EST-55 AEROELASTICIDADE

Aeroelasticidade Estática ASAS ENFLECHADAS

O efeito do enflechamento

Aeroelasticidade estática de asas enflechadas.

• Objetivo– Determinar como a flexão, não somente a torção como se viu antes,

muda o carregamento em asas enflechadas;– Apresentação de modelos aerodinâmicos e estruturais simples.

Considerações iniciais

• Asas podem ter o seu enflechamento positivo (“para trás”), ou negativo (“para frente”)

• Para que enflechar para frente ?– Tentar diminuir a distância entre o centro

aerodinâmico e o centro de gravidade da aeronave;– Melhorar características de controlabilidade

longitudinal para o caso de aeronaves com pouco volume de cauda, uma vez que a eficiência de sustentação aumentada;

– Diminuir efeito de arrasto de onda no regime transônico, aumento Mach de cruzeiro...

Teoria das Faixas

• Técnica para resolver um problema tridimensional empregando soluções bidimensionais conhecidas;

• Não é restrito apenas ao cálculo de carregamento estacionário para aeroelasticidade;

• A idéia é subdividir uma dada superfície de sustentação em faixas dispostas ao longo da envergadura:

Teoria das Faixas

• Esta teoria é limitada a casos de asas onde os efeitos tridimensionais do escoamento podem ser desprezados, por exemplo, asas de grandealongamento;

• Não são considerados efeitos de influência aerodinâmica entra asfaixas, lembre que a solução empregada para cada faixa é uma solução bidimensional

• As faixas devem estar preferencialmente alinhadas com o escoamento, porém é bastante usual adotar-se faixas perpendiculares ao eixo elástico.

• Neste caso, deve-se decompor o escoamento para um sistema de coordenadas local da asa onde para a envergadura, o eixo "y" deve coincidir com o eixo elástico.

Teoria das Faixas Modificada• Asa enflechada:

Teoria das Faixas Modificada I

• Enflechamento:– Método das componentes

de velocidade

• Usualmente, a asa é discretizada em faixas, cuja corda de cada seção típica é perpendicular ao seu eixo elástico;

• Entretanto, se a asa é enflechada, o eixo elástico também será;

Teoria das Faixas

• Cada faixa possui uma largura finita, a partir da qual pode-se calcular o carregamento por faixa multiplicando:

Note que o carregamento obtido através da teoria do carregamentoestacionário sobre um perfil, é por unidade de comprimento de envergadura.

• Para o cálculo do carregamento, emprega-se os movimentos referentes aos graus de liberdade de uma determinada faixa.

1

,nfaixas

total

i i i

i

L l dy L L=

= ⋅ = ∑

Efeitos de“Wash in” e “Wash Out”

São resultantes do acoplamento de um movimento de flexãoque induz uma torção

Efeito do Enflechamento

• Enflechamento:– Método das

componentes de velocidade

• Usualmente, a asa é discretizada em faixas, cuja corda de cada seção típica é perpendicular ao seu eixo elástico;

• Entretanto, se a asa é enflechada, o eixo elástico também será;

Efeito do Enflechamento

• Quando a asa é enflechada, deve-se observar que as seções típicas, definidas perpendiculares ao eixo elástico, não estão alinhadas com o escoamento;

• Emprega-se a solução aerodinâmica bidimensional para resolver o problemas por faixas (aproximação);

• Entretanto, alguns “termos novos”surgirão nas relações de sustentação e momento, pois existirá um acoplamento do movimento de flexão que induzirá uma torção nas faixas alinhadas com o escoamento não perturbado;

• O primeiro passo será escrever a velocidade de deformação da asa na direção vertical como função de coordenadas de um novo sistema de eixos, onde um deles é coincidente com o eixo elástico da asa.

Efeito do Enflechamento

Ref. NACA-REPT-1014

Efeito do Enflechamento• Sendo “s”o eixo alinhado com a direção da envergadura e coincidente

com o eixo elástico; e “r” perpendicular a “s”, um deslocamento Z escrito neste novo sistema de coordenadas é uma função: Z = Z(r,s,t) . (na figura, y’ = s)

• E a condição de contorno, ou seja o normalwash induzido pela superfície da asa é:

onde a coordenada ξξξξ é paralela com o escoamento não perturbado. Define-se o normalwash (ou downwash) como sendo a velocidade normal induzida pelo deslocamento da asa sujeita ao escoamento V0.

