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Angela Nieckele – PUC-Rio
1
ESCOAMENTOS INTERNOS
Como já mencionado, o comportamento na região de entrada de uma
tubulação apresenta o mesmo comportamento que o escoamento externo.
Podemos então utilizar a teoria vista de camada limite para prever o
escoamento nesta região.
Observa-se, no entanto, que longe da região de entrada, o escoamento
não apresenta variações na sua própria direção. O escoamento é
considerado como hidrodinâmicamente desenvolvido.
O escoamento na região da entrada de um duto pode ser
esquematizado de acordo com a figura abaixo
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2
ESCOAMENTOS INTERNOS HIDRODINÂMICAMENTE
DESENVOLVIDO.
A velocidade característica é a velocidade média um
A dimensão característica é o diâmetro hidráulico, Dh
dAuA
1
A
Qu
TTm
m
th
P
A4D
hm DuRe
O número de Reynolds que caracteriza a transição neste caso é
Re 2300 laminar
Re > 2300 turbulento
O comprimento da região da entrada depende se o escoamento é laminar ou
turbulento. No caso laminar, para um duto circular, pode-se estimar o
comprimento da região da entrada como
Para o no. de Reynolds limite Re= 2300, temos que Le/D 140
Para o regime turbulento, como este está associado a uma maior transferência de
quantidade de movimento, o desenvolvimento do escoamento ocorre para uma
distância menor da entrada, tipicamente, tem-se Le/D 40
Due m06,0D
L
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3
a tensão na parede é
nos escoamentos hidrodinâmicamente desenvolvidos em tubos
horizontais, tanto no regime laminar quanto turbulento, a queda de pressão
é somente devido às tensões tangenciais nas paredes da tubulação.
r
rrx
p 10
2
r
x
p
2)(
R
x
pRrs
No entanto, o perfil de velocidade varia substancialmente para cada regime
de escoamento e para cada tipo de geometria.
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4
O relação 4
D
x
ps
também poderia ter sido obtida através de um balanço de
forças no seguinte volume de controle
0xF 0
dxmPsTAdx
x
ppTAp
4
hD
x
p
mP
TA
x
ps
Esta relação independe do regime de escoamento, isto é, é valida para regime laminar e
turbulento
p+ dxx
p
R
r
x
p s
dx
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definimos como escoamento hidrodinâmicamente desenvolvido, o
escoamento interno que não apresenta variações de velocidade na
direção principal do escoamento.
Uma outra característica dos escoamentos hidrodinâmicamente
desenvolvidos, consiste no fato de que a queda de pressão ao longo
da tubulação, nesta região é constante.
5
A queda de pressão adimensional, nada mais é do que o
fator de atrito
2
2
1m
h
u
Dx
p
f
A vazão adimensional pode ser interpretada para
um determinado fluido e tubulação como o número
de Reynolds.
hm DuRe
2
12m
h
u
Df
x
p
Tensão cisalhante adimensional2
2
1m
s
u
f
ff 4
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Perda de Carga A perda de carga de um escoamento em uma tubulação, está
associada com a perda de energia do escoamento, isto é, a conversão
irreversível de energia mecânica em energia térmica. Podemos utilizar
a equação da energia para avaliar a perda de carga
gzV
ie 2
2
SCVCoutroste AdnV
pede
tWWWQ
Hipóteses:
1. Propriedades constantes (cte, =cte)
2. Regime permanente / t = 0
3. não existe outras formas de trabalho
4. o volume de controle é coincidente com
fronteiras sólidas e perpendicular às fronteiras
onde existe fluxo de massa, logo não existe
contribuição do trabalho viscoso:
5. pressão e energia interna uniformes na seção
transversal
0outrosW
0W
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Com essas hipóteses a equação da energia se reduz a
Vimos que o perfil de velocidade não é uniforme na seção transversal,
e que a forma do perfil depende do regime de escoamento, se é
laminar ou turbulento. Podemos substituir o perfil de velocidade
adequado e fazer a integral. O resultado pode ser representado por
11
21
22
22
1212
12
1222
dAVV
dAVV
zzgmpp
miimWQ
AA
e
)(
22
2
23
0
Vmdrr
VR
AVmVm
drrVR
;
2
2
3
0
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8
12
12
21
22
1212 1
22
Lh
e
dm
Qii
gg
V
g
Vαzz
pp
gm
W
)(
Reescrevendo a equação da energia, temos
Na equação acima é o peso específico, g.
