1Estatstica AplicadaBalestrassi Paiva Ferreira (UNIFEI IEPG)EstatEstatstica Aplicadastica AplicadaProf. Dr. Joo Roberto Ferreirajorofe@unifei.edu.br(35) 3629 1293UNIFEI Instituto de Engenharia de Produo e GestoPrograma de Ps-Graduao em Eng de Produo2Estatstica AplicadaBalestrassi Paiva Ferreira (UNIFEI IEPG)Pensar estatisticamente ser um dia, para a eficiente prtica da cidadania, to necessrio como a habilidade de ler e escrever.H. G. Wells (Escritor, considerado o pai da moderna Fico Cientfica, 1895)3Estatstica AplicadaBalestrassi Paiva Ferreira (UNIFEI IEPG)ProcessoFatores Incontrolveis (rudo)Fatores ControlveisEntrada Sada......x1 x2 xpz1 z2 zqy1y2ym...Motivao das empresas para estudo e uso de Estatstica:Foco no Processo: Um dos principais requisitos da ISO 9001:20004Estatstica AplicadaBalestrassi Paiva Ferreira (UNIFEI IEPG)XPresso de ar air stripPresso de ar air bagPresso de ar front pistonPresso HidrulicaTemperaturaVazo de leo SolvelPresso do NitrognioYEspessura da parede Top WallEspessura da Parede Mid WallProfundidade do DomeAltura da LataVisualizaoProcesso Bodymaker de fabricao de latasZOperadorRede EltricaQualidade da BobinaExemplo de ProcessoAplicao: Pense em um problema similar emsua rea de atuao complexo inferir sobre X,Y e Z sem Estatstica!Y=f(X)+Z5Estatstica AplicadaBalestrassi Paiva Ferreira (UNIFEI IEPG)DO THE REAL THING!Faa anotaes! Aplicando os conhecimentos na sua rea a nicaforma de sediment-los! Cone of Learning6Estatstica AplicadaBalestrassi Paiva Ferreira (UNIFEI IEPG)Statgame e Statquiz(Interessante para verificar o conhecimento bsico)Recursos de SoftwareO uso de recursos computacionais tornou os clculos atividades fceis permitindo uma maior nfase na compreenso e interpretao dos resultados 7Estatstica AplicadaBalestrassi Paiva Ferreira (UNIFEI IEPG)Pratique: 1. Gere a planilha ao lado e entenda a diferena entre Worksheet e Project. Observe o que Session. 2. Calcule as principais Estatsticas Descritivas da planilha gerada. Siga o caminho: < Graph> 3. Navegue no Statguide4. Navegue pelo Tutorial do Minitab5. Observe os cones para Worksheet, Session, Show GraphsFolder e Edit Last Dialogwww.minitab.comwww.e-academy.com8Estatstica AplicadaBalestrassi Paiva Ferreira (UNIFEI IEPG)6. Gere uma srie de 100 valores aleatriosque poderia simular uma variabilidade em Temperatura; Use e inclua os parmetros convenientes (Ex.: Mdia=100, S=10).7. Calcule as principais estatsticas descritivas da planilha usando Graphical Summary. Faa outros grficos.8. Entenda o procedimento ?9. Salve a planilha na Desktop com um nome qualquer.10. Feche o programa minitab e depois abra a planilhaque voc salvou.9Estatstica AplicadaBalestrassi Paiva Ferreira (UNIFEI IEPG)Obtenha domnio sobre o Minitab a partir do arquivo minitab.pdf que estno Cd do curso.Um bom Material de Apoio10Estatstica AplicadaBalestrassi Paiva Ferreira (UNIFEI IEPG)Bibliografia bsica:1 Montgomery, D.C., Runger, G.C., Estatstica Aplicada e Probabilidade para Engenheiros, 2 ed., LTC Livros Tcnicos e Cientficos, 2003, 461 p.2 Newbold et al., Statistics for Business andEconomics, 4 ed., Ed. Prentice Hall, 2002, 579 p.3 Apostila (Notas de Aula).11Estatstica AplicadaBalestrassi Paiva Ferreira (UNIFEI IEPG)SUMRIO1 Estatstica Descritiva2 Distribuies de Probabilidade3 Estimao - Intervalos de Confiana4 Testes de Hiptese5 Anlise de Varincia6 Correlao e Regresso7 Controle Estatstico do Processo12Estatstica AplicadaBalestrassi Paiva Ferreira (UNIFEI IEPG)1 - Estatstica DescritivaUma mente que se abre para uma nova idia, jamais retornar ao seu tamanho original. (Albert Einstein)13Estatstica AplicadaBalestrassi Paiva Ferreira (UNIFEI IEPG)A essncia da cincia a observao. Estatstica: A cincia que se preocupa com a organizao, descrio, anlise e interpretao dos dados experimentais. Ramo da Matemtica Aplicada. A palavra estatstica provm de Status. Do que trata a EstatsticaEstatstica Bsica (Anova, TH, Regresso)Sries TemporaisData MiningSix SigmaRedes NeuraisControle de QualidadeSimulao / PODOE /Taguchi /RSMAnlise de Sistema de MedioEstatstica MultivariadaAmostragem / PesquisaConfiabilidade14Estatstica AplicadaBalestrassi Paiva Ferreira (UNIFEI IEPG) A Populao (ou Distribuio) a coleo de todas as observaes potenciais sobre determinado fenmeno. O conjunto de dados efetivamente observados, ou extrados, constitui uma Amostra da populao. Um Censo uma coleo de dados relativos a Todos os elementos de uma populao.Um Parmetro est para a Populao assim como uma Estatstica est para a Amostra.Populao e Amostra15Estatstica AplicadaBalestrassi Paiva Ferreira (UNIFEI IEPG)VarivelQualitativaQuantitativaOrdinalNominalDiscretaContnuaEx.: Para uma populao de peas produzidas em um determinado processo, poderamos ter:Quantitativa Contnua Dimetro das peasQuantitativa Discreta Node peas defeituosasQualitativa Ordinal Qualidade: 1a, 2aou 3acategoriaQualitativa Nominal Estado: Perfeita ou defeituosaTipo Varivel(Tambm Dados Categricos ou de Atributos)Tipos de Dados(Variveis)16Estatstica AplicadaBalestrassi Paiva Ferreira (UNIFEI IEPG)Aplicao: Gere sequncias de valores aleatrios que represente problemas em sua rea. O que significa o procedimento ?Amostragem: Gere a sequncia 1 2 3 ...100. Selecione uma amostra com 10 valores a partir das sequncias geradas anteriormente. Use RandomData> Nmeros Aleatrios 17Estatstica AplicadaBalestrassi Paiva Ferreira (UNIFEI IEPG)Conjunto Originalde dados Grficos/ Ramo-e-Folhas/ Distribuies de Frequncia, etc...Medidas EstatsticasFornece muito mais informaes sobre o comportamento de uma varivel do que a prpria srie original de dadosReduo dos dadosValores representativos da srie toda. Medidas de Posio e Disperso.Medidas Estatsticas18Estatstica AplicadaBalestrassi Paiva Ferreira (UNIFEI IEPG)Aplicao:Gere uma sequncia de dados que represente um processo em sua rea e calcule as estatsticas desse conjunto de dados.Use: e

Ex.:Nmero de acessos pgina do Site da Empresa durante os ltimos 100 dias teis.

