdobramento de cada

níve l , i s to é , a var iação de energia produzida pe lo campo mag-

nét i co , é dado por

A

E = grrij ( —

gmjH

B

B

efiB

s

' \ 2 m

e

onde g, conhecido como fa tor g de Landé ,

20

é dado por

1 +

j{j + 1) + s{s + 1) - /(/ + 1)

2 / • ( / + 1 )

7 - 6 8

7 - 6 9

Ob serve que se 5 = O, j = 1, g = 1 a Eq. 7-68 fornec e o desd o-

b r a m e n t o c o r r e t o pa r a o e f e i t o Ze e m a n no r m a l . A F i g . 7 - 31

m os t r a o de s dob r a m e n t o de Ze e m a n dos n í ve i s r e s pons á ve i s

pe lo duble to amare lo do sódio ,

2

P

m

,

1

P

in

e

2

S

1 / 2

. De acordo com

a regra de se leção Am

}

= 0 ou ± 1, existem quatro l inhas asso-

c iadas à t r ans ição

2

P

m

—»

2

S

m

e se i s l inhas assoc iadas à t r ans i -

ç ã o

2

P

m

—>

2

S

V2

, c om o e s t á i nd i c a do na f i gu r a . As e ne r g i a s

dessas l inhas pode m ser ca lculadas em fu nção de eãB/2m

e

a par-

t i r das Eqs . 7-68 e 7-69.

Para va lores e levados do campo m agnét ico externo, o desdo-

bramento de Zeeman se torna maior que o desdobramento f ino .

Q u a n d o B é t ão grande que o desdobram ento f ino pode ser igno-

rado, o desdobramento de Zeeman passa a ser dado por

/ ehB\

A E = (m, + J = (

m

i

+ 2

m

s

)n

B

B

Neste caso, o desdobramento é semelhante ao que ocorre no efei-

to Zeeman normal e apenas t rês l inhas são observadas. Este com-

por tamento em campos magnét icos e levados é conhecido como

efeito Paschen-Back em hom enag em a seus descobr idores , F .

Paschen e E. Back. A Fig. 7-32 mostra a t ransição do desdobra-

men to dos níveis do efei to Zeem an anôm alo para o efei to Paschen-

Back com o aumento de B. A razão para a d i fe rença é que um

camp o magnét ico e levado desacopla os momentos

L

e S , f azendo

com que passem a precessar em torno de B de form a quase inde-

pendente. Em outras palavras, as projeções de L se compor tam

com o se S = 0, e o espectro se reduz a t rês l inhas, cada um a das

quais é na real idade um dubleto de l inhas muito próximas.

Exemplo 7-5 Cam po M agné t i c o do So l

Os campos magnét icos do Sol e das es t re las podem ser es t ima-

dos medind o o desdobramen to de Zeeman d as linhas espec t ra i s .

Suponha que a l inha D, do sódio emi t ida em uma cer ta região

do d i sco solar apresente um desdobramento em quat ro compo-

nentes por causa do efe i to Zeem an (ve ja a Fig . 7-31) . Qual é a

in tens idade do cam po m agnét ico so lar nes ta região se a d i fe ren-

ça ent re a l inha com maior com pr imen to de onda e a l inha com

111

Sem campo

Campo fraco

Fig . 7 -31 Desdobramento dos níveis de energia produzido por um campo mag-

netico no caso dos níveis

2

P

3ll

,

2

P

1/2

e

2

S

1;2

do sódio, mostrando o efeito Zeeman

: m a i o . As transições envolvidas são as linhas D, e D

2

da Fig. 7-22.0 desdobra-

- T "to dos níveis depende de L, S e J, o que faz com que o número de linhas seja

_

2 Dr do que no efeito Zeeman normal. [,4s fotografias foram reproduzidas de H. £ White ln-

rxjjcstr » Atomic Spectra. New York: McBraw-Hiil Book Company 1934, com permissão da editora.]

3/2

N.

m

i

-+3/2

- + 1 / 2

- - 1 / 2

- -3 /2

- 1 / 2

" - 1 / 2

+1/2

- 1 / 2



Física Atômica 21

a

V2 — =

— o

F i g . 7 - 3 2

Efeito Paschen-Back. Quando

campo magnético externo é tão intenso qu

o desdobramento de Zeeman é maior que

desdobramento causado pelo efeito spin-ó

bita, os momentos L e S são desacoplado

o espaçamento entre os níveis se torna un

forme e apenas três linhas espectrais são ob

servadas, como no efeito Zeeman norma

Como mostra a ilustração da direita, cad

uma das três linhas é na realidade um duble

to constituído por duas linhas muito próx

mas. As transições são as mesmas que apa

recem na Fig. 7-31. A posição dos níveis f

calculada parax= 2,7.

menor comprimento de onda é 0 ,022 nm? (O comprimento de

onda da l inha D

x

é 589,8 nm.)

So luç ã o

A l inha D

l

é emitida na transição 3

2

P

m

—> 3

2

S

m

- Os fa tores de g

de Landé correspondentes podem ser ca lculados com o auxí l io

da Eq. 7-69:

Para o nível 3

2

P

1/ 2

:

i ( i + l ) + + 1) - 1(1 + 1)

= 1 +

Para o nível S

2

^,^:

2 m + 1 )

= 2/3

A E = - 0 ,022 nm (E

2

/hc) = - 1,54 X 10 "

S

S

o n d e E = hd\ = hd589,9 nm. Fina lmente , temos:

(0 ,022 X 10 -

9

)hc

B =

(589,8 X 10"

9

)

2

(1 ,54 X 10~

8

) (1 ,60 X IO-

1 9

)

B = 0,51 T = 5.100 gauss

Para comparação , o campo magnét ico da Terra é da ordem d

0,5 gauss.

r

_ , | ( i + i ) + l ( l + i ) - o

8

2 ( | ) ( | + 1)

Os deslocamentos dos n íve is de energia podem ser ca lculados

com o auxílio da Eq. 7-68:

Para o nível 3

2

P

1/ 2

:

A E = (2 /3 ) (± l /2 ) (5 ,7 9 X IO "

9

eV/gauss)f l

Para o nível 3

2

S

1/2

:

A E = 2 ( ± l / 2 ) (5 ,7 9 X IO "

9

eV/gauss)f i

O deslocam ento da linha de maior comprim ento de onda é dado por

- 1,93 X 10~

9

B - 5,79 X 1 0 "

9

5 = - 7 , 7 2 X 1 0 -

9

B eV

O deslocamento da linha de menor comprimento de onda é dado por

1,93 X 1 0 -

9

B + 5,79 X 1 0 -

9

B = 7,72 X 10

9

B eV

A diferença de energia entre estes dois fótons é

A E = - 1,54 X 10~

S

-B eV

C o m o A = 1 / / = hc/E, AA = -hcAE/[(E+AE

l

XE+AE

2

)] =

—hcAE/E

2

= 0 ,022 nm. Assim, temos:

M

Grupo de manchas solares, fotografado na faixa da

IJZ . ; E

pos magnéticos associados às manchas solares são : : ; : : : - :

desdobramento das linhas espectrais causado pel : _Í

onal Solar Observatory/Sacra mento Peak.]



