Angela Nieckele – PUC-Rio

1

ESCOAMENTO COMPRESSÍVEL

Nos escoamentos incompressíveis, p e V são as duas variáveis

principais de interesse, e por isto são necessárias duas equações de

conservação: continuidade e quantidade de movimento linear.

Escoamento compressível implica em grandes variações da massa

específica num campo de escoamento. Os efeitos de compressibilidade

surgem devido a grandes variações de velocidade, que por sua vez

originam grandes variações de pressão, levando a grandes variações da

massa específica e da temperatura.

grandes V grandes p grandes r e grandes T

Uma vez que duas variáveis adicionais aparecem (r e T), duas

equações adicionais são necessárias: equação de conservação de

energia (1a. lei da termodinâmica) e uma equação de estado.

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2

ESCOAMENTO COMPRESSÍVEL

Incógnitas:

Equações:

continuidade

quantidade de movimento linear

energia

equação de estado

No presente curso vamos utilizar as seguintes aproximações:

•regime permanente

• gás ideal

e utilizaremos a análise integral

TpV ;;; r

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REVISÃO DE TERMODINÂMICA

Pressão, densidade e temperatura de uma substância pura, podem ser

relacionados através de uma equação de estado.

A maioria dos gases de interesse, a pressões e temperaturas

moderadas, se comportam como gases ideais.

gás ideal :

R = constante do gás

= constante universal = 8314 Nm/(kgmol K) = 1544 lbf ft / (lbmol R)

Mm = massa molecular

ar Rar = = 287 Nm/(kg K) = 153,3 lbf ft / (lbm R)

m

u

MR

mTRpTRmp

;;; rr

4

Outras propriedades:

energia interna i a energia interna pode ser expressa por i=i(v, T)

r

1

logo

dvv

idT

T

iid

T

c

v

v

cv = calor específico a volume constante

entalpia h h=h(p, T) h = i + p / r

pdp

hTd

T

hhd

T

c

p

p

cp = calor específico a pressão constante

entropia T

QS

desigualdade de Clausius

md

Sdsd entropia específica

processo reversível md

QsdT

processo adiabático reversível (isoentrópico) 0sd

5

Para gás ideal i = i(T) ; TRp r

como r

pih TRih ; então h=h(T)

di = cv d T dh = cp dT

TRih dh = di + R dT cp – cv = R

razão de calor específico v

p

c

ck

1

k

Rkc p ;

1

k

Rcv

variação de energia interna e entalpia devem ser avaliados por

1

12 )()()( 22

1

TTref v

TT v

TT v TdTcTdTcTdTcii

ref

1

12 )()()( 22

1

TTref p

TT p

TT p TdTcTdTcTdTchh

ref

Para faixas razoáveis de temperatura, podemos considerar o calor específico como

constante,

)( 1212 TTcii v ; )( 1212 TTchh p

6

RELAÇÕES TERMODINÂMICAS

vdpidsdT vdT

p

T

idsd

ou usando a definição vpip

ih r

pdvhdsdT PdT

v

T

hdsd

gás ideal ( TRp r )

v

vdR

T

Tdcsd v

1

2

1

212 lnln

v

vR

T

Tcss v

p

pdR

T

Tdcsd

p

1

2

1

212 lnln

p

pR

T

Tcss p

7

Em processos isoentrópicos: d s = 0

vdpidsdT vdpTdcv 0

pdvhdsdT pdvTdc p 0

igualando dT nas duas equações acima

00 v

vdk

p

pd

v

vd

c

c

p

pd

c

vdp

c

pdvTd

v

p

vp

para k = constante e integrando

CvpCvpCvkp kk lnlnlnlnlnln

Cp

k

r gás ideal processo isoentrópico

8

Velocidade do som c

velocidade de propagação de uma onda de pressão de intensidade infinitesimal

Determinação da velocidade do som:

continuidade:

....