19Estatstica AplicadaBalestrassi Paiva Ferreira (UNIFEI IEPG)Medidas de Posio: Mdiaxx x xnxnniin=+ + +==1 21Lxx p x p x pp p px ppn nni iiniin=+ + ++ + +===1 1 2 21 211LLAritmtica SimplesAritmtica Ponderada+...++...++...+Um pouco sobre arredondamento de mdias: Tome uma decimal acima da dos dados: Ex.: 2,43,4 e 5,7 => mdia =3,73 Em vrias operaes, arredonde apenas o resultado final20Estatstica AplicadaBalestrassi Paiva Ferreira (UNIFEI IEPG) Chama-se Robert Pesa 78 Kg Manequim 48 85 cm de cintura Consome anualmente 8,5 Kg massa, 11,8Kg de bananas, 1,8 Kg de batatas fritas, 8,15Kg de sorvete e 35,8 Kg de carne. V TV por ano 2567 horas Recebe anualmente 585 coisas por correio (cartas e outros) Diariamente dorme 7,7 horas, gasta 21 minutos para chegar ao trabalho e trabalha 6,1 horasUm Cidado Americano Mdio21Estatstica AplicadaBalestrassi Paiva Ferreira (UNIFEI IEPG)~xno=+ |\

||12termo~xn n=|\

||+ +|\

||2 212o otermotermo{ } 35 36 37 38 40 40 41 43 46 40 , , , , , , , ,~ = x{ } 12 14 14 15 16 16 17 2015 16215 5 , , , , , , ,~, =+= xEx.:Se n mpar: Se n par:Medidas de Posio: MedianaMediana o valor do meio de um conjunto de dados dispostos em ordem crescente ou decrescente.Inconveniente: No considera todos os valores da amostra!22Estatstica AplicadaBalestrassi Paiva Ferreira (UNIFEI IEPG)Mdia x Medianax = 345 7 ,~x = 300Ex.: { 200, 250, 250, 300, 450, 460, 510 }Ambas so boas medidas de Tendncia Central. Prefira a mdiax{ 200, 250, 250, 300, 450, 460, 2300 }= 601~x = 300Devido ao Outlier 2300, a mediana melhor estatstica que a mdia. 23Estatstica AplicadaBalestrassi Paiva Ferreira (UNIFEI IEPG)Medidas de DispersoRode e Entenda o programa Interativo da PQ SystemsDiscuta:1) Porque os bancos adotam fila nica?2) Por favor, com quantos dias de antecedncia eu devo postar uma carta de aniversrio para minha me?24Estatstica AplicadaBalestrassi Paiva Ferreira (UNIFEI IEPG)A = { 3, 4, 5, 6, 7 }B = { 1, 3, 5, 7, 9 }C = { 5, 5, 5, 5 }D = { 3, 5, 5, 7 }E = { 3.5, 5, 6.5 }Uma medida de Posio no suficiente para descrever um conjunto de dados. Os Conjuntos ao lado mostram isso! Eles possuem mesma mdia, sendo diferentes.Algumas medidas de Variabilidade:Amplitude (H): Tem o inconveniente de levar em conta apenas os dois valores extremos:H=7-3=4VariabilidadeAmplitude=Range25Estatstica AplicadaBalestrassi Paiva Ferreira (UNIFEI IEPG)Considerando os desvios em relao mdia, temos, para A, por exemplo:A = { 3, 4, 5, 6, 7 }x xi - {-2, -1, 0, 1, 2}Medidas de Disperso0 ) (1 1 1 = = = = =x n x n x x x xniniiniiInconveniente:Uma opo para analisar os desvios das observaes :considerar o total dos quadrados dos desvios. ( ) x xii = + + + + ==2154 1 0 1 4 1026Estatstica AplicadaBalestrassi Paiva Ferreira (UNIFEI IEPG)Desvio Padro.( ) x xniin=21Associando ao nmero de elementos da amostra (n), tem-se:...que a Varincia ( Var(x))S2=S S =2...que o Desvio Padro (DP(x)), uma medida que expressa na mesma unidade dos dados originais27Estatstica AplicadaBalestrassi Paiva Ferreira (UNIFEI IEPG)Disperso: Frmulas Alternativas ( )212122xnxnx xniinii == = =( )Sx xniin2211==Varincia Amostraln-1 estRelacionado a um problema detendenciosidadeVarincia Populacional(2ou n 2)28Estatstica AplicadaBalestrassi Paiva Ferreira (UNIFEI IEPG)Mdia = 3 Mdia = 3 Soma daltima coluna= 10Soma daltima coluna= 10Divide a Soma por (n-1):= Varincia = S2= 2,5Divide a Soma por (n-1):= Varincia = S2= 2,5X=Soma dos pontos de dadosNmero dos pontos de dadosX54312X210-2-1( )X X 41041( )X X 2Raiz Qadradada Varincia= Desv.Pa. = S= 1,58Raiz Qadradada Varincia= Desv.Pa. = S= 1,58S S =2Calcular a Varincia e o Desvio Padro de XS2ExemploUma Regra Prtica para conjunto de dados tpicos:S=Amplitude/429Estatstica AplicadaBalestrassi Paiva Ferreira (UNIFEI IEPG)Mdia da Populao=XNiiN=1Mdia da AmostraDesvio Padro da Populao=(X)Ni2i=1NDesvio Padro da Amostrax =xnii=1ns =(X )n -1i2i=1NXExpresses para Mdia e Varincia30Estatstica AplicadaBalestrassi Paiva Ferreira (UNIFEI IEPG)25%50%75%1091049994DBP*Outlier ( fora da distncia do Q3 + 1,5D )Q3=75 PercentilObservao MximaQ1=25 PercentilQ2=Mediana (50 Percentil)D=Q3-Q1InterquartilEDA (Exploratory Data Analysis) e Mtodo dos Cinco NmerosOutra Estratgia: Percentis e BoxplotBoxplot desgastante quando feito sem computador pois supe a ordenao de dados.31Estatstica AplicadaBalestrassi Paiva Ferreira (UNIFEI IEPG)Valor do meioQuartis:Q1=Quarta Observao Crescente=71.7Q3=Quarta Observao Decrescente=150.6Outliers: Q3+1.5D=150.6+1.5(150.6-71.7)=268.95So outliers valores maiores que 268.95Percentis e Boxplot2.(n+1)/4 03.(n+1)/4 0(n+1)/4 0Para valores no inteiros dos quartis, usa-se interpolao32Estatstica AplicadaBalestrassi Paiva Ferreira (UNIFEI IEPG)BoxplotExerccio: Como conduzir uma anlise de questionrio (com escala de Likert) usando Boxplot?Perg1 Perg2 Perg3 Perg4 Perg5 Perg6050100PerguntasAvaliacaoEntenda o procedimento de empilhamento de colunas (Stack):