0( , ) ( , )

ZW r s V r s

ξ

∂= −

∂

0//Vξ ⇒ cos sin

Z Z r Z s Z Z

r s r sξ ξ ξ

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= + = Λ + Λ

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

Efeito do Enflechamento

• Condição de contorno:

• Porém o deslocamento na direção do eixo Z pode ser escrito como uma função de h(s) e αααα(s), graus de liberdade da seção típica :

onde se considerou que e

• Substituindo esta última relação na condição de contorno:

( ) 0 0, cos sin

Z ZW r s V V

r s

∂ ∂ = − Λ + Λ

∂ ∂

( ) ( ) ( ),Z r s h s r sα= − ⋅

cos 1.0α ≅ sinα α≅

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

0 0

0 0

, cos sin

, cos sin

W r s V h s r s V h s r sr s

hW r s V s V s r s

s s

α α

αα

∂ ∂ = Λ − ⋅ + Λ − ⋅ ⇒ ∂ ∂

∂ ∂ ⇒ = − Λ + Λ − ⋅ ∂ ∂

Efeito do Enflechamento

• Portanto, sobre o eixo elástico (r = 0) temos a expressão final para o ângulo de ataque no sistema rotacionado, a partir da expressão para o downwash:

• Como Vn = V0cos(Λ), o ângulo de ataque observado pela seção típica com corda normal ao eixo elástico é dado por:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

0 0

0 0

, cos sin

, cos sin

hW r s V s V s r s

s s

h sW r s V s V

s

αα

α

∂ ∂ = − Λ + Λ − ⋅ ∂ ∂

∂ ⇒ = − Λ + Λ ∂

( )( ) ( )

( )

0

,, tan

coss

W r s h sr s s

V sα α

∂− = = − Λ

Λ ∂

Efeito do Enflechamento

• Mudando a notação, temos:

( )( )

( )0

,, tan

coss

W r sr s

V

h s

s

α θ φ

φ

− = = − ΛΛ

∂= →

∂

Inclinação local do eixo elástico deformado em flexão

Ou seja, fica claro agora que o ângulo de ataque efetivo naseção típica é composto por uma componente devido a torção(θθθθ) e uma componente devido a flexão (φ.φ.φ.φ.tanΛΛΛΛ), que depende do enflechamento. Note que se o ângulo de enflechamento forpositivo (para trás), temos o fenômeno de “wash out”. Por outroLado, se ΛΛΛΛ for negativo, (para frente) temos o “wash in”.

Exemplo simplificado:Asa rígida com engastes flexíveis

• Vamos estudar um primeiro modelo simplificado, cujo propósito é entender o efeito do enflechamento.

• Supõem-se que a asa é rígida e engastada através de molas que restringem movimento de corpo rígido que em flexão e torção.

Sistemas de eixos

K 2

K 1

d f

V V cos Λ

b

A A

B

B

α o

C

C

c

Λ

A

B D

C

V

Λ

1

1

1

V s e c t i o n

1 -1 φ s i n Λ

φ

2

Molas que resistem a deslocamentos verticais

A letra “N” Flexão gera sustentação?

sr

Cuidado! “b” aqui é envergadura....

Acoplamento tipo flexo-torção

Os segmentos CD e AB acompanham o movimento vertical devido a flexãosem torcer. Por outro lado o segmentoCB desloca-se verticalmente, porém ele torce, pois o ponto B desloca-se mais no sentido vertical que o ponto C. O segmento CB representa a seção da asa alinhada com o escoamento.

Pela figura abaixo, pode-se entender com funciona o acoplamento entre o modo de flexão e a torção induzida a uma seção deasa enflechada, alinhada com o escoamento aerodinâmico.

A

B D

C

V

Λ

1

1

1

V section

1-1 φ sin Λ

φ

2

φ φ φ φ sinλλλλ

Sustentação na asa flexível

2cos

nq q= Λ

tancos

on LL q cbC α

αθ φ

= + − Λ

Λ

Para calcular o carregamentoaerodinâmico na seção típica, que por razões estruturais é perpendicular ao eixo elástico, leva-se em conta a componente de escoamento não perturbado normal a este eixo.

