ESTÁTICA DAS CONSTRUÇÕES I 7.0 Estruturas planas ... · PDF fileESTÁTICA DAS CONSTRUÇÕES I 43 7.0 Estruturas planas aporticadas: Pórticos são estruturas reticuladas, formadas

ESTÁTICA DAS CONSTRUÇÕES I

43

7.0 Estruturas planas aporticadas:

Pórticos são estruturas reticuladas, formadas por barras em direção qualquer e conexões rígidas.

Estruturas reticulada - é aquela formada por barras que tem uma dimensão preponderante em

relação às outras duas.

Conexão rígida - é uma região de ligação entre duas ou mais barras, trocando força e momento

fletor.

Observação: Rótula é uma conexão não rígida.

Tipos de pórtico (ou quadro):

Bi-apoiado: Tri-articulado:

Atirantado ou Composto:

escorado:

Engastado e livre:


44

8kNm

F

12,8

HF = 9,6

4kN/m

A

4m 2m

VA = 18,4

VF = 18,4

C D

3m

2m

2m

9,6

16kN

B

E

!

sen = 0,6

cos = 0,8

Com barras curvas:

Exercício:

7.1 Bi-apoiado:

a) Reações:

"#$

%&

%'())*%+

kNV

VF

F

F

y4,18

000,648,124,180

"#$

%&

%(()()(')(*%+

kNV

VM

A

A

F4,18

000,100,6400,48,1200,16,9800,40

"#$

%&

%)*%+

kNH

HF

F

F

x6,9

06,90


45

F

C

D

B

E

A

(-)

-9,6

-18,4

(-)

(-)

(-)

-18,4

-5,6

F

C

D

B

E

A

-9,6

(+)

(-)

9,6

(+)(+)

(-)

-10,4

5,6

8,0x

b) DEN(kN):

c) DEC(kN):

, pela esquerda

, pela direita

ou

4,18

6,9

6,58,124,18

4,18

)%

)%

)%')%

)%

F

Cd

Bd

A

N

N

N

N

0,800,24

0,84,184,10

4,1000,446,5

6,58,124,18

6,9

%(%

%')%

)%()%

%)%

)%

Dd

Dd

De

Cd

Bd

Q

Q

Q

Q

Q

mx

QF

40,14

6,5

6,9

%%

%


46

E

F

C D

B

A

-8

(-)

(-)

(-)(-)

-27,2

-36,8

(-)

-27,2

-8

-28,8Mmáx

8 28,8

C

S2 S3D

S4

S1 S5

, pela esquerda

, pela direita

, pela esquerda

, pela esquerda

, pela direita

d) DMF(kNm):

Observações:

1)

88

00,44 2

%(

28

00,24 2

%(

28,232,272

40,140,1440,16,5

8,2800,36,9

0

8,3600,36,900,100,24

8,362,2700,200,4400,46,5

2,2700,26,98

8

)%)(()(%

)%()%

%

--"

--#

$

)%()(()%

)%)(()(%

%%)%())%

)%

máx

Db

F

De

Dd

CCdCe

A

M

M

M

M

M

MMM

M


47

-27,2

-27,2 -36,8 -8

-28,8

10kNm

FHF = 8

6kN/m

A

4m 2m

VA = 20,75

VF = 3,25

CD 1,50m

2,50m

2,50m

B

E

!

sen = 0,6

cos = 0,8 1,50m

8kN

2m

;

;

2)

7.2 Bi-apoiado:

kNQ

kNQ

S

S

6,5

6,9

2

1

%

)%

kNN

kNN

S

S

6,9

6,5

2

1

)%

)%

"#$

)%

)%

kNmM

kNmM

S

S

2,27

2,27

2

1

-"

-#

$

)%

)%

)%

kNmM

kNmM

kNmM

S

S

S

8,28

8

8,36

5

4

3

Em um nó com duas barras

perpendiculares entre si, o esforço cortante

de uma é igual ao esforço normal da outra!

O somatório de momentos em um nó é

igual a zero!


48

-3,25

F

F

A

C

D

E

B (-)

-20,75

(-)

-1,95

4,45

(+)

A

C

D

E

B

(-)

-2,6

-7,4

(-)

F8

3,25

E

!

