EQUIVALENTE DE CIRCUITOS COM MODELAGEM DINAMICA DE

COMPONENTES

Isa Helena C. Carramaschi∗, Francisco Damasceno Freitas†, Tito Ricardo Vaz da

Costa‡

∗Venancio 3000, Bloco A

Asa Norte, Brasılia, DF, Brasil

†Departamento de Engenharia Eletrica - Faculdade de Tecnologia - Universidade de Brasılia

Campus Asa Norte - Asa Norte - Brasılia, DF, Brasil

‡SGAN 603 Blocos I e J

Asa Norte - Brasılia, DF, Brasil

Emails: isa.helena@eln.gov.br, ffreitas@ene.unb.br, titoricardo@aneel.gov.br

Abstract— This paper discusses a methodology for computing a dynamical equivalent based on the Theveninand Norton equivalents. These equivalents have an active network with a voltage or current source plus animpedance. In general, both of them are computed from steady-state quantities of the network. This may be aconstraining in the case of fast transient, such as those ones due to switching in power systems. In the proposedmethodology in this paper, we compute a dynamical source which is connected with the equivalent impedance(admittance). in this sense dynamical expressions are deduced and examples are discussed. To demonstrate theperformance of the technique, tests are carried out on an electric circuit.

Keywords— Dynamical systems, dynamical equivalent, Thevenin equivalent, electromagnetic transients.

Resumo— Este artigo aborda uma metodologia para o calculo de equivalente dinamico com base nos equiva-lentes de Thevenin e Norton. O uso destes equivalentes, via de regra, considera uma fonte, com valor de regimeestacionario e uma impedancia, esta calculada para uma frequencia de interesse. Na metodologia proposta,propoe-se uma representacao dinamica, tanto da fonte quanto da impedancia do equivalente. Com este objetivo,sao desenvolvidas e apresentadas expressoes para melhor entendimento da metodologia. Testes em um circuitoeletrico ilustram a eficacia da tecnica.

Palavras-chave— sistemas dinamicos, equivalente dinamico, equivalente de Thevenin, transitorios eletromag-neticos.

1 Introducao

Alguns estudos em varias areas do conheci-mento requerem simulacoes dinamicas em que operıodo de interesse sao os instantes que caracte-rizam a fase transitoria. Em sistemas eletricos depotencia, estudos desta natureza incluem analisede estabilidade e de transitorios eletromagneticos.No primeiro tipo, o foco sao fenomenos na faixa de0,1 a 2,5 Hz, os chamados transitorios eletromeca-nicos. No segundo tipo, o alvo sao transitorios dealta frequencia, cuja faixa pode se estender desdeHz ate MHz (Watson and Arrillaga, 2003). Evi-dentemente, nesta faixa tao ampla de frequencia amodelagem do fenomeno e decisiva na simulacao.

Na pratica, ha modelos muito complexos e ou-tros simplificados. Mas, de uma forma geral, di-versos modelos podem ser avaliados por meio demodelagem com base em circuitos RLC (Freitaset al., 2011). Este fato e justificado, porque ossistemas sao caracterizados por modos de funci-onamento. Um modo de operacao, por sua vez,pode ser simulado por um circuito RLC desaco-plado, controlavel e observavel.

Este artigo propoe o calculo de um equiva-lente dinamico com base nos resultados oriundosdos equivalentes de Thevenin e Norton (JohnsonD. E., 1994). O metodo consiste no calculo de

uma fonte que contem tanto valores transitorios,como de regime estacionario, caracterıstico do si-nal de excitacao (Carramaschi, 2010). Na pratica,costuma-se calcular apenas as componentes de re-gime permanente. A metodologia e testada emcircuito eletrico RLC, no qual chaveamentos saorealizados no sentido a avaliar o desempenho datecnica diante de transitorios. Os testes sao rea-lizados no aplicativo ATP (Alternative TransientProgram) (Group, 1992) e no Matlab.