Likert.mtwUse: Use a opo 33Estatstica AplicadaBalestrassi Paiva Ferreira (UNIFEI IEPG)Escores padronizados (z)zx xsii=x7.75 kg 72.9 kg B6.38 kg 66.5 kg ADesvio Padro Peso mdio GrupoEx.: Dois grupos de pessoas acusam os seguintes dados:e 3 , 238 , 65 , 66 2 , 81 : em ==Az A 95 , 175 , 79 , 72 88 : em ==Bz Bxi- considera o afastamento de xiem relao mdia.A diviso por s torna s como unidade ou padro de medida.Nesses grupos h duas pessoas que pesam respectivamente, 81.2 kg e 88.0 kg.Logo, a pessoa de A revela um maior excesso relativo de peso.34Estatstica AplicadaBalestrassi Paiva Ferreira (UNIFEI IEPG)(z)zx-3 -2 - ++2+3-3-2-101 2 3Distribuio Normal Reduzida ou Padronizada =xz) ; ( : N XZ: N(0; 1)Tal frmula est tabelada e fornece valores acumuladosQual o formato da curva acumulada?Distribuio NormalN(0,1) a distribuio Benchmark35Estatstica AplicadaBalestrassi Paiva Ferreira (UNIFEI IEPG)Escores padronizados (z)zx xsii=Uma mulher deu luz um filho 308 dias aps a visita de seu marido que serve na marinha dos EUA. Sabendo-se que uma gravidez normal tem mdia de 268 dias e desvio-padro de 15 dias, determine se o tempo de gravidez da mulher pode ser considerado comum.O marido tem razo de preocupar-se?36Estatstica AplicadaBalestrassi Paiva Ferreira (UNIFEI IEPG)zx xsii=Regra 68 -- 95 -- 99 Cerca de 68% dos valores esto a menos de 1 desvio padro a contar da mdia (-1 < z < 1) Cerca de 95% dos valores esto a menos de 2 desvios padro a contar da mdia (-2 < z < 2) Cerca de 99% dos valores esto a menos de 3 desvios padro a contar da mdia (-3 < z < 3) Medidas de DispersoEscore Padronizado (z)4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -440%30%20%10%0%68%95%Nmero de Desvios Padro da Mdia99.73%37Estatstica AplicadaBalestrassi Paiva Ferreira (UNIFEI IEPG)Coeficiente de Variao (cv)cvSx=cv exprime a variabilidade em termos relativos. uma medida adimensional e sua grande utilidade permitir a comparao das variabilidades em diferentes conjuntos de dados.Ex.: Testes de resistncia trao aplicados a dois tipos diferentes de ao:Assim, apesar do Tipo I ser menos resistente, ele mais estvel, mais consistente. O uso do coeficiente de variao pode ser pensado considerando a questo: Um desvio padro de 10 se a mdia 10.000 bem diferente se a mdia 100!17,25 147,00 Tipo II2,0 27,45 Tipo Is (kg/mm2) Mdia (kg/mm2)cvI= =227 457 29,, %cvII = =17 251471173,, %38Estatstica AplicadaBalestrassi Paiva Ferreira (UNIFEI IEPG)Assimetria (Skewness)Prximo de 0: SimtricoMenor que 0: Assimtrico EsquerdaMaior que 0: Assimtrico DireitaAchatamento (Kurtosis)Prximo de 0: Pico NormalMenor que 0: Mais achatada que o Normal (Uniforme)Maior que 0: Menos achatada que o normal (Afinada)Skewness and Kurtosis39Estatstica AplicadaBalestrassi Paiva Ferreira (UNIFEI IEPG)Assimetria, Percentis e Boxplot40Estatstica AplicadaBalestrassi Paiva Ferreira (UNIFEI IEPG)ExerccioEncontre todas as estatsticas descritivas para a srie da tabela a seguir. Considere o caso no-agrupado (Newbold et al., 2003 p.33).254 70 58 39 32 21250 70 58 39 30 2088 64 53 38 25 1582 63 48 37 25 1580 58 41 35 24 1374 58 40 34 23 1041Estatstica AplicadaBalestrassi Paiva Ferreira (UNIFEI IEPG)Ex.: Populao = X=Dimetro de determinada pea (em mm).Dados brutos: { 168, 164, 164, 163, 165, 168, 165, 164, 168, 168 }Rol: { 163, 164, 164, 164, 165, 165, 168, 168, 168, 168 }Amplitude (H) = 168 - 163 = 51 10 1.0 10 0.4 4 1680.6 6 0.2 2 1650.4 4 0.3 3 1640.1 1 0.1 1 163FiFrequnciaRelativa Acumulada)Ni(FrequnciaAbsoluta Acumulada)fi(FrequnciaRelativa)ni(FrequnciaAbsoluta)XDistribuio de Freqncias n niK1 =fnnii=fiiK= =11FNnii=42Estatstica AplicadaBalestrassi Paiva Ferreira (UNIFEI IEPG)100 1 50 100 1.0 50 10 0.1 5 5550 6090 0.9 45 26 0.26 13 4540 5064 0.64 32 36 0.36 18 3530 4028 0.28 14 24 0.24 12 2520 304 0.04 2 4 0.04 2 1510 20F%(Percentual Acum.)Fi(RelativaAcum.)Ni(AbsolutaAcum.)f%(frequnciapercentual)fi(frequnciarelativa)ni(frequnciaabsoluta)xi (ponto mdio)x(Varivel)Classes (ou Categorias)DISTRIBUIO DE FREQUNCIAS43Estatstica AplicadaBalestrassi Paiva Ferreira (UNIFEI IEPG)1820 50 275 5 5550 60585 13 4540 50630 18 3530 40300 12 2520 3030 2 1510 20(Xi).(ni)ni(frequnciaabsoluta)xi (ponto mdio)x(Varivel)Classes (ou Categorias)EXEMPLO MDIA P/DADOS AGRUPADOS4 , 36501820.11= == ===Xnn xX Mdianiinii i44Estatstica AplicadaBalestrassi Paiva Ferreira (UNIFEI IEPG)Exemplo:Clculo damediana para a seguinte Distribuio de Frequncia1846 183436%18348%. .~. = x~x=1.837Medidas de PosioMediana para Classes45Estatstica AplicadaBalestrassi Paiva Ferreira (UNIFEI IEPG)10864210 203040 60xniConstruo da tabela de distribuio de freqncias a partir do histograma de classes desiguais. Exerccio: Complete a tabela.1 40 |-- 6030 |-- 4020 |-- 3010|-- 20finiXHistogramas46Estatstica AplicadaBalestrassi Paiva Ferreira (UNIFEI IEPG)Exerccio939393929190113 101 95 89 78109 101 94 87 7890908986106 100 85105 100 81103 100 79108 101 94 74Dados Agrupados!47Estatstica AplicadaBalestrassi Paiva Ferreira (UNIFEI IEPG)Exerccio92 79 75 71 67 65 61 58 50 4288 77 74 70 66 64 61 58 50 3786 77 74 70 66 64 61 57 50 3585 76 73 70 66 64 60 55 48 3485 76 73 69 66 63 60 54 48 3383 75 71 68 66 63 60 54 47 2381 75 71 67 66 62 60 53 45 1581 75 71 67 65 62 60 51 45 10Exerccio 2:48Estatstica AplicadaBalestrassi Paiva Ferreira (UNIFEI IEPG)3 7Processo AProcesso BTempo Total (A+B)?= 3s = 1X = 7s = 2X3 2 12.23 5 (2) (1) S S S2 2 2B2A B A= + = = + = + =+Correto; Some as varincias e depoisobtenha o DesvioPadroIncorreto; Soma de Normais49Estatstica AplicadaBalestrassi Paiva Ferreira (UNIFEI IEPG)-10 -50 510 15Linha ALinha BDiferena:Linha A Linha B?=3s=1X=7s =2X4 - 7 - 3 X - X XB A B A= = =1 2 12.23 5 (2) (1) S S S2 2 2B2A B A= = = + = + =CorretoIncorretoDiferena de Normais50Estatstica AplicadaBalestrassi Paiva Ferreira (UNIFEI IEPG)Representao Grfica:Ramo-e-folhasx x x x x x x x Folhas x x Ramosx 86 94 85 89 78 89 87 93 92 91 9094 90 95 101 101 101 100 100 100 103 10693 109 105 93 90 78 79 74 108 113 818 8 9 4 76 5 9 9 7 1 84 3 2 1 0 4 0 5 3 3 0 91 1 1 0 0 0 3 6 9 5 8 103 118 8 9 4 76 5 9 9 7 1 84 3 2 1 0 4 0 5 3 3 0 9-1 1 1 0 0 0 3 10-6 9 5 8 10+3 11Ex.:51Estatstica AplicadaBalestrassi Paiva Ferreira (UNIFEI IEPG)Stem-and-Leaf Display: folha_ramoStem-and-leaf of Ramo N= 33Leaf Unit = 1.01744788958110 856799(10) 9000123334413 9512 10000111351056891113Obtendo o seguinte Folha e Ramo.Compare os resultados fazendo um Histograma.O que representa tal coluna?Coluna folha_ramoRamo-e-folhas52Estatstica AplicadaBalestrassi Paiva Ferreira (UNIFEI IEPG)Exerccio no Minitab: Faa o grfico abaixo a partir dos dados seguintes.Plot53Estatstica AplicadaBalestrassi Paiva Ferreira (UNIFEI IEPG)Faa o grfico bidimensional a partir dos dados a seguir