O último termo,g
phL
12
é a perda de carga entre as seções (1) e (2) e possui unidade de
comprimento.
2
2
1m
h
uD
Lfp Vimos
g
u
D
Lfh m
hL
2
2
logo
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10
Logo, o nosso principal objetivo é relacionar o fator de atrito com o
número de Reynolds
Desejamos também conhecer o perfil de velocidade e de tensão
cisalhante. Para isso precisamos resolver as equações de conservação
de massa e quantidade de movimento.
Vamos introduzir as hipóteses acima nas equações de conservação
para resolvermos alguns casos particulares.
Hipóteses
1. Fluido Newtoniano
2. Propriedades constantes (cte, =cte)
3. Regime Permanente (/t=0)
4. Bi-dimensional (w=0, /z=0)
5. Hidrodinamicamente desenvolvido na direção x (/x=0)
VpgtD
VD
2 0V
div
Continuidade Equação de Navier-Stokes
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Exemplo 1: Qual a força necessário para deslocar um bloco com comprimento L= 5 cm e largura b = 10 cm, com velocidade U = 2 m/s, sobre uma mesa, sabendo que existe uma película de óleo ( =980 kg/m3; = 0,01 Pa s) de espessura h = 1 mm
U
hy x
L
shyAF
hyhy y
u
LbAs
Hipóteses:
1. Fluido Newtoniano
2. Propriedades constantes (cte, =cte)
3. Regime permanente / t = 0
4. 2-D (largura b >> h) / z = 0
5. L >> h esc. desenvolvido / x = 0
6. Escoamento horizontal, gravidade
vertical
7. p = patm = constante
jgg
Diâmetro hidráulico:
b
hb
P
AD
m
th
2
44
hDh 2
Determinando o regime de escoamento
23003922
hUlaminar
hDURe
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12
Continuidade:
ctev
z
w
y
v
x
u
0
4050 )()(
00
2
VVt
cte
)(
)(
0vCondição de contorno: y=0 ; v=0
iyuV
)(
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13
VpgtD
VD
2
Q. M. L - direção x
Q.M.L. (Navier-Stokes):
)()(
)()()()(
)()()()( 40507060
40005030
2
2
2
2
2
2
z
u
y
u
x
uxz
u
v
y
u
x
u
t
u
x
pgwvu
21102
2
CyCuCy
u
y
u
Condição de contorno:
1) y=0 ; u=0 C2=0
2) y=h; u=U C1=U/h
h
yUu
h
U
y
u
bLh
UAF shy
F = 0,01 Nu
U
h
y x Escoamento de Couette
tensão constante
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14
Exemplo 2: Considere um escoamento laminar entre duas placas paralelas estacionárias, afastadas de 2 a. Determine a perda de carga hL, sabendo que a vazão volumétrica é Q. O fluido possui propriedades constantes e . Sabe-se que Dh = 4 a e que L >> Dh
e b >> Dh
2 ay x
L
Hipóteses:
1. Fluido Newtonianao
2. Propriedades constantes (cte, =cte)
3. Regime permanente / t = 0
4. 2-D (largura b >> Dh) / z = 0
5. L >> Dh esc. desenvolvido / x = 0
6. Escoamento horizontal, gravidade
vertical
7. p constante
8. Regime laminar
jgg
Já vimos que com essas hipóteses iyuV
)(
g
phL
Precisamos relacionar a queda de pressão com a vazão dAuQ
Perda de carga:
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15
VpgtD
VD
2
Q. M. L - direção x
Q.M.L. (Navier-Stokes):
)()(
)()()(
)()()()( 405060
40005030
2
2
2
2
2
2
z
u
y
u
x
uxz
u
v
y
u
x
u
t
u
x
pgwvu
x
p
y
u
2
2
Condição de contorno:
1) y=0; u / y (simetria) C1 = 0