Este artigo esta organizado da seguinte forma:alem da secao introdutoria, a Secao 2 aborda osproblemas relativos aos equivalentes de Thevenine Norton. Na Secao 3, calcula-se a impedanciaou admitancia do equivalente. Testes e resultadossao alvos da Secao 4. Finalmente, dedica-se a Se-cao 5 para destaque das principais conclusoes dotrabalho.

2 Equivalente Dinamico

Nesta secao, ilustra-se como e obtido o equiva-lente de um circuito tendo como base o resultadodos teoremas de Norton e de Thevenin. O objetivoe calcular as contribuicao da fonte do equivalentedurante o perıodo transitorio e de regime estaci-onario. O estudo se justifica, porque em algumassimulacoes de transitorios, como os eletromagne-

ticos em sistemas eletricos de potencia (Watsonand Arrillaga, 2003), e usual se considerar o equi-valente composto por uma fonte senoidal ligadaem serie com uma reatancia. Esta ultima, cal-culada a partir da potencia de curto-circuito nolocal do equivalente. Tanto a representacao combase em fonte senoidal, quanto o calculo da re-atancia sao dados obtidos assumindo-se condicaode regime permanente da rede eletrica.

No caso de estudo de transitorios, a fonte equi-valente tera uma componente de regime transito-ria, alem da principal que e de regime permanente.Havera componente transitoria, na situacao emque a rede eletrica a ser reduzida (convertida emum equivalente), tiver elementos armazenadoresde energia, como indutores e capacitores. Parailustrar o problema, considere o circuito eletricomostrado na Figura 1. Assume-se que entre o noa e a referencia (terra) podera haver uma cone-xao, tıpica de uma falha de isolamento da rede,como um curto-circuito, ou mesmo uma carga.Uma maneira pratica para calcular neste local acorrente de falta e obter o circuito equivalente deThevenin (ou de Norton) no ponto a. A simula-cao de um curto-circuito seria implementada, porexemplo, realizando-se a conexao de uma impe-dancia nula entre o ponto a e o terra.

Para efeito de demonstracao, considera-se queo circuito seja alimentado por uma fonte represen-tada no domınio da frequencia por V0(s). Paraesse equivalente, calcula-se, inicialmente, a tensaoequivalente de Thevenin Voc(s) no ponto a do cir-cuito.

Figura 1: Circuito em que se calcula a tensao decircuito-aberto no no a

Considerando-se que a tensao de alimentacaodo circuito no domınio do tempo e cossenoidal, dotipo

vo(t) = Vmcos(ω0t), (1)

a transformada de Laplace de vo(t) e dada por

Vo(s) = Vms

s2 + ω20

. (2)

Tendo em vista o interesse em calcular a ten-sao de circuito-aberto Voc(s), utiliza-se a seguinte

expressao, referente a continuidade da corrente nono a do circuito (Johnson D. E., 1994):

V0(s)− Voc(s)

R1 + sL1=

Voc(s)

R2 + sL2(3)

Partindo-se de (3), obtem-se a relacao entre atensao de circuito-aberto e a tensao de excitacaodo circuito:

Voc(s) =(R2 + sL2)

(R1 +R2) + s(L1 + L2)V0(s). (4)

Note-se em (4) que a tensao de circuito-abertoe dependente da tensao da fonte e e sensıvel aoscomponentes passivos que fazem parte da rede ele-trica. Isto significa que havendo um transitorio,durante este perıodo, essa fonte equivalente naoe puramente cossenoidal (como a fonte de excita-cao). Portanto, essas caracterısticas tambem de-vem ser consideradas por ocasiao da implementa-cao do equivalente dinamico.

