ESTADO LIMITE ÚLTIMO NA FLEXÃO COMPOSTA NORMAL E … REFORMA.pdf · ˘ das ações, ˇ e ˆ dos materiais concreto e aço. Uma vez efetuada a análise da estrutura com as Uma vez

UEL-CTU Depto Estruturas 6TRU017 Concreto Estrutural I Prof. RBuchaim 02 Fev 2017

ESTADO LIMITE ÚLTIMO NA FLEXÃO COMPOSTA NORMAL E OBLÍQUA

�� = ��

Prof. Roberto Buchaim

UEL-CTU Departamento de Estruturas

25 Janeiro 2017


1. INTRODUÇÃO

No presente texto examina-se a flexão composta normal originada pela combinação de força normal

e de momento fletor. Nesta modalidade de solicitação os esforços solicitantes � � , �� – advindos de

tensões normais – situam-se no plano perpendicular à seção transversal, formando com esta um eixo

principal passante pelo centro de gravidade, como mostra a Figura 1.1.

Figura 1.1: Esforços solicitantes no plano perpendicular ao eixo longitudinal da peça. Convenção

de sinais dos esforços solicitantes: força normal de compressão e momento tracionando a borda 2

são positivos

Examina-se o caso freqüente de seção retangular. A diferença de tratamento para outras formas de

seção refere-se à integração das forças e momentos elementares das tensões normais, para obter os

esforços resistentes.

A Figura 1.2 mostra as diferentes modalidades de solicitações normais, estendendo-se desde a tração

até a compressão uniformes. Indicam-se nesta figura a distribuição linear de deformações (hipótese

de Bernoulli), e a distância � da linha neutra (LN) à borda 1 mais comprimida ou menos tracionada.

Os casos extremos correspondem à tração e compressão com distribuição uniforme de deformações –

sem curvatura –, para os quais � → �∞ e � → �∞ , respectivamente. Imprimindo curvatura à peça a

partir do estado uniforme de deformação na tração, Figura 1.2a, a LN aproxima-se da borda 1, Figura

1.2b, e há na peça somente banzo tracionado. Neste caso, diz-se que a seção transversal está solicitada

à flexo-tração com pequena excentricidade. Prosseguindo com aumentos de curvatura, a LN passa a

localizar-se na seção, Figuras 2c, 2d, 2e, quando então há na seção duas zonas distintas, uma

comprimida e outra tracionada. A peça tem dois banzos distintos, e diz-se haver flexão composta com

grande excentricidade. Por fim, a LN sai da seção, tendendo agora para �∞, significando que há na

seção encurtamento uniforme, sem curvatura. Nestes três últimos casos há somente banzo comprimido

na peça, e diz-se haver na seção flexo-compressão com pequena excentricidade.


Figura 1.2 Estados de deformação sob solicitações normais

O Estado Limite Último (ELU) por solicitações normais introduz os coeficientes de segurança parciais

�� das ações, �� e �� dos materiais concreto e aço. Uma vez efetuada a análise da estrutura com as

ações representativas ��, (com seus valores característicos ��, ou convencionais excepcionais

�� !"#$% ou, ainda, reduzidos &��' quando combinados com outra ação principal ��() ponderadas

por ��, segue-se o dimensionamento das seções críticas de cada elemento estrutural (laje, viga, pilar,

etc.), dividindo-se localmente as resistências características dos materiais concreto e aço, por �� e ��,

respectivamente. Providencia-se em seguida a extensão (com eventual redução ou escalonamento) da

armadura dimensionada nas seções críticas para outras seções da peça, de modo a resultar sempre

esforços resistentes de cálculo (calculados com resistências características divididas por �� e ��) iguais

ou superiores aos esforços solicitantes de cálculo (obtidos com as ações majoradas por ��), ou seja:

)� = ) *0,85 .�� ; .0�� 1 2 3� = 3�� (1.1)

onde ) e 3 representam os esforços resistente e solicitante. Por outro lado, há casos em que é

necessário obter-se a capacidade portante de uma dada estrutura existente, com a finalidade de

confirmar sua segurança ou falta de segurança. Com isto o problema deixa de ser o de

dimensionamento, e passa a ser o de verificação.

2. HIPÓTESES ADOTADAS

As duas modalidades de cálculo – dimensionamento e verificação – podem ser feitas através das três

ferramentas fundamentais da Mecânica das Estruturas, a saber:

(a) Equações de equilíbrio: os esforços solicitantes 3 (vindos das ações, ou cargas) são iguais aos

esforços resistentes ) (vindos das resistências dos materiais aço e concreto).


(b) Equações de compatibilidade: referem-se a deformações na seção transversal, e decorrem da

hipótese de Bernoulli (seções planas permanecem planas após a deformação), acoplada à hipótese de

aderência rígida (sem deslizamento) entre o aço e o concreto vizinho.

(c) Leis constitutivas estabelecidas para o concreto e para o aço. Supõe-se que o concreto tenha

resistência à tração nula (.�4 = 0), e o aço resiste igualmente na tração e na compressão. Ver a Figura

2.1.

O ELU por Solicitações Normais baseia-se em deformações limites convencionais, indicadas na

Figura 2.5 referente aos domínios de deformação, e iguais a 5� = �10‰ , alongamento máximo do

aço, e 5�,8' e 5�', encurtamentos máximos no concreto, na flexão e na compressão uniforme,

respectivamente.

2.2 LEIS CONSTITUTIVAS DOS MATERIAIS

2.2.1 Leis constitutivas do concreto

No que segue, são consideradas as leis constitutivas a usar no dimensionamento das peças em concreto

estrutural (i.e., armado e protendido). Estas leis constam no Euro-Code 2 (2010) e nos textos do MC

2010, e constam em parte na NBR 61118: 2014 com a inclusão de concretos de alta resistência (ou

concretos de alto desempenho). São três as leis consideradas neste texto, a saber: (1) parábola-

retângulo, (2) lei bilinear e (3) lei rígido-plástica (bloco de tensões uniformes). Ver a Figura 2.1 e as

Tabelas 2.1 e 2.2. Dado que a resistência à tração do concreto é desprezada no dimensionamento, estas

leis são específicas para o concreto em compressão. O valor de cálculo da resistência à compressão

do concreto é definido como segue:

0,85.�� = 0,85 .�� ⁄ (2.1)

em que:

�� é o coeficiente de segurança parcial do concreto, igual a 1,4 para as combinações normais das

ações, e 1,2 para as combinações especiais ou de construção, e excepcionais, cf. a NBR 6118: 2014,

Tabela 12.1, item 12.4.1.

.�� é a resistência característica do concreto, correspondente ao quantil de 5%, medida em corpos de

prova cilíndricos (=>â@ABCD/FGBHCF = 15/30 J@� e referida aos 28 =>FK após sua moldagem.

O fator 0,85 considera principalmente dois efeitos antagônicos, a saber, o ganho de resistência com o

tempo e, simultaneamente, a velocidade (lenta) de aplicação do carregamento. Nas estruturas, esta

velocidade é representada pelas cargas permanentes aplicadas na peça estrutural pouco a pouco, ao


longo da construção, permitindo ocorrer, entre um acréscimo de carga e outro, a fluência do concreto.

Um terceiro fator refere-se à diferença de resistências medidas no corpo de prova e na peça estrutural,

geralmente prismática. A consideração do fator 0,85 tem importância maior na segurança de peças

com predomínio de compressão axial (especialmente pilares). Com os coeficientes parciais de

segurança do EC-2 (2010), �� = �� = 1,5, obtém-se, para o valor 1 recomendado no lugar de 0,85, o

fator que afeta a resistência do concreto, igual a (

LMLN = ((,O×(,O = 0,444. No caso da NBR 6118: 2014,

mantendo-se o coeficiente 0,85, mesmo para concretos até .�� = 90 �RF, tem-se S,TOLMLN = S,TO

(,U×(,U =0,434. Ou seja, há entre as duas normas apenas ≈ 2,5% de diferença (a maior na NBR) na

consideração da segurança das peças com predominância de compressão axial. Dito de outro modo,

se o coeficiente 0,85 for alocado aos coeficientes parciais �� e ��, estes resultariam em �� = �� =W(,U×(,U

S,TO = (√S,UYU = 1,52. Assim, mantidos os coeficientes 0,85 e �� = �� = 1,4, o nível de segurança

estabelecido nas normas brasileiras é praticamente o mesmo das normas europeias que não aplicam o

coeficiente 0,85.

