EST-55 AEROELASTICIDADE - aer.ita.brgil/disciplinas/est-55/est-55-02-2009.pdf · posição do CA será aproximadamente e exatamente a ¼ da corda, respectivamente. e todo o momento

EST-55 AEROELASTICIDADE

Aeroelasticidade Estática

Triângulo de Collar

A

E I

SSA

L

C

D

RF B Z DSA

DS

VA: Força aerodinâmica Fenômenos AeroelásticosE: Força elástica F: “Flutter”I: Força inercial B: “Buffeting”

Z: Resposta dinâmicaCampos Relacionados L: Distribuição de carga

V: Vibrações mecânicas D: DivergênciaDS: Estabilidade dinâmica C: Eficiência de controle

R: Reversão do sistema de controle

DSA:Efeitos aeroelásticos na estabilidade dinâmicaSSA: Efeitos aeroelásticos na estabilidade estática

Conceitos introdutórios – Parte I

• Análise matricial de estruturas

Os deslocamento devido a flexibilidade estão relacionados às forças como:

Supondo que a estrutura é linear

- matriz de rigidez, composta por coeficientes de influência de rigidez. Cada coluna representa o conjunto de forças necessário para que o deslocamento ui seja unitário e uj sendo nulo quando i≠j.

{ } { }i ij jF K u =

ijK

Análise matricial de estruturas

• Trabalho virtual realizado por uma força:

Energia potencial elástica

2

1

2

1 1

2 2

W F du F u

K u u K u

= ⋅ = ⋅ =

= ⋅ ⋅ = ⋅ →

∑


• Na forma matricial:

Note que diferenciando

refere-se a aplicação da equação de Lagrange:

{ } { } { } { }

{ } { } { }

1 1

2 2

1

2

T

i i i i

T

i i j

W F du F u u F

W u F u U

= ⋅ = ⋅ = ⋅ ⇒

= ⋅ ⋅ = →

∑

Energia potencial elástica

i

U

x

∂⇒

∂

( )

i

T Ud

dt x

∂ −

∂ �

T∂−

( )j i

i i

U UQ F

x x

− ∂= = =

∂ ∂


• Consequentemente temos:

Note que:

Como a ordem de integração não altera o resultado, a matriz de rigidez deve ser simétrica

Os elementos diagonais devem ser positivos ou nulos, enquanto os demais não

ij j i

i

UK u F

x

∂= =

∂∑

ij ji

i j j i

U UK K

x x x x

∂ ∂= = =

∂ ∂ ∂ ∂

Análise matricial de estruturas• Exemplo: construção da matriz de

rigidez do sistema ao lado:

Note que os termos diagonais são sempre positivos, e que existe o acoplamento elástico (termos fora da diagonal)

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

1 2

1 2

1 2 2 1

2 2

2 1 1 2

0

0T

F P K h a K h b

M M K a h a K b h b

K K K b K aP h

M K b K a K a K b

θ θ

θ θ

θ

= − − − + =

= + − − + =

+ − =

− +

∑∑


• Centro de cisalhamento e centro de torção – são exatamente a mesma coisa, é o ponto onde ao se aplicar uma força só existirá cisalhamento, ou seja não existirá nenhum momento aplicado. Se K1 = K2, e a = b, a origem O é o centro de torção;

• Este conceito é válido quando assume-se que a estrutura é linear;

• Em aeroelasticidade, a posição do centro de torção será determinante na caracterização da estabilidade estática e dinâmica do sistema

Conceitos introdutórios – Parte II

• Aerodinâmica básica

Definições básicas ->Geometria da um aerofólio

bidimensional, daqui por diante abreviado para 2D.

c = cordab = ½ cordaV = Velocidade de

escoamento não perturbado.

αααα = ângulo de ataque

Parâmetros de similaridade

• Em aerodinâmica, define-se como parâmetros de similaridade:

• Em aeroelasticidade temos:

Frequência reduzida massa aparente

Re

VM

a

Vcρ

µ

= →

= →

Número de Mach

Número de Reynolds

bk

V

ω= 2

m

b Sµ

πρ=

V = vel. Escoamentoa = velocidade do somρ ρ ρ ρ = densidadeµµµµ=visc. dinâmicaωωωω = frequência circularS = área

Parâmetros de similaridade

• O uso de parâmetros de similaridade garante o efeito de escala dinâmica para comparações teórico experimentais.

