De volta a uma prova clássica!!! Divirtam-se...

Você já deve ter percebido: - Cada atividade é de um jeito.

Alguns trabalhos lhe pressionam quanto ao prazo, outros; quanto á precisão dos resultados

numéricos, outros; dependem de estudos teóricos e analíticos. Algumas vezes o trabalho é

individual, outras vezes parte de uma equipe multidisciplinar e algumas vezes parte de uma

equipe desastrosa. Algumas respostas dependem de “esperteza”, outras, de profundo

conhecimento sobre o assunto e algumas, dependem puramente de trabalho braçal.

Desta vez, nada de histórias. O desafio é realizar um projeto com começo, meio e fim.

Tempo não será problema. Mas o trabalho será longo e cansativo. Sejam rápidos, sejam

espertos e, desta vez, acima de tudo, sejam criteriosos.

Uma barcaça com as dimensões dadas na figura anexa é constituída de casco (até o convés

dos tanques de lastro) em aço e superestrutura em alumínio.

As condições de navegação (projeto) são as seguintes:

• Somente podem ser lastreados os tanques T2 e T5 com água doce. Os tanques T2 e T5,

por questões de estabilidade, devem sempre possuir o mesmo volume de lastro.

• A barcaça deve navegar com calado mínimo de segurança de 4 metros.

• A barcaça deve transportar uma carga de 2700 ton. Igualmente distribuída em um

comprimento de 40 metros.

• O deslocamento leve da barcaça é de 6100 ton.

PARTE A – Equilíbrio da Viga Navio: Determine:

a) A quantidade de lastro nos tanques T2 e T5 e a posição longitudinal da carga para que a

barcaça navegue sem trim. (Determine a posição da carga com precisão de zero casas decimais.)

b) As curvas de carga q1(x), q2(x) e q3(x).

c) A curva de carga q(x).

d) O Diagrama de Força Cortante Q(x)

e) O Diagrama de Momento Fletor M(x)

f) A posição das secções críticas e o tipo de esforço (Alquebramento ou Tosamento) atuante na

barcaça.

Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Departamento de Engenharia Naval e Oceânica PNV 2433 - Mecânica da Estrutura de Embarcações

Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Departamento de Engenharia Naval e Oceânica PNV 2433 - Mecânica da Estrutura de Embarcações

Form. Técnico 2003

PROVA 1 – Estrutura Primária

Nome: GABARITO n.USP:

PARTE B – Distribuição das Tensões Primárias: Determine:

g) A secção equivalente em aço.

h) A posição da linha neutra da secção equivalente.

i) O momento de inércia da seção equivalente em relação à linha neutra.

j) A distribuição da Tensão Normal devido a Flexão da Viga-Navio na secção equivalente.

k) A distribuição da Tensão Normal devido a Flexão da Viga-Navio na secção real.

l) Determine o momento estático de área da secção equivalente em relação à linha neutra.

m) Determine a distribuição da Tensão de Cisalhamento devido aos esforços transversais

atuantes na Viga-Navio, na secção equivalente.

n) Determine a distribuição da Tensão de Cisalhamento devido aos esforços transversais

atuantes na Viga-Navio, na secção real.

Faça as hipóteses que achar adequadas. NÃO PERCA TEMPO calculando parcelas

insignificantes e identifique CLARAMENTE cada parcela computada. PERCAM A MANIA DE ESCREVER NA MESA! ESCREVAM NA PROVA!

