CONVECÃO NATURALmecflu2.usuarios.rdc.puc-rio.br/TransCal_II_Mec2348/6-TransCal_II... · resfriado enquanto sobe, se expandindo ... De um modo geral a força de corpo é devido ao

Angela Nieckele – PUC-RioAngela Nieckele – PUC-Rio

CONVECÃO NATURAL

É o processo de transferência de calor induzido por forças

gravitacionais, centrífugas ou de Coriolis.

1

A convecção natural ocorre na circulação atmosférica e

oceânica, sistemas de refrigeração de máquinas elétricas e reatores

nucleares, cavidades aquecida ou resfriadas, fontes eletrônicas de

potência, etc.

O escoamento é induzido pelo empuxo, devido a ação de força

de corpo agindo em gradientes de densidade, que por sua vez,

surgem devido a gradientes de temperatura e concentração em um

fluido.


CONVECÃO NATURAL

Quando convecção natural ocorre devido ao empuxo causado

por uma superfície aquecida em um meio em repouso, sem

fronteiras, esta é chamada de convecção livre.

Assim como a convecção forçada, a convecção natural pode ser

classificada em interna e externa, laminar e turbulenta.

2


Convecção Natural Laminar ao longo

de uma Placa Vertical com

Temperatura Constante Imersa em um

Meio Fluido Infinito

3

To

T

Angela Nieckele – PUC-Rio

4

0y

v

x

u

x

pb

y

u

y

uv

x

uu x

2

2

0

y

p

2

2

y

T

y

Tv

x

Tucp

As aproximações de camada limite são válidas e portanto as equações

que governam o escoamento e as condições de contorno são:

Equações da Camada Limite

Quantidade de movimento

direção x:

Quantidade de movimento

direção y:

Energia:

Condições de Contorno

(i) y = 0 u = v = 0 e T=Tw (ii) y= u = 0 e T=T

Continuidade:


Nas equações apresentadas, a dissipação viscosa foi

desprezada, pois as velocidades esperadas são

pequenas e a diferença de temperatura não é.

5

Desprezou-se também, a possibilidade do fluido ser

resfriado enquanto sobe, se expandindo na pressão mais

baixa existente em posições mais altas. Este fenômeno é

importante em meteorologia.

Antes de prosseguir, devemos analisar o gradiente de

pressão e a força de corpo, bx. De um modo geral a força

de corpo é devido ao efeito gravitacional, logo bx= g.


Como p/y = 0, o gradiente de pressão em x, pode ser

avaliado longe da parede, onde as equações de movimento

mostram que o fluido encontra-se estagnado (u=0)

6

gxp /

gx

pbx

Como resultado, tem-se

Existem diversas maneiras para ocorrer o forçamento

o O mais comum é a dependência da massa específica na

temperatura, onde o movimento do fluido surge, pois o

fluido mais quente é menos denso, subindo.

o Em situações com transferência de massa, as espécies

menos densas, também se deslocam para cima.

o Existem situações onde os dois efeitos podem estar

presentes, ou ainda, uma efeito se oponha ao outro.


7

......!

)(

!

)()(

3

3

2 3

32

2

2 TT

T

TT

TTT

T

......

!

)()(

2

2

2

2 TT

TTT

T

T

1

)( TT

o Nos restringiremos aqui, a dependência da massa

específica com a temperatura.

o Utilizaremos a aproximação de Boussinesq

Pela definição de coeficiente de expansão térmica

Expandindo a massa específica em série, temos

De acordo com Boussinesq, a variação da massa específica

só é significativa no termo de empuxo


8

0y

v

x

u

gTTvuy

u

y

u

x

u)(

2

2

2

2

y

T

py

T

x

T

cvu

As equações da camada limite para o problema, tornam-se


(i) y = 0 u = v = 0 e T=Tw

(ii) y= u = 0 e T=T


9

Perfis experimentais sugerem a possibilidade de perfis

similares. Existem diversas formas para se obter estas

soluções. Pode-se utilizar um procedimento análogo ao

utilizado para obter a solução de Blasius.