2 1 2 Física Atômic a

SUMÁRIO

Tópico Equações e comentá r ios

1. Equação de Schrödinger em três

dimensões

2. Quantização

Mom ento angular

Componente z de L

Energia

3. Funções de Onda do Átom o de

Hidrogênio

No caso do átomo de hidrogênio, a equação pode ser separada em três equações

diferenciais ordinárias, uma para a coordenada r, outra para a coordenada d e outra

para a coordenada

<t>.

Os números quânticos n, l em resultam das condições de contorno

impostas às soluções destas equações.

1LI = V C + l = 0, 1, . . . , (n - 1)

L

z

= mft m- 0 , ± 1 , ± 2 , . . . , ±1

E - - l

x

- I3 6

Z2

cV

\ h / 2n

2

' n

2

^nlm

—

C„,

m

onde C„,

m

são constantes de normalização,

R„,

são as funçõe s radiais e Y

lm

são os

esféricos harmônicos.

7-22

7-23

7-25

4. Spin do elétron

Módulo de S

Componente z de S

Experimento de Stern-Gerlach

5. Acoplamento spin-órbita

6. Princípio de exclusão

O spin eletrônico não está incluído na equação de Schrõdinger.

ISI = V« (í + 1 s = \ 7-36

s

z

= m

s

h m

s

= ±\

Esta foi a primeira observação direta do spin eletrônico.

A resultante de L e S é o momento aneular total J = L + S, cujo módulo é dado por

IJI = VTCT+TJÂ 7-53

onde j = l + sou\l- s\. Esta interação leva ao desdobram ento fin o dos níveis de energia.

Um estado atômico especificado por um conjunto de números quânticos

n,

/ ,

m ,

e

m

s

pode

ser ocupado por apenas um elétron.

B I B L I O G R A F I A

A s re fe rê n c ia s q u e se se g u e m fo ra m e sc r i t a s e m u m n ív e l a p ro -

pr iado pa ra os le i to res deste l iv ro .

Br ehm J . J . e W. J . Mu ll in , Introduction to the Structure of Mat-

ter, Wi le y , N e w Y o rk , 1 9 8 9 .

Eisbe rg , R . e R . Resn ick , Quantum Physics, 2. e d . , Wi l e y , N e w

York , 1985 .

Herzberg , G. , Atomic Spectra and Atomic Structure, Do ver , New-

York , 1944 .

Kuhn , H. G. , Atomic Spectra, A c a d e m ic P re ss , N e w Y o rk , 1 9 6 2 .

Meh ra , J . e H. Rechenbe rg , The Historical Development of Quan-

tum Theory, Vol . 1 , Spr ing er-V erlag , Ne w York , 1982 .

P a u l i n g , L . e S . G o u d s m i t , The Structure of Line Spectra,

Mc G ra w -H i l l , N e w Y o rk , 1 9 3 0 .

N O T A S

1 . A degeneração pode esta r a ssoc iada a uma s ime tr ia do s is te -

m a , c o m o n o c a so q u e e s t a m o s d i sc u t in d o . E n t r e t a n to , t a m b é m

pode ex is t i r por razões to ta lmente d ive rsas e ce r tamente pode

ocorre r em casos nos qua is , ao con trá r io do que acon tece no p ro-

b lema da ca ixa t r id imensiona l , a função de onda não pode se r

d e sc r i t a c o m o o p ro d u to d e fu n ç õ e s a s so c i a d a s a d i f e re n te s n ú -

m e ro s q u â n t i c o s . E ssa s ú l t im a s d e g e n e ra ç õ e s à s v e z e s sã o c h a -

madas de degenerações ac iden ta is ; os do is t ipos de degeneração

p o d e m e s t a r p re se n te s n o m e sm o s i s t e m a .

2 .

" S u f i c i e n te " , n o c a so , s ig n i f i c a u m c o n ju n to c o m p le to n o se n -

t id o m a te m á t i c o d a p a l a v ra .

3 . P o te n c ia i s d e s t e t i p o sã o c o n h e c id o s c o m o conservativos-, o s

e x e m p lo s m a i s c o m u n s sã o o p o te n c ia l d e C o u lo m b e o p o te n -

c i a l g ra v i t a c io n a l .

4 . S e L

z

= |L|, e n t ã o n e c e ssa r i a m e n te L

x

= L

y

= 0.

5 . A s f u n ç õ e s Y

lm

e

R„,

que apa recem nas Tabe las 7 -1 e 7 -2 são

fu n ç õ e s n o rm a l i z a d a s ; o s v a lo re s d e C

nlm

são os p rodu tos das

c o n s t a n te s d e n o rm a l i z a ç ã o c o r re sp o n d e n te s .

6 . Wo l fg a n g P a u l i (1 9 0 0 -1 9 5 8 ) , f í s i c o a u s t r í a c o n a tu ra l i z a d o

a m e r i c a n o . U m a v e rd a d e i r a c ri a n ç a -p ro d íg io , c o m a p e n a s d e z o i -

to anos, quando faz ia o curso de g raduação em f ís ica em Muni-

que , e sc reveu um a r t igo sobre re la t iv idade ge ra l que fo i e log ia -

do pe lo p rópr io E inste in . Teór ico b r i lhan te , to rnou-se a consc i-

ê n c ia d a f í s i c a q u â n t i c a , c o m b a te n d o a " m á f í s i c a " .

