1 li.

UNIVERSIDADE DE SÃO PAULOINSTITUTO DEF!SICA E QU!MICA DE SÃO CARLOS

ESQUEMA VE CLASSIFICACÃO PARA TEORIAS

ESTATJSTICAS COM SIMETRIAS NÃO USUAIS

PJto6. VJt. fJtanc..Lóc.o Ca..6t.Llho Alc.aJtaz

VepaJttamento de fZ.6.Lc.a

Un.LveJt.6.Ldade fedeJtalde são CaJtlo.6

Te.6e apJte.6entada ao ln.6t.Ltuto defZ.6.Lc.a e QuZm.Lc.a .de são CaJtlo.6, da Un.L

veJt.6~dade de são Paulo paJta o c.onc.uJt.6O

de L~vJte Voc.ênc.~a.

~ são CaJtlo.6, 1985 -

11

Ao meu g~ande amo~

Ã' minha ~audo~a lemb~anca

l.A. Swiec.a

, .

!

I 11

AGRADECIMENTOS

Que~o ~eg~~~~a~ aqu~ o meu p~06undo ag~adeQ~men~o

do~ que, de mane~~a d~~e~a ou ~nd~~e~a, Qolabo~a~am pa~a que

~~abalho pude~~e ~e~ ~eal~zado, e em pa~~~Qula~:

à Law~enQe JaQOb4 e Robe~~ Sav~~ que Qolabo~a~am d~~e~a

mente na elabo~acão da4 ~dê~a~ aqu~ ap~e4en~ada4.

a ~o

e4~e

Ao~ Qolega~ J04ê Robe~~o V~ugow~Qh de FellQ~o, Roland

Kobe~le, Valê~~o Ku~ak e Edua~do Can~e~a Ma~~no pela4 d~4QU44Õe~

e am~zade que ~o~nam são Ca~l04 um lOQal ag~adãvel pa~a m~m.

à Un~ve~4~dade Fede~al de são Ca~l04 e ao Con4elho NaQ~o

nal de Ve~envolv~men~o C~en~16~Qo pelo apo~o 6~nanQe~~0.

à C~~~~~na e ao J04ê Augu~~o pelo eXQelen~e ~~abalho deda~~logfLa6~a.

11. , " '''''''''''''---'-''''I!I''1-,• i

TNOICE

R ES UM O •.•.•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 00 1

ABSTRACT ••••.••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• O O 2

CAPÍTULO 1- INTROVUÇÃO •....•.••.•.••.••••••• ~ •••.••.•.••. 003

CAPÍTUio 11'- ESQUEMA GERAL VE CLASSIFICAÇÃO 006

II.A - Ve6~n~çõe~ ............................ 006

11.8 - Con~t~ução de modelo~ com ~~met~~a Ind~

c.e. n •....•................•...... e.e.. • • 008

lI.C - P~op~~edade~ de dual~dade 010

II.V - ExcLtaçõel.> :topolõg~cal.> ....•......•.... 012

CAPÍTULO 111 - MOVELOS COM SIMETRIA PLANAR ......•...•....... 017

IIl.A - AUl.>ênc~a deo~dem de longo alcance a

d- d~menl.>õ e s 017

III.B - Modelol.> e~peclá~col.> •.......•.•...•... 026

CAPÍTULO IV - SIMULAÇOES MONTE CARLO .......•............... 056

CAPÍTULO V - SUMÃRIO E CONCLUSOES ............•............ 073

APENVICE A - Vel.>~gualdade daI.>Funçõel.> de Co~~elação ~. 075

APENVICE B - Ham~l:ton~ana Quan:t~ca do Modelo 24 de Feve~e~~o. 082

REFERENCIAS 087

-001-

RESUMO

Uma gtande cla~~e de teot~a~ com ~~mett~a~ não u~ua~~ ê-con~t~u~da e d~~cut~da de uma mane~~a un~n~cada. E~ta cla~~e e

6o~mada po~ modelo~ e~tatZ~t~co~· cuja~ ~imet~~a~ co~te~pondem a

uma ~nte~polação ent~e a~, comumente conhec~da~, ~~met~~a~ globa~~

e loca~~. E~te~ modelo~ de~c~evem a d~nâmica de vat~ãve~~ U(ll

(ou l(Nl l, exp (~~l, local~zada~ no~ ~Zt~o~ de uma tede de d~men

~ao e geomet~~a a~b~t~ã~~a~. Ve~c~evemo~ uma cta~~~6~cação de~ta~

xe.o~~a~ ba.6eand o - no.6 no que.c.hamamM de..6 e.u "Lniii»: e. d e. ~ ~m e.t~.i.a": O

vato~ de. n pa~a o qual o Ham.i.lton.i.ano de. um ~.i.~te.ma d-d.i.men.6.i.onat

e Lnv ard.ard:« pe.la t~an.660~macão <P(x1,.··,xd) -+<P(x1, ••. ,xd} +

A(x1, ... ,xd} c.om a 6uncão de. c.al.i.b~eA .6at.i..66aze.ndo,um c.omjunto de.

n vZnculo.6 l.i.ne.a~me.n~e.i.nde.pende.nte.~.V.i.~c.ut~mo~ como a~ p~op~.i.eda

de.s c.~Zt~c.a~ e. a e..6t~utu~a dos de.6e..i.to.6topolõg.i.c.o.6do s mode.i.o s PE..

de. .6e.~ dete.~m.i.nada po~ d e. n. Uma c.la~.6e.pa~t.i.c.ula~me.nte.

.6ante. c.o~~e..6ponde.ao c.a.6O d = 3 e. n = 2. Mo~t~amo.6 de. mane.i.~a ge.

~al que ta.i..6teo~.i.a.6não e.x~be.m o~dem de. tonga alc.anc.e.i qualque.~

te.mpe.~atu~a não nula e. ap~e.~e.ntamo.6 vã~.i.o.6e.xe.mplo.6de. mode.lo.6 c.ome.6ta.6 p~op~.i.e.dade..6,que. pode.m .6e.~ ~e.le.vante.~ i de.6c.~.i.cão da c.~.i.t.i.

c.al.i.dade.de. .6.i..6te.ma.66Z.6.i.c.o.6~e.a.i..6.0.6 ~e..6ultado.6 de. no~.6O e.~tudo

analZt.i.c.o e. de. nO.6.6a.6.6.i.mulacÕe..6po~ tec.n.i.c.ade. Monte. Ca~la .i.nd.i.

c.am que. 0.6 diag~ama.6 de. 6a~e..6 pa~a a c.la.6.6e.n = 2, a qualque.~ d.i.

me.n.6ao, .6ão qual.i.tat.i.vame.nte..6.i.m.i.la~e..6ao.6 da.6 te.o~.i.a.6globalme.nte.

~.i.met~.i.c.a.6d = n = 2 e. ao.6 das t e.o~.i.a.6lo c..almeni:e. Ln. v a~.i.ante..6 d = 4

n = O.

"-002-

ABSTRACT

A iaJtge. c.ia~~ 06 the.oJt..ie..6w..ithunlL6ua.l ~ymme.tJt..ie.~,ü c.on!

~~ue~ed and d~~eu~~ed o~om a un~6~ed v~ewpo~n~. The~e a~e ~~a~~~~~

eai modei~ w~th ~ymmetJt~e~ w..teheOJtJte.~pondto an ..tnte.Jtpoiat..ton

be.twe.e.n~tanda}ld global and loc.al .6ymme.tJt.i.e.~.The. mode.l.6 de.~c.Jt.i.be.

the dynam..te~ 06 U( 1) (oJt Z (N)) vaJt~abie.~, e.xp (~~J, ioeated as: the

~~te~ 06 a iatt~ee 06 aJtb~tJtaJtyd~men~..ton and geome.tJty. We d~cnibe.

a eia~-6..t6..teat..ton o 6 the~ e theo~..te~ ba~ ed onwhat eaU thei.Jz.lI~ymmmy

~ndex": The vaiue 00 n ooJt w~eh ~he Ham~i~on~an Oó ad-d..tmen-6~onai

~y~~em ~~ ~nva~~an~ undeJt ~he ~Jtan~óoJtma~~on ~(xl, ... ,xd) +

~(xl, ... ,xd) + A(x1,···,xd)' w~~h ~he gauge óunet~on A ~a~~~óy~ng

a ~et Oó n l~neaJtly-~ndependen~ eon~~Jta~nt~. We d~~eu-6-6 how ~he

e~it~eal pJtopeJtt~e-6and ~he -6tJtuetu~e 0ó topologieal deóeet-6 06 a

model aJte de~eJtmined by d and n. A paJt~ieulaJtly ~n~eJte-6~~ng ela~-6

06 ~heoJtie-6 eoJtJte~pond-6~o the ea~e d = 3 and n = 2. We -6how on

geneJtal gJtound-6 ~ha~ -6ueh ~heo~ie-6 have no long-Jtange oJtdeJt óOJtany non-zeJto ~empeJta~uJte and p~e-6en~ ~eveJtal expl~ei~ example-6 06model-6 wi~h ~he-6e pJtopeJt~ie-6,wieh may be Jteievan~ ~n ~he de-6eJtip~ion Oó Jteal phy-6ieal -6y~~em-6. The ~e-6ul~-6 Oó ouJt anaiy~~eal

-6~ud~e-6 and oUJt Mo n~e CaJtlo -6imu.ea~ion-6 -6 uge~~ ~ha~ ~he ph.a:« e

diag~am óoJt ~he ela~-6 wi~h n = 2, óO~ wa~heve~ dimen-6~on', a~equaii~a~iveiy -6imiia~ ~o ~he d = n = 2 giobaiiy -6ymme~4ie ~heo~ie-6

and ~o ~he d = 4, n = b ioeaiiy inva~~an~ ~heo~ie-6.

.,,',.,~-

-003-

CAPfTULO

INTRODUÇÃO

(tal como o modelo de 1~~ng ou o modelo x-yl ou po~

çoe~ loca~~ de cal~b~e [tal como o~ modelo~ de cal~b~e ZN ou

Ultl) .Ne~te t~abalho e~tuda~emo~ modeloA cuja~ ~lmet~ia~ n~o Aao

aqueta~ u~uatmente e~tudada~ ma~ ~im int~~mediã~la~ ent~e locai~

e globai~. Alguma~ de~ta~ teo~ia~, at~m de ~eu inte~e~~e pu~amen-

te teõ~ico, pa~ecem ~e~em adequada~ ã de~c~i~ão de p~op~iedade~

cJtZ:tica~de cJti~:tai~llquido~ e de magneto~ helicoida~~ (1-4). Vi!

cutiJtemo~ um e~quema de cta~~i6icação de :tai~ :teo~ia~ e ac~edi:ta-

mo~ que :tal cla~~i6icação :tenha ~etação p~o6unda com a~ dive~~a~

po~~lvei~ cta~~e~ de unive~~alidade. O~ modeloA inva~ian:te~ po~

~ime:t~ia~ não u~uai~ po~~uem tipicamen:te in:teJta~;e~de mul:tico~-"

po~ em ~ua Hamil:toniana, «ssim nosso e~quema de" cla~,6i6icação po-

de :também ~e~ :tido como um p~ocedimen:to pa~a cla~~i6icação da~

diveJt~a~ :teoJtia~com in:teJtaçõe~de multico~po~.

A pedJta 6undamen:tal no no~~o e~quema de cla~~i6icação ê

a in:tJtoduçãode uma nova quan:tidade, n, que chamaJtemo~ po~ lndicede ~imetJtia da teoJtia. A gJto~~o modo n é a medida da dimenAão do

AubeApaço ~obJte o qual a 6unção de calibJte da teoJtia eAtã vincula

da (Aube~paço em que a ~imetJtia ê global) .

tJtaba-

lho (a meno~ que Ae eApeci6ique onde não 60Jt o ea~o) teoJtiaA eom

~imetJtia U(l) (invaJtian:te~pelo gJtu.pode ~ota~õeA no plano) deA-eJtita~ pOJt um campo ~impleA fZ>'f(ts6) ) f € (-1T J TfJ ' aA~ oc.La do

eom o~ ~Ztio~ de uma Jtede hipeJte~bica ~ d dimen~õeA. Podemo~ en-tão con~tJtuiJtteOJtla6 cujo Hamlltonlano, H(~), 6eja lnvaJt~ante p~

11. 1)

-004-

onde. A

~at~~6aça um eonjunto de n vlneulo~ d~6e~ene~a~~ ~ndependente~, a

teo~~a ~e~a d~ta eomo po~~u~do~a de um lnd~ee de ~~met~~a n. Quan

*do n = O ln = d) a teo~~a ex~b~~ã ~~met~~a loeal (global). Pa~a

O < n < d a teo~~a po~~u~ ~~met~~a de um novo t~po, o qual ê, deee~to modo, ~nte~med~â~~a ent~e ioeal e global.

6oltma.

~.A = O, ~endo ~. um opelta.doltdi6elteneia.l de pltimeilta.oltdem na. di,(. ,(.

Iteça.oXi' que 6oltça.A a..elt independente de Xi. Ao longo de~tet~a.balho tltataltemo~ explieitamente eomteoltia.~ euja~ 6unçãe~ deealiblte ~ati~6azem e~te~ tipo~ di vZneulo~, ma~ a ma~oltia de no~-

~o~ Ite~~ltado~ aplieam-~e igualmente a uma ela.~~e a~nda maio~ deteoltia~, c on6oltme di~ eutiltemo~.no~ p~õ ximoJ.,ea.pZtulo~.

Na ~eçio ll-A a.p~e~entaltemo~ no~~o e~quema de ela~~i6i-

eação. lntltoduziltemo~ também a noç.ã.ode ~imetltia eompo~ta. que 0-

eoltltena~ ~ituaç.ãe~ em que A é Ite~tltita (i~to é, eon~tante) em di

6eltente~ ~ube~paç.o~ S1' ..., Sj (que podem po~~uilt di~tinta~ di-

men~ãe~) em um e~paç.o d-dimen~iona.l, ma~ não no e~paç.o inteilto 9~Itado pOIt SI' ... , Sj" Como a~ teoltia~ aqui tltatada~ ~io ineomun~

na liteltatulta é impolttante pltoduzilt-~ealguma~ de~ta~ teoltia~. Na.

~eç.ão 11-8 ineumbilt-no~-emo~ de~ta mi~~ão eon~tltuindo uma hieltalt-

quia de teoltia~ palta todo n e d. E~ta~ teoltia~ po~~uiltão a. 6unç.ão

de ealiblte ~ati~6azendo vZneulo~ da 60ltma ~.A = O e ~eltio aquela~.c

mai~ ~imple~ palta dado~ n e d. Na~ ~eçãe~ 11-Ce 11-V Itetoltnalte-

* Na Itealidade pall:ec..enao ~elt po~~Zvel .de~elteveltuma teoltia n = O

lloeall em teJtmo~ de um ~imple~ eampo ebealalt, 6a~o eb~e n~o bUIt-plteendente palta a6ieionado~ em teoltia~ de ealiblte.

II .'''''''''''''",.~--~

!

-005-

mo~ ao no~~o e~quema ge~al de ela~~inieação ap~e~entando uma di~-

c.u~.6ao .6 o bJte a.6 pJtopJt.i.edade.6 de. duaf..i.dade e a.6 exc..i.taçõ es to paf.õ-

gic.a~ da~ tea~ia~ c.am O < n < d.

No c.apltuf.o 111 c.onc.entJtaJt-no.6-emo.6 na c.f.a.6~e de tea-

Jt-ia.6c.om n = 2. PJt-ime-iJtctmente Jtec.ap-itulamo.6 bJtevemente a geneJtal-i

zação do teoJtema de MeJtm.i.n-WagneJt(S-81, Jtec.entemente pJtovada(91,

que mo.6tJta que em q ualqueJt d-imen.6 ão e.6xas teonl.as não pO.6.6uem o Jt-dem de longo alc.anc.e paJta T > O. ApJte.6entaJtemo.6 tJt~.6 modef.o.6 tJt.i.-

-d.i.men.6.i.ona.i..6pO.6.6u.i.doJte.6de .6.i.metft.i.an = 2 d.i.6eJt.i.ndoapena.6 em

detalhe.6. E.6te.6 modelo.6 .6ão ba.ótante .6-impl~.6 e .6eJtvem paJta eluc.i-

daJt a.6pec.to.6 geJta-i.6 da.6 teoJtia.6 c.om .6imetJtia n = 2 ..6ua.6 pJtopJtiedade.6 de dualidade bem c.omo a.ó po.ó.óZve-i.6topol5g-ic.a.ó pJte.óente.ó ne.óte.ó modelo.ó.

exc.itaç.õe.ó

No c.apItulo IV apJte.óentaJtemo.6 O.ó Jte.óultado.ó numêJtic.o.ó,

o btido.ó pOJt .ó-imulaç.õe.ó numêJt-ic.a.ó empJtegando -.6e têc.nic.a.ó de Mo rd:«

CaJtlo. Tai.ó .ó-imulaç.õe.ó -indic.am que a.ó veJt.óõe.ó ZN de.óte.ó modelo.ó

po s s uem diagJtama.ó de fia.óe s qual-itativamente .óimilaJte.ó ao.ó mo det.a«

(d=n=21 Jtel5gio.ó bidimen.óiona-i.ó (globalmente .óimê:tJti.c.o.ó)•

.No c.apItulo V Jte.óum-imo.ó no.ó.óo.óJte.óultado.6 e c.onc.lulmo.ó

c.om alguma.ó .óuge.ótõe.ó paJta tJtabalho.ó fiutuJto.ó. Finalmente, paJta um

do.ó modelo.6 tJtatado.ó no pJte.óente :tJtabalho, obtemo.ó no ap~nd-ic.e A-impoJttante.ó de.óigualdade.ó da.ó fiunç.ôe.6 de c.oJtJtelaç.ôe.ó da oJtdem ede.óoJtdem e no ap~nd-ic.e B ob:temo.ó a .óua fioJtmulaç.io

c.om tempo c.ontInuo.

Ham-il:toniana

II

-006-

CAPfTULO I I

ESQUEMA GERAL DE CLASSIFICAÇÃO

II-A - Definições

Con~{de~emo~ uma teo~{a de~e~{ta em te~mo~ da va~~ãvel

U ( 1 ) :

5er) (11. 1 J

Suponhamo~, po~ ~{mpi{e{dade, que ~1rl ~Qjam o~ ponto~ que de-6inem uma nede hipeneubiea ~imple~ a d-dimen~õe~ (e~~a ne~~nição

nao e neee~~ãnia, eon~udo 6anã eom que a apne~en~ação ~eja mai.6

~imple~). A~~oeiamo~, des s:« 6onma, os ~pin~ eom os ~Z~io.6 da ne-de. E~~anemo~ in~ene~.6ado~ na di~eu~~ão de ~eonia.6 que não exibam

expliei~amen~e in~enaçõe~ de longo aleanee e eujo.6 Hamil~oniano~

.6ejam invanian~e~ median~e a ~nan~6onmação

(11.2)

Tai~ ~eonia~ pO.6~uinão um Zndiee n de ~ime~nia. Na nealidade, mui

~a~ de no~~a~ eon~idenaçõe~ apliean-~e-ão igualmen~e bem a ~eo-

nia~ em que a 6unção de ealibne A ê uma 6unção de ~oda~ a~ d-eoon

denada~, ~a~i~6azendo n eondiçõe~ da 6onma:

( I I .3)

~ e.ndo O j eombinaçõe~ lineaJtmen~e independen~e~ de ooeruuio xe s di6 eJteneiai~ (ou de di6enença~). lst:o ~eJtã d..üeu~ido em de~alhe~ mai.6

ad..i..an~e.