A lei constitutiva do concreto é definida pela função seguinte (função de potência com expoente inteiro

ou racional):

Z� = 0,85.��[1 � \1 � ]N]N^_#] KA 5� ≤ 5�'

Z� = 0,85.�� KA 5�' < 5� ≤ 5�8'

(2.2a)

(2.2b)

em que:

5�' é a deformação do início do patamar de escoamento, igual a:

5�' = 2‰ KA .�� ≤ 50 �RF

5�'�‰� = 2,0 � 0,085�.�� 50�S,OY KA 50 �RF < .�� ≤ 90 �RF

(2.2c)

(2.2d)

5�8' é a deformação limite (ou última), igual a:

5�8' = 3,5‰ KA .�� ≤ 50 �RF

5�8'�‰� = 2,6 � 35[�90 � .��100 ]U KA 50 �RF < .�� ≤ 90 �RF

(2.2e)

(2.2f)


Figura 2.1 Leis constitutivas do concreto

O expoente d é igual a:

d = 2 KA .�� ≤ 50 �RF

d = 1,4 � 23,4[�90 � .��100 ]U KA 50 �RF < .�� ≤ 90 �RF

(2.2g)

(2.2h)

Como se vê, em relação à lei dada na NBR 6118, há alteração nos parâmetros a partir de concretos de

classes superiores a 50. Note-se, também, que na faixa 50 a 90 �RF, o expoente d decresce de 2 a

1,4, quer dizer, a parábola tende para a reta (d = 1�, mostrando a aproximação desta lei com a linear,

para os concretos de alto desempenho.

A lei bilinear é dada pela equação:

Z� = 0,85.�� 5� 5�Y⁄ KA 5� ≤ 5�Y

(2.3a)

(a): Lei parábola-retângulo (b): Lei bilinear

(c): Distribuição uniforme de tensões

.Je

f�

g��‰� 5J2 5JH 2

.Je

0,85 .Je �J⁄

f�

g��‰� 5J3 5JH3

0,85 .Je �J⁄

ZJ = h�0,85 .Je �J⁄ )=h�0,85.J= �

i

� j = k�

)K 5K

≤ 5JH 3

lK


Z� = 0,85.�� KA 5�Y < 5� ≤ 5�8Y (2.3b)

em que:

5�Y é a deformação do início do patamar de escoamento, igual a:

5�Y = 1,75‰ KA .�� ≤ 50 �RF

5�Y�‰� = 1,75 � 0,55��NnoOSUS � KA 50 �RF < .�� ≤ 90 �RF

(2.3c)

(2.3d)

5�8Y é a deformação limite (= 5�8'� , igual a:

5�8Y = 3,5‰ KA .�� ≤ 50 �RF

5�8Y�‰� = 2,6 � 35[�90 � .��100 ]U KA 50 �RF < .�� ≤ 90 �RF

(2.3e)

(2.3f)

É evidente que a lei bilinear (2.3a) é um caso particular da (2.2a), bastando fazer na primeira d = 1,

e trocar 5�' por 5�Y, notando-se que a deformação limite é a mesma nas duas leis.

A lei rígido-plástica atribui ao concreto uma resistência constante, h�0,85.��, desacoplada da

deformação, tomando-se ainda a altura do bloco de compressão igual ao produto da profundidade �

da LN pelo fator k, ou seja, j = k�. Estes dois fatores são dados a seguir:

k = 0,8 KA .�� ≤ 50 �RF (2.4a)

λ = 0,8 � �.�� 50400 � KA 50 �RF < .�� ≤ 90 �RF (2.4b)

h = 1 KA .�� ≤ 50 �RF

η = 1 � �.�� 50200 � KA 50 �RF < .�� ≤ 90 �RF

(2.4c)

(2.4d)

Novamente, para concretos de classe não superior a 50, têm-se os valores tradicionais j = 0,8� e

0,85.��. Para .�� = 90 �RF, por exemplo, resultam k = 0,7, h = 0,8, donde altura do bloco de

tensões j = k� = 0,7� e a resistência do concreto h�0,85.�� = 0,68.��.

Se a seção diminui sua largura na direção da borda de maior encurtamento, deve-se reduzir o fator h

em 10%, com o que a resistência é igual a 0,9h�0,85.��. É o caso de seções circulares, por exemplo.


As deformações limites das três leis anteriores são iguais, ou seja, 5�8' = 5�8Y. Ver, igualmente, a

Figura 2.1 e a Tabela 2.1.

Tabela 2.1: Classes de resistência do concreto e parâmetros das leis constitutivas .�� RF� 20 F 50 55 60 70 80 90

5�' �‰� 2,0 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6

5�8' �‰� 3,5 3,1 2,9 2,7 2,6 2,6

d 2,0 1,75 1,6 1,45 1,4 1,4

5�Y �‰� 1,75 1,8 1,9 2,0 2,2 2,3

5�8Y �‰� 3,5 3,1 2,9 2,7 2,6 2,6

k 0,8 0,787 0,775 0,75 0,725 0,7

h 1 0,975 0,95 0,9 0,85 0,8

Figura 2.2: Lei parábola-retângulo do concreto

05

1015202530354045505560

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0

0,85fck/1,4=54,64MPa

48,57

42,50

36,43

30,36

21,25

12,14

C90

C80

C70

C60

C35

C20

C5033,39

gc ( 0/00 )

C55

f� ��⬚⬚


Figura 2.3: Lei bilinear do concreto

2.2.2 Leis constitutivas do aço

A resistência de cálculo dos aços para armaduras das estruturas de concreto é dada por:

.0� = .0� ��⁄ (2.5)

em que:

.0� é o valor característico inferior da resistência ao escoamento do aço,

�� = 1,15 para as combinações normais, especiais e de construção, e �� = 1 para as combinações

excepcionais, cf. a Tabela 12.1, item 12.4.1 da NBR 6118:2014.

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

60

0 1 2 3 4

f� (��)0,85fck/1,4=54,64MPa

48,57

C90

C80

C70

C60

C50

C35

C20

42,50

36,43

30,36

21,25

12,14

33,39C55


Figura 2.4: Leis bilineares dos aços para armaduras no concreto armado

A lei constitutiva do aço, derivada de ensaios de tração, pode também ser usada na compressão,

quando então as deformações limites passam a ser as do concreto, inferiores às do aço, uma vez que

na compressão (e antes da fissuração) há aderência sem deslizamento entre a barra de aço e o concreto

circundante.

Os dois segmentos em valores de cálculo podem ser usados no dimensionamento e na verificação da

seção transversal. O valor de cálculo do alongamento de ruptura por tração (decorrente do

alongamento característico para força máxima na barra ensaiada) deve ser reduzido em 10% em

relação ao valor característico, ou seja, 58� = 0,958�. Nos cálculos de dimensionamento e verificação

geralmente basta usar o patamar horizontal.

O módulo de elasticidade do aço, que caracteriza o segmento ascendente (lei de Hooke), cf. o item

8.3.5 da NBR 6118: 2014, é igualado a t� = 210 uRF, à falta de ensaios ou valores fornecidos pelo

fabricante.

2.3 CONDIÇÕES PARA O ESTADO LIMITE ÚLTIMO POR SOLICITAÇÕES NORMAIS

O dimensionamento e a verificação de seções transversais sujeitas à ação de momento fletor,

combinado ou não com força normal, em flexão normal ou oblíqua, baseia-se nas normas atuais em

deformações limites convencionais, já vistas nas leis constitutivas do item 2.2. As solicitações

decorrem das ações combinadas, majoradas pelos coeficientes de segurança parciais, conforme a

análise escolhida no projeto, seja a análise elástica linear, ou a análise elástica linear com

redistribuição limitada de solicitações (especialmente do momento fletor), ou a análise plástica, e

ainda a análise não linear. A despeito das diferenças nos esforços solicitantes nas estruturas

hiperestáticas de cada uma destas análises, são eles considerados – quando for procedente a análise –

no dimensionamento, sob o pressuposto de haver suficiente dutilidade das peças (lajes, vigas e,

.je

fv

gv(‰) 5j= 5He

.j= = .je �K⁄

5je 5H= = 0,95He

tK

1 .Be = e.je

.B= = e.je /�K


eventualmente, pilares), para que a distribuição de solicitações decorrente da análise escolhida seja

alcançada na situação limite. Com isto, garante-se a segurança da estrutura para as cargas de projeto.