0

CSCV

dAnVdt

rr

para regime permanente

mAdAVdcdAc )()()( rrr

AVddAdVAcdAcAc rrrrr rr

dc

Vd (I)

quantidade de movimento linear :

.... CSCVext dAnVVdV

tF

rr

.... CSx

CVxcs dAnVVdV

tFF

xx

rr

9

hipóteses: (1)regime permanente, (2) força de corpo na direção x nula (3) atrito

desprezível ( 00 sss ApoisA ) (4) troca de calor desprezível

Ac

AdAVdcdVdcAccApdpAp

r

rrr )()()()()(

VdAcpdA r c

pdVd

r (II)

igualando (I) e (II) c

pdd

c

rr

r

rd

pdc 2

Se p =p ( r, s) então sds

pd

ppd

s r

rr

Se não há atrito e troca de calor,, o processo é isoentrópico (ds = 0)

s

p

d

pd

rr

s

pc

r

10

Definição: M = número de Mach c

VM

M 0 escoamento incompressível

M 0 escoamento compressível

M < 1 escoamento subsônico

M = 1 escoamento sônico

M > 1 escoamento supersônico

M 5 escoamento hipersônico (mísseis, etc)

0,9 M 1,1 escoamento transônico

gás ideal TRp r

processo isoentrópico Cp

k

r

TRkp

kkp

kCp k

k

k

s

rr

rr

r

11

TRkc gás ideal

11

Para líquidos: definindo-se Ks = coeficiente de compressibilidade adiabática

s

sp

v

vK

1

sKc

r

1

utiliza-se também o “bulk modulus” K

sv

pv

r

c

Para sólidos: definindo-se E = módulo de elasticidade de Young

r

Ec

a velocidade do som depende do meio e das propriedades termodinâmicas

12

•Para resolver um problema de escoamento compressível,

precisaremos resolver um sistema formado pelas

equações de conservação. Vamos agora introduzir a

definição de propriedades de referência que auxiliam na

solução dos problemas.

PROPRIEDADES DE REFERÊNCIA

•Propriedade de Estagnação Isoentrópica (ro, To, po,

etc): são as propriedades obtidas quando um fluido é

desacelerado até o repouso por um processo

isoentrópico, isto é, sem atrito e sem troca de calor.

•Propriedades Críticas (r*, T*, p*, etc): são as

propriedades reinantes quando M=1

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para obter estas propriedades, vamos integrar as equações de conservação de um

escoamento isoentrópico de uma condição dada até o repouso.

continuidade: mdAAdVVdAV )()()( rrr

quantidade de movimento linear:

dVAVVdVVmApdAAdpppA sm r ])[(cos)()(

dAAs cos

2

dpppm

dVAVdAdp

pdAAdpppA r

2)()(

dVAVAdp r

dividindo por Ar 02

2

Vddp

r equação de Euler

pmAS

As

dA

pmAs

14

para obter estas propriedades, vamos integrar as equações de conservação de um

escoamento isoentrópico de uma condição dada até o repouso.

continuidade: mdAAdVVdAV )()()( rrr

quantidade de movimento linear:

dVAVVdVVmApdAAdpppA sm r ])[(cos)()(

dAAs cos

2

dpppm

dVAVdAdp

pdAAdpppA r

2)()(

dVAVAdp r

dividindo por Ar 02

2

Vddp

r equação de Euler

pmAS

As

dA

pmAs

Para processo isoentrópico Cp

k

r k

Cp/1

/ r

substituindo na equação de Euler 02

2

/1/1

Vd

p

dpC

kk

15

Integrando de uma posição onde a pressão é p e a velocidade é V até o repouso onde a