8

!

!

(+)

20,75

x

, pela

direita

a) Reações:

b) DEN(kN):

c) DEC(kN):

"#$

%&

%'()*%+

kNV

VF

F

F

y25,3

000,4675,200

"#$

%&

%()(())(*%+

kNV

VM

A

A

F75,20

050,1800,600,461000,80

kNHF Fx 80 %*%+

kNN

kNN

Ee

F

95,1cos845,4

45,4sen25,3cos8

)%.)%

%.).%

mx 4583,36

75,20%%


49

F

A

C

D

E

B

(-) -10

18,5

(+)

25

-10

25

Mmáx

, pela direita

, pela direita

, pela direita

, pela direita

d) DMF(kNm):

6,2sen84,7

4,7sen8cos25,3

25,300,4675,20

75,20

)%.')%

)%.).)%

)%()%

%

Ee

F

De

Cd

Q

Q

Q

Q

88,252

4583,364583,375,2010

2

%()(')%máxM

2550,1800,3800,425,3

5,1800,225,35,18

0

2500,200,4600,475,2010

%()('(%

%('(%

%

%(()(')%

Dd

E

F

De

M

M

M

M


50

B

HA = 0

D

A

VA = 8,5

2,25t/m

4,00

!

sen = 0,6

cos = 0,8

2t/m

2t/m

9t 4t

4t

B

C

2,00 2,00

VD = 8,5

(-)

(+)

!

8,5-4 = 4,5

4,5.sen = 2,7

4,5.cos = 3,6

!

2,7

D

A

C

-2,7

8,5-4 = 4,5

4,5.sen = 2,7

4,5.cos = 3,6

7.3 Barra inclinadas:

Solução:

DEN(tf):

00 %*%+ Ax HF

"#$

%&

%()('('(*%+

tfV

VM

D

D

A5,8

000,800,7400,4900,140

"#$

%&

%')))*%+

tfV

VF

A

A

y5,8

05,84940


51

(+)

8,5 D

A

C

B

(+)

(-) (-)

-8,5

4,5

-4,53,6

-3,6

(+)

D

A

C

B

1

(+)

(+)

1

13

13

13

13

Mmáx

normal à direção x

x = 2,00

DEC(tf):

DMF(tfm):

CdBe MM %%()(% 1300,1425,8

-----

"

-----

#

$

%'%(

'%.

'%

%()('%.).'%

%(()'()'(%

5,175,4138

00,425,213

813

5,172

00,225,200,25,413

2

5,172

00,200,225,2)00,200,1(4)00,200,2(5,8

22

22

lqM

ou

xqxQMM

ou

M

máx

iimáx

máx


52

7.4 Quadro engastado e livre:

Solução:

DEN(tf):

MA = 1HA = 1

VA = 8

3t

1t/m

1t

1t

C

A

B

D E

F

2,00

-7

1,00

2,00

2,00

tfHF Ax 10 %*%+

"#$

%&

%()('()('*%+

tfmM

MM

A

A

A1

000,2400,2100,1100,230

"#$

%&

%)())*%+

tfV

VF

A

A

y8

0100,4130

C

A

B

D E

F

(-)

-1

-8

(-)

(-)

3,00


53

DEC(tf):

DMF(tfm):

C

A

B

D

E

F

(-)

1

-1

(+)

(-)

-3

(+)

4

C

A

B

D E

F

(-)

-1

-3

(-) (-)

-8

-6

(-)

(-)

-2

-1

28

00,41 2

%(

tfmM

tfmM

De

Bd

200,2100,1100,411

200,1100,211

)%('('())%

)%('())%


54

VB = 4 VA = 4

HA = 0

4tm

VBVA

A B

4,00m

2,00m

2,00m

2t/m

4tm

C D

EF

HA A B

C D

EF

N = 2

N = 2

7.5 Quadro atirantado ou escorado:

Como a barra CD está descarregada e rotulada nas extremidades, ela tem, em todas as suas seções,

M = Q = 0, podendo estar submetida, apenas, a um esforço normal constante (no caso de ser de tração a

barra será denominada tirante e, no caso de ser de compressão, será dita uma escora).