As condições vistas a seguir pressupõem as zonas B do elemento estrutural, definidas como

aquelas em que é válida a distribuição linear de deformações na seção transversal, sem

perturbações de tensões, originadas por mudança brusca de geometria da peça ou da armadura, ou

por introdução de cargas concentradas. Como se disse, as leis constitutivas dos materiais, com

resistências minoradas pelos respectivos coeficientes de segurança, são as dadas no item 2.2. As

solicitações decorrem das ações majoradas pelos coeficientes de segurança parcial, conforme a

análise escolhida. Como se depreende do exposto, a segurança da estrutura é introduzida em dois

passos. No primeiro, atribuem-se valores de resistências dos materiais e das ações com

probabilidade baixa de ocorrência para o lado desfavorável (valores característicos ou

representativos) e, no segundo passo, introduzem-se os coeficientes de segurança parciais,

seguindo assim o método semi-probabilístico de segurança das estruturas, cf. a NBR 8681: 1984.

Além disso, deve haver nas seções transversais armaduras longitudinais mínimas, de modo a

garantir, em caso de fissuração, que o momento resistente (decorrente de resistências minoradas,

no caso apenas a do aço) seja igual ou superior ao solicitante (decorrente das ações majoradas). o

da seção para baixo, e negativa para cima.

Figura 2.5: Domínios de deformação e respectivos polos no ELU-Flexão

Enfatiza-se que o ELU-Flexão baseia-se em deformações limites convencionais, tanto no alongamento

do aço (polo A), quanto nos encurtamentos do concreto (polos B e C). Isto tem a finalidade de facilitar

a rotina de cálculo e, simultaneamente, corrobora os resultados de ensaios nas diferentes modalidades

de solicitações normais. Há ainda uma consideração que merece destaque quando se investiga a

deformabilidade do elemento estrutural para além da elasticidade dos materiais, e refere-se ao

=

\1 − 5J25JH 2_ ℎ ou \1 − 5J35JH 3_ ℎ

lK1

5H= lK2

5JH2 = 5JH3

10 ‰ dF x) 6118 5J2 DH 5J3

ℎ

l

x

y

5j=

AdJHCBF@AdBD FGDdzF@AdBD

1 2

3 4

5

A= alongamento limite do aço B=encurtamento limite do concreto na flexão C=encurtamento limite do concreto na compressão pura

� < 0

� > 0 4F


alongamento último do aço. No EC-2 (2010), na norma SIA 262-2003 e no código modelo da fib

(2010) não mais aparece a sua limitação em 10‰ ou 5‰, e em seu lugar tem-se o alongamento

último 58�, como mostrado na Figura 2.4 e Tabelas 2.2. Com isto, uniformiza-se o tratamento no

segmento plástico do aço não só na flexão, para a determinação da capacidade de rotação plástica,

como também no tratamento da força cortante, para fixar as deformações do aço e do concreto, na

procura do correspondente ângulo de inclinação do campo de compressão. Evidentemente, para o

dimensionamento de seções o limite do alongamento do aço em 10‰ ou 5‰ ou mesmo 50� são

totalmente válidos.

No domínio 1, as retas de deformação passam pelo polo A, a seção está inteiramente tracionada, e o

concreto não participa da resistência. É o caso de tirantes, com ou sem momento fletor, notando-se

que, mesmo para deformação uniforme na seção – quando a curvatura é nula –, pode haver momento

fletor se l�( ≠ l�'. Esta é uma propriedade das superfícies de plastificação com ponto anguloso.

Nestes há, para uma só combinação de solicitações, no caso , �, infinitos estados de deformação na

seção.

No domínio 2, as retas de deformação continuam a passar pelo polo A, mas a LN já corta a seção, o

aço mantém seu alongamento limite, e o concreto só atinge seu encurtamento limite na transição para

o domínio 3. Nesse domínio 2, podem estar ainda os tirantes, as vigas (particularmente as de seção T)

e em especial as lajes, como casos mais freqüentes. A flexão pode ser simples ou composta.

No domínio 3, a deformação limite é a do concreto, e todas as retas de deformação passam pelo polo

B. A armadura tracionada está em escoamento, e a seção pode ser considerada como dútil, como já o

era nos domínios 1 e 2, desde que sejam atendidas condições impostas à profundidade relativa da linha

neutra, conforme seja a análise considerada e a peça para a qual se exige capacidade de redistribuir

solicitações (lajes e vigas, eventualmente pilares). Com isto, no diagrama momento-curvatura, o aço

atinge seu patamar de escoamento antes que o concreto atinja seu encurtamento limite. Isto quer dizer

que a seção, para a qual se exige dutilidade, não deve entrar no domínio 4, pois na divisa dos domínios

3 e 4, o concreto atinge seu encurtamento limite simultaneamente como o início do escoamento da

armadura. Logo, para profundidade da linha neutra menor que a dessa divisa, maior será o

alongamento do aço. Neste domínio estão, em flexão simples ou composta, as vigas e eventualmente

também os pilares, p. ex., os de galpões industriais e de edificações pré-moldadas, com predominância

de flexão, e menos freqüentemente, as lajes.

No domínio 4, com pólo ainda em B, já não há escoamento da armadura tracionada, caracterizando as

peças às quais não é preciso atribuir dutilidade, como é o caso dos pilares das edificações comuns. No

domínio 4a, tem-se = ≤ � ≤ ℎ.


No domínio 5, muda o polo das deformações para o ponto C, possibilitando uma transição contínua

entre a flexão e a compressão pura. Nesse ponto, a limitação se dá pela deformação do início do

patamar de escoamento do concreto, 5�' ou 5�Y (diferentes entre si), conforme a lei constitutiva

adotada, parabólica ou bilinear. Também aqui, como no domínio 4, estão os pilares com

predominância de força de compressão. Note-se, de novo, que para deformação uniforme na seção

comprimida, não há curvatura, mas pode haver momento fletor, por exemplo, se l�( ≠ l�'.

3. EQUAÇÕES DE COMPATIBILIDADE DAS DEFORMAÇÕES NA SEÇÃO TRANSVERSAL

No que segue relaciona-se a curvatura da seção com as deformações que interessam ao problema, a

saber, as deformações das armaduras, e as do concreto, correspondentes aos polos B e C, distante F =\1 − ]N^]N�^_ ℎ da borda mais comprimida. Ver a Figura 2.5.

Figura 3.1: Curvatura e deformações na seção transversal

Conforme a Figura 3.1, tem-se:

1C = 5�(� = 5�(� − =′ = 5�,$� − F = 5�'� − = (3.1a)

Na forma adimensional esta equação passa a ser, introduzindo as notações 5̅ = 10Y5, � = �, �� = ��

e � = �� = 1 − �′:


� = 10YℎC = 5�̅(� = 5�̅(� − �′ = 5�̅,$� − F/ℎ = 5�̅'� − � (3.1b)

Nos domínios 1 e 2 na armadura 2 tem-se 5�' = −10‰, ou 5�̅' = −10, e a deformação que

eventualmente interessa é 5�(.

Nos domínios 3, 4 e 4a a deformação limite é a do concreto na borda mais comprimida: 5�( = 5�8' e

as deformações que interessam são 5�( e 5�'.

No domínio 5 a deformação limite é 5�,$ = 5�', e da mesma forma interessam 5�( e 5�'.

Note-se que, sendo linear a distribuição das deformações na seção, bastam dois parâmetros para

determiná-la: �, que uma vez dado implica imediatamente no domínio, e por consequência, na

deformação limite correspondente. Ver a Tabela seguinte.