Como pon~o de pan~ida no e~~u~o de~~a.6 ~eoJtia~ ê ü~..i...e

p~imei~amen~e peJtguntaJtmo~ qua..i..~.6eJt..i..amo~ modelo.6 ma..i..~~..i..mple.6

- 007-

em d-d~men~õe~ po~~u~do~e~ da ~~met~~a (11.1). E~pe~amo~ que a Ha

miltoniana (ou açãol de no~~a~ teo~~a~ po~~uam a no~ma ge~al

(11.4)

onde 6p ~ao 6unçõe~ de eomb~naçõe~ l~nea~e~ de q(~), campo~ ~

e Cp. ê um eonjunto de eoe6~e~ente~ eon~tante~. A eoo~denada deJ

- -+ -+~. e x + ~. , e, eomo e~tamo~ a~~um~ndo que não ex~~tem expi~cit~J J

mente ~nte~açõe~ de longo aleanee deeo~~e que Itjl deva ~e~ 6in~-

to. Embo~a na ~ealidade no~~a~ eon4ide~açõe~ ~ejam mai~ ge~ai~,

6aeilita~-no~-â a eomp~een~ão ~e pen~a~mo~ na~ inte~açõe~ (11.4)eomo de6inida~ em k-dimen~ional (k ~ d) ~implexo~ da ~ede d-di

mens Lo nal. Po~ exemplo, inte~açõe~ de p~imei~o~ vizinho~ ao longo

da» ligaçõe~ (l-~implexo), inte~açõ es de quat~o eo~po~ ao

da~ 6aee~ elementa~e~, ou plaqueta~ (2-~implexo), ete.~edo~

o Hamiltoniano (11.4) eontêm ~-te~mo~ di~tinto~ e que~!

mo~ ~abe~ qual a teo~ia eom o meno~ valo~ de ~ que po~~ui um Zndi

ee de ~imet~ia nde 6o~ma não t~ivial. P~imei~amente devemo~ di~-

euti~ em mai~ detalhe~ o~ po~~Zvei~ tipo~ de ~imet~ia~ que no~~a~

teo~ia~ po~~am te~. Notemo~, pa~a eomeça~, que ~e a teo~a po~~ui

um Zndiee de ~imet~ia n (n S d) então, a óo~tio~i, ela po~~ui um

Lndi.c:e de ~imet~ia n ' ~endo d ~ n' ') n. E~ta ~imet~ia meno~ n'

(um núme~o maio~de g~au~ de libe~dade ê envolvido J ê obtida con-~ide~ando-~eaquela~ t~an~óo~maçõe~ em que A ê óunçio apena~ deum ~ub conjunto das c oon.denada.sxn+ l ' ••• , x d' A~ xeo n.La» em que

e~ta~ ~imet~ia~ ~e.jam a~ úniea.~ e. que exi~tam apena~ um ~ube~ paço

em que (11.2) ê ~ati~ó~ita~e~io po~~uido~a~ de uma ~imet~ia ~im-

ple~ Zndiee n. Po~ out~o lado, aquela~ teo~ia~ em que a t~an~óo~-

maçio (11.2) ~eja válida em dive~~o~ ~ube~paço~ di~tinto~ de di-

men~ao d-n, seniio tida~ eomo possu.Ldo iuu; de uma ~,[met~ia múltipla

Zndiee -n. t po~~Zvel que tenhamo~ teo~ia~ c.om~imet~ia Indic.e-n

(~imple~ ou múLtipla) c.oneomi-tantemen:teeom ouxno Ln di.c e de sLme-

-008-

oü« di~tinto m (~imple~ ou múltiplo), deninido~ em ~ube~paç.o.6

ta.

II-B - Construção de Modelos com Simetria n

F~xemo-no~ agolta no ea.6O de uma teoltia eom Indiee n de

.4~metlL.ta.. Co n.6~delLa.lLemo.6 a.penM teolt.ta.6 não tlL~v~a.t4, no .6ent.tdo

de .6eltem, a. plt.tOlL.t, aeoplada..6em todo o e.6pa.çod-dimen.6iona.l*. AteolLia.ma..t.6 .6imple.6da. nOlLma (11.41 pO.6.6uidolLade tal.6imetJÚa de

ve te~ .6 = n. Tal teolLia.~ então eompo.6ta de n te~mo.6 em (11.4)

em um de.6te.6te~mo~, a.6 va~iãvei~ loeaiizada.6 no.6 vé~tiee.6 de um

elemento (d-n+ 1)-dcmens ;» nal da sede. são aeoplada.6 ent~e .6i e '0.6

(n-l) xenmo s ~e~tante.6 .6ã.o~i.mple~ inte~aç.õe.6ent~e p~imei~o~ vi-

zinho~. A inte~aç.ã.o (d-n+l)-dimen.6ional ê de6inida num (d-n+l)-

-~implexo da ~ede, eujo~ lado.6 ge~am um ~ube~paç.o (d-n+l)-dimen-

.6ional na ~ede d-dimen.6ional e eada uma da~ (n-l) inte~aç.õe.6 en-t~e vizinho~ p~õximo.6 oeo~~em ao longo da.6 (n-l) di~eç.õe.6o~togo-

nai~ ao ~ube~paç.o ge~ado pelo ~implexo aeima mencionado. A~ con.6-

tante~ CPj' em (11.4) ~ã.o e~colhida~ de manei~a a que a .6imet~i.a

e~teja ~ati~óeita. No~ ca~o~ ~imple~, po~ exemplo, CPj podem .6e~e~colhido~ alte~nando ent~e (+1) e (-1) conóo~me ci~cundamo.6 o

~implexo em que a inte~aç.ão e~teja deóinida.

Algun.6exemplo~ to~na~ão a ~ituaç.ão mai~ cla~a. Notemo~

inicialmente que e~te p~ocedimento nao con~egue p~oduzi~ teo~ia.6

com Zndice de ~imet~ia n = O (locai~). Sem inclui~ out~o~ campo~

ao p~oblema, pa~ece não have~ manei~a de con~t~ui~ tal teo~ia.Vol

tando ao ca~o meno~ patológico com n > O, bb~e~vamo~ que em t~i~

dimen~õe~ podemo~ obte~ uma teo~ia com uma ~imet~ia múltimpla Zn-

* Pe~mitimo~, contudo, a po~~ibilidade da~ teo~ia~ ~e!tem t~ivi-a~~, no ~ent~do de pode~em ~e~ t~an~óo~mada~ num conjunto inóini-to de modelo~ não inte~agente~.

-009-

dice 2 incluindo em (11.41 uma inteJtaç.ão de 4-coJtpo.6 em cada pla-

queta no plano (xl' x21, e. inteftaç.õe.6 entJte pJtimeiJto.6 vizinho.6

ao longo da diJteç.ão x3• E claJto que H ê então invaJtiante pOJt

ni6,[ca que, s e JtodaJtmo.6toda.6 a-6 vaJtiâ.vei.6 nO-6 plano.6 (xl' x31 ou(x1' x2) 'pOJt um ângulo 6,[xo, a Hamiltoniana .6eJtâ.invaJtiante. FaJta

.6e obteJt uma teoJtia com Zndice 1 a. tJtê.6 dimen.6õe.6, incluZmo-6 emH apena.6 ,[nte~açõe.6 de o,[to CO~pO.6 envolvendo todo.6 0.6 .6p,[n.6 do.6

vê~t,[ce.6 do.6 cubo.6 elementa~e.6 da ~ede e .6omando-.6e .6ob~e todo.6

0.6 cubo.6. Com a e.6colha apJtopJt,[ada do.6 coe6,[c,[ente.6, C1j, em(11.4l e.6ta teo~,[a .6e~ã po~tado~a de uma .6,[met~,[at~,[pla com lnd'[

ce 1: A -:.A.(~iJ l:.j) j iJj = i 12 J 3* . .Se anal,ü a~mo.6 ma,[.6

p~o6undamente. ve~e.mo.6 que, em ge~al, uma. teotia p~ojetada pe.la

con.6t~uç.ão ac,[ma me.nc,[onada te~ã. uma .6,[met~,[alnd'[ce. n com mult,[-

pi-i.c'[dade.(d-n+ 1J =. t o bv,[ame.nte pO.6.6lv el c:on.6t~u,[~ -.6e te o~,[a.6

mai.6 compl,[cada.6 com p~op~,[e.dade..6de .6,[met~,[a.6,[m'[la~e.6ou a,[nda

com d,[6e.~e.nte..6mult,[pl,[c'[dade..6dolnd'[ce. n, contudo o ptu: cedi.men-to, acima e.xpO.6to, p~oduzde. ce.~to modo a.6te.otia.6 ma,[.6 .6,[mple..6.

Te.~e.mo.6a opo~tunidade., ma,[.6 ad,[ante, de d,[.6cut'[~e.m de.talhe..6al-

gumas te.o~ia.6 mai.6 compl,[cada.6, ma.6 po~ e.nquanto no.6.6O ,[nte.~e..6&e.

.6e.conce.nt~a na.6 p~op~iedade..6 ge.~ai.6 do.6 .6i.6te.ma.6com .6ime.t~ia de.

lndice n.

; E.6ta te.o~ia~a ~e.alidade. ~ t~ivial no .6e.nt'[dode. que. ela pode..6e.~de..6ac.oplada numc.onjunto de. te.o~ia.6 t~iviai.6 não inte.Jtage.nte..6.A Jtazão di~to ~ ~on~equ~ncia do 6ato da te.oJtia po~~uiJt um lndic.e.de. ~imetJtia 1 com multiplicidade. igual ao núme.Jto de dime.n.6õe~. E~

te ponto ~e.Jtã.anali~ado mai~ adiante no capltulo 111.

** Es t:« a6iJtmaç.ão 6ic.aJtã.ma i» óbvia .s e a xeoou:« 6o~ co ns Lden.ádàem notação do c.ontlnuo, no qual o aJtgum~nto da 1..nteJtação k-dime.n-~ional .s e t.o n.na: dl'dZ, ••• ,dkcfJ, ~e.ndo d. - d~ ..

J j

, , ,.".,,,.,,,,,,,,,,,,,.~,,.---

-010-

I l-C - Propriedades de Dualidade

Anal~~atemo~ ne~ta ~eçãoa~ ptopt~edade~,ttan~~otmaç~o de dual~dade, da~ teot~a~ e~tudada~ ne~te ttabalho.

med~ante

E~ta anãii~e pode ~e4 mai~ üaeiimente üeita ~e lemb4a4mo~ o ~e-guinte 4e~uitado ge4ai(10): dada uma teo4ia Abeiiana eompo~ta p04

um ~impie~ eampo e eUja Hamiitoniana po~~a ~et e~e4ita em te4mo~de uma ~oma de.1<.tetmo~ d~~t~nto~, a ~ua tepte~entação dual pode-

'tâ então ~e4 e~e4ita eomo uma teo4ia eompo~ta de k.-1 eampo~ inde-

pendente~. Ma~~ a~nda, e~te eonjunto de 1<.-1 eampo~ ~ndependente~,pode.m -6e.4aume.ntado.6 inc.iuindo-.6e. um c.onjunto de. c.ampo.6 de. c.ali..-

b~e. de.pe.nde.nte..6,de. ma.ne.i..~aque. a no~ma. dua.i da. te.o~a. pO.6.6ua uma

c.a.mpo.6

de. c.a.iibJr.e.e.xt~a.6, a HarfJi..ltoni..ana.dua.i pode. .6e.~e..6c.Jr.i..tac.omo uma

nunç.ão de. um xens o»: a.nti.6.6i..métJtic.oA111' 112"'" l1k-2' e. .6e.Jr.a.Ln-

va~ianie. me.di..ante.a. t~an.66o~ma.ç.ão de. c.alibJr.e.ge.Jta.i

(11.5)

"""J

onde. SL é uma. nunç.ão de. c.al.ib~e compo s t:« de k-4 Lndcc.es , f1"" são

um c.onjunto de ope.~ado~e~ dete~mi..nado.6 pela no~ma. o~i..gi..na.lda. Ha.-

m.ilto n.iana, e 2. \. ') deno t:« uma. .6 oma. a.nti...6.6i..mê.t~i..c.a..6 o bn e: to da..6

*a..6pe~mutaç.õe.6 de 111' ••• , l1k_ 2 •

da de , que no.6 .6ao nam.ili..a~e.6na.6 :t.eo~i..a.6macs c.omun.6 {globa.i.6 ou

loc.a.i.6}{11-16}, .6u~gem .igualmente no p~e.6ente c.on:te.xto:

tão o g~upo de .6.imet~ia da teo~i..a dual :também

* Pa~a detalhe.6 da .6oluç~o bem c.omo o m~todo de~e dete~m~na~

veja ~ene~ênc..ia{2}.

- 011-

2. Ca~o a teo~ia o~iginal po~~ua ~imet~ia U(ll então a

teo~~a dual te~ã ~~met~~a 200'

3. Se a Hamiltoniana da teo~iao~ig~nal 6o~ de 6o~ma

quadllãtic.a~imple~ (i~to é, da nOllmaVillain(171 ),e~tão a teollia dual também o ~ella.

4. A.6 co n.6tante.6 de aco plamento da teo~.i.a dual .6 eso» ~e

lac.ionada~ ã~ da teollia olliginal de manei~a indic.ada

pelo g~upo de .6.i.met~.i.a.

Uma c.omplic.ação adic.ional, po~ out~o lado, pode ~UIl9i~

ne..6ta.6te.o~ia.6 nã.o U.6u.ai.6; e. qu.e. a no~ma natuJt.al da Jt.e.de.e.m que.a te.oJt.ia dual e. de.6inida (de.nomina~e.mo.6, e.mbo~a imp~opJt.iame.nte.,Jt.e.

de. dual) pode. .6e.Jt.ba.6tante. eomplieada. I.6to .6e. de.ve. ao 6ato da e.~tJt.utu~a da ~e.de. dual.nã.o .6e.~ de.te.~minada pe.la ge.ome.tJt.ia da ~e.de.

oJt.iginal, ma.6 .6im poJt. aque.la a.6.6oc.iada i.6 inte~aç~e..6 da Hamilto-

niana oJt.iginal (.6imple.xo.6).

PaJt.a iluminaJt. a di.6c.u.6.6ã.oge.~al pJt.e.ee.de.nte.,olhe.mo.6 al-

gun.6 e.xe.mplo.6 .6imple..6. Uma da.6 c.la.6.6e..6de. te.o~ia.6 mai.6 inte.~e..6.6an

te..6, no no.6.6O e..6que.ma de. ela~.6i6ieaçã.o, ..6ã.o aque.la.6 eom Zndic.e. de.

.6ime.tll.ian = 2. Fo~tunadame.n·te., o mo de.i.» mai.6 .6imp{e..6 eom Lnd.a:«

de. .6ime.tJt.ia 2 e.m d-dime.n.6~e..6, de.6inido pela eon.6tJt.uçã.o (II-B),e. autodual e.m qualqu.e.Jt.dime.n.6ã.o. O p~oee.dime.nto paJt.a.6e. c.aleulaJt..6ua 60Jt.ma dual e. e.xatame.nte. pall.ale.la àque.la do.6 mode.lo.6 pidime.n-

.6ionai.6 do tipo Jt.e.lôgio ou mode.lo.6 U(l) x-y. 0.6 mode.lo.6 eom lndi-

ee. de. .6ime.tll.ia3 à d-dime.n.6~e..6, ge.Jt.ado.6pe.la eon.6tJt.uçã.o II-B .6ao

duai.6 a uma te.oJt.ia de. ealibll.e. de. um .6imple..6 eampo ve.toll.ia.l A~,~ = 1,2,3. Ob.6e.Jt.ve.que., e.mbOll.aa te.oJt.ia e. .6ua dual vill.a em d-di-

me.n.6oe..6,o eampo de. ealibll.e. pO.6.6ui ape.na.6 tll.ê.6eompone.nte..6. Cla~a

me.nte. 0.6 e.xe.mplo.6 mai.6 .6imple..6 de. tai.6 te.ollla.6 Oeo~~e.m e.m tJt.ê.6di

me.n.6oe..6,tai.6 eomo 0.6 mode.lo.6 tll.idime.n.6~onai.6 de. I.6ing, ZN ou x-~

Como um e.xe.mplo 6inal, que.Jt.e.mo.6no.6 Jt.e.6e.Jt.iJt.a uma te.o-

-012~

~ia que ~e~ã di~cutida em detalhe no capItulo 111. E~ta teo~ia

pe~tence a cla~~e de teo~ia~ com lndice 2 de6inida~ em ~ede c~bi-

ca ~imple~. 0.6 ~ pin~ ne~ta teo~ia inte~agem via inte~ação de qua-

tlLO cOlLpO~, deó.<.n'<'dapelo plLoduto entlLe .6.<.do~ quatlLo .6 p.<.n.6 do~

vê.lLtice~da~ plaqueta.6 elementa~e~ da ~ede (veja Fig. 1 ) • Pa~a

mantelL a ~.<.met~iaglobal podemo~ e~colhelL a convenção em que toma

mo.6 o complexo conjugado de doi~ do~ ~p.<.n~em cada .<.ntelLação. O

·dual de~ta teo~ia ê novamente uma teo~ia de calib~e local de um~imple~ campo veto~ial de t~ê~ componente~ A~, ~=1,2,3j contudo a

~ede natu~al pa~a e~ta teo~ia dual ê de ce~ta 6o~ma complicada.

Fig. 1

I I-D - Excitaç~es Topo16gicas

Em ~eolL~a~, eom g4Upo de ~me~4~a Abel~ano, podemo~ ~e-pa4a4 a~ exe~~açõe~ ~op~l~g~ea~ em dua~.ea~ego4~a~. A p4~me~4a dela~ ~ compo~ta pela~ exe~taçõe~ a~~ociada~ ao ca~~te~ di~e~e~o do

-013-

g~upo (po~ exemplo, ZN1, e te~emo~ então uma e~pêcle de exclta-ç~e~ do ti~o pa~ede, ~epa~ando di6e~ente~ domZnio~. Um exemplc dela~ oco~~e no modelo ~el;glo ZN ~lmêt~lco a t~~~ dlmen~5e~ em que

domZnio~ de di6e~ente~ o~ientaç~e~ ~ão ~epa~ado~ po~ pa~ede~ (tl-

po de Bloc.kl. A ~egun'da catego~,[a ê no~mada po~ a.quela~ exc.Lta-ç~e~ a~~oc.iada~ ao c.a~;te~ c.ompac.todo g~upo de ~,[met~ia. são de~ta e~pêc.,[e,po~ exemplo, a~ c.o~da~ de·v;~tic.e~que apa~ec.em no mo

'delo t~idimen~ional x-y (c.ominva~iança global n = 3 U(l) I.

Ne~ta ~eção tec.e~emo~algun~ c.oment;~io~ ~ob~e e~te úl-

timo tipo de exeitação, poi~ e~pe~amo~ que ta~~ exe~taçõe~ ~ejam

~e..e.evante~ palLa a~ teolL~a~ eom glLupode ~~metlL~a ZN (N > 3) (16)ou

~~mp..e.e~mente na~ teolLia~ eujo glLupo de ~imetlL~a ~eja U(l). t e..e.a-

~o que pode ex~~t~1L ainda exeitaçõe~'do t~po. palLede, ea~o a ~ime-tlLia ~eja di~elLeta. E~ta.6 U.6ua..e.mentei.ntelLagem não tlL~v~a..e.mente

eom aque..e.a~exe~taçõe~ topo..e.õg~ea.6gelLada.6 pe..e.aeompaetividade do

glLupo. E.6ta eomp..e.ieação adie~ona..e. ê que pode a.umentalL g~andemente

a lLiqueza da e.6tlLutulLa de 6a.6e.6quando pa.6.6amo.6de teolL~a..6 eom

glLupo de .6imetlL~a eontlnuo U(1) palLa o glLupo di.6elLeto ZN*.

Con.6~delLemo.6 uma teolLia eom .6imetlLia U(l) Zndiee -no At d • - ..e.-' (10 14) - ..e. • dna ulLeza a.6 exe~taçoe.6 topo óg~ea.6 ' e lLe a.e~ona a eom a

60ILma da teolLia dua...e.,o qua..e.depende .6en.6ive..e.mentedo n~melLo detelLmO.6 (poteneiai.6)di.6tinto.6 da Hami..e.tonia.naolLigina...e..Se a teo-

lLia olLigina..e.áOIL uma teolLia de um .6imp..e.e.6eampo U{l) e eontivelL k

telLmO.6 di.6tinto.6 na Hami..e.toniana, então ne.6te ea.6O .6elLã p0.6.61ve..e.

e~elLevelL a teolLi.a em telLmO.6 de exeitaçõe.6 topo..e.ãgiea.6 {k-2)-dimen

.6ionai.6. POlLexemp..e.o, o mode..e.ox-y bidimen.6iona..e. (k =2) pode .6elLde.6elLito em telLmO.6 de vãlLtiee.6 enquanto que o me.6mo mode..e.oa tlLê.6dimen.6õe.6 (k = 3) pode .6elLde.6elLito em telLmo.6 de ao n.dtu: de vãlLti-

ee.6 intelLagente.6.

* Na.6 lLe6e~êneia.6 (11-16) voee eneontlLalL~ uma d~.6eu~.6aO ba~tanteexten.6a ã eelLea do mode..e.olLe..e.ãgiobidimen.6iona...e..