• Se Reynolds e Mach forem similares entre dois corpos imersos em um fluido, que sejam geometricamente similares, porém em escala diferente os parâmetros aerodinâmicos serão idênticos.

Sustentação e Momento

• Para calcular o momento, requer-se um comprimento de posição de referência;

o

o

o

o

L L L

M M M

dLL L

d

dMM M

d

qSC qSC qSC

qScC qScC qScC

α

α

αα

αα

α

α

= +

= +

= +

= +

Coeficientes aerodinâmicos

• Coeficientes de sustentação e momento:

Nota: é usual definir os índices de coeficiente de seções 2D em minúsculas.

- ângulo de ataque para sustentação nula

21

2

l

lC

V Sρ=

21

2

m

mC

V Scρ=

( )0 0

ll l l l l Lift

dCC C C C C

dα α αα α α

α= ⇒ = + = −

0Liftα

Transporte do momento

• Pode-se medir ou calcular o momento aerodinâmico em um determinado ponto e transporta-lo para outro ponto de interesse:

• Onde a e b são dois pontos distintos situados a distâncias ha e hb do bordo de ataque em frações da corda “c”.

( )ma ma l a bC C C h h= + −

Centro aerodinâmico

• Por definição o centro aerodinâmico é o ponto sobre o aerofólio onde o momento aerodinâmico não varia com o ângulo de ataque.

• Para obter o centro aerodinâmico (ac), empregas-se a fórmula de transporte de momentos

0acmdC

dα=

( )acm mb l ac b

C C C h h= + −


• Diferenciando em relação a αααα :

• Exemplo:

( )0acm mb lac b

mbac b

l

dC dC dCh h

d d d

dCh h

dC

α α α= = + − ⇒

= −

0,040,020,00-0,02Cm1/3

0,80,60,40,2Cl


• Como os dados de túnel de vento acima comporta-se de forma linear,

• Para aerofólios finos em regime subsônico o centro aerodinâmico situa-se a uma posição a ¼ da corda aproximadamente.

( )13

13

13

0,04 0,020,10

0,8 0,2

10,10 0,2333

3

m

l

m

ac

l

dC

dC

dCh h

dC

− −= =

−

= − = − =

Centro de pressão

• Posição onde o momento aerodinâmico é nulo pois é o ponto de aplicação da resultante do carregamento aerodinâmico distribuído sobre a corda.

• A sua posição pode ser determinada de:

• Note que a posição do Cp depende de αααα .

13

13

13

10

3

1 1 0,02 10,4333

3 3 0,2 3

xcpm m l xcp

m

m l xcp xcp

l

C C C h

CC C h h

C

= + − =

− = − ⇒ = + = + =

Porque o CA ao invés do CP?

• Embora o centro de pressão CP seja o ponto de aplicação da resultante aerodinâmica, a sua posição muda com a variação do ângulo de ataque.

• Por outro lado, o que não muda com o ângulo de ataque é a posição do centro aerodinâmico CA.

• Portanto, é razoável assumir como ponto de aplicação da resultante aerodinâmica a posição do centro aerodinâmico, uma vez que a força aerodinâmica variará proporcionalmente ao ângulo de ataque ao mesmo tempo que momento aerodinâmico permaneceráconstante ou nulo (placa plana).

• Note que para o caso de um aerofólio fino, ou mesmo a representação da seção de um aerofólio por uma placa plana a posição do CA será aproximadamente e exatamente a ¼ da corda, respectivamente. e todo o momento atuante no aerofólio seráoriundo da sustentação multiplicada pela distancia do ponto de giro do aerofólio ao centro aerodinâmico a ¼ da corda.

• Note que para o caso da placa sem arqueamento, o momento aerodinâmico será nulo (Cmac0 = 0)

Mais definições...