Vista Lateral da Barcaça: T1 T2 T3 T4 T5 40 m 40 m 40 m 40 m 40 m Vista Lateral da Carga: 2700 ton

40 m

Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Departamento de Engenharia Naval e Oceânica PNV 2433 - Mecânica da Estrutura de Embarcações

PROVA 1 – Estrutura Primária

Nome: GABARITO n.USP:

4 m

4 m

Form. Técnico 2003

Formulário

Secção da Barcaça Estudada:

5 10 5

4

4

Ealuminio / Eaço = 1 / 3

5 5 5 5 Espessuras:

• Conveses Superiores, Costados Superiores e Convés Médio: t = 21 mm

• Costados Inferiores e Fundo do Navio: t = 40 mm Material:

• Conveses Superiores, Costados Superiores e Sicordas: Alumínio

• Costados Inferiores, Convés Médio, Fundo do Navio e Quilhas: Aço

Secção da Quilha, Sicordas e Quilhas Laterais:

400 x 20 mm 400 x 40 mm

Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Departamento de Engenharia Naval e Oceânica PNV 2433 - Mecânica da Estrutura de Embarcações

PROVA 1 – Estrutura Primária

Nome: GABARITO n.USP:

Form. Técnico 2003

aço

AmaterialA

xyA

realxy EE*, ττ =

A

A

LNção

çãoAxy t

MsIQ

*sec

sec=τ

LNção

AçãoA

xx IyM

sec

sec *=σ

PARTE A – Equilibrio da Viga Navio Vista Lateral da Carga: 2700 ton

40 m Vista Lateral da Barcaça: T1 T2 T3 T4 T5 40 m 40 m 40 m 40 m 40 m

a1) Determinação da Quantidade de Lastro:

Equilibrio Vertical: Peso Leve + Cargas = Flutuação

Peso Leve = 6100 ton

Cargas = 2700 ton + Lastro T1 + Lastro T5

Flutuação:

Calado mínimo de segurança = 4 m

Flutuação = 4 * Calado * Ltanque 2,3,4,5 * Boca + (Calado * Ltanque 1 * Boca) / 2

Ltanque 1 = ( 40 / 8 ) * Calado = 20 m

Flutuação = 4 * 40 * 40 * 20 + (4 * 20 * 20) / 2

Flutuação = 12800 + 800 = 13600 m3

Considerando ρágua = 1 ton / m3

Flutuação = 13600 ton

4 m

4 m

4 m

4 m T1

40 m

20 m

Portanto partindo da Equação do Equilibrio Vertical da Embarcação:

Peso Leve + Cargas = Flutuação

6100 + 2700 + Lastro T1 + Lastro T5 = 13600 (ton)

Sabe-se que devido a estabilidade Lastro T1 = Lastro T5 e portanto:

Lastro T1 = Lastro T5 = 2400 ton

Admitindo-se que o Lastro será preenchido com água doce com ρágua = 1 ton / m3

Lastro T1 = Lastro T5 = 2400 m3

a2) Determinação da Posição Longitudinal da Carga:

Equilibrio de Momentos em Relação a Proa:

LCGPeso Leve * Peso Leve + LCGCarga * Carga = LCBFlutuação * Flutuação

Ou como: Peso Leve + Carga = Flutuação então:

LCGDeslocamento Total = LCBFlutuação

LCBFlutuação:

LCBFlutuação * Flutuação = (4 * H * Lt-2,3,4,5 * B) * LCBt-2,3,4,5 + (H * Lt-1 * B) / 2 * LCBt-1

LCBFlutuação * 13800 = 12800 * LCBt-2,3,4,5 + 800 * LCBt-1

Posições calculadas em relação a proa do navio

LCBt-1 = 20 + 2/3 * 20 = 33 m

LCBt-2,3,4,5 = 120 m

LCBFlutuação * 13800 = 12800 * 33 + 800 * 120

LCBFlutuação = 114.90 m ≈ 115 m (da Proa)

4 m

4 m T1

40 m

LCBt-1

Assumindo que o Peso Leve se distribui uniformemente ao longo da barcaça:

LCGPeso Leve = 100 m

Portanto partindo da Equação do Equilibrio de Momentos em Relação a Proa:

LCGPeso Leve * Peso Leve + LCGCarga * Carga = LCBFlutuação * Flutuação

100 * 6100 + LCGCarga * 2700 = 115 * 13600

Resolvendo adequadamente:

LCGCarga = 139.5 m ≈ 140 m (da Proa)

