Modelo de Variáveis de Estado

����������� � � � ��

�� �� � � � �

����������

Utilizamos dois tipos de equações para modelar os sistemas invariantes no tempo:•Equações Diferenciais Lineares de Coeficientes Constantes•Funções de Transferências.

Pelo uso da transformada de Laplace, a função de transferência pode ser obtida das equações diferenciais, e o modelo das equações diferenciais pode ser obtido das funções de transferência usando a transformada inversa deLaplace.

��������� �� � � � � ����� � ����

É um modelo de equações diferenciais, porém as equações são sempre escritas em um formato específico.

O modelo de variáveis de estado é um conjunto de equações de primeira ordem acopladas, normalmente escritas na forma de um vetor matriz.

OBJETIVO: desenvolver uma representação que preserve a relação entrada-saída (função de transferência), mas que é expressa em n equações de primeira ordem para um sistema de ordem n.

VANTAGENS: além das características de entrada-saída, as características internas do sistema são representadas.

����� ������ ���� �� � � � � ����

� � ����

Sistema Mecânico de Translação

Equação diferencial do Sistema:

Função de Transferência do Sistema:

y(t) – representa a posição

Esta equação dá uma descrição da posição y(t) em função da força f(t).

����� ������ ���� �� � � � � ����

� � ����

Suponha que queremos uma informação sobre a velocidade:

x1(t) = y(t) )()()(

)( 1

*1

2 txdt

tdxdt

tdytx ===

Assim x1(t) é a posição da massa e x2(t) é a velocidade. Então, podemos escrever:

)(1

)()()()(

122

*2

2

2

tfM

txMK

txMB

txdt

dxdt

tyd��

���

�+��

���

�−��

���

�−===

Modelo de variáveis de Estado

����� ������ ���� �� � � � � ����

� � ����

Formato que normalmente é escrito, reordenando as equações anteriores.

)()(

)(1

)()()(

)()(

1

212

*

21

*

txty

tfM

txMB

txMK

tx

txtx

=

��

���

�+��

���

�−��

���

�−=

=

����� ������ ���� �� � � � � ����

� � ����

Normalmente, as equações de mesmo estado são escritas em um vetor-matriz..

[ ]

dttdx

tx

onde

tx

txty

tfMtx

tx

MB

MK

tx

tx

)()(

)()(

01)(

)(10

)()(10

)(

)(

11

*

2

1

2

1

2

*1

*

=

��

�

�=

��

�

�

�+�

�

�

�

��

�

�

�

−−=��

�

�

�

����� ������ ���� �� � � � � ����

� � ����

Definição: O estado de um sistema em qualquer tempo t0 é a quantidade de informações em t0 que, em conjunto com todas as entradas t >= t0.

Forma Padrão:

x(t) tempono derivadaa é ,)( vetor,o onde

)()()()()()(

*

*

tx

tDutCxty

tButAxtx

+=+=

Equação do estado

Equação de saída

����� ������ ���� �� � � � � ����

� � ����x(t)= vetor de estado = vetor (n � 1) dos estados de um sistema de ordem n.

A = matriz (n � n), chamada de matriz do sistema.

B = matriz (n � n), chamada de matriz de entrada.

u(t) = vetor de entrada = vetor (r � 1) composto pelas funções de entrada do sistema.

y(t) = vetor de saída = vetor (p � 1) composto pelas saídas definidas.

C = matriz ( p � n) chamada matriz de saída.

D = matriz (p � r) que representa o acoplamento direto entre entrada e saída.

)()()()()()(

*

tDutCxty

tButAxtx

+=+=

����� ������ ���� �� � � � � ����

� � ����

Verificamos como encontrar o modelo de estado diretamente das equações diferenciais do sistema.

A seguir, mostraremos o método disponível para obter o modelo de estado diretamente da função de transferência.

Este modelo é baseado no uso de diagramas de simulação.

� �� ��� ������ � � �� � �

É um tipo de diagrama em blocos ou de um gráfico de fluxo que éconstruído para obter uma função de transferência específica ou para modelar um conjunto específico de equações diferenciais.

Dadas as funções de transferência, as equações diferenciais ou as equações de estado de um sistema, podemos construir um diagrama de simulação do mesmo.

O diagrama de simulação é apropriadamente definido, já que é útil na construção de simulação. Seu elemento básico é umintegrador

� �� ��� ������ � � �� � �

Se a saída de um integrador é representada por y(t), a entrada do integrador deve ser dy/dt.

Por exemplo:

./)()( onde ,)(ser deve

integrador primeiro do entrada a forma, mesma da)(ser deve entrada a

)(y é integrador segundo do saída a se

22****

*

dttydtyty

ty

t

=

� �� ��� ������ � � �� � �

Exemplo:

)(1

)()()(***

tfM

tyMK

tyMB

ty ��

���

�−+��

���

�−��

���

�−=

No método acima, foi construído um diagrama de simulação, com integradores, ganhos e o ponto de soma para satisfazer uma dada equação diferencial.

Diagrama de simulação

� �� � � �� ���� �� � � �� � �� ����

� � ����

Dois métodos para encontrar a solução das equações de estado:

•Solução pela Transformada de Laplace.