2) y=a ; u=0 C2=1/ (- p / x ) a2/2
2
22
12 a
yau
x
p
21
2
12
11CyC
yuCy
x
p
x
p
y
u
x
pau
2
2
max
2 a
yu
x
Velocidade
máxima em
y=0
Tensão
cisalhantey
x
p
y
u
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16
Vazão volumétrica:
aa
a
dya
y
x
pabdybudAuQ
02
22
12
2
2
32
02
32
3322
a
aa
x
pab
a
yy
x
pabQ
a
x
pabQ
3
3
2
tm AudAuQ
maxux
paum
3
2
3
1 2
baAt 2
L
p
x
p
Perda de carga:
g
phL
bag
LQ
g
phL 32
3
hmmm
m
m
h
Duauau
au
u
Dx
p
f
9624
2
1
43
2
1 222
Fator de atrito:Re
96f
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Exercício 1: Um viscosímetro cilíndrico é usado para medir a viscosidade de
fluidos. Supondo que: (1) o cilindro interno gira com velocidade angular
constante w, suficientemente baixa para que o escoamento seja laminar. (b) o
escoamento possui simetria angular e não varia na direção z. (c) a distância entre
os cilindro (b-a) é muito pequena. Determine a expressão para a viscosidade do
fluido em termos do torque T necessário para fazer o cilindro menor girar, da
velocidade angula w e da geometria do cilindro
h
a
b
w
w
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18
Exercício 2: Vazamento em volta de um pistão
Um sistema hidráulico opera a uma pressão manométrica de 20 MPa e 55 C. O
fluido hidráulico é óleo SAE 10 W. Uma válvula de controle consiste em um pistão
com 25 mm de diâmetro, montado num cilindro com folga radial média de 0,005
mm. Determine a vazão em volume de vazamento se a pressão manométrica do
lado de baixa pressão do pistão for 1,0 MPa. O pistão tem 15 mm de comprimento.
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19
Hipóteses:
1. Fluido Newtoniano
2. Propriedades constantes (cte, =cte)
3. Regime permanente / t = 0
4. 2-D (largura b >> h) / z = 0
5. L >> h esc. desenvolvido / x = 0
6. Escoamento inclinado de q com a
horizontal, gravidade vertical
7. p constante
8. laminar
g
U
q
y x
gy
gx
h=2 a
Exemplo: ESCOAMENTO DE COUETTE:
(Escoamento laminar hidrodinâmicamente desenvolvido
entre duas placas paralelas e infinita)
Continuidade:
ctev
z
w
y
v
x
u
0
4050 )()(
00
2
VVt
cte
)(
)(
0vCondição de contorno: y=0 ; v=0
iyuV
)(
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VpgtD
VD
2
Q. M. L - direção z
Q.M.L. (Navier-Stokes):
),(
)()(
)()(
yxppz
pw
z
pg
tD
wD
wzero
z
wzero
0
40
2
0
40
Q. M. L - direção y
q
q
cos
)()(cos
)()(
gy
pv
y
pg
tD
vD
decontinuidavzerog
y
decontinuidavzero
0
2
0
)()(cos xfygp q )(xfx
p
logo
então
20
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Q. M. L - direção x
)()(
)()(sin
)()()()( 405040005030
2
2
2
2
2
2
z
u
y
u
x
u
g
xz
u
v
y
u
x
u
t
u
x
pgwvu
q
x
p
y
ug
q sin
2
2
Note que a aceleração é nula, logo existe um equilíbrio de forças, a tensão
cisalhante na parede se equilibra com a força de pressão e gravitacional
Note agora que u só depende de y e que p/x só pode depender de x, então
para que a igualdade anterior seja verdadeira, é necessário, que as duas
parcelas seja iguais a uma constante, logo
Kgx
p
y
u
q sin
2
2