Assim a carga colocada exatamente sobre o tanque 4 garante a navegação sem trim.

b) Curvas de Cargas:

Assumindo que o Peso Leve se distribui uniformemente ao longo da barcaça:

q1(x) = peso leve = 6100 / 200 = 30.5 ton / m

Curva de Carga (Peso Leve) q1(x) ton/m

0.0

5.0

10.0

15.0

20.0

25.0

30.0

35.0

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

Observação: Alguns alunos, na tentativa de serem mais precisos, calcularam o LCG do casco considerando a forma real. Neste caso a distribuição do peso leve deve também seguir a forma real do casco, pois do contrário o navio estará desequilibrado, resultando em um erro muito maior do que a hipótese do peso distribuído uniformemente ao longo do casco.

q2(x) = Lastro + Carga

(Carga) q2(x) = 2700 / 40 = 67.5 ton / m (120 m < x < 160 m)

(Lastro) q2(x) = 2400 / 40 = 60 ton / m (40 m < x < 80 m) e (160 m < x < 200 m)

Curva de Carga (Lastro + Carga) q2(x) ton/m

-10.0

0.0

10.0

20.0

30.0

40.0

50.0

60.0

70.0

80.0

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

q3(x) = flutuação

(trecho 0-20) q3(x) = 0 ton / m (0 m < x < 20 m)

(trecho 20-40) q3(x) = -4(x-20) ton / m (20 m < x < 40 m)

(trecho 40-200) q3(x) = B * H = 80 ton / m (40 m < x < 200 m)

Curva de Flutuação q3(x) ton/m

-90.0

-80.0

-70.0

-60.0

-50.0

-40.0

-30.0

-20.0

-10.0

0.0

10.0

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

Observação: Alguns alunos inverteram os nomes das curvas, ou mesmo separaram o carregamento real em 4 parcelas, dividindo o q2(x) em duas parcelas distintas. Realmente não existe nenhuma norma rigorosa para isto. Exige-se apenas coerência entre os resultados. O mesmo pode-se dizer do sinal de q3(x) que poderia ser positivo sem perda real de conceito.

c) Curva de Carga q(x)

q(x) = q1(x) + q2(x) + q3(x)

X Local

Trecho q1 q2 q3 q(x) m ton/m ton/m ton/m ton/m

A-B 0-20 30.5 0 30.5 B-C 20-40 30.5 -4x 30.5-4x C-D 40-80 30.5 60 -80 10.5 D-E 80-120 30.5 -80 -49.5 E-F 120-160 30.5 67.5 -80 18 F-G 160-200 30.5 60 -80 10.5

Curva de Carga q(x) ton/m

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

d) Diagrama de Força Cortante Q(x)

Método Analítico, utilizando x Local:

X Local Trecho q1 q2 q3 q(x) Q(x) M(x) m ton/m ton/m ton/m ton/m ton ton*m

A-B 0-20 30.5 0 30.5 30.5x+Q(A) 15.25x²+Q(A)x+M(A)B-C 20-40 30.5 -4x 30.5-4x 30.5x-2x²+Q(B) 15.25x²-2x³/3+Q(B)x+M(B)C-D 40-80 30.5 60 -80 10.5 10.5x+Q(C) 5.25x²+Q(C)x+M(C)D-E 80-120 30.5 -80 -49.5 -49.5x+Q(D) -49.5x²/2+Q(D)+M(D)E-F 120-160 30.5 67.5 -80 18 18x+Q(E) 9x²+Q(E)+M(E)F-G 160-200 30.5 60 -80 10.5 10.5x+Q(F) 5.25x²+Q(F)x+M(F)

A B C D E F G

X Global Ponto Trecho X Local q(x) Q(x) M(x) m m ton/m Ton ton*m 0 A A-B 0 30.5 0 020 B A-B 20 30.5 610 6100