• Asa finita (3D) ΛΛΛΛe=enflechamento do bordo

de ataque (LE) A = área da asa b/2 (s/2) = ½ envergadura Cr = corda na raiz Ct = corda na ponta

2

ct

cr

sAR

A

λ=

=

afilamento

alongamento

Corda média aerodinâmica (MAC)

• Corda de uma asa retangular com a, com a mesma área A, cujas características aerodinâmicas (sustentação e momento de arfagem) são iguais a asa original.

( )22

0

22 1

3 1

s

MAC c y dy

MAC crλ λ

λ

=

+ += →

+

∫

Asa reta e afilada, e seráimportante para adimensionalizarA frequência reduzida

Compressibilidade

• Os coeficientes aerodinâmicos bem como as suas derivadas dependem de efeitos de compressibilidade;

• Este efeito é representado pela correção de compressibilidade conhecida também como correção de Prandtl-Glauert;

• Não só coeficientes, mas também a posição do centro aerodinâmico é alterada.

21

Inc

l ll

dC CC

d M

αα

α= =

−

Regime Transônico

“Transonic Dip”

Pre

ss

ão

din

âm

ica d

e “

Flu

tter”

Número de Mach1

baixo amortecimentoponto crítico para “Flutter” (regime transônico)

teoria linear

0

Introdução àAeroelasticidade Estática

X-29


• Centro Elástico (CE): é o ponto para o qual uma força normal à corda é aplicada e a seção não sofre torção, mas apenas flexão.

• Uma força aplicada fora do CE causa torção e flexão.

CE

AC - Centro Aerodinâmico

(Ponto onde o Momento Aerodinâmico não muda)

Eixo elástico

Esforço aplicado

no eixo elástico

(flexão)

Esforço aplicado

fora do eixo elástico

(torção e flexão)


• Eixo Elástico: linha ao longo do comprimento da semi-asa, formada pelos pontos (CE) onde forças podem ser aplicadas sem resultar em torção da mesma.

LL

CC α

α

∂=

∂

( )xAC AC ACM L x M= ⋅ +

ACAC MM C q S c= ⋅ ⋅

0=CPxM

4AC

cx ≅

2AC

cx ≅

Escoamento subsônico (consegue-se o valor exato

quando se aplica a teoria dos perfis finos).

Escoamento supersônico

:

LM

c

xac

AC CECP

Distribuição da sustentação

A resistência devido à rigidez torcional é a tendência de uma seção da asa em resistir à torção imposta pela seção adjacente. É representada pela Mola Torcional (Kθ).

Kθθθθ

AC

CE

CP

W

L

75%

Seção Típica

Eixo ElásticoSeção mais representativa da asa. Em geral, é considerada a 75% da semi-envergadura da asa.

Esta seção depende da rigidez torcional ao longo da asa.

Seção Típica de uma Asa

KθθθθAC

CE

LMAC

αααα

e

V

KθθθθAC

LMAC

ααααe

V

θθθθMθθθθ = Kθθθθ · θθθθ

e - distância do CE ao AC

αααα - ângulo de ataque inicialθθθθ - ângulo de torção elástica

Obs.: Geralmente o “Flutter”ocorre antes que a Divergência, exceto para asas com enflechamento negativo.

Divergência Aeroelástica-1 GDL

θθKLeM AC =+

( ) θθαα

θKqSeC

qScC L

M AC=+

∂

∂+ 0

Em termos de coeficientes aerodinâmicos, tem-se:

Determina o quanto tem de torção, dependendo da velocidade. Então,

∂

∂−

+∂

∂

=

α

ααθ

θ

θ L

M

L

C

K

Seq

cCC

e

K

qS AC

1

0

Obs.: θ aumenta quando diminui o denominador. Denominador nulo corresponde a condição de divergência.

Equilíbrio de Momentos (ref. CE)

∂

∂=

α

θ

L

DC

Se

KqPressão Dinâmica de Divergência (qD):

Que proporciona a divergência sobre um aerofólio.

∂

∂=

αρ

θ

L

DC

Se

KV

2

O carregamento é alterado pela flexibilidade

Velocidade de Divergência (VD):Velocidade em que ocorre a Divergência.

( ) ElásticaRígidaTotal

L

Total LLLC

qSL +=∴+∂

∂= θα

α0

Para aumentar a VD: aumentar Kθ ; diminuir e; e reduzir o ρ (aumentar o nível de vôo). Se e < 0, não existe a condição de Divergência.

