Escola Engenharia Universidade Presbiteriana Mackenzie Departamento de Engenharia Elétrica

Problemas resolvidos Problemas resolvidos Problemas resolvidos Problemas resolvidos –––– Tensões de Origem Térmica Tensões de Origem Térmica Tensões de Origem Térmica Tensões de Origem Térmica Problemas resolvidos – Tensões de Origem Térmica

EXEMPLO 1 (Beer, p.108, ex. 2.6) A barra de aço é perfeitamente ajustada aos anteparos fixos quando a temperatura é de +25οC. Determinar as tensões atuantes nas partes AC e CB da barra para temperatura de −50οC, e verificar se ocorrerá risco de escoamento do material. Usar E= 200 GPa, σY= 250 MPa e α=0,000012/ οC.

300mm

400mm2 800mm2

300mm

Unidades consistentes: N / mm / MPa (=N/mm2)

300mm

400mm2 800mm2

300mm

RA RBA B

C

300mm

400mm2 800mm2

300mm

RA RBA C B

Equação de Equilíbrio:

RRR

0RR−

0HΣ

BA

BA

==

=+

+=

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Artifício: Princípio da Superposição dos Efeitos

300mm

400mm2 800mm2

300mm

δTACTCB+δ

A

A

A

BC

R

TLTL CBACTCB

TAC

T ∆⋅α⋅+∆⋅α⋅=δ+δ=δ

mm54,0)2550(000012,0)300300(T −=−−⋅⋅+=δ

Equação de Compatibilidade:

Tδ=δ

T

CB

CB

AC

AC

AE

LR

AE

LRδ=

⋅

⋅+

⋅

⋅

54,0800200000

300R

400200000

300R=

⋅

⋅+

⋅

⋅

N96000R =

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400mm2 800mm2

96 kN 96 kN

A C B

96

A

Diagramaforças normais

N (kN)C B

+

240

120

A

Diagramatensões normais

(M )σ Pa

C B

++

)!!!escoounão(MPa250MPa240400

96000

A

N Y

AC

ACAC =σ<===σ

)!!!escoounão(MPa250MPa120800

96000

A

N Y

CB

CBCB =σ<===σ

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EXEMPLO 2 (Beer, p.117, prob. 2.38 modif.) Duas barras cilíndricas, uma de aço e outra de latão são ligadas em C e perfeitamente ajustadas aos anteparos fixos quando a temperatura é de + 25οC. Determinar as tensões atuantes no aço e no latão para temperatura de + 50οC, e verificar se ocorrerá risco de escoamento dos materiais. Utilizar para o aço E= 200 GPa, σY= 250 MPa e α=0,000012/ οC e para o latão E= 105 GPa, σY= 65 MPa e α=0,000020/ οC.

300mm

φ = 40mm φ = 30mm

200mm

A BC

AÇO LATÃO

Resp: mm19,0T +=δ ; N48864R = ; MPa9,38aço =σ ;

compressão)!!!escoou(MPa1,69latão =σ

EXEMPLO 3 (Beer, p.117, prob. 2.38 modif.) Duas barras cilíndricas, uma de aço e outra de latão são ligadas em C e perfeitamente ajustadas aos anteparos fixos quando a temperatura é de + 25οC. Qual a máxima temperatura que poderá ser atingida para que não ocorra o escoamento dos materiais. Utilizar para o aço E= 200 GPa, σY= 250 MPa e α=0,000012/ οC e para o latão E= 105 GPa, σY= 65 MPa e α=0,000020/ οC.

300mm

φ = 40mm φ = 30mm

200mm

A BC

AÇO LATÃO

Resp: C5,48Tmaxo=

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EXEMPLO 4 (Beer, p.122, prob. 2.57) Uma barra composta de duas porções cilíndricas AB e BC é engastada em ambas as extremidades. A porção AB é de latão (E=105 GPa; α= 20,9 x 10−6/oC) e a porção BC é de aço (E= 200 GPa; α= 11,7 x 10−6/oC). Sabendo-se que a barra está inicialmente sem tensão, determinar: (a) as tensões normais induzidas nas porções AB e BC, por uma temperatura aumentada de 30oC; (b) a correspondente deflexão no ponto B.

Resposta: (a) σAB= −44,8 MPa ; σBC= −100,7 MPa

(b) δB= 0,153 mm (↓)

EXEMPLO 5 (Beer, p.122, prob. 2.58) Uma barra composta de duas porções cilíndricas AB e BC é engastada em ambas as extremidades. A porção AB é de aço (E=200 GPa; α= 11,7 x 10−6/oC) e a porção BC é de latão (E= 105 GPa; α= 20,9 x 10−6/oC). Sabendo-se que a barra está inicialmente sem tensão, determinar: (a) as tensões normais induzidas nas porções AB e BC, por uma temperatura de 50oC; (b) a correspondente deflexão no ponto B.

Resposta: (a) σAB= −201,8 MPa ; σBC= −72,6 MPa

(b) δB= 0,106 mm (↑)

φ = 75mm

φ = 50mm1000mm

760mm

A

B

C

AÇO

LATÃO

φ = 30mm

φ = 50mm300mm

250mm

A

B

C

AÇO

LATÃO

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EXEMPLO 6 (Beer, p.118, prob. 2.43)

EXEMPLO 7 (Beer, p.124, prob. 2.63)

EXEMPLO 8 (Beer, p.124, prob. 2.62)

EXEMPLO 9 (Beer, p.124, prob. 2.64)

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EXEMPLO 10 (Beer, p.120, prob. 2.49)

EXEMPLO 11 (Beer, p.123, prob. 2.61)

EXEMPLO 12 (Beer, p.124, prob. 2.65)

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EXEMPLO 13 (Beer, p.117, prob. 2.38)

Respostas dos principais problemas

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