estados limites de serviço em estruturas de concreto armado

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL

ESCOLA DE ENGENHARIA

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL

ESTADOS LIMITES DE SERVIÇO EM ESTRUTURAS DE

CONCRETO ARMADO

AMÉRICO CAMPOS FILHO

2014

SUMÁRIO

1 – Determinação das tensões em seções de concreto armado nos estádios I e II ......................................................... 1

1.1 – Peças de concreto armado submetidas a solicitações de flexão ............................................................................ 1

1.2 – Determinação das tensões no concreto e nas armaduras no estádio Ia para um certo momento fletor ......... 3

1.3 – Determinação das tensões no concreto e nas armaduras no estádio II para um certo momento fletor ......... 4

1.4 – Exemplos ............................................................................................ ........................................................... 5

2 – Estados limites .................................................................................................................................................. 7

3 – Ações a considerar na verificação dos estados limites de serviço .................................................................... 8

3.1 – Valores de cálculo ......................................................................................................................................... 8

3.2 – Coeficientes de ponderação das ações nos estados limites de serviço .......................................................... 8

3.3 – Combinações de serviço ................................................................................................................................ 9

3.3.1 - Generalidades .............................................................................................................................................. 9

3.3.2 - Classificação ............................................................................................................................................... 9

3.3.3 – Combinações usuais de serviço ............................................................................................... ................... 9

4 – Deslocamentos limites ...................................................................................................................................... 10

5 - Controle da fissuração ............................................................................................................... 10

5.1 – Introdução .......................................................................................... ........................................................... 10

5.2 – Limites para a fissuração e proteção das armaduras à durabilidade .............................................................. 10

5.3 – Controle da fissuração quanto à aceitabilidade sensorial e utilização ........................................................... 13

6 – Momento de fissuração .................................................................................................................................... 14

7 – Estado limite de deformação excessiva ............................................................................................................ 14

7.1 – Avaliação aproximada da flecha em vigas .................................................................................................... 15

7.2 – Flecha imediata em vigas de concreto armado .............................................................................................. 16

7.3 – Cálculo da flecha diferida no tempo para vigas de concreto armado ............................................................ 16

8 – Estado limite de fissuração ............................................................................................................................... 17

9 – Exemplo de verificação do estado limite de deformações excessivas em uma viga ........................................ 18

10 – Exemplo de verificação do estado limite de abertura das fissuras em uma viga ............................................ 20

11 – Programa para a verificação dos estados limites de serviço em vigas de concreto armado .................................. 22

Referências bibliográficas ...................................................................................................................................... 22

Anexo – Aço destinado a armaduras para estruturas de concreto armado (NBR7480:2007) ................................. 23

Departamento de Engenharia Civil - DECIV/UFRGS 1

1 – Determinação das tensões em seções de concreto armado nos estádios I e II

1.1 – Peças de concreto armado submetidas a solicitações de flexão

Figura – Viga de concreto armado

Ao realizar-se um ensaio de uma viga de concreto armado, submetendo-a a um

carregamento de zero até a ruptura, observam-se quatro fases de comportamento distinto,

conforme apresentado na Tabela 1.

Tabela 1 – Fases de comportamento distinto de uma peça submetida à flexão

Fases Deformações Tensões Características

Estádio Ia

- Concreto não fissurado;

- As tensões são proporcionais às deformações.

Estádio Ib

- Concreto não fissurado;

- As tensões não são proporcionais às deformações na

zona tracionada.

Estádio II

- Formam-se as fissuras;

- O concreto não resiste à tração;

- As tensões são proporcionais às deformações na zona

comprimida.

Estádio III

- As tensões não são proporcionais às deformações.

As seções permanecem planas até a ruptura.


Figura – Distribuição de deformações na seção

Seja uma seção de concreto armado, que está submetida à flexão simples normal.

Pode-se escrever que:

xd'dxyxhx

12ytc

Estas relações são válidas do estádio I ao estádio III.

Multiplicando-se, cada uma das parcelas, por

e

s

cs

sc

E

EE

EE

obtêm-se

)xd(

E

)'dx(

E

y

E

xh

E

x

E

e

1s

e

2syctccc

Se as tensões forem proporcionais às deformações:

)xd()'dx(yxhx e

1

e

2ytc

estádio Ia

)xd()'dx(x e

1

e

2c

estádio II

As

'A s

'd

d h

x

y

c

2

y

1

t


1.2 - Determinação das tensões no concreto e nas armaduras no estádio Ia para um certo

momento fletor

SEÇÃO TRANSVERSAL

DIAGRAMA

DE

DEFORMAÇÕES

DIAGRAMA DE

TENSÕES

NO CONCRETO

ESFORÇOS ATUANTES

X

ESFORÇOS RESISTENTES

Figura – Seção de concreto armado no estádio Ia

Condição de equilíbrio à translação:

012'

)( AAdyb ssyx

xh y

0)xd()1(A)'dx)(1(Adyby ese'sy

x

)xh(

O primeiro termo desta equação corresponde ao momento estático da seção de

concreto em relação à linha neutra. O segundo e o terceiro termo correspondem ao momento

estático das armaduras em relação à linha neutra, aumentado “e” vezes, ou o momento

estático de áreas fictícias e.As’ e e.As de concreto em relação à linha neutra. Assim, o

momento estático da seção homogeneizada de concreto em relação à linha neutra é igual a

zero. Esta condição é empregada para determinar a posição da linha neutra (valor de x).