Condição de divergência


• Note os termos que compõem a relação abaixo:

�

0 ACL M

L

qSeC qScC

K qSeC

α

θ α

αθ

+=

−��

“Rigidez Aerodinâmica”

“Rigidez Estrutural”

“Rigidez Aeroelástica”

A divergência é uma instabilidade independente da magnitude dos esforços (momentos), mas sim dependente da rigidez aeroelástica


“Rigidez Aerodinâmica”

“Rigidez Aeroelástica”

“Rigidez Estrutural”


• Graficamente:

2 LK q SeCθ α<

1 LK q SeCθ α>

Influência do peso

• O peso W, cujo ponto de aplicação é o CG, também tem influência sobre a torção elástica, devido o momento negativo gerado por ele, resultando em

ACM Le d KW θθ+ − =

( )0AC

LM

CC qSc qSe KWd θα θ θ

α

∂+ + − =

∂

0

1

AC

LM

L

WC

e cCqS

CSe

d

Kq

Kθ

θ

ααθ

α

∂+ −

∂ =∂ − ∂

Entretanto, note que a divergência independe desta “força externa”...

Acréscimo de sustentação

( ) ∴=++∂

∂∴=+ θθα

αθ θθ KqScC

CSeKLeM

ACM

L

AC 0

θα

θ

α

α θKC

C

C

e

cqSe L

L

M AC =∂

∂

+

∂

∂+0

= ângulo de ataque antes da torção elástica0α

Efeito Aeroelástico abaixo da VD:

Como

∂

∂=∴

∂

∂=

α

α

θθ L

D

L

D

CSeqK

CSe

Kq

Então obtém-se :

( )Dq

q

L

D

L CSeq

CqSe

−=

+⇒

∂

∂=

∂

∂+

1

1

0

0

0α

θαθ

ααθα

que é a expressão que indica o quanto de sustentaçãose tem em relação à asa rígida.

Acréscimo de sustentação

Dq

q

0

0

α

θα +

10

0

0

α

θα +≅

+=

Rígida

ElásticaRígida

EfetivaL

LLL

0

0

0,8 0,64

0,3

D D

V q

V q

α θ

α

= ⇒ =

+∴ ≅

então RígidaElástica LL 2≅

Mas, com °=⇒°= 1050 θα , e °=+ 150 θα

que está fora da faixa linear (tomar cuidado).

Sustentação Efetiva

Ex.:

Considerações adicionais

• A eficiência da sustentação modifica o desempenho da aeronave, e deve ser considerada no projeto;

• A superfícies de sustentação devem ser dimensionadas considerando a flexibilidade;

• A redistribuição da sustentação move o centro de pressão de uma asa na direção da raiz, e para a frente (direção do BA);

• O estudo da estabilidade e controle da aeronave deve levar em conta os efeitos da flexibilidade.

KθθθθAC

CE

LMAC

αααα

e

V

KθθθθAC

LMAC

ααααe

V

θθθθMθθθθ = Kθθθθ · θθθθ

e - distância do CE ao AC

αααα - ângulo de ataque inicialθ - ângulo de torção elásticah - deslocamento vertical

Divergência Aeroelástica-2 GDL

+h

Kh Kh

Kh= rigidez em translação

AC

h

M L e K

L K h

θ θ+ ⋅ = ⋅

= ⋅

Sistema de duas equações a duas incógnitas:

Agrupando:

Equilíbrio de Momentos e Forças (ref. CE)

( )0

Lh

CqS K hα θ

α

∂ + = ⋅ ∂

( )0AC

LM

CqScC qSe Kθα θ θ

α

∂ + + = ⋅ ∂

0

0

0 0 1 1 0

0 0 1

0 0 1 1 0

0 0 1

0 1

AC

AC

h

L L M

h

L L M

Lh

L

K h hqSC qSC qScC

K e e

K h hqSC qSC qScC

K e e

qSCK

K K h

qSeC

K

α α

α α

α

α

θ

θ

θ θ

θ

αθ θ

αθ θ

θ

− − = + +

− − − = +

−

0 1 0

1

ACL MqSC qScC

eK K

α

θ θ

α − = +

Na forma matricial:


0 1 1

1

1 0

11 1

0 0

1

AC

L L

h h

h hL L

L L

L M

qSC qSC

K KK K

K KqSC qScCqSeC qSeC

K K

qSeC qSeC

K K

h

eK K

α α

α α

α α

α

θ θ

θ

θ θ

θ θ

θ

α

θ

− −

− = +

− −

− −

Na forma matricial:


0

0

1 1

1 1

1

AC

AC

L L

h hM

L

L

L

L

M

L

qSC qSC

qSe

K KqScCh

K

qSC

K qScC

K

C qSeC

K K

qSeC qSeC

K K

α α

α α

α α

α

θ

θ

θ

θ θ

θ θ

α

α

θ

− − = − − −

− −

= −

Os deslocamentos são dados por:


Moral da história: A pressão dinâmica de divergência é a mesma que o caso com 1 GDL.

Outros efeitos...

• A condição (pressão dinâmica, por exemplo) em que o aerofólio perde a sua resistência em torção éconhecida como divergência;

• Não apenas o efeito da compressibilidade, mas também um eventual aquecimento aerodinâmico pode mudar as características estruturais da estrutura, diminuindo a sua rigidez. (Aerotermoelasticidade). Ex. vôos em regime hipersônico.

• Uma falha estrutural pode alterar a característica aeroelástica e levar a divergência

O mais importante - efeito da compressibilidade

• Correção de Prandtl-Glauert:

21

D inc

L

Kq

CSe

M

θ

α

=

−

A velocidade de divergência aumenta com a altitude, porém diminui com o efeitoda compressibilidade.

0

TD

L

TDo

L

Kq

SeC

Kq

SeC

α

α

= ⇒

= ⇒

21

0

M

CC

L

L−

= α

α

2

2

11

0

MqSeC

MKq Do

L

TD −=

−=

α

O efeito da compressibilidade

Mais sobre compressibilidade...

• Todavia, o número de Mach muda a pressão dinâmica de divergência (Prandtl-Glauert);

• Porém não podemos trata-lo como um parâmetro independente; note a relação para a velocidade de divergência:

• A velocidade de divergência depende do par ρρρρ e M, uma vez que o número de Mach depende da altitude .

2

2

1

D inc

L

KV

C

MSe

θ

αρ

=

−

Mach de divergência

• Pergunta: se operarmos em uma determinada altitude, qual será o Mach de divergência? A condição de vôo calculada a partir da equação:

deve corresponder (match) à condição calculada pela análise de divergência.

• Em outras palavras, a densidade e o número de Machdevem corresponder à velocidade calculada para uma determinada condição de vôo (altitude).

VM

a=

2 2 21 1

2 2q V M aρ ρ= ⋅ = ⋅e


• Para tal, vamos calcular a pressão dinâmica incluindo o efeito da compressibilidade:

• Combinando a equação acima com:

• Tem-se :

2

2 2

0

11 1

inc

D Dinc

L

K Mq q M q M

S e C

θ

α

−= = − = −

⋅ ⋅

2 2 21 1

2 2q V M aρ ρ= ⋅ = ⋅


• Continuação...

• Onde a pressão dinâmica qs é a pressão correspondente a um escoamento à velocidade do som.

• Ou seja, podemos usar a relação acima que é função exclusivamente do número de Mach e da pressão dinâmica de divergência em regime incompressível. Também é necessário identificar a altitude correspondente à análise para se calcular a velocidade do som e se obter a pressão dinâmica de referência para aquela altitude;

• O resultado é uma equação quártica para o número de Mach apenas, a nossa incógnita. Este valor correspondente a uma dada altitude será o número de Mach de divergência:

22 2 2

21

1 in

S

c

DM a q M Mqρ ⋅ = − =


2 2

4 2

2 4 2

0

4

2

Do DoD D

s s

Do Do Do

s s s

D

q qM M

q q

q q q

q q qM

+ − = ⇒

− + +

= +

O conceito de “Match Point”

• O conceito de “Match Point”, ou “ponto correspondente” émuito utilizado para a correlação de resultados de análises aeroelástica com experimentos em vôo.

