XIII Encontro Latino Americano de Iniciação Científica e IX Encontro Latino Americano de Pós-Graduação – Universidade do Vale do Paraíba

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ESCOAMENTO EM UMA ESTRUTURA POROSA FORMADA POR UM A RRANJO

INFINITO DE HASTES CILÍNDRICAS

Rodolfo Oliveira1, Renato A. Silva2

Universidade Federal do Espírito Santo

Centro Universitário Norte do Espírito Santo Departamento de Engenharias e Computação

29933-415 - São Mateus - ES, Brasil 1oliveira.rodolfo@hotmail.com, 2drenatoas@gmail.com

Resumo - Este trabalho pretende obter o valor do número de Reynolds a partir do qual o escoamento passa a ser regido pelos efeitos de inércia em um meio poroso formado por um arranjo infinito de hastes cilíndricas. Os resultados obtidos são então integrados no volume, através da aplicação de operadores de média e posteriormente comparados aos dados encontrados na literatura. As equações que governam o escoamento são discretizadas pelo método de volumes finitos com arranjo co-localizado das variáveis. O sistema de equações algébricas é resolvido usando o método de solução segregado, sendo que para o acoplamento pressão-velocidade é utilizado o algoritmo SIMPLE. Os resultados mostraram, claramente, que a partir do número de 1Re =H , os efeitos de inércia se tornam predominante no escoamento, independente do valor de porosidade investigado. Palavras-chave: escoamento laminar, meio poroso, solução numérica, lei de Darcy, média intrínseca. Área do Conhecimento: III - Engenharias Introdução

Em função da ampla aplicação envolvendo o

escoamento de fluidos em meios porosos, em diversos setores da indústria e no meio ambiente, observou-se, nas últimas décadas, um interesse crescente de vários pesquisadores no sentido de descrever com sucesso este tipo de escoamento.

Kuwahara et. al. (1994) e Nakayama et. al. (1995) testaram vários modelos numéricos de meios porosos formados por hastes cilíndricas, quadradas e esféricas, e encontraram que o modelo bi-dimensional e o tri-dimensional levam a expressões semelhantes para a permeabilidade.

Kuwahara et. al. (1998), utilizando um modelo de turbulência de baixo Reynolds (modelagem microscópica), resolveram o escoamento interno a um meio poroso infinito formado por hastes quadradas com um arranjo espacialmente periódico. Eles constataram a presença de turbulência para ReH>104 e que, nessas condições, o modelo estendido Darcy-Forchheimer apresenta bons resultados.

Pedras e De-Lemos (2001a-b) desenvolveram um modelo macroscópico de turbulência onde uma constante foi introduzida na equação da energia cinética de turbulência. O valor desta constante foi obtido através de experimentação numérica aplicada a um meio poroso formado por hastes cilíndricas com um arranjo espacialmente periódico. Esta constante foi ajustada para hastes

elípticas longitudinais e transversais em Pedras e De-Lemos (2001b-c) e Pedras e De-Lemos (2003).

Prinos et. al. (2003) analisaram numérica e experimentalmente as características do escoamento turbulento em um canal aberto com uma camada porosa, donde concluíram que a estrutura da camada porosa (“staggered” e “non-staggered”) tem pouca influência na característica do escoamento próximo à interface entre os meios limpo e poroso.

No entanto, até o presente momento, não há na literatura um estudo que mostre a partir de qual valor de Reynolds, o escoamento em um meio poroso, formado de um arranjo espacialmente periódico de hastes cilíndricas, transicione do escoamento governado pelo modelo de Darcy (creeping flow – efeitos viscosos dominantes) para o modelo estendido de Darcy-Forccheimer (efeitos de inércia dominantes). Logo, este trabalho tem como objetivo obter o valor do número de Reynolds a partir do qual o escoamento passa a ser regido pelos efeitos de inércia. Geometria

A geometria sob consideração é apresentada na Fig. (1), onde um meio poroso, formado por um arranjo espacialmente periódico de hastes, denominado célula periódica, é mostrado. Nas faces leste e oeste é utilizado condição de periodicidade espacial, nas faces norte e sul simetria e sobre as paredes das hastes condição

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de não-escorregamento. O fluido com propriedades constantes entra pela face esquerda e permeia através célula periódica. Na figura (1), H =0,1m, é o comprimento característico da célula periódica, D é o diâmetro da haste cilíndrica.