-014-

Vevido ao 6ato da4 exeitaç~e4 topol5giea4 depende~em do

n~me~o de te~m04 di4tinto4 da Hamiltonianao~iginal, ela4 n~o:6io

apena4 dete~minada4 pelo Zndiee de 4imet~ia n, ou pela dimen4io

e.,õpac,tal. Pode.mo,õ d.ize.Jtcontudo qu.e.dada uma teoJt.i.a (nã.o tJt:tv.iallcom u.m lnd.i.ce.de. ,õ,tme.tJt.ian, ,õua,õ e.xc.itaçõe.,õ topológ.ica,õ de.ve.m,õe.Jtobje.to,õ pe.lo me.no,õ (n-2)-d.imen,õ.ionai,õ. Con6oJtme. j~ o d.i44tmo,õ na

,õe.ção II-B, a,õ te.oJt.ia,õma.i,õ ,õ.imple.4 com lnd.ice. de ,õ.imetJt.ian P04-

Jtão con,õe.que.nte.me.nte.e.xc.itaçõe.4 topológ.ica,õ (n-2)-d.ime.n4ionai4.A~

,õim, pOJt e.xe.mplo, a,õ te.oJt.ia,õcom ,õ.ime.tJt.ia,õ.imple.,õlnd.ice. 2 e.m d-

-d.ime.n,6õe.,6te.~ão como e.xc,ttaçõe.,6vô~tice.,6 pontuai,6 contido,6 num

e.,6paço d-dime.n,6ional. Po~ out~o lado, a t~o~ia de. Zndice. 2 de.,6c~ita na última ,õe.ção, e. cujo Ham,tltoniano ê a ,õoma da,6 ,tnte.~aç Õ e.,6de. q~at~o CO~po,6 ao longo da,6 plaque.ta,6 e.le.me.nta~e.,6,te.~ão como

,.;I!,

e.xcitaçõ es to polôgica,6 ob j e.tO,6un..{..d,tme.n,6ionai,6do tipo eosuia:s, No,6

ca,6O,6mai,6 e.,6tudado,6,na lite.~atu~a, do mode.lo x~y a·dua,õ e.' t~ê,6dime.n,õõe.,6e.xi,6te.mv2.nculo,6 de. con,6e.~vação de. ,õua,6e.xcitaçõe.,6topE.

lõg~ca,6. A dua,6 dime.n,6õe.,6(de.pe.nde.ndoda,6 condiçõe.,6 de. conto~no)

0,6 vZnculo,6 pode.m toma~ a 60~ma de. uma cond,tção de. ne.ut~alidade.

de. ca~ga,6; o qual implica que. a ,6oma do,6 võ~tice.,6 (vo~ticidade.)

de.va ,6e.~ nula. Em t~ê,6 dime.n,6õe.,60,6 vZnculo,6 de. con,6e.~vação 60~-

çam a dive.~gência da co~~e.nte. de. co~da,6 de. võ~tice.,6 a,6e. anula~,

i,6to ê, e.le.,660~çam V J = O, O~de.Jll ê. a co~~e.nte. (p0,6,6ui valo-u u '""

~e.,6 inte.i~O,6J ~e.p~e.,6e.ntandoa co~da de.võ~tice.,6 e. V~ ê um ope.~a-

do~ de dióe.~e.nça,6óinita,6(18J. No.6 ca,6O,6mai,6 ge.~ai,6, ab~angido,6

no p~e.,6e.nte.t~abalho, e.xi,6ti~io vInculo,6 a,6,6dciado,6com a,6 excita

ç o e s topolõgica,6, ma.6 e.st.e»podem niio pO,6,6ui~ nOJtma tio

como aque.la di,6cutida acima. Re.ve.ndo, no ca,6O do mode.lo x-y t~idi

me.n,6ional, a de.~ivação que. conduz ao vInculo da dive.Jtgência da

co~Jte.nte.da,6 co~da,6(18), vemo,6 que o nato do ope~ado~ linea~ VlJ

apaJtec.eJtna equação de. vInc.ulo,6 e,6tã intimamente. Jtelacionado ao

II

-015-

6ato do~ opt~ado~e~ que de6inem a Hamiltoniana tambim ~e~em

no Hamiltoniano o~iginal ~ão di~tinto~ do~ ~imple~ ope~ado~e~ dedine~ença~, apa~eQe~ao então aut~o~ ope~ado~e~ na equação do~ vln

Qulo~ da~ eXQitaçõe~ topolÕ9iQa~. Po~ exemplo, ~~ a teo~~a U(lJ••.•. !"."'C.

f . ~

o~i9inal 6o~ da no~ma (11.4) Qom ~ = 3, então í~'~ua~topolõgiQa~ que ~ão do tipo de Qo~da~, J , ~ = 1,2,3,

~ .

vlnQulo~ da no~ma V J = O, onde V ~ão ope~ado~e~ deu 1..1 1..1

6inita~. E~te~ ope~ado~e~ V (quando atuado~ ~ob~e oup~oduzem exatamente a~ Qombinaçõe~ .linea~ do~ $ que

~ati~ na~ão

di6e~enç.a~

Qampo $ .)j

emc.ada. um do s a.Jr.gumento.6 de n

llem (11.4) (ob.6e~ve que, em geJtal, II

nio .6e Jr.e6eJr.eidiJr.eçio e.6pa.c.ial, ma..6 ~ .6imple.6mente Jr.ela.c.iona.do

a.o lndic.e p em (2.2)). Veixa.Jr.emo.6 pa.Jr.a.o c.a.pltulo 111 a de.6c.Jr.i-çio da..6 lei.6 de c.on.6eJr.va.çiotopol5gic.a..6 paJLa.·teoJLia..6 c.om lndic.e

de .6imetJr.ia 2, onde tJLa.taJr.emo.6de a.lgun.6 exemplo.6 de.6ta..6teoJr.ia..6.

A 6oJr.mulação das exc.itaçõe.6 topolôgic.a. ac.ima. apJr.e.6enta.·

da..6, emboJr.a. ba..6ta.nte elegante ~ útil, pode nio .6eJL a 6oJr.mulaçio

ma.i.6 a.pJr.opJr.iadaemalgun.6 c.a..60.6e.6pec.16ic.o.6. A.6 c.oJr.Jr.ente.6topolô-

gic.a..6que .6ati.66a.zem lei.6 de c.on.6eJr.va.çãodo tipo VllJll = O (pa.Jr.a.

o c.a..60.6 = 3), podem em geJr.a.l.6eJr.em Jr.ee.6c.Jr.ita..6em teJr.mo.6 de um ou·

tJr.O c.onjunto de c.a.mpo.6 (poJr. exemplo no x:-y tJr.idimen.6ional8,

). Pode .6eJr.vanta.jo.6o, em deteJr.mina.do.6 c.a

~O.6 c.on.6ideJr.a.Jr.a teoJr.ia. de.6c.Jr.ita.em teJr.mo.6 de.6te novo c.onjunto deva.Jr.iâvei.6a.o Ln.vê.6 do.6 J. 1.6 to ~ pa.Jr.tic.ulaJr.me nte ven.dade: no.6 c.a--1.I

.60.6 c.on.6ideJr.a.do.6ne.6te tJr.aba.lho, pa.Jr.a.0.6 qua.i.6 o.6.opeJr.a.doJr.e.6que

apaJr.ec. em na H amilto niana .6 ia mai.6 c.omplic.ado.6 que sLm ple.6 o peJr.adE..

-Jr.e.óde di6eJr.ença.6 6inita..6 (ou di6eJr.enc.ial). Em tai.ó c.a.óo.6e 6Jr.e-quentementedi61c.il teJr.mo.ó uma inteJr.pJr.etaçio ~imple.6 da.6 exc.ita-

çõe.ó topolõgic.a.6 em teJr.mo.6 do.6 gJr.a.U.6de libeJr.dade oJr.iginai.6 da

teoJr.ia. E.óte pJr.oblema não oc.oJr.Jr.eno mod~lo x-y. Ne.6ta teoJr.ia, o

-016-

,,,', '",,'e"~",_••'__ '_~

J

II.jII!

I,

p/tõximo.6 de. no/tma que. nic.a c.la/to que. o võ/ttic.e.~e.p/te..6e.ntaa pa/tte.

inte.i/ta de. um ingulo, c.onno/tmt c.aminhamo.6 de. um .6Ztio ao .6e.uvi-

zinho p/tõximo .6e.guindo um c.aminho ne.c.hado na /te.de..Com inte./taçõe..6

mai~ QompliQada~ tal inte~p~e.taç~o .6imple..6 nio ~ .6e.mp~e.pO.6.6Zve.l,

e. de.pende.ndo da te.o~ia, um e.xame. mai.6p/to6undo pode. c.onduzi/t ã umc.onjunto mai.6 intuitivo de. va/tiáve.i.6, nunçõe..6 do.6 J~. E.6ta ".6itua-

ção ê p/te.c.i.6ame.nte.a que. Oc.o/t/te.no mode.lo e..6tudado po/t Amit e.t

.al(31, Naquele. mode.lo o c.onjunto mate.mátic.o natu/tal de. e.xc.itaçõe..6

topolõgic.a~ .6e./tiam vó/ttic.e..6pontuai.6 e.m t/tê.6 dime.n.6õe..6,ma.6do

ponto de viAta 61Aieo, o eonjunto mai.6 natu/tal ~ aque.le.

po~ exc~ta~õe~ do tipo eo~da.

noic.mado

-011-

CAPTTULO I I I

MODELOS COM SIMETRIA PLANAR

I I l-A - Ausência de Ordem de Longo Alcance em d-dimensões

Nef.da -6eç.ã.o ~aJtemo-6 uma e-xten-6ã.o. -6obJte o Indic.e n de -6i

metJtia de6inido em (11.2) e tec.eJtemO-6 alguma-6 c.on-6ideJtaç.~e-6 -6obJte

a-6 pO-6-6ibilidade-6 de quebJta e~pontanea de -6imetJtia ne-6te-6 modelo-6

na o U.6 uai.6 •

A ge.ne.Jtallza.ç.ão do lndlc.e. de. .6lme.tJtla. n ê 6e.lta. e.xte.n-

de.ndo-.6e. a. fiunç.ão de. c.a.l-éblte.A e.m (11.2). Pe.ltmi;timo.6 a.golta. que. A.6e.ja.uma. 6unç.ão de. ;toda..6 a..6 d-c.ooltde.nada..6 e..6pa.c.iai.6,ma.6 que. .6a.-

;ti.6na.ç.a.0.6 n vInc.ulo.6

(11I.1)

onde. !::.iê o ope.lta.dolt de. di6e.lte.nç.a.6ini;ta. na dilte.ç.ã.oXi. Tal c.on-

jun;to de. c.ondiç.õe..6 pode. ainda. .6e.1t ge.ne.lta.liza.do pa.lta.

(111.2)

onde. O. ê um c.onjun;to de. n ope.ltadolte.~ de. di6e.lte.nç.a.6 (ou na lingua,(.. . -

ge.m do c.on;tZnuo, di6e.lte.nc.iai.6) Line.a.ltme.n;te.i~de.pe.nde.n;te..6. Em ge.-

Ital, a.6 ;te.oltia.6 mai.6 .6imple..6 c.on.6i.6;te.n;te..6c.oma.6 c.ondiç.õe..6 aII.Z)

pO.6.6uiltão in;te.ltaç.õe..6de6inida.6 e.m .6imple.xo.6 mai.6 c.omplic.ado.6 que.

.6imple..6 hipe.ltc.ubo.6.

A c.la.6.6e.de. ;te.oltia.6 c.om dada .6ime.;tltia e.x;te.ndida Zndic.e.

n ;te.ltãmui;ta.6 da.6 me..6ma.6 pltopltie.dade..6 da.6 ;te.oltia.6 c.om .6ime.~ltia Z~

dic.e. n oltdinãltia~. En;tlte. e..6;ta.6pltopltie.dade..6 a mai.6 impolt~an~e. e. a

aU.6ênc.ia de. oltde.m de. longo alc.anc.e. (palta ;te.oltia.6 U(l)} palta n =.ou z. MD.6~JtOU-.6e. 1te.c.e.nte.me.nte.(9) que. te.o~ia.6 com !nd~ce. de. .6~me.-~Jtia n = 1 ou n = 2 não pO.6.6ue.m oJtde.m de. longo alc.ance. palta qual-

-018-

que~ T > O. Reve~emo~, o meno~ pedante po~~lvel, o~ p~ineipai~ a~

peeto~ de~te ~e~ultado. A p~o0a i uma exten~io do teo~ema deMe~min-wagne~.(5-8) e s e ba~eia no us o da de~igualdade deBogotiubovI79,20Ipa~alimita~ ~upe~io~mente o pa~âmet~o de o~-

dem do ~i~tema {po~ exemplo, a magnetizaçao, no ea~o em que a ~i-

met~ia 6o~ global).

Con~ide~emo~ um modelo eom va~iãvei~ deáinida~ no~

tio~ de uma ~ede hipe~eü.biea d-dimen~iona.e.e cu]« Hamiltonia.na z eja dada po~ (11.4). Pa~a z e ana.e.,üa~a e~tltu.tu.lta.de llimetltia de

tal modelo ~egu~mo~ o p~oeed~mento ge~al, emp~egado na p~ova do

:teo~ema de Me~m..i.n-Wagne~, u~ando-~e a de~..i.gualdade de Bogol..i.ubov:

. 2-

~\-'< ~A,Á~r)<[C, \-11,ct] '> ~ \ < [C) AT/\ (111.3)

onde a adaga deno t:á o He~m..i.:t..i.anoeonjugado, e [,lj t)l deno-

:tam ~e~pee:t..i.vamen:teo~ eomu:tado~e~ e an:t..i.eomu:tado~e~.<o> ~ep~e-~en:ta a mêd..i.a:têlLm..i.eado opelLadolL a- ã :tempe~a:tulLa T = f3-1. Veno

:tamo~ pOlL \tp<.~» o es xa do (ou con6..i.gulLaçã.o)do ~..i.~:tema, de6..i.n..i.

do pelo c.onjun:to {,6c~)} palLa xo dos os po nxo s t« ne.d«, Pode-

mo~ ene6n:tlLalLope.lLadolLe~ A e C :ta..i.~qu.e pela ~ua açao ne~:te~ e~~ddos no s condu.za ã l..i.m..i.:te~~ upelL..i.olLe-6da mag ne:t..i.zaç.ã.odO-6..i.~:tema.

Um c.onjun:to de-6:te~opelLado~e-6 ê dado pOlL:

(111.4)

e

(111.5)

11 i

-019-

I

onde. lt,(~):.\1('i-)+b~CoS~1». -=>

\ ~2ti):. \~f;')+se} s~y..-r:.."'t.> (111.6)

Na~ exp~e~~oe~ aeima 6. i um eampo eon~tante pequeno e

k ~ão veto~e~ de onda. peJLteneente~ ã. p~imei~a zona de B~illouin.

H:: ~o(9) - h ~ cos ~(:;.).x.

onde. Ho é aant.iga Ham.ilton.iana (11.4). A~~um.imo~ que. nao haja e.x

pl.ic..itame.nte..inte.ltaç.õe.~de. longo alc.anc.e., .i~to é l:tjl de.ve. ~e.1t 6.in.ito. A~~um.imo~ também que. a~ 6unç.õe.~ 6p e.m (11.4) po~~am ~e.1t e.x~

paYj.d.idal.l,e.m ~élt.ie. de. Taylolt, e.m toltno do ze.lto de. ~e.u altgume.nto.

Con~ideJLemo~ O eaao n = 2. PaJLa ~e e~tudaJL a po~~ibili-

dade. de. queb~a e.~pontânea de ~ime.t~ia global, eon~ideJLamo~ a Ha-

miltoniana da 6o~ma (11.4), eom um te~mo adieional que queb~e e~-

(111.7)

(111.8)

Ul.lamol.lagolta (III.4) e. (111.5) palta c.alc.ulalt (III.3).Pa

{Il1.9)

(111.10)

e. qu.e.

11 :

:te.ttmic.a de

-020-

(111 .11)

onde. a.6 c.on.6:tan:te..6 Cp , nottam in:tttoduz-ida..6 e.m (11.4) •..{.

A.6.6um-imo.6 que. a me.d,[a :te.ttm,[c.a < f~ ,>.$ G'do p, onde y e. tteai P0.6-i:t,[vo. Tomando-.6e a me.d,[a.' *(111.11) ob:te.mo.6

patta :to-

(111.12)

U~ando-~e a~ Equaçõe~ (11.9-12) em (111.3) ob~emo~ a de~igualdade-L

yytl. ~ I3N L__~ _f ~ l' L. br -+ 'nm.

i'onde a .6omaem t. e .6obJte.a pJtime.iJtazo'na de BJtillouin e.

(111.13)

(111.14)

Mo~~JtaJte.mo~a ~eguiJt que .6e Ho 60Jt invaJtian~e

tJtan~6oJtmação

pela

(111.15)

então a .6oma ~obJte k em (111.13) diveJtgiJtã no limite ~eJtmodinami-

co a medida que h tenda a zeJto, implicando que a magne~ização de-va ~eJt nula ne~te limite.

Con6oJtme di.6cuti..mo.6no c.apZtulo lI, Ho deve ~eJt e.6ctito

* Ob~eJtve que e~tamo.6 li..dando com uma t~otia clã~.6ica,-+-"f2.e.:tf.>" ~ão ve.:tone.6 .Ltl1.ha-6 e c.olul1.a.ó 11.0 e...ópaç.o x e 06

.6ã.omatJtize~ que agem ne..6te.e.ópaço.

"bJta~" eope..Jta.doJte...ó

I1

-021-

na 6o~ma (11.41, em que cada oun~ão op ê inva~iante 4epa~adamente

po~ (111.151. Mai~ ainda, o~ coeoiciente~ CPj pa~a cada potencial

deve ~ati~oaze~;

(111.161

cente~ ao plano (xl'expandi~ Ep em ~ê~ie

*x21 . Como Ep = O pa~a "1 =

de Taylo~ noento~no de ~eupodemo~

onde a ~ep~e~enta o Qonjunto de todo~ o~ lndiQe~ de ~pin~ pe~ten-

ze~o, e te~emo~;

(111.17)

onde Up' vp' Wp ~ao 6unçõe~ 6~n~~a~ de k. Con~~de~e ago~a uma ~ede de d~men~ão l~nea~ L mu~~o g~ande. Ve6~n~ndo-~e

UCE")) ;;: õ' f ()p l~) ; ezc , e ~~oc.ando-~e a ~oma ~obJte k po« uma~'

~n~eg~al, a de~~gualdade (111.13)no~ da~i

(111.18)

onde

(111.19)

c.omo E P ~ O paJta c.adà p, olha.ndo a ~egião de in~eg~ação onde k: 1

e k:z ~ão pJtõximo~ de r ê c.laJtoque 1d diveJtgiJtãpelo meno~ c.omo

lnL no limi~e h -+ o. POJt~an~o, no limi~e ~eJtmodinâmic.o m2-+ O c.on

60Jtme h -+ O e o ~i~~ema não exibi~ã oJtdem de tongo alc.anc.e, i~~o

ê, a ~ime~Jtia global não podeJtã ~e~ quebJtada e~pon~aneamen~e.

* Na no~ação do c.on~lnuo ~~~o ê equ~valen~e ã 46iJtmação que Ho d~pende apena~ de ~ atJt~vê~ de al~ e a2~. 'l~to ~eJtmite que tenha-mo~, em H , teJtmo~ do tipo (a3a2~)' ma~ nao podemo~ ~eJt teJt-

o . 2mo~ do tipo, pOJt exemplo, (a3~) .

I ~

-022-

Cont~a~tand~ o~ a~gumento~ acima meneionado~com aquete~ u~ado~

. (5- 8 1na p~ova u~uat do teo~ema de Me~m~n-Wagne~ ,vemo~ cla~amenteque o nato e~~enciat que no~ conduz ã au~ência de o~dem de tongo

alcance n~o i a dimen~ionalidade do ~ihtema,ma~ ~ima dimenhiona

lidade do ehpaço,~upo~te ~ob~e o qual a ~imet~ia i global. E t~i-

vial apliea~-~e o~ a~gumento~ acima explicltado~ pa~a p~ova~ que

tamb~m não pode exi~ti~ o~dem de longo alcance pa~a teo~lah com'um Zndice de ~imet~ia n = 1. Pa~a i~to ba~ta nota~, que quando

n = 1, E: pode ~e~ e~c~ito da me~ma 6 o~ma que (111. 17), comp v =p= Wp = O, o que LmplLca~ique a dive~g~ncLa de Id, no limite te~-modlnâmlco, ~e~~ no m1nimo linea~.