pressão é po e a velocidade é nula

02

0 2

/1/1

V

p

pk

k Vd

p

dpC

o

0211

21111

1

V

k

pp

C

kk

k o

/

//

/

arruamando a equação obtida, temos, sabendo que

M=V/c ; kRTc ; p/r = R T e r//1/1 kk pC

0

211

1 221111

1

cM

k

pppp

ko

kk

/

///

/

r

02

11

21

TRkMpp

k

kRT kk

o/)(

/

16

Propriedades de Estagnação Isoentrópica

)/( 12

2

11

kko M

k

p

p

)/(/ 112

1

2

11

ko

koo M

k

p

p

r

r

r

r

2

1

2

11 M

k

T

T

p

p

p

p

T

T okk

o

o

oo/)(

r

r

agora podemos facilmente encontrar as outras propriedades

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Note que as propriedades de estagnação não oferecem uma referência para a

velocidade, usamos então as propriedades críticas (M=1). O mesmo é verdade para a

área.

)1/(

*

*

2

11

kko k

p

p = 1,893 para (k=1,4)

)1/(1

*

*

2

11

ko k

r

r= 1,577 para (k=1,4)

2

11

*

* k

T

To = 1,200 para (k=1,4)

continuidade: mAVAV ***rr ; *** kRTcV

18

Escoamento Compressível ____________________________________________________________ 113

o

oo

o TT

TT

MT

T

McM

c

V

V

A

A

/

/11 ********

* r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

Porém em um processo isoentrópico, ao desaceleramos um escoamento até o repouso,

chegamos sempre aos mesmos valores das propriedade de estagnação isoentrópicas, então

oo TT * e oo rr * , substituindo as relações obtidas temos

)1(2

1

2

* 2/)1(

2

)1(1

1

k

k

k

Mk

MA

A

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Exemplo: Ar escoa em regime permanente através de um bocal convergente-

divergente. Na entrada a pressão absoluta é P1 =350 kPa, temperatura T 1 =60 o C

e a velocidade igual a V 1 =183 m/s. Na saída, o número de Mach é M 2 =1,3 e as

condições locais de estagnação são conhecidas, P o2 = 384 kPa (abs), T o2 = 350 K.

Determine as propriedades de estagnação isentrópica na entrada e pressão

estática e temperatura na saída.

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20

ESCOAMENTO UNI-DIMENSIONAL DE GÁS

IDEAL EM TUBULAÇÕESescoamento isoentrópico de área

variável

escoamento com atrito em área

constante

escoamento com transferência de

calor em área constante

choques normais

Vamos derivar as equações de

conservação válidas para todos estes

casos.

Hipóteses:regime permanente

uma entrada e uma saída

propriedades uniformes nas seções

força gravitacional desprezível

(tubulação na horizontal)

gás ideal

21

(1) Continuidade:

....

0

CSCV

dAnVdt

rr

mAVAV 222111 rr

(2) Quantidade de movimento linear:

.... CSCVcs dAnVVdV

tFF

rr

..CS

xs dAnVVFx

r )( 122211 VVmApApRx

(3) Energia (1a. lei da Termodinâmica): gz

Vie

2

2

;

gzV

hp

e 2

2

r

dAnVp

edet

WWWQSCVC

outrose

r

rr

hipóteses adicionais: (i) trabalho de eixo nulo (ii) trabalho outros nulo

(iii) volume de controle perpendicular a fluxo de massa e coincidente com paredes

22

21

1

22

2

Vh

VhmQ

22

(4) 2a. lei da Termodinâmica:

T

QS

desigualdade de Clausius para

sistemas

para volumes de controle: dAT

AQdAnVsds

t SCSCVC

/ rr

a igualdade é válida se o processo for reversível

a desigualdade é válida se o processo for irreversível

para indicar a direção do processo: dAT

AQssm

SC

/)( 12

para quantificar: 1

2

1

212 lnln

p

pR

T

Tcss p

(5) equação de estado: TRp r 22

2

11

1

T

p

T

p

rr

(6) )( 1212 TTchh p

Se o processo for isoentrópico acrescentar mais uma equação, a do processo:

kk

pp

2

2

1

1

rr