7 . S a m u e l A b r a h a m G o u d s m i t ( 1 9 0 2 - 1 9 7 8 ) e G e o r g e E u g e n e

U h le n b e c k (1 9 0 0 -1 9 8 8 ) , f í s i c o s h o la n d e se s n a tu ra l i z a d o s a m e -

r i c a n o s . Q u a n d o e ra m a lu n o s d e d o u to ra d o e m L e id e n , e x p u se -

ram a idé ia do sp in e le t rôn ico ao seu o r ien tador , Pau l Ehrenfest ,



Física Atômic a 2 1 3

q JÍ os aconse lhou a ouvir a opin ião de H. A. Lorentz . Depois de

_guma demora , Lorentz observou que um spin e le t rônico com

: valor necessário para explicar a estrutura fina era incompatí-

el com a relatividade restri ta . Quando os estudantes voltaram a

procurar Ehrenfest com a má not íc ia , descobri ram que este já

havia enviado o artigo escrito pelos dois à x&vistàNaturwissens-

- haften, onde fo i publ icado.

8 . Como o s ímbolo /x é usado para representa r tan to a massa

reduz ida como o mom ento ma gnét ico , é prec iso tomar um cer to

cuidado para não interpretá-lo erroneamente ao usar as equações

ia mecânica quânt ica . Alguns autores pre fe rem usar o s ímbolo

m para representa r mom ento m agnét ico , mas nesse caso exis te o

per igo de confusão com o número quânt ico m.

9.

Ot to Ste rn (1888-1969) , f í s ico a lemão na tura l izado america-

no . e Wal ther Gerlach (1889-1979) , f í s ico a lemão. Depois de

t raba lhar como assis ten te de Einste in durante dois anos, Ste rn

desenvolveu as técnicas de produção de fe ixes a tômicos e m ole-

cula res que lhe permit i ram demonstra r , juntamente com Gerla -

ch . um exce lente f í s ico exper imenta l , a ex is tênc ia da quant iza-

ção espacial. Stern recebeu o prêm io Nobel de física de 1943 pelo

desenvolv imento do método dos fe ixes molecula res e a desco-

ber ta do momento magnét ico do pró ton .

10 . O núc leo a tômico também possui um momento angula r e

por tanto um momento magnét ico; en t re tanto , como a massa do

núc leo é pe lo menos 2 .000 vezes maior do que a massa do e lé -

t ron , o momento magnét ico do núc leo , de acordo com a Eq. 7-

39 , é pe lo menos 2 .00 0 vezes menor do que o mom ento magné -

t ico do e lé t ron . O exper imento de Ste rn-Gerlach não t inha pre -

cisão suficiente para detectar este pequeno efeito.

11 . Como já foi dito na Seção 7-2, as primeiras letras da notação

usada para indicar os valores de momento angular orbital , s, p, d

e / , foram escolh idas porque descreviam a aparênc ia de cer tos

grupos de linhas espectrais: íharp (estreitas), principal (princi-

pais),

c/iffuse

(d i fusas) c /und amen ta l ( fun damenta is) . A notação

das camadas (K, L, . . .) foi usada pela primeira vez por Barkla

(veja a nota 17 do Cap. 4).

12 . Esta forma de representa r o sp in to ta l fo i escolh ida porque

corresponde ao número de l inhas da est ru tura f ina do espec t ro ;

assim, por exemplo , no caso do h idrogênio , s = 1/2 e as linha s

são duble tos .

13 . Uma outra forma de in te rpre ta r o fenômeno é d izer que o

e lé t ron , por possui r um spin e por tanto um mo men to magn ét ico

intrínseco, produz à sua volta um campo magnético dipolar. Este

campo var ia no tempo em vir tude do movimento orb i ta l do e lé -

t ron , produz indo assim um c amp o e lé t r ico na posição do pró ton

(suposto estacionário), que interage com a carga elétrica do pró-

ton . Como o sent ido deste campo depende da or ientação re la t i -

v a d o s m o m e n to s L e S, as l inhas são desdobradas.

14 . Na verdade , esses n íve is não são exa tamente degenerados

nem mesmo no h idrogênio . W. Lamb mostrou que exis te uma

pequen a d i fe rença de energia ent re os estados 2S e 2P do á tomo

de h idrogênio . Esta d i fe rença , juntam ente com o desdobra men-

to fino do estado 2 P , faz com que o estado 2

2

P

m

esteja 4,4 X

IO "

6

eV aba ixo do estado 2

2

S

m

, uma d i fe rença de energia co-

nhec ida como deslocamento de Lamb. Este deslocamento per-

mite que o estado 2

2

S

m

, que de outra forma ser ia metaestáve l .

por causa da regra de se leção Al = ±1, deca ia para o estado

fu n d a m e n ta l l

2

S

1/ 2

a t ravés de uma t ransição p ara o estado 2

2

P

in

.

O deslocam ento de Lam b se deve a um efe i to re la t iv ís t ico .

15 . Podemos pensar nesta regra em te rmos da conservação do

mo me nto angula r . O fó ton tem um spin s = 1 . Em um a t ransi -

ção do t ipo d ipolo e lé t r ico , o sp in do fó ton é somado ve tor ia l -

mente ao sp in do á tomo. Se o número quânt ico de momento

angular to ta l do á tomo é j

i

antes da t ransição e j

2

após a t ransi -

ção , as regras para a som a ve tor ia l de mom entos angula res ex i -

g e m q u e j

2

= j\ +

1

,ji ou j

l

— 1 , contanto que j

l

+ 0. Se j

l

=

0 ,j2 = 1. "

16 . Is to é verdade para quase todos os á tomos com dois e lé t rons

exte rnos, como o He , o Be , o Mg e o Ca . Uma exceção são os

estados P do Hg, nos qua is o desdobramento f ino é da mesma

ordem que o desdobram ento ent re os s ingle tos e os t r ip le tos .

17 . Pie te r Zeeman (1865-1943) , f í s ico holandês. A descober ta

do efeito Zeeman, que tanto contribuiu para o nosso conhecimen-

to da estrutura atômica, foi praticamente ignorada até que sua

importânc ia fo i apontada por Lorde Kelv in . Zeeman compart i -

lhou o prêmio Nobel de física de 1902 com seu professor H. A.

Lorentz pe la descober ta .

18 . Esta terminolog ia resultou do fato de que o efeito de um c am-

po magnético sobre as transições entre estados do tipo singleto

podia ser explicado pela teoria clássica de Lorentz para o elé-

tron e portanto era "normal", enquanto o efeito sobre as outras

t ransições não podia se r expl icado e por tanto e ra "anô malo" .

19 . Este cálculo pode ser encontrado, por exemplo, em Herzberg,

G ., Atomic Spectra and Atomic Structure, D o v e r , N e w Y o rk ,

1944.

20 . Em hom enag em a Alfred Landé (1888 -1975) , f í s ico a lemão,

cujo t raba lho com B orn e Heisenberg levou à in te rpre tação cor-

re ta do e fe i to Zeeman anômalo .