Condição de equilíbrio à rotação em relação à linha neutra

MxdAdxAdyyb ssyx

xh y )()'( 12'

)(

como ktetancons)xd()'dx(y

I

e

1

e

2y

M)xd(A)'dx(A)1(dyybk2

s's

2

e

x

)xh(

2

yI

A primeira parcela, entre as chaves, é o momento de inércia da seção de concreto em

relação à linha neutra. A segunda parcela é o momento de inércia das armaduras em relação à

linha neutra, aumentado “e” vezes. A soma destas duas parcelas é o momento de inércia da

seção homogeneizada de concreto em relação à linha neutra. Assim,

I

Mk

Hx I

I

e, portanto,

x

y

c

2

y

1

t

As

'A s

'd

d hb y

y

dy

LN

x y

t

c c

M

t

2'A s

1As


x

I

M

Hx I

c

)( xhI

M

Hx I

t

)'dx(

I

MHx I

e2

)xd(I

MHx I

e1

1.3 - Determinação das tensões no concreto e nas armaduras no estádio II para um certo

momento fletor

SEÇÃO TRANSVERSAL

DIAGRAMA

DE

DEFORMAÇÕES

DIAGRAMA DE

TENSÕES

NO CONCRETO

ESFORÇOS ATUANTES

X

ESFORÇOS RESISTENTES

Figura – Seção de concreto armado no estádio II

Condição de equilíbrio à translação:

012'

0 AAdyb ssyx

y

0)xd(A)'dx)(1(Adyby ese'sy

x

0

O primeiro termo desta equação corresponde ao momento estático da seção

comprimida de concreto em relação à linha neutra. O segundo e o terceiro termo

correspondem ao momento estático das armaduras em relação à linha neutra, aumentado “e”

vezes. Assim, o momento estático da seção homogeneizada de concreto em relação à linha

neutra é igual a zero. Esta condição é empregada para determinar a posição da linha neutra

(valor de x).

Condição de equilíbrio à rotação em relação à linha neutra

MxdAdxAdyyb ssyx

y )()'( 12'

0

como ktetancons)xd()'dx(y

II

e

1

e

2y

M)xd(A)'dx(A)1(dyybk2

see

'

s

2x

0

2

yII

x

y

c

2

y

1

t

x y

c c

M

2'A s

1As

As

'A s

'd

d hb y

y

dy

LN


A primeira parcela, entre as chaves, é o momento de inércia da seção comprimida de

concreto em relação à linha neutra. A segunda parcela é o momento de inércia das armaduras

em relação à linha neutra, aumentado “e” vezes. A soma destas duas parcelas é o momento

de inércia da seção homogeneizada de concreto em relação à linha neutra.

Assim,

I

Mk

Hx II

II

e, portanto,

x

I

M

Hx II

c

)'dx(

I

MHx II

e2

)xd(I

MHx II

e1

1.4 - Exemplos

Exemplo 1:

Determinar a distribuição de tensões e deformações em uma seção retangular de

concreto armado, que se encontra no estádio Ia. A seção está submetida a um momento fletor

de 11 kN.m e apresenta dimensões b = 20 cm, h = 50 cm, d = 45 cm e d’ = 5 cm. A armadura

tracionada é formada por três barras de 16 mm e a comprimida por duas barras de 8 mm. O

concreto é o C20.

- áreas de armadura:

cm01,1503,02'A82'A

cm03,6011,23A163A2

ss

2

ss

- módulo de elasticidade secante do concreto:

87,97,128.2

000.21

E

E

MPa287.2120560085,0f560085,0EE

c

se

2/12/1

ckcsc

- posição da linha neutra:

cm84,25x

67,451.27x44,062.1

0x4503,65x01,1187,92

x5020

2

x2022


- momento de inércia da seção homogeneizada:

cm565.23284,254503,6584,2501,187,8

3

84,255020

3

84,2520I H

x422

33

I

- tensões e deformações:

‰0426,0;cm/kN894,084,254587,9107299,4

‰0463,0;cm/kN973,0584,2587,9107299,4

‰0536,0;cm/kN114,084,2550107299,4

‰0573,0;cm/kN122,084,25107299,4

107299,4565.232

100.1k

1

23

1

2

23

2

t

23

t

c

23

c

3

I

Exemplo 2:

Determinar a distribuição de tensões e deformações em uma seção retangular de

concreto armado, que se encontra no estádio II. A seção está submetida a um momento fletor

de 40 kN.m e apresenta dimensões b = 20 cm, h = 50 cm, d = 45 cm e d’ = 5 cm. A armadura

tracionada é formada por quatro barras de 20 mm e a comprimida por duas barras de 10 mm.

O concreto é o C20.

- áreas de armadura:

cm57,1785,02'A102'A

cm57,12142,34A204A2

ss

2

ss

- módulo de elasticidade secante do concreto:

87,97,128.2

000.21

E

E

MPa287.2120560085,0f560085,0EE

c

se

2/12/1

ckcsc

- posição da linha neutra:

cm86,17

cm66,31x

06,652.5x99,137x10

0x4557,1287,95x57,1187,92

x20

2

2

- momento de inércia da seção homogeneizada:

cm667.13186,174557,1287,9586,1757,187,83

86,1720I H

x422

3

II


- tensões e deformações:

‰388,0;cm/kN14,886,174587,9100380,3

‰184,0;cm/kN86,3586,1787,9100380,3

‰255,0;cm/kN543,086,17100380,3

100380,3667.131

000.4k

1

22

1

2

22

2

c

22

c

2

II

2 - Estados limites

Para se projetar uma estrutura com um adequado grau de segurança é necessário que

se verifique a não ocorrência de uma série de estados limites.