x
p
yg
q sinou y
u pois
21
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Podemos agora integrar a equação acima e determinar o perfil de velocidade
entre as duas placas
K
y
u
2
2
Condições de contorno:
1) y=a; u =U U=(K/ ) a2/2 + C1 a + C2
2) y=-a ; u=0 0=(K/ ) a2/2 - C1 a + C2
a
yU
a
yaKu 1
21
2 2
22
21
2
12
CyCyK
uCyK
y
u
As constante C1 e C2 podem ser
facilmente determinadas
(I)+(II) 2
2
22
2 Ca
U
22
2
2aU
C
(I) - (II) aCU 12a
UC
21
Substituindo as constantes C1 e C2 na expressão para a velocidade, determinamos os perfil
de velocidade entre as placas. Rearrumando, temos
22
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23
Conhecido o perfil de velocidade, podemos avaliar a vazão, assim como a tensão
cisalhante
Vazão:
TATTm AduAuQ
a
a
ydbuQ
baUa
Q
2
3
2
; baAT 2 ;
U
aum
2
1
3
1 2
O perfil de tensão cisalhante pode ser facilmente obtido, já que yd
ud
a
Uy
2 onde
x
pseng
q )(
Vamos agora analisar casos particulares do caso acima:
Conhecido o perfil de velocidade, podemos avaliar a vazão, assim como a tensão
cisalhante
Vazão:
TATTm AduAuQ
a
a
ydbuQ
baUa
Q
2
3
2
; baAT 2 ;
U
aum
2
1
3
1 2
O perfil de tensão cisalhante pode ser facilmente obtido, já que yd
ud
a
Uy
2 onde
x
pseng
q )(
Vamos agora analisar casos particulares do caso acima:
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24
Caso 1: q U ≠ 0x
p
(1º. exemplo): obs: y’=y+a → u=U y’/h = U y’/(2 a)
a
yUu 1
2;
a
U
2
Caso 2: q U 0
x
p
(2º. exemplo):
22
12 a
yaKu
2
22
12 a
yau
y
maxmax ;)/(
uuaxp
u m3
2
2
2
2
22
12 a
yaKu
yK
ab
ab
P
AD
u
Ddxpf
m
th
m
h 42
244
21 2
)(;
)/(
)/(
a
yU
a
yaKu 1
21
2 2
22
a
UyK
2
U
2a
Caso 2: q=0 , U=0, p/x
2a
96Ref
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25
Caso 3: q U 0x
p
a
yU
a
yau 1
21
2 2
22
;
a
Uy
2
umax onde 00 yd
ud
y U
u
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26
Caso 4: q U 0x
p
; 22
0a
U
x
p
y U u
Caso 5: q U 22 a
U
x
p
Neste caso, a tensão na parede inferior é nula
u
y U
0222 2
entãoa
UKse
a
UKaayem
a
UKy
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27
Caso 6: q U 22 a
U
x
p
O fluido próximo a parede superior direita escoa para a direita e próximo a parede inferior
escoa para a esquerda.
A tensão para parede inferior é negativa, 02
a
x
p
a
Us
u
y U
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28
u
U
Considerando agora q 0, temos
Caso 7: q 0 U 0 q
seng
x
p
q
seng
x
p
seng
x
p (
x
p
pode ser positivo)
( q sensen )
q
Caso 8: q 0 U 0 q
seng
x
p
q
seng
x
p
seng
x
p
q
x
p
pode ser zero, K > 0 q
u
U
U
u U
u
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29
Hipóteses:
1. Fluido Newtoniano
2. Propriedades constantes (cte, =cte)
3. Regime permanente / t = 0
4. 2-D (simetria angular) vq / q = 0
5. L >> D esc. desenvolvido / x = 0
6. Escoamento horizontal, gravidade
vertical
7. p constante
8. laminar
ESCOAMENTO DE HAGEN-POUSSEUILLE:
(Escoamento laminar hidrodinâmicamente desenvolvido
em um duto circular)
Continuidade:
00
2
VVt
cte
)(
)(
0vEntão r v = constante.