Figura 1 – Célula periódica.

Equações governantes

As equações que regem o escoamento de um fluido Newtoniano, incompressível em regime laminar são apresentadas:

A equação da conservação da massa é dada por:

. 0∇ =u (1)

A equação da conservação quantidade de

movimento é dada por:

( ) 2. pt

ρ µ∂ + ∇ = −∇ + ∇ ∂

uuu u (2)

Condições de contorno

Para se resolver as equações (1) e (2) foram aplicadas, na célula periódica (Figura 1), as seguintes condições de contorno:

Não escorregamento nas superfícies das paredes sólidas:

0== vu (3)

simetria em 0=y e 2/Hy = :

0== vdy

du (4)

Em 0=x e Hx 2= , condição de periodicidade espacial:

0 2 0 2, 0

x x H x x Hu u v v= = = == = = (5)

Método numérico

O código computacional empregado, Fluent

6.2.16©, utiliza a técnica baseada em volumes finitos com arranjo co-localizado das variáveis para converter as equações governantes (1) e (2) em equações algébricas que são resolvidas numericamente usando o método de solução segregada.

A malha híbrida (Figura 2) utilizada é composta por elementos retangulares, situados sobre as hastes cilíndricas, e elementos triangulares no restante do domínio da célula periódica. Para D/H=0,874, 0,714 e 0,505, foram usadas 24944, 27440 e 49872 volumes de controle, respectivamente. A Figura 2 mostra apenas 1/4 da malha para melhor visualização.

Para o acoplamento pressão-velocidade é utilizado o algoritmo SIMPLE (Semi-Implicit Method for Pressure Linked Equations).

Os valores dos resíduos foram normalizados através da divisão pelo valor máximo do resíduo após 5 (cinco) iterações (padrão do código computacional adotado). O critério de convergência adotado implica que os resíduos normalizados são menores que 10-7.

Figura 2 - Malha computacional não-estruturada.

Resultados

Os cálculos foram realizados usando apenas metade inferior da célula unitária apresentada na Figura 1. Foi estudado o efeito da porosidade e do número de Reynolds no gradiente de pressão

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adimensional. O número de Reynolds foi definido como:

µρ HD

Hu

=Re (6)

onde ρ representa a densidade do fluido, µ a

viscosidade dinâmica e Du é o vetor velocidade de Darcy que é obtida da relação de Dupuit-Forchhimer:

iD uu φ= (7)

onde 2

41

−=H

Dπφ , é a porosidade e i

u é a

média intrínseca da velocidade, que é calculada da seguinte forma:

∫∆=

fVf

idV

Vuu

1 (8)

onde fV∆ é o volume de fluido contido num

volume elementar representativo, V∆ . Na Figura 3 foi apresentado o efeito do número

de Reynolds no gradiente de pressão adimensional, para três valores de porosidade. O gradiente de pressão adimensional foi calculado como:

D

i

Ad

iH

dx

pd

dx

pd

uµ

2

−=

(9)

onde o gradiente da média intrínseca da pressão foi calculado através do campo de pressão microscópico,

( ) ( )( )2

2 02

1

2

i H D

x H xD

d pp p dy

dx H H D

−

= == −− ∫ (10)

Figura 3 – Influência do número de Reynolds e da

porosidade no gradiente de pressão. Para caracterizar o meio poroso, além da

porosidade, é necessário a definição da propriedade do meio poroso, denominada permeabilidade, K , que indica a facilidade com que o fluido permeia a estrutura porosa. Para estimar a permeabilidade foi utilizada a lei de Darcy (vide Darcy, (1856)), que é expressa por:

iCalcD pK ∇−=uµ (11)

onde i

p é a média intrínseca da pressão,

calculada de forma análoga a i

u , mostrada na

equação (8). No entanto, para essa relação é restrita a escoamentos onde os efeitos viscosos sobrepujam os efeitos de inércia. Logo, para simular esta condição foi realizado um experimento numérico na célula unitária mostrada na Figura (1) com condição inicial de fluxo mássico prescrito, onde 1,0Re <H , e condições de contorno de periodicidade espacial nas faces leste e oeste, e de simetria nas faces norte e sul.