27.625 P1 B-C 7.625 0 726 1134240 C B-C 20 -49.5 420 1906780 D C-D 40 10.5 840 44267

96.97 P2 D-E 16.970 -49.5 0 51394120 E D-E 40 -49.5 -1140 38267160 F E-F 40 18 -420 7067200 G F-G 40 10.5 0 -1333

Determinando o ponto P1

mX

mX

P

P

625.27625.720

625.7

20)5.49(5.30

5.30

1

1

=+=

=−−=∆

Diagram a de Força Cortante Q(x) ton

-1250

-1000

-750

-500

-250

0

250

500

750

1000

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

A B C D E F G

P1

Determinando o ponto P2

mX

mX

P

P

97.9697.1680

97.16

40)1140(840

840

2

2

=+=

=−−=∆

e) Diagrama de Momento Fletor M(x)

Mom ento Fletor M(x) ton*m

-10000

0

10000

20000

30000

40000

50000

60000

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

f) A secção localizada em P1, com x = 27.625 m a partir da proa da barcaça é

critica, pois é a secção submetida à máxima Força Cortante. Já a secção localizada

em P2, com x ≈ 97 m a partir da proa da barcaça é crítica, pois é a secção submetida

ao máximo Momento Fletor.

Partindo da Curva de Carga q(x) pode-se substituir as cargas atuantes pelo

conjunto de 3 forças tais que:

A B C D E F G

P1 P2

A partir desta configuração é fácil analisar que a viga navio na secção P2 sofre

tração na fibra superior (convés superior) e compressão na fibra inferior (fundo),

caracterizando um esforço de alquebramento.

Observação: Alguns alunos continuam usando o Diagrama de Momento Fletor para caracterizar o tipo de esforço atuante na viga navio. Essa abordagem é perfeitamente válida, desde que tenha existido reflexão sobre o desenho do Diagrama de Momento Fletor, porque na maioria dos casos, como não existe um rigor exagerado no Diagrama de Momento Fletor, em geral este é desenhado de “qualquer forma”, utilizando qualquer sinal, e por isso não serve para justificar a caracterização do esforço atuante.

REFAZENDO UTILIZANDO O MÉTODO DAS ÁREAS

d) Diagrama de Força Cortante Q(x)

Método das Áreas:

A1 = 30.5 * 20 = 610 ton A2 = 30.5 * 7.625 / 2 = 116.3 ton A3 = 49.5 * 12.375 / 2 = 306.3 ton A4 = 10.5 * 40 = 420 ton Determinando P1: A5 = 49.5 * 40 = 1980 ton A6 = 18 * 40 = 720 ton A7 = 10.5 * 40 = 420 ton

A1

A4 A6 A7

A5

A2

A3

mX

mX

P

P

625.27625.720

625.7

20)5.49(5.30

5.30

1

1

=+=

=−−=∆

Diagram a de Força Cortante Q(x) ton

-1250

-1000

-750

-500

-250

0

250

500

750

1000

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

Q(A) = 0 ton

Q(B) = A1 = 610 ton

Q(P1) = A1 + A2 = 610 + 116.3 = 726.3 ton

Q(C) = A1 + A2 – A3 = 726.3 - 306.3 = 420 ton

Q(D) = A1 + A2 – A3 + A4 = 420 + 420 = 840 ton

Q(E) = A1 + A2 – A3 + A4 – A5 = 840 – 1980 = - 1140 ton

Q(F) = A1 + A2 – A3 + A4 – A5 + A6 = - 1140 + 720 = - 420 ton

Q(G) = A1 + A2 – A3 + A4 – A5 + A6 + A7 = - 420 + 420 = 0 ton

e) Diagrama de Momento Fletor M(x)

A B C D E F G

P1

B1 B3 B4 B5 B2 B6 B7 B8

B1 = 610 * 20 / 2 = 6100 ton * m B2 = (610 + 726.3) / 2 * 7.625 = 5095 ton * m

B3 = (726.3 + 420) / 2 * 12.375 = 7093 ton * m

B4 = (420 + 840) / 2 * 40 = 25200 ton * m Determinando P2

B5 = 840 * 17 / 2 = 7140 ton * m

B6 = 1140 * 23 / 2 = 13110 ton * m

B7 = (1140 + 420) / 2 * 40 = 31200 ton * m

B8 = 420 * 40 / 2 = 8400 ton * m

Os trechos são lineares, exceto o trecho B-C que é quadrático, concavidade ∩ e máximo em P1.