A tensao Voc(s) pode ainda ser desmembradaem uma componente proporcional a tensao de en-trada (a contribuicao de regime permanente) euma outra de regime transitorio. Ou seja,

Voc(s) = K0V0(s) +K1V0(s)

(R1 +R2) + s(L1 + L2)=

= F0(s) + F1(s), (5)

em que K0 e K1 sao constantes.As constantes K0 e K1 na equacao (5) sao de-

terminadas, igualando essa expressao com a equa-cao (4). Este procedimento leva a

K0(R1+R2)+K0s(L1+L2)+K1 = R2+sL2 (6)

Resolvendo-se (6), levando em conta os coefi-cientes em s, determinam-se os valores

K0 =L2

L1 + L2(7)

e

K1 = R2 −(R1 +R2)L2

L1 + L2. (8)

Seja R = R1+R2 e L = L1+L2. Entao, subs-tituindo o resultado da transformada de Laplacedo cosseno da tensao de excitacao, a expressaopara F1(s) em (5) resulta em:

F1(s) =K1

R+ sL

Vms

s2 + w20

=K1a

R+ sL+

A1 + sB1

s2 + w20(9)

Na equacao (9) F1(s) e expandida na formade fracoes parciais, em que nesse caso K1a, A1 eB1 sao novas constantes para serem determinadas.

Igualando os termos com mesmos coeficientes,sao determinadas as seguintes equacoes:

K1Vm = RB1 +A1L (10)

0 = K1a + LB1 (11)

0 = K1aw20 +A1R (12)

Resolvendo esse sistema linear obtem-se paraA1

A1 =B1Lw

2

R(13)

A equacao (10) fica:

K1Vm = RB1 +

(

B1L

Rw2

0

)

L (14)

e

K1VmR = (R2 + (w0L)2)B1 (15)

Logo

B1 =K1VmR

R2 + (w0L)2(16)

K1a = −

K1VmRL

R2 + (w0L)2(17)

e A1 e obtido da expressao (13).

A expressao para Voc(s) sera

Voc(s) = K0V0s+A1 +B1s

s2 + w2o

+K1a

R+ sL=

=(K0Vm +B1)s+A1

s2 + w2o

+K1a

R+ sL(18)

No domınio do tempo, a equacao (18) e equi-valente a

voc(t) =A1

w0sen(ω0t) + (B1 +K0Vm)cos(ω0t)+

+K1a

Le−(R/L)t (19)

Assim, na equacao (19), tem-se um termotransitorio do tipo exponencial puro e compo-nentes de frequencia em regime senoidal puro.Note-se que em regime permanente, a tensao decircuito-aberto contem apenas termos de regimepermanente. Mas, havendo chaveamento no pontoda rede onde se encontra essa fonte equivalente, otermo transitorio deve ser incluıdo.

Figura 2: Circuito para calculo da corrente doequivalente de Norton

3 Admitancia e impedancia equivalentes

Para calcular a impedancia ou admitanciaequivalente e necessario determinar a corrente decurto-circuito no mesmo ponto em que foi calcu-lado Voc(s). Com esta finalidade, considere o cir-cuito da Figura 1 com a presenca de um curto-circuito no no a. Em vista desta hipotese, resul-tara no circuito mostrado na Figura 2.

Na Figura 2, Isc e a corrente de curto-circuitoou corrente do equivalente de Norton.

A corrente de curto-circuito em questao e

Isc =Vo(s)

R1 + sL1. (20)

Essa corrente colocada em termos da tensaoda fonte de entrada fica da seguinte forma:

Isc =1

R1 + sL1

sVm

s2 + ω20

=K1b

R1 + sL1+

A2 +B2s

s2 + ω20

(21)

A forma expandida de (21) requer o calculodas constantes K1b, A2 e B2. Procedendo damesma forma como antes, essas constantes podemser calculadas a partir das expressoes elencadas aseguir.

B2 =VmR1

R21 + (ω0L1)2

(22)

K1b = −

VmR1L1

R21 + (ω0L1)2

(23)

A2 =Vmω2

0L1

R21 + (ω0L1)2

(24)

A partir de (21) e usando as constantes cal-culadas, observa-se que a corrente do equivalentede Norton tambem possui termos puramente se-noidais e uma componente transitorio do tipo ex-ponencial amortecida.