Estes estados limites podem ser classificados em estados limites últimos (ELU) e estados

limites de serviço (ELS). Os estados limite últimos correspondem à máxima capacidade portante

da estrutura. O estados limites de serviço são aqueles relacionados à durabilidade das estruturas,

aparência, conforto do usuário e a boa utilização funcional da mesma, seja em relação aos

usuários, seja às máquinas e aos equipamentos utilizados.

Nas estruturas de concreto armado, devem ser verificados os seguintes estados limites

últimos:

a) estado limite último da perda do equilíbrio da estrutura, admitida como corpo rígido;

b) estado limite último de esgotamento da capacidade resistente da estrutura, no seu todo ou

em parte, devido às solicitações normais e tangenciais;

c) estado limite último de esgotamento da capacidade resistente da estrutura, no seu todo ou

em parte, considerando os efeitos de segunda ordem;

d) estado limite último provocado por solicitações dinâmicas.

e) estado limite último de colapso progressivo;

f) estado limite último de esgotamento da capacidade resistente da estrutura, no seu todo ou

em parte, considerando exposição ao fogo, conforme a ABNT NBR 15200;

g) estado limite último de esgotamento da capacidade resistente da estrutura, considerando

ações sísmicas, de acordo com a ABNT NBR 15421.

Os estados limites de serviço, que devem ser verificados nas estruturas de concreto

armado, são:

a) estado limite de abertura das fissuras: estado em que as fissuras se apresentam com

aberturas iguais aos máximos especificados;

b) estado limite de deformações excessivas: estado em que as deformações atingem os

limites estabelecidos para a utilização normal da construção;

c) estado limite de vibrações excessivas: estado em que as vibrações atingem os limites

estabelecidos para a utilização normal da construção.

Neste trabalho, são discutidos os estados limites de serviço de abertura das fissuras (ELS-

W) e de deformações excessivas (ELS-DEF).


3 – Ações a considerar na verificação dos estados limites de serviço

3.1 – Valores de cálculo

Os valores de cálculo Fd das ações são obtidos a partir dos valores representativos,

multiplicando-os pelos respectivos coeficientes de ponderação f. Este coeficiente de

ponderação é determinado pela expressão:

f = f1 f2 f3

onde:

f1 considera a variabilidade das ações;

f2 considera a simultaneidade de atuação das ações;

f3 considera os desvios gerados nas construções, não explicitamente considerados, e as

aproximações feitas em projeto do ponto de vista das solicitações.

3.2 - Coeficientes de ponderação das ações nos estados limites de serviço

Em geral, o coeficiente de ponderação das ações, para estados limites de serviço, é

dado pela expressão:

f = f2

onde f2 tem valor variável conforme a verificação que se deseja fazer (Tabela 2):

f2 = 1 para combinações raras;

f2 = 1 para combinações frequentes;

f2 = 2 para combinações quase permanentes.

Tabela 2 - Valores do coeficiente f2 (NBR6118:2014)

Ações f2

o 11)

2

Cargas

acidentais de

edifícios

Locais em que não há predominância de

pesos de equipamentos que permanecem

fixos por longos períodos de tempo, nem de

elevadas concentrações de pessoas 2)

0,5 0,4 0,3

Locais em que há predominância de pesos

de equipamentos que permanecem fixos por

longos períodos de tempo, ou de elevada

concentração de pessoas 3)

0,7 0,6 0,4

Biblioteca, arquivos, oficinas e garagens 0,8 0,7 0,6

Vento Pressão dinâmica do vento nas estruturas em

geral 0,6 0,3 0

Temperatura Variações uniformes de temperatura em

relação à média anual local 0,6 0,5 0,3

1) Para os valores de 1 relativos às pontes e principalmente aos problemas de fadiga, ver seção 23 (NBR6118:2014).

2) Edifícios residenciais.

3) Edifícios comerciais, de escritórios, estações e edifícios públicos.


3.3 - Combinações de serviço

3.3.1 - Generalidades

Um carregamento é definido pela combinação das ações que têm probabilidades não

desprezáveis de atuarem simultaneamente sobre a estrutura, durante um período

preestabelecido. A combinação das ações deve ser feita de forma que possam ser

determinados os efeitos mais desfavoráveis para a estrutura e a verificação da segurança em

relação aos estados limites últimos e aos estados limites de serviço deve ser realizada em

função de combinações últimas e combinações de serviço, respectivamente.

3.3.2 - Classificação

As combinações de serviço são classificadas de acordo com sua permanência na

estrutura e devem ser verificadas como estabelecido a seguir:

a) quase-permanentes: podem atuar durante grande parte do período de vida da estrutura e

sua consideração é necessária na verificação do estado limite de deformações excessivas.

b) frequentes: se repetem muitas vezes durante o período de vida da estrutura e sua

consideração é necessária na verificação dos estados limites de formação de fissuras, de

abertura de fissuras e de vibrações excessivas. Devem também ser consideradas para

verificações de estados limites de deformações excessivas decorrentes de vento ou

temperatura que podem comprometer as vedações.

c) raras: ocorrem algumas vezes durante o período de vida da estrutura e sua consideração é

necessária na verificação do estado limite de formação de fissuras.

3.3.3 - Combinações usuais de serviço

As combinações usuais de serviço estão dispostas na Tabela 3.