• A idéia é obter uma velocidade de divergência que corresponda ao número de Mach a uma determinada altitude de vôo.

• Ou seja, plota-se a pressão dinâmica corrigida para os efeitos de compressibilidade e a pressão dinâmica do escoamento a velocidade do som (a) correspondente a uma determinada altitude de vôo.

• A interseção entre as duas curvas fornecerá o Mach de diverg6encia, ou seja e deste valor pode-se obter a velocidade de divergência fisicamente correta para a condição investigada.

O conceito de “Match Point”

• O número de Mach de divergência é a interseção de duas curvas, resultado de plotar

respectivamente como função do número de Mach. Este ponto éconhecido como

“Match Point”

2 21

2Sq M aρ= ⋅

21

inc

D Dq q M= −

e

Efeito da Altitude no Mach de divergência

• Do gráfico anterior, observa-se que o número de Mach de divergência aumenta com o aumento da altitude que implica na mudança da velocidade do som. Na figura ao lado pode-se também notar que o MD aumenta acompanhando a altitude.

Evitando a divergência...

• Analisando a expressão:

• Se diminuirmos “e”, a pressão dinâmica de divergência aumenta;

• Se aumentarmos a rigidez da Kθθθθ a pressão dinâmica de divergência aumenta.

• Eventuais restrições no envelope de operação também são uma forma de evitar a divergência

∂

∂=

α

θ

L

DC

Se

Kq

Hipóteses restritivas

• Contexto linear, a pequenas deformações, o que implica em comportamento linear do material e da aerodinâmica;

• Deformações ocorrem em um período de tempo suficientemente grande, podendo-se classificar o fenômeno como quasi-estático.

Sumário

• A divergência aeroelástica é uma instabilidade prevista por uma análise de rigidez estática;

• Próximo da condição de divergência, pequenas deformações em torção (incidência da asa) implicam em grande deformações que podem levar a carregamentos aerodinâmicos ainda maiores –pode-se atingir regimes não lineares quanto ao comportamento aerodinâmico;

• Perto da condição de pressão dinâmica de divergência, o efeito da flexibilidade promove um incremento significativo na sustentação.

Eficiência e Reversão de Comandos

Fenômenos que também estão associados à Aeroelasticidade Estática.Será usado o aileron para exemplificar estes fenômenos. Seu objetivo é criar um momento de rolamento P.

x

ya

P∆∆∆∆La = diferença de sustentação

Mx = 2∆La · ya

Eficiência e reversão de comandos

Eficiência e reversão de comandos

• Supõem-se que a superfície de comando rotacionefazendo um ângulo δδδδ com a linha da corda da seção;

• Com a deflexão da superfície de comando, a geometria do perfil muda (camber efetivo), então o CMAC também muda;

• Esta variação angular da superfícies de comando gera um momento picador que tende a deformar a asa da aeronave, que é flexível;

• Tal deformação pode ser suficientemente grande de forma que a ação do aileron pode gerar um torque em rolamento em sentido contrário do que o esperado.

δδ∂

∂+= AC

ACAC

MMM

CCC

0

sem deflexão

deflexão do aileron

total

coeficiente de momentoda deflexão do aileron

articulação

AC

L

MAC

δ

Kθ

CE

Reversão de comandos

Articulação

Devido os esforços aerodinâmicos que tendem a introduzir uma nova deflexão da superfície de comando, a deflexão total é diferente da imposta pelo piloto. A deflexão pode ser maior ou menor que a deflexão inicial.

δ0 deflexão comandada pelo piloto

δ deflexão totalΚδ rigidez da articulação

AC

L

MAC

δ

δ0

Kθ Kδ

CE

Articulaçãoelástica


Então, relativo a seção típica com superfície de controle, tem-se:

( )

∂

∂++

∂

∂=∴= δ

δθα

αLL

L

CCqSLqSCL 0

∂

∂+=∴= δ

δAC

ACAC

MMACMAC

CCqScMqScCM

0


Devido à articulação, o momento aerodinâmico da superfície de controle (H), em relação ao eixo da articulação, é dado por:

( ) ( )

( ) ( ) ( )

∂

∂++

∂

∂+=

∴=

δδ

θαα

)()(

)(0

)(

0HH

H

H

MM

MHH

MHH

CCCcqSH

CcqSH

Nota: com δ +, H +


1) Equilíbrio de momentos em relação ao CE da seção:

( ) θδδ

δδ

θαα

θKC

CqScCC

qSe AC

AC

MM

LL =

∂

∂++

∂

∂++

∂

∂

00

( )0δδδ −= KH

2) Equilíbrio de momentos em relação ao eixo de articulação:

, com (δ – δ0) sendo a torção elástica dasuperfície de controle, em relação

ao eixo de articulação.