Com esses resultados, e possıvel calculara admitancia equivalente no ponto considerado,

usando-se o fato que Y (s) = Isc(s)Voc(s)

. Calculando

essa relacao, tem-se:

Y (s) =

V0(s)R1+sL1

(R2+sL2)V0(s)(R1+R2)+s(L1+L2)

=(R1 +R2) + s(L1 + L2)

(R1 + sL1)(R2 + sL2)

(25)A admitancia equivalente corresponde a uma

fracao estritamente propria na variavel s, en-quanto que a sua inversa, a impedancia equiva-lente Z(s), e uma fracao estritamente impropria.No exemplo em questao, Z(s) apresenta um polono infinito. Essas caracterıstica da impedanciae da admitancia equivalente tambem se aplicampara os casos em que o circuito eletrico ou a redeeletrica e de maior porte.

A admitancia equivalente pode ser expandidaem termos de resıduos, tendo a seguinte forma:

Y (s) =a1

s+ p1+

a2

s+ p2(26)

em que p1 = −

R1

L1

, p2 = −

R2

L2

, a1 = RL1−R1LR2L1−R1L2

e

a2 = RL2−R2LR1L2−R2L1

.Considerando todos os resultados anteriores,

e possıvel se obter um circuito equivalente de Nor-ton, contendo uma fonte de corrente Isc(s) em pa-ralelo com a admitancia equivalente Y (s).

Suponha que uma admitancia Yc(s) seja co-nectada do no a ao terra no circuito original (Fi-gura 1). Este procedimento e similar a conexao damesma admitancia tal como ilustrado no circuitoequivalente de Norton da Figura 3.

Figura 3: Circuito equivalente de Norton com umaadmitancia Yc(s) conectada aos seus terminais.

No circuito da Figura 3, a tensao Voc(s) podeser calculada a partir do circuito eletrico. Nestecaso, a principal equacao e a relacionada com obalanco de correntes no no de Voc(s). Ou seja,

Isc(s) + Y (s)Voc(s) + YcVoc(s) = 0 (27)

Suponha que Yc(s) seja a admitancia relativaa um capacitor cuja capacitancia e igual a C.Logo, Yc(s) = sC. Para o circuito equivalenteanalisado, tem-se a seguinte equacao, levando-seem conta a expressao de Y (s) calculada antes.

Isc(s)+a1

s+ p1Voc(s)+

a2

s+ p2Voc(s)+sCVoc(s) = 0

(28)

Transformando as equacoes para o domınio dotempo, tem-se

isc(t) + x1(t) + x2(t) + Cvoc(t) = 0 (29)

de onde conclui-se que

a1

s+p1

Voc(s) = X1(s)

a2

s+p2

Voc(s) = X2(s)

que no domınio do tempo fornece

a1voc(t) = x1(t) + p1x1(t) (30)

a2voc(t) = x2(t) + p2x2(t) (31)

Logo, o sistema em uma forma de espaco deestados fica como mostrado a seguir.

x1(t) = −p1x1(t) + a1voc(t) (32)

x1(t) = −p1x1(t) + a1voc(t) (33)

voc(t) =−1

Cx1(t) +

−1

Cx2(t)−

isc(t)

C(34)

A funcao isc(t) e a funcao de excitacao (ou deentrada) do sistema.

Cabe destacar que como as equacoes foramobtidas a partir da transformada de Laplace, ascondicoes iniciais devem ser adequadamente for-necidas a cada vez que houver chaveamento nocircuito. Ou seja, durante uma simulacao, con-siderando que o capacitor no circuito foi inseridosomente em um instante t = t0 > 0, entao deve-se calcular as condicoes iniciais para t = t−0 parausar nas equacoes (32) a (34).

Diante dessa representacao, cargas com repre-sentacao nao-linear poderiam tambem ser estuda-das, bastando para isso que fosse realizada a mo-delagem adequada, ao inves de se considerar Yc(s)diretamente.