Tabela 3 – Combinações de serviço (NBR6118:2014)

Combinações de

serviço (ELS)

Descrição Cálculo das solicitações

Combinações

quase-

permanentes de

serviço (CQP)

Nas combinações quase-permanentes de

serviço, todas as ações variáveis são

consideradas com seus valores quase-

permanentes 2 Fqk

Fd, ser = Fgi,k + 2j Fqj,k

Combinações

frequentes de

serviço (CF)

Nas combinações frequentes de serviço, a

ação variável principal Fq1 é tomada com

seu valor frequente 1 Fq1k e todas as

demais ações variáveis são tomadas com

seus valores quase-permanentes 2 Fqk

Fd,ser = Fgik + 1 Fq1k + 2j Fqjk

Combinações

raras de serviço

(CR)

Nas combinações raras de serviço, a ação

variável principal Fq1 é tomada com seu

valor característico Fq1k e todas as demais

ações são tomadas com seus valores

frequentes 1 Fqk

Fd,ser = Fgik + Fq1k + 1j Fqjk

Fd,ser é o valor de cálculo das ações para combinações de serviço

Fq1k é o valor característico das ações variáveis principais diretas

1 é o fator de redução de combinação frequente para ELS

2 é o fator de redução de combinação quase-permanente para ELS


4– Deslocamentos limites

Deslocamentos limites são valores práticos utilizados para verificação em serviço do

estado limite de deformações excessivas da estrutura. Segundo a NBR6118:2014, os

deslocamentos limites são classificados nos quatro grupos básicos a seguir relacionados e

devem obedecer aos limites estabelecidos na Tabela 4

a) aceitabilidade sensorial: caracterizado por vibrações indesejáveis ou efeito visual

desagradável;

b) efeitos específicos: os deslocamentos podem impedir a utilização adequada da

construção;

c) efeitos em elementos não estruturais: deslocamentos estruturais podem ocasionar o mau

funcionamento de elementos que, apesar que não fazerem parte da estrutura, estão a ela

ligados;

d) efeitos em elementos estruturais: os deslocamentos podem afetar o comportamento do

elemento estrutural, provocando afastamento em relação às hipóteses de cálculo adotadas.

Se os deslocamentos forem relevantes para o elemento considerado, seus efeitos sobre as

tensões ou sobre a estabilidade da estrutura devem ser considerados, incorporando-as ao

modelo estrutural adotado.

5- Controle da fissuração e proteção das armaduras

5.1 - Introdução

A fissuração em elementos estruturais de concreto armado é inevitável, devido à grande

variabilidade e a baixa resistência do concreto à tração. Mesmo sob as ações de serviço

(utilização), valores críticos de tensões de tração são atingidos. Visando obter bom desempenho

relacionado à proteção das armaduras, quanto à corrosão e à aceitabilidade sensorial dos

usuários, deve-se controlar a abertura dessas fissuras.

De maneira geral, a presença de fissuras com aberturas que respeitem os limites

fixados pela NBR6118:2014, em estruturas bem projetadas, construídas e submetidas às

cargas previstas na normalização, não representarão perda de durabilidade ou perda de

segurança quanto aos estados limites últimos.

As fissuras podem ainda ocorrer por outras causas, como retração plástica térmica ou

devido a reações químicas internas do concreto nas primeiras idades, devendo ser evitadas ou

limitadas por cuidados tecnológicos, especialmente na definição do traço e na cura do

concreto.

5.2 - Limites para fissuração e proteção das armaduras quanto à durabilidade

A abertura máxima característica wk das fissuras, desde que não exceda valores da

ordem de 0,2 mm a 0,4 mm, sob ação das combinações frequentes, não tem importância

significativa na corrosão das armaduras passivas.


Tabela 4 - Limites para deslocamentos (NBR6118:2014)

Tipo de

deslocamento

Razão da limitação Exemplo Deslocamento a

considerar

Deslocamento

limite

Aceitabilidade

sensorial

Visual

Deslocamentos

visíveis em

elementos

estruturais

Total

/250

Outro Vibrações sentidas

no piso

Devidos a cargas

acidentais /350

Estrutura em

serviço

Superfícies que

devem drenar água

Coberturas e

varandas

Total /2501)

Pavimentos que

devem permanecer

planos

Ginásios e pistas de

boliche

Total /350 + contra-

flecha2)

Ocorrido após a

construção do piso /600

Elementos que

suportam

equipamentos

sensíveis

Laboratórios Ocorrido após

nivelamento do

equipamento

De acordo com

recomendação

do fabricante do

equipamento

Efeitos em

elementos não

estruturais

Paredes

Alvenaria, caixilhos

e revestimentos

Após a construção

da parede /500

3) ou

10 mm ou

=0,0017 rad4)

Divisórias leves e

caixilhos

telescópicos

Ocorrido após a

instalação da

divisória

/2503)

ou

25 mm

Movimento lateral

de edifícios

Provocado pela ação

do vento para

combinação

frequente (1=0,20)

H/2500 ou

Hi/12505)

entre

pavimentos6)

Movimentos

térmicos verticais

Provocado por

diferença de

temperatura

/4007)

ou

15 mm

Forros

Movimentos

térmicos horizontais

Provocado por

diferença de

temperatura

Hi/500

Revestimentos

colados

Ocorrido após

construção do forro /350

Revestimentos

pendurados ou com

juntas

Deslocamento

ocorrido após

construção do forro

/175

Ponte rolante

Desalinhamento de

trilhos

Deslocamento

provocado pelas

ações decorrentes da

frenação

H/400

Efeitos em

elementos

estruturais

Afastamento em

relação às hipóteses

de cálculo adotadas

Se os deslocamentos forem relevantes para o elemento

considerado, seus efeitos sobre as tensões ou sobre a

estabilidade da estrutura devem ser considerados,

incorporando-as ao modelo estrutural adotado.