Tabela 3.1: Domínios de deformação, limites da LN Domínio Deformação limite Intervalo da LN

1 5�' = −10‰

� ≤ 0

2 5�' = −10‰ 0 < � ≤ 5�8'10‰ + 5�8' (ℎ − =�)

3 5�8' 5�8'10‰ + 5�8' (ℎ − =�) < � ≤ 5�8'50� + 5�8' (ℎ − =�)

4 5�8' 5�8'50� + 5�8' (ℎ − =�) < � ≤ (ℎ − =�)

4a 5�8' (ℎ − =�) < � ≤ ℎ

5 5�' � > ℎ

4. ESFORÇOS RESISTENTES, SEÇÃO RETANGULAR ARMADURA SIMÉTRICA

4.1 Seção de concreto

Considere-se a seção retangular da Figura 4.1, de dimensões �, ℎ.


Figura 4.1: Esforços resistentes da seção de concreto

Os esforços resistentes ()� , ��) dependem da profundidade da LN:

Se � ≤ 0 a seção toda tracionada, )� = �� = 0;

Se � 2 �� seção toda comprimida, j = ℎ, constante e desacoplado de �;

Se 0 < � < ��, seção parcialmente comprimida, donde:

)� = (h0,85.��)�j (4.1a)

�� = (h0,85.��)�j �ℎ − j2 � = )�2 (ℎ − j) (4.2a)

Divide-se a força normal por 0,85.��ℎ e o momento por 0,85.��ℎ', e resultam:

�� = h jℎ (4.1b)

� = ��2 (1 − ��h ) (4.2b)


Como se vê, o momento resistente do concreto é dado por uma parábola do segundo grau em função

de sua força normal resistente. Note-se que o concreto só colabora na resistência se for comprimido.

De (4.2b) obtém-se as duas raízes da parábola: �� = 0 e �� = h. O máximo momento resistido pelo

concreto obtém-se �¡N�¢N = 0 ou diretamente de �� = h/2, donde @F� � = £T. Por exemplo, se .�� ≤

50�RF tem-se h = 1 e @F� � = (T = 0,125. E se .�� = 90�RF tem-se h = 0,80 e @F� � = 0,100.

4.2 Seção metálica

Seja a seção metálica formada por duas camadas de armaduras de mesma área l�, e aço yl − 50, cf.

a Figura 4.2.

Figura 4.2: Esforços resistentes da seção metálica

A força e o momento em relação ao CG da seção resultam iguais a:

)� = )�( + )�' = l�(Z�( + Z�') (4.3a)

�� = ()�( − )�') �ℎ2 − =�� = l�(Z�( − Z�') �ℎ2 − =�� (4.4a)

Para obter as expressões adimensionais, definem-se:


Taxa mecânica de armadura total: ¤�,4"4 = '¥¦§� �¨©S,TO�N©

Tensões relativas em cada camada: ª( = Z�(/.0� e ª' = Z�'/.0�

�� = ¤�,4"42 (ª( + ª') (4.3b)

� = ¤�,4"42 (ª( − ª')(0,5 − ��) (4.4b)

Se o momento da seção metálica for nulo, de (4.4b) conclui-se que ª( = ª', ou seja, ambas as camadas

têm mesma tensão. Este fato ocorre tanto na tração pura, com Z�( = Z�' = −.0�, quanto na

compressão pura, com Z�( = Z�' = +.0�. Logo, de (4.3b) resultam:

@>d�� = −¤�,4"4 e @F�� = ¤�,4"4

Na compressão pura admitiu-se para o aço CA-50 a aproximação:

50� = 2,07‰ ≅ 2‰, .�� ≤ 50�RF

E esta condição se cumpre se .�� 2 55�RF, pois 5� = 5�' 2 2,2‰.

Por outro lado, se a força normal resistente da seção metálica for nula, de (4.3b) resulta Z�( = −Z�',

ou seja, a camada superior está comprimida, e a camada inferior de armadura está tracionada. Notando

que a armadura inferior está em escoamento em tração nos domínios 1, 2 e 3, a condição em que �� =0 é obtida forçosamente com o escoamento da armadura superior na compressão. De fato, há uma

faixa da LN, dada no item 5, em que ambas as armaduras estão em escoamento, uma em compressão,

outra em tração. Na divisa dos domínios 3 e 4 há escoamento também da armadura comprimida se o

cobrimento relativo verificar a desigualdade:


�� = =′ℎ ≤ 5�8' − 50�25�8' (4.5)

Por exemplo, se .�� ≤ 50�RF tem-se 5�8' = 3,5‰ e 50� = 2,07‰, donde �� = �� ≤ 0,20. E se

.�� = 90�RF tem-se 5�8' = 2,6‰ e 50� = 2,07‰, donde �� = �� ≤ 0,10. Ver a Tabela 5.2.

Preenchida esta condição, resulta de (4.4b) o máximo momento da seção metálica, pois a soma

algébrica, ª( − ª' = 1 − (−1) = 2, é máxima. Logo:

@F� � = ¤�,4"4(0,5 − ��)

Fora da mencionada faixa da LN, do lado em que Z�' = −.0� ou ª' = −1, e Z�( < .0�, resulta,

tirando ª( de (4.3b) e substituindo-o em (4.4b):

� = (¤�,4"4 + ��)(0,5 − ��) (4.6)

Logo, o momento resistente da seção metálica é linearmente crescente com a sua força normal entre

a tração pura e o máximo momento resistente, que se dá na flexão simples dessa seção.

Da divisa dos domínios 3 e 4 em diante, verificada a condição do cobrimento, cf. Equação (4.5), a

armadura comprimida continua a escoar até o fim do domínio 5 e tem-se ª( = 1. Isolando ª' de (4.3b)

e inserindo-o em (4.4b) obtém-se:

� = (¤�,4"4 − ��)(0,5 − ��) (4.7)

Conclui-se, pois, que do início do domínio 4 em diante o momento resistente da seção metálica é

linearmente decrescente com sua força normal.

A Figura 4.3 resume graficamente o que foi exposto. Para a seção completa somam-se os esforços

resistentes das seções parciais.


�� = �� + �� = �� + ¬©,®' (ª( + ª'), sendo �� = ¯0 KA � ≤ 0 h 0�h se � 2 (�° (4.8)

� = � + � = ��2 (1 − ��h ) + ¤�,4"42 (ª( − ª')(0,5 − ��) (4.9)

Novamente, as restrições para os esforços resistentes da seção de concreto são: (1) se � ≤ 0 (domínio

1), tem-se a seção toda tracionada, �� = � = 0; (2) se � = � 2 (� (domínio 5) tem-se a seção toda

comprimida, e j/ℎ = 1, constante e desacoplado de �, �� = h; � = 0. Para a seção metálica, tem-se

as duas retas, uma ascendente desde a tração pura até a flexão simples dessa seção, com @F� � =¤�,4"4(0,5 − ��) e �� = 0, o que se dá em uma faixa da LN que inicia no domínio 2 ou 3 e termina na

divisa dos domínios 3 e 4. Outra, descendente a partir deste mesmo momento máximo até a

compressão pura, �� = ¤�,4"4 (fim do domínio 5). A superposição das resistências parciais para obter

a da seção completa está indicada na Figura 4.3.

Figura 4.3: Diagrama de interação �(��), seção retangular, armadura dupla e simétrica, aço CA-

50, �� = =� ℎ⁄ ≤ (5�8 − 50�) (25�8⁄ ), .�� = 20 F 90 �RF. Concreto: bloco de tensões uniformes.

5. INTERVALO DA LN E DA FORÇA NORMAL EM QUE É NULA A FORÇA NORMAL

RESISTENTE DA SEÇÃO METÁLICA


Determina-se a seguir o intervalo da LN para o qual é nula a força normal resistida pela seção metálica.