K 2

K 1

d f

V V cos Λ

b

A A

B

B

α o

C

C

c

Λ

sr

Λ−Λ+== sincos φθαα ofreestreamV

v

cos sin

cos cos cos cos

oc corda

v

V

α θ φα α

Λ Λ= = = + −

Λ Λ Λ Λ

tanestruturalα θ φ= − Λ

Ângulo de ataque efetivo

(a expressão acima obtivemos da condição de contorno a pequenasPerturbações – expressão para o downwash)

Entretanto, queremos o ângulo de ataque “percebido” pela seção típica.

Estrutural ouna direção dacorda...

2cosnq q= Λ

tancos

on LL q cbC α

αθ φ

= + − Λ

Λ

Componente de velocidade normal ao eixo elástico da asa.

Sustentação da asa flexível

Note que esta sustentação é calculada com relação a seçãotípica, ou seja empregando o ângulo de ataque “estrutural”, maisA contribuição de um ângulo de ataque inicial αααα0

Portanto, para o cálculo da sustentação na asa assumindo a teoriaDas faixas, devemos calcular a sustentação em cada faixa empregando a pressão dinâmica equivalente.

Modelo estrutural simplificado

• Assumiu-se que as molas que restringem os movimentos de corpo rígido da nossa asa enflechada são representadas pelas molas K1 e K2, dispostas com uma excentricidade “f” e “d”, respectivamente;

• Estas molas podem ser representadas por molas que restringem os graus de liberdade em flexão na forma da derivada da deformação ao longo da envergadura e no sentido vertical, e o grau de liberdade em torção da asa.

( ) 2

1 1K f f K f Kθθ θ= =

2

2K K dφ =

A mola K1 resiste ao a torção da asa gerando a forçaPor outro lado, promove um torque restaurador: 1

K f θ

Analogamente:

Carregamento aerodinâmico

• O carregamento aerodinâmico para o nosso problema pode ser aproximado por:

( )2

0tan

2 cos

bo

n l

bl s ds q cC

α

αθ φ

⋅ = + − Λ

Λ ∫

( )0

tancos

bo

n ll e ds q cC eb

α

αθ φ

⋅ = + − Λ

Λ ∫

Onde:2 2 2 21 1

cos cos2 2

n nq V V qρ ρ= = Λ = Λ

Note que na realidade são momentos resultantes da distribuiçãodo carregamento aerodinâmico ao longo da envergadura b, nosentido deste e no sentido da corda.

Equilíbrio em flexão (φφφφ)

( )2

tan2 cos

b

o

on l

K l s ds

bK q cC

φ

φ α

φ

αφ θ φ

= ⋅ ⇒

= + − Λ

Λ

∫

Equilíbrio estático : momentos associados à flexão e torção

( )

tancos

on l

K le dy

K q cC eb

θ

θ α

θ

αθ θ φ

= ⇒

= + − Λ

Λ

∫

Equilíbrio em flexão (θθθθ)Chegamos a umsistema de duas equações e duas incógnitas.

n lq cQ bC

α=tant = Λ

Equações para o equilíbrio estático supondo ângulo de ataque inicial

02 2 2

0 cos

o

b b bK

tQ

Kete

Q

e

φ

θ

φ φα

θ θ

− = + ⇒ Λ −

02 2 2

0 cos

o

b b bK

Ke e

tQ

Q

t e

φ

θ

φ α

θ

− ⇒ − = Λ −

“Parametrizando” o problema

Note que a matriz de rigidez estrutural é desacoplada, porém amatriz aeroelástica representará um acoplamento de naturezaaerodinâmica.