Nada se alterará, então, sob o ponto de vista estático, se rompermos a barra CD, substituindo-a por

um par de esforços normais N, de sentidos opostos e aplicados no quadro ABEF.

(pelas forças da direita)

00 %*%+ Ax HF

"#$

%&

%(()(*%+

tfV

VM

A

A

B4

000,200,4200,40

"#$

%&

%()'*%+

tfV

VF

B

B

y4

000,4240

0%FM"#$

%&

%)(,

tfN

N

2

0400,2


55

-4

A B

-2

C D

EF

(-)

(+)

2

(-) (-)

-4 -4

A B

C D

F(+)

E

(-)

(-) (+)

4

-2 2

DEN(tf):

DEC(tf):


56

VB = P/2

A B

C D

FE

(-)(-)

-4

-4 -4-4

VA = P/2

A B

P

/!

/!

C

DMF(tfm):

7.6 Barra curva:

48

00,42 2

%(

---

"

---

#

$

.%.%

.%.%

).

%.).%

//

//

//

cos2

cos

sen2

sen

)cos1(2

)cos(

PVN

PVQ

RPRRVM

AS

AS

AS


57

A B/! /!

C

(+)

A B/! /!

C(+)

(-)

A B/! /!

C

(-) (-)

DMF:

DEC:

DEN:

)cos1(2

/). RP

)cos1(2

/). RP

2

RPM máx

.%

/sen2.

P

/sen2.)

P2

P

2

P)

/cos2.)

P/cos

2.)

P

2

P)

2

P)


58

VB = P/2 VA = P/2

A B

P

/!

C

M

VB = 8 VA = 4

A B

CD

2t/m

3t

5t

6,00

HA = 2t

4,00

3,00

Observação: Marcando os valores dos momentos a partir de uma reta horizontal, o diagrama será

retilíneno, conforme figura a seguir, pois os momentos fletores crescem linearmente segundo

o valor de AM = R . (1-cos /).

Exercício:

)cos1(22

/).

%.RP

AMP

2

RPM máx

.%


59

44

A B

C D-8

-8

-20

-20

(-) (-)

(-)

15-9 = 6

C D

2t/m

52+3 = 5

8 20

DMF(tfm):

Observação: Barra CD isoladamente

=

"#$

%&

%)'*%+

tH

HF

A

A

x2

0530

"#$

%&

%(()('(*%+

tfV

VM

A

A

B4

000,300,6200,4300,60

"#$

%&

%'()*%+

tfV

VF

B

B

y8

000,6240


60

44

C D

2t/m

5

8 20 D

5

C

C D

8

20

DC

5x3 = 15

8

20

15-9 = 6

+

Diagramas:

+ =

Resumindo: Para o traçado do diagrama de momentos fletores na barra curva CD, a partir de uma reta

horizontal CD, marcamos a partir da linha de fechamento o diagrama de viga biapoiada mais

o diagrama devido apenas às forças horizontais.

tfm98

00,62 2

%(


61

HC = 3

HC = 3

GHG = 3HD = 0

DA

BC

E F

1t/m

3t

2t

4,0

0

2,0

0

2,0

0

8,00 5,00 3,00

VA = 4,75 VD = 6,5 VG = 6,75

GHG = 3HD = 0

DA

BC

EF

3t

2t

VA = 4,75 VD = 6,5 VG = 6,75

1t/m

1t/m

C

VC = 3,25

VC = 3,25

1

2

7.7 Quadro composto:

Decomposição:


62

1

2

:

:

DEN(tf):

(-)

-3

(-)

-3

-4,75 (-)

-6,75-6,5-4,75

(pelas forças da esquerda)

"#$

%&

%)*%+

tH

HF

C

C

x3

030

"#$

%&

%(()()(*%+

tfV

VM

A

A

C75,4

000,400,8100,2300,80

"#$

%&

%')*%+

tfV

VF

C

C

y25,3

0875,40

"#$

%&

%)*%+

tH

HF

G

G

x3

030

"#$

%&

%()()()('(*%+

tfV

VM

D

D

G5,6

000,4800,3200,825,300,4300,80

"#$

%&

%')))*%+

tfV

VF

G

G

y75,6

02825,35,60

0%CM"#$

%&

%(*

0

000,4

D

D

H

H

(-) (-) (-)