Tabela 4 - (NBR6118:2014) - continuação

Observações:

a) Todos os valores limites de deslocamentos supõem elementos de vão suportados em

ambas as extremidades por apoios que não se movem. Quando se tratar de balanços, o vão

equivalente a ser considerado deve ser o dobro do comprimento do balanço.

b) Para o caso de elementos de superfície, os limites prescritos consideram que o valor é o

menor vão, exceto em casos de verificação de paredes e divisórias, onde interessa a

direção na qual a parede ou divisória se desenvolve, limitando-se esse valor a duas vezes o

vão menor.

c) O deslocamento total deve ser obtido a partir da combinação das ações características

ponderadas pelos coeficientes de acompanhamento definidos na NBR6118:2014.

d) Deslocamentos excessivos podem ser parcialmente compensados por contraflechas.

NOTAS:

1) As superfícies devem ser suficientemente inclinadas ou o deslocamento previsto

compensado por contraflechas, de modo a não se ter acúmulo de água.

2)

Os deslocamentos podem ser parcialmente compensados pela especificação de

contraflechas. Entretanto, a atuação isolada da contraflecha não pode ocasionar um desvio

do plano maior que /350.

3)

O vão deve ser tomado na direção na qual a parede ou a divisória se desenvolve.

4)

Rotação nos elementos que suportam paredes.

5)

H é a altura total do edifício e Hi o desnível entre dois pavimentos vizinhos.

6)

Esse limite aplica-se ao deslocamento lateral entre dois pavimentos consecutivos devido à

atuação de ações horizontais. Não devem ser incluídos os deslocamentos devidos a

deformações axiais nos pilares. O limite também se aplica para o deslocamento vertical

relativo das extremidades de lintéis conectados a duas paredes de contraventamento,

quando Hi representa o comprimento do lintel.

7)

O valor refere-se à distância entre o pilar externo e o primeiro pilar interno.


Na Tabela 5, são dados valores limites da abertura limite característica wk das fissuras,

assim como outras providências visando garantir proteção adequada das armaduras quanto à

corrosão. Entretanto, devido ao estágio atual dos conhecimentos e da alta variabilidade das

grandezas envolvidas, esses limites devem ser vistos apenas como critérios para um projeto

adequado de estruturas.

Embora as estimativas de abertura de fissuras devam respeitar esses limites, não se deve

esperar que as aberturas de fissuras reais correspondam estritamente aos valores estimados, isto

é, fissuras reais podem eventualmente ultrapassar esses limites.

Tabela 5 – Exigências de durabilidade relacionadas à fissuração e à proteção da

armadura, em função das classes de agressividade ambiental (NBR6118:2014)

Tipo de concreto

estrutural

Classe de agressividade

ambiental (CAA) e tipo de

proteção

Exigências relativas à

fissuração

Combinação de ações

em serviço a utilizar

Concreto simples CAA I a CAA IV Não há --

Concreto armado

CAA I ELS-W wk 0,4 mm

Combinação frequente CAA II e CAA III ELS-W wk 0,3 mm

CAA IV ELS-W wk 0,2 mm

Concreto protendido

nível 1

(protensão parcial)

Pré tração com CAA I

ou

Pós tração com CAA I e II

ELS-W wk 0,2 mm

Combinação frequente

Concreto protendido

nível 2

(protensão limitada)

Pré tração com CAA II

ou

Pós tração com CAA III e IV

Verificar as duas condições abaixo

ELS-F Combinação frequente

ELS-D* Combinação quase

permanente

Concreto protendido

nível 3

(protensão completa)

Pré tração com CAA III e IV

Verificar as duas condições abaixo

ELS-F Combinação rara

ELS-D* Combinação frequente

Para as classes de agressividade ambiental CAA-III e IV exige-se que as cordoalhas não aderentes tenham

proteção especial na região de suas ancoragens.

* A critério do projetista, o ELS-D pode ser substituído pelo ELS-DP com ap = 50 mm.

5.3 - Controle da fissuração quanto à aceitabilidade sensorial e à utilização

No caso das fissuras afetarem a funcionalidade da estrutura, como, por exemplo, no

caso da estanqueidade de reservatórios, devem ser adotados limites menores para as aberturas

das fissuras. Para controles mais efetivos da fissuração nestas estruturas é conveniente a

utilização da protensão.

Por controle de fissuração quanto à aceitabilidade sensorial, entende-se a situação em

que as fissuras passam a causar desconforto psicológico aos usuários, embora não

representem perda de segurança da estrutura. Limites mais severos de aberturas de fissuras

podem ser estabelecidos com o contratante.


6 – Momento de fissuração

Nos estados limites de serviço, as estruturas trabalham parcialmente no Estádio I e

parcialmente no Estádio II. A separação entre essas duas situações é definida pelo momento de

fissuração. Esse momento pode ser calculado pela seguinte expressão aproximada:

y

IfαM

t

cctr

sendo = 1,2 para seções T ou duplo T, = 1,3 para seções I ou T invertido e = 1,5 para

seções retangulares;

onde:

é o fator que correlaciona aproximadamente a resistência à tração na flexão com a

resistência à tração direta;

yt é a distância do centro de gravidade à fibra mais tracionada;

Ic é o momento de inércia da seção bruta de concreto;

fct é a resistência à tração direta do concreto, conforme o item 8.2.5 da NBR6118:2014, com o

quantil apropriado a cada verificação particular. Para a determinação do momento de

fissuração deve ser usado o fctk,inf no estado limite de formação de fissura e o fctm no estado

limite de deformação excessiva.

Conforme o item 8.2.5 da NBR6118:2014, a resistência à tração direta pode ser

avaliada por meio das seguintes equações:

fctk,inf = 0,7 fctm

fctk,sup = 1,3 fctm

- para concretos de classes até C50:

fctm = 0,3 fck2/3

- para concretos de classes de C50 até C90:

fctm = 2,12 ln (1+0,11 fck)

onde fctm e fck são expressos em megapascais.