P R O B L E M A S

Nível I

Se ç ã o 7 -1 A Equa ç ã o de Sc hr õ d ing e r e m Tr ê s D ime nsõ e s

7 -1 . D e te rm in e a s e n e rg i a s E

3n

, E

222

e £

32 1

e const rua um dia -

grama de n íve is de energia para o poço cúbico t r id imensiona l

que inc lua as energias do te rce i ro , quar to e quin to estados ex-

c i tados. Quais dos estados que aparecem no d iagrama são de-

g e n e ra d o s?

7 -2 . U m a p a r t í c u l a é c o n f in a d a a u m a c a ix a t r i d im e n s io n a l

de lados L

X

,L

2

= 2L

l

e í , = 3 L j . D e te rm in e o s n ú m e ro s q u â n -

t i c o s n

u

n

2

e r c

3

p a ra o s 1 0 e s t a d o s d e m e n o r e n e rg i a d a p a r -

t ícu la .

7-3 . Um a par t ícu la é submet ida a um potenc ia l dado por V(x, y,

z ) = 0 p a ra -L /2 < x < L/2,0 < y < L e 0 < z < L. Fora desses

limites, V = (a) Escreva um a expressão para a função de onda

desta par t ícu la no estado fundamenta l . (b) Como se comparam

as energias permit idas com as de uma par t ícu la em um a ca ixa na

qua l V = 0 para 0 < x < L e m v e z d e p a ra -L /2 < x < L/2?

7-4 . Dete rm ine as funções de onda para os 10 estados de m enor

energia da par t ícu la do Problema 7-2 .

7 -5 . (a) Repi ta o Problema 7-2 supond o que L

2

= 2L

]

e L, = AL

(b) Quais desses estados são degenerados?

7-6 . S uponha q ue a par t ícu la do Problem a 7-1 se ja um e lé t ron e

L = 0 ,10 nm. Dete rmine as energias das t ransições do te rce i ro ,

quar to e quin to estados exc i tados para o estado fundamenta l .



1* - Atômica

Mo st re q u e a fu n ç ã o

i// = A — e~

rriao

c o s 9

a

0

é u m a so lu ç ã o d a E q . 7 -9 , o n d e A é uma constan te e a

0

é o raio

de Bohr .

7 -8 . Mo s t r e q u e a fu n ç ã o

Y = C s e n 0 ( 5 c o s

2

9 - 1 )e

,é

é uma so lução da Eq . 7 -9 , onde C é uma constan te .

S e ç ã o 7 -2 Q u a n t i z a ç ã o d o Mo m e n to A n g u la r e d a E n e r g ia

d o Á to m o d e H id r o g ê n io

ç

r

2

e

-izria

0; 0

n d e C é u m a c o n s t a n te . Mo s t r e q u e o v a lo r d e P(r) é

m á x im o p a ra r = aJZ.

7 - 2 1 .

C a lc u le a c o n s t a n te d e n o rm a l i z a ç ã o C

20 0

da Eq . 7 -33 .

7 - 2 2 . D e te rm in e a p ro b a b i l i d a d e d e e n c o n t r a r o e l é t ro n e m u m

in te rva lo Ar = 0 ,02a

0

c o m c e n t ro (a ) e m r = a

0

e ( b) em r = 2a

0

para o e s tado n = 2, / = 0, m = 0 do á tomo de h id rogên io . (O

va lor da constan te C

20 0

é d a d o n o P ro b le m a 7 -2 4 . )

7 - 2 3 .

Mostre que a densidade de p robab i l idade rad ia l pa ra o e s-

t a d o n = 2,

Z

= 1 , m = 0 de um á tom o de um e lé t ron po de se r

esc r i ta na fo rma

P(r) = A c o s

2

9 r

4

< r

Z r / a

°

onde A é uma constan te .

7 -2 4 . O va lo r da constan te C

20 0

na Eq . 7 -33 é

(7-9).

S e n = 3, (a ) qua is são os va lo res possíve is de

11

(b ) Q u a i s

sao os va lo res possíve is de m para cada va lo r de 11 (c ) Levando

em con ta o fa to de que ex is tem do is e s tados quân t icos pa ra cada

v a lo r delem por causa do sp in do e lé t ron , de te r min e o núm ero

6

e es tados na camada n = 3 .

D e te rm in e o n ú m e r o to t al d e e s t a d o s (a ) n a c a m a d a n = 2 ;

i c a m a d a n = 4 . (Ve ja o Prob lema 7-9 . ) (c ) De te rmine as

energ ias dos e s tados dos i tens (a ) e (b ) em eV.

7 - 1 1 .

O m o m e n t o d e i n é r c i a d e u m C D é a p r o x i m a d a m e n t e

3 X 1 0 "

5

k g - m

2

. ( a ) D e t e r m i n e o m o m e n t o a n g u l a r L = ICJ

q u a n d o o d i sc o e s t á g i r a n d o c o m u m a v e lo c id a d e a n g u la r & >/

2

TT

= 7 3 5 r p m ; ( b ) d e t e r m i n e o v a l o r a p r o x i m a d o d o n ú m e r o

q u â n t i c o / .

7 - 1 2 . D e se n h e u m d ia g ra m a v e to r i a l q u e m o s t r e a s p o ss ív e i s

o r i e n t a ç õ e s d o v e to r m o m e n to a n g u la r L ( a ) p a ra l =

1

;(b) pa ra

/ = 2; (c) para / = 4.

7 - 1 3 . Pa ra / = 2 , (a ) q u a l é o m e n o r v a lo r p o ss ív e l d e

L

2

X

+ Ü

y

l

(b ) Q u a l é o m a io r v a lo r p o ss ív e l d e Ü

x

+ L) ? (c ) Qua l é o va -

lo r de L\ + L] p a r a m =

1

? É p o ss ív e l d e t e rm in a r o v a lo r d e L,

o u L

y

a p a r t i r d e s t e s d a d o s? (d ) Q u a l é o m a io r v a lo r p o ss ív e l

de n?

7 - 1 4 . P a r a 1 = 1 , d e t e r m i n e ( a ) o m ó d u l o d o m o m e n t o a n g u -

l a r L ; (b ) o s v a lo re s p o ss ív e i s d e m . ( c ) D e se n h e e m e sc a l a

u m d i a g r a m a v e t o r ia l m o s t r a n d o a s p o s s í v e i s o r i e n t a ç õ e s d e

L e m re l a ç ã o a o e ix o d o s z. (d) R e p i t a o s i t e n s (a), (b ) e (c)

pa ra / = 3 .