Observação: Visto que a barcaça apresenta formas mais complexas, e, portanto um carregamento mais complexo na região de proa, pode ser mais interessante começar a traçar o diagrama a partir da popa da barcaça, além de obter valores ligeiramente mais precisos o desenho do diagrama torna-se mais fácil.

Mom ento Fletor M(x) ton*m

-10000

0

10000

20000

30000

40000

50000

60000

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

M(A) = 0 ton * m

M(B) = B1 = 6100 ton * m

M(P1) = B1+ B2 = 6100 + 5095 = 11195 ton * m

M(C) = B1 + B2 + B3 = 11195 + 7093 = 18288 ton * m

M(D) = B1 + B2 + B3 + B4 = 18288 + 25200 = 43488 ton * m

M(P2) = B1 + B2 + B3 + B4 + B5 = 43488 + 7140 = 50628 ton * m

M(E) = B1 + B2 + B3 + B4 + B5 – B6 = 50628 – 13110 = 37518 ton * m

M(F) = B1 + B2 + B3 + B4 + B5 – B6 – B7 = 37518 – 31200 = 6318 ton * m

M(G) = B1 + B2 + B3 + B4 + B5 – B6 – B7 – B8 = 6318 – 8400 = -2082 ton * m

Os trechos são quadráticos, exceto o trecho B-C que é cúbico crescente com inflexão em P1.

A B C D E F G

P1 P2

mX

mX

P

P

97.9697.1680

97.16

40)1140(840

840

2

2

=+=

=−−=∆

Comentário:

Mom ento Fletor M(x) ton*m

-10000

0

10000

20000

30000

40000

50000

60000

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

É interessante observar que em Engenharia, mais importante do que o resultado é a sensibilidade e a discussão do mesmo. Aqueles que fizeram uma boa prova, chegaram ao final da parte A, com uma questão interessante: O diagrama de Momento Fletor não resulta em zero. Para aqueles que fizeram a prova pelo método analítico, obtiveram -1333 ton * m. A maioria ignorou este valor, ou atribui-o a aproximações de contas. No entanto uma das provas teve a sensibilidade que eu esperava e buscou a fonte dessa diferença, que não está em aproximações de contas, mas sim na aproximação da posição longitudinal da carga. Ao aproximar o LCGcarga de 139.51 m para 140 m da proa do navio, provocou-se o desequilíbrio do navio, resultando em um gráfico de Momento Fletor não equilibrado.

mtonmtonLCGaCPesoMomento ac *133349.0*2700*arg arg ===∆

Aqueles que fizeram a prova pelo método das áreas, obtiveram uma diferença da ordem de -2000 ton*m, sendo que 666 ton * m se deviam a aproximação da parábola do trecho A-B da Força Cortante por dois tramos de reta, e, portanto teriam uma dificuldade maior em entender este comentário. Um engenheiro prudente deveria somar 1333 ton * m aos valores de Momento Fletor em posições posteriores a posição da carga.

Um comentário importante: Existem 2 condições de equilibrio que devem ser atendidas em um navio equilibrado. Ao errar a quantidade de lastro nos tanques, o navio passa a não atender a condição de equilibrio vertical (Peso Total = Flutuação) e portanto o diagrama de Força Cortante não apresenta valor nulo dos extremos.

Mas ao errar a posição longitudinal da carga, o navio passa a não atender a segunda condição de equilibrio (LCG = LCB) e, embora o diagrama de Força Cortante apresente valor nulo nos extremos, o diagrama de Momento Fletor estará desequilibrado e não apresentará valores nulos nos extremos.