-3,25 (-)


63

DEC(tf):

DMF(tf):

-6 -6 -12(-)

-6

-18

-18

(-)

8

-12

-12

8

(+)

(-)

(+)

(-)

3

(+)-3,25

-3

(-)

(+)

-4,75

-3 (-)

-4,75(-)

-3,25-2

(-)

-6

(-)

(+)

(-)

-6

(-)


64

D I

2tm

B

A 1t

2,00m

1t

1t

2tm C

G H

E

F

2,00m 2,00m

2,00m

2,00m

2tm

1t 1t

1t

2tm

H

HF = 1t

HG = 2t HG = 2t

HC = 2t HC = 2t

HA = 3t

VA = 2t VD = 2t

7.8 Quadro composto:

Decomposição:

2%N

2%N


65

-1

2

246

6

2

2

(+)

(-)

(+)

2(+)

3

(+)2

(+)(-) -2

DMF(tfm):

DEN(tf):

2


66

BAHA = 3

2,00m

HB = 3

VA = 6 VB = 10

2,00m 2,00m 2,00m 2,00m

3,0

0m

3

,00

m

4t

2t2t

1t/m

6tm6tm

C D E

F H

G

J

!

sen = 0,6

cos = 0,8

22

6

3

7.9 Quadro triarticulado:

Solução:

(pelas forças da esquerda)

"#$

%&

%)*%+

tfH

HF

B

B

x3

030

"#$

%&

%('()()()(*%+

tfV

VM

A

A

B6

000,2200,2400,4800,6200,80

"#$

%&

%'))))*%+

tfV

VF

B

B

y10

0248260

0%GM"#$

%&

%'(()()()(*

tfH

H

A

A

3

0600,200,4100,2200,600,46


67

BA

-3

CD E

F H

G

J

(-)

(-)-6

(-)-10

(-)

-2,4

-3,6

-4,8

(-)

(-) -6

-6

!

0!

(pela esquerda)!

DEN(tf):

Cálculos:

ou:

68,036,06cossen )%()()%()()% AACd HVN

1 2-"

-#

$

)%()())%

)%(')%((')%

8,4cos3sen26

8,46,026sen216

Je

Je

N

ou

N

1 2-"

-#

$

)%('()())%

)%(')%

6.3sen2cos3sen26

6,3sen28,4

Jd

Jd

N

ou

N

1 2-"

-#

$

)%()()))%

)%()%

4.2cos3sen426

4,2cos3

Ge

Ge

N

ou

N

3)%GdN

4,2cos3 )%)


68

BA

CD E

F H

G

J

(-)

-4

(-)

-4

(-) -1,8

-0,2

(-) -3

3

3(+)

(+)

1,4

(+)

2

DEC(tf):

Cálculos:

3sen3cos6 %()(% CdQ

1 21 2"

#$

)%()())%

%()()%

2,0sen3cos226

4,1sen3cos26

Jd

Je

Q

Q

1 21 2"

#$

%'')%

)%()())%

0426

8,1sen3cos426

Gd

Ge

Q

Q

-"

-#

$

)%))%

)%'')%

4826

42410

Fe

Fe

Q

ou

Q

00,4110 (')


69

H

-10

BA

C D E

FG

J

-8-3,5

(-)

-9

-9(-)

4

-14

-0,5

-0,5

-6 -62

(-)

-4

(-)

(-)

-1-9

(-)

(-)

, (pela direita)

, (pela direita)

, (pela esquerda)

, (pela esquerda)

, (pela esquerda)

M =

DMF(tfm):

Cálculos:

13324 )%()(%EcM

106324 )%()(%FbM

624226346 )%()()()(%GdM

14246 )%())%FeM

5,32

00,215,4326

2

)%()()(%JM

44

00,200,22

8

00,41

8

22

%((

'(

%..

'.

%l

l baPqM

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