7 -1 5 . Mo s t r e q u e se V é fu n ç ã o a p e n a s d e r, dL/dt = 0, ou seja ,

I n c o n s t a n t e .

Qua is são os va lo res possíve is de nem (a) para / = 3; (b)

para l = 4 ; (c ) pa ra / = 0? (d ) De te rmine os menores va lo res

possíve is da ene rg ia pa ra cada caso .

7 - 1 7 . O e lé t ron de um á tomo de h id rogên io se encon tra no esta -

do 6 / . (a ) Q u a i s s ã o os v a lo r e s d e n e / ? (b ) Ca lcu le a ene rg ia do

e lé t ron , (c ) Ca lcu le o módulo de L . (d ) D e te r m in e to d o s o s v a lo -

r e s p o ss ív e i s d e L

z

.

S e ç ã o 7 -3 A s F u n ç õ e s d e O n d a d o Á to m o d e H id r o g ê n io

7 -1 8 . P a ra o e s t a d o fu n d a m e n ta l d o á to m o d e h id ro g ê n io , d e t e r -

m i n e (a ) o va lo r de ip\ (b) o va lo r de i / r ; (c ) a densidade de p ro-

bab i l idade rad ia l P(r) n o p o n to r = a

0

. A re sposta deve se r dada

em un idades de a

0

.

7 -1 9 . Pa ra o e s tado fundam enta l do á tomo de h id rogên io , de te rmi-

ne a probabilidade de encontrar o elétron em um intervalo Ar =

0 . 0 3 a

o

(a ) com cen tro em r = a

0

; (b) com cen tro em r = 2a

0

.

7 -2 0 . A densidade de p robab i l idade rad ia l do á tomo de h id rogê-

n io n o e s t a d o fu n d a m e n ta l p o d e se r e sc r i t a n a fo rm a P ( r ) ~

C „

•s/32

( ~

3277 \ a

0

3/2

D e te rm in e o s v a lo re s (a ) de ip-, (b) de i/r ; (c) da de ns id ad e d e

probab i l idade rad ia l P(r) n o p o n to r = a

0

pa ra o e s tado n = 2,1 =

0 , m = 0 do á tomo de h id rogên io . A resposta deve se r dada em

u n id a d e s d e a

0

.

7-25 . Mostre que a d is tânc ia ma is p rováve l en tre um e lé t ron e o

n ú c le o n o e s t a d o n = 2, l = 1 do h id ro gên io é r = 4a

0

.

7 -2 6 . Ig n o ra n d o o sp in d o e l é t ro n , m o s t r e q u e o n ú m e ro d e

e s t a d o s d e g e n e r a d o s d o e n é s i m o n í v e l d o h i d r o g ê n i o é d a d o

p o r n

2

.

7 -2 7 . Mo s t r e q u e a fu n ç ã o d e o n d a d o h id ro g ê n io ip

l00

sa t isfaz à

e q u a ç ã o d e S c h rõ d in g e r .

S e ç ã o 7 - 4 O S p in d o E lé tr o n

(7 -2 8 ) S e a r e l a ç ã o e n t r e c a rg a e m a ssa e m u m s i s t e m a c l á s s i -

c o n ã o é c o n s t a n te , o m o m e n to m a g n é t i c o p o d e se r e sc r i t o n a

f o r m a

M = g

m

L

o n d e Q é a c a rg a to t a l , M é a m a ssa to t a l e g # 1 . ( a ) Mo s t r e

q u e g = 2 p a ra u m c i l i n d ro m a c iç o (I = MR

2

/2 ) q u e g i r a e m

to rn o d o p ró p r io e ix o e p o ssu i u m a d i s t r i b u iç ã o d e c a rg a u n i -

f o r m e e m s u a s u p e r f í c i e c i l í n d r i c a . ( b ) M o s t r e q u e g = 2 ,5

p a r a u m a e s f e r a m a c i ç a ( / = 2M R

2

/2 ) q u e p o ss u i u m a d i s t r i -

b u iç ã o d e c a rg a u n i fo rm e e m u m a n e l e s t r e i to l o c a l i z a d o n o

e q u a d o r (F ig . 7 -3 3 ) .

F i g . 7 - 3 3

Esfera maciça com uma distribuição de carga uniforme em um anel

estreito localizado no equador.




7 -2 9 . 'Supondo que o e lé t ron se comporte como uma par t ícu la

c l á ss i c a , u m a e s fe ra h o m o g ê n e a c o m IO

- 1 5

m de raio, use o

módulo do sp in , ]S| = [>(.? + l)]"

2

= (3/4)

1

'

2

para calcular a

ve loc idade tangenc ia l de um ponto s i tuado no equador do e lé -

^ t reurCompare esta ve loc idade com a ve loc idade da luz .

7-30. Quantas l inhas se rão observadas na p laca de tec tora em um

exper ime nto de Ste rn-Gerlach (ve ja a Fig . 7-15) se for usado u m

fe ix e (a ) de á tomos de potássio ; (b ) de átomos de cálcio; (c) de

á tomos de oxigênio ; (d ) de á tomos de estanho?

7-31. A força exerc ida por um campo magnét ico não-homogê-

neo sobre um mo mento m agnét ico cuja compo nente zép.é dada

pela Eq. 7-51. Se os átomos d e prata em um experim ento de Stern-

Gerlach percorrem 1 m na região onde exis te camp o magné t ico

e mais 1 m em uma região onde o campo é zero com um a ve lo-

cidade de 250 m/s, qual deve ser o gradiente de

B

z

, dBJdz,

para

que a def lexão máxima de cada um dos fe ixes se ja de 0 ,5 mm

em relação ao centro do detector?

7-32. (a ) O mo men to angula r do á tomo de í tr io no estado funda-

menta l é ca rac te r izado pe lo número quânt ico j = 3 /2 . Quantas

l inhas se rão observadas em um exper imento de Ste rn-Gerlach

com átomos de ítrio? (b) Quantas l inhas serão observadas se o

fe ixe for const i tu ído por á tomos com spin nulo e l =

1

?

Se ç ã o 7 -5 Mo me n to A ng ula r T o ta l e o Efe i to Sp in -Ór bi ta

7- 33 jü sando a notação espec t roscópica , faça uma l i s ta de todos

ÕS estados do á tomo de h idrogênio com n = 2 e n = 4.

7- 3 4 .0 e lé t ron exte rno de um á tomo de potássio se encontra em

um estado com l = 2 . Ca lcule o módulo de L . Quais são os va-

lo i e sD o ss ív e i s d e j e os va lores possíve is do módulo de J?

