Engenharia Mecânica na PUC-Riomecflu2.usuarios.rdc.puc-rio.br/Din_Flu_Comp_Mec2335/II-dfc... · o Quando T c é conhecido, não é preciso utilizar a equação para o contorno durante

Angela Nieckele – PUC-Rio

DIFUSÃO

1


2

0e

wxx dxSqqwe

Dx

qw qe

W w P e E

dxw dxe


33

Perfil Linear: Segundo perfil mais simples. Note

que o perfil linear é a solução exata da equação de

condução uni-dimensional, regime permanente,

sem fonte, com propriedades constantes

Possíveis Perfis para avaliar o fluxo

Perfil em Degrau: Perfil mais simples possível,

porém, a inclinação de dT/dx nas faces do volume

de controle não está definida. O perfil em degrau

pode ser utilizado em outros termos, se desejado.


4

Os fluxos de calor através das faces e e w podem ser

baseados na solução exata do caso particular do

problema (condução, regime permanente, 1D,

propriedades constantes e sem fonte), que é um perfil

linear e são

w

WPw

wx

x

TTk

dx

dTkq

w d

e

PEe

ex

x

TTk

dx

dTkq

e d


5


6

Sp <=0


7

Substituindo as expressões aproximadas para os fluxos e

fonte média em


8

Note que a forma da equação de discretização depende do perfil

utilizado para aproximar os fluxos.

Existe uma infinidade de possíveis perfis interpoladores. No entanto, a

escolha do perfil deve ser tal que atenda a 4 princípios básicos, de forma

a garantir uma solução fisicamente realista.


9


10


11


12


13


14

Note que estes coeficientes respeitam as 4 regras básicas

Precisamos definir:

Como obter a condutância nas faces?

Como linearizar a fonte?

Para finalizar a discretização:


15


16


17


18


19


20


21

Quando existe uma expressão analítica para S, é conveniente

utilizar uma expansão em Série de Taylor no processo de

linearização, isto é

)( **

*

d

SdSS

onde * é o valor de na iteração anterior.

**

*

d

SdScSc

*

d

SdSp


22

Exemplo: S = 4 - 5 T3,

(a) Avaliar a fonte de forma totalmente explícita,

SC = 4 - 5 T*3 SP = 0

não é conveniente, pois não antecipa nenhuma

dependência entre a fonte e a variável dependente, no

caso a temperatura.

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Sa

S=4-5T^3

S

S*


23


(b) Avaliar a fonte de forma totalmente explícita,

SC = 4 SP = - 5 T*2

coeficiente angular menor do que deveria ser. Novamente

não antecipa corretamente a dependência da fonte em T.

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Sa

Sb

S=4-5T^3

S

S*


24


(c) Avaliar a fonte de forma totalmente explícita,

SC = 4 +20 T*3 SP = - 25 T*2

coeficiente angular maior do que deveria ser. Diminui a

velocidade de convergência.

0

1

2

3

4

5

6

7

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Sa

Sb

Sc

S=4-5T^3

S

S*


25


(d) Linearização baseada em série de Taylor. É a

tangente a curva. É a linearização correta, pois

apresenta a tendência correta da curva

dS/dT = - 15 T2 então

rearrumando

resultando em

)(15)54( *2*3* TTTTS

TTTS )15()104( 2*3*

)104( 3*TSC

)(*215 TS p

0

1

2

3

4

5

6

7

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Sa

Sb

Sc

Sd

S=4-5T^3

S

S*

)( **

*

d

SdSS


27

Malha


28


29


30


31

Condições de Contorno

As equações de discretização são formadas para todos os

volumes de controle ao redor dos pontos nodais internos.

Se os valores da temperatura no contorno são conhecidos, não é

necessário mais nenhuma equação.

Se Tc não é conhecido, uma equação de discretização para o

volume de controle próximo a fronteira deve ser construída. Esta

equação incorporará a informação disponível sobre o fluxo de

calor da fronteira (ou o valor do coeficiente de troca de calor

convectivo).