54Estatstica AplicadaBalestrassi Paiva Ferreira (UNIFEI IEPG)

n Peso Altura n Peso Altura1 66 135 11 70 1252 71 170 12 68 1163 70 157 13 69 1454 70 130 14 69 1505 75 185 15 63 1126 61 140 16 68 1257 66 120 17 74 1908 68 130 18 69 1709 68 138 19 70 15510 63 121 20 72 21555Estatstica AplicadaBalestrassi Paiva Ferreira (UNIFEI IEPG) Os dados representam uma srie temporal Tal grfico til para ver a estabilidade de um processo. Control Chart Melhor!

Column=Tempo na filaSubgroup Size=1Runchart56Estatstica AplicadaBalestrassi Paiva Ferreira (UNIFEI IEPG)Identifica Diversos tipos de variaoA anlise de efeitos similar em DOEPermite identificar interaesNo o mesmo que Estatstica Multivariada15 18 2117,518,519,520,521,522,523,5TipoMetalFora0,5 1,0 2,0 TempoSinterUse osDados a seguir

:Response: Fora (y)Factor1: TempoSinter (x1)Factor2: TipoMetal (x2)Multi-Vari57Estatstica AplicadaBalestrassi Paiva Ferreira (UNIFEI IEPG)Multi-Varix1 x2 y x1 x2 y x1 x2 y0,5 15 23 1 15 22 2 15 180,5 15 20 1 15 20 2 15 180,5 15 21 1 15 19 2 15 160,5 18 22 1 18 24 2 18 210,5 18 19 1 18 25 2 18 230,5 18 20 1 18 22 2 18 200,5 21 19 1 21 20 2 21 200,5 21 18 1 21 19 2 21 220,5 21 21 1 21 22 2 21 24Nvel 0,5 Nvel 1,0 Nvel 2,058Estatstica AplicadaBalestrassi Paiva Ferreira (UNIFEI IEPG)2 - DISTRIBUIES DE PROBABILIDADE59Estatstica AplicadaBalestrassi Paiva Ferreira (UNIFEI IEPG)MotivaoO reconhecimento da importncia dos processos estocsticos;A considerao da Incerteza associada aos eventos;Exatido na modelagem matemtica;Correta determinao da probabilidade de ocorrncia dos fenmenos;A otimizao de processos industriais e de servios atravs de tcnicas de SIMULAO.60Estatstica AplicadaBalestrassi Paiva Ferreira (UNIFEI IEPG)DISTRIBUIES DE PROBABILIDADE61Estatstica AplicadaBalestrassi Paiva Ferreira (UNIFEI IEPG)( ) 0 x f( ) 1 = x f( )> = baa b dx x f b X a P ) ( ) (Algumas Distribuies Contnuas:NormalUniformeChi-square Fisher(F) Student(t)Beta Cauchy Exponential Gamma Laplace Logistic Lognormal Weibullf(x) => fdpFuno densidade de probabilidaderea da curva unitriaProbabilidade estassociada a reaDistribuies Contnuas de Probabilidade62Estatstica AplicadaBalestrassi Paiva Ferreira (UNIFEI IEPG)e)Mx f (x) ocorre em x = f)Os pont os de inflexo so x = g)E(X) = h)Var(X) = 2 f(x)x +a)f x dx ( )= 1 b)f (x) 0 c)lim ( ) lim ( )x xf x f x = = 0 0ed)f ( + x) = f ( - x) ( )22 121) (((