PARTE B – Distribuição das Tensões Principais na secção da barcaça. Secção da Barcaça (dimensões em metros)

5 10 5

4

4

5 5 5 5 Espessuras:

• Conveses Superiores, Costados Superiores e Convés Médio: t = 21 mm

• Costados Inferiores e Fundo do Navio: t = 40 mm Material:

• Conveses Superiores, Costados Superiores e Sicordas: Alumínio

• Costados Inferiores, Convés Médio, Fundo do Navio e Quilhas: Aço

g) Determinando a secção equivalente em aço: Para obter a secção equivalente, deve-se multiplicar a espessura das chapas pelo quociente do módulo de elasticidade do material da chapa pelo módulo de elasticidade do aço. Para secções compostas de aço e alumínio, deve-se dividir a espessura das chapas de alumínio por 3.

5 10 5

4

4

5 5 5 5

Espessuras:

• Conveses Superiores, Costados Superiores: t = 7 mm

• Convés Médio: t = 21 mm

• Costados Inferiores e Fundo do Navio: t = 40 mm

• Área da quilha, e das 2 quilhas laterais: 0.024 m2 , cada.

• Área das 2 sicordas: 0.008 m2, cada. h) Determinando a posição da linha neutra da secção transformada:

SecçãoAreaYA

Y quilhaiiLN

∑= )*( ,

Convés Superior: A1*Y1,quilha = 2 * (5 * 0.007) * 8 = 0.56 m3

A1 = 2 * (5 * 0.007) = 0.07 m2

Sicordas: A2*Y2,quilha = 2 * (0.008)* 8 = 0.128 m3

A2 = 2 * (0.008) = 0.016 m2

Convés Médio: A3*Y3,quilha = (20 * 0.021) * 4 = 1.68 m3

A3 = (20 * 0.021) = 0.42 m2

Costados Superiores: A4*Y4,quilha = 2 * (4 * 0.007) * 6 = 0.336 m3

A4 = 2 * (4 * 0.007) = 0.056 m2

Costados Inferiores: A5*Y5,quilha = 2 * (4 * 0.040) * 2 = 0.64 m3

A5 = 2 * (4 * 0.040) = 0.32 m2

Convés Inferior e Quilhas: A6*Y6,quilha = (20 * 0.040) * 0 + 3 * (0.024) * 0 = 0.0 m3

A6 = (20 * 0.040) + 3 * 0.024 = 0.872 m2

Atenção: Momento de Área Desprezível, mas a Área precisa ser considerada.

mSecçãoAreaYA

Y quilhaiiLN 91.1

754.1344.3

872.032.0056.042.0016.007.0064.0336.068.1128.056.0)*( , ==

++++++++++

== ∑

LN

i) Determinando o Momento de Inércia da Secção em Relação à Linha Neutra:

∑ += )( ,, transfipiLN III

Convés Superior: I1,p = 2 * 5 * 0.0073 / 12 ≈ 0 m4

I1,transf = 2 * 5 * 0.007 * (8 - 1.91)2 = 2.60 m4

Sicordas: I2,p = 2 * 0.05 * 0.053 / 12 ≈ 0 m4

I2,transf = 2 * 0.008 * (8 - 1.91)2 = 0.59 m4

Convés Médio: I3,p = 20 * 0.0213 / 12 ≈ 0 m4

I3,transf = 20 * 0.021 * (4 - 1.91)2 = 1.84 m4

6.09 1.91

Costados Superiores: I4,p = 2 * 0.007 * 43 / 12 = 0.075 m4

I4,transf = 2 * 0.007 * 8 * (6 - 1.91)2 = 0.94 m4

Costados Inferiores: I5,p = 2 * 0.040 * 43 / 12 = 0.43 m4

I5,transf = 0.040 * 4 * (2 - 1.91)2 = 0.003 m4

Convés Inferior: I6,p = 20 * 0.0403 / 12 ≈ 0 m4

I6,transf = 20 * 0.040 * (0 - 1.91)2 = 2.91 m4

Quilha e Quilhas Laterais: I7,p = 3 * 0.15 * 0.153 / 12 ≈ 0 m4

I7,transf = 3 * 0.024 * (0 - 1.91)2 = 0.26 m4

4

,,

65.926.0091.2000.043.094.008.084.1059.0060.20

)(

mI

III

LN

transfipiLN

=+++++++++++++=

+= ∑

j) Determinando a distribuição da Tensão Normal, na secção transformada:

LN

LNquilaxx I

YYFletorMomemnto )(*max −=σ

A σ Axx

LN

B σ Bxx

MPakPamtonm

mmtonAxx 7.324324660/32466

65.909.6**51394 2

4 ====σ (tração)

MPakPamtonm

mmtonBxx 6.101101580/10158

65.991.1**51394 2

4 ====σ (compressão)

6.09

1.91

k) Determinando a distribuição da Tensão Normal, na secção original:

LN

LNquila

aço

materialrealxx I

YYFletorMomemntoE

E )(** max

,

−=σ

A σ Axx

LN Mudança de Material

B σ Bxx

MPakPamtonm

mmtonArealxx 2.108108220/10822

65.909.6**51394

*31 2

4, ====σ (tração)

MPakPamtonm

mmtonCrealxx 2.3737180/3718

65.90.4**51394

*31 2

4, ====σ (tração)

MPakPamtonm

mmtonDrealxx 5.111111540/11154

65.90.4**51394

*11 2

4, ====σ (tração)

MPakPamtonm

mmtonBrealxx 102101580/10158

65.991.1**51394

*11 2

4, ====σ (compressão)

l) Determine o momento estático de área da secção equivalente em relação à linha neutra:

0)*( sec2/1sec2/1 =−=−==Μ ∑ GGInfção

Supçãoii

LNSecção MsMsMsMsyAs

É a própria definição de Linha Neutra. Momento de Área tem sinal!!!

Demonstração rigorosa, encontrada em uma das provas.

0*)*(

)()*()*()*())(*(

sec,

,,,

=Μ−Μ=−=Μ

−=−=−=Μ

∑∑∑∑∑∑

quilhaSecção

quilhaSecçãoçãoLNquilhaii

LNSecção

iLNquilhaiiLNiquilhaiiLNquilhaiiLNSecção

ssAyyAs

AyyAyAyAyyAs

Essa demonstração não era necessária, mas foi muito bem vista.

6.09

1.91

C

D

m) Determinando o Momento Estático ao longo da secção transformada:

A B

C

LN

H

cortedouralt

BraçoAreadaysA

LN

arg

*

=

==Μ ∫

A

MsA = (0*0.007)*(8-1.91) = 0 m3

LN t A = 7 mm

B

MsB = ((5*0.007)+0.008)*(8-1.91)

MsB = 0.262 m3

t B = 7 mm

C MsC = (0*0.021)*(4-1.91) = 0 m3

LN t C = 21 mm

D MsD = (10*0.021)*(4-1.91) = 0.440 m3

LN t D = 21 mm

G

6.09

1.91

6.09

1.91

6.09

1.91

LN

6.09

1.91

MsE = MsB+(4*0.007)*(6-1.91)

MsE = 0.377 m3

t E = 7 mm

F MsF = MsE + MsD = 0.816 m3

LN t F = 40 mm

MsG = MsF+(4-1.91)*0.040*(4-1.91)/2

Ms G = 0.904 m3

t G = 40 mm

MsH = (0*0.040)*(0-1.91) = 0 m3

t H = 40 mm

H

MsI = ((10*0.040)+0.036)*(0-1.91)

MsI = 0.831 m3

t I = 40 mm

I Importante: Observe que foi considerada apenas ½ área da quilha. Pois esta está sobre a linha de simetria. Se considerarmos a área total, estamos analisando um navio com 4 quilhas ao invés de 3.