7 – Estado limite de deformação excessiva

A verificação dos valores limites, estabelecidos na Tabela 4, para a deformação da

estrutura, deve ser realizada através de modelos que considerem a rigidez efetiva das seções do

elemento estrutural. Assim, estas verificações devem levar em consideração a presença da

armadura, a existência de fissuras no concreto ao longo dessa armadura e as deformações

diferidas no tempo.

A deformação real da estrutura depende também do processo construtivo, assim como

das propriedades dos materiais (principalmente do módulo de elasticidade e da resistência à

tração) no momento de sua efetiva solicitação. Em face da grande variabilidade dos


parâmetros citados, existe uma grande variabilidade das deformações reais. Não se pode

esperar, portanto, grande precisão nas previsões de deslocamentos dadas pelos processos

analíticos a seguir prescritos.

7.1 - Avaliação aproximada da flecha em vigas

O modelo de comportamento da estrutura pode admitir o concreto e o aço como

materiais de comportamento elástico e linear, de modo que as seções ao longo do elemento

estrutural podem ter as deformações específicas determinadas no Estádio I, desde que os

esforços não superem aqueles que dão início à fissuração, e no Estádio II, em caso contrário.

Deve ser utilizado no cálculo o valor do módulo de elasticidade secante Ecs, calculado

através da expressão:

Ecs = i . Eci

sendo:

0,180

f2,08,0 ck

i

e onde, Eci é o módulo de deformação tangente inicial, que pode ser calculado pelas expressões:

Eci = E . 5600 fck1/2

, para fck de 20 MPa a 50 MPa;

Eci = 21,5.103 . E (fck/10 + 1,25)

1/3, para fck de 55 MPa a 90 MPa.

sendo:

E = 1,2 para basalto e diabásio

E = 1,0 para granito e gnaisse

E = 0,9 para calcário

E = 0,7 para arenito

onde, Eci e fck são dados em MPa.

A Tabela 6 apresenta valores estimados arredondados que podem ser usados no

projeto estrutural.

Tabela 6 – Valores estimados do módulo de elasticidade em função da resistência

característica à compressão do concreto (considerando o uso de granito como agregado

graúdo)

Classe de resistência C20 C25 C30 C35 C40 C45 C50 C60 C70 C80 C90

Eci (GPa) 25 28 31 33 35 38 40 42 43 45 47

Ecs (GPa) 21 24 27 29 32 34 37 40 42 45 47

i 0,85 0,86 0,88 0,89 0,90 0,91 0,93 0,95 0,98 1,00 1,00

É obrigatória a consideração do efeito da fluência na determinação da flecha das vigas.


7.2 - Flecha imediata em vigas de concreto armado

Para uma avaliação aproximada da flecha imediata em vigas, pode-se utilizar a

expressão de rigidez equivalente dada a seguir:

ccsII

3

a

rc

3

a

rcseq I.E.I

M

M1I

MME(EI)

onde :

Ic é o momento de inércia da seção bruta de concreto;

III é o momento de inércia da seção fissurada de concreto no Estádio II;

Ma é o momento fletor na seção crítica do vão considerado, momento máximo no vão para

vigas biapoiadas ou contínuas e momento no apoio para balanços, para a combinação de

ações considerada nessa avaliação;

Mr é o momento de fissuração do elemento estrutural, cujo valor deve ser reduzido à metade

no caso de utilização de barras lisas;

Ecs é o módulo de elasticidade secante do concreto.

7.3 - Cálculo da flecha diferida no tempo para vigas de concreto armado

A flecha adicional diferida, decorrente das cargas de longa duração em função da

fluência, pode ser calculada de maneira aproximada pela multiplicação da flecha imediata

pelo fator f dado pela expressão:

sendo:

bd

A'ρ'

s e )ξ(tξ(t)Δξ 0

O coeficiente é função do tempo, que deve ser calculado pelas expressões seguintes:

0,32t)t.(0,9960,68ξ(t) para t 70 meses

(t) = 2 para t > 70 meses

onde:

t é o tempo, em meses, quando se deseja o valor da flecha diferida;

t0 é a idade, em meses, relativa à data de aplicação da carga de longa duração.

No caso de parcelas da carga de longa duração serem aplicadas em idades diferentes,

pode-se tomar para t0 o valor ponderado a seguir:

i

i0i0

ΣP

tΣPt

onde:

Pi são as parcelas de carga;

t0i é a idade em que se aplicou cada parcela i, em meses.

ρ501

Δξαf


Alternativamente, o valor de pode ser tirado da Tabela 7.

Tabela 7 – Valores do coeficiente em função do tempo (NBR6118:2014)

Tempo (t)

meses

0 0,5 1 2 3 4 5 10 20 40 70

Coeficiente

(t)

0 0,54 0,68 0,84 0,95 1,04 1,12 1,36 1,64 1,89 2

O valor da flecha total deve ser obtido multiplicando a flecha imediata por (1+f).

8 - Estado limite de fissuração

Este item define os critérios para a verificação dos valores limites estabelecidos para a

abertura de fissuras, nos elementos estruturais lineares, analisados isoladamente e submetidos

à combinação de ações especificadas.

O valor da abertura das fissuras pode sofrer a influência de restrições às variações

volumétricas da estrutura difíceis de serem consideradas nessa avaliação de forma

suficientemente precisa. Além disso, essa abertura sofre também a influência das condições

de execução da estrutura.