= xe x fDistribuio Normal63Estatstica AplicadaBalestrassi Paiva Ferreira (UNIFEI IEPG)(z)zx-3 -2 - ++2+3-3-2-101 2 3Distribuio Normal Reduzida ou Padronizada =xz) ; ( : N XZ: N(0; 1)Tal frmula est tabelada e fornece valores acumuladosQual o formato da curva acumulada?Distribuio NormalN(0,1) a distribuio Benchmark64Estatstica AplicadaBalestrassi Paiva Ferreira (UNIFEI IEPG)Distribuio Normal Padronizada65Estatstica AplicadaBalestrassi Paiva Ferreira (UNIFEI IEPG)Distribuio Normal Padronizada66Estatstica AplicadaBalestrassi Paiva Ferreira (UNIFEI IEPG)Distribuio NormalPouca Utilidade PrticaRetorna a probabilidade AcumuladaRetorna a Varivel quando dada a probabilidade acumuladaExemploX:N(100,5)P(Xk)=0,26b) P(X X P1) P(X = 0.0063)=0(Probabilidade est relacionado a rea!)2) P(X > 0.0067)TCL Exemplo - RespostasSuposies:1) Normalidade2) Desvio Padro da Amostra igual ao da Populao120Estatstica AplicadaBalestrassi Paiva Ferreira (UNIFEI IEPG)9000201 000618 0 0067 00067 0.. . e .== =nXz X0 0067 0 > ) . ( X P3) P(> 0.0067) XTCL Exemplo - RespostasMeanStandard Deviation=Erro PadroInput ConstantUsando o TCL121Estatstica AplicadaBalestrassi Paiva Ferreira (UNIFEI IEPG) zX-1.960 1.960.025 0.0250.95Consideremos uma populao normal com mdia , desvio padro e uma amostra dessa populao. nu X~ N : (0,1) Pelos resultados do Teorema do Limite CentralFixando em 0.05, ou seja, 1- =0.95, 95 . 0 ) 96 . 1 96 . 1 ( = < < Z P%) 95 : ( IC = ... para Sigma conhecido122Estatstica AplicadaBalestrassi Paiva Ferreira (UNIFEI IEPG)Populao normal com mdia e desvio padro nu X~ N : (0,1) Pelos resultados do TLC: : Nvel de significncia1- : Nvel de confiana95 . 0 ) 96 . 1 96 . 1 ( = < < Z P95 . 0 96 . 1 96 . 1 =((

0 10 0: H: H = Teste de Hiptese para Mdias Uma amostraT.U.EBilateralT.U.DnXZ/00 =n SXT/0 =Teste Z: Teste T:1Ze 1t153Estatstica AplicadaBalestrassi Paiva Ferreira (UNIFEI IEPG)Ex. 9.1: (Newbold et al., 2003)The production manager of a company has askedyou to evaluate a proposed new procedure for producing its double-hung windows. The presentprocess has a mean production of 80 units per hour with a population standard deviation of 8 units. The manager indicates that she does notwant to change to a new procedure unless there is strong evidence that the mean production level is higher with the new process. A random sample of 25 units revealed the sample mean was 83. Basedon this sample, is there strong evidence to support the conclusion thatthe new process resulted in higher productivity?154Estatstica AplicadaBalestrassi Paiva Ferreira (UNIFEI IEPG)Ex. 9.1: (Newbold et al., 2003)nXZ0=>80 :80 :10HH155Estatstica AplicadaBalestrassi Paiva Ferreira (UNIFEI IEPG)P-Value a rea ou probabilidade que fica acima (ou abaixo) do valor obtido experimentalmente.QuantomenoroP-Value,menorserachancedese cometerumerrodo tipo 1! P-Value = P(1-)P-Value156Estatstica AplicadaBalestrassi Paiva Ferreira (UNIFEI IEPG)AlfaPvalue= [1- F(z)]157Estatstica AplicadaBalestrassi Paiva Ferreira (UNIFEI IEPG)Teste Unilateral EsquerdoTeste Unilateral DireitoTeste Bilateral/2A1 A2A1A2A2A1P-Value = A1Aceita-se HoP-Value = A2Rejeita-se HoP-Value = A1Aceita-se HoP-Value = A2Rejeita-se HoP-Value = A1+A2Unilateral e BilateralPv= 2[1- F(z)]Pv=F(z)158Estatstica AplicadaBalestrassi Paiva Ferreira (UNIFEI IEPG)Exemplo 9.3: (Newbold et al., 2003)A manufacturing process involves drilling holeswhose diameters are normally distributed withpopulation mean of 2 inches and populationstandard deviation 0.06 inches. A random sampleof 9 measurements had a sample mean of 1.95 inches. Use a significance level of 5% to determine if the observed sample mean is unusualand suggests that the drilling machine should beadjusted. nXZ0==2 :2 :10HH159Estatstica AplicadaBalestrassi Paiva Ferreira (UNIFEI IEPG)Question 1:Acompanywhichreceivesshipmentsofbatteries testsarandomsampleofnineofthembefore agreeingtotakeashipment.Thecompanyis concernedthatthetruemeanlifetimeforall batteriesintheshipmentshouldbeatleast50 hours. From past experience, it is safe to conclude thatthepopulationdistributionoflifetimesis normal,withstandarddeviationof3hours.For oneparticularshipment,themeanlifetimefora sampleofninebatterieswas48.2hours.Testat 5%levelthenullhypothesisthatthepopulation mean lifetime is at least 50 hours.EXERCCIOS160Estatstica AplicadaBalestrassi Paiva Ferreira (UNIFEI IEPG)Question 2:Anengineeringresearchcenterclaimsthatthroughtheuseofa newcomputercontrolsystem,automobilesshouldachieveon average an additional 3 miles per gallon of gas. A random sampleof 100 automobiles was used to evaluate this product. The samplemeanincreaseinmilespergallonachievedwas2.4andthe sample standard deviation was 1.8 miles per gallon. EXERCCIOSTestthehypothesisthatthepopulation mean is at least 3 miles per gallon using 5% significance level. Find the P-value of this test, and interpret your findings.161Estatstica AplicadaBalestrassi Paiva Ferreira (UNIFEI IEPG)Question 3:Abeerdistributorclaimsthatanew display,featuringalife-sizepictureofa well-knownrocksinger,willincrease productsalesinsupermarketsbyan averageof50casesinaweek.Fora random sample of 20 liquorweekly sales, theaveragesalesincreasewas41.3 casesandthesamplestandarddeviation was12.2cases.Testatthe5%levelthe hypothesis that the population mean sales increase is at least 50 cases.EXERCCIOS162Estatstica AplicadaBalestrassi Paiva Ferreira (UNIFEI IEPG)Question 4:In contract negotiations, a company claims that a new incentive scheme has resulted in average weekly earning of at least $400 for all customer service workers. A union representative takes a random sample of 15 workers and finds that their weekly earnings have an average of $381.25 and a standard deviation of $48.60. Assume a normal distribution.a) Test the companys claim;b) If the same sample results had been obtained from a random sample of 50 employees, could the companys claim be rejected at a lower significance level than in part (a)?EXERCCIOS163Estatstica AplicadaBalestrassi Paiva Ferreira (UNIFEI IEPG)Question 5:Abearingusedinanautomotiveapplicationissupposedtohavea nominal inside diameter of 1.5 inches. A random sample of 25 bearings is selected and the average inside diameter of these bearing is 1.4975 inches.Bearingdiameterisknowntobenormallydistributedwith standard deviation 0.01 inch. Test the null hypothesis using a two-sided approach and considering.EXERCCIOS164Estatstica AplicadaBalestrassi Paiva Ferreira (UNIFEI IEPG)Question 6:Aprocessthatproducesbottlesof shampoo,whenoperatingcorrectly, producesbottleswhosecontents weigh,onaverage,20ounces.A randomsampleofninebottlesfroma singleproductionrunyieldedthe following content weights (in ounces):EXERCCIOS21,419,719,7 20,620,820,119,720,320,9.Assuming that the population distribution is normal, test at the5%levelagainstatwo-sidedalternativethenull hypothesis that the process is operating correctly.165Estatstica AplicadaBalestrassi Paiva Ferreira (UNIFEI IEPG)A Resistncia ao Estufamento das latas para a inspeo final deve ser maior que 90 psi. Tal resistncia obedece a uma distribuio normal com desvio padro de 1 psi . As medidas da Resistncia para uma determinada linha/turno esto dadas na planilha Resistncia.MTWTeste a Hiptese de que as medidas da Resistncia ao Estufamento esto dentro do limite de especificao. (Prove que as medidas so maiores que 90)Gere: N(91; 0.83)Exemplo 1Z166Estatstica AplicadaBalestrassi Paiva Ferreira (UNIFEI IEPG) Selecione ResistenciaSigma=1 (isso geralmente no fornecido)Test mean= 90