6.09

1.91

E

LN

6.09

1.91

6.09

1.91

G LN

6.09

1.91

LN

6.09

1.91

LN

MsG = MsI + (1.91*0.040) * 1.91/2

MsG = 0.904 m3

t G = 40 mm

Verificação: o MsG calculado por cima da linha neutra é igual ao MsG calcula por baixo

da linha neutra logo os cálculos de momento de área estão corretos.

n) Determinando a Tensão Cisalhamento nos pontos chaves da secção transformada:

A B

C

LN

H

pontoLNçao

ponto

xy cortedeuralIMsMáximateCorForça

arg**tan

,sec

=τ

MPamtont

MsI

QA

AAxy 0/0

007.00*

65.91140* 2

ln

max ====τ

MPamtont

MsI

QB

BBxy 194/19403

007.0262.0*

65.91140* 2

ln

max ====τ

MPamtont

MsI

QC

CCxy 0/0

021.00*

65.91140* 2

ln

max ====τ

6.09

1.91

G

LN

D E F I

G

MPamtont

MsI

QD

DDxy 109/10852

021.0440.0*

65.91140* 2

ln

max ====τ

MPamtont

MsI

QE

EExy 279/27890

007.0377.0*

65.91140* 2

ln

max ====τ

MPamtont

MsI

QF

FFxy 106/10578

040.0816.0*

65.91140* 2

ln

max ====τ

MPamtont

MsI

QG

GGxy 117/11714

040.0904.0*

65.91140* 2

ln

max ====τ

MPamtont

MsI

QH

HHxy 0/0

040.00*

65.91140* 2

ln

max ====τ

MPamtont

MsI

QI

IIxy 108/10772

040.0831.0*

65.91140* 2

ln

max ====τ

A B

C Mudança de Espessura

LN

H

Observa-se que neste caso o cisalhamento máximo não está sobre a linha neutra, este fato decorre da mudança de material existente ao longo da secção. No trecho da secção feito de aço, o maior valor encontra-se na linha neutra. Já no trecho da secção feito de aluminio o maior valor de cisalhamento encontra-se no ponto mais próximo a linha neutra.

D E F I

G

m) Determinando a Tensão Cisalhamento nos pontos chaves da secção original:

A B

C

LN

H

pontorealLNçao

ponto

xy cortedeuralIMsMáximateCorForça

arg**tan

,sec

=τ

MPamtontMs

IQ A

xyAreal

AA

xyreal 0/03007.0

0*65.9

1140* 2

ln

max, =====

ττ

MPamtontMs

IQ B

xyBreal

BB

xyreal 65/64683007.0

262.0*65.9

1140* 2

ln

max, =====

ττ

MPamtontMs

IQ

Creal

CC

xyreal 0/0021.00*

65.91140* 2

ln

max, ====τ

MPamtontMs

IQ

Dreal

DD

xyreal 109/10852021.0440.0*

65.91140* 2

ln

max, ====τ

MPamtontMs

IQ E

xyEreal

EE

xyreal 93/92973007.0

377.0*65.9

1140* 2

ln

max, =====

ττ

MPamtontMs

IQ

Freal

FF

xyreal 106/10578040.0816.0*

65.91140* 2

ln

max, ====τ

MPamtontMs

IQ

Greal

GG

xyreal 117/11714040.0904.0*

65.91140* 2

ln

max, ====τ

D E F I

G

D E F I

G

MPamtontMs

IQ

Hreal

HH

xyreal 0/0040.00*

65.91140* 2

ln

max, ====τ

MPamtontMs

IQ

Ireal

II

xyreal 108/10772040.0831.0*

65.91140* 2

ln

max, ====τ

A B

C

LN

H

Observa-se que, corrigida a distribuição do cisalhamento da secção equivalente para a secção real, neste caso o cisalhamento máximo está sobre a linha neutra, como era o esperado. Espero que tenham gostado da prova... PARABÉNS a todos os alunos que a fizeram, pois todos sem exceção fizeram boas provas, e a maior parte dos erros se deve a distrações, cansasso e erros naturais de conta.

Thiago Pontin Maio de 2004