Por essas razões, os critérios, apresentados a seguir, devem ser encarados como

avaliações aceitáveis do comportamento geral do elemento, mas não garantem avaliação

precisa da abertura de uma fissura específica.

Para cada elemento ou grupo de elementos das armaduras passiva e ativa aderente

(excluindo-se os cabos protendidos que estejam dentro de bainhas), que controlam a

fissuração do elemento estrutural, deve ser considerada uma área Acr do concreto de

envolvimento, constituída por um retângulo cujos lados não distam mais de 7,5 do eixo da

barra de armadura.

Figura - Concreto de envolvimento da armadura

É conveniente que toda a armadura de pele i da viga, na sua zona tracionada, limite a

abertura de fissuras na região Acri correspondente.

O valor da abertura característica de fissuras, wk, determinado para cada parte da

região de envolvimento, é o menor entre os obtidos pelas expressões que seguem:

ctm

si

si

si

i

ik

f

3σ

E

σ

12,5ηw


45

ρ

4

E

σ

12,5ηw

risi

si

i

ik

onde:

si, i, Esi, ri são definidos para cada área de envolvimento em exame;

Acri é a área da região de envolvimento protegida pela barra i;

Esi é o módulo de elasticidade do aço da barra i considerada;

i é o diâmetro da barra que protege a região de envolvimento considerada;

ri é a taxa de armadura passiva ou ativa aderente (que não esteja dentro de bainha) em relação

à área da região de envolvimento (Acri);

si é a tensão de tração no centro de gravidade da armadura considerada, calculada no Estádio

II. O cálculo no Estádio II (que admite comportamento linear dos materiais e despreza a

resistência à tração do concreto) pode ser feito considerando a relação e entre os módulos

de elasticidade do aço e do concreto igual a 15.

i é o coeficiente de conformação superficial da armadura considerada, devendo ser adotados

os valores de 1 da tabela abaixo para as armaduras passivas.

Tabela 7 – Coeficiente de conformação superficial

Tipo de barra Lisa (CA-25) Entalhada (CA-60) Alta aderência (CA-50)

1,0 1,4 2,25

9 - Exemplo de verificação do estado limite de deformações excessivas em uma viga

Seja uma viga simplesmente apoiada com vão de 5 m, submetida a uma carga

uniformemente distribuída p=25 kN/m. Estima-se que 60% desta carga é de natureza permanente

e 40%, variável. A seção transversal da viga é retangular com bw=25 cm e h=45 cm. A armadura

longitudinal inferior é composta por 7 barras de 12,5 mm (5 na primeira camada e 2 na segunda)

e a superior por 2 barra de 6,3 mm. A armadura transversal é composta por estribos de 6,3 mm

de diâmetro. O concreto é o C20 (agregado granito) e o aço é CA50. O cobrimento da armadura

é de 2,5 cm. A verificação deve ser realizada para a situação de aceitabilidade sensorial

(deslocamentos visíveis em elementos estruturais). Considerar que a carga seja aplicada 2 meses

após a concretagem.

Solução:

áreas de armadura:

tracionada: 7 barras de 12,5 mm --> 7x1,227 = 8,59 cm2

comprimida: 2 barras de 6,3 mm --> 2x0,312 = 0,624 cm2

valores de d e d’:

d= 45–[5x1,227(2,5+0,63+1,25/2)+2x1,227(2,5+0,63+1,25+2+1,25/2)]/8,59 = 40,32 cm

d’= 2,5+0,63+0,63/2 = 3,445 cm

carregamento:

carga permanente: g = 0,60 x 25 kN/m = 15 kN/m

carga variável: q = 0,40 x 25 kN/m = 10 kN/m

total: p = 25 kN/m


carga de serviço (combinação quase-permanente):

pd,serv = 15 + 0,3 x 10 = 18,0 kN/m

momento de serviço:

Md,serv = 18,0 x 52 / 8 = 56,25 kN.m

valor médio da resistência à tração do concreto:

fctm = 0,3 fck2/3

= 0,3 (20)2/3

= 2,21 MPa

momento de fissuração:

Mr = 0,25 x 0,221 x 25 x 452 = 2797 kN.cm = 27,97 kN.m

como Md,serv>Mr, a seção mais solicitada da viga encontra-se no estádio II e a viga está fissurada.

módulo de deformação longitudinal secante do concreto:

0,185,080

022,08,0

80

f2,08,0 ck

i

Ecs = i . E . 5600 fck1/2

= 0,85 x 1 x 5600 (20)1/2

= 21.287 MPa

relação entre os módulos de deformação do aço e do concreto:

e = 210.000 / 21.287 = 9,87

determinação da posição da linha neutra (estádio II):

25 x2 / 2 + (9,87-1) [0,624(x-3,445)] – 9,87.8,59(40,32-x) = 0

ou

12,5 x2 + 90,32 x – 3437,53 = 0

donde

x = 13,36 cm ou x = -20,58 cm (absurdo)

momento de inércia da seção bruta de concreto (estádio I):

Ic = 25 x 453 / 12 = 189.844 cm

4

momento de inércia da seção homogeneizada (estádio II):

III = 25x13,363/3 + 8,87x0,624 (13,36-3,445)

2 + 9,87 x 8,59 (40,32-13,36)

2 = 82.040 cm

4

momento de inércia equivalente:

Ieq = (27,97/56,25)3 x 189844 + [1 – (27,97/56,25)

3] x 82040 = 95.294 cm

4

flecha de curta duração:

f(t=0) = 5/384 pd,serv . 4 / (Ecs Ieq)

= 5/384 0,180 kN/cm (500cm)4 / (2128,7 kN/cm

2 x 95294 cm

4) = 0,722 cm

fatores para determinação da flecha de longa duração:

’ = 0,624/ (25 x 40,32) = 0,0619%

= 2 – 0,84 = 1,16

f = 1,16 / (1 + 50 x 0,000619) = 1,125


flecha de longa duração:

f(t= ) = (1+1,125) x 0,722 = 1,534 cm

flecha máxima admissível: /250 vão teórico:

fadm = 500/250 = 2,0 cm

Como a flecha da viga é inferior à flecha admissível, a rigidez da viga é adequada.