Alternative= Greater than

Individual plot167Estatstica AplicadaBalestrassi Paiva Ferreira (UNIFEI IEPG)One-Sample Z: ResistenciaTest of mu = 90 vs mu > 90The assumed sigma = 1Variable NMean StDev SE MeanResistencia 1591,111 0,834 0,258Variable 95,0% Lower Bound ZPResistencia 90,686 4,300,000H0 H1Rejeita-se H0Regio CrticaValor dentro da Regio CrticaUma boa regra: Se P-Value < , rejeita-se Ho168Estatstica AplicadaBalestrassi Paiva Ferreira (UNIFEI IEPG)AespecificaodaLarguradaFlangedas latasparaainspeofinal definidacomo 0.082+/- 0.010 eobedeceauma distribuionormal.AsmedidasdaLargura daFlangeparaumadeterminadalinha/turno esto dadas na planilha.TesteaHiptesedequeasmedidasda LarguradaFlangeestodentrodolimitede especificao. (Prove que os valores so em mdiamaioresque0,072 emenoresque 0,092)Teste de mdia t para 1 amostraExemplo 1tflange.MTW169Estatstica AplicadaBalestrassi Paiva Ferreira (UNIFEI IEPG) Selecione Largura FlangeTest mean= 0,092

Alternative= Less than

Histogram of data Selecione Largura FlangeTest mean= 0,072

Alternative= Greater than

Histogram of dataTeste 1 (Para provar que os valores so menores que 0,092)Teste 2 (Para provar que os valores so maiores que 0,072)170Estatstica AplicadaBalestrassi Paiva Ferreira (UNIFEI IEPG)2 1 12 1 0:: HH2 1 12 1 0:: =HHTeste de Hiptese para Mdias Duas amostrasT.U.E Bilateral T.U.D( )2221212 1 2 10n nX XZ + =Varincias Conhecidas( )2 12 1 2 11 1 1n n SX XTp+ = Varincias Desconhecidas2Ze2t171Estatstica AplicadaBalestrassi Paiva Ferreira (UNIFEI IEPG)Estimador Combinado( ) ( )( ) ( ) 1 11 12 122 221 12 + + =n nS n S nSp: :::2 12221n nS SVarincia Amostral Grupo 1 Varincia Amostral Grupo 2Tamanho do Grupo 1 Tamanho do Grupo 22t Clculo da Varincia172Estatstica AplicadaBalestrassi Paiva Ferreira (UNIFEI IEPG)2212122120:: HH2212122120:: =HH173Estatstica AplicadaBalestrassi Paiva Ferreira (UNIFEI IEPG)ExemploDoistiposdeBicodeAplicaode verniz (Tipo I e Tipo II) foram avaliados. Deseja-seinvestigaroefeitodesses doisBicoscomrelaoaoPesodo Verniz(emmg)medidoapso processo.Taismedidassodadasna planilha ao lado.Asvarinciassoiguais?(Testea Hiptesenuladequeosdoisbicos produzemumpesodeVernizcom mesma varincia.)Peso_Verniz.MTW174Estatstica AplicadaBalestrassi Paiva Ferreira (UNIFEI IEPG)Obs.: Teste o Procedimento Stack ColumnsPara usar Samples in one column Selecione Samples in different columnsFirst= Verniz_tipo1Second= Verniz_tipo2175Estatstica AplicadaBalestrassi Paiva Ferreira (UNIFEI IEPG)95% Bonferroni Confidence Intervals for StDevsVerniz_tipo2Verniz_tipo11,2 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2DataVerniz_tipo2Verniz_tipo1112,5 112,0 111,5 111,0 110,5 110,0F-Test0,236Test Statistic 2,74P-Value 0,150Levene's TestTest Statistic 1,51P-ValueTest for Equal Variances for Verniz_tipo1; Verniz_tipo2Prefira sempre, pois independe da distribuio dos dados.As varincias so iguais!Levines Test176Estatstica AplicadaBalestrassi Paiva Ferreira (UNIFEI IEPG)Bonferroni confidence intervals for standard deviationsLower Sigma Upper NFactor Levels0.3585640.548160 1.1038010Verniz_tipo10.2167130.331303 0.6671310Verniz_tipo2F-Test (normal distribution)Test Statistic: 2.738P-Value : 0.150Levene's Test (any continuous distribution)Test Statistic: 1.505P-Value : 0.236(varincias iguais)Aps empilhamento dos dados faa: Esse mtodo melhor, pois pode testar mais que dois conjuntos de dados.Test for Equal Variances177Estatstica AplicadaBalestrassi Paiva Ferreira (UNIFEI IEPG)Exemplo: Em relao ao problema anterior, teste se as mdias so diferentes. (Peso_Verniz.MTW) Selecione Samples in different columnsFirst= Verniz_tipo1Second= Verniz_tipo2Selecione: Assume equal variances