7-35JUm á tomo de h idrogênio se encontra no estado 3D (n =

3Tt = 2) . (a ) Quais são os va lores possíve is de j l (b ) Quais são

os va lores possíve is do módulo do momento angula r to ta l? (c )

Quais são os va lores possíve is da componente z d o m o m e n to

angular to ta l?

7-36. O momento angula r to ta l de um á tomo de h idrogênio em

um cer to estado exc i tado é carac te rizado pe lo núm ero quânt ico

j = 3 /2 . Quais são os va lores possíve is do núm ero quânt ico de

moimento angula r orb ital 11

7-37. E m u m certo estad o de um elétron, o valor de j pode ser 5/2

oir7/2. Qual é o valor de 11 Trata-se de um estado s, p, d, fou gl

7 -3 8 . Considere um sis tema de dois e lé t rons, ambos com / = 1

e s = 1 /2 . (a ) Igno rando o sp in , qua is são os possíve is núm e-

ros quânt icos para o momento angula r orb i ta l to ta l L = +

L,? (b)

Quais são os possíve is va lores do número quânt ico 5

para o spin total S = Sj + S

2

? (c) Usand o os resul tados dos i tens

(a ) e ( / ; ) , de te rmine os possíve is números quânt icos j para a

c o m b in a ç ã o J = L + S . (d ) Quais são os possíve is números

quânt ico s y, e j

2

para o momento angula r to ta l de cada par t ícu-

la? (e) Use os resul tados do i tem (d) para ca lcula r os possíve is

va lores de j a par t i r da combinação de / , e j2. O resul tado é o

mesmo do i tem (c )?

7 -3 9 . O conhec ido duble to de l inhas amare las do espec t ro do

sódio é causado por t ransições dos estados 3

P

m

e 3

P

V 2

para o

estado fundamenta l . Os comprimentos de onda destas duas l i -

nhas são 589,6 nm e 589,0 nm. (a) Calcule as energias em eV

dos fó tons correspondentes a estes comprimentos de onda . (b)

A diferença de energia destes fótons é igual a diferença em ener-

g ia , AE, ent re os estados 3P

3I 2

e 3 P

m

. Esta d i fe rença se deve

ao e fe i to sp in-órbi ta . C a lcule o va lor de AE. (c ) Se o e lé t ron 3p

do sódio est iver submet ido a um campo magnét ico in te rno B,

o desdobramento causado pe lo e fe i to sp in-órbi ta se rá da ordem

d e A E = 2 /u

b

B , o n d e p

B

é o magnéton de Bohr . Est ime o va lor

d e B a partir do valor de AE encontrado no i tem (b).

Se ç ã o 7 -6 Esta do s Funda me nta i s do s Á to mo s do s

Elementos: A Tabela Per iódica

7 -4 0 . Dete rmine a conf iguração e le t rônica (a ) do carbono; (b)

do oxigênio; (c) do argônio.

7-41.

Dete rmine a conf iguração e le t rônica (a ) do c loro ; (b) do

cálcio; (c) do germânio.

7 -4 2 . Na curva da energia de ionização em função do número

a tômico (Fig . 7-20) , são observadas pequenas quedas em Z =

31 (gálio), Z = 49 (índio) e Z = 81 (tálio) que não estão assina-

ladas na f igura . Expl ique as quedas, depois de exam inar as con-

f igurações e le t rônicas desses á tomos no Apêndice C.

7 -4 3 . E m qua is dos á tomos a seguir o estado funda men ta l é des-

dobrad o pela interação spin-órbita: Li, B, Na, Al, K, Ag, Cu, G a?

(Sugestão : Use o Apênd ice C para ver i f ica r qua is são os e lemen-

tos para os quais l 0).

7 -4 4 . Se o elétron 3s do sódio não penetrasse na região interna

do átomo, sua energia seria — 13,6/n

2

= —1,51 eV. A penetra-

ção na região in te rna faz com que o e lé tron enxerg ue um a carga

efe t iva maior e por tanto sua energia se ja menor . Use o va lor

exper imen ta l do potenc ia l de ionização , 5 ,14 V, para ca lcula r o

valor de Z

ef

para o elétron 3s do sódio.

7 -4 5 . Q ual é o e lemento qu e possui a conf iguração e le t rônica (a )

ls

2

2s

2

2p

6

3s

2

3p

2

\ (b) ls

2

2s

2

2p

6

3s

2

3p

6

4s

2

l

7 -4 6 . Dete rmine os va lores possíve is da componente z d o m o -

mento angula r orb i ta l (a ) de um elétron d; (b) de um e lé t ron/ .

Seção 7-7 Estados Excitados e os Espectros dos Elementos

7 -4 7 . Quais dos e lementos a seguir apresentam um diagrama de

níve is de energia semelhante ao do sódio e qua is apresentam um

diagrama semelhante ao do mercúrio: Li, He, Ca, Ti, Rb, Ag, Cd,

Mg, Cs, Ba , Fr , Ra?

7 -4 8 .

Os espectros óticos de átomos com dois elétrons na última

camada são semelhantes en t re s i , mas mui to d i fe rentes dos es-

pec t ros de á tomos com apenas um e lé t ron na ú l t ima camada , por

causa da interação entre os dois elétrons. Separe os elementos a

seguir em dois grupos, de ta l forma que os e lementos em cada

grupo tenham espec t ros semelhantes: l í t io , ber í l io , sódio , mag-

nésio, potássio, cálcio, cromo, níquel, césio, bário.

7 -4 9 . Quais dos e lementos a seguir possuem um espec t ro ó t ico

semelhan te ao do h idrogênio e qua is possuem um espec t ro ó t ico

semelhante ao do hélio: Li, Ca, Ti, Rb, Ag, Cd, Ba, Hg, Fr. Ra?

7 -5 0 . Os núm eros quânt icos n , l e j para o e lé t ron exte rno do

potássio têm os va lores 4, 0 e 1/2, respectivamente, no estado

fu n d a m e n ta l ; 4 , 1 e 1/2 no primei ro estado excitad o; 4. 1 e 312

no segund o estado exc i tado. Faça uma tabe la com os va lores de

n, / e j para os 12 primeiros es tados do potás sio (veja a Fig

7 -5 1 JQ uai s das transiçõ es do só dio a seguir não são do tipo di-

^-peio elétrico? (Informe qual a regra de seleção que está sendo

violada.)