Mo~tlLa~emoh a'~egui~ que pa~a a~ teo~a~ com Lnâi.ee» de~imet~ia n = 1 e n = 2, ~ao apena~ a himet~ia global nio pode he~e~pontaneamente queb~ada, mah de nato, todah a~ himet~ia~ ~emi--locaih de l.ndice 1 e ,2 nio podem he~ e~pontaneamente

nehtah teo~iah. Concent~a~-no~-emoh novamente no ca~o n = 2, poih

e himple~ conht~uilL a~gumento~~imila~e~ pa~a o caho n = 1.

himetlLia hemiglobal n = 2, p~ecihamoh acopla~ em H , um potencial, oque apenah queblLe tal ~imet~ia, deixando ah demai~ ~ub~imet~ia~

da himet~ia l.ndice 2, pa~ticula~mente a global, intactah. Como Ho

e inva~iante po~ (111.15) podemo~ 6acilmente conclui~ que o obje-

to ~elevante pa~a ~e tehta~ a queb~a da ~imet~a n = 2 e a 6un-

çio de doih pontoh,de6inLda po~:

(111.20)

+. -onde M e um veto~ dehlocamento qualque~ na ~ede, com p~ojeçio nao

nula no plano (xi: x2). t cla~o que ~ f'11 possui ~imet~ia glo-

bal, embolLa nio pOhhua a ~imetlLia n = 2~ConhidelLemo~ po~tanto a

Hamiltoniana:

I II

-023-

\-\ _ \-\ _ h.., L \:(1)- o M ~ M

o paJtâmetJto de oJtdem alllloci,adoã llimetJtial.ndic.e2 lleJtã

(111.21)

dado pOJt:

Állllim c.omo 6ize.mollno c.a~o da ~ime.tJtia.globa.l, te.~ta-

Jtemolla POllllibilidade de quebJta.da. llimetJtia.~e.mi-9loba.l n = 2 c.a.l

c.ula.ndo-~e.(111.22), u~ando a Ha.m~ltonia.na.(111.21), e então to-

maJtemOllo limite. ~~~ O -. Ca~o mM se]« nã.o nulo, e.m tal limi-

te, te~Iamo~ a queb~a e~pontânea da'~imet~ia ~emi-global. A 6im. 2

de c.on~t~uiJt-~e um limite ~upe~o~ paJta mM u~amo~ novamente a de

~igualdade de Bogoliàbov (111.3) c.om o ope~ado~ Ck de6inido po~

(111.4) e

~ \~('2i) =- ~ í.c.o-ty- ~~. (1-t\~'\tt~("f))\~\(1)'')

.•L lSl~~r-S\·V\t·(9)-M)j~M(1(f)) \~,(5\»1 .

(111.23)

onde, da .me~ma 6o~ma que no c.a~o global

<P1(~):: \4 (;,) ~~c:f c.os-E.::'>

12(~) ~ l4>c~) + 'b~ s~V\-t.~> (111.6)

e

E6etuando-~e c.ãlc.ulo~anãlogo~ ãquele~ ~e.alizado~ pa~a ~e. obte~

(111.13), obte~e.mo~ a de.~igualdade.

(111.25)

-024-

(111. 26)

Como ~ po~~ue eomponente~ 6o~a do plano (Xl' x2), o nu-

me~ado~ do integ~ando de (111.25) nio i nulo quando ~1=k2=O. Vevi

do ã po~itividade do integ~ando em (111.25) a anãl~ e p~o~~ egue. da

me~ma áo~ma que em (111.19). A inte.g~al dive~ge,no Limite te.~mo-

dinâ.mieo, dev1.do ã. eont~ibu-i..çio do -i..nteg~ando nll~ ime.d.illç.õe.~ de.

~1=~2~O. A d.ive~gêne.ill1-

~equentemente \'VL'M :. O

tJt,i,a.Ind,i,c.e.2 não pode

i pelo meno~ eom lnL eon6o~me hM ~ O. Con-

no l.im.ite.te.~modLnam.ieo e.'po~tllnto a ~ime

~e.~ e~pontanellmente ~ompida.

t inte~e~~ante ob~e~va~ que e~~enc~almente o~ mecan~~-mo s ~e~ po n~ã.ve~~ ã au~ênc~a de qU,eb~a 'de ~-i.met~~asão os me~mo,6,em ambo~ o~ ca~o~ anali~ado~. Sã.o a~ ~e~ma~ excitaç~e~ de "60-

non~" de g~ande comp~imento de onda (a~~ociada ao ea~ã.te~ contZ-

nuo do g~upo U (1)) que induzem li 'de~o~dem, em ,amba~ a~ ~imet~ia~.

Podemo~ aplica~ a~gume~to~ ~~m~la~e~ pa~a ~e te~ta~ a queb~a de~imet~ia u~ando-~e, ao invê.~ da 6u.nção de co~~elação M..-ll , 6un-

t1- - *çoe~ de co~~elaçao de multico~po~ .

Fecha~emo~ e~ta ~eção com uma di~cu~~ã.o ~ob~e po~~Zve~~

exten~ Õ es ao te.o~e.maacima. A p~imei~a e.xte.n-6ãoco~~e.-6ponde. a -6~-'

me.t~~a-6-6e.m~-locai-6da 60~ma ge.~al (111.2), ~~to ê., a ~~tuação e.m

que. a 6unção de. cal~b~e. A ê. 6unção de.toda-6 a~ d coo~de.nada-6,ma~

-6uje.~taa n vlnculo-6 da 6o~ma .

(111.2)

-6e.ndoO. um conjunto de. n ope.~ado~e.-6de. d~6e.~e.nça-6l~ne.a~me.nte.~n~

de.pe.nde.nte.-6.Não ê. d~6Ic~l e.-6te.nde.~--6e.0-6~e.-6ultado-6aci~a de.mon-6

t~ado-6, pa~a e.-6ta-6~me.t~~aIndice. n mai-6 ge.~al. Lemb~e.mo~ que. no

* Um e.xe.mplode. uma te.o~~a cuja ~ime.t~a ~e.m~global ê. a~~ociada li6unç~o de. eOhhe.laç~o de. 4 eOhpo~ 60i e.6~udada phev~amen~e. na ~~~e.~atuha(4) e. -6e~ã.b~e.ve.me.nte.anali~ada na p~5x~ma -6e.ção.

-025-

ea~o ~e~t~ito de t~an~no~mação do tipo 1111.151 todo~ o~

em No dependem de ~ apena~ po~ meio de al~ e 32~' o que implicava

que o ,[nvelL~odo plLopa.ga.dolL,no e~paç.o éos momento.&, deveJt1.a te~

te~mo~

a no~ma 1111.171. Vome~mo modo, exi~te uma g~ande ela~~e de ope-

~ado~e~ 01 e 02' tal que a ~imet~ia ge~al (111.2) em Ho impl~ea

que ele deva depende~ de ~ po~ meio de 01~e 02~' 1~to" impliea~â

que Ep te~â uma e~t~utu~a ~imila~ a 1111.171, em que o papel dek1

2 e "k22 ~elL~ de~empenhado pot out~a~ eombinaç~e~ quad~ât~ea~ do~

momento~, ~e6let~ndo a no~ma do~ ope~ado~e~ 01 e 02' t po~~Zvel

po~tanto, em muito~ ea~o~, e~tabeleee~ um l~m~te pa~a o quad~ado

da magnetlzacio (ou 4lguma &unç~o de m ponto~) da me~ma 6o~ma da-

quele eneont~ado ante~~o~mente em (111.18) ou (111.25) ~nd~cando

a au~ênc~a de queb~a e~pontanea de ~~met~~a global ou Zndice 2

(plana~). t ~nte~e~~ante, embo~a não o 6~zemo~, de~eob~~~ p~ec~~amente a~ cond~çõe~ ge~a{~ nece~~ã~a~ pa~a que o~ ope~ado~e~

d - *no~ con uza a tal eonclu~ao .

o .-<.

Out~a~ gene~al~zaçõe~ po~~Zve~~ de no~~o teo~ema ec com

~e~pe~to a teotia~ com ~~met~~a~ não Abel~ana~, e com teo~a~ comma~~ de um campo. t cla~amente ~azoãvel ac~ed~ta~ que ~elJultado~

~~m~la~e~ pOlJ~am ~e~ p~ovadolJ no caz o de~~met~~a~ não Abel~ana~,"

po~~ ge~almente e~pe~amo~ que a delJo~dem é ma~~ 6ac~lmente ge~ada

con6o~me o nú.me~o de gJtau~ de l~be~dade, poJt"ponto da Jtede,cJte~-ce. No ca~o de teoJt~a~ com ma~~ de um campo e~calaJt elementaJt, a

geneJtal~zação de no~~o teoJtema no~ deve pe~m~t~~ d~~cut~Jtmo~ a au

~ênc~a de queb~a de ~~metJt~a numa va~ta va~~edade de teo~~a~, ~n-

do de teoJt~a~ globalmente ~~métJt~ca~ adua~ d~men~õe~ até teoJt~a~

com ~nvaJt~ança local em qualqueJt d~men~ão.

* Na pJtôx~ma ~e.çiio veJtemo~ um exemplo âe uma. teoJt~a com Ln dl.c e. de~imet~ia nz2 inva~iante pela tJtan~6o~maçao geJta.l1111.2), e quenão ex~be quebJta e~pontânea. de ~imetJt~a.~.

-026-

IIt-B -Modelos Especfficos

A ma.ioJÚa. da.-6plLopJÚedade-6 lLelevante-6 da-6 teoJÚa-6 c.om

-6imetlLia-6 não u-6ua.i-6, que e-6tamO-6 tlLata.ndo ne-6te tlLabalho, podem

.s e« enc.onVta.da..6 emmodelo.6 bd.6.tante--.6i.mple.6. Ne.6ta. -6 eç.ão di-6c.utl-

lLemO-6 alguma-6 de-6ta-6 teoJtia.6 e enumeJtaJtemO-6 -6ua-6 pec.uli.aJti.dade-6.

O modelo mai-6 -6imple-6 dentlLe 0-6 tlLê-6 -6elLã tlLatado, pOlL c.omplete-

za., c.om deta.lhe.6 pedantic.o-6.

1)01.-6 dO-6 modelo-6 que di.-6c.utiJte.mO-6sao auto duai» , no -6en-tido ge.lLa.l de.-6c.lLltona. -6e.ç.ã.o(II-C) e um telLc.eilLo, batizado pOlL

mode.lo de. tJt~~ plaqueta-6, .~ de. ~ato dual i uma teoJti.a de c.ali.bJte.

- (loc.al J. r nc.lu1.mo-6-e.~te. te.Jtc.e.iJtoe.xe.mplo paJta ilu~tlLalL o 6ato de.

que. autodual~dade. não -ê um ~nglLe.d~ente. e.~-6enc.~al na deteJtminação·

da.6 plLoplLiedade..6 c.1L1.tic.a.6de..6ta c.la-6-6e.de. teoUa-6.

Ante.~ de. pILO~l>egu~lLmo~ paiu: e.xe.mplo~ e.6pec.1.6~c.o.6, go~ta

lL1.amO.6 de de.6~nilL 0.6 t~pO.6 gelLa~-6 de. inte.lLaçõe..6 que. U.6-alLe.mo~ na

c.on.6tlLução de. no.6.6O.6 mode.lo.6. No c.onte.xto de. uma Jte.de hipe.lLc.úb~c.a

.6~mple..6 c.om .6pin.6 U(lJ loc.alizado em .6eu.6 .61.tio.6, de.6inimo.6 uma

.~nte.lLaç~o lL-d~me.n.6~onal mult~plic.ando-.6e e.ntlLe ~~ 0.6 21L .6pin.6 pe.1L

te.nc.ente.6 ao.6 v;lLt~C.e..6do.6 elemento.6 lL-d~men.6~ona~.6 da lLede. A6~m de mantelL-.6e a .6~me.tlL~a global, a ~ntelLaç~o ê deó~n~da toman-

dO-.6e o c.omple.xo c.onjugado da metade do.6 .6p~n.6 em c.ada telLmo da

~nte.lLação. Em ge.lLal, pOIL.tan.to, 0.6 .t~pO.6 de. -i.n.te.ILa.çãe..6que. e.-6.ta.mo.6

~n.te.ILe..6.6a.do.6.6ão da. .6e.gu-i.n.te6olLma.:

+ r- I\..

... 5 (i +L Xj) + c.C. 'j=\

(111.27)

onde. ~ -i.nde.xa.o .62.t~0 da. lLe.de.e x· ê a. c.oolLdena.da. do v~z~nho pILO-J

II

~021-

x.<.mo a.o .f>1..t.<.oi: na. dÚteç.ã.o e s pec.'<'á.<.c.a.da.·pOJt x'.. j

Vemo6 na 6iguJta. 2, a.ba..<.xo, exemplo.f> numa. Jtede h.<.peJtc.~b~

c.a. da.6 ..tn.teJta.ç.õe.f> 11 (..tj xI)' . 12 (.i; Xl' x2) e 13 (.ij X]' XZl X3) •.

tS s

1\

Xj

L~Xi5 (r ) 5 (r + x ~).~---~•. .------ .•...•+

5SCr)

I 1 cr; Xi)

+S

S---.....II~---II

,tSCr))~~----,-,-,-,,-,,.

+5

AX·J

+S S

Fig. 2

II

-028-

Con6o~me j~ adlantamo~ na ~eçio (11-B), podemo~

t/tu.,[Jta Ham.,[Ltonlana de uma :teo~.,[ac.om lnd.,[c.e de ~.,[metJt,[a.nIa. d

c.on~-

dlmen.6õe~J tomando uma lnteJtaçio da áoJÍ.ma (111.27) c.om Jt = d-n+.1 e

(n-l) .,[n:teJtaçõe~de do.,[~c.oJtpo~, en:tJte v.,[z,[nho~pJtõx.,[mo~,(Jt=1) ao

longo da~ (n-l) d.,[Jteçõe~ oJt:to90nai~ ao ~ube~paço (d-n+l)-dimen~i!

nal da ~ede, ge~ado pelo .6,[mplexo que Qe6,[ne ld-n+1, Ls :» ê:

(111.28)

A Hamil~oniana aeima ê elaJtamen~e invaJtian~e pela ~Jtan~

6oJtmação

(111.29)

onde:t deno t:á a ~I~io da nede euj a« eo oiuienaâás siio (xl'x2, .•. ~xd)

e. Ai ~ao 6unçõe~ aJtbi~JtãJtia~de ~·eu~ aJtgumen~o~.

o pJtimeiJto, e mai~ ~imple~, modela que ~Jta~aJtemo~ ê um

modela eom Indiee de ~ime~Jt-i..an=2 em ~Jtê~ dimen~õe~, a qual deno

*minamo~ modela 24 de FeveJteiJto . Seu Hamil~oniano ê dado pOJt:

(111 •.30)

ande 11 e 12 ~ao de6-i..n-i..do~poJt (111.27) e o~ ~pin~ S{:t) ~ã.o vaJtiã

vei~ peJttene~n~e~ ao gJtupo U(I).I

Se?) ::.JQcf (\ rf(7)) O~ q,c~)< 2.~ (111.31)

* Tal denom-i..naçã.o.s e deve ao 6a~o da mO,delo ~eJt eompo si:o pOJt -i..n~~Jtaçõe~ de 2 e 4 cOJtpo~ e eoincidentement~ teJt bido inven~ado no

dia 24 de 6eveJtei~o.

-029-

ou do glLupo ZN

1111.321

A~ ~nte~açõe~ ~ao po~tanto de dol~ co~po~ na d~~eção l

e de quat~o co~po~ ao tongo da ptaqueta etementa~ no plano x-y

(veja Fig. 31. t nãci1 velL que e~tateolLia ê inva~iante mediante a

t~an~6o~maç.ão

(111.331

.6endo "1 e À2 áunç.õe.6 aJtb-ttJtã.~-ta~.Ex-t.6tem pa.Jta.es t:« modelo, duas

.6-tme.tJt-ta..6 d-t.6.t-tn.ta.~c.om l.nd-tc.e de .6-tme.tJt-ta. n= 2: H e. -tnva.Jt-ta.n.te pOJt

uma. Jto.ta.ç.ãoun-táoJtme de .todo.6 0.6 .6p-tn.6num pla.no qua.lqueJt x-z ou

Ij-Z. Como À1 (x) + "2 (y) não e. 6unç.ão a.Jtb-t.tJtã,Jt-ta.de' x e Ij, a. xec-

Jt-ta.não pO.6.6u-t.6-tme.tJt-ta.1.nd-tc.e -1.

I--~ A

Y

"X

Fig.3

-030-

No ea'o em que o~ ~pin~ pe~tençam ao g~upo ZN' podemo~

JLe.e.~c.JLe.ve.JLa Ham..i.lton..i.a.na. (111.301 na 60lLma

(111.34)

onde.

1111.35a)

e

(111.35b)

-ê-f..endo x, y e z ve.:tolLef..un-i.:tã.!Úof..e p(lL) = O,l, .•• ,N-l. A plL-ime-ilLa

f..oma em (111.34) ê. s obne. o s f..Z.:t-iOf..(S) enquan.:to que a f..egunda e

f..oblLe .:todaf..af..plaque.:taf.. elemen.:talLef.. (p) da lLede no plano x-y.PolL

f..-impl-ic-idade nof.. concen.:tlLalLemOf.., daqu-i pOIL d-ian.:te, ao caf..O -if..O.:tILÔ

p-ico J = k e af..f.,Um-ilLemOf..que a .:teolL-iaef...:teja de6-in-ida numa lLede6-in-i.:tade d-imenf..ã.o l-inealL L e f..uje-i.:taacond-içõef.. de c.on.:tOlLno pe-IL-iôd-icaf...

o modelo (111.34) ê. au.:todual no f..en.:t-idogelLal, -if...:to

f.,ua 60lLmulaçã.0 Gauf.,f.,iana pelLiôdica (ou nOlLmulaçã.o Villain(17))

-e,-e

au:todual (veja f.,eçã.o lI-C). Maif., ainda, o Ham-il:toniano dual P0f.,-

f.,ui a mef.,ma nOlLma que (111.34), inc.luindo con:tudo, halLmÔnicof., ex:-

:t H' 0.:t' , , o (1 2 - 1 5 ) A o ' - d :t 'Aaf., no am~, on~ano olL~g~na, .. genelLa,~zaç.ao a eOIL~a

(111.34) que inc.lui :taif.,halLmÔnicof., ~elLi en:tio au:todual no f.,en:ti

do Uf.,ual ( 12 -1 5, 21 - 2 5) •

de (111.34) ê dada pOIL00 00 00

Z)~)::1: L L ecf-~\L.l'\tc;~)-2l\~12-\?lr ):-ci>} l'1=-(0) {\'-001 ~ s

-+ ~ \'.b4rt?) -:<1\ "rY "}. IITI .36)

II

-031-

onde 6o~am int~oduzido~ o~ eampo~ intei~o~ kz e

peetivamente na~ligaçõe~ z e na~ plaqueta~ do~

k d~6inido~* ~e~p

plano~ x-y. A 6im

de e6etua~a t~an~óo~mação de dualidade, ~amo~ a& nô~mula~ de ~o

ma. d e. P o i.6.6 o n :

(11I.37a)

e

(111.37b)

e obtemo.6

(111.38)

onde e(s) ê uma eon.6tante mult~pl~eativa (não .6~n9ula~) .6em ~mpo~

:tâne~a. 0.6 eampo.6 lz e lp sõ» de6~n~do.6 na.6 l~9aç.õe.6 e na.6 pla-

que:ta.6X-Ij, ~e.ópee:t~vamen:te; po~ eonven~êne~a podemo.6 e.6e~evê-.e.o.6em :te~mo.6de qua:t~o out~O.6 eampo~:

1~(t+~)= N \ (F\~) + U2 (F)-f ~ )

J,tr'+{):: N kp(r. ~} + L{p(~~~)

·(111.3"9a)

(111.39b)

* O obje:t~vo da ~nt~odução de ta~.ó eampv.6 ê a ~e~:tau~aç.ão da pe-f1.~od~e~da.deN da. Ha.m~.e.:ton~a.na.que e peJz.d~danuma .ó~mple.6 apJz.ox~mE:.ção Gau.6.6~ana.

I1

-032-

c.om

(III.39c.)

e então (111.381 toma a 6o~ma:

N-\

L elCfi\ 'L~~t(,,)-t~ LIy\ 'rm~. (!I1.40Jip(f);:g).s ,

A 6im de e6etua~~4e a 40ma 4ob~e p{l) devemo4 p~imei~a--+

mente i4ola~ p(~), o que pode 4e~ 6tito pela inte9~açio po~ pa~-

te4 :

(111.41a)

e

(111.41bl

A última 40ma em (111.401 pode 4e~ e4c~ita como

N-\

1Í L -2Xf ç i3:'! b{;)J !l..t.4'Uy(7- ~:Y)- N À:.t\P'-~)]t. (1I 1. 42 Jr p(r)=c l N \ ~11 211 JComo Zv ê. peJtiôdica em Ap =. :nÃ4Up e em A2 -=-~ Â2 Ua com

peJtZodo N, podemo s Jtede6úúJt a4 vaJtiã.vei4 A e A como vaJtiã.vei4p ,2

modulo N, e a 40ma (111.42) n04da~ã. um pJtoduto de delta4 de

KJtoneckeJt, a44ociadõ4 a04 ponto4 da Jtede:.(11L43)

II

-033-

(111.44aJ

o ~ t(p I u.~~N- \ V f J ~

int~oduzimo~ o eampo dua! l{(~)(III.44b)

1 de6~nido na ~ede dua!:

(111.45)

Pa~a ~ati~naze~ (IIl.44) O Qampo dual deve ~e~ um eampo...,.

l.nte1.~o, O~ 1\-(~)~ N-l, ta! que:

(mod N), (111.46a.)

e

(mod N) (111.46b)

~ áieil inve~te~-~e a.~ equa.~oe~ (111.46) de modo a. ob-••I (::r)teJz.mo~ 'f em teJz.mo~ de Uz e Up. Uma po~~Ivel ~olu~ão e dada

pela linha de va~ãvei~ Up:C)O

'Yct) = L ~ (P + ~_~:.Y- Yl~ )»=0 2.(111.47)

Jz.epaJz.e que os vZneulo~ (111.44) no s peJz.mite tJz.an~6oJz.ma~õe~loc.ai~

de c.alibJz.eao lo~go dal-inha de (111.47), de.maneiJz.a que exi~tem

um numeJz.oin6inito (di~c.Jz.eto)de ~olu~õe~ equivalente~.