Test mean= 0Alternative= not equal

Selecione Boxplots of data178Estatstica AplicadaBalestrassi Paiva Ferreira (UNIFEI IEPG)Two-Sample T-Test and CI: Verniz_tipo1, Verniz_tipo2Two-sample T for Verniz_tipo1 vs Verniz_tipo2NMean StDev SE MeanVerniz_t 10 110.792 0.5480.17Verniz_t 10 112.205 0.3310.10Difference = mu Verniz_tipo1 - mu Verniz_tipo2Estimate for difference:-1.41395% CI for difference: (-1.838, -0.987)T-Test of difference = 0 (vs not =): T-Value = -6.97P-Value = 0.000 DF = 18 Both use Pooled StDev = 0.453Mdias diferentes179Estatstica AplicadaBalestrassi Paiva Ferreira (UNIFEI IEPG)DataVerniz_tipo2 Verniz_tipo1112,5112,0111,5111,0110,5110,0Boxplot of Verniz_tipo1; Verniz_tipo2180Estatstica AplicadaBalestrassi Paiva Ferreira (UNIFEI IEPG)Observaes Emparelhadas0 :0 :2 1 0 12 1 0 0 = = = HH0 :0 :2 1 0 12 1 0 0< = = HH0 :0 :2 1 0 12 1 0 0> = = HHn SDTD/00 =Diferena Amostral MdiaDesvio Padro das diferenas entre 1 e 2Paired t181Estatstica AplicadaBalestrassi Paiva Ferreira (UNIFEI IEPG) Consiste em dois testes (um antes e outro depois) com a mesma unidade experimental (amostra).Ex.: O peso de pessoas antes e depois de um tratamento. Em geral, as unidades experimentais so heterogneas ( grande) e exibem alta correlao positiva.Paired t - Caractersticas182Estatstica AplicadaBalestrassi Paiva Ferreira (UNIFEI IEPG)Suspeita-sequedois funcionriosesto monitorando o manmetro deumprocessodeuma formadesigual.Para diferentespressesforam lidas(deumaforma emparelhada)os resultadosdaplanilhaao lado.TesteaHiptesedequeosdoisoperadorestemomesmo desempenho.Exemplo - Paired tOper_Pressao.MTW183Estatstica AplicadaBalestrassi Paiva Ferreira (UNIFEI IEPG)Paired t Selecione Samples in columnsFirst sample= Operador 1Second sample= Operador 2

Test mean= 0Alternative= not equal

Individual value plot184Estatstica AplicadaBalestrassi Paiva Ferreira (UNIFEI IEPG)Paired T-Test and CI: Operador 1, Operador 2Paired T for Operador 1 - Operador 2NMean StDev SE MeanOperador 1 10 194 428 135Operador 2 10 196 428 135Difference 10-2.400 1.075 0.34095% CI for mean difference: (-3.169, -1.631)T-Test of mean difference = 0 (vs not = 0): T-Value= -7.06P-Value = 0.000Mdias diferentes185Estatstica AplicadaBalestrassi Paiva Ferreira (UNIFEI IEPG)TH - Propores0 10 0: H: H < 0 10 0: H: H > 0 10 0: H: H = Onde: a proporo populacional e 0 uma constanteT.U.E Bilateral T.U.DT.U.E T.U.D Bilateral2 1 12 1 0: H: H < 2 1 12 1 0: H: H > 2 1 12 1 0: H: H = 186Estatstica AplicadaBalestrassi Paiva Ferreira (UNIFEI IEPG)Em uma indstria de autopeas, historicamente 3,5% das peasproduzidascontmalgumtipono-conformidade. Umaequipeest trabalhandonareduodesta incidncia de defeitos e, no ltimo ms, foram produzidas 1500 peas e somente 45 estavam fora da especificao. A equipe obteve melhoria no desempenho ?035 , 0 :035 , 0 :10alternative: < less than >% 0 , 3150045= = p0188Estatstica AplicadaBalestrassi Paiva Ferreira (UNIFEI IEPG)Umaequipedesejaaumentaraporcentagem(ou proporo) de pedidos aceitos pelos clientes.Aequipeacreditateridentificadoumadas causasde perdasdepedidosque oprazoelevadoparaenvio dacotaoaocliente.Conseguiramreduzireste tempo e os resultados das ltimas 10 semanas esto so fornecidos: - Antes: 11 pedidos aceitos em 43;- Depois: 14 pedidos aceitos em 30.-Qual a concluso ?189Estatstica AplicadaBalestrassi Paiva Ferreira (UNIFEI IEPG) Selecione: Dados resumidosFirst= antesSecond= depoisOptionstest difference: < 0 >alternative: < less than >2 Proportions190Estatstica AplicadaBalestrassi Paiva Ferreira (UNIFEI IEPG)Test and CI for Two Proportions: antes; depoisSuccess = sVariable XNSample pantes11 430,255814depois 14 300,466667Estimate for p(antes) - p(depois):-0,21085395% upper bound for p(antes) - p(depois):-0,0253151Test for p(antes) - p(depois) = 0 (vs < 0):Z = -1,87P-Value = 0,031Rejeita-se H0191Estatstica AplicadaBalestrassi Paiva Ferreira (UNIFEI IEPG)Tamanho de Amostras em Testes de HiptesesPower Sample SizeFatores determinantes do Tamanho da Amostra (n)Fonte Efeito sobre n1 Desvio Padro dos dados Deve ser estimado.Quando o Desvio Padrodiminui, n diminui.2 Nvel de Significncia () Em geral, 0.05. Se diminui, n cresce.3Diferena a ser detectada(d)Voc decide o tamanhoadequado.Quanto menor for a diferena desejada, maiorn.4Poder do Teste: (1-) Probabilidade de detectaruma diferena quando elarealmente existir.Usualmente, 90%Se o poder do testecresce, n cresce.192Estatstica AplicadaBalestrassi Paiva Ferreira (UNIFEI IEPG)ExemploUma equipe demelhoria desenvolveu umnovo procedimento de manuteno. Espera-se que o tempo de manuteno diminua comautilizao donovo procedimento.Paraidentificar seasmudanas forameficazes,aequipe decidecoletar amostras dosdoisprocessos: o novo e o antigo.193Estatstica AplicadaBalestrassi Paiva Ferreira (UNIFEI IEPG)Questo 1: Qual o teste de Hipteses adequado paraesta situao? 2 Sample-t (mdia de dois grupos)Questo 2: Que Informaes so necessrias para se determinar o tamanho de amostra necessria ao teste? Uma estimativa do desvio padro do tempo de manuteno; A diferena que deve ser detectada entre ostempos mdios dos dois processos; A probabilidade de detectar esta diferena(Geralmente 90%); O nvel de significncia desejado (Geralmente5%);Questionamentos194Estatstica AplicadaBalestrassi Paiva Ferreira (UNIFEI IEPG)Questo 3:Que suposies a equipe est fazendo? Que o processo estvel; Que os dados so Normais.Questo 4:Como estas suposies podem ser verificadas? Carta de Controle; Teste de Normalidade.195Estatstica AplicadaBalestrassi Paiva Ferreira (UNIFEI IEPG)0 10 20 30 405060708090100110120Time (minutes)X=87UCL=118LCL=56Examinando-se a carta de controle, verifica-se:O processo estvel e a mdia atual 87 minutosExemplo Verificao196Estatstica AplicadaBalestrassi Paiva Ferreira (UNIFEI IEPG)0 10 20 30 405060708090100110120Time (minutes)X=87UCL=118LCL=5610.3656 18 1 6LCL UCL==10.3656 18 1 6LCL UCL==10.1387 18 1 3Avg UCL==10.1387 18 1 3Avg UCL==Portanto, pode-se adotar um desvio padro de 10.197Estatstica AplicadaBalestrassi Paiva Ferreira (UNIFEI IEPG)Se a equipe deseja provar que o tempo mdio de manuteno utilizando-se o novo procedimento de 75 minutos, e se considerarem a probabilidade de 90% de chance de deteco desta diferena (12 minutos), com um nvel de significncia de 0,05, qual ser o tamanho da amostra necessria?198Estatstica AplicadaBalestrassi Paiva Ferreira (UNIFEI IEPG) Differences= 12Power values= 0,9Sigma= 10

