1

Especificações de Filtros

Especificação em tempo contínuo

Especificação em tempo discreto

Resposta em frequência de um filtro

210log20atenuação

ARegião

irrelevante

2

FIR

FIR – Finite Impulse Response Filter

(Resposta ao Impulso Finita)

M

m

mm

M

mm zbzHmnxbny

00

.)(][.][

Só tem zeros sempre sempre estáveisestáveis

M – ordem do filtroM – ordem do filtro

(ordem do polinómio (ordem do polinómio H(z)H(z)))

Numero de coeficientes é Numero de coeficientes é do filto é M+1=Ndo filto é M+1=N

Coeficientes da resposta impulsiva

do filtro

3

IIR

IIR – Infinite Impulse Response Filter

(Resposta ao Impulso Infinita)

M

mm

N

kk mnxbknya

00

][.][.

Contêm zeros e pólos N – ordem do filtroN – ordem do filtro

Ordem do polinomio no Ordem do polinomio no denominadordenominador

N

k

kk

M

m

mm

za

zbzH

0

0

.

.)(

Corresponde a uma equação às diferenças.

Implementa uma equação às diferenças em que a saida não depende directamente apenas de valores passados da entrada mas tambem da saida.

Sistemas recursivos

4

FIR vs IIR

FIR São sempre estáveis Permitem facilmente fase linear Podem necessitar de ordem elevada

IIR Menor peso computacional

5

Projecto de Filtros FIR

deeHnh jjdd )(

21

][

Método da JanelaEspecificação de uma resposta ideal na frequência e determinação da resposta impulsiva correspondente(teoricamente ou numericamente (IFFT)):

)( jd eH

Multiplicação por janela:Pode ser infinita e não causal

truncagem

][][][ nwdnhnh d

cc ,0

0,1][

Mnnw

janela

Janela rectangular:

Atraso da janela

2/Md

6

Janela Rectangular

]2/sin[]2/)1(sin[

)( 2/

MeeW Mjj

7

Outras Janelas

cc ,0

0,1][

Mnnw

cc ,0

2/0,/222/0,/2

][ MnMnMnMn

nwRectangular

Bartlett (triangular)

cc ,0

0),/2cos(5.05.0][

MnMnnw

Hanning

Hamming

cc ,0

0),/2cos(46.054.0][

MnMnnw

Blackman

cc ,0

0),/4cos(08.0)/2cos(5.042.0][

MnMnMnnw

8

Método das Janelas

c/1

2/c 2/c

1)( j

ideal eH

A largura da banda de transição Pode ser aproximada pela

Largura do lóbulo principal, Δω, da janela.

1

2/ c2/ c

A resposta em frequênciadepois de aplicar a janelacorresponde uma versão suavizada da resposta em

frequência do sistema original.

9

JanelasRectangular

(o riple ou a atenuação nunca baixam de 20dB

por maior que seja a ordem! Fenómeno de

Gibbs)

triangular

Hanning

Hamming

Blackman

10

Janelas

No método das janelas temos 1 = 2, = e portanto A=20log10

11

Janela de Hanning

)(.22

22

)()(

]'[))/'2cos(5.05.0(]'[][))/2cos(5.05.0(][

jR

j

R

R

eWMM

eW

nwMnnwnwMnnw

)( jR eW

)( jeW

2/' Mnn

]2/sin[]2/)1(sin[)(

MeW j

R

WR – Janela Rectangular

W – Janela Hanning

12

Janela Kaiser

cc ,0

)(])]/)[(1([

][0

2/120

InI

nw

ps

10log20A

21,0.05021),21(07886.0)21(5842.0

50),7.8(1102.04.0

AAAA

AA

285.2

8AM

Funções de Bessel modificadas de ordem zero

É simples obter e M dadas as especificações

Permite trocar largura do lobo principal por amplitude do

lobo secundário

21

Ordem do filtro

(dB)

2/MMn 0

13

Ex: Projecto Diferenciadores em tempo discreto

A resposta em frequência de um diferenciador ideal será,2/)()( Mjj

ordifrenciad ejeH Nota:Nota: Tal corresponderá a amostragem do sinal derivada de um sinal de entrada amostrado

dentro dos limites do crtitério de Nyquistdentro dos limites do crtitério de Nyquist

A que corresponde um diferenciador com resposta impulsiva dada por:

Notar os limitações de aplicação!!!