Em ~uma.,paJz.a.c.ada.c.on6iguJz.a~ãoda~ vaJz.iãvei~ Uz, Up po-

demo~ c.on~tJz.uiJz.uma. con6iguJz.ação c.oJz.Jz.e~pondenteda~ vaJz.iãvei~

daa.i» -t (~) * , ou inveJz.~ amente, dado u.m c on]unto de c.ampo« du.a.i:«

a~ equaçõe~ (111.46) no~ peJz.mite c.on~tJz.uiJz.uma c.on6iguJz.ação de va

* Na Jz.ealidade paJz.a..c.adac.on6iguJz.a~ãode vaJz.iãvei~ Uz' Up exi~temG c.on6iguJz.açõe~ equivalente~ de 1.J.C~) ,. onde G é a degeneJz.e-6c.ên-cia do e-6tado 6undamental da HamLltonLana. Veja ~e6~. 121-25) pa-Jz.adetalhe de-6:teponto.

II

-034-

.6obILe ° c.onjunto

-U , U em teILmO.6 do tILaç.o .6o bILe 1l (r)z p 1em (111.40) obtemo~ a óo~ma duai de Zv

e u.6ando-.6e (111.46)

(111.48)

- .o~d~ C(sl ~ uma con~ianie multlpllcat~va e S e p ~e6e~em-~e ao~

~1.t-é..o~e p.taqueta.6 x-y da te.ede dua.t, te.e.6pec.t-é..vamente,e

.,. N'), "

f.> ~ 1'\t'~

Compate.ando-4e (111.49) c.om (111.36)

tado

(111.49)

c.hegamo.6 ao -é..mpo~tante te.e.6u.t-

(111.50)

o que. pte.ova a autodual-é..dade. da te.ote.-é..a.t.6te 6ato no.6 gate.ante. que.

c.a.6O o mode.lo ex-é..bauma ún-é..c.atte.an.6-é..çãode. 6a.6e, e..6ta de.ve oc.ote.-

te.e.tc.no ponto autodual B = B* =" N/2w.

No apênd-é..c.e.B c.on.6ttc.u1.mo.6,pote. c.omple.te.za, a ttc.an.66otc.m~

d d O"d d - H "O " " - " (26 27) (çao e. ua~~ a e. na ve.te..6ao am~~ton~ana quant~c.a' te.mpo

c.ont1.nuo) de. (111.30). Ne..6ta ve.tc..6ãomO.6tte.amo.6 que. o mode.lo, a.6.6im

c.omo na ve.te..6ãoc.lã.6.6ic.a Villain, ê autodual pate.a todo N.

Con6ote.me. me.nc.ionamo.6 ptc.e.viame.nte., e..6c.olhe.mo.64 6ote.ma

Gau.6.6..iana pe.te...iõd..ic.ae.m (111.36) .6ome.nte. pote. te.azõe..6de. .6..implic.ida-

de.. Pode.tc.Zamo.6 igualme.nte. te.te.utilizado a Hamiltoniana ge.-te.al(12-15,24) que. p"o.6.6ui a.6 me..6ma.6 pte.op.te...ie.dade..6de. .6ime..:tte.ia que.

(111.34) ou. (111.36).

I1

-035-

_LtN1J ç L (~d.A b{f)-\)~I.(f.oto{,\~til) - I)} J (111. 5n- H - O{ l. S 2.1 F

ol; ,

ond~ [N) hlgnlblea a pant~ lnt~lna dt ~ . Oh pOhhlv~ih va!on[h

do s pe.6o.6 de BoLtzmann,lLenelLente.6 ã.6 intelLaç.õe.6· na.6 ligaç.õe.6 ep.ta.qu..e.ta..6 .6a.o:

(Il1.52)

PalLa enetualLmO.6 a tlLan.6nolLmação de dualidade expandimo.6 0.6 pe.6o.6de Boltzmann, lLe6elLe.nte.6 a eàdà ligaçã.o z ea cada: plaqueta (x-y~

em .6êlLie de FoulLielL no glLupo ZN.

(111.53)

*onde a.6 c.on.6tante.6 Xa, a=O, 1, ••• , N-7 .6ã.0 -6unçõe..6 do s ac.oplamen

tO.6 JI' J2, .• "' J[N] e podem .6elL obtida.6 invelLtendo-.6e (111.53)

>:0 4) ..• N-\I) , J (111.54)

Vevemo.6 pOIL~anto telL apena.6 c.O.6eno.6 na expan.6ão de FoulLielL:

(111.55)

e exponenc.~ando-.6e a explLe.6.6ã.o ac.~ma, temo.6:

(111.561

I1

-036-

onde Ja.* .6a.o 6unç.õ es do.6 a.c.o pla.me.nto.6 oJt.ig.ina..i.6J l ' J 2' ... , J [N1·-U~ando~~e 1111.53l e 1111.56l na 6uncão de pa~t~cão ~e6e~eftte 4

Ha.m.ilton.ia.na. ge~a.! 1111.51l, obtemo.6:

~-,.L '-l<f i \~Il.e l\~(f)~1LIy L'>4,\,{r)1·~?l~:O 1 .

onde. U e. U .6ao vaJt..i.â.ve.-i.6den-in-ida..6 na..6!-igaç.õe.6. ·Ve 6oJr.ma.-idên-z pt-iea ao que. 6ize.mo.6 e.m (111.41) -i.6olamo.6 a.6va,4iâ.ve.-i.6 p(4) e. e.6e.-

(111.57)

tuamo.6 a.6 .6oma.6 .6ob~e. p(4}, obte.ndo paJr.a o ú!t-imo te.Jr.mo de.

(111. 57) 0.6 v1.neu!o.6

(111.43)

(III.44-47), mutatu.6 mutant-i.6, o eampo dual

ça.o

( 111 . 58)

-onde. V(J ) ~ uma. eon.6ti"te.. Ve..6ta ~o~ma obte.mo.6 o -impo~tante. ~e.-a

.6ultado :

(111.59a)

II

-031.

ou em te~mo~ do~ nato~e~ de Boltzmann

E~te ~e~ultado ê a gene~aLtzaç.ão da autodual-i.dade de K~ame~

Wannle~{,61 pa~a ume~paço eom"ma~~ de um aeoplamento. A ~upe~-

61eie autodua! ê aquela ~upe~61e~e 6~xa (eom ~e~pe~to ã t~an~áo~-

maçao de dual~dade) dada pela~ eq"açQe~:

r -:.Q I ... lNl~ I) J

(111.60)

Repa~e que e~te~ ~e~ultado.6 .6ao exatamente anã.logo.6 âque.te.6 eonhe

e~do.6 do modelo global ZN ~ dua.6 d~men4õe4, e modelo de ealib~e

ZJ.J a. Qu.at./lO d.i.me.n.Aõe..A Íl2,13) *.A UVUd6 Poti.6(Z91" de no.6.6O modelo1 " Nco~~e.6ponde a te~mo.6 J1 = J2 = = I (1-(-1) ) J[N] e e.6ta i au

todual pa~a todo N com ponto deautodualldade.

(111.61 )

enquanto a ve~~~o ~el5glo (111.34) que co~~e~ponde a 1 = lê 1a,(111.51) i autodual pa~a N = 2, 3 e 4 com ponto.6 de autoduallem

da de

~ Em ge~al, a e.6.t~u.tu~ade dualldade pa~a .toda.6 a.6 .teo~la.6 ~u.to-dua.I:« de um dado 9~Upo de .6ime.t~la, dev e :se~ ldên.tic.a, lndependen'+ d d' , O'd d d (12-15 2"1.;.25) F' +"+ --i-e a -<.men.6-<.ona-<,..-<.a e o e.6paç.o r • c -<.mpo~-i-an-i-e~e.6-.6al.ta~ o 6a.to de que a au.todualldade (111.50) e (111.59) n~o e df!;..te~mlnada pelo.6 ope~ado~e.6 pa~.tlc.ula~e.6 que de6lnem a Hamll.tonla-na do modelo, ou pela dlmen.6ão e.6pac.lal da~ede, ou pelo Zndlc.ede .6ime.t~ia do modelo.Exi.6.tem modelo.6 .t~ldlmen.6lonal.6, c.om Zndlc.ede .6lme.t~ia n=2, que n~o .6ão au.todual.6 (um exemplo de.6.te.6 modelo.6.6e~ã de.6c.~l.tomal.6 adian.tel. A au.todualidade de.6.te.6 modelo.6 e c.o~.6equênc.la do 6a.to de .te~mo.6 exa.tamen.te dol.6 .tlpo.6 de ln.te~aç.õe.6p o»: c.ampo elemen.ta~ (1 O, 21 l (ou po n: po n t:o da neâe , ne.6.te c.a.6o) equatque~ teo~ia que .6ati.66aç.a e.6ta c.ond~ç.ão .6e~ã au.todual no .6en-.tido ac.ima de.6c.~i.to.

-039-

(A. 2 )

A~ de~lgualdade~ tA.II e (A.!I exp~e~~am O~ a~9umento~

- 1~ntu~tlvo~ de que, a uma tempe~atu~a S álxa, a de~o~dem aumenta

ã m~dida qu~ o núme~o de eiemento~ do g~upo, N, e~e~ee.

A p~mel~a; de~ta.~ de~.igu.a.e.dadef.Jenvolve af.J nl1nç.õ~.6 de.

eo~~elaç.ã.o de m-va~l~vel~ o~l9lnal~ {eomumente denomlnada.~de va-

eOlLlLeta.ç.ã.ode m-vaJÚãve~~ dua~~ (eomumente chamadall de valL~ãve~ll

de de.s olLdem) •

Callo o modelo U(I) exiba uma ún~ca. tlLanlli~ão de óalle ãVtempelLatulLa ao' llabemoll que, pelo teolLema demonlltlLado na lle~ão an

telLiolL, amball ali óallell devem llelL dellolLdenadall,e conllequentementeali lluall óa.llelldevelLão llelL dilltinguidallmediante a dióelLen~a no decaimento de alguma óun~ão de cOlLlLela~ão de m-pontoll (que plLellelLvea ll~metlLia Ind~ce 2 (111.33) )*. A delligualdade (A.I) e a autodua-

lidade da velLllão Gaulllliana pelLiõdica implica que palLa N > 2~BV oomodelo ZN deva p os s u.L): tlLêll óallell. Pela delliguaiAade (A. 1 ) a óalleintelLmediâ.lLia pode llelL olLdenada ou dellolLdenada. Vevido ã. autodua-

**lidade do modelo, a óalle intelLmediâ.lLia deve llelL autodual , e con

llequentemente a 6alle intelLmediâ.lLia deve llelL dellolLdenada, POill ca-lio c o ntlLâ.lLioa delligu.at.dade.(A. 2 )ll elLia nao llatillÓ e.Lt:á;Em liuma,

callO a velLllão U(l) pOllllua uma tlLan~ição Bo então o modelo ZN' comN llu6icientemente glLande (N > Nc = 2~B~) deve exibilL além da óa~edellolLdenada de altall tempelLatulLall eda óalle olLdenada de baixallt~

pelLatulLall (calLactelLZlltica do calLâ.telL dillclLeto do glLupo) uma 6alle* EllpelLamoll que aqui ocolLlLa qualitativamente o me.ómo queno modelo x-y bid~menllional.

ocolLlLe

** O -6i-6te.tl1ape.Jtmane.c..e.na me.llma ilalle , apOll a tJtanlláoJtmaç.ão de. dualidade. .

-040-

inte~medii~ia de6o~denada, p~ovavelmente com deeaimento polino-

Pelo eXpo6to acima, uma anill6e mal6 p~o6unda da teo~la

Jt.ia.

Na :teo~.taU U·) 06 campo6 elementa~e.6 .6ao â.nguto.6

e a 6unçio de pa~tlçio da 60~mulaçio Villain ~ da

(111.63)

onde, eomo ante6, {kz} e {kp} 6ao va~lãvel6 auxllla4e6 de6lnlda6

~e6peetlvamente na6 llgaç~e6 .2 e plaqueta6x-y da 4ede. A t4a~6-

604mação de dualldade em (111.63) 6egue p04 pa6606 6lmlla4e6 a06

da dedução de (111.48):

onde V(S) -e uma c o n6tante. RepaJte que o eampo dual.

-O(;;) < -zft~J <<:x:::» (-ir,f!)é ~ ) , eont4a4lamente ao c az o ZN,não pe4

tenee ao g4upo de lnva4lanela U(l) o4lglnal da te04la e eon6equen

temente (111.63) não e autodual.

E eonvenlente, pa44 p4066egul4mo6 em n066a anãll6e, e6-e4eve4m06 (111.64) em te4m06 de va4lãvel6 eontlnua6. Pa4a l6t'o,

u~amo~ a~ ldentldade6 de Pol~~on

11

-041-

(111.65)

e obtemo-6

(111.66a)

onde

(111.66b)

Como a-6 integ~ai4 em (111.66) 4io toda4 Gau44iana4 podemo4 ealeu-

lá-la-6. U-6ando-4e o ~e4ultado ge~al

(111.67a)

onde ~ ê o ope~ado~ inve~40 de A

(111.67b)

obte.~e.mo-6:

V( I) 00Z (~)~Z L. .e."\>_2.~l\Z~,VV\(~)~(~-r')'rYl(f)) (111.68a)V o~\'v\l")~-Q?\\ rJ r ..

onde. 20 ê um 6ato~ inde.pe.nde. de. eampo~ e. a 6unç~o de G~een ha

~ede. deve ~ati~6aze~ ã equação:

I,

.042.

+ ~~(f-S) :o f>1>o3

onde. a. pJt1.me.Lta., .6e.gunda e. te.Jtc.e.1.Jta.6oma.6 .6ao Jte..6pe.c.tivame.nte..60-

(IIl.68b)

b~e vlzlnho~ pnõxlmoó na di~~Cão z, no p!ano·x-y e. .6e.gundo.6 v1.z1.-nho.6 no plano x.-y. Ex.ploJtando--6e. o6ato de. G(~) -6e.Jtpe.Jt1.õdic.a na

Jte.de.,pode.mo.6 e..6c.Jte.ve.Jt

(111.69)

onde N é o nu.meJl..Ode ponto.6 da. Jtede ea..r,.6oma.é sobn»: 0.6JtecZpJtoCO.6 peJttencente.6 ã pJt~me~Jta. zona. de B~~llou~n. Sub.6t~tu~n-

dO-.6e (111.69) em (111.68b) obtemo.6 a. 6unção de GJteen:

(111.70a.)

(111.70b)

onde n ê o volume da. pJtlmelJta. zona. de BJtlllouin e v o volume da.

célula unltãJtlo da Jtede.·

Ob.6eJtvemo.6 que V(k) pO.6.6ui zeJto.6 no inteJtioJt da pJtimel-

Jta. zona. de BJt~llou~n (veja F~g. 4)

(rll.71a.)

(111.71b)

Kz

Fig.4

- 04·3-

Ky

A exi4t~neia de4te4 pol04 i e~n4equineia da4 4imet~ia4

da Hamiltoniana. Ca40 a 4imet~ia 6044e global, te~Zam04 apena4 um

pala na o~igem, a4 dua4 linha4 eontZnua4 de pol04 4u~gem devida ã

4imet~ia plana~ duplaZndiee -2*. Vevem04 po~tanto exelui~ a4 eo!!.6igu~aç~e4 de m(t) pa~a 04 quai4 V(t) 4e anula, i4to t~aduzi~-4e-

-ã. em eondiç~e4 de neut~alid4de paitaa4 ea~ga4 m(t). E4ta.4condi.-

* Na ap~oximaçao Gau44iana 4imple4 o p~opagado~ que 4u~g~ itieo a 1111.70) e vem04 ela~amente que ~~ POl04 em (111.71)neee~6ã.~io~ pa~a mante~-~e a4 4imet~ia4 do modelo (a teo~iav~e ne4ta ap~oximaç~ol.

idin-.sao

ê li-

-044-

L 'yk \J ky (111. 72aJ\ Y ~Oe .Me\") -

rL

,x~){-'} ) ~ Kx (111 . 72 b I 'e. fr\(r -= o

?

E~.:ta~ c.ond-i.çõe~-i.mpl-i.c.am que a~ c.oná-i.guJtaçõe.6 c.ontJt-i.bu-tnte.6 .6ao

aq uela em Que a .6oma da.6 c.aJtga..6to polô g-tc.a..6 , L WlCf>'F

em cada plano p~-<.nc.-<.palx-z e y-z*. Con~equentemente,

-, e nula.

obtemo~ ó-<'-

na..tme.nte.

*"Z Ir)=201, ~_2(3'n2.~ 'mG)~"!;:!~')m~'l" \M<T') \ ~ rI

onde a s oma. ê s obsu: a.6 conn.lgufLaçõe~ {m (t) J pefLm.l:t.lda.6e G~ (t) ê

a pafLte. n.ln.lta.de. G(t). A nOfLma expl1.c.lta do pfLopagadofL G*(t) po-

(111.73)

de. .6e.fLobt.lda apfLox.lmadame.nte. cOn.6.lde.fLando-.6e.a.6 contJz..lbu.lçõe..6d~

m.lnante..6 e.m (111.70a) ao fLe.dofLda.6 l.lnha~ .6.lngulafLe.~ dada.6 pOfL

(111.71). O fLe.6ultado ê:

(111.74)

onde. ~~ ê. a c.omponente. de. ~

2. (AX)2..(fl'{)1...

- t' na d.lfLe.Çã.o ~.

Ê gfLande. a .6e.me.lhança e.nttte.(111.73) e. a fLepfLe..6e.ntaçã.o'

do mo de.Lo x-y b,[d,[me.n.6,[onal e.m tettmo.6 de. um g'â..6c.om ,[ntettaçõe.6 .tE..

gattZtm,[ca.6. l.6to .6uge.tte.que., a.6.6.lmcomo a.6 cafLga.6 pontua.l.6 no mo-

de.lo x-y .6ão a.6 e.xc,[taçõe..6 topolôg.lc.a.6 (vófLt.lce.6) do modelo, a.6

cafLga.6 m (t) s ão a.6 e.xc.ltaçõe..6 (de. algum t.lpo) topolôg.lca.6 da te.o-

no mode.lo x-y com .6.lmetfL,[aglobal, como fLepfLe..6e.ntante..6do.6 vã.fLio.6

* Em ge.fLal a.6 c.ond.lçõe..6de. ne.utfLal.ldade. pafLa uma teofL.la U(lJ comZnd'[c.e. n de. .6,[me.:tttia~ e.xptte.6.6apo~ .6oma de c.a~ga.6 ~opo~~g~c.a.6 emum s ub e.sp ac.o n-d,[men.6,[onal. .;,;

[ II

-045-

pOAAlveiA "windingA" dOA ApinA U(l) ao tedot dOA eontotnoA ~eeha

dOA. O meAmo in6elizmente não ê ve~dade pa~a o caAO p~eAente. Uti

lizando - nOJ da ide.ntida.de. (111.65) em (111. 63) ê pO-6I.> I» el apôl.>uma

(111.75)

-Vemoó então qu~ m(t) ~ao eombinacõ~.& p4~ti~ula.k~.&doA eampol.> lntel

~Ol.>kp e kz int~odu.z~dol.> pa~a mante~-I.>e a pe~~odicidade da Ham~lto

n~ana ao ~~mol.> da ve~l.>ão ~el5gio pa~a a ve~6aO V~llain. I~to i ~-dênt~eo Q o~~gem da6 ea~gaA pont~6o~mel.> eo~~el.>pondente!.>no modelo

x-y~ Contudo ne!.>te ca!.>o i di61cil dl~e~ qual!.>!.>io a!.>con6igu~ac5e!.>

da teo~la de61nida po~ meio de (111.63) que no!.>conduzem a valo~e!.>nio nulo!.>de m. t conveniente !.>alienta~ que, con6o~me mencionamo!.>

na !.>ecio (11.V), o 6ato da Hamlltonlana !.>e~mai!.>6acllmente exp~e!.>!.>aem te~mo!.> de ca~ga!.>pontual!.> (que i o ca!.>o)nio nece!.>!.>a~iamente!.>lgnl61ca que a geomet~ia da!.>excltac5e!.> topolõglca!.> !.>iomal!.>

ple!.>mente entendida!.> ne!.>ta~ep~e!.>entacio. t bem po!.>!.>lvelque

s cm -

e!.>teja~elaclonado a algum objeto dl6e~ente (po~ ~xemplo, pont~ 61

nal!.>de co~da!.», de 60nma que um completo entendimento da!.> excita

coe!.>topolôglc.a!.> !.>opode .6e~ atingido pela anã.ll.6e de tai.6 obje

tO.6.

o .6egundo modelo .61mple!.>na c.la.6.6ede .61metnia n = 2 que

menc.ionanemo.6 no pne.6ente tnabalho ê gove~nado pela Hamiltonlana

(111.76)

onde a notacão ê a me.6ma que em (111.27), l.6to ê, a teonia de.6c.neve intenacõe.6 de quatno conpo.6 ao ~edo~ da.6 plaqueta.6 elementane.6no.6 plano.6 x-z e y-z (veja Fig. 5 abaixo). E.6ta teonla ê lnvanian

I II

,I.