Pode-se ainda, calcular a permeabilidade utilizando a relação proposta por Kuwahara et. al. (1998) que é dada por:

( )3 2

2144 1

DK

φφ

=−

(12)

onde K é a permeabilidade, D o diâmetro da haste sólida e φ a porosidade.

Na Figura 4 foi obtido o valor do coeficiente angular da lei de Darcy, CalcK , através do ajuste de curva pelo método dos mínimos quadrados.

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Figura 4 – Obtenção da permeabilidade.

A Tabela 1 mostra os valores de permeabilidade estimados para três valores de porosidade, utilizando a equação (12), ( )12EqK e

um ajuste de curva (vide Figura 4) usando a lei de Darcy, CalcK . Além disso, os valores obtidos são comparados com os resultados encontrados na literatura.

A Tabela 2 apresenta os valores de Du e i

u

para três valores de porosidade de diversos valores de Reynolds. Note que os valores de Du e

iu foram obtidos usando, respectivamente, as

equações (7) e (8). As Figuras 4 e 5, mostram, respectivamente, as

linhas de corrente e campos de pressão, para: φ =0,40; φ =0,60 e φ =0,80, com 0250,1Re EH = .

Tabela 1 – Valores de permeabilidade.

φ )12(EqK [m2] CalcK [m2]

Pedras e De-Lemos (2001b) 0,4 9,44E-06 5,22E-06 0,6 4,84E-05 4,45E-05 0,8 2,34E-04 1,97E-04

Resultados Presentes 0,4 9,43E-06 5,00E-06 0,6 4,77E-05 4,00E-05 0,8 2,26E-04 2,00E-04

Discussão

A Figura 3 mostra um escoamento governado pelo modelo estendido de Darcy-Forccheimer. O gradiente de pressão adimensional permanece

com valor relativamente constante e igual a KH 2

para números de Reynolds baixos, 1Re <H (creeping flow), para os três valores de porosidade analisados, e então aumenta conforme as forças inércias microscópicas se tornam predominante no escoamento. Além disso, a Figura 3 indica que há uma boa concordância entre os resultados obtidos e os resultados apresentados por Pedras e De-Lemos (2001b).

A Figura 4 mostra a dependência entre porosidade e permeabilidade; como esperado, um aumento na porosidade implica num aumento da facilidade do fluido permear a estrutura porosa o que se reflete no aumento do valor da permeabilidade. Esse comportamento também pode ser verificado na Tabela 1, onde são comparados os resultados obtidos de permeabilidade com resultados encontrados na literatura e calculados através da equação (12). Observe que os resultados obtidos apresentam uma boa concordância com os resultados encontrados na literatura.

A Tabela 2 evidencia a boa concordância entre os resultados obtidos e os resultados apresentados por Pedras e De-Lemos (2001b).

A Figura 5 apresenta uma diminuição no tamanho das regiões de recirculação com o aumento da porosidade o que implica numa diminuição da perda de carga para um mesmo valor de Reynolds, vide Figura 3.

A Figura 6 mostra, como esperado, a localização dos pontos de estagnação do escoamento, ou seja, pontos onde se observa os maiores valores de pressão. Conclusões

Este trabalho investigou o efeito da porosidade e do número de Reynolds no gradiente de pressão adimensional. Pode-se observar que os resultados obtidos tiveram uma boa concordância com os resultados encontrados na literatura. Além disso, constatou-se, claramente, que a partir do número de 1Re =H , os efeitos de inércia se tornam predominante no escoamento, independente do valor de porosidade investigados. Agradecimentos

Os autores são gratos à FAPES pelo suporte financeiro durante a preparação deste trabalho. Referências - DARCY, H. Les Fontaines Publiques de la Vile Dijon , Victor Dalmond, Paris, France, 1856. - KUWAHARA, F., NAKAYAMA, A. and KOYAMA, H. Numerical modeling of heat and fluid flow in a

[R1] Comentário: Darcy, (1856)