4S

1/2

4 D

3

S

in

4 S

/2

3 P

/2

4 P

3/2

3S

m

4D - • 3 P

3/2

3 P

m

4 D

/2

3S

1/2

7 -5 2 . As transições entre os níveis eletrônicos intern : > d e c o -

rn o s p e sa d o s r e su l t am na e m issã o d e r a io s X c a r a c to : : . - q u e

foram d iscut idos na Seção 4-4 . (a ) Ca lcule a energia de um e lé -



'isica Atômica

t ron na camada K do tungsténio, supondo que a carga nuclear

efeti va é Z - 1. (b) O valor experimental desta energia é 69,5

ke V. Supo nha q ue a carga nuclear e fet iva é (Z

—

cr), onde cr é a

c ha m a da constante de blindagem, e calcule a a part i r do valor

experimental da energia.

7- 53 . C om o o e s t a do Pt o es tado D do sódio são dubletos, exis-

t em quat ro t rans ições poss íve i s ent re esses es tados , com di fe-

rentes energias . Indique qu ai s são as t r ês t r ans ições permi t idas

e qual é a tr ans ição proib ida , de acordo co m a regra de se leção

da Eq. 7-62.

7 .54 . A penet ração re la t iva da região in te rna do á tomo pe lo

e l é t r on e x t e r no do s ód i o pode s e r l e va da e m c ons i de r a ç ã o

at ravés do uso de uma carga cent ra l e fe t iva eZ

rf

> l e na equa-

ç ã o E = - 1 3 , 6 Z

2

f

/n

2

e V ( ve ja o P r ob l e m a 7 - 44 ) . (a) Use a

Fig . 7-22 para de terminar a energia do e lé t ron externo nos

e s t a dos 3s , 3p e 3d do sódio . (Suge s t ão : Para obter resul t ados

m a i s p r e c is o s , t om e - 5 , 1 4 e V c om o a e ne r g i a do e s ta do f un -

dam enta l e use as energias dos fó to ns assoc iados às t r ans içõ es

3s —> 3p e 3p —¥ 3d para ca lcular as energias dos out ros es ta -

dos . ) (b ) Calcule os va lo res de Z

ef

para os es tados 3p e 3d. (c)

A a p r o x i m a ç ã o E = —13,6In

2

eV é razoável para a lgum des-

ses es tados?

7 - 5 5 .

Um á t om o de h i d r ogê n i o no e s t a do f unda m e n t a l é s ub -

m e t i do a um c a m po m a gné t i c o B. = 0 ,55 T. (a ) Calcule o des -

dobramento dos es tados de sp in . (b) Qual dos es tados t em

maior energia? (c ) Qual a f reqüência da radiação necessár ia

para exc i t a r o á tomo do es tado de sp in de menor energia para

o de m a i o r e ne r g i a ? Em que r e g i ã o do e s pe c t r o e l e t r om a gné -

t i co es tá es ta radiação?

7- 56 .

Mo stre que a variação de com prim ento de onda AA de um a

transição devido a uma pequena variação de energia é dada por

A

2

4

AA « AE

hc

(Sugestão: Calcu le o valor de dE/dX, onde E = hc/A.)

7- 57 .

(a) Determine o des locamento normal de Zeeman A E =

ef/,B/2m

e

para um campo magnét ico B = 0,05 T. (b) Use o resul-

tado do i tem (a) e o resul tado do Problema 7-56 para calcular as

variações de comprimento de onda da t ransição singleto do mer-

cúr io que ocorre para À = 579,07 nm. (c) Se a menor variação

de compr imento de onda que pode ser medida em um espec t rô-

met ro é 0 ,01 nm, qual o menor va lor de campo magnét ico ne-

cessário para observar o efei to Zeeman nesta t ransição?

o n d e L é o m o m e n t o a n g u l a r . A s o l u ç ã o d a e q u a ç ã o d e

Schrõdinger para es te problema leva a n íve i s de energia quan-

t i zados dados por

Nível II

7- 58 . Se o elétron externo do l í t io se movesse na órbi ta de Bohr

cor respondente a n = 2, a carga central efet iva seria Z

cf

e = le e

a energia do elétron seria

—

13,6eV/2

2

= —3,4 eV. Entretanto, a

energia de ionização do l í t io é 5,39 eV e não 3,4 eV. Use este

fato para calcular a carga cen tral efet iva Z

ef

do ponto de vista do

elétron externo do l í t io. Suponha que o elétron externo se move

em uma órbi ta de raio r = 4a

0

.

7- 59 . Most re que o va lor esperado de r para um elétron no es-

t ado fundamenta l de um á tomo de um e lé t ron é dado por (r) =

3 V 2 Z .

"-60. Se um corpo r íg ido tem mo mento de inérc ia

I

e está giran-

- : : m velocidad e angular co, sua energia cinét ica é dada po r

E = - / a r = = —

2 2/ 21

E,=

1(1 + \)fi

2

21

(a ) Faça um diag rama de n íve i s de energia para es ta s i tuação e

indique as t r ans ições que obedecem à regra de se leção Al =

± 1. (b) Most re que as energias das t rans ições permi t idas são

£,, 2E

t

, 3E

U

4E \ etc. , ond e = A

2

/I. (c ) O momento de inér -

c ia da molécula de h idrogênio é dado por I = m/

2

/ , onde m

7

é a mas sa do próton e r = 0,74 nm é a distância entre os prótons.

Deter mine a energia do pr ime i ro es tado exc i t ado (Z = 1) da

molécula de h idrogênio , supondo que e la se compor ta com o um

rotor r íg ido , (d) Qual é o compr imento de onda da radiação

emi t ida na t rans ição do es tado Z = 1 para o es tado Z = 0 da

molécula de h idrogênio?

7-61. Em um ex per imento de Stern-Ger lach , são usados á tom os

de h idrogênio no es tado fundam enta l com uma ve loc idade v

t

=

14,5 km/s. O campo magnético é paralelo ao eixo dos z e seu

gradiente máxim o é

dBJdz

= 600 T/m.

(a)

D etermine a ace lera-

ção máxima dos átomos de hidrogênio. (b) Se a largura da re-

gião onde existe campo magnético é Ar = 75 cm e os átomos

percorrem uma distância adicional de 1,25 m até chegarem ao

detector , determine a distância máxima entre as duas l inhas ob-

servadas no detector .

7- 62 . Determine o menor ângulo entre o mom ento angular L e o

eixo dos z em função do número quânt ico Z e mostre que para

grandes va lores de Z, 9

mm

~ 1/V7.

