Escola Básica e Secundária da Graciosa

Matemática A – 11.º Ano

Razões Trigonométricas dos Ângulos Generalizados

Referencial Ortonormado Direto

Quando o primeiro quadrante, considerado como ângulo orientado delado origem coincidente com o semieixo positivo �� e lado extremidadecoincidente com o semieixo negativo ��, tem orientação positiva.

Exemplos

O referencial representado é direto. O referencial representado não édireto.

Dado um referencial ortonormado direto, e dado um ângulo orientado�, existe um ângulo orientado de lado origem coincidente com osemieixo positivo �� e de amplitude igual a �

Se o lado extremidade desse ângulo se situar no 1. º, 2. º, 3. º ou4. º quadrante, diz-se que o ângulo pertence ao 1. º, 2. º, 3. º ou4. º quadrante, respetivamente.

Exemplos

O ângulo �, de amplitude 70°, pertence ao 1. ºquadrante.

O ângulo �, de amplitude 130°, pertence ao 2. ºquadrante.

O ângulo �, de amplitude 235°, pertence ao 3. ºquadrante.

Círculo Trigonométrico

Dado um referencial ortonormado num dado plano, a circunferência centrada naorigem desse referencial e de raio 1 designa-se por circunferência trigonométrica

Em geral, por abuso de linguagem, a circunferência trigonométricatambém se designa por círculo trigonométrico.

Seno e Cosseno de um Ângulo Orientado �

Dados um referencial ortonormado direto num dado plano e um ânguloorientado � desse plano representado neste referencial e sendo � o ponto deinterseção da circunferência trigonométrica com o lado extremidade do ânguloorientado de lado origem coincidente com o semieixo positivo �� e de amplitudeigual a �, define-se: O seno de � como a ordenada do ponto �; O cosseno de � como a abcissa do ponto �.

Se � for o ponto deinterseção do círculotrigonométrico com o ladoextremidade de um ângulode ângulo de amplitude �com origem no semieixopositivo ��, então: ��� � = ��; ��� � = ��

��� � = �;��� � = �

Os valores do seno e do cosseno de um ângulo não dependem daescolha do referencial.

Se � = (�; �) é um ângulo generalizado, tem-se: ��� � = ��� � ��� � = ��� �

Mais, de uma forma geral ��� (� + � × 360°) = ��� � ���(� + � × 360°) = ��� �

Sinal do Seno e do Cosseno de um Ângulo �

��� � é positivo com � nos 1. º e 2. º quadrantes, negativo nos restantes; ��� � é positivo com � nos 1. º e 4. º quadrantes; negativo nos restantes;

��� � ��� �

Os valores do seno e do cosseno de um ângulo � qualquer estãocompreendidos entre 0 e 1.

−1 ≤ ��� � ≤ 1 −1 ≤ ��� � ≤ 1

Mais, os valores de −1; 0 e 1 são atingidos em casos especiais,como se pode observar na tabela seguinte

� 0° 90° 180° 270°

��� � 0 1 0 −1

��� � 1 0 −1 0

Seno e Cosseno do simétrico de �

Sejam � um ângulo qualquer e � o ponto de interseção do lado extremidade de� com o círculo trigonométrico. Considerem-se o ângulo de amplitude −� e ��

análogo a �.

Como � e �′ são pontos do círculotrigonométrico então as suascoordenadas são dadas por(��� �; ��� �) e (���(−�); ���(�)),respetivamente.

Contudo, � e �′ são simétricos emrelação ao eixo �� . Logo, têm amesma abcissa e ordenadassimétricas.

Ou seja ��� −� = −��� � ��� −� = ��� �

Seno e Cosseno de ���° − �

Sejam � um ângulo qualquer e � o ponto de interseção do lado extremidade de� com o círculo trigonométrico. Considerem-se o ângulo de amplitude 180° − �e �� análogo a �.

Como �′ e � são pontos do círculotrigonométrico então as suascoordenadas são dadas por(���(180° − �); ���(180° − �)) e(��� �; ��� �) , respetivamente.

Contudo, � e �′ são simétricos emrelação ao eixo �� . Logo, têm amesma ordenada e abcissassimétricas.

Ou seja ��� 180° − � = ��� � ��� 180° − � = −��� �

Seno e Cosseno de ���° + �

Sejam � um ângulo qualquer e � o ponto de interseção do lado extremidade de� com o círculo trigonométrico. Considerem-se o ângulo de amplitude 180° − �e �� análogo a �.

Como �′ e � são pontos do círculotrigonométrico então as suascoordenadas são dadas por(���(180° + �); ���(180° + �)) e(��� �; ��� �) , respetivamente.

Contudo, � e �′ são simétricos emrelação à origem do referencial. Logo,têm coordenadas simétricas.

Ou seja ��� 180° + � = −��� � ��� 180° + � = −��� �