Foi visto antes que se o cobrimento relativo das duas camadas de armadura verificar a condição dada

pela Inequação (4.5), repetida a seguir:

�� = �� ≤ ]N�ô]¨©']N�^ , para o CA-50

tem-se o escoamento simultâneo das duas camadas de armadura, uma em compressão, outra em tração,

com o que é nula a força normal resistente da seção metálica. O valor superior da LN corresponde ao

da divisa entre os domínios 3 e 4, dado por

�Y/U = �Y/Uℎ = 5�8'5�8' + 50� (1 − ��)

O valor inferior da profundidade da LN depende do cobrimento relativo, e pode dar-se no domínio 2

ou 3. Por exemplo, para o domínio 2, impõe-se a condição de escoamento da armadura comprimida,

a saber,

5�( = 10‰ � − =′= − � = 10‰ � − �′1 − �′ − � 2 50�

da qual se obtém �±!#, ou seja:

� = �ℎ 2 ²10 − 50̅�³�� + 50̅�10 + 50̅� = �',±!# (5.1)

Impondo em seguida que este valor não ultrapasse o da divisa dos domínios 2 e 3, resulta a condição

do cobrimento para que o início da faixa se dê no domínio 2, i.e.,

�',±!# = ²10 − 50̅�³�� + 50̅�10 + 50̅� ≤ �'/Y = 5�̅8'10 + 5�̅8' (1 − ��)

Isolando �� desta inequação obtém-se a condição do cobrimento relativo


�� = =′ℎ ≤ 5�̅8' − 50̅�10 + 25�̅8' − 50̅�

(5.2)

De modo análogo resulta o valor mínimo da LN para que a condição de força normal nula na seção

metálica ocorra no domínio 3:

�Y,±!# = 5�̅8'5�̅8' − 50̅� ��

(5.3)

E a faixa do cobrimento correspondente é:

5�̅8' − 50̅�10 + 25�̅8' − 50̅� ≤ �� = =�ℎ ≤ 5�̅8' − 50̅�25�̅8'

(5.4)

Com isto, dimensiona-se facilmente a armadura, pois a força normal solicitante nessa faixa é resistida

integralmente pelo concreto, ou seja, �� = �� = k�. O intervalo da força normal em que ocorre o

escoamento simultâneo das duas armaduras, uma em tração, outra em compressão, está dado na Tabela

5.1. Se a força normal solicitante de cálculo �� estiver no intervalo [��,±!#,'; ��,±$ ,Y/U] ou

[��,±!#,Y; ��,±$ ,Y/U], cf. seja o intervalo do cobrimento relativo, a armadura é calculada

considerando-se que �� = �� = k� e ª( − ª' = 2. Logo, da Equação (4.9), nela inserindo as parcelas

do concreto e da armadura resulta a taxa mecânica da armadura da equação como segue.

� = ��2 �1 − ��h � + (¤�,4"4 + ��)(0,5 − ��)

E com �� = �� e �� = 0, obtém-se:

¤�,4"4 = � − 0,5�� \1 − ��h _0,5 − �′ (5.5)


A profundidade da LN é, evidentemente, igual a � = ¢©� . Ver as Tabelas 5.1 e 5.2 que contêm os

parâmetros necessários para a solução de (5.5).

Tabela 5.1: Intervalo da força normal onde

Intervalo do cobrimento �� = =�/ℎ

Intervalo da LN Intervalo da força normal

�±!# �±$ ��,±!# =

��,±$ = 0 ≤ �′ ≤ 5�̅8' − 50̅�10 + 25�̅8' − 50̅�

�',±!#= ²10 − 50̅�³�� + 50̅�10 + 50̅�

�Y/U= 5�̅8'(1 − ��)5�̅8' + 50̅�

k�',±!#

k�Y/U

5�̅8' − 50̅�10 + 25�̅8' − 50̅� ≤ �′ ≤ 5�̅8' − 50̅�25�̅8'

�Y,±!# = 5�̅8'��5�̅8' + 50̅�

k�Y,±!#

Tabela 5.2: Parâmetros para cálculo do intervalo do cobrimento, cf. Tabela 4, CA-50 .�� = 20 F 90�RF .�� (�RF) 5�̅8' h k Início no Domínio 2 Início no Domínio 3 20 − 50 3,5 1,000 0,800 �′ ≤0,096 0,096≤ �′ ≤0,204 55 3,125 0,975 0,788 �′ ≤0,074 0,074≤ �′ ≤0,169 60 2,884 0,950 0,775 �′ ≤0,059 0,059≤ �′ ≤0,141 70 2,656 0,900 0,750 �′ ≤0,044 0,044 ≤ �′ ≤0,110 80 2,604 0,850 0,725 �′ ≤0,041 0,041 ≤ �′ ≤0,102 90 2,6 0,800 0,700 �′ ≤0,040 0,040 ≤ �′ ≤0,102

Exemplo 5.1: Dada a seção retangular de dimensões �; ℎ; =� = 300; 1000; 50@@ e resistências .�� =30�RF e .0� = 500�RF (aço CA-50), pede-se obter a área de armadura por face, sujeita aos esforços

solicitantes de cálculo � = 2100e e �� = 2000e @, ambos atuantes no plano paralelo ao maior

lado.

Solução:

(a) Cálculo dos esforços solicitantes adimensionais, com 0,85.�� = 0,85 YS(,U = 18,214�RF:

�� = �0,85.��ℎ = 2100 × 10Y18,214 × 300 × 1000 = 0,38

� = ��0,85.��ℎ' = 2000 × 10´18,214 × 300 × 1000' = 0,366

021 =+αα


(b) Cálculo do intervalo do cobrimento

No caso tem-se �� = �� = OS(SSS = 0,05, valor inferior a 0,096, 1a. linha Tabela 5.2, o que significa

que a força normal mínima está no domínio 2 (a máxima está sempre na divisa dos domínios 3 e 4,

pois entrando no domínio 4 não há mais escoamento da armadura inferior).

(c) Cálculo do intervalo da força normal em que é nula a força resistente na seção metálica

��,±!# = k�',±!# = k ²10 − 50̅�³�� + 50̅�10 + 50̅� = 0,8 (10 − 2,07) × 0,05 + 2,0712,07 = 0,163

��,±$ = k�Y/U = k 5�̅8'(1 − ��)5�̅8' + 50̅� = 0,8 3,5 × (1 − 0,05)3,5 + 2,07 = 0,8 × 0,597 = 0,478

Logo, a força normal solicitante �� = 0,38 está no intervalo (0,163; 0,478), e há portanto escoamento

das duas camadas de armadura, uma em compressão, outra em tração.

(d) Cálculo da armadura

Da Equação (5.5) resulta:

¤�,4"4 = � − 0,5�� \1 − ��h _0,5 − �� = 0,366 − 0,5 × 0,38 × \1 − 0,381 _0,5 − 0,05 = 0,552

Notando que esta taxa mecânica se refere à armadura total, cf. sua definição, resulta

0,552 = 2l� × 435300 × 1000 × 18,214

Donde a área total 2l� = 6934@@' e, portanto, l� = 3467@@' ≅ 7∅25 por face menor, pois a

flexão se dá no plano paralelo ao lado de dimensão ℎ.

A taxa geométrica total é ¶�,4"4 = ´·YUYSS×(SSS = 0,023 = 2,3%

Este valor verifica os extremos exigidos em pilares pela NBR 6118: 2014, item 17.3.5.3, que são:


¶�,4"4,±!# = l�,4"4,±!#l� = max ¹̧º0,15( �/.0�)l�

0,4% »¼½ = ¯0,15 × 2100 × 10Y435 × 300 × 1000 = 0,241%

0,4% °= 0,4%

¶�,4"4,±$ = ¾4%8%¿

Na taxa máxima está incluída a justaposição das barras de armadura nas regiões de emendas. Se não

houver emendas por traspasse, pode-se atingir o valor máximo 8%.

Ver na Figura 5.1 a curva resistente e o ponto solicitante, praticamente sobre a curva.

Figura 5.1: Solução cf. Programa “Normal 1.3”, cf. Marino et al (2001)

Exemplo 5.2: Dada a seção retangular de dimensões �; ℎ; =� = 200; 400; 40@@ e resistências .�� =40�RF e .0� = 500�RF (aço CA-50), pede-se obter a área de armadura por face, sujeita aos esforços

solicitantes de cálculo � = 667e e �� = 178e @, ambos atuantes no plano paralelo ao maior

lado. Igualmente, verificar se a taxa geométrica da armadura atende os limites exigidos em pilares

pela NBR 6118: 2014.


(a) Cálculo dos esforços solicitantes adimensionais, com 0,85.�� = 0,85 US(,U = 24,286�RF:

�� = �0,85.��ℎ = 667 × 10Y24,286 × 200 × 400 = 0,343

� = ��0,85.��ℎ' = 178 × 10´24,286 × 200 × 400' = 0,229

(b) Cálculo do intervalo do cobrimento. Ver a primeira linha (.�� = 40�RF) da Tabela 5.2 para os

parâmetros a usar a seguir.