-046-

y

x

Fig.5

(111. 77)

onde À~ ~ao nunçõe~ ob~~ga~õ~~a~ de ~eu~ a~gumen~o~. A ~eo~~a PO!

~u~ po~~an~o uma ~~me~~~a compo~~a com Znd~ce~ de ~~me~~~a n=2 en=l. t ~n~e~e~~an~e no~a~ que a ~~me~~~a n=l de~~e modelo pe~m~~e-no~ execu~a~ ~o~acõe~ (globa~~J ~ndependen~e~,ao tanga da d~~ecão

z. Podemo~ 6~xa~ o cal~b~e ~mpondo que em de~e~m~nado plano y-z ~odo~ o~ ~p~n~ e~~ejam em 6a~e.

o apa~ec~men~o de uma ~~me~~~~ com Zndice n=l ~~az con~equênc~a~ ~ad~a~~. Não e d~6Zc~i ve~ que, dev~do a e~~a

I II

-048-

t.i..pol.i..nha,a teolL.i..a.6e de.6ac.opla em umc.onjunto de modeto.6 b.i..d.i..

men~-i.ona-i.~não ,intvtagente.6 entJte .6.i.Ve ~ato, paJta o c.a.bo de.

.óp-i.n.óU(l}, (11I.76) ê um c.onjunto de mode.to.ó x.-y b-i.d-i.men.ó-i.ona.-i..ó

de.óa.cop~ado~. E~t« ê uma p~op~ledade geJtal da.6 teoJtia.b ~om I~dic.e.

de .6.i..metlL.i..an=l; ta.i...óteolL.i..a.óde.óac.oplalL-.óe-ão ao .tongo da d.i..lLeçãodeó.in.ida pelo eLx..ode .6.imetlL.ia*.Tal natolL.ização ê obt.i..da.med-i.a.nte

uma. t~an~6o~macão não loc.al do tipo da. de. JoJtda.n-WignelL.

o a.lLgumento pode .óelL extend.i..do palLa plLovalL que quatquelL

tuni« fi C-Dm ladi~~ Y/.= 1 em d- dl.men.6Õ es de.6'ac.oplalL-.6e-â. em um eom] un

to de teolL.ia.6nio .intelLagente.6 (d-ll-d.imen.6.iona.i.6. Contudo, a 6.im

de Le.U.6:tlLação,ê .intuLt-i..vovelL c.omo 6unc.-i..onatal pILava no modelo

de 1~YLg un~d~men.6~onal, que ê uma teolL~a .6~mple.6 c.om .6~metlL~a deZnd~c.e n= 1 •

Con.6~delLe o modelo de 1.6.ing un~d~men.6~onai numa lLede un~

d~men.6~onal 6~n~ta de N .6p~n.6, c.om c.ond~çõe.6 i~vlLe.6 de c.ontolLno. A6unção de palL:t~ção palLa e.6:te modeio .6elLã dada pOIL

(111.78)

onde S~ = ! 1 ê um .6p~n de 1~YL 9 loc.ai~zado no ..6Zt~o ~= 1 ,2, ••• , N.

POIL me~o de uma tlLan.66olLmação não loc.al, de6-i..n-i..mo.6novo.6

a· = ! 1 ta~.6 que~

m.S - 1\ e-m-., l.

\==(111.79a)

ou ~YLvelLteYLdO-.6e (111.79a)

* Tal a6~lLmaçã.o êvãl~da .6omente .6e a.6 ~ntelLacÕe.6 envolv~da.6 na HamiltoYLiaYLa e.6t-i..velLemde6~nida.6 YLO.6.6~mplexo.6 elementalLe.6 da lLede,e não em .6implexo.6 c.ompo.6~o.6 tai.6 c.omo: ligaç5e.6 de .6eguYLdo.6 viziYLho.6, plaqueta.6 lLetaYLgulalLe.6, etc..

I II

-049-

(111.79b)

(r r 1. 79e)

e con~equentemente (111.78) pode ~e~ e~~~itaem t~~mo~da~

v e.,[~ {o-L }

vaJtiã.

... (111.80)

mo~t~ando-~e explicitamente o de~acoplamento num conjunto de ~i~t!

ma~ d - 1 = O d.cmensLono.L«, Se 6ize~mo~ a ~oma em (111.80),obtemo~

(111.81)

que ê a ~olucão exata do modelo. t um ~imple~ exe~cZcio ve~ que

uma t~an~6o~macãointei~amente análoga pode ~e~ aplicada em (111.76)ao longo do eixo n=1 (~) pa~a mo~t~a~ que e~ta ê equivalente a um

conjunto de ~~~tema~ b~dimen~~onai~ com inte~acõe~ de doi~ co~po~.

Repa~e que em (111.80) não apa~ece a ~pin a1, o que im

pl~ca, dev~do a (111.79a) que <S > = O; ~~to ê o ~i~tema ê de~o~de. mnado pa~a qualque~ tempe~atu~a. E~te 6ato pode ~e~ extendido pa~a

uma teo~~a qualque~ com ~~met~~a d~~c~eta ou contZnua n=l de di

men~ionalidade a~b~t~ã.~~a. A Hamiltoniana, quando exp~e~~a em te~mo~ da~ va~~ã.ve~~ obt~da~ po~ uma t~an~6o~mac~o análoga ã. {111.79~nao po~~u~ a~ va~~ã.vei4 pe~tencente~ aum dete~minado e~paco d-di

men~~onal{aquele tomado po~ ~e~e~~nc~a na t~an~6o~mac~o análoga a(111.79)). Con~equentemente ê 6ã.cil ve4 que toda~ a~ 6uncõe~ de

co~~elacõe~ ao longo do e~paco (d-l)-d~~en~~onal (n~o ~nva~iante~

pe.ia ,~~me.t~~aH= 1 J -6 e~ão nu-ta-6.lst:o ~-i.gn-i.6-i.c.aque a -6-i.met~-i.an= 1

I II

-050-

nio pode 4e~ ~ompida expont~neamentepa~a um g~upo deQualQue~, di~Q~eto ou Qontlnuo*.

~imet~ia

-O teAQe~AO modelo que apAe~entaAemo~ e, pelo men04 ~upe~-6~c~a!mente, 4~m~!aA ao ült~mo apAe~entado. Seu Ham~lton~ano e o

4 egu~nte:

- " :.~ Lkl I:/ l..jXI?')t k~I2. (~j~/~) -t K31.2.«i"J~)1.

(111.82)

onde u4amo4 a me4ma notaç~o que em (111.27). O modelo de~cAeve PQ~~anto, inte~ac~e4 d~ quat~o COAp04 en~Ae 04 v~z~nho4 4~~uado4 no4

vê~~~ce4 da4 plaque~a4 e!ementa~e4 d04 plano4 x-~, y-z e y-z (vejaFigu~a 1). E4~a ~eo~~a ê inva~ian~e pela ~~an46o~macão:

(111.83)

p044u~ndo uma 4~me~~~a ~~Ipl~ce n=2. Vev~do ao úl~imo ~e~mo em(111.83) a Hamil~oniana não p044Ui a 4~me~~ia n=1 exibida po~

(111.76).

Se~ia ba4~ante ~edi04o 6a~e~-4e pa~a e4~e modelo a me4ma

anãli4e ~ealizada no modelo 24 de Feve~ei~o. Não ê di6Icil ve~ deque 6o~ma e4te4 mode.Lo« di6e~em enxxe 4-L ao 6aze~m04 a ~~an4 60~m~

cão de dualidade. O 4implexo 6undamental em (111.83) 4io plaqueta4,

co~~e4pondentemente (po-L4d=3) o modelo dual te~ã po~ 4implexo 6u~

damen~al l-Lgacõe4, i4~O ê, a4 va~-Lãve-L4duai4 v e4~a~ão a440c-LaII .

da4 ã4 ligacõe4. A cada plaqueta na teo4ia o~iginal c04~e4ponde4ã

uma ligacão, na ~ede dual, que pa44e pelo cent40 da ~e6e~-Lda pl~

que.t:«, 04 vZncul04 da 6uncão delta (anãl90 ã 111.43) p4oveniente4da -Lnteg~acio 4ob~e a4 va~-Lãve-L4~(~) o~ig-Lna-L4,ob4igam que a

* E~te ~e~uftado gene~afiza o ~e~uftado obtido ~a ~e~ão (III.AI p~

~a teo~ia~ U(1) com Zndice de 4imet~ia n=l.

I II

-051-

~oma da~ va~lãvel~* U , de6lnlda~ na~ 12 plaQueta~ Que po~~uem umU ' .vê~tlce comum, deve ~e~ nuta; E~te~ vlncuto~ ~ao ~e~otvldo~ lnt~o

(111.84)

e equacõe~ anãioga~ pa~a a~ out~a~ di~~cõe~. Vemó~ então que o~

eampo~ duai~ v~ vivem na~ iigacõe~ de uma ~ede Que no~mam c~uze~**pe~pendieuia~e~ ao eo~~e~pondente U~. Veninindo-~e bz = ~x~Y' etc,

o Uamllionlano pode ~e~ e~e~ito na 6o~ma

(III.8Sa)

(II1.8Sb)

onde óizemo~ em (111.82) Kl=K2=K3=K. Repa~e que a

inva~iante pela t~an.óóo~macão:

Hamil~oniana. ê

(111. 86)

o que .óignióiea que a teo~ia du~l ê uma teo~ia local de ealib~e. A

~azao p~ineipal pa~a a ap~e.óentacão de.óte exemplo ê que, embo~a e~te modelo de t~~.ó plaqueta.ó pa~eca óundamentalmente di.ótinto do modela 24 de FeveJtei~o, a e.ót~utu~a de óa~e.ó de amba~ a~ teo~ia~ ~ão

..

ba.óieamente a.ó me.óma.ó.Mai.ó ainda, e.óte 6atono.ó deixa ela~o que a

autodualidade de um modelo não ê um ingJtediente óundamental na deteJtminac~o de .óua.ó.p~op~iedade.ó eJtZtica.ó.

-* E.óte.óeampo.ó, deóinido.ó na.ó plaqueta.ó oJtto90nai~ a di~ec~o ~ .óaoaquele.ó intJtodu~ido.ó na 6ohmulac~o Villain ..** Eleâ vivem na.ó ligac~e.ó de pJtim~lJto.óvlzlnho~ de dUQ~ ~ede~ eubica.ó de 6ace.ó centJtada.ó,inteJtpenet~ada.ó.

I II

-052-

talt do.t-6

Palta 6~nal~~alt e-6ta -6ecao gO-6ta~Zamo-6 a~nda de aplte-6e~modeló-6 (3,4,30-32) ne-6ta ela-6-6e de teolt~a-6, que de eeltta

60ltma mot.tvou a pe-6qu.t-6a aqu.t aplte-6entada.

o plt~me~lto de-6te-6 modelo-6 ê uma -6.tmple-6 teolt.tade -6pin-6'2.11 -)

Z N' e\.. IV p(r) deninida-6 no-ó -ó1.tio-óde uma Jtede c.u.b.i.c.ade óac.e centltada(4,30-321. O modelo ê de-6elt~to pela Ham~lton~ana:

(111. 87a)

onde

(II1.87b)

a ~oma em (III.87a) ê ~oblte o~ tetltaedlto~ elementalte~ da Itede e a~

valt~ivei~ p(ti) i = 1,2,3,4 ~ao loeal~zada~ no~ quatlt~ vêltt~ee~ deum dado tetltaedlto. (Veja Figulta 6).

A Hamiltoniana (II1.87) po~~ui uma ~imetltia compo~ta n=2

do tipo (11.2) e ê autodual, no ~entido geltal empltegado ne~te tlta

balho. No limite N+CX', U(1), pOIt anili~e ~imilalt àquela óeita palta

o modelo 24 de Fevelteilto, vemo~ que (I1I.87) po ss ue. excitacõe~topolõgica~ pnntióoltme~, com inteltacõe~ que ~ão ba~icamente loga

Ititmica~. Palta N 6inito exi~tem também excitacõe~ do tipo paltede~

(ou domlnio~). A e~tltutulta de óa~e de~te modelo(4}, da.me~ma óo~

ma que o modelo 24 de Fevelteilto, ê ba~tante ~imilalt ao do~

do 0-' b'd' , 'Z (11-15 21-25) 'd o'mo e~o~ Ite~og~o~ ~ ~men~~ona~~ .N ' e teolt~a~ e ca~~

blte Z(N) a quatlto dimen~õe~*. Palta N menolt que um celttovalolt cltl

tico NC o modelo exibe uma ~nica tltan~icão de óa~e de pltimeilta Olt

dem~epaltando a óa~eoltdenada da de~oltdenada ( a tltan~icão coltlte~* Ve óato, ~omo~ tentado~ a conjectultalt.que todo~ o~ modelo~ ZN(com N ~u6icie~temente g~a~del e Zndiee de ~ime~~ia n=2 ~e~ao ebtltutulta de 6a~e~ ~emelhante~.

I II

",,,,-,,----

-053-

pondente na teotla Quad~ldlmenhlonal d! ealibte ~N ,i tambim de

ptimeina otdem, enquanto Oh eottehpondenteh dOh modeloA tel5gloA

bldlmenAlonalA Aão de Aegunda otdem). Pata N > Nc eAta tAanA~cão

,

•

Fig.6

~e bi6unca emdua~, apanecendo uma 6a~e in~enmedi~nia com au~incia

de andem de ~ongo a~cance. No ~imi~e N+oo,onde o mode~o po~~ui a

~ime~nia U(l), a ~nan~ição de 6a~e que oconne a ~empe~a~una~ mai~

baixa~ T~1 ~e move pa~a T = O como(4}

t N-2=- _ (,~ - t.os,2.o/N) "'Y

õ'(111.88)

onde y ::= 0.63, e a 6a~e em que a ~ime~n.{.ae expon~âneamen~e quebnE;.

da de~apanece, de 60nma coenen~e com o ~eonema da ~eção (11LA).

I II

-054-

Pa~a e~te modelo, bem como pa~a o modelo 24 de Feve~ei~o, ~elõgio

b,{,d,{,men-6,{,onalec.al'{'.bJLe~(N) quadJL,{,d,{,men-6,{,onalNC paJLec.e -6e~ .p~E.

x,{,mode 5. Out~o exemplo, ba-6tante -6,{,milaJLã (111.87), é obtido tE.

mando--6e na Ham,{,lton,{,ana(111.87) 0-6 -6Zt,{,O-6da JLede hexagonal c.om

pac.ta. E-6te modelo é também autodual e 0-6 a~pec.to~ ge~ai~ de~te m~

delo ~~o e~~encialmente id~ntic.o~ . ~quele~ do~ modelo~ ac.ima de~

o último modelo que 90~taJLlamo-6 de menc.ionaJL aqu~ ê um

exemplo de uma teo~La Que exLb~ uma Aim~tti4 d4 &Dkma ge~al (111.2LfAta teo4ia ê deA~~ita pela Hamiltonlana*:

"+onde S(JL).2Tr ("+)-t7r P JL "+

= e 'p(JL} = O,l, .•• ,N-l -6ão -6pin-6 Z(N). (Veja Figu

JLa 7). Na veJL-6ão Gau-6-6iana peJL~õd~ca, a 6uncão de pa~icão do mode

io toma a 60JLma(3}N-\ CO c:o

Z = L L . L uVtJ.n:P(Il;y<t)_NY\t1))V ~\>l1);:o~~'M(~)=-a:>}~n(~}:-oo1 ~ .

- \::. ('V~ \>(~):-NW\cr) 't1) (111. 90a)

onde t -6ao 0-6 -6Zt~O-6 da JLede cub,{,ca e

(III.90b)

{III.90c.}

-6endo i,~,~ 0-6 ven-6one-6 da JLede. O campo inteiJLo n(~) e. a-6-6oc.iado

com a~ c.JLuze~ elementaJLe-6 no plano x-yenquanto qu.e o campo

* Ob-6eJLve que paJLa ~=2 eN=4 e-6te-6 modelo-6 nada.mai-6 ~io que doi~.modelo~ 24 de FeveJLeino de~ac.oplado~ c.om N=2 e N=4 JLe~pec.~lvamen-te.

I II

-055-

i a~~a~iada i~ Ligac~e~ aa Langada di~ec~a z. (Veja Figu~a 7)

z

y

x

Fig.7

o Ham~tton~ano (111.90), con~~de4ado como uma nuncão dep(!) (~~to ~, ap~~ ~oma4-~e ~ob4e n(!) e m(!)) ~ ~nva4~ante peta

t4an~6onmacão (111.2) com 2nd~ce de ~~met~~a n = 2 e 01 = v; eO2 = v;. O d~agnama de 6a~e~ de~te modeto ~ ~~m~tan ~quete~ do~ mo

delo~ anten~one~ com a d~6enenca que NC não ~ 5 ne~te ca~o.Uma

anâl~~e pnet~m~nan da ~~mutacão p04 Mon~e Canto ne~te modeto pan~

ce ~en con~~~tente com NC ~ 11. Tatvez ~enha atguma ~~gn~n~eacão o

6ato de todo~ o~ modeto~ conhec~do~ com 2nd~ce de ~~metn~a n = 2do t~po (111."75) tenha o me~mo vaton de Nc, ao pa~~a que o madeto

(111.89), que não pentence ~queta categon~a, ma~ po~~u~ a ~~metn~a

Lnd.i.c.e 2 ma~~ genat do t"~po (111.2), ex~ba um var.o« d~nenente de

I II

I.

-056-

CAP {lULO I V

SIMULAÇÕES MONTE CARLO

Reat~zamo~ uma anât~~e numê~~ca ma~~ ou meno~ exten~~va

pa~a todo~ o~ modelo~ menc~onado~ n~ ~ec«o 111.fi. V~taih~~do~ p~~

ced~mento~ u~ado~ em no~~a~ ~imuiacõe~ 6o~am já d~~cutido~ na ti-

te~atu~a(33-35,4), contado, ~ecap~tuta~emo~ ne~te capZtuto a e~t~a

têg~a ge~at emp~egada em no~~a anãt~~e. Em no~~a~ ~~mutacãe~ a~

con6~gu~acãe~ da~ va~~ãve~~ 6o~am mudada~ ut~t~zando-~e, dependen

do do ca~o, do atgo~Z~mo de Me~~õpot~~(361, Met~õpot~~ methoka-

do(35l ou banho ~ê~mico(35,37l.

~~da 6a~endo-~e ~~mulacão em c~clo ~ê~m~co~, em que a ene~gia

dia po~ ~p~n (a~~~m como o~ pa~âme~~o~ de o~dem) ~ão medido~.

-meEm

~al ~imulacão iniciamo~ com o ~i~~ema em uma connigu~acão comple

~amen~e o~denada (e~~ado nundamen~al ã T = Ol ã ~empe~a~u~a inve~

~a 130, o ciclo ~ê~m~co ê en~ão ~imulado ~ealizando-~e uma ~uce~~ao

de in~e~acãe~* de Mon~e Ca~lo do ~i~~ema, ~endo que a ~empe~a~u~a

inve~~a ê diminuida (13+8 - â8) an~e~ de ~e inicia~ ~ma nova i~e~a

ção. E~~e p~ocedimen~o (aquecimen~o) ê ~epe~ido a~ê8 = O I~i~~ema ~o~almen~e de~o~denado) e en~ao ê ~eve~~ido o p~~

cesso í es 6~iam..en~o) a~ê novamen~e a~ingi~-~ e B = 80, Embo~a em ~al.

expe~imen~o nu~ê~ico o ~i~~ema nunca e~~eja ~ealmen~e no equilZ-

b~iu, ele e~~a~ã ge~almen~e pe~~o do equilZb~io, ca~o a ~empe~a~~~a não e~~eja na~ p~oxlmidade~ da ~egião onde oco~~e a ~~an~ição

de 6a~e. Na vlzinhanca da ~~an~ição, con~udo, a di~~ância da ~i~ua

ção de equllZb~io aumen~a; e a~ quan~idade~ ,Z~ica~ medida~ no

cicio ~e~mico exibi~ao ciclo~ de hi~~e~e~e. Realizamo~ ~ai~ expe~~

* Uma i~e~ação de M.C. e 6ei~a ao va~~e~mo~, que~~ionando o~ ~pin~quan~o a ~ua po~~Zvei mudança, ~odo~ O~ pon~o~ da ~ede uma ~nl~a

vez.