Introduz-se a função de corrente para se eliminar o

componente v da velocidade. Também é conveniente

introduzir uma temperatura adimensional

xv

yu

,

TT

TT

w


10

equação de quantidade de movimento

equação da energia

3

3

2

22

yw

yxyxyTTg

2

2

yxd

Td

yyxxyw


11

A hipótese de que os perfis de velocidade e temperatura são

similares, diferindo apenas no fator de alongamento, sugere

que a seguinte variável similar seja definida

)(xHy

)()( xGf

41

44

/

)(

xGr

xG

4/1

4

1)(

xGr

xxH

Com esta mudança de variáveis, obtêm-se duas equações

diferenciais parciais para e o objetivo agora é reduzir essas

equações para equações diferenciais ordinárias, a e técnica

clássica de separação de variáveis pode ser utilizada.

O conjunto resultante de equações, se reduz a equações

diferencias ordinárias se


12

2

3

)(

TTxgGr w

x

4/1

4

xGr

x

y

4/14/4

)(xGr

f

onde Grx é o número de Grashof

O número de Grashof pode ser interpretado como a razão entre as

forças de empuxo e forças viscosas.

As variáveis adimensionais são


13

023

2

2

2

3

3

d

fd

d

fdf

d

fd 032

2

d

df

d

dPr

c

xvf w

30

41/

)( 2

4

4

)( wTTgc

A equação diferencial ordinárias resultante para temperatura

constante na parede é

As condições de contorno são

i. u = 0 em y = 0 logo f ’(0)= 0

ii. u 0 em y f ’()= 0

iii. v = vw em y = 0

iv. T = Tw em y = 0 (0)= 1

v. T = T em y ()= 0

Se não houver injeção vw=0 e f(0) = 0


14


15

A velocidade atinge um máximo próxima a placa e pois a temperatura,

tende as condições ambientes longe da placa, reduzindo o forçamento para

o escoamento.

Uma vez que as equações são acopladas, os perfis de velocidade e temperatura

dependem de dois parâmetros separados: número de Prandtl Pr e número de

Grashof, Gr. A tabela 12-1 apresenta a solução numérica para Pr =1. Diversas

outras tabelas são necessárias para outras combinações de Pr e Gr.

Para grandes números de Prandtl, a camada limite térmica é mais fina do que

a camada limite de velocidade.

Como na camada limite de convecção forçada, a essência da solução do

problema é encontrar as duas quantidades desconhecidas f”(0) e ’(0), que

estão relacionadas com o atrito e troca de calor na superfície da placa.

Angela Nieckele – PUC-Rio16


17

)(

TTh

y

Tkq w

yw

0

)()(

)(

TTh

yTTkq w

xH

ww

0

41

4

1/

)(

xGr

xxH

41

2

0 /)('xx Gr

k

xhNu

2

3

)(

TTxgGr w

x

x

xh

43 /

41/ xh

O coeficiente de transferência de calor local pode se

determinado a partir destas soluções, uma vez que

ou em função das variáveis de similaridade

logo observa-se que


18

Pr 0,01 0,1 0,72 1,0 10 100 1000

Nux Grx-1/4 0,0570 0,164 0,357 0,401 0,827 1,55 2,80

20 /)('

41

41

21 2215

2

4

3 /

/

/Pr

PrPr(

Prxx GrNu

O número de Nusselt local depende de Pr e Grx.

Soluções para obtidas por Ostrach e outros

são apresentadas na tabela a seguir

A seguinte correlação de Ede apresenta boa concordância com os

dados da tabela


19

swA

sww dATThATThQ

s

)()(

L

Lx

x

LL

x hLBxBL

dxxBL

dxhL

h3

4

3

4

3

4111 41

0

43

0

41

0

///

Lhh3

4

4/1

43

4)0('

L

L

Gr

k

LhNu

O coeficiente de transferência de calor médio também pode

ser obtido, uma vez que o fluxo de calor total é

O número de Nusselt médio, em termos de número de Grashof local é

O coeficiente médio de

troca de calor é dxhL

h

L

x0

1 41/ xBhxsendo

Angela Nieckele – PUC-Rio 20

41/PrLL GrA

k

LhNu 4/1

LL RaAk

LhNu

LxL NuNu 3

4

Como vimos o número de Nusselt depende de Pr e Grx.

Podemos então rescrever o número de Nusselt médio como

onde Rax é o número de Rayleigh,

Rax=Grx Pr.