No caso tem-se �� = �� = USUSS = 0,10.

Conforme a Tabela 5.1 e a primeira linha da Tabela 5.2, este cobrimento está no intervalo:

5�̅8' − 50̅�10 + 25�̅8' − 50̅� = 0,096 ≤ �� = 0,10 ≤ 5�̅8' − 50̅�25�̅8' = 0,204

Isto quer dizer que a faixa em que se dá a soma nula das forças nas armaduras está totalmente no

domínio 3.

(c) Cálculo do intervalo da força normal em que é nula a força resistente na seção metálica, com k =0,8 da Tabela 5.2.

��,±!# = k�Y,±!# = k 5�̅8'��5�̅8' + 50̅�

= 0,8 3,5 × 0,103,5 + 2,07 = 0,050

��,±$ = k�Y/U = k 5�̅8'(1 − ��)5�̅8' + 50̅� = 0,8 3,5 × (1 − 0,10)3,5 + 2,07 = 0,452

Logo, a força normal solicitante �� = 0,343 está no intervalo (0,050; 0,452) e é nula a força normal

na seção metálica.


(d) Cálculo da armadura

Da Equação (5.5) obtém-se, com h = 1 (Tabela 5.2):

¤�,4"4 = � − 0,5�� \1 − ��h _0,5 − �� = 0,229 − 0,5 × 0,343 × \1 − 0,3431 _0,5 − 0,10 = 0,291

Notando que esta taxa mecânica se refere à armadura total, cf. sua definição, resulta

0,291 = 2l� × 43524,286 × 200 × 400

Donde a área total 2l� = 1299@@', e portanto l� = 649@@' ≅ 2∅20 por face menor, pois a

flexão se dá no plano paralelo ao lado de dimensão ℎ.

A taxa geométrica total é ¶�,4"4 = ('··'SS×USS = 1,62%

Este valor verifica os valores extremos exigidos em pilares pela NBR 6118: 2014, item 17.3.5.3, que

são:

¶�,4"4,±!# = l�,4"4,±!#l� = max ¹̧º0,15( �/.0�)l�

0,4% »¼½ = ¯0,15 × 667 × 10Y435 × 200 × 400 = 0,29%

0,4% ° = 0,4%

¶�,4"4,±$ = ¾4%8%¿

Ver a Figura 5.2. Embora não considerada nessa figura, a seção terá mais armadura nas duas faces

maiores, independentemente de cálculo, que pode ser escolhida igual a 2∅12,5 por face maior,

equidistantes 10J@ das camadas das faces menores. Como resultado, tem-se o ponto solicitante dentro

da curva resistente.



6. Dimensionamento nos casos em que só uma das armaduras está em escoamento. Seção retangular,

armadura simétrica aço CA-50

No que segue admite-se cobrimento �� = �À� ≤ ]ÁN�ô]Á¨©']ÁN�^ , o que garante a existência da faixa da força

normal em que se forma um binário na seção metálica. As forças normais dos extremos dessa faixa

no plano �(��) são retas verticais, do tipo �� = JBA, pois independem da taxa de armadura. Fora

dessa faixa o dimensionamento fica facilitado se no plano dos esforços resistentes forem traçadas retas

que separam os domínios 1 e 2, os domínios 2 e 3 (apenas se a faixa iniciar-se no domínio 3), e as

retas entre os domínios 4 e 5. Isto porque, ao posicionar no plano (�� , �) o ponto correspondente aos

esforços solicitantes dados, é possível determinar o intervalo da LN, bem como seu valor. Com isto,

obtém-se a taxa da armadura iterativamente. Note-se que fora faixa de formação do binário na seção

metálica, à direita só a armadura comprimida está em escoamento, e à esquerda só a armadura

tracionada está em escoamento. O exemplo a seguir mostra uma aplicação do que foi dito.

Exemplo 6.1: Dimensionar a armadura de um pilar de seção quadrada, dados �; ℎ; =� =400; 400; 60@@, .�� = 50�RF, 5�̅8' = 3,5; h = 1; k = 0,8, aço CA-50, 50̅� = 2,07, e � =4000e , �� = 388,57e @.

Solução:


(a) Verificação do cobrimento: �� = ´SUSS = 0,15 ≤ ]ÁN�ô]Á¨©']ÁN�^ = Y,Oo',SÂÂ = 0,204 para .�� ≤ 50�RF,

há a faixa em que �� = 0.

(b) LN e força normal na divisa 3/4: �Y/U = ]ÁN�^((oÃÀ)]ÁN�^Ä]Á¨© = Y,O×S,TOY,OÄ',SÂ = 0,534, ��,±$ = k�Y/U = 0,8 ×0,534 = 0,427, equação da reta vertical no plano �(��).

(c) Esforços solicitantes adimensionais, com 0,85.�� = 0,85 OS(,U = 30,357�RF:

�� = Å©S,TO�N©§� = USSS×(SÆYS,YOÂ×USS×USS = 0,824 > ��,±$ = 0,427, domínio 4 ou 5, a determinar qual.

� = ��0,85.��ℎ' = 388,57 × 10´30,357 × 400 × 400' = 0,200

(d) Reta de separação dos domínios 4 e 4a:

Atendida a condição do cobrimento, �� = 0,15 ≤ 0,204, a armadura comprimida está em

escoamento, e como na divisa 4/4a é nula a deformação na camada inferior, tem-se ª( = 1, ª' = 0.

Além disso, a LN dessa divisa é � = �� = 1 − �� = 1 − 0,15 = 0,85, donde a altura relativa do bloco

de tensões �� = k� = 0,8 × 0,85 = 0,68. O momento da seção de concreto é, com h = 1, igual a � = S,´T' (1 − 0,68) = 0,109.

Nas Equações de equilíbrio, tira-se ¤�,4"4 da primeira e insere-se o resultado na segunda, ou seja,

obtendo-se a reta da divisa 4/4a:

�� = 0,68 + ¤�,4"4((ÄS' ) ou ¤�,4"4 = 2(�� − 0,68)

� = 0,109 + ¤�,4"4 �1 − 02 � × (0,5 − 0,15) = 0,109 + 2(�� − 0,68) 0,352 = −0,129 + 0,35��

Para a dada força normal solicitante �� = 0,824 resulta nessa reta momento resistente abaixo do

solicitante:

� = −0,129 + 0,35 × 0,824 = 0,159 < 0,20


Logo, a LN deve ser procurada no domínio 4, no intervalo (�Y/U; =) ou (�Y/U; �) = (0,534; 0,85).

As equações de equilíbrio se escrevem, observando que �� = hk� = 0,8�; � = 0,4�(1 −0,8�); ª( = 1; ª' = ]¦^]¨© = ]N�^]¨© \Ço(ÄÃÀÇ _ = Y,O',SÂ (ÇoS,TOÇ ):

�� = �� + ¤�,4"42 (ª( + ª')

Substitui-se ¤�,4"4/2 desta equação na de momento:

� = ��2 (1 − ��) + ¤�,4"42 (ª( − ª')(0,5 − ��) = ��2 (1 − ��) + (�� − ��)(ª( − ª'ª( + ª')(0,5 − ��)

Numericamente, resulta uma equação em � a ser resolvida iterativamente:

0,200 = 0,4�(1 − 0,8�) + (0,824 − 0,8�) 1 − 3,52,07 (� − 0,85� )1 + 3,52,07 (� − 0,85� ) 0,35

A raiz desta equação é � = 0,7938. Com este valor obtém-se todas as demais grandezas envolvidas,

a saber,

�� = 0,8� = 0,635; � = 0,4�(1 − 0,8�) = 0,116; ª( = 1; ª' = 3,52,07 �� − 0,85� � = −0,1197

A taxa mecânica total e a área da armadura total valem:

¤�,4"4 = 2(�� − ��)/(ª( + ª') = 2(0,824 − 0,635)/(1 − 0,1197) = 0,4294

2l� = 0,4294 YS,YOÂ×USS×USSUYO = 4795@@' ou l� = 2397@@'/face≅ 8∅20/.FJA

Com quatro barras ∅20 por canto da seção, obtém-se um arranjo duplamente simétrico da armadura,

para a presente seção quadrada. Assim, não há risco de inversão de posição das barras de armadura de

uma face a outra. No caso, foram adotadas distâncias em relação à face da seção iguais a 4 A 8J@ para


a 1ª. e 2ª.camadas, respectivamente. Note-se que a taxa geométrica total é igual a 3,14% e atende os

limites da NBR 6118: 2014.