10 – Exemplo de verificação do estado limite de abertura das fissuras em uma viga

Seja uma viga simplesmente apoiada com vão de 5 m, submetida a uma carga

uniformemente distribuída p=25 kN/m. Estima-se que 60% desta carga é de natureza permanente

e 40%, variável. A seção transversal da viga é retangular com bw=25 cm e h=45 cm. A armadura

longitudinal inferior é composta por 7 barras de 12,5 mm (5 na primeira camada e 2 na segunda)

e a superior por 2 barra de 6,3 mm. A armadura transversal é composta por estribos de 6,3 mm

de diâmetro. O concreto é C20 e o aço é CA50 (barras de alta aderência). O cobrimento da

armadura de 2,5 cm. A situação de exposição da viga corresponde à classe de agressividade

ambiental I (wk 0,4 mm).

Solução:

áreas de armadura:

tracionada: 7 barras de 12,5 mm --> 7x1,227 = 8,59 cm2

comprimida: 2 barras de 6,3 mm --> 2x0,312 = 0,624 cm2

valores de d e d’:

d= 45–[5x1,227(2,5+0,63+1,25/2)+2x1,227(2,5+0,63+1,25+2+1,25/2)]/8,59 = 40,32 cm

d’= 2,5+0,63+0,63/2 = 3,445 cm

carregamento:

carga permanente: g = 0,60 x 25 kN/m = 15 kN/m

carga variável: q = 0,40 x 25 kN/m = 10 kN/m

total: p = 25 kN/m

carga de serviço (combinação frequente):

pd,ser = 15 + 0,4 x 10 = 19,0 kN/m

momento de serviço:

Md,ser = 19,0 x 52 / 8 = 59,38 kN.m

valor característico da resistência à tração do concreto:

fctm = 0,3 fck2/3

= 0,3 (20)2/3

= 2,21 MPa

fctk = 0,7 fctm =0,7 x 2,21 = 1,55 MPa

momento de fissuração:

Mr = 0,25 x 0,155 x 25 x 452 = 1962 kN.cm = 19,62 kN.m

como Md,ser>Mr, a seção mais solicitada da viga encontra-se no estádio II e a viga está fissurada.


relação entre os módulos de deformação do aço e do concreto:

e = 15

determinação da posição da linha neutra (estádio II):

25 x2 / 2 + (15-1) [0,624(x-3,445)] - 15.8,59(40,32-x) = 0

ou

12,5 x2 + 137,59 x – 5225,3 = 0

donde

x = 15,67 cm ou x = -26,68 cm (absurdo)

momento de inércia da seção homogeneizada (estádio II):

III = 25 x 15,673/3 + 14 x 0,624(15,67–3,445)

2+ 15 x 8,59 (40,32-15,67)

2 = 111.662 cm

4

tensão na armadura longitudinal tracionada:

s = [15 x 5938/111662] (40,32-15,67) = 19,66 kN/cm2

área de concreto junto à armadura tracionada (Acr):

vai ser uma área correspondente a uma altura de sete diâmetros acima das barras da segunda

camada

Acr = 25 x (2,5+0,63+1,25+2+1,25+7x1,25) = 409,50 cm2

taxa de armadura:

r = 8,59 / 409,50 = 2,098%

coeficiente de conformação superficial das barras de armadura:

i = 2,25

verificação da fissuração:

OKmm4,0<mm098,0=45+0982,

4x100

21000

66,19

25,2x5,21

12,5=45+

4

E5,21 rs

s

i

OKmm4,0<mm111,0=2210,

66,193x

21000

66,19

52,2x5,21

12,5=

f

3

E5,21 ctm

s

s

s

i

Atender uma das duas expressões já seria suficiente para se verificar que a situação está aquém

do estado limite de fissuração inaceitável.


11 – Programa para a verificação dos estados limites de serviço em vigas de concreto

armado

Referências bibliográficas

ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. Projeto de estruturas de

concreto – Procedimento: NBR6118. Rio de Janeiro, 2014.

ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. Cargas para o cálculo de

estruturas de edificações: NBR6120. Rio de Janeiro, 1980.

ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. Ações e segurança nas

estruturas - Procedimento: NBR8681. Rio de Janeiro, 2003.


ANEXO – AÇO DESTINADO A ARMADURAS PARA ESTRUTURAS DE

CONCRETO ARMADO (NBR7480:2007)

Tabela 1 – Características das barras

Diâmetro

(mm)

Área

(cm2)

6,3 0,312

8,0 0,503

10,0 0,785

12,5 1,227

16,0 2,011

20,0 3,142

22,0 3,801

25,0 4,909

32,0 8,042

40,0 12,566

Tabela 2 – Características dos fios

Diâmetro

(mm)

Área

(cm2)

2,4 0,045

3,4 0,091

3,8 0,113

4,2 0,139

4,6 0,166

5,0 0,196

5,5 0,238

6,0 0,283

6,4 0,322

7,0 0,385

8,0 0,503

9,5 0,709

10,0 0,785

Documents

estados limites de serviço em estruturas de concreto armado