Condição de contorno: r=R ; v=0 iruV
)(
qq eveveuV rx
qq q cos; ggsenggr
gq g
D=2 R
r
x
r
q
gr
0
54
)()(zerozero
x
u
r
v
rr
vr
q
q
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VpgtD
VD
2
Q. M. L - direção r
Q.M.L. (Navier-Stokes):
q
q
q
q
q
q
q
v
rr
v
r
vr
rr
r
pseng
r
vuvv
r
v
r
v
x
v
r
v
r
v
t
v
22
2
21
2
2
22
2
A aceleração e o termo viscoso são nulos pois v = 0 e vq =0, então a equação
acima se reduz para
),(1 xfsenrgpsengr
pqqq
q
q
q
11cos
1 f
rg
p
rlogo (*)
30
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Q. M. L - direção q
Novamente a aceleração e o termo viscoso são nulos pois v = 0 e vq =0,
então a equação acima se reduz para
comparando esta equação com a equação (*)
q
q
q
q
q
q
q
qqqq
v
rr
v
r
vr
rr
r
pg
r
vvuvv
x
v
r
v
x
v
r
v
r
v
t
v
22
212
2
22
2
cos
cos
1g
p
r
concluímos que
)(01
111
xfff
r
q
)(1 xfsenrgp q
31
q
q
q
11cos
1 f
rg
p
r
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Q. M. L - direção x
Novamente, verificamos que a aceleração é nula, e portanto existe um equilíbrio
de forças, a tensão cisalhante na parede se equilibra com a força de pressão
constante
Relembrando que a tensão cisalhante é
)()(
)()()()(
54
5403
2
2
22
21
zero
x
u
zero
r
u
zero
x
u
zero
r
u
vzero
r
u
zero
t
u
r
ur
rr
x
puvv
q
q
q
)()( '1
1
xfrg
x
p
r
ur
rr
r
u
r
r
r
)(1
32
q senrgpp ref
A variaçao da pressão é só
hidrostática
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Integrando esta equação, podemos determinar o
campo de velocidade e tensão cisalhante
Relembrando que a
tensão cisalhante é r
u
r
r
r
)(1
r
CrC
rr 1
1
2
22
r
Cr
y
u
1
2
2
12
4Cr
Cru ln
33
2) r=R ; u =0 0=(K/ ) R2/4 + C2 C2 =-(K/ ) R2/4
Condições de contorno:
1) r= 0 ; u e finitos (simetria; / r =0) C1 =0
22
14 R
rRKu
Angela Nieckele – PUC-Rio
34
O perfil de velocidade é
2
22
14 R
rRu
ou
2
22
14 R
rR
x
pu
note que como o perfil é simétrico, a velocidade máxima ocorre na linha de centro
4)0(
2
maxmaxR
x
puruu
2
2
1R
ruu max
u R
r
x
u
Angela Nieckele – PUC-Rio
35
Vazão:
TATTm AduAuQ
R
rdruQ0
2
2max
2
42
max242
2 Ru
R
RRuQ
2RAT 2
maxuum
328
22 D
x
pR
x
pum
O perfil de tensão cisalhante é : 2
r
x
p
Se 0
x
pentão < 0
n
u
R
r
x
u
Vazão:
TATTm AduAuQ
R
rdruQ0
2
2max
2
42
max242
2 Ru
R
RRuQ
2RAT 2
maxuum
328
22 D
x
pR
x
pum
Angela Nieckele – PUC-Rio
36
Na parede 2
)(R
x
pRr
tensão na parede 42
)(D
x
pR
x
pRrs
O fator de atrito pode agora ser obtido DuDu
Du
u
Dx
p
fm
m
m
m
64
2
1
32
2
1 222
onde usamos que o diâmetro hidráulico para um tubo circular é DPAD mTh /4
Re
64f ;
DumRe
Note que como 4
D
x
ps
o fator de atrito também pode ser escrito como 22
2
1
4
2
1m
s
m uu
Dx
p
f
Na parede 2
)(R
x
pRr
tensão na parede 42
)(D
x
pR
x
pRrs
O fator de atrito pode agora ser obtido DuDu