4 Testes e Resultados

Nesta secao, sao apresentados testes e resul-tados para ilustrar numericamente a metodologiaproposta nas secoes anteriores. O sistema eletricoconsiste de uma fonte senoidal alimentando umarede RLC. Este padrao de rede constitui-se embase para a modelagem de diversas redes lineares,em geral, tıpicas de sistemas eletricos de potencia.A rede RLC e a ilustrada na Figura 4. No circuito,existem duas chaves: uma que e fechada no ins-tante t = 0 e a outra, em t0 = 9, 7 s. A chave quefecha primeiro esta conectada em um dos termi-nais do gerador. A que fecha depois, serve paraconectar a carga composta por um circuito RL(Rf e Lf) ao circuito.

Os dados utilizados nas simulacoes sao:v0(t) = 10sen(5t), R1 = 1 Ω, L1 = 2 H, C = 1 F,Rf = 0, 05 Ω, Lf = 0, 5 H.

Pode-se afirmar que para instantes inferiores at0, Voc funciona como se fosse a tensao de circuito-aberto do circuito equivalente de Thevenin. Noentanto, para instantes posteriores, o valor de Voc

agora passa a representar a tensao instantanea so-bre a carga Rf + sLf .

Figura 4: Carga conectada ao sistema no instantet0 (domınio do tempo).

A simulacao em questao foi feita no domı-nio do tempo para uma janela de dados de 20 s,considerando-se passo de integracao de 0,01 s. Assimulacoes foram efetuadas nos aplicativos ATP(Alternative Transient Program) (Group, 1992) eMatlab. A tensao calculada a partir do circuitooriginal e a indicada na Figura 5. Ja a correntefluindo pela carga e a indicada no grafico da Fi-gura 6.

0 5 10 15 20−0.3

−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

t(s)

Energização de carga RL no instante t0=9,7 s

Tens

ão na

carg

a (V)

MatlabATP

Figura 5: Tensao da carga calculada a partir docircuito original.

0 5 10 15 20−0.2

−0.15

−0.1

−0.05

0

0.05

0.1

0.15

t(s)

Energização de carga RL no instante t0=9,7 s

Corre

nte (A

)

MatlabATP

Figura 6: Corrente durante energizacao da cargacalculada a partir do circuito original.

As Figuras 7 e 8 indicam a tensao Voc e a cor-

rente na carga, calculadas a partir do equivalentedinamico.

0 5 10 15 20−0.3

−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

t(s)

Energização de carga RL no instante t0=9,7 s

Tens

ão (V

)

MatlabATP

Figura 7: Tensao da carga calculada a partir doequivalente dinamico de Thevenin.

0 5 10 15 20−0.2

−0.15

−0.1

−0.05

0

0.05

0.1

0.15

t(s)

Energização de carga RL no instante t0=9,7 s

Corre

nte (A

)

MatlabATP

Figura 8: Corrente durante energizacao da cargacalculada a partir do equivalente dinamico de The-venin.

Foram efetuadas tambem simulacoes no domı-nio da frequencia. Novamente, as variaveis de in-teresse sao a corrente que flui pela carga e a tensaosobre este componente. No domınio da frequencia,foram determinadas a corrente do equivalente deNorton e a tensao do equivalente de Thevenin. Es-tes calculos sao obtidos diretamente do aplicativoATP. Com estes dados, calcula-se a impedancia(ou admitancia) equivalente do circuito de Theve-nin (Norton).

Calculos semelhantes foram efetuados utili-zando o aplicativo Matlab. As Figuras 9 e 10mostram a tensao de circuito-aberto e a correntede curto-circuito franco no ponto onde a rede eapresentada na forma de um equivalente, respec-tivamente.

−1 −0.5 0 0.5 1 1.5 20

2

4

6

8

10

12

14

16

f(Hz)

Resposta em frequencia da tensao de Thevenin

Magn

itude

da te

nsão

(V)

MatlabATP

Figura 9: Tensao de Thevenin.