Confere-se o resultado:

�� = 0,824 = 0,635 + 0,42942 (1 − 0,1197) = 0,635 + 0,189 = 0,824

� = 0,200 = 0,116 + 0,42942 [1 − (−0,1197)`(0,5 − 0,15) = 0,116 + 0,084 = 0,200

Ver na Figura 6.1, a plotagem do ponto correspondente às solicitações e da curva resistente, mostrando

que a solução está segura. Note-se a convenção desta figura (força normal de compressão é negativa),

e as medidas são dadas em cm.

Por último, enfatiza-se que a solução através do bloco de tensões uniformes difere daquela em que se

adota a parábola-retângulo para o concreto, principalmente nos domínios 4 e 5 e para resistências altas

do concreto (Grupo 2).



7. Flexão composta oblíqua. Seção retangular

A flexão composta oblíqua ocorre se a interseção ente o plano das cargas e o da seção transversal não coincidir com um dos seus dois eixos principais de inércia, como se mostra na Figura 7.1.

Figura 7.1

O dimensionamento no ELU tem agora três incógnitas, representadas pela área da armadura, pela profundidade x e pela direção da LN, dada pelo ângulo β . Por outro lado, tem-se três equações de equilíbrio, a saber:

sdi

n

si

A

ccdd AdAN

c

σσ ∑∫ +=1

(7.1)

∑∫ +=−=−n

sdisisi

A

ccdydxd YAYdAeNM

c1

, σσ (7.2)

∑∫ +==n

sdisisi

A

ccdxdyd XAXdAeNM

c1

, σσ (7.3)

As hipóteses de cálculo são as mesmas dadas para a flexão composta normal, inclusive as deformações limites dos domínios de deformação, observando-se que a profundidade da LN e a altura da seção são medidas perpendicularmente à LN. Dependem, pois, do ângulo β . A maior dificuldade em resolver o problema de dimensionamento reside na solução iterativa do sistema de equações não lineares (7.1) a (7.3) e, em menor grau, no cálculo das integrais. Em um programa eletrônico, as integrais referentes ao concreto são transformadas em somatórios, substituindo o contínuo pelo discreto, por meio de pequenas áreas com posição do CG determinada.


Na seção retangular, os pequenos elementos retangulares têm área ∆ℎ ∆ℎ0 resultantes da divisão das alturas ℎ e ℎ0 por um número inteiro suficientemente grande d� . As armaduras, em área e posição, já são dadas de forma discreta, barra por barra. Na flexão composta oblíqua, a resistência da seção pode ser visualizada por diagramas de interação dos dois momentos atuantes nos planos principais, e construídos tendo a força normal (relativa) como

parâmetro (�� = Å©S,TO�N©�É�¨ = 0; 0,2; 0,4 … no caso de pilares), para um dado tipo de aço, um

arranjo previamente escolhido da armadura, e o número d� de barras que a compõem. O aspecto do diagrama está mostrado na Figura 7.2, e sua curva é sempre convexa (excluídos os efeitos de segunda ordem e instabilidade, pois se trata de seção e não de um lance de pilar). Quer dizer, escolhidos dois pontos quaisquer dessa curva, o segmento de reta que os une situa-se entre ela e a origem. Sua equação é dada por: ( �� )Ë + ( ��0��00)Ë = 1 (7.4)

Nesta equação as grandezas que aí aparecem são definidas como segue.

Figura 7.2

�� e ��0 são as componentes do momento solicitante de cálculo (i.e., originados pelas ações) segundo os eixos ÌÍ e ÌÎ, respectivamente, atuantes simultaneamente com a força normal de cálculo �. Estes momentos devem ser, no máximo, iguais aos momentos resistentes de cálculo (originados na seção com leis constitutivas de cálculo dos materiais). A solução é segura se, para um dado arranjo e quantia de armadura, os momentos resistentes (considerada a mesma força normal �) superarem os solicitantes. A solução é segura e econômica se, para esta mesma força normal, os momentos resistentes forem iguais aos momentos solicitantes.


�� e ��00 são os momentos resistentes de cálculo que seriam obtidos se cada qual atuasse sozinho com a força normal �, na flexão composta normal correspondente, mantidos todos os demais parâmetros. ª é um coeficiente dependente da força normal, da forma da seção, do arranjo e da percentagem da armadura. Para ª = 1, a curva da Figura 7.2 se transforma na reta que une os dois pontos correspondentes à flexão composta normal de cada direção. Usar esta reta no dimensionamento está a favor da segurança para qualquer seção, pois a curva de interação (ou superfície de plastificação, yielding surface) é convexa. Para a seção retangular pode-se adotar ª = 1,2, cf. o item 17.2.5 da NBR 6118: 2014. O dimensionamento da seção em flexão composta oblíqua com o auxílio de duas flexões compostas normais deve respeitar o arranjo da armadura, tendo em vista que na flexão oblíqua as tensões nas barras de armadura de uma mesma camada são, em geral, diferentes. No caso de seção retangular, em correspondência à força normal solicitante adimensionalizada, �� =Å©S,TO�N©�É�¨, a equação (7.4) também pode ser adimensionalizada pela divisão do numerador e

denominador da primeira fração por 0,85.��ℎ ℎ0', e da segunda fração por 0,85.��ℎ 'ℎ0, donde, com ª = 1,2: ( � � )(,' + ( �0 �00)(,' = 1 (7.5)

Note-se que, cf. a Figura 7.1, o momento �� atua no plano paralelo ao lado de altura ℎ0, e o

momento ��0 atua no plano paralelo ao lado de altura ℎ . Na Equação (7.5), os momentos solicitantes adimensionais � e �0 são dados, e são incógnitos os momentos resistidos pela seção, � e �00, em cada flexão composta normal com a mesma força normal solicitante. A Equação (7.5) permite obter �00 se � for estabelecido, e vice-versa.

A determinação da armadura das duas flexões compostas normais só pode ser feita se for escolhido

previamente um arranjo de armadura. Por exemplo, pode-se adotar armaduras iguais em cada face, o que pode ser conseguido pela distribuição das barras da armadura ao longo de cada face, ou concentrando-as nos cantos. Ou impõe-se armadura maior nas faces ortogonais ao plano de maior momento adimensional, etc. Esta escolha é arbitrária, desde que a Equação (7.5) seja atendida, ou o ponto resistente esteja no interior da zona delimitada pela curva de interação e os eixos da Figura 7.2. A seção retangular é dimensionada para o maior dos momentos relativos da flexão composta normal, e como é dado o arranjo das armaduras e obtida a respectiva taxa mecânica, seria necessário verificar a flexão composta normal de menor momento relativo. No caso de seção retangular com armaduras iguais nas quatro faces (ou nos quatro cantos), basta dimensionar a taxa da armadura para o maior

momento adimensional da flexão composta normal, pois a outra exigiria taxa mecânica menor. O exemplo a seguir mostra uma aplicação desta equação. Exemplo 7.1: Dimensionar a armadura da seção retangular da Figura 7.3, suposta concentrada nos cantos. São dados: � = 3497,1e ; A0 = 200@@; A = 160@@, .�� = 20�RF, 0,85.�� =12,14�RF, ℎ � = ℎ0� = 60@@, aço CA-50. Solução: 1º. Passo: Cálculo dos esforços adimensionais, com �� = 699,42e @ e ��0 = 559,54e @


�� = �0,85.��ℎ ℎ0 = 3497,1 × 10Y12,14 × 600 × 800 = 0,6

� = �� 0,85.��ℎ ℎ0' = ( �0,85.��ℎ ℎ0) A0ℎ0 = �� A0ℎ0 = 0,6 200800 = 0,15

�0 = ��00,85.��ℎ 'ℎ0 = �� A ℎ = 0,6 160600 = 0,16

2º. Passo: Determinação dos momentos fletores da flexão composta normal Note-se que a aproximação feita no cálculo, pondo-se mmhh yy 801,0 ==′ , está do lado da

segurança, pois na realidade mmhh yy 60075,0 ==′ .