Du
u
Dx
p
fm
m
m
m
64
2
1
32
2
1 222
onde usamos que o diâmetro hidráulico para um tubo circular é DPAD mTh /4
Re
64f ;
DumRe
Note que como 4
D
x
ps
o fator de atrito também pode ser escrito como 22
2
1
4
2
1m
s
m uu
Dx
p
f
Na parede 2
)(R
x
pRr
tensão na parede 42
)(D
x
pR
x
pRrs
O fator de atrito pode agora ser obtido DuDu
Du
u
Dx
p
fm
m
m
m
64
2
1
32
2
1 222
onde usamos que o diâmetro hidráulico para um tubo circular é DPAD mTh /4
Re
64f ;
DumRe
Note que como 4
D
x
ps
o fator de atrito também pode ser escrito como 22
2
1
4
2
1m
s
m uu
Dx
p
f
Angela Nieckele – PUC-Rio
37
O relação 4
D
x
ps
também poderia ter sido obtida através de um balanço de
forças no seguinte volume de controle
0xF 0
dxmPsTAdx
x
ppTAp
4
hD
x
p
mP
TA
x
ps
Esta relação independe do regime de escoamento, isto é, é valida para regime laminar e
turbulento
p+ dxx
p
R
r
x
p s
dx
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38
Exemplo 8.3: Determine o perfil de velocidade para uma película de água
escoando ao longo de uma parede vertical, com espessura constante
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39
Exemplo 8.4: Um viscosímetro simples e preciso pode ser feito com
um tubo capilar. determine a viscosidade de um fluido newtoniano,
sabendo que os seguintes dados foram obtidos num viscosímetro
capilar.
•vazão em volume = 880 mm3/s
•queda de pressão = 1,0 MPa
•diâmetro do tubo: 0,50 mm
•distância entre tomadas de pressão: 1m
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40
Exemplo: Deseja-se bombear glicerina a 20 C [=1000 Kg/(m3),
=1,4 Kg/(ms)] em um tubo anular horizontal. O diâmetro interno é 1 in e o
externo de 2 in. A tubo possui 2 m de comprimento. Deseja-se uma vazão
de 0,15 m3/s. Qual a potência de bombeamento necessária?
QPuAPuFPot mtm
Rin=k Rex k=0,5
hDumRe
smkR
Q
A
Qu
tm
/,)(
7961 22
)()(
)(kR
kR
kR
P
AD
m
th
12
12
144 22
laminar1790
hDum
Re
Precisamos encontra a relação entre vazão de queda de pressão
Uma vez que as hipótese são as mesmas que no caso de Hagen Pouisselle,
a equação de quantidade de movimento axial simplificada é igual e o perfil
perfil de velocidade é
2
12
4Cr
CrKu ln
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41
Condições de contorno:
1) r=R ; u =0 0=(K/ ) R2/4 + (C1 / ) lnR + C2 C2 =-(K/ ) R2/4 - (C1 / ) lnR
R
rC
R
rRKu ln
122
14
2) r=k R ; u=0 0=(-K R2 /4 ) [1- k2] + (C1 / ) ln (k) C1 / =(K R2 /4 ) [1- k2] /ln (k)
R
r
k
k
R
r
L
RPu ln
ln
)(222 1
14
2
12
4Cr
CrKu ln
A vazão volumétrica Q é R
kRtm drruAuQ 2
kWk
kk
R
LQPot 191
2501501
1
025402
2418150
1
11
8
2244
21
224
4
2
)ln(/),(),(),(
,,
)/ln(
)()(
L
P
x
PK
QPuAPuFPot mtm
)/ln(
)()(
k
kk
L
RPQ
1
11
8
224
4
122
4
4 1
11
8
)/ln(
)()(
k
kk
R
LQP