Estatística

Aula 07

Medidas de posição - Média

Prof. Diovani Milhorim

Medidas de posição

O estudo que fizemos sobre distribuições de freqüência, até agora, permite-nos descrever, de modo geral, os grupos de valores que uma variável pode assumir. Dessa forma, podemos localizar a maior concentração de valores de uma dada distribuição, isto é, se ela se localiza no início, no meio ou no final, ou, ainda, e há uma distribuição por igual.

Medidas de posição

Para ressaltar as tendências características de cada distribuição necessitamos de conceitos que se expressem através de números, que permitam traduzir essas tendências. Esses conceitos são denominados elementos típicos da distribuição e são:

medidas de posição; medidas de variabilidade ou dispersão; medidas de assimetria; medidas de curtose.

Medidas de posição

As medidas de posição mais importantes são as medidas de tendência central, que recebem tal denominação pelo fato de os da dos observados tenderem, em geral, a se agrupara em torno dos valores centrais. Dentre as medidas de tendência central, destacamos:a média aritmética;a mediana;a moda.

Medidas de posição

As outras medidas de posição são as separatrizes, que englobam:

a própria mediana;os quartis;os percentis.

Medidas de posição

Média aritmética

Média aritmética é o quociente da divisão da soma dos valores da variável pelo número deles:

Sendo:

x – a média aritmética

xi – os valores da variável

n – o número de valores.

Medidas de posição

Média aritmética

Dados não agrupados:

Quando desejamos conhecer a média dos dados não-grupados, determinamos a média aritmética simples.

Medidas de posição

Média aritmética

Dados não agrupados:

Exemplo:

Sabendo-se que a produção leiteira diária da vaca A, durante uma semana, foi de 10, 14, 13, 15, 16, 18 e 12 litros, temos, para produção média da semana:

x = 10 + 14 + 13 + 15 + 16 + 18 + 12 / 7 98/7 x = 14 litros

 

Medidas de posição

Média aritmética

Dados não agrupados:

Às vezes, a média pode ser um número diferente de todos os da série de dados que ela representa. Neste caso, costumamos dizer que a média não tem existência concreta.

No exemplo anterior o valor 14 não faz parte do rol original de dados.

 

Medidas de posição

Média aritmética

Desvios em relação à média:

Denominamos desvio em ralação à média a diferença entre cada elemento de um conjunto de valores e a média aritmética.

 

Designando o desvio por di, temos: di = xi - x

Medidas de posição

Média aritmética

Desvios em relação à média:Para o exemplo dado, temos:

d1 = x1 – x d1 = 10 – 14 - 4

d2 = x2 – x d2 = 14 – 14 0

d3 = x3 – x d3 = 13 – 14 - 1

d4 = x4 – x d4 = 15 – 14 1

d5 = x5 – x d5 = 16 – 14 2

d6 = x6 – x d6 = 18 – 14 4

d7 = x7 – x d7 = 12 – 14 - 2

Medidas de posição

Média aritmética

Propriedades da média:

1ª Propriedade:

A soma algébrica dos desvios tomados em relação à média é nula.

Medidas de posição

Média aritmética

Propriedades da média:

1ª Propriedade:

No exemplo anterior temos:7

∑ di = (-4) + 0 + (-1) + 1 + 2 + 4 + (-2) = (-7) + 7 = 0i-1

Medidas de posição

Média aritmética

Propriedades da média:

2ª Propriedade:Somando-se (ou subtraindo-se) uma constante (c) a todos os valores de uma variável, a média do conjunto fica aumentada (ou diminuída) dessa constante.

Medidas de posição

Média aritmética

Propriedades da média:

2ª Propriedade:Somando 2 a cada um dos valores da variável do exemplo dado temos:

y1 = 12, y2 =16, y3 = 15, y4 = 17, y5 = 18, y6 = 20, y7 = 14

7

∑ yi = 12 + 16 + 15 + 17 + 18 + 20 + 14 = 112i=1

Como n = 7, vem: y = 112 / 7 = 16 16 = 14 + 2

Medidas de posição

Média aritmética

Propriedades da média:

3ª Propriedade:Multiplicando-se (ou dividindo-se) todos os valores de uma variável por uma constante (c). a média do conjunto fica multiplicada (ou dividida) por essa constante.

Medidas de posição

Média aritmética

Propriedades da média:

3ª Propriedade:Multiplicando por 3 cada um dos valores da variável do exemplo dado, obtemos:

 y1 = 30, y2 = 42, y3 = 39, y4 = 45, y5 = 48, y6 = 54 e y7 = 36

7

∑ yi = 30 + 42 + 39 + 45 + 48 + 54 + 36 = 294i=1

n = 7, temos: y =294 / 7 = 42 42 = 14 . 3 y = x . 3

Medidas de posição

Média aritmética

Dados agrupados: (Sem intervalos de classe):

Consideremos a distribuição relativa a 34 famílias de quatro filhos, tomando para variável o número de filhos do sexo masculino:

Medidas de posição

Média aritmética

Dados agrupados: (Sem intervalos de classe):

Neste caso, como as freqüências são números indicadores da intensidade de cada valor da variável, elas funcionam como fatores de ponderação, o que nos leva a calcular a média aritmética ponderada, dada pela fórmula:

Medidas de posição

Média aritmética

Dados agrupados: (Sem intervalos de classe):

O modo mais prático de obtenção da média ponderada é abrir, na tabela, uma coluna correspondente aos produtos xifi;

 

Medidas de posição

Média aritmética

Dados agrupados: (Sem intervalos de classe):

Na tabela anterior:

Temos, então: ∑ xifi = 78 e ∑ fi = 34

 

Logo: x = ∑ xifi / ∑ fi x = 78 / 34 = 2,29 x = 2,3

 

Isto é: x = 2,3 meninos

 

Medidas de posição

Média aritmética

Dados agrupados: (Sem intervalos de classe):

Aplicação prática:

1) Complete o esquema para o cálculo da média aritmética da distribuição (calcule a média)

 

 

Medidas de posição

Média aritmética

Com intervalos de classe:

Neste caso, convencionamos que todos os valores incluídos em um determinado intervalo de classe coincidem com seