Esforço Cortante

Teoria e Prtica na Engenharia Civil, n.21, p.1-11, Maio, 2013

Dimensionamento toro de vigas de concreto armado

Design for torsion of reinforced concrete beams

Jos Milton de Arajo Escola de Engenharia FURG Rio Grande, RS

e-mail: [email protected] RESUMO: Neste trabalho feito um estudo comparativo dos mtodos de dimensionamento de vigas de concreto armado submetidas toro, apresentados nas principais normas de projeto. Atravs de um exemplo numrico, mostra-se a discrepncia entre esses mtodos. Finalmente, a confiabilidade dos mtodos de projeto verificada por comparao com resultados experimentais disponveis. ABSTRACT: In this work, we make a comparative study of the design methods for reinforced concrete beams subjected to torsion, present in the main design codes. Through a numerical example, there is shown a discrepancy between these design methods. Finally, the reliability of the design methods is verified by comparison with experimental results available. 1. INTRODUO De um modo geral, as vigas dos edifcios de concreto armado esto submetidas flexo com toro. Usualmente, a toro dividida em duas categorias: a toro de compatibilidade e a toro de equilbrio. A toro de compatibilidade surge como consequncia do impedimento ao giro das vigas. O exemplo tpico o das vigas de borda, ligadas monoliticamente s lajes de piso. Enquanto essa ligao se encontra no estdio I, a laje funciona como engastada elasticamente na viga. O momento fletor negativo na borda da laje transmitido viga como um momento toror por unidade de comprimento. Em geral, essa toro no essencial ao equilbrio e desaparece, ou torna-se insignificante, aps a fissurao do concreto. Por isso, normalmente no se considera a toro de compatibilidade no projeto das vigas de concreto armado. Por outro lado, h situaes em que a toro essencial ao equilbrio, como ocorre com as vigas de sustentao de marquises e de escadas em balano. Nesses casos, a viga deve ser dimensionada flexo com toro, obrigatoriamente. As normas de projeto das estruturas de concreto armado [1-6] permitem que se faa um

dimensionamento em separado para o momento fletor de clculo dM , para o esforo cortante de clculo dV e para o momento toror de clculo

dT . Aps esses dimensionamentos, faz-se a superposio das armaduras. O dimensionamento para o esforo cortante e para o momento toror so feitos com base no modelo de trelia de Mrsch, adotando-se uma trelia plana para o esforo cortante e uma trelia espacial para a toro. A interao entre dV e dT levada em conta na verificao do esmagamento das bielas comprimidas dessas trelias. O objetivo desse trabalho comparar os mtodos de dimensionamento toro prescritos nas principais normas de projeto: NBR-6118/80 [1], NBR-6118/2013 [2], CEB/78 [3], CEB/90 [4], EC2 [5] e ACI [6]. A validao desses mtodos testada por comparao com resultados experimentais disponveis na bibliografia. 2. MTODOS DE DIMENSIONAMENTO TORO Todas as normas citadas empregam o modelo de trelia espacial de Mrsch para o dimensionamento toro das vigas de concreto armado. A trelia formada por bielas de compresso, estribos verticais e barras longitudinais. Em geral, admite-se que as bielas de


2

compresso possuam uma inclinao de 45 em relao ao eixo da viga. Nesse modelo, uma seo macia substituda por uma seo vazada equivalente. As normas de projeto diferem entre si na definio dessa seo vazada equivalente e no limite de resistncia das bielas de compresso da trelia. Por outro lado, todas as normas admitem trs modos de ruptura de uma viga submetida toro: ruptura por esmagamento das bielas; ruptura por escoamento dos estribos; ruptura por escoamento das barras longitudinais. Cada um desses modos de ruptura corresponde a um momento toror de clculo resistente RdT . A seguir, apresentam-se as expresses desses momentos resistentes. A) Ruptura por esmagamento das bielas O momento toror resistente 2RdT , correspondente ao limite de resistncia das bielas de concreto, dado por

tAT etuRd 22 = (1) onde eA a rea limitada pela linha mdia da seo vazada equivalente e t a espessura da parede dessa seo vazada. A tenso limite de clculo tu varia conforme a norma de projeto. B) Ruptura por escoamento dos estribos O momento toror resistente 3RdT , correspondente ao escoamento dos estribos, dado por

ywdes

Rd fAsA

T

= 13 2 (2) onde 1sA a rea da seo transversal de um estribo, S o espaamento e ywdf a tenso de escoamento de clculo dos estribos. C) Ruptura por escoamento das barras longitudinais

O momento toror resistente 4RdT , correspondente ao escoamento da armadura longitudinal, dado por

ydesl

Rd fAuAT

= 24 (3)

onde slA a rea total da armadura longitudinal, u o permetro da linha mdia da seo vazada equivalente e ydf a tenso de escoamento de clculo das barras da armadura longitudinal. O momento toror resistente RdT o menor dos trs valores obtidos. No processo de dimensionamento, os esforos resistentes so igualados ao momento toror solicitante de clculo dT . Das equaes (2) e (3), obtm-se as armaduras

ywde

dsfA

Ts

A2

1 = (4)

yde

dsl fA

uTA

2= (5)

Multiplicando o segundo termo da equao (4) por 100, obtm-se a rea de estribos por metro de comprimento de viga

ywde

dsw fA

TA

2100= , cm2/m (6)

3. MTODO DA NBR-6118/80 De acordo com a NBR-6118/80 [1], no mais em vigor, a tenso tu , para emprego da equao (1), dada por

422,0 = cdtu f MPa (7) onde 4,1ckcd ff = a resistncia compresso de clculo do concreto, sendo ckf sua resistncia compresso caracterstica.


3

Na fig.1 indicam-se uma seo poligonal e uma seo retangular macia de concreto armado.

s

b 2C1

Fig. 3 Seo vazada equivalente conforme a NBR-6118/2013 (Caso 1)


4

C1

C1

t/2 t/2

t

b < h

h

linha mdia

( )( )11 22 ChCbAe =( )142 Chbu +=

Ae

Caso 2: t < 2C1

u

( ) 122 Cbhbbht +=

Fig. 4 Seo vazada equivalente conforme a NBR-6118/2013 (Caso 2)

5. MTODO DO CEB/78 Para o CEB/78 [3], a tenso tu dada por

cdtu f25,0= , MPa (10)

A seo vazada possui uma espessura 6sbt = , onde sb como indicado na fig. 1. A linha mdia da seo vazada passa pelas barras longitudinais dos cantos. 6. MTODO DO CEB/90 E DO EC2 Para o CEB/90 [4] e o EC2 [5], a tenso tu dada por ( ) cdcktu ff 250130,0 = , MPa (11) A seo vazada equivalente possui o mesmo contorno externo da seo macia e uma espessura dada por

12CAt = (12) Observa-se que essas normas impem um valor mnimo de 12C para a espessura da seo vazada. Se resultar 12CA


5

Dados: Concreto: 20=ckf MPa; 3,14=cdf MPa (=1,43 kN/cm2) Ao: CA-50 ( 435== ydywd ff MPa) Cobrimento: 5,2=nomc cm; estribos: 3,6=t mm Momento toror de clculo: 14=dT kNm 1) NBR-6118/80

422,0 = cdtu f MPa 1,3= tu MPa

17=sb cm menor que 83,2065 =b cm

4,35 == sbt cm 544== sse hbA cm2 ( ) 982 =+= ss hbu cm

47,1122 == tAT etuRd kNm Como dRd TT


6

As armaduras calculadas so as mesmas do processo da NBR-6118/2013:

90,2=slA cm2 ; 96,2=swA cm2/m 5) ACI 318M-2011

8,262,0 == cktu f MPa As dimenses dos lados do retngulo definido pelo eixo do estribos so ( ) 37,1922 =+= swtnomsw bcbb cm ( ) 37,3422 =+= swtnomsw hchh cm

75,665== swswe hbA cm2 ( ) 48,1072 =+= swsw hbu cm

19,6==uA

t e cm

08,2322 == tAT etuRd kNm

Aqui, tambm, 2RdT maior que dT . A seo passa com folga em relao segurana das bielas. As armaduras so calculadas com as equaes (5) e (6):

60,2=slA cm2 ; 42,2=swA cm2/m Observa-se que o ACI forneceu menos armadura que a NBR-6118/2013 e o CEB/90, porm as diferenas so pequenas. Entretanto, o ACI foi mais rigoroso em relao segurana das bielas, j que 08,232 =RdT kNm (pelo ACI) menor que 61,272 =RdT kNm (pela NBR-6118/2013) e que 95,332 =RdT kNm (pelo CEB/90 e EC2). Verifica-se, assim, uma grande diferena entre os diversos mtodos de dimensionamento, particularmente em relao segurana das bielas de concreto. Isso se deve s diferentes formas de definio da seo vazada equivalente e da tenso limite tu .

Desse modo, um mtodo pode indicar que a runa ocorre por esmagamento das bielas ( 2RdT mnimo), outro mtodo pode indicar que a runa ocorre por escoamento dos estribos ( 3RdT mnimo), enquanto um terceiro mtodo indica que a runa ocorre por escoamento das armaduras longitudinais ( 4RdT mnimo). Isto consequncia da complexidade do problema e das enormes simplificaes introduzidas nos mtodos de projeto. 9. VERIFICAO EXPERIMENTAL DOS MTODOS DE PROJETO Na ref. [7], so apresentados os resultados experimentais obtidos por diversos autores em ensaios de toro pura em vigas de concreto armado. No total, so catalogadas 64 vigas de seo retangular macia, com diversas taxas de armaduras longitudinais e estribos verticais. A resistncia compresso do concreto varia de 25 MPa a 110 MPa. Os dados dos ensaios encontram-se disponveis na ref. [7]. Neste trabalho, consideram-se apenas as 58 primeiras vigas apresentadas na ref. [7]. As ltimas 6 vigas foram descartadas, pois os dados apresentam aparente inconsistncia. Os ensaios fornecem o momento toror de runa

uT . Fazendo a verificao das vigas com as dimenses e as armaduras utilizadas nos ensaios, obtm-se o momento toror resistente mnimo

RdT , atravs de um dos mtodos de projeto apresentados. Se resultar 1


7

Desse modo, o desejvel que o mtodo de projeto fornea 1


8

Conforme se observa, os mtodos da NBR-6118/80 e do CEB/78 fornecem 1uRd TT para uma viga, coincidentemente, a mesma viga. Seria possvel suspeitar desse resultado experimental, mas isso nem necessrio, pois 03,1=uRd TT (nos mtodos da NBR-6118/2013 e CEB/90-EC2) e 07,1=uRd TT (no mtodo do ACI). Desses resultados conclui-se, tambm, que o mtodo da NBR-6118/80 o mais seguro, j que aquele que apresenta a menor mdia da relao

uRd TT . De qualquer forma, todos os mtodos testados so suficientemente seguros. Na tabela 1, apresenta-se o resumo dos resultados obtidos.

Tabela 1 Relaes R=Trd/Tu para os diversos mtodos

Modelo mR R m

RR R

V =NBR-6118/78 0,45 0,13 0,29 NBR-6118/2013 0,65 0,14 0,21 CEB/78 0,59 0,15 0,26 CEB/90 e EC2 0,65 0,14 0,21 ACI 318M-11 0,63 0,13 0,20

mR = mdia; R =desvio padro; RV = varincia Da tabela 1, verifica-se que o coeficiente de variao RV muito elevado, o que mostra a dificuldade de os mtodos de projeto representarem os resultados experimentais. Para uma mesma viga, cada mtodo pode indicar um modo de ruptura diferente, como se pode observar nas figuras 12 a 16.

0 10 20 30 40 50 60Nmero da viga

Bielas

Estribos

Armadura longitudinal

NBR-6118/80

Fig. 12 Modos de ruptura indicados pelo mtodo da NBR-6118/80

0 10 20 30 40 50 60Nmero da viga

Bielas

Estribos


NBR-6118/2013

Fig. 13 Modos de ruptura indicados pelo mtodo

da NBR-6118/2013


9

0 10 20 30 40 50 60Nmero da viga

Bielas

Estribos


CEB/78

Fig. 14 Modos de ruptura indicados pelo mtodo do CEB/78

0 10 20 30 40 50 60Nmero da viga

Bielas

Estribos


CEB/90 e EC2


do CEB/90 e EC2

0 10 20 30 40 50 60Nmero da viga

Bielas

Estribos


ACI 318M-11


do ACI 318M-11 Observando as figuras 12 a 16, verifica-se que os mtodos da NBR-6118/80 e do CEB/78 indicam um maior nmero de vigas falhando por esmagamento das bielas. No mtodo da NBR-6118/80, isso acontece com 51 vigas e devido ao baixo valor da espessura da seo vazada equivalente, bem como da tenso tu (a qual tem um limite fixo de 4 MPa). Nos mtodos da NBR-6118/2013 e do CEB/90-EC2, o nmero de falhas por esmagamento das bielas quase nulo (apenas 3 vigas para a NBR-6118/2013 e 2 vigas para o CEB/90-EC2). Isto ocorre porque, nesses mtodos, a parede da seo vazada equivalente possui uma espessura muito grande. Na tabela 2, indicam-se o nmero de vigas que falharam em cada um dos trs modos de runa, conforme os mtodos estudados. As equaes (1) a (6) correspondem trelia espacial de Mrsch com bielas inclinadas de um ngulo o45= em relao ao eixo da viga. Esse o ngulo usualmente admitido para as bielas de compresso. Porm, possvel desenvolver as equaes da trelia considerando bielas com um ngulo de inclinao genrico. Nesse caso, os momentos torores resistentes so dados pelas seguintes expresses:

222 sentAT etuRd = (14)


10

gfAs

AT ywdesRd cot2 13

= (15)

tgfAu

AT ydeslRd

= 24 (16)