−1 −0.5 0 0.5 1 1.5 20

1

2

3

4

5

6

7

f(Hz)

Resposta em frequencia da corrente de Norton

Magn

itude

da co

rrente

(A)

MatlabATP

Figura 10: Corrente de Norton ou de curto-circuito franco no local de conexao da carga.

As Figuras 11 e 12, respectivamente, ilustrama magnitude e a fase da impedancia calculadas.

−1 −0.5 0 0.5 1 1.5 20

0.5

1

1.5

2

2.5

f(Hz)

Resposta em frequencia da impedância equivalente

Ma

gn

itu

de

de

Z(jω

) (

Ω )

MatlabATP

Figura 11: Magnitude da impedancia equivalente.

−1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2−90

−80

−70

−60

−50

−40

−30

−20

−10

f(Hz)

Resposta em frequencia da impedância equivalente

Fase

de Z

(jω) (

grau

s )

MatlabATP

Figura 12: Fase da impedancia equivalente.

Nos calculos das respostas em frequencia re-ferentes a tensao e a corrente, foram utilizadasescalas de frequencia diferentes propositalmentepara se avaliar a precisao dos resultados. Note-se que ha diferenca entre os valores do ATP (uti-lizado com mais pontos) (Group, 1992) e daque-les calculados via Matlab. No caso da respostaem frequencia para se determinar a impedancia,a mesma quantidade de pontos foi usada. Nessecaso, a diferenca entre as curvas e imperceptıvel.

Note-se, mesmo com o chaveamento, tanto oresultado do calculo da tensao quanto da correntena carga tendem a ser muito proximos. Pode-seconcluir entao que com as informacoes no domı-nio da frequencia e possıvel converte-las para odomınio do tempo, tendo-se uma importante fer-ramenta computacional para realizacao de simu-lacoes que somente sao acessıveis por meio do do-mınio do tempo. Esse e o caso quando se quer

estudar a conexao de elementos nao-lineares queficam interconectados (Dounavis, 2000) ao circuitolinear.

5 Conclusoes

Neste artigo foi apresentada uma metodolo-gia para calculo do equivalente dinamico de umcircuito eletrico. A metodologia explora os resul-tados que sao obtidos ao se utilizar os teoremasde Thevenin e de Norton. Foi proposto o calculode uma fonte equivalente que contem uma compo-nente transitoria e uma de regime permanente. Arepresentacao desta fonte e possıvel tanto no do-mınio do tempo quanto da frequencia. A combi-nacao dessa fonte com a impedancia (admitancia)dinamica permite uma representacao mais fiel doequivalente para estudos em que o objetivo e aanalise do perıodo transitorio.

A metodologia pode ser estendida para siste-mas de grande porte. No entanto, neste trabalho ointeresse foi pela apresentacao e deducao com de-talhes das expressoes com o intuito da formulacaodo problema.

Agradecimentos

O segundo autor agradece o apoio do DPP/UnBa esta pesquisa.

Referencias

Carramaschi, I. H. C. (2010). Analise de equi-

valencia em transitorios eletromagneticos ob-

tidos no domınio do tempo e da frequen-

cia, Master’s thesis, Universidade de Brasılia,Brasılia.

Dounavis, A. (2000). Time domain macromodels

for high speed interconnects, Master’s thesis,Carlenton University, Ottawa, Ontario, Ca-nada.

Freitas, F. D., Martins, N., Varricchio, S. L., Rom-mes, J. and Veliz, F. C. (2011). Reduced-order transfer matrices from rlc network des-criptor models of electric power grids, IEEETrans. on Power Systems 26: 1905–1916.

Group, E. E. U. (1992). Atp rule book., Technicalreport.

Johnson D. E., Hilburn, J. L. J. J. R. (1994).Fundamentos de analise de circuitos eletri-

cos, Prentice-Hall do Brasil.

Watson, N. and Arrillaga, J. (2003). Power sys-

tems electromagnetic transients simulation,IEE, London, UK.