32

A Equação para Meio Volume de Controle

(Método A)

Situações 1-D

Portanto, acTc=aITI + b

oPara fluxo de calor qc constante

oPara coeficiente de troca de calor h e temperatura T∞conhecidos, tem-se a relação: qc = h (T∞- Tc)


33

A Equação para Volume de Controle de Espessura

Nula (Método B)

Situações 1-D

então, acTc=aITI + b ; onde

oPara fluxo de calor qc constante

oPara h e temperatura T∞ conhecidos: qc = h (T∞- Tc)


34

Condições de contorno

Tc conhecido

o Quando Tc é conhecido, não é preciso utilizar a equação

para o contorno durante a fase de solução

o Contudo, pode-se utilizar a equação do contorno para

determinar o valor desconhecido de qc após todas as

temperaturas (incluindo TI) tiverem sido calculadas.

ccPCIci

ic xTSSTT

x

kq ))(()(

)(D

d

)()()(

IciIci

ic TTaTT

x

kq

d

Método A

Método B


35


SOLUÇÃO DE SISTEMA ALGÉBRICO

TRI-DIAGONALAlgoritmo TDMA (Tri Diagonal Matrix Algorthm)

também chamado de algoritmo de Thomas

este é um algoritmo direto para resolver sistemas de equações

algébricas formado por matriz de coeficientes tri-diagonal.

Para o ponto (1) tem-se a1 1 = b1 2 + d1

Para todos os pontos 2 i N ai i = bi i+1 + ci i-1 + di

Para o ponto (N) tem-se aN N = cN N-1 + dN

A matriz resultante é

36


37

NN

NNN

ac

bac

bac

bac

ba

000000

00000

00

0

000000

111

333

222

11

N

N

1

3

2

1

N

N

d

d

d

d

d

1

3

2

1

=

Com esse novo conjunto,

determina-se N e fazendo

uma substituição regressiva,

todos os podem ser obtidos


• Note que a seguinte equação é valida para todos os pontos 1 i N

ai i = bi i+1 + ci i-1 + di sendo c1= 0 e bN =0

• Vamos obter o algoritmo: suponha que desejamos obter a

relação

i = Pi i+1 + Qi

após termos obtido i-1 = Pi-1 i + Qi-1

então ai i = bi i+1 + ci [ Pi-1 i + Qi-1 ]+ di

rearrumando [ ai - ci Pi-1 ] i = bi i+1 + ci Qi-1 + di

38

1iii

i1ii1i

1iii

ii

Pca

dQc

Pca

b

1

iii

ii

Pca

bP

1

1

iii

iiii

Pca

QcdQ


O ponto de partida é: e

Note que N = QN ; já que PN =0 pois bN = 0

O algoritmo TDMA requer um tempo de computação e espaço de

memória proporcional a somente N, e não N2 ou N3.

39

1

11

a

bP

1

11

a

dQ

1

iii

ii

Pca

bP

1

1

iii

iiii

Pca

QcdQ

iiii QP 1


40

Solução De Sistema Algébrico Tri-Diagonal____________________________________________ 21

Procedimento TDMA

calcula-se 1

11

a

bP e

1

11

a

dQ

Usando as relações recursivas de Pi e Qi

1

iii

ii

Pca

bP

1

1

iii

iiii

Pca

QcdQ

obter P2 ; Q2 ; P3 ; Q3 ; ...; PN e QN

especificar N = QN

Usando i = Pi i+1 + Qi , obter N-1 ; N-2 ; ..... ; 2 ; 1


NÃO LINEARIDADEA equação de discretização deve ser uma equação linear,

porque o sistema de equações algébricas será resolvido por

métodos de solução de equações lineares.

Não linearidades irão aparecer quando k depender de T ou S for

uma função não linear de T. Então, os coeficientes das equações

de discretização serão dependentes de T.

Não linearidades podem ser tratadas por um processo iterativo

de solução:

(i) supomos um valor para o campo de T,

(ii) calculamos os coeficientes,

(iii) resolvemos as equações de discretização nominalmente

lineares para obter um novo campo de T,

(iv) repetimos o processo voltando ao item (ii) até obter

convergência, isto é, ate que os valores de T não variem

significativamente entre iterações. 41


Solução de Sistema de Equações Não-LinearMétodo de Picard:

1. Chute inicial;

2. Calcular coeficientes da matriz usando o valor atual das

incógnitas;

3. Resolver o sistema de equações e determinar o novo valor das

incógnitas;

ou

• Comparar solução atual com anterior;

• Se não convergiu, voltar para 2.