Tabela 2 Modos de runa detectados pelos mtodos de projeto total de 58 vigas

Modo de runa Mtodo Bielas Estribos Armadura

longitudinal NBR-6118/78 51 2 5 NBR-6118/2013 3 28 27 CEB/78 30 15 13 CEB/90 e EC2 2 28 28 ACI 318M-11 20 10 28 Da equao (14) verifica-se que o45= d a maior capacidade resistente para as bielas. Para

o45 , ocorre o inverso. De acordo com a NBR-6118/2013, pode-se escolher livremente oo 4530 . Havendo toro com flexo (situao usual), o ngulo deve ser o mesmo utilizado na trelia plana para esforo cortante. Na fig. 17, apresentam-se as variaes de mR com o ngulo para as 58 vigas dos ensaios. Conforme se observa, a maior capacidade resistente mdia obtida com o45= , mesmo considerando os trs modos de runa. Logo, esse deve ser o ngulo escolhido em projeto.

30 35 40 45 50 55 60ngulo (graus)

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

Val

or m

dio

Rm

NBR-6118/80

CEB/90-EC2

NBR-6118/2013

ACI 318M-11

Fig. 17 Influncia do ngulo das bielas

Alm dos ensaios anteriores, os mtodos de projeto foram testados comparativamente aos seguintes resultados experimentais: - 6 vigas de descritas na ref. [8]; - 8 vigas descritas na ref. [9]; - 19 vigas descritas nas referncias [10] e [11]. Todas essas 33 vigas possuem seo retangular macia e foram ensaiadas em toro pura. As concluses obtidas foram as mesmas encontradas para as 58 vigas anteriores. 10. CONCLUSES

Nesse estudo foi possvel constatar a grande discrepncia entre os mtodos de dimensionamento de vigas de concreto armado submetidas toro. Isso ocorre por causa das diferentes formas de definio da seo vazada equivalente adotadas em cada norma. Alm disso, h diferenas significativas na tenso mxima de compresso que se admite para as bielas de concreto.

Como consequncia, o projetista poder constatar que uma determinada seo transversal que no passa por uma norma, passa com folga por outra. Uma seo transversal que no era permitida na poca em que a NBR-6118/80 estava em vigor, poder ser admitida com base na NBR-6118/2013, por exemplo.

De todos os mtodos testados, verificou-se que o mtodo da NBR-6118/80 e o mtodo do CEB/78 so os mais conservadores.

Geralmente, as vigas submetidas toro de equilbrio no possuem reservas de segurana. Assim, o conservadorismo dos mtodos de projeto conveniente para evitar uma ruptura brusca, com a transformao da estrutura em um mecanismo.

Felizmente, pode-se afirmar, com base nos resultados experimentais analisados, que qualquer um dos mtodos estudados pode ser empregado com segurana para o projeto das vigas de concreto armado submetidas toro. REFERNCIAS 1. Associao Brasileira de Normas Tcnicas -

Projeto e Execuo de Obras de Concreto Armado: NBR-6118. Rio de Janeiro, 1980.


11

2. ASSOCIAO BRASILEIRA DE NORMAS TCNICAS. NBR-6118: Projeto de Estruturas de Concreto. Rio de Janeiro, 2013. (projeto re reviso)

3. COMIT EURO-INTERNATIONAL DU BTON. Code-modle CEB/FIP pour les Structures en Bton. Bulletin dInformation 124/125, Paris, 1978.

4. COMIT EURO-INTERNATIONAL DU BTON. CEB-FIP Model Code 1990. Published by Thomas Telford, London, 1993.

5. COMIT EUROPEU DE NORMALIZAO. NP EN 1992-1-1. Eurocdigo 2: Projecto de estruturas de Beto Parte 1-1: Regras gerais e regras para edifcios. Maro, 2010.

6. AMERICAN CONCRETE INSTITUTE. Building Code Requirements for Structural Concrete (ACI 318M-11) and Commentary. 2011.

7. FIORI, A.; BERARDI, L.; MARANO, G. C. Predicting torsional strength of RC beams by using evolutionary polynomial regression. Advances in Engineering Software, 47, pp. 178-187, 2012.

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9. LEE, Jung-Yoon; KIM, Sang-Woo. Torsional strength of rc beams considering tension stiffening effect. Journal of Structural Engineering, ASCE, p.1367-1378, Nov., 2010.

10.NIELSEN, J. S. A Theoretical and Experimental Study of Concrete Beams Especially Over-Reinforced Beams Subjected to Torsion. Part I. Theory. Serie R, No 170. Department of Structural Engineering. Techincal University of Denmarck, 1983.

11.NIELSEN, J. S. A Theoretical and Experimental Study of Concrete Beams Especially Over-Reinforced Beams Subjected to Torsion. Part II. Experiments. Serie R, No 171. Department of Structural Engineering. Techincal University of Denmarck, 1983.

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