( ) ( ) ( ) ( )00)()(

)(0δδδ

δθα

αδ −=

∂

∂++

∂

∂+ K

CCCcqS

HH

H

MM

MHH

Exemplo: Seção Típica

O que resulta em um sistema cuja equação matricial é dada por:

[ ] [ ]BAb

b

aa

aa⋅=

∴

=

⋅

−1

2

1

2221

1211

δ

θ

δ

θ


11 12

21 22

,

,

AC

H H

ML L

M M

H H

CKC Ca e a e

qS

C C Ka a

qS c

θ

δ

α δ δ

α δ

∂∂ ∂= − = +

∂ ∂ ∂

∂ ∂= = −

∂ ∂

( ) θδδ

δδ

θαα

θKC

CqScCC

qSe AC

AC

MM

LL =

∂

∂++

∂

∂++

∂

∂0

0

θδδ

δδ

θα

αα

θKC

qScqScCC

qSeC

qSeC

qSe AC

AC

M

M

LLL =∂

∂++

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂0

0

Equilíbrio de momentos em relação ao CE da seção:

+

∂

∂−=

∂

∂+

∂

∂+

−

∂

∂0

0 AC

AC

M

LMLL cCC

eqSC

cC

eqSKC

qSe αα

δδδ

θα

θ

+

∂

∂−=

∂

∂+

∂

∂+

−

∂

∂0

0 AC

AC

M

LMLL cCC

eC

cC

eqS

KCe α

αδ

δδθ

αθ

Demonstração do desenvolvimento da matriz

( ) ( ) ( ) ( )00)()(

)(0δδδ

δθα

αδ −=

∂

∂++

∂

∂+ K

CCCcqS

HH

H

MM

MHH

000δδδ

δθ

αα

αδδ KK

CcqS

CcqS

CcqSCcqS HHH

H

M

HH

M

HH

M

HHMHH −=∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

+

∂

∂+−=

−

∂

∂+

∂

∂000

δαα

δδδ

θα

δδ KC

CcqSKC

cqSC

cqS H

H

HH M

MHH

M

HH

M

HH

+

∂

∂+−=

−

∂

∂+

∂

∂

HH

M

M

HH

MM

cqS

KCC

cqS

KCCH

H

HH 000

δα

αδδ

δθ

αδδ

Equilíbrio de momentos em relação ao eixo de articulação

+

∂

∂+−=

−

∂

∂+

∂

∂

HH

M

M

HH

MM

cqS

KCC

cqS

KCCH

H

HH 000

δα

αδδ

δθ

αδδ

+

∂

∂−=

∂

∂+

∂

∂+

−

∂

∂0

0 AC

AC

MLMLL cC

Ce

Cc

Ce

qS

KCe α

αδ

δδθ

αθ

+

∂

∂+−

+

∂

∂−

=

⋅

−

∂

∂

∂

∂

∂

∂+

∂

∂

−

∂

∂

HH

M

M

ML

HH

MM

MLL

cqS

KCC

cCC

e

cqS

KCC

CCe

qS

KCe

H

H

AC

HH

AC

00

0

0

0

δα

α

αα

δ

θ

δα

δδα

δδ

θ

{ } { } { } { }BABAb

b

aa

aa⋅=

∴=

⋅∴

=

⋅

−1

12

11

2221

1211

δ

θ

δ

θ

δ

θ

Montagem da equação matricial

Divergência

• A divergência aeroelástica vai ocorrer quando o det[A] = 0, o que é real para um determinado valor da pressão dinâmica, exceto se o CE estiver àfrente do AC, caso onde nunca ocorre a divergência aeroelástica.