Se o expoente da curva da Figura 7.2 fosse ª = 1 o dimensionamento mais econômico seria dado pela escolha da relação entre os momentos adimensionais das duas flexões normais igual à relação entre as excentricidades relativas da flexão oblíqua. Ver Fusco, P. B., 1986. No caso, esta fração é: ¡©ÉÉ¡©¨¨ = (�¨ �¨)⁄(�É �É)⁄ = (^ÏÏÐÏÏ)(ÑÒÏÒÏÏ) = S,'OS,'´Â = 0,9375 ou � = 0,9375 �00

Escolhendo o maior deles como incógnita, que é �00, de (7.5) resulta: ( 0,150,9375 �00)(,' + (0,16 �00)(,' = 1

( 0,150,9375)(,' + 0,16(,' = �00(,'

�00 = 2(/(,' × 0,16 = 0,2854 Portanto � = 0,9375 × 0,285 = 0,2676

Se fosse escolhido � = �00, resultaria para ambos um valor intermediário, 0,2762. No caso, escolhem-se armaduras iguais nos quatro cantos da seção como se vê na Figura 7.3, e a armadura é determinada para o maior momento relativo, no exemplo, �00 = 0,285, pois então a flexão no outro plano principal, onde se tem � = 0,268, exigirá taxa de armadura menor, para a mesma força normal.


Figura 7.3

3º. Passo: Determinação da área da armadura.

Figura 7.4: Diagrama de interação, bloco de tensões uniformes, Concreto Grupo 1 (.�� ≤ 50�RF)


No diagrama de interação da Fig. 7.4, para o qual se tem �� = 0,10, entra-se com o par (��; �) =(0,6; 0,285) e obtém-se a taxa mecânica da armadura por face ¤� ≅ 0,25. Logo, a área da armadura

para os dois cantos da mesma face vale: l� = ¤�ℎ ℎ0 0,85.��.0� = 0,25 × 600 × 800 12,14435 = 3350@@'

Adotam-se em cada canto da seção 3∅25 e mais 2∅16 em cada face maior como porta-estribos. Também se adicionam outros 2∅16 em cada face menor. Sendo a área de uma barra ∅25 igual a 500@@', e a da barra ∅16 igual a 200@@', a taxa geométrica total vale: ¶�,4"4 = 12 × 500 + 8 × 200600 × 800 = 1,58%

Este valor deve ser inferior ao limite de %4 , em caso de emenda por transpasse, condição atendida com folga no exemplo. Ver na Figura 7.5 a curva de interação de momentos fletores para a dada força normal, e o ponto dos momentos solicitantes com apenas 4 × 3∅25 nos cantos. Notar que a solução encontrada é segura e próxima da curva de interação. Sugere-se ao leitor reprocessar o programa Oblíqua 1.0, incluindo duas barras ∅16 por face.

Figura 7.5: Resultados do programa “Oblíqua 1.1”, cf. cf. Marino et al (2001) 4º. Passo: Detalhamento da armadura na seção transversal. As indicações dadas a seguir do detalhamento na seção transversal da armadura de pilares encontram-se no item 18 da NBR 6118: 2014.


O diâmetro da armadura longitudinal deve respeitar as seguintes condições (item 18.4.2.1): ∅% = 25 ≤ @>d ²ℎ , ℎ0³8 = 6008 = 75@@

e não deve ser inferior a 10@@. O espaçamento máximo entre eixos das barras longitudinais deve obedecer às condições: K±$ ≤ Ó2 × min²ℎ , ℎ0³ = 1200@@400@@ Ô

para que fique caracterizada uma seção de pilar de concreto armado. Isto influi na disposição dos estribos. O espaçamento mínimo livre entre as faces das barras longitudinais, medido no plano da seção transversal, fora da região de emendas, deve respeitar as seguintes condições (item 18.4.2.2), adotando-se Brita 2, @F�=$Õ��Õ$�" = 25@@:

A� 2 Ö 20@@∅% = 251,2 × @F�=$Õ��Õ$�" = 1,2 × 25 = 30@@× = 30@@

Os cobrimentos nominais das barras mais externas (estribos, no exemplo) dependem da classe de agressividade ambiental (Tabela 6.1 na NBR 6118: 2014) e estão indicados na Tabela 7.2 dessa mesma norma. Para Classe I (agressividade fraca), pode-se adotar para vigas e pilares o cobrimento nominal igual a J = J#"± = 25@@. Os estribos devem ter diâmetro e espaçamento escolhidos conforme o item 18.4.3 da NBR 6118:

∅4 2 ¾ 5@@∅%4 = 6,3@@¿ = 6,3@@

O espaçamento longitudinal dos estribos deve também respeitar os seguintes limites, por razões construtivas, para evitar flambagem das barras longitudinais comprimidas e para resistir à força cortante do pilar:

K ≤ K±$ = Ö 200@@min²ℎ , ℎ0³12∅% = 12 × 25 = 300@@ yl − 50× = 200@@

No exemplo, adotam-se estribos duplos, i. e., 2t∅6,3 J/20J@, cf. mostra a Figura 7.6.


Figura 7.6

As distâncias do CG da armadura à borda da seção, ℎ � = ℎ0� , cf. a mesma figura, são iguais a: ℎ � = ℎ0� = 43,8 × 2 + 98,8 × 13 ≅ 62@@

valor que é praticamente coincidente com o previsto. Além da armadura calculada, adotam-se 2 × 2∅16 nas faces maiores para comporem os cantos dos estribos indicados.

8 Bibliografia

ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS (ABNT). Projeto de estruturas de concreto - Procedimento: NBR6118: 2014. Rio de Janeiro, 2014. COMITÉ EURO-INTERNATIONAL DU BÉTON. CEB-FIP Model Code 1990. London: Thomas Telford, 1993. EUROCODE 2: Projecto de estruturas de betão. Pt. 1: Regras gerais e regras para edifícios. Versão portuguesa para aprovação pela CT 115. Dez. 1991.


BUCHAIM, R. A influência da não-linearidade física do concreto armado na rigidez à flexão e na capacidade de rotação plástica. Tese (Doutorado) – Escola Politécnica da Universidade de São Paulo. São Paulo, 2001. (www.uel.br/ctu/dtru). BUCHAIM, R. Concreto Estrutural: Fundamentos e Projeto. Flexão simples e composta normal, Pilares esbeltos, C20 a C90. Editora da Universidade Estadual de Londrina (EDUEL), 2016. ISBN 978-85-7216-846-5. Londrina, Pr. FUSCO, P. B. Estruturas de concreto. Solicitações normais. Estados limites últimos. Teoria e aplicações. Rio de Janeiro. Guanabara 2, 1986. ISBN 85-7030-077-8 HEYMAN, J. Plastic design of steel frames. 2. Applications. Cambridge University, 1971. MODESTO DOS SANTOS, L. Cálculo de Concreto Armado, segundo a NB-1/78 e o CEB. Volume 2. Editora LMS Ltda, São Paulo, 1981. MENDES NETO, F. Sobre a Flexão Normal Composta – Seção Retangular. III Simpósio EPUSP sobre estruturas de concreto. EPUSP, dez. 1993. São Paulo, SP. MARINO, M. A.; SCHEER, S.; DE OLIVEIRA, M. F. F.; ZANDONÁ, C. A. W. Programa de Solicitações Normais em Concreto Armado. Normal 1.3: Flexão Composta Normal. Oblíqua 1.0: Flexão Composta Oblíqua (qualquer seção). Universidade Federal do Paraná, UFPR. 05/2001. (http://www.cesec.ufpr.br/concretoarmado/). MacGREGOR, J. Reinforced Concrete – Mechanics and Design. Third Edition. Prentice Hall, New Jersey, 1997.

Documents

ESTADO LIMITE ÚLTIMO NA FLEXÃO COMPOSTA NORMAL E … REFORMA.pdf · ˘ das ações, ˇ e ˆ dos materiais concreto e aço. Uma vez efetuada a análise da estrutura com as Uma vez