)()()()()(,,,,

003

02

01

0N

)(kAA

bA kk1

1

)()( b a a a W

kWE

kEP

kP


Método de Newton-Raphson (de Newton)

)(

)(

)()(

tan

1

1

i

iii

i

ii

i

xf

xfxx

xfxx

xf

PROCEDIMENTO ITERATIVO

)1(

)()1(

)(

)(

)(

)0(

:Raiz1

)(

)(

do ,)( While

0

:inicial Chute

D

D

i

ii

i

i

i

xii

xxx

xf

xfx

xf

i

x

xf

xfxxfxxfxxf

xfx

xfxxfxxf

DDD

DDD

0

2

2

Dados de Entrada:

Chute inicial, tolerância , número de iterações


0),,,,(

0),,,,(

0),,,,(

0),,,,(

321

3213

3212

3211

NN

N

N

N

xxxxf

xxxxf

xxxxf

xxxxf

Sistema a ser resolvido:

Expansão por série de Taylor até termos de primeira ordem de cada

equação:

NN

NNNNNNNN

NN

NNN

NN

NNN

xx

fx

x

fx

x

fxxxfxxxxxxf

xx

fx

x

fx

x

fxxxfxxxxxxf

xx

fx

x

fx

x

fxxxfxxxxxxf

DDDDDD

DDDDDD

DDDDDD

22

11

212211

22

2

21

1

221222112

12

2

11

1

121122111

0

0

0

),,,(),,,(

),,,(),,,(

),,,(),,,(

Método de Newton: Generalização do Método de Newton

para um sistema de equações não-

lineares


N

N

NNNNN

N

N

N

N

N

N

xx

fx

x

fx

x

fxxxf

xx

fx

x

fx

x

fxxxf

xx

fx

x

fx

x

fxxxf

DDD

DDD

DDD

2

2

1

1

21

22

2

21

1

2212

12

2

11

1

1211

),,,(

),,,(

),,,(

fJx

f

f

f

x

x

x

x

f

x

f

x

f

x

f

x

f

x

f

x

f

x

f

x

f

f

N

x

N

J

N

NNN

N

N

1

2

1

2

1

21

2

2

2

1

2

1

2

1

1

1

D

D

D

D

D

Sistema em

Forma matricial

Matrix Jacobianaj

iij

x

fJ


PROCEDIMENTO ITERATIVO

)(

)()(

)(

)(

,

1

1

1

0

:Raiz

1

do While

0

:inicial Chute

i

ii

i

x

ii

xxx

fJx

xf

i

x

D

D

Solução de

um sistema

linear

Convergência Quadrática

)(

)()(

)(

)(

)(

][

,

1

1

1

0

:Raiz

1

do While

0

:inicial Chute

k

kk

k

k

kk

bAJ

bA

k

D

D


Exemplo: condução não linear

0

q

xd

Tdk

xd

d

Tbase Textk(T)

q

x

L

c.c.: x = 0 T=Tbase x = L T=Text

xqbaaax

ka

x

ka

bTaTaTa

EWPw

wW

e

eE

WWEEPP

Ddd

;;)(

;)(

),(;),( WP

WP

WPwEP

EP

EPe TTk

kk

kkkTTk

kk

kkk

22


Solução pelo Método de

Newton…

Cálculo da matriz Jacobiana:

0 bTaTaTaaf WWEEPEWi

f1 = T1 – Tbase=0 ; fN = TN - Text=0

01

132

01

1

2

1

1

1

N

N

N

N

EPE

EE

E

iWP

W

WW

W

i

EPP

EWP

P

WEW

P

i

T

f

T

f

TTT

aa

T

fTT

T

aa

T

f

NiTTT

aTT

T

aaa

T

f

T

f

T

f

;

;

,,,

;


Sistema em

Forma matricial

Matrix Jacobianaj

iij

T

fJ

fJT

f

f

f

f

T

T

T

T

T

f

T

f

T

f

T

f

T

f

T

f

f

N

i

T

N

i

J

E

i

P

i

W

i

1

2

1

2

1

3

2

2

2

1

2

100

00

00

001

D

D

D

D

D

D


Convergência:1. Considera-se uma solução convergida quando a diferença da

variável de interesse entre duas iterações consecutivas é menor que uma tolerância pré-definida. A variável de interesse pode ser: máximo, médio, alguma variável auxiliar como fluxo máximo, todo campo , etc.

• Diferença absoluta:

• Diferença relativa:

• Diferença relativa normalizada:

ki

kii 1

ki

ki

ki

ri

1

kk

ki

ki

ni

minmax

1

bTaTaRes

nbnbnbPPi

2. Resíduo menor que uma tolerância pré-definida :


Convergência:

toli maxmax tolirr max

maxtol

inn maxmax

tolN Ni

rr imedio

1

1 tol

N Nirr irms

1

21Norma L2 ou

Norma rms

Diferenças ou resíduo máximo:

Diferenças ou resíduo médios:

tolResRes i maxmax

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