O parâmetro A encontra-

se na tabela 12-2.

Note que

Para situações limites

de Pr, pode-se obter

solução simplificada.

41260000 /)Pr(,Pr xx GrNu

415030 /Pr)(,Pr xx GrNu


21

y

u

y

u

yw

0

)()( / 042

2413 f

xGrxw

41/xw

De forma análoga, a tensão cisalhante local é

logo observa-se que

que em função dos grupos adimensionais é

Observe que em contraste com a camada limite térmica forçada, a

tensão cisalhante cresce com a distância da borda de ataque.


22

swsA

w AdAF

s

A tensão média pode ser obtida a

partir da força que atua na placa

dxxL

L

ww 0

)(1

Lxw

L

w CLL

L

CdxCx

L

5

4

5

4

4/5

1 4/14/5

0

4/1Lxww

5

4

)0()4(2

24/13 f

LGrLw Lx

)0()(5

22)0()2(

5

22

24/13

2/3

2

24/132

2

fL

GrfL

Gr LLw

)0()4(5

22

24/3 f

LGrLs

41/xw


23

)(0 )(0f

A tabela 12-2

apresenta os

valores de

juntamente

com a

variável A

para diversos

Pr.

Angela Nieckele – PUC-Rio 24

A concordância do

perfil de velocidade

e temperatura com

dados

experimentais é

muito boa, como

pode ser visto na

figura


25

Número de

Nusselt Médio

versus número

de Rayleigh


26

Apesar da concordância com os dados do campo de

velocidade e temperatura, observa-se que o coeficiente de

transferência de calor médio é um pouco mais alto do que

os valores previstos.

A figura anterior apresenta uma comparação realizada por

Ede, na qual a linha sólida representa as previsões da

camada limite, e os pontos as medidas experimentais.

o Entre Ra = 105 e 108, a concordância é satisfatória.

o Fora desta faixa, as previsões se afastam dos dados

medidos, e mesmo na região de melhor concordância, a

previsão fica abaixo dos dados experimentais.


27

Os desvios encontrados a altos números de Rayleigh,

provavelmente são devidos ao desenvolvimento da

turbulência, e para baixo números de Rayleigh, devido ao

aumento da imprecisão das hipóteses da camada limite, devido

a grande espessura da mesma.

Para número de Prandtl aproximadamente unitário, McAdams

sugere a seguinte correlação

415550 /)(, LL Rak

LhNu 10 Ra 109

a qual correlaciona bem com os dados experimentais, como

pode ser visto na figura a seguir, obtida para ar.


28

Número de Nusselt Médio para o ar sobre placas planas

verticais, para Pr pequeno, versus número de Rayleigh


29

Como levar em consideração a dependência da temperatura

nas propriedades, tem sido motivo de estudo de diversos

pesquisadores.

Em geral considera-se que as propriedades devem ser

avaliadas na temperatura de filme

2

TTT w

f

para usar as correlações de propriedades constantes.

De acordo com Sparrow e Gregg, para gases e mercúrio

líquido, a seguinte temperatura de referência fornece melhores

resultados

)(, TTTT wwr 380


30

0y

v

x

u

gTTvu

y

u

y

u

x

u)(

2

2

2

2

y

T

py

T

x

T

cvu

Como vimos, as equações da camada limite para o problema

de convecção natural ao longo de uma parede vertical são


(i) y = 0 u = v = 0 e T=Tw

(ii) y= u = 0 e T=T

Analisando a equação de conservação de quantidade de

movimento, observa-se que a equação da camada limite é

formada de 3 parcelas:

Inércia = atrito + empuxo

Vamos analisar, em que condições o

escoamento é governando pela inércia e

empuxo ou atrito e empuxo

L x

y

Mecanismo dominante


31

0y

v

x

u

gTTvuy

u

y

u

x

u)(

2

2

2

2

y

T

py

T

x

T

cvu

Vamos realizar uma análise de ordem de grandeza

T

VLU

)()()()()( TTyxLvVuU T

22

TTT

T LU

TT

LU

L

TU

)(

TgUUL

ULUU

TT

T

2

)(

122

2

2

2

TTT

L

Tg

L

LTg

2

T

LUcom

e dividindo Tg

1

4

3

4

3

2

TT

L

LTg

L

LTg

e multiplicando e

dividindo por L2


32

144

empuxoatrito

L

T

empuxoinércia

L

T

Ra

L

Ra

L

//

)/(

Pr

)/(

A comparação da influência entre inércia e atrito depende de Pr:

o Pr>>1: CL é dominada pelo balanço entre atrito e empuxo

o Pr<<1: CL é dominada pelo balanço entre inércia e empuxo

Pr

1

4

3

4

3

2

TT

L

LTg

L

LTg

2

33

2

3

LTgBo

LTgRa

LTgGr LLL

;;

Pr;Pr RaBoGrRa

Prandtl Grashof Rayleigh Boussinesq


33

Caso 1: Pr>1

41/

HRa

L

Tk

Lq

k

LhNu

TkThq

T

w

T

w

O movimento do fluido não fica restrito à zona aquecida: d > dT

x

y

u

21

2

/

LRa

L

αu

Lu

T

41/

LRa

L

T

equilíbrio entre forças

viscosas e empuxo:

41

21

2

21

22

/

// Pr

LRa

LL

RaL

Lu

u

L

uu

L

Região II

Região II

21/PrT


34

Caso 2: Pr<1

x

y

u

21

2

/Pr)( L

T

RaL

αu

Lu

41/Pr)( L

T

RaL

só existe movimento dentro

da camada limite térmica

2121

2

21

22

3

221

2

3

2

2

///

/

Pr)(

Pr

PrPr)(

Pr

LLL

LL

L

Gr

L

Gr

L

RaL

L

RaRa

L

α

L

RaTg

u

Região II

Região I

41/

Pr

HBo

H

TT

w RaL

k

LhNu

TkThq

21/PrT


35


Convecção Natural em Canais

Verticais

36

Caso 1: D>>δT Caso 2: D<<δT

(não há interferência)

y

x

L


Caso 2 = região totalmente desenvolvida

(H/D>>1)

37

cteTTTTTTTT 000 :<<

0vEquação de continuidade

Equação de

quantidade de

movimento

gx

p

y

p

;0

0x

u

TTg

y

u

2

2

Esta equação de energia deve ser resolvida acoplada

com a equação de energia 2

2

y

T

x

Tu

Solução aproximada

2

21

8

1

// D

y

RaD

u

D

2

0

2

21

8 /D

yTT

Dgu

TTDg

RaD 0

3

DRaD

u

D

u

12

1

3

2

//

max


Fluxo de massa:

38

TTcWDuTTcmQ pp 00

Número de Nusselt médio:

DHDD

pw

D

RaNuouRaL

DNu

k

Dc

L

Du

kTT

Dq

k

DhNu

24

1

24

1

20

WDum

Fluxo de calor: supondo fluido saindo do canal To

wp qTTcL

Du

WL

Q 0

22

Fluxo de calor médioCalor transferido ao fluido

TTDg

RaD 0

3


Verificando a validade da hipótese de

escoamento desenvolvido (Le<<L) :

δT≈D/2 quando y é da ordem de Le. Então:

21 41 //Pr / DRaLeLe

Pr)(//Pr / RaBoDBoLeLe 21 41

HRaD

eL 41

2

/

L

Na região de entrada deve ser pequena em relação ao comprimento

do canal, Le<<L

41

41

1

1

/

/

/Pr

/Pr

e

e

L

L

BoDL

RaDL

HBoD

eL 41

2

/

Condição de escoamento desenvolvido


Convecção Mista: Natural + Forçada

40

•mecanismo predominante é determinado pela

menor camada limite - δT(CN) ou δT(CF) :

δT(CN) < δT(CF) : CN predomina

δT(CN) > δT(CF) : CF predomina

naturalConvecção

mixtaConvecção

forçadaConvecçãoRa

xCF

xRaCN

x

x

xCFT

xCNT

1

1

1

:1>Pr para Logo,

1

1

3121

41

3121

41

//

/

//

)(

/

)(

PrRe

PrPrRe:

Pr:

naturalConvecção

mixtaConvecção

forçadaConvecção

Pe

Bo

xPCF

xBoCN

x

x

xCFT

xCNT

1

1

1

:1<Pr para Logo,

1

1

21

41

21

41

/

/

/

)(

/

)(

Pre:

Pr:


41

Convecção Natural não confinada


42

- Cilindro longo horizontal

- Correlação de Morgan:

NuD CRaDn

- Correlação de Churchill e Chu:

12

2

278169

61

10

55901

3870600

D

DD

Ra

RaNu

//

/

Pr)/.(

..