• Este critério de estabilidade é conhecido como critério de estabilidade de Euler, e será apresentado formalmente quando tratarmos do problemas de asas sujeitas a fenômenos aeroelásticos estáticos.

onde ∂∂∂∂CL/∂∂∂∂δδδδ é a derivada de controle, que depende do perfil e da superfície de controle.

Quando se tem deflexão do aileron, surge uma torção elástica, causada pela variação do momento aerodinâmico.

∆L∆θδé devido o momento picador que surge com a deflexão positiva do aileron, tendendo a diminuir a sustentação adicional gerada, ou o momento de cabragem que surge com a deflexão negativa do aileron, tendendo a adicionar sustentação.

∆Lδ sustentação gerada pela deflexão do aileron se a asa fosse rígida.

δδ

δ∂

∂=∆ LC

qSL

∆Lδ

δ

CE

∆L∆θδ

∆θδ


onde ∂MAC/∂δ é uma derivada tipicamente negativa.

A deflexão do aileron também gera uma mudançano momento aerodinâmico, representado por:

δδδ ∂

∂=∆ AC

AC

MqScM

Voltando à equação de equilíbrio θθKMLe AC =+

as variações em L e MAC produzirão uma torção elástica adicional ∆θδ resultando em δθ θ∆=∆+∆ KMeL ACa

δθδ ∆∆+∆=∆ LLLa

.

ou seja, saindo de uma condição de equilíbrio para outra condição de equilíbrio, onde:


.

E escrevendo-se na forma de coeficientes, tem-se:

δθδ θθα

δδ

δδ

∆=

∆

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂K

CCeqS

CqSc LLM AC

A partir desta expressão, obtém-se a mudança na torção elástica correspondente, ou seja, a Torção Elástica Adicional causada pela deflexão do aileron.


Assumindo-se que δ seja conhecido, a expressão para a Torção Elástica Adicional é dada por: δ

α

δδθθ

δ

∂

∂−

∂

∂+

∂

∂

=∆L

ML

Ce

qS

K

Cc

Ce AC

Com isso, pode-se calcular as mudanças adicionais no carregamento aerodinâmico do perfil devido à deflexão do aileron:

∴

∂

∂−

∂

∂+

∂

∂

∂

∂+

∂

∂=∆∴∆+∆=∆ ∆ δ

α

δδα

δδ θ

θδ δL

ML

LLaa C

eqS

K

Cc

Ce

CqS

CqSLLLL

AC

∂

∂−

∂

∂

∂

∂+

∂

∂

=∆

α

δαδδ

θ

θ

L

MLL

a Ce

qS

K

CCc

qS

KC

qSL

AC

Eficiência dos comandos

A uma determinada pressão dinâmica (q) não muito pequena, pode ocorrer do termo no numerador zerar, ou seja ∆∆∆∆La será nulo, o que será um bom critério para adotar a condição de reversão do comando

∂

∂−

∂

∂

∂

∂+

∂

∂

=∆

α

δαδδ

θ

θ

L

MLL

a Ce

qS

K

CCc

qS

KC

qSL

AC

devido à deflexãodo aileron

devido à torção naasa, por causa da

deflexão do aileron


Limite da reversão

0

0

AC

AC

AC

ML L

L L M

LR

L M

CKC Cc qS

qS

C K cC C qS

C Kq

ScC C

θ

δ θ α δ

δ θ

α δ

δδ α δ

∂ ∂ ∂= + =

∂ ∂ ∂

= + = ⇒

= −

Esta pressão é denominada Pressão Dinâmica de Reversão de

Controle (qR).

δα

δθ

∂

∂

∂

∂∂

∂

−=ACML

L

R CC

C

Sc

Kq


Velocidade adimensional

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

4

8

12

To

rqu

e e

m r

ola

men

to

Velocidade de

Reversão do aileron

Efeito da velocidade na eficiência do aileron

Eficiência dos Comandos

Documents

EST-55 AEROELASTICIDADE - aer.ita.brgil/disciplinas/est-55/est-55-02-2009.pdf · posição do CA será aproximadamente e exatamente a ¼ da corda, respectivamente. e todo o momento