7- 63 . O s compr imentos de onda dos fó tons emi t idos pe lo potás -

sio correspondentes a t ransições dos estados 4 P

V 2

e 4P

V 2

para o

es tado fundam enta l são 766,41 e 769,90 nm. (a) Calcule as ener-

gias dos fótons em elétrons-volts . (b) A diferença entre as ener-

gias dos fótons é igual à diferença AE entre os estados 4P

m

e

4 P

m

no átomo de potássio. Calcule o valor de A E. (c) Est ime o

valor do campo m agnét ico a que es tá submet ido o e lé tron 2 p no

átomo de potássio.

7- 64 . O raio do próton, R

0

, é aproximadamente igua l a IO" '

5

m .

A probabil idade de o elétron ser encontrado no inter ior do volu-

m e ocupado pelo próton é dada por

p o

=

J o

J

P(r) dr

onde P(r) é a densidade de probabil idade radial . Calcule o valor

de P para o es tado fundam enta l do á tomo de h idrogênio . (Suges-

tão: Use a aproximação e~

2r<

"> ~ 1, já qu e r « a

0

em todo o

intervalo de integração.)

7-65. (a)

Calcule o fator

g

de Landé (Eq. 7-69) para os estados

2

Py

2

e

2

S

l/2

de um á tomo de um e lé t ron e mos t re que exi s tem

quatro energias diferentes para as t ransições entre estes níveis

na presença de um campo magnét ico externo, (b) Calcule o fa -

to r g de Landé para o estado

2

P

m

e mos tre que existem seis ener-

gias diferentes para as t ransições

2

P

m

2

S

m

na presença de um

campo magnét ico externo.

Nível III

7-66. C ons idere um á tomo semelhante ao do h idrogênio no qual

o elétron é subst i tuído por uma part ícula

K~ .

A part ícula

K~

tem

spin 0 e portanto não possui momento magnético; assim, o úni-

co momento m agnét ico des te á tomo é o momento angular orb i -



Física Atômic a 2 1 7

dado pela Eq. 7-43. Se es te á tomo for submetido a um cam-

pc magnét ico B

z

= 1,0 T, (a) como serão afetados os níveis I s e

2p

1

(b ) Em quan tas linhas será desdobrada a linha corresponde nte

_ transição 2p

—>

ls? (c) Qual será a distância relativa AA/À en-

tre linhas adjacentes? (Veja o Problema 7-56 . ) A massa da par-

tícula K~ é 4 93,7 Me V/c

2

.

7-67. Ignorando os efe i tos re la t ivís t icos , a camada n = 3 dos

_:omos de um elétron apresenta cinco níveis de energia, corres-

pondentes aos estados 3

2

S

1/2

, 3

2

P

1/2

, 3

2

P

m

, 3

2

D

3/ 2

e 3

2

D

5I2

. Deter-

mine os desdobramentos causados pelo efe i to spin-órbi ta nos

níveis 3P e 3D do hidrogênio.

7-68 . No e fe i to Z eeman anômalo , o campo m agné t i co ex te rno

é muito menor que o campo interno a que o e lé tron es tá sub-

metido devido ao seu movimento orbi ta l . No modelo vetoria l

> Fig. 7-30), os vetores L e S precessam rapidamente em torno

de J por causa do campo interno e J precessa lentamente em

torno do campo externo. Para determinar o desdobramento dos

níveis de energia , é preciso ca lcular prime iro a com pone nte do

mom ento magné t i co na d i reção de J , p,e depo i s a compo nen-

te p. na direção de B . (a ) Mos t re que fjij = /x-J/J pode ser es -

cri to na forma

ilj = - 7

~(L

2

+ 2S

2

+ 3S • L)

n J

(b ) A partir da identidade J

2

= (L + S) • (L + S) mostre que S •

L = (J

2

—

L

2

— S

2

) . (c) Combine os resultados dos itens (a ) e

(b ) para obter a relação

Pj= - ^ j ( 3 J

2

+ S

2

-L

2

)

(d) Mult ipl ique o resul tado por JJJ para obter o resultado final,

J

2

+ S

2

- L

2

\ J,

2 J

2

) f i

i

7-69 . Se o mom ento angular do núcleo de um átomo é I e o dos

elétrons é J, o momento angular tota l do á tomo é F = I + J,

portanto o núm ero quânt ico / correspondente ao mom ento an-

gular total varia de I + J a \ l

—

j\. Mostre que o número de valo-

re s pos s íve i s de /é 21 + 1 se I < J e 2J 4- 1 se J > I. (Se não

conseguir encontrar uma prova geral, repita a demonstração para

vários casos especiais, até se convencer de que é válida em to-

dos os casos . ) (A interação do momento magnét ico do núcleo

com o momento magné t i co dos e l é t rons p roduz um pequeno

desdobramento das linhas espectrais , conhecido como desdobra-

mento hiperfino. Quando K J ,

a.

contagem do núm ero de l inhas

permite determ inar o valor de / . )

7-70. Como o próton possui um spin e um momento magnético, o

estado fundamental do átomo de hidrogênio apresenta um peque-

no desdobramento, conhecido com o desdobramento hiperfino (veja

o Problema 7-69). Este desdobramento pode ser imaginado como

sendo causado pela interação do momento magnético do elétron

com o campo magnét ico produzido pelo momento m agnét ico do

próton ou vice-versa. O momento magnético do próton é paralelo

ao spin e tem um valor de aproxim adamente 2,8/x

v

, onde p

N

= th

2m

p

é o chamado magnéton nuclear, (a) O campo magnético a uma

distância r de um momento magnético varia com o ângulo, mas é

da ordem de 2k

m

pJr\ onde k

m

= 10"

7

em u nidades do sistema SI.

Determine o valor de fi a uma distância r = a

0

do núcleo, supondo

qu e /jl = 2 ,8 p

N

. (b) Estime a energia de desdobramento hiperfino

A E ~ 2p.

b

B, onde p .

B

éo magnéton de Bohr zB é o valor do campo

magnético obtido no item (a), (c) Estime o comprimento de onda

da radiação emitida quando um átomo de hidrogênio sofre uma

transição do tipo "

spinf l ip

" entre os níveis hiperfinos do estado

fundam ental. [O valor estimado é maior do que o valor experimen-

tal, 21 ,22 cm, porque (r~

3

)é bem menor do que a

0

3

, o que reduz o

valor de AE. Os átomos de hidrogênio do espaço interestelar em i-

tem este tipo de radiação, que é um dos mais estudados pelos radio-

astrônomos.]



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Física Moderna - (Paul a. Tipler) - Cap_06-07