43

Escoamento estável x instável

T1>T21<2:

troca de calor

por condução

(não há

movimento)

T1<T21>2

troca de calor por convecção

Fluido quente (mais leve) sobe, e vai sendo

resfriado, mas o fluido mais frio (mais

pesado) desce, situação instável, ocorre

circulação do fluido

- Para gases e líquidos, cai com T


44

-Placas horizontais e inclinadas

-Força de empuxo

tem um componente

normal a placa

-Escoamento

resultante é 3-D

-Nu pode ser calculado

usando as correlações

anteriores e substituindo

g por gcos, nas regiões

onde o escoamento não é

3-D.

Nas regiões 3-D não há

correlações disponíveis

na literatura

Ts<T

Ts>T


Ts<T

Ts>T

-Placas horizontais:

força de empuxo só tem a

componente normal a superfície

placa superior - Ts>T

placa inferior - Ts<T

NuL 0.54RaL1/ 4

(104 RaL 10

7)

NuL 0.15RaL1/ 3

(107 RaL 10

11)

NuL 0.27RaL1/ 4

(105 RaL 10

10)

placa superior - Ts<T

placa inferior - Ts>T

44


46

Convecção Natural em Espaços Confinados

Resulta da complexa interação entre o fluido e todas as

paredes que o circundam

Podemos dividir os problemas em 2 tipos:

o espaços confinados aquecidos lateralmente

o espaços confinados aquecidos pela superfície inferior


47

Aquecimento lateral

Equações de conservação para

fluido incompressível, regime

transiente, propriedades

constantes, hipótese de

Boussinesq:

A solução das equações é

obtida numericamente


48

Além da CL térmica, as paredes laterais

desenvolvem jatos de velocidade (viscous wall

jets), de espessura δv.

Fora da CL térmica, δv pode ser obtido da eq. de

mom. Nesta região, o efeito do empuxo é pequeno:

inércia≈atrito.

Condição necessária para a troca de calor (RaH>1)

Dependendo de H/L-RaH , 4 regiões representando

um regime diferente em condições de regime

permanente pode ser identificado:


1: Limite de condução: a temperatura varia

linearmente através da cavidade. A troca de

calor entre os 2 lados é da ordem de kHΔT/L.

O gradiente de temperatura ΔT/L gera uma

recirculação (fraca) no sentido horário.

4. Limite para espaço confinado

raso: troca de calor é dominada

pela presença de CL térmicas

verticais (Q≈kHΔT/δ T,f). Este é

um valor máximo para Q, pois a

largura extensa da cavidade força

um isolamento na região central.

3. Limite para altos

RaH (reg. CL): CL

térmicas verticais

distintas ao longo das

paredes laterais.

Q≈kHΔT/δ T,f. O

centro da cavidade

fica praticamente

estagnado e

estratificado

termicamente.

2. Limite para alto espaço

confinado (H/L>>1):

temperatura varia

linearmente entre os 2

lados e Q≈kHΔT/L.

Recirculação no sentido

horário, com camadas

distintas no topo e no fundo

da cavidade.


50

ΔT tem que exceder um valor

crítico para o início do movimento

Cavidades com parede inferior aquecida


51

Cavidades com parede inferior aquecida ΔT tem que exceder um valor crítico para o início do movimento

Ra < RaL,c=1708, forças de empuxo são menores do que

as forças viscosas e não ocorre movimento

Troca de calor por condução.

•1708 < Ra < 5x104, movimento do fluido se dá em forma de

células igualmente espaçadas

•Para maiores valore de Ra, as células se quebram e o

movimento é turbulento

-Correlação de Globe e Dropkin

(para baixos H/L):

Nu =hL

k= 0.069RaH

1/ 3Pr

0.074

3x105 < RaH < 7x109

propriedades a Tm=(T1+T2)/2

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