( ) ( )

Λ=

−

−

+

e

bQ

QeKQte

QbQtbK o

2cos

22α

θ

φ

θ

φ

[ ]

Λ=

e

bQK o

ij2

cos

α

θ

φou

Sistema aeroelástico

Resultando em :

Resposta aeroelástica

• Resolve-se o sistema de equações para obter φφφφ e θ θ θ θ :

( ) ( )( ) ( )

1

2 2 2cos

o

bQtb QbKQ

Qte K Qe e

φ

θ

φ α

θ

− + − = Λ −

0 1

2cos tan

2

Qb

KbK Q e

K

φφ

θ

αφ

= Λ Λ

+ −

0 1

cos tan

2

Qb

K bK Q e

K

θθ

φ

αθ

= Λ Λ + −

( )22

2 betQQeK

QbtKK +−

+==∆ θφ

−+=∆ eK

btKQKK φθφθ

2

Estabilidade do sistema

Utilizamos o critério de estabilidade de Euler para estudar a estabilidade do sistema, chegando a uma equação parao parâmetro “Q” (não confundir “Q” com “q” de pressãodinâmica!)

2

btKeK

KKQD

θφ

φθ

−

=0=∆

2 tancos 1

2

LD

KSeC

qKb

e K

θ

α

θ

φ

= Λ

Λ −

n LQ q cbC α=

Condição de divergência

Ou agora, isolando a pressão dinâmica associada à velocidadede escoamento não perturbado temos:

O que acontecese ΛΛΛΛ for igual a zero?

Fazendo o denominador igual a zero:

02

tan1 =

Λ

− critical

K

K

e

b

φ

θ

≥Λ

=Λ

−

θ

φ

θ

φ

K

K

b

c

c

e

K

K

b

c

c

ecrit

2tan

2tan

1

Sem divergência:

Análise do enflechamento

Implica em umapressão dinâmicade divergênciainfinita.

Exemplo

6,5,4=c

b1.0=

ce

4.03.53.02.52.01.51.00.50.00

2

4

6

8

10

Critical sweep anglevs.

stiffness ratio

Kφ/Kθ

swee

pan

gle

for

dive

rgen

cesu

ppre

ssio

n(d

egre

es)

aspect ratiob/c=4

aspect ratiob/c=5

aspect ratiob/c=6

Se a razão entre asrigidezes em flexãoe torção for 3, temosΛΛΛΛcr= 5.71º. Ou seja

se asa for enflechadamais de 5.71o, nuncateremos divergência.

Eficiência de sustentação

• Eficiência de sustentação é definida como a razão entre a sustentação produzida por uma asa flexível e a sustentação produzida pela mesma asa, porém considerando-a rígida.

cosrigida

L oL qSC αα= Λ

tancos

flexível on L

L q SC α

αθ φ

= + − Λ

Λ Λ= 2

cosqqnOnde, emprega-se a pressão dinâmica normal ao eixo elástico.

Eficiência de sustentação

• Substituindo os ângulos da inclinação devido a flexão e devido a torção, obtidos da solução do sistema de equações, na relação:

• Temos:

tancos

flexível on LL q SC α

αθ φ

= + − Λ

Λ

tan1

cos 2

n L oQK eq SC QbK

Lφα θα Λ

= + − Λ ∆ ∆

Sustentação da asa flexível

1cos

tan1

2

L oL qSCQ b

K K eK K

α

θ φ

θ φ

α

= Λ Λ

+ −

2

tan Λ−

=bK

eK

KKQD

θφ

θφ

n LQ q SC α=Fazendo:

Eficiência da sustentação

cos

1

L o

D

qSCL

QQ

αα Λ=

−

1

cos 1

flexível

rígido

L o

D

L L

qqSC Lq

αα= =

Λ −

2

tan Λ−

=bK

eK

KKQD

θφ

θφ

n LQ q SC α=

Onde:

2 tancos 1

2

LD

KSeC

qKb

e K

θ

α

θ

φ

= Λ

Λ −

Exemplo Numérico

Λ

−Λ

=

2

tan1cos

2

0

φ

θ

K

K

e

c

c

b

qqD

2/250 ftlbqo =

Sendo as condições:

o30=Λ6=

c

b1.0=

c

e

3=θ

φ

K

K0

L

Kq

SeC

θ

α

=

Eficiência de sustentação - final

3503002502001501005000.0

0.5

1.0

1.5

2.0

lift effectiveness vs.dynamic pressure

dynamic pressure (psf)

lift e

ffect

iven

ess unswept wing

divergence

30 degrees sweep

15 degrees sweep

unswept wing