•Solução por Séries Infinitas

� �� � � ��� ���� ���� ���� �������

� �� ���

(5) )()()0()(:matricial forma

)(.....)(

(4) )(....)()()0()(equação 2ª da madaA transfor incluída. é inicial condição a onde

)(......)(

(3) )(....)()()0()(fornece

(2) ......

:Laplace de ada transformUzando(1) )()()(

:padrão Forma

2121

222212122

1111

121211111

112121111

*

*

sBUsAXxssX

sUbsUb

sXasXasXaxssX

sUbsUb

sXasXasXaxssX

ubxaxaxax

tButAxtx

rr

nn

rr

nn

rrnn

+=−

++++++=−

++++++=−

+++++=

+=

� �� � � ��� ���� ���� ���� �������

� �� ���

equação.desta Laplace de inversa ada transforma é X(s) estado de vetor o e

(8) )()()0()()(

:equação a novamente escrevendo(7) )()0()()()()(

.identidade matriz a utilizandoequação, aresolver para esquerdo lado no X(s)fatorar necessário É

(6) )()0()()(:X(s) oEncontrand

11 sBUAsIxAsIsX

sBUxsXAsIsAXssIX

sBUxsAXssX

−− −+−=

+=−=−

+=−

� �� � � ��� ���� � �� �!�� � ���

Um método para resolução de equações diferenciais é considerar como solução uma série infinita de coeficientes desconhecidos.

A série infinita é então substituída na equação diferencial para o cálculo dos coeficientes desconhecidos.

� �� � � ��� ���� � �� �!�� � ���

)0(...)()0(...)32(

dosubstituin

)0(...)()(

:expressão esta ndoDiferencia

escalar. tempoo é (t) e incógnitas são K matrizes as onde)0()(

)0()0(...)()(

p/ x(t) resolvendo)0()()(

)()(

33

2210

2321

33

221

*

i

0

33

2210

*

xKKKKAxKKK

xKKKtx

xt

xtKxKKKKtx

xttx

e

tAxtx

tttttt

ttt

i

iittt

++++=+++

+++=

=

=++++=

=

=

∞

=

φ

φ

� �� � � ��� ���� � �� �!�� � ���

...!3!2

1

lexponenciaescalar um deTaylor de SerieA de.Similarida a Devido

...!3

A!2

AAtI(t)

como expressaser pode estado de transiçãomatriz a

.... ;!3

;!2

;

:então I,Ko temos0, tCalculando

..... ;3 ;2 ;dasdesconheci matrizes das equação uma em resulta cálculo

cada e , operação esta Repetindo 0. tpara resultado ocalculam e ndodiferencia então 0, tem Calculamos

33

22

33

22

3

3

2

21

231201

++++=

++++=

===

=====

==

tk

tkkte

tt

AK

AKAK

AKKAKKAKK

kt

φ

Atet =)(

é estado de transiçãomatriz a

φ

" � �� � �� ���� ���� ���# �� �

Dadas as equações de estado de um sistema, queremos encontrar as funções de transferência. Para realizar isso, utilizamos o seguinte:

•Método do das equações de estado para construir um diagrama de simulação.

•Uso da formula do ganho de Mason

" � �� � �� ����� ���� ���# �� �

(3) )()(:resulta (1) em saída de equação da Laplace de madaA trasnfor

(2) )()()(

X(s) para Resolvida)()(

:escritaser pode equação Esta iniciais. condições as Ignorando)()()(

:Laplace de daTransforma(1) )()(

)()()(

estado de equações as para padrão Forma

1

*

sCXsY

sBUASIsX

sBUXsAsI

sBUsAXssX

tCxty

tButAxtx

=

−=

=−

+=

=+=

−

" � �� � �� ����� ���� ���# �� �

BsCBAsICsG

sUsGsBUAsICsY

)()()(

:definiçãöpor )()()()()(

desejada ncia transferêde função a da (3) e (2) de ãosubstituiçA

1

1

φ=−=

=−=

−

−

� ���� ���� �� � ������ � �� ����

Um sistema de entrada única e saída única tem apenas um modelo entrada-saída (função de transferência), mas o número de modelos internos (modelos de estado) é ilimitado.

A transformação de similaridade altera o modelo interno (modelo de estado), porém não altera o modelo de entrada-saída do sistema (a função de transferência)

� ���� ���� �� � ������ � �� ����Exemplo:

(5). e (4) em vado transformestado de vetor em e(3) e (1) em vetor x do função em estado de Equações

(4) :se-torna(3)

saída de geral equaçãoA

v(t)variáveis as para estado de modelo no resulta v para equação essa Resolvendo

(5)

: teremos(1) em (2) doSubstituin(2) (1)

11*

*

*

*

DuCPvy

DuCxy

BUPAPvPv

BuAPvvP

Pvx

BuAxx

+=+=

+=

+=

=+=

−−

� ���� ���� �� � ������ � �� ����

Exemplo:

.