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porous medium. Proc. Int. Heat Transfer Conf. , V. 5, p. 309-314, 1994. - KUWAHARA, F., KAMEYAMA, Y., YAMASHITA, S. and NAKAYAMA, A. Numerical modeling of turbulent flow in porous media using a spatially periodic array. Journal of Porous Media , V. 1, n. 1, p. 47-55, 1998. - NAKAYAMA, A., KUWAHARA, F., KAWAMURA, Y. AND KOYAMA, H. Three-dimensional numerical simulation of flow through a microscopic porous structure. ASME/JSME Thermal Engineering Conf ., V. 3, p. 313-318, 1995. - PEDRAS, M.H.J., DE-LEMOS, M.J.S., Macroscopic turbulence modeling for incompressible flow through undeformable porous media. Intern. J. Heat and Mass Transfer , V. 44, n. 6, p. 1081-1093, 2001a. - PEDRAS, M.H.J., DE-LEMOS, M.J.S. Simulation of turbulent flow in porous media using a spatially periodic array and a low Re two-equation closure. Numerical Heat Transfer - Part A , V. 39, p. 35-59, 2001b. - PEDRAS, M.H.J, DE-LEMOS, M.J.S. On the mathematical description and simulation of turbulent flow in a porous medium formed by an array of elliptic rods. Journal of Fluids Engineering , V. 123, n. 4, p. 941-947, 2001c. - PEDRAS, M.H.J., DE-LEMOS, M.J.S. Computation of turbulent flow in porous media using a low Reynolds k-ε model an infinite array of spatially periodic elliptic rods. Numerical Heat Transfer – Part A , V. 43, p. 585-602, 2003. - PRINOS, P., SOFIALIDIS, D. AND KERAMARIS, E. Turbulent flow over and within a porous bed. Journal of Hydraulic Engineering , V. 129, n. 9, p. 720-733, 2003.

(a)

(b)

(c) ψ [kg/s]

Figura 5 – Linhas de corrente para: (a) φ =0,40; (b)

φ =0,60 e (c) φ =0,80, com 0250,1Re EH = .

[R2] Comentário: Kuwahara et. al. (1994)

[R3] Comentário: Kuwahara et. al. (1998)

[R4] Comentário: Nakayama et. al. (1995)

[l5] Comentário: Pedras e De-Lemos (2001a

[l6] Comentário: Pedras e De-Lemos (2001b)

[r7] Comentário: Pedras e De-Lemos (2001c)

[r8] Comentário: Pedras e De-Lemos (2003)

[R9] Comentário: Prinos et. al. (2003)

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Tabela 2 – Características hidrodinâmicas do escoamento.

4,0=φ

HRe Du [m/s] iu [m/s]

Pedras e De-Lemos (2001b) 3,54E-01 5,32E-06 1,33E-05

1,20E01 1,80E-04 4,50E-04 Resultados Presentes

5,00E-02 7,50E-07 1,87E-06 1,00E-01 1,50E-06 3,75E-06 3,54E-01 5,31E-06 1,33E-05 2,00E00 3,00E-05 7,50E-05 1,20E01 1,80E-04 4,50E-04

4,50E01 6,75E-04 1,69E-03 8,00E01 1,20E-03 3,00E-03 1,20E02 1,80E-03 4,50E-03 1,50E02 2,25E-03 5,62E-03

6,0=φ

Pedras e De-Lemos (2001b)

3,70E-01 5,54E-06 9,23E-06 1,20E01 1,79E-04 2,99E-04

Resultados Presentes 5,00E-02 7,45E-07 1,24E-06

1,00E-01 1,49E-06 2,48E-06 3,70E-01 5,52E-06 9,20E-06 2,00E00 2,98E-05 4,97E-05 1,20E01 1,79E-04 2,98E-04 4,50E01 6,70E-04 1,12E-03 8,00E01 1,19E-03 1,99E-03 1,20E02 1,79E-03 2,98E-03 1,50E02 2,23E-03 3,72E-03

8,0=φ

Pedras e De-Lemos (2001b)

3,88E-01 5,76E-06 7,20E-06 1,20E01 1,79E-04 2,24E-04

Resultados Presentes 5,00E-02 7,47E-07 9,33E-07 1,00E-01 1,49E-06 1,87E-06 3,88E-01 5,79E-06 7,24E-06 2,00E00 2,99E-05 3,73E-05 1,20E01 1,79E-04 2,24E-04 4,50E01 6,75E-04 8,44E-04 8,00E01 1,20E-03 1,50E-03 1,20E02 1,80E-03 2,25E-03 1,50E02 2,25E-03 2,81E-03

(a)

(b)

(c)

Figura 6 – Campo de pressão: (a) φ =0,40; (b)

φ =0,60 e (c) φ =0,80, com 0250,1Re EH = .