Selecione Not equal como Alternative Hypothesis199Estatstica AplicadaBalestrassi Paiva Ferreira (UNIFEI IEPG)2-Sample t TestTesting mean 1 = mean 2 (versus not =)Calculating power for mean 1 = mean 2 + differenceAlpha = 0,05Sigma = 10Sample Target ActualDifference Size Power Power12160,90000,9072Tamanho de amostra necessria.Estatstica AplicadaBalestrassi Paiva Ferreira (UNIFEI IEPG)5 ANLISE DE VARINCIA (ANOVA)201Estatstica AplicadaBalestrassi Paiva Ferreira (UNIFEI IEPG) As bases da Anlise de Varincia Um fator (One-way) Dois fatores (Two-way) Anlise de Mdias (ANOM) Balanced ANOVAANOVA um Teste para Comparar Mdias(O nome enganoso!)ANOVA Anlise de Varincia202Estatstica AplicadaBalestrassi Paiva Ferreira (UNIFEI IEPG)Entendendo o significado da ANOVA...ANOVA - Visualmente203Estatstica AplicadaBalestrassi Paiva Ferreira (UNIFEI IEPG)8 7 6 Mdias40 35 30 Somatrio10 6 87 11 78 8 65 1 410 9 5C B ARespostaTratamentosAs mdias so realmente diferentesou tudo no passa de casualidade?negado servai sinais dos um menos Pelo ::10== =HHC B A As Bases da ANOVA204Estatstica AplicadaBalestrassi Paiva Ferreira (UNIFEI IEPG)Passo 1: Clculo da Variao Total96 0 1059 3 100 0 7Etc Etc. Etc.9 4-7=-3 44 5-7=-2 5iXi ix X X = 2ix(A, B e C)VT - Variao TotalComo VT>0 razovel imaginar que ela se compe de variaes que ocorrem Dentro dos Grupos (VD - Within) e Entre os tratamentos (VE - Between)Foram considerados 15 observaes: Glib=14Mdia geralAlgoritmo: Variao Total205Estatstica AplicadaBalestrassi Paiva Ferreira (UNIFEI IEPG)104 2 81 1 70 0 64 -2 41 5-6=-1 5Passo 2: Clculo da Variao Dentro do Grupo - WithinA AX X 2) (A AX X AX2) (B BX X 2) (C CX X 58 18VD=10+58+18=86Foram considerados 5 observaes em cada caso: Glib=12Algoritmo: Variao Within206Estatstica AplicadaBalestrassi Paiva Ferreira (UNIFEI IEPG)51 -1 61 -1 61 -1 61 -1 61 -1 6Passo 3: Clculo da Variao Entre Tratamentos (Between)X XA 2) ( X XA AX0 5VE=5+0+5=102) ( X XB 2) ( X XC Foram considerados 3 observaes : Glib=2Algoritmo: Variao Between207Estatstica AplicadaBalestrassi Paiva Ferreira (UNIFEI IEPG)VT=VD+VE ! 96=86+10Graus de Liberdade:A VT possui (15-1)=14 GLIB(3 Tratamentos) (5 Observ/Trat)A VD possui (5-1)(3)=12 GLIB(5 Observ/Amostra)(3 Amostras)A VE possui (3-1)=2 GLIB(3 Tratamentos -1)10 6 87 11 78 8 65 1 410 9 5C B AGLIBVT=GLIBVD+GLIBVE ! 14=12+02Algoritmo: Graus de Liberdade208Estatstica AplicadaBalestrassi Paiva Ferreira (UNIFEI IEPG)VT=VD+VE ! 96=86+10GLIBVT=GLIBVD+GLIBVE ! 14=12+02VD/GLIBVD=86/12 = 7,17VE/GLIBVE=10/2 = 5Estimativas de Varincias:F0=5/7,17=0,70Fcrtico=3,89 (em funo dos GLIBVE GLIBVD e alfa=5%F0