1 II

.057-

mento~ na~ ve4~oe~ Z{N) do~ modelo~ ~nt4oduz~do~ no c.ap1.tulo an

te4104. Re~ultado~ pa4a o modelo Z(N) FCC eneont4am-~e já publ~e~

doJ (4). Cl.elo-ó t~4mJ..eo-ópa4a o modelo 24 de Feve4eiJto * c.om N= 2 - 9

-óã.omo-ótJtado'.lna'.lFig'.l. (8a-i) 1 em que a eneJtgia média n04ma.tizada

o ~ <E> ~ 1 (eneJtgia média p04 numeJto de inteJtacõe-ó da Ham-i..ltonia

na) é c.oloc.ada eomo 6unc~o da tempe4atu4a ~nve4~a B. Vemo~ c.laJta

mente que pa4a N ~4 ex1~te apena-ó um e1elo de h1~te4e~e p4onune~~

.do, ~ndl.c.ando pOJttanto a exl-ót~nc.ia de uma ~nic.a t4an-óicã.o de 6a

-óe. O 6ato do c.~c.lode h-i..-óteJte-óe-óeJt4elativamente alto é ind~eat-i..

vo que tai-ó tJtan-óicõe-ó pJtovave.tmente '.lejam de~c.ontZnua~. Repa4eque, devido ~ autodualidade do modeto, O~ c~clo~de hi~teJt~~~ OQO~

Jtem ao JtedoJt do-ó ponto-ó de au.toduaiidade do'.lmodelo-ó:

(IV.1a)

(IV.1b)

(IV.1c.)

A-ó necas gJta6-Lc.ada-óna-ó F-Lg-ó. (8a.I) ê. o Jte'.lultadoob

t-Ldo em p/t-Lmei/ta on.dem em S, na expan'.l4,ode al.:ta'.l-i.empe/tatuJta'.l.

(IV.2a)

(IV.2b)

Vemo'.lpaJta N > 5 a ex-L'.ltinc.-Lade uma /teg-Lã.o -LnteJz.med-Lâ.

* Tai~ ~-Lmulac~e~ 6o/tam e6e.tuada~ u~ando-~e a ~o~muLac~odo modelo.

JteLõg-t.o

I 11

, ,i Ii

•~~----------------------------------------------------,Zt2l

, .

1\WV

11.1111 .25 . 1.25 ·1.511

•••...;------.------r==-~~----~------~----~~--~----~2. GIl.75 1.1111BETA.511 .

<SIc.o Z(3)8 (b)

"wv

1.75

11. fi fi .25 l.a0SETA 1.50

...s~----_.------~----~~--~~----~----_r----~r_--__12.11111.25.511 .75 1.75

I II

-058-

Qti)-~----------------------~------~------------------~

8ec)

"wv

13.1313 .25 .513 1.25 2.13"1.75.75 1.011BETA'

!SIS ~------------------------------------------------~

Z(5)

1\LUv

g~-----~I----~Ir---~~~--~----~----~------r-~~.5" I.IIIJ 3."112.1I1JBETA 3.5"11. lia

-059-

,I,

:~----------------------~------------~--------~8c.e.)

Z(6)

1\LUV

:~------'------r------r----=~~--~------,-----~~--~4.00. 0.1111 .511 1.110 1.511 2.G0BETA ,2.50

1\LUV

Z(7)

•••'"

•••...•

0.110 .50 1.00 1.50 2.IJIJ .BETA 2.50

i II

-060-

I.

SISI-~------------------~--------~

SI

'".

8(.~)

. /\Wv

•.~ ..

.: ="

CiI'"

".00 -.5" 1.50 2.0IJBtTA 2.50 3.1111

I~----------------------------------------S<D

<3eh) ZC'I)

•'"1\lUv

s" ;r

s'"

II.G0 .5G 1.5G 2.f!0BUA 2.50 3.GO

I I1

-061-

I I.

-062-

Qe~ ~

SID

Z(20)

1\LUV

~~,------.------r------r-----.------.------r-----~-----10.C0 .50 i.ee 1.50 2.01! 2.50 3.110.o 3.50 °C./ltlBETA

F~gu~a 8 (aI - (~) - Ene~g~a med~a (no~mal~zada), ob~~da po~ me~o

de c~clo ~e~m~co, con~~a a ~empe~a~u~a ~nve~~a pa~a o modelo 24 deFeve~e~~o com N = 2-9 e N = 20. O ~amanho da ~ede e 15 x 15 x 15 ea va~~aÇ.ã.ode 6 nO.c~clo ~e~m~co e fl6 = 0,002 na expan~ao de al~a~

~empe~a~u~a~ «E> = 1 - 6 pa~a N = 2 e <E> = 1 - S/2 no~

ca~o~). A oa~~a linha con~~nua que apa~ece pa~a N = 9, 20 epela ap~ox~maÇ.ã.ode onda~ de ~p~n <E> = 1/(46).

dema~~

dada

i II

-063-

t~dn~icõ~~ d~ 6d~~. G~d6icamoJ também no ca~o N = 9 e N = ~o o p~~

mel~a te~ma na expan~aa pa~ andaA de Apin!

1.-+~

( IV. 3 )

o aco~do ent~e a ~imulacão e (IV.3) ê no~te indicativo

que a fia.6e ln:teJl.medl.~~l.a.6 eja desondenadá e não ma.6.6iva (decairnen

to polinomial da.6 nuncõe~ de co~~elacão), em pe~neito aco~do com a

di~cucão ~ealizada no capZtulo ante~io~. Mai~ ainda, vemo~ -que a

medida que N c~e~ce uma da~ t~an~icõe~ (ba~e de~o~denada ++ fia.6e

ZeJLO,611 + o, a medida que N c~e~ce. Tal 6ato mo~t~a que a 6a.6e inte~me

diã.lLia que apalLece palLa N > 5 e a velL~ão di.6ClLeta da6a.6e de bai

xa.6 tempelLatulLa.6 do modelo U(l) (N + 00). O ca.6O N = 5 e um ca.6O ~n

telLmediã.lLio, onde não e" clalLo, pela Fig. (8d), que exi.6ta urna ou

âu.as tlLanl.>içõel.>de 6al.>e.

MO.6tlLamO.6 tamb em na.6 Fig.6. (9a- b) 0.6 ciclol.> te~mico.6 o b

tidol.> palLa o modelo del.>clLito pela Hamil~oniana (111.82) (com .6ime~lLia Z(N) Zndice 2) com N = 6 e N = 8. Vemol.> ~ambêm nel.>~e cal.>o demane-cn:a, anã.loga ãl.>Figl.> (8e e 8g) dua.s ~lLanl.>içõel.>de 6al.>e.

-EI.>~eel.>qu.emagelLal e plLecil.>amen~e con6ilLmado palLa ~odol.>

01.>modelol.> com l.>ime~Jt.iaZndice 2, in~lLOdu.zidol.> no capZ~u.lo an~e

lLiolL; acima de u.m celL~O N~ apalLecem du.a.6 ~lLanl.>içõel.>de 6al.>e,~endo

a 6al.>ein~elLmediã.lLia a velLl.>ãodil.>ClLe~a da 6al.>ede baixal.> ~empelLa~~lLal.>do modelo U(I).

Uma vez detelLminada a lLegião onde OCOlLlLe a ~lLànl.>icão de6al.>e ê pOl.>l.>Zvelde~elLminalL-l.>eCOm lLazoável plLecil.>ão a lOca!izfl.[;ão

des xas tlLanl.>ições po n. meio de expelLimen~ol.> qu.e de;"c.JieveJiemol.>""a. .6e

* Nc = 5 palLa aI.>Hamiltonianal.> (111.30), (111.82) e (111.87) en

qu.anto qu.eNC ~ 11 palLa a Hamiltoniana (111.89).

! I.

-064-

!~-----------------------------------------------------------------~

Z(6)

1\Wv

9 ta)

!!li

'"I

.'I~----~--------~=---~----~-------r------r-----~-----~.5" 1.11" 1.511 . 2."11BETA 2.5(1 3.(1(1 . 3.50 11.'"

•••s~ ~ _

1\lLJv

Z(8)

OS>

'"

_·~~----~------~----~~~~~~--r,-------,~------,--------;2.50 3.011 . 3.511 4.11"11.011 .50 1. (!(J 1.5(J 2.0(!BETA

F~gu~a 9(a) - (b) - o me4mo que na F~gu~a 8, pa~a a HamLf..ton~ana

( 111 • 82) com N = 6 e N = 9.

i II

! I,• I

-065-

gU.tll.

Quando a tllan~.tcio 6011 de pll.tme.tllaolldema enellg.ta .tntellna ê de~eontlnua na tempe~atu~a e~ltiea. l~to pe~mite,

~o~, uma deteJz.m.tnacõe~ ba~tante p~eei~a da tempe~atu~~. P~epa~amo~

um e~tado .tn.tQ.tatdo ~.t~tema em que metade da llede e~tã o~den«d«

çoe~ num Qonjunto de tempellatulla~ na lleg.tãode h.t~telle~e, ob~e~van

do entio a evotucio tempollat* do e~tado .tniQ.tat. Mo~tllamo~ na~

F.tg~.(lOa-QI e~ta~ expe~i~neia~, pa~a o~ ea~o~ N = 2,3,4 do modelo

24 de Fevelle.tllo,~endo ta.t~ evotuç5e~ tempolla.t~, e6etuada~ em tempellatulla~ ao lledollda~ tempellatuJz.a~de autodual.tdade (IV.1).

Na tempeflatufla cflZt~ca, numa tflan~~ção de pfl~me.tflaoflde~

cada metade da flede evolu~fl~ pafla um e~tado e~t~vel d~~t~nto, e o

valOfl pOfl exemplo da eneflg~a mêd~a, peflmanecefl~con~tante no tempo. Ã6 tempeflatUIl.Mdi~t~nta~ da. cflZt~ca, contudo, o

~~~tema Il.ap~damente evolu~ pall.aum ú.n~c.oest.ado e~t~vel. Vemo~ en-tão na~ F~g.(10a-c.) que o~ ponto~ C.flZt~C.O~Oc.Oflflemapflox~madamente

no~ ponto~ de autodual~dade (IV.1) do~ modelo~.

No c.a~o de tflan~~çõe~ c.ontZnua~ tal deteflm~nação ê bemmeno~ pll.ec.~~a.O que vemo~ ne~te ca~o ê que na tempeflatUll.a C.flZt~

c.a OCOflll.euma vafl~ação ma~~ fla..p~dada eneflg~a mêd~a do e~tado 6~nal <E(S» (obt~da pela evolução tempoflal ac.~ma de~c.fl~ta) em 6u!!:

cao da tempeflatUll.a.E~timamo~ de~ta 6oll.maa~ tempeflatUll.a~ ll.e6ell.ente~ ao~ modelo~ com ~~metll.~a Z(N) Znd~ce 2, com N ~ NC' ~ntfloduz~

do~ no c.apZtulo antefl~OIl..Obt~vemo~ que pafla todo~ o~ modelo~ a

pll.~me~ll.atll.an~~ção, ã med~da que N cll.e~ce, flap~damente ~e ~atufla

a 8r ~ 1.0 enquanto q~e a ~egunda tflan~~cão depall.ece '~om .N; na 6o~

ma gell.al

* A unidade de tempo, ne~te ca~o, ê a itell.ac~o de Monte Ca~lo.

I II

I.

sw~ ~ _

iO (à) . Z(2l

"lLJV

CDõ1'

EOs+- ~----._----~----~----~--~~--~----~13.1313 5Q.I3IJ lOIJ.IJIJ 1513.1313 200.IJ0 25Q.QIJ 3IJIJ.OQ 35IJ.QQ qIJIJ.GG

M. C. ITERATION

~~------~------------------~-----------------,,..u::

Z(3)

~+-----~----.-----~----,-~~r-----r----'~--~15G.00 20G.0~ 2513.1313 322.Ge 3S0.a0 ~00.eQM. C. ITERATION5e.0G

-066-

I,

-061-

s~.-------------------------------------------------~tO (()

AS;------r-----,------r-----~----_r----~----~__--~Q.00 30Q.QQ

FigUfLa. 10 - Evolução do e-6:ta.do mi-6:to (di-6cu:tido no :tex:to) pa.fLa.:te!!!.

pefLa.:tufLa.a.cima. e a.ba.ixo dO-6 pon:to-6 a.u:todua.i-6 (IV.l), pa.fLa.o modelo

24 de FevefLekfLo com N = 2,3,4). Começa.ndo--6e dO-6 pon:to-6 ma.i-6 ba.i

XO-6 da.-6 6igufLa.-6 a.-6:tempefLa.:tufLa.-6invefL-6a.-6 U-6a.da.-6na.-6 -6imula.çõe-6 ~~

fLa.m: a.) Z(2t - s = 0.46, 0.45, 0.44, 0.43, 0.42; b = Z(3) - S =0.69, 0.68, 0.67, 0.66, 0.65; c) Z(4) - S = 0.90, 0.89, O.88,O.8~

0.86.

11 '

-068-

com o vo.lolLde y depe.nde.ndo do.6 dQ.ta.lhe..ódo fflode.lo º-~t1º-(!16i(!o. PE:~a o modeio de~e~ito peia Hamiitoniana (111.87) y ~ 0.63(4) enquan

to pa~a o modeio 24 de Feve~ei~o y ~ 0.78. O eompo~tamento ex.ibido

11 V. 41 ti .- co s (~) J ê oem e 6..L~..Leamuitee.s peruuio , ja que [ 1 - p~ecoque deve ~e~ pago, peio banho tê~mieo, a óim de 6~u.6t~a~-~e uma ..tn

Uma vez tendO-.6e uma boa e~timativa da~ tempe~atu~a~ e~ltiea~ do~ modeio~ ê po~~lvei di.6t~ngu~~-~e, de 6o~ma não amblgua,

ent~e t~an~~cão de p~~me~~a o~dem ou t~an~icão eontlnua (2~ o~dem

ou ~upe~~o~). Pa~a ~~to ob~e~vamo~ a evoiucão tempo~ai da ~~muia

cão, ã tempe~atu~a e~lt~ea e~t~mada, pa~a do~~ e~tado~

do ~~~tema: um eompietamente o~denado e out~o eompietamente de~o~

denado. Na~ F~g. (11a-d) mo~t~amo~ ta~~ ex.pe~~mento~ pa~a o modeio

24 de Feve~e.:i..~oeom N = 2,3,4 e 9. A~ tempe~atu~a~ u.s ado.s nos mode

lo~ N = 2,3,4 ~ao a~ autodua~~ (IV.l) e no modelo N = 9 u~amo~ a

e.6t-i..mat-i..vaSe = 1.0. Numa t~an.6-i..cãoeont1.nua, apõ.6 um pe~1.odo de~elax.acão o~ valo~e~ da ene~g~a de ambo~ e~tado~ devem eo~ne-i..d-i..~.

Po~ out~o lado, numa t~an.6-i..cãodep~-i..me-i..~ao~dem, a ene~g-i..a do~

do-i..~e~tado~ evolu-i..~~pa~a do-i..~e~tado~ d-i..~t~nto~,demon~t~ando a

ex.-i..~têne-i..ade ealo~ latente. Va~ F-i..g~.(9a,b,e) vemo~ então que a

t~an.6-i..cãoque oeo~~e no modelo 24 de Feve~e-i..~opa~aN ~ 4 ~ao dep~-i..mei~ao~dem ao pa.6.6oque a t~an~icão qui oeo~~eem N = 9 (e mu..(.

to p~ovavelmente pa~a N > 5) ê eont1.nua*. E~te~ me~mo~ ~e~ultado~

6o~am obtido.6 pa~a o~ modelo~ (III.82) e (III.87).

* Ncnhu.m c./~'6o~co fioi d.üpen.d-i..do110 .6eVL:tidode.6e de:tvtm-i-naJtqu-i..voeamentea o~dem de.6ta.6t~an.6-i..c5e~eont1.nua~. '

11'

I,

lia~.---------------------------------~ZC2l

"lLJV

•••~.---------------------------------~

"wv

Z(3)~V~~~lfr~~p~4~l-/tr/\1I~"f~.VNly~)~'lrlr.Mr~""'I""WlI

0.00 . 2~.0a ~a.fJa 75.aa Itll!.ea 125.130 150.0a 175.130 200.0GM. C. ITERAT ION (X Hlll )

-069-

m~-------------------------------------------1

fi.Wv

'"•....I

~+-----~--~-----.----~----r----'-----.----~0.130 25.tl0 50.00 75.fl0 H1U!0 125.00 150.00 "175.00 2G0.G0

M. C. ITERATION eXlfD1 )

~~------------------------------------------I11 Cd ) Z(9)

-070-

G.00 25.011~+-----.----.-----r----.-----r----'~--;c~--j

5000 75.00 le(!.!!0 12ji.0fJ 150.011 175.00 2<10.110. M. C. lTERAT lON eX10 )

F~gu~a 11 {a} - {d} - Evolução ~empo~al de um e~~ado des on den ado

{pon.to.6ma.Ls al.to~} na.6 .tempe~a.tu~a.6au.to duiü.s do modelo 24 de Fe:

ve~e~~o com N = 2~3,4 e em S = 1.0 pa~a o modelo com N = 9.

I.

-071-

Fin~lmente P~~~6~n~liz~~ e~te e~pZtulo, 90~ta~Z~mo~ demenciona~ que 6izemo4 an~li4e4 detalhada4(41 pa~a 4e dete~min~~ ~

natu~eza da fia4e lnte~medi~~ia e 04 ~e4ultado4 4ao con4i4tente4 com

tanto com a aU4ência de o~dem de longo alcance no limite U(ll, em

conco~dância com a p~edicão do teo~em~ demon4t~~do no c~pZtutQ 111,

A exi4tência de onda4 de 4pin na 6a4e de baix~~ tempe~~tu~~~ do

modelo· U (11 pode 4 e~ pe~cebida po~ u"m nato peculia~ ã 4imulacã.o po~

4i4tema e4teja completamente de4o~denado Ia = O) e e4quentam04 o

4i4tema vago~o4amente até atingi~mo4 a tempe~atu~a c~Ztica SI ~ 1.0

pa44ando pa~a a na4e de ba~xa4 tempe~atu~a4. Tanto na o~denada co21T "

mo na 6a4e de onda4 de 4p~n o pa~ã.met~o de o~dem <C04 ~ n> (magne

tizacã.o mêd~al deve anula~-4e, pO~4 a4va~~ãve~4 a44umem tod04 04

valo~e4 ent~e O e 21T, e con4equentemente <n> =0.5. Contudo a4 d~4. b . - . d - 21Tt~A...uA...COe4loeaA...404 angul04 N n , n = 0,1, ••• )N, na "áa4e des ocde.

nada ê bem di6e~ente daquela e4pe~ada numa 6a4e com onda4 4p~n4.

Enquanto na p~~me~~a dela4 04 v~~~nho4 p~ôx~mo4 de dado 4p~n eent~al a44ume eom p~obab~l~dade alta qualque~ d04 4eU4lo~e4, na 4egunda áa4e, na mêd~a, e4te4 v~z~nh04 toma~ão valo~e4

p~ôx~m04 do 4p~n eent~al, pO~4 em tal 6a4e p~edom~na~ão 61utuac~e4de g~ande eomp~~mento de onda. Em tal 4~mulacão, po~tanto, a eX~4têne~a da4 onda4 de 4p~n 4e~ao deteetada4 pela 4úb~ta aU4êne~a deg~ande4 6lutuac~e4 em pequeno4 ~nte~valo4 de tempe~atu~a, a44~m que

o 4~4tema pa44a~ da 6a4e de ba~xa4 tempe~atu~a4 pa~a a 6a4e de on

da4 de 4p~n. Na F~g. (12) m04t~am04 tal expe~~mento(4), ~eal~zado

eom o modelo de4e~~to po~ (III.87), o~de vemo4 ela~amente o e6e~toaeA...made4e~~to; ~nd~eando a eX~4têne~a de onda4 de 4p~n4 na 6a4ede ba~xa4 tempe~atu~a4 da ve~4ão U(l} de tal modelo.

I,

-01~-

10 2.0fJ

F~gu~a 12 - Flu~uacõe4 do ângulo mêd~o da Ham~l~oniana (111.87)com

s = 1, (O modelo U(1) ê bem

ap~ox~mado, ne4~a ~empe~a~u~a, pelo modelo Z(29), m04~~ado na Fig~

~a). Con6o~me explicado no texto, o de4apa~ecimento da4 6lutuac5e4

pa~a pequena4 va~iacõe4 em S evidenciam a exi4~ência de excitacõe4~ipo onda4 de 4pin.

i I

; J,

-073-

C"AP frULO v

SUMARIO f CONCLUSÕES

M[!![ t~4b4lhõintkDduz~mo~; de ~o~ma ~l~tem~tica, uma

nova cla~~e de teo~ia~ e~tatZ~tica~ euja ~imet~ia nio i nem global

óaoea~acte~izada~ pelo Znd~ee de 4~met~~a n, que ~ep~e4enta o -nume~o

de vZnculo~ que devem ~e~ ~ati~óeito~ pela óuncão de ealib~e.

Ap~~ de6in~~mo~ e~ta~ teo~ia~ em te~mo~ ge~ai~, di~cuti

mo~ de 60~ma ~i~tematizada como con~t~u~~ modelo~ eom ~imet~ia~ UpecZ6ica~ e de~c~evemo~ alguma~ da~ p~op~iedade~ que ~e~iam e~pe~~do:s pa~a e~te~ mo de.Los, Ne~te contexto, 60i 6eita uma di~ cucão ge~al da~ p~op~iedade~ de dualidade, bem como da natu~eza da~ excita

cõe~ topolõgiea~ que ~ão e~pe~ada~ ne~ta~ teo~ia~. P~ovamo~ então

um teo~ema que implica que, pa~a n ~ 2, em qualque~ 4imen~ão, e~ta~ teo~-<.a~ (quando o g~upo de ~imet,,--<.a60~ U(l)) nã.o po~~uem o~

dem de longo alcance e di~ eut-<.mo.6a~ po~~1.ve-<.~gene~al-<.zacõe~ des t:«

~e~ultado. E~te teo~ema mo~t~a que não e a d-<.men~ional-<'dadedo ~i.6

tema que -<.mpo~ta na dete~m-<.nacão de .6ua~ p~op~-<.edade~ c~Zt-<.ca.6,ma~

~-<.m,a d-<.men.6-<.onal-<'dadedo ~ube.6paco, .6ob~e o qual a .6imet~ia e e

6e.t-<.vamenteglobal. Uma anã.l-<'.6ede uma .6e~-<.ede modelo.6 na cla.6.6ede. Znd-<.cen = 2 60-<.ap~e.6entada. 0.6 ~e.6ultado.6 analZt-<.co.6e nume~-<.

CO.6 de.6~a anã.l-<..6eno.6 leva a conjec~u~a~ que ~odo.6 0.6 modelo~ cQm

.6-<.me~~-<.aZ(N) de Znd-<.cen= 2, pa~a N .6u6-<.c-<.en~e.men~e g~ande

(N > Ne), deva e.x-<'b-<'~alem da 6a.6e o~denada de ba-<.xa.6tempe~a~u~a.6

e a 6a.6e de.6o~denada de al~a.6 ~empe~a~u~a.6, uma 6a.6e de.6o~denada-<.n

~e~me.d-<.ã.~-<.acom exc-<.tacõe.6não ma.6.6iva.6(6uncõe.6 de co~~elacõe.6 com

deca-<.me.ntopol-<.nom-<.al).

Ac~edltamo.6 que 0.6 ~e.6ultado.6.ap~e~en~ado~ no p~e.6entet~abalhQ .beja um Znlclo de uma cla~~lá~cac~o de um novo conjunto

de ~eo~ia.6, que alem de .6e~em e.6~a~i.6ticamen~e ~-<.ca.6podem .6e~

I II

I I

-074-

meneionamo~ na int~odução de~te t~abatho e di~eutido na -

po~ modeto~, como o~ e~tudado~ - -no pne~ente tnabatho, e ijece~~a~io ante~ de tudo ~abe~ ~e a dimen~ionalidade e a~ ~imet~ia~ do mo

dela ~ão adequada~ a tal de~c~~cão. t ~ab~do, po~ exemplo, que a

LLnha de t~an~~cõ es A- C, que ~ epa~am a~ 6a~ e.s A- e~mêt~ca e C - nemã:

devem ~e~ de~c~~ta~ po~ uma teo~~a t~~d~men~~onal com g~upo UUJ, e. - .. d d . d .- (1 2)que ~eja nao ma~~~va ao longo e e~e~m~na a ~eg~ao ' . Pelo ex

po~to no p~e~ente t~ab~lho, e~pe~amo~ que qualque~ ~eo~ia U(l) com

Lnd.Lc»: de ~imet~ia n = 2 ~i~va. em p~~ncZpio pa~a tal de~ c~~cão. A

6o~ma. e~pec.Z6ica.do~ p~opaga.do~e~ de~te~ modelo~, na 6a~e não ma.~

-scv a , e que vac dec.idi~ qua.i~ ent~e e~te~ modelo~, ~e~ia.m os ma.Ls

a.dequado~ ã de~c.~icão 6Z~ica da linha A-C e da ponto dede dete~mina.do ~i~tema. 6Z~ico.

te ~~a.ba.lhonão 6o~a.m ~~a.ta.do~em de~a.lhe~. Po~ exemplo, ê qua.~e •

c.e~to que no~~o e~quema. de c.la.~~i6ic.a.cãoe~teja. ~ela.c.iona.dac.om a.~

po~~Zvei~ c.la.~~e~de unive~~alida.de. Ve~ta. 6o~ma., uma anãli~e ma.i~

Pa.~a.~a.l anãli~e, ~o~na.-~e impe~a.~ivo o c.onhec.imen~ódo~ ~eu~ exp~ente~ c.~Ztic.o~,o~ quai~ podem, em p~inc.Zpio, ~e~em obtido~ po~

t~a.n~6o~macão de e~c.a.la.pa.~a.~i~~ema.~ 6inito~ (F.S.S.) (3B). Fa.z-~ec.o~~e

la.cã.ona 6a.~e de ba.ixa.~tempe~a.~u~a.~ do~ modelo~ c.om ~imet~ia. pla.

na.~ U(l}. E~pe~a.mo~ que no 6utu~o ta.i~ ponto~ po~~a.m ~e~ a.ta.c.a.do~.

I I

-075-

APENDICE A

DESILGUALDADES DAS FUNÇÕES DE CORRELAÇÃO

~a a 6unc~o de eo~~elac~o de m-ponto4 da4 ondem

(A. 1)

(A. 2 J

A~ midia~ de ambo~ o~ lado~ da de~i9ualdade~ ~ao edetuada~ a me4ma

tempe~atu~a 8-1 e eom a nunção de p~1t~caa, da mod~io 24 d~ F~v~~~i~o em ~ua ve~4ão Villain (111.33) e (III.63).

E4ta~ de~i9ualdade~ exp~e4~am o a~9umento intuitivo deque, a uma dada tempe~atu~a, a de~o~dem deve e~e~ee~ a medida que

o g~upo de ~imet~ia aumenta. No eapltulo 111 utilizamo~ a autodua-

lidade da ve~~ão Villain do modelo (III.33) e a4 de~igualdade~(A.l)

e IA.2) pa~a p~ova~

~ição de 6a~e em 8v. o

analltiQa 6eita no~

o ~eguinte: Qa~o a teo~ia U(l) po~~ua uma t~an

(o que e~pe~amo~ que oeos.no:pela no~~a análi.óe•Qapltulo~ .111 e IV), ·então o modelo Z(N) Qom

N > 2n8~ deve te~ além da 6a~e de baixa~ e alta~ tempe~atu~a~, uma

6a~e inte~mediá~ia de~o~denada (na~ va~iãvei~ o~dem e de~o~dem).

Pa~a p~ova~mo~ IA.1) e (A.2) de6inimo~ iniQialmente

6unção de Qo~~elação de m-ponto~ da~ va~iávei~ deo~dem:

(A. 3 )

Na ap~oximação Gau~~iana pe~iõdiQa obtemo~

-016-

(A.4a.1

onde zU ê a 6unção de pa~~ição (111.36) e-N

(A.4b)

UlIando ali 6õ~mulall de PoLss.cn. (111.37), Ls ocando-e e. ali. . .

-+ .va~i~veill p(~) po~ meio de (111.41) e e6e~uando-lIe o ~~aço lIob~eali va~i~veill p(t) ob~emo.6:

co ooO: ,,-L L I. .Q.xy -~ \ r.~:-\,I. t; ) ,2yN {.l~=.-oo!V-f::.CO}' 2 ~ S f

onde 8~ ê um del~a de K~oneeke~, mõdulo N. Podemo.6 .n~ão e.6e~eve~:

co

~ ~: (tl't ~ -J\l~ -\-Q):: I. 11~(t:.b- 62Q~+N",,) (A.6 J

{~1 ~~l-;~::-OO}tr}

ondeago~a o del~a de K~oneeke~ que apa~eee ê o no~maL. S~b.6~i~uin

dO~.6e (A.6) em (A.S) ob~emo.6

I I

-D"-

(A.7)

Va me4ma 60~ma ob~em04 no limi~e N ~ oo,U(l).

.~ s (6A.Q.p- ~ ~~ T Q ) .\~l "T

Ve6inim04 ago~a a 6uncão de co~~elacão geneMUzada(l1 ,22,24)

(A.8 )

(A. 9 )

onde z~ ~ o nume~ado~6azendo-4e Q = o. E 4imple4 ve~ que no limi~e

H ~ O apena4 o ~e~mo m(t) = O (pa~a ~odo tl 4ob~evive ev vU ( 1 ) (O H H~O ) Ou ( 1 ) ), enquan~o que no limi~e H~oo xo áos 04 valE.

Jte.ó de m(~) con-t~inuem igua.e.men~ee ~e~emo.6 o .e.imi~eZN(O~ ~ O~).H~

(A.1) e.ó~a~â pnov àdo: .óe p~ova~mo.6 que dO; ~o paJtaJIf ~

~emo.6

-todo H > O, {i4-tO que 6a~emo.6 a .óegui~.

Se deJtiva~mo4 O~ tom ~e4pei~0 a H ob~em04

I I

.! I

-078-

(A.I0i

dx~tr) ~ ~lr) t ~\~(fJ

o{k t~) ~ ~~C~) - Q~ tr)

(A.llltJ

(A.77b)

~ (r') ~ i~(~) i: 1.'r(~)

ot~ (~) =- ir (~)- 2..\,(~)

(A.l1c.)

(A.77d)

fí f).: 'rnl~)+ ml(i)

F lr) s \'V\ (~) - m' (r\)

(A.77e.)

(A.176)

a440c.iada4 a04 4Z~i04 da ~e.de..Ve.m04 que. 04 vZnc.ul04imp04~04 p!

l04 de.l~a4 de. (A.8) e.xige.mque:

Re.pa~e.que. a4 va~i~ve.i4 az e.a~ nao 4ao inde.pe.nde.n~e.4,

Vi4~0 que. e.la4 de.ve.mp044Ui~ a me.4ma pa~idade (de.ve.m4e.~ 4imul~a

ne.ame.n~e.pa~e.4 ou Zmpa~e.4). O me.4mo ac.o~~e.c.e.pa~a a4 va~i~ve.i4 ap-+ -+u(~1 e. u(~l. Pa~a 4oma~mo~ lndependen~emin~e ~bb~e az'

. 1 { )az+a~e.m (A. 1O) um 6at:o ~ 2[ 1+ -1 J paJta.

e. a' e. pa~ap

a~, ap' a~, u, u' adic.ionam04

r II

I I

-019-

,'1' ~ t~

cada. iÁ..gacão z , um naxon. 2" [ 1+ ( - 1) p ] palt.a c.ado: piaq ue.:ta X-tj e.

um ~ato~ {[1+(-11~+~~] pa~a ~ada ponto da ftede. Podemn~ ent~o, ag~

It.aJl.e.Uc.lt.e.ve.lt.IA. 10 1 e.m :te.lt.mo.6áas nova.6 valt..i~ve.Á...6,o b:te.ndo

QoL. ...L.L L lftb· $}, \.d 1\ (I~z~Ytol"c!e'f'\ \olr,olW 1 {~\1'.,0. \<.,0

~b ~-1I.~ -i Í-~t_l ~ r~t)~.L f(flfl(f).~\. 4~ s 4~ f 2\-\ r J ~ ,

4ch (_llol~~_llrÁ~1._l. Ir\~ 1 .r i 4~ s 4~ f 2H i' 1

Pode.mo.6 e.xpandÁ..1t.0.6 úl:tÁ..mo.6 pltodu:tôltÁ..o.6 e.m (Á.13) obte.n

do um c.onjunto de. L ponto da.6 Ite.de., Lz ligac5e..6 (na dilte.cio z) e.

Lp plaque.ta.6 x-y e. ob:te.mo.6:

(A.14)

pltovando, polttanto {A. I).

Palta plt.ovanmo.6 (A.2), de.6inimo.6 a 6uncio de. c.onnelaciode m-ponto.6 pana a vaniâvel de.6ondem:

(A.15)

! II

! I.

Na ve~~ão Vittain podemo~ e~e~eve~:

+ -onde Q(~l e dado pOK (A.4bl ~

enquanto que no ea~o U(l) tem04:

-080-

(A.16a)

(A.16b)

(A.17)

da

(A.18)

- v v v 'vo n d e. e. ef.aJto que. VH ~ vN e vH

~ Vu (1). POJttan.to paJta pJtova.~H+O H+oo

mo~ (A.Z) ba~ta que demon~t~emo~ que aV~/aH ~ O pa~a todo H > O.

I I

I I

-081-

Ve~ivando-~e lA.18) obtemo~

t L I ~6[1.QL-;),ir)- WZ~) t~J~,~Jt~lt~J'(~] Nr

I 1~~{-{lU l\}} _211Y.S 4 (Ô2.1f' -J.1T ~ n1·. htf {-!~L \ lV\'- ,,'li ~r'l.\(64-1\-\ -lllkf )21) .

.~r~-~&(~+ t~7.)+t (kt-fV-n11'

E~ta exp~e~~ ao pode ~ e~ ~imet~i~ada. em teltmo~ da.s valtiã.vei~ (1/J,

kz, k ) e (1/J', kz', k'). Como (A.19) ê a.nti~~imêtltiea na. t~oeap- p(kz, kp) + (k~, kp) podemo~ ~ub~tituilt o pltimeilto teltmo em (A.19)pOIt:

Sub~tituindo-~e (A.20) em (A.19) de~inimo~, a~~im como o

~izerno.6 em (A.ll), nova.6 vaJtiã.vei.6pela .6orna e d-L6eJtenca das vaJtiÊ:

intJtoduzido.6

em (A.13) con.6eguimo.6 6azeJt 0.6 tJtaco.6 na.6 nova.6 vaJtiã.vei.6de manei

Jta independente. Finalmente s eoas.an.do s s e: a.6 .6oma.6 em (A. r4) o as:emo.6 que (A.19) pode .6eJte.6cJtito corno quadJtado. O .6inal

pJtoveniente de (A.20) implica entio que aV~/aH S O emente pJtovamo.6 (A.2).

negativo

con.6equents!:'

I I

-082-

APENDICE B

HAMILTONIANA QUANTICA DO MODELO 24 DE FEVEREIRO

Entendemo~, ne~te apênd~ce, o e~tudo ~eai~zado no~

cap~

tuio rrr ~ob~e o modeto 24 de feve~e{~Q. Ob1etemG~ QU~ ma~~lz~~an46e~~nc~a, 4ua Hamiltoniana de tempo contInuo e po~ 6im exibi-~emo~ 04 ope~ado~e4 o~dem e de~o~dem m04t~ando ne~te contexto a

autoduat~dade do mQde~Q.

Con~ide~em04 o Hamiltoniano Cl;44ico (111.30) e pen4~

mo4 que a di~ecão z de6ina a di~ecão tempo~al (Euclidiana). O Ha

miltoniano é também de6inido na ~ede cúbica de lodo L, cuj04 pon

to4 4ão dad04 po~ (~,t) onde ~ = (x,y) e 4ujeito a condiçõe4 p~

~iõdica4 de conto~no ..E4tamo4 inte~e44ado4 em con4t~ui~ o ope~ado~....H que de4c~eve~ã a evolução tempo~al de umacon6i9u~ação no tempo t

àquela no tempo t' = t + Z (onde z e o e4paçamento da ~ede na di~e

çao tempo~al). Como a4 va~iãvei~ pe~tencem ao 9~upo ZN.

( B. 1 )

. Lto ~~~tema, pa~a cada tempo, pode e~ta~ em N e~tado~ .

. O Ham..i.lton..i.anoclâ.~~..i.co(I I 1.3 O) pode ~e~ e~c~..i.to como

onde

t13.2b)

-083-

e.

(S.2c)

a 6unção de pa~t~ção do modelo po~~a ~e~ e~x~~ta eomo

(8.3)

Ve.notando po~ Ip> a ~on6igu~acio du 4i4te.ma no te.mpot, e. po~ Ip'>

aque.la do te.mpo t', pode.mo4 e.4~~e.Ve.~

(8.4a)

onde.

(8.4b)

e.

(B.4c.)

-+ - -+Pode.mo4 pe.n4a~ e.m S(~,t) ~omo o autovalo~ do ope.~ado~ S(~,t) que.

age. no e.4paco das ~on6..i.gu~acõe.4.·.

,-W r(r"\:-) .SCr\t-') lr> =e N 'r> (B. 5 )

Como TZ ê d..i.agonal, e.le.pode. 4e.~ e.4~~..i.to4..i.mple.4me.nte.e.m-t.e.nmo s de. S. Pano: c.OI1.6.tJtU:t.tllO.6 a. pa.Jt.te.I1ã.O d.i.a.gol1a..t de. T, -<-J.>;to e.

TI' note.mo4 que. e.m te.Jtm04 de. p(~,t) pode.mo4 e.4C.~e.ve.Jt(12,13)

-084-

(8 ~6 )

Como o conjunto de e~tado~ {In>} i completo, podemo~ e~

mod.N (B.7)

- -Se ~egue então de (B.5) e (B.1) que O~ ope~ado4e~ $ e R devem~ati~6a~e4 ~ a!geb~a ~N:

(B.8a)

(B.8b)

(B.8e)

Podemo~ então e~e~eve~

o ope~ado~ Hami!~oniano (~empo con~Znuo) pode en~ão ~e~-

obtido con~ide~ando-~e o !imi~e(26,27)

- ..,4 - 11m - L ~~r

L-? 0-1 t:(B.l0)

· .-

.085.

Nã.o é ·d.ióXcLt .ident.ió.ic.a.lLmO.6. o e.6 pa.ca.mento tempolLa.l c.omo

(8.11)

o ,e.,<.m.<.,te IB. 1O I, paJta no.6 daJt uma Nam1.Lto n1.ana6,i,,6.i.c.amen

te Jta.zoãvel, deve .6eJt be.i.to toma.ndo-.6e J~O e K~oo de noJtma. que

À 6K"= - .6ejaT-H1. Ê nãc.il

~1.xo là ~aJt~ o papel da tempeJtatuJta no Hamilton.i.ano

veJt que ne.6te limite .6omente .6obJteviveJtã em (B.91 0.6

pJt.i.me.i.Jto.6do.i..6teJtmo.6 da .6oma e pOJt (B.I0) pJtontamente t.i.Jtamo.6 o

ope~adoh Ham~lionlano:

(B.12)

0.6 o peJtadoJte.6 duai» ã S e R podem .6eJt o bt.i.do.6

te:

(B.13a)

e

(B.13b)

onde ~ = ~ + xiY .6ão 0.6 .6Ztio.6 da Jtede dual (quadJtada ne.6te c.a.6o).

~ .6imple.6 exeJtc.Zc.io veJti6ic.aJt que e.6te.6 opeJtadoJte.6 .6ati.66azem a

me.6ma ~lgebJta IN(B.8)

(B.14a)

-086-

n (?) )r lf)l:o ~

I'N - ,..N~f CrL.f" (I") "- 1

(B.14b)

lS.14c.}

e que o ope~ado~ R pode ~e~ e~c~ito como

(B.151

;;,;;;

Pon~an~o a Hamil~oni4naH em ~enm06 do& openadone6 duai6 6eni:

(8.16)

Vemo6 en~~o que de (8.16) e (8.12) 6e 6egue Que:

(8. 17)

o Que demon6~na a au~odualidade do openadon Hamil~onian~. O ac.opl~-

men~o dual ~ != l/À e o pon~o de au~odualidade ~ dado pon

pana ~odo N.

-À=À=1

Repanemo6 Que enQuan~o o modelo c.li~6ic.a(111.30) nao

ena au~odual pana N ~ 5, uma da6 vin~ude6 do limi~e do ~empa c.on~Z

nua ê ne6~aunan a au~odualidade pana ~ada N.

· l__

-087-

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