2

)sin()cos(][X

X

X

X

nn

nnnh

0]2/[ Mh

2/MnnX

Notar que:

mnhnm ][*)(

deejnh njMj

).(21][ 2/

14

Ex: Diferenciadores em tempo discreto

ordem par (20) tipo I

0 5 10 15 20

-1

0

1

ordem impar (21) tipo II(com janela de kaiser)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.50

1

2

3

0 5 10 15 20

-1

0

1

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.50

1

2

3

A implementação tipo I normalmente resulta numa oscilação maior devido ao zero em , mas reduz ruido de alta frequencia

fase

Angulo (rad)

amostras amostras

Angulo (rad)

15

Projecto Equiriple de FIR

Janela rectangular minimiza

deHeH jjd

22 )()(21

Outro critério é o do erro máximo)()(max jj

d eHeH

Parks-McClellan algorithm

324.213)log(10 21M

Filtros de oscilação constante (equiriple)

Resulta em filtros de menor ordem do que pelo método das janelas

16

Projecto Equiriple

Erro quadrático mínimo (janela rectangular) Óptimo sinais de banda larga, ex: ruído branco

Equiriple (erro máximo mínimo)Equiriple (erro máximo mínimo) Garante que qualquer sinal fora da banda é atenuado

pelo menos A dB Projecto para o pior caso, ie, sinais de banda estreita

junto à banda de transição

17

Projecto de Filtros IIR

Conversão de Filtros Analógicos•Aproveita os resultados dos sistemas analógicos

Transformação Bilínear• Um mapa do plano-s para o plano-z

1

1

112

zz

Ts

zesT

Mapa exacto seria (AD->DSP->DA):

)2/tan(2

T

Provoca uma transformação na frequência

)2/arctan(2 T

18

Transformação Bilínear

Transforma o semi-plano complexo esquerdo no circulo unitário!

Sistemas estáveis resultam em sistemas estáveis

Transformação na frequência:

Especificações devem ser ajustadas de forma a compensar a transformação

sTsT

z)2/(1)2/(1

1

1

112

zz

Ts

19

Transformação bilinear

A transformação bilinear corresponde a utilização de um método de integração trapezoidal

1

1

112

zz

Ts

ssH /1)( Função de transferência de um integrador

2]1[][]1[][

11

2)()()( 1

1

nxnxTnynyzzT

zxzyzH

Área do trapézio

20

Invariância ao Impulso

k

tsK

TL

k K

K tueAthss

AsH K ][)()(1

k

nkK

TZ

k k

K nuzAnhzz

AzH ][1

)( 1

Tsk

kez

amostragem

21

Filtros Butterworth

São filtros que têm uma característica de amplitude maximamente plana na banda de passagem.

Têm a seguinte resposta em amplitude:

Nc

c jjjH 2

2

)/(11

)(

A sua transformada de Laplace é constituída apenas por pólos nas posições:

N

kksssH

1

)/1(1)()12)(2/( NkNjCk es

NCC jH 22 )//(1)(

22

Filtros Chebyshev

Permitem oscilações na banda de passagem de forma permitir a utilização de filtros de menor ordem relativamente ao Butterworth.

)/(11

)( 22

2

cNc V

jH

1)(0 xV xxV )(1

12)( 22 xxV

)()(2)( 11 xVxxVxV NNN NC

NC jH 2122 )/(4/1)(

23

Comparação de Filtros IIR

Butterworth Resposta em frequência maximamente plana

Chebyshev Maior atenuação mas pior resposta de fase

Qualquer deles tem distorção de fase ao contrário dos filtros FIR que têm fase linear!

24

Filtros passa-banda

Projecto em tempo continuo Transformação passa-baixo passa banda Escolher o tal que,

Especificações ou mais apertadas

212

SSo

212

PPo

sBs

SBaixoPassaBandaPassa STsT 20

2)()(

12 PPB

2220 4

121

PassLowPassLow BB

BPassLow

20

2

12 PassLowP

11 PassLowP

12

121/2 PP

SSPassLowS

25

Filtros passa-banda

1P 2P2S

1P

1S

12

12

PP

SSS

212

SSo 12 PPB

Deve-se escolher P1 e P2 de forma que:

212

PPo

Mas garantindo que P1< P1real e

P2> P2real