:são adas, transformmatrizes as para equações Asadas transformmatrizes as indica subscrito índice o onde

: vde função em estado de equações As

11

*

DDCPC

BPBAPPA

uDvCy

uBvAv

vv

vv

vv

vv

====

+=+=

−−

� ���� ���� �� � ������ � �� ����

Exemplo:[ ]

[ ] [ ]121112

01

21

10

2111

815611

1112

1715

1112

0213

2111

:se- tornanado transformsistema o para matrizes as

1112

;2111

:ação transforma com01

10

0213

1

1

1

*

−=��

�

�

−−

==

��

�

�=�

�

�

���

�

�==

��

�

�

−−

=��

�

�

−−

��

�

�

−−

=��

�

�

−−

��

�

�

−−

��

�

�==

��

�

�

−−

=��

�

�=

==

��

�

�+�

�

�

�

−−

=+=

−

−

−

CPC

BPB

APPA

PP

xCxy

uxBuAxx

v

v

v

[ ]vvCy

uvuBvAv

v

vv

12

21

815611

:são das tranformaestado de equações As*

−==

��

�

�+�

�

�

�

−−

=+=

� � � �� � ��� � ��

O procedimento prático para encontrar o tempo de resposta de um sistema é através da simulação, em vez de resolver diretamente as equações diferenciais ou usar a transformada de Laplace.

Para realizar as simulações, utilizamos algoritmos de integração.

A dois algoritmos de integração numéria disponível:

• O método de Euler (um procedimento simples)

• O método de Runge-Kutta (de quarta ordem).

O software que utilizamos é o MATLAB®

$ �� ���%

Função de Transferência para espaço de estados:

O comando: [A,B,C,D] = tf2ss(num,den)

Converte o sistema na forma de função de transferência:

DBAsICdennum

sUsY +−== −1)()()(

Para a forma de espaço de estados.

DuCxy

BuAxx

+=+=

*

$ �� ���%

De espaço de estados para função de transferência:

Se o sistema tiver uma entrada e uma saída, o comando

[num,den]=ss2tf(A,B,C,D)

Produz a função de transferência Y(s)/U(s).

Se o sistema tiver mais de uma entrada e uma saída, deve-se usar o comando seguinte:

[num,den]=ss2tf(A,B,C,D,iu)

$ �� ���%

Tal comando converte o sistema representado em espaço de estados.

DuCxy

BuAxx

+=+=

*

Para a função de transferência:

[ ]DBAsICisUsY

i

+−= −1)( ofelement th )()(

Observe-se que o escalar ‘iu’ é um índice para as entradas do sistema e especifica qual das entradas deve ser usada para resposta.

$ �� ���% �& �' �� � �

[ ] [ ] ��

�

�+��

�

�=

��

�

���

�

�+��

�

���

�

�

−−=

��

�

�

�

2

1

2

1

2

1

2

1

2

*1

*

0001

1001

3210

u

u

x

xy

u

u

x

x

x

x

Podem ser obtidas duas funções de transferência para este sistema. Uma relacionada a saída y com entrada u1, e a outra relacionada a saída y com a entrada u2.

$ �� ���% �& �' �� � �

A=[0 1;-2 –3]; B=[1 0;0 1]; C=[1 0]; D=[0 0];

[num,den] = ss2ft(A,B,C,D,1)

num= 0 1 3

den= 1 3 2

[num,den] = ss2ft(A,B,C,D,2)

num= 0 0 1

den= 1 3 2

Da saída apresentada pode-se tirar o seguinte.

231

)()(

233

)()(

22

21

++=

+++=

sssUsY

e

sss

sUsY

� ' �� � �

Exercício 4.1: Ache aproximação para PVI

na malha de [0,1] com h=0.1, h=0.01 e h=0.001 para RK1, RK2 e RK4. Compare as soluções e faça os gráficos correspondentes.

���

=+−=2)0(

2´y

yxy

� ' �� � �

���

=+−=2)0(

2´y

yxy

� ' �� � �

� ' �� � ��& (

4.4 Exercício: Resolver o Circuito Elétrico

0)(11

0)(1

)(1

0)(1

322

33

23

2

3

211

322

22

2

2

211

21

2

1

=−−+

=−−−+

=−+

iiC

iCdt

idL

iiC

iiCdt

idL

iiCdt

idL

Equação dada do problema:

� ' �� � ��& (

Solução:

Considerando: C1, C2, C3, L1, L2 e L3 = 1, temos:

�����

�

�����

�

�

−=

=

+−=

=

−=

=

323

*33

*3212

*22

*121

*11

*

2

2

xxy

yx

xxxy

yx

xxy

yx

0)(11

0)(1

)(1

0)(1

322

33

23

2

3

211

322

22

2

2

211

21

2

1

=−−+

=−−−+

=−+

iiC

iCdt

idL

iiC

iiCdt

idL

iiCdt

idL

� ' �� � ��& (

Onde todos os integradores têm o valor da condição inicial igual a 1.

�����

�

�����

�

�

−=

=

+−=

=

−=

=

323

*33

*3212

*22

*121

*11

*

2

2

xxy

yx

xxxy

yx

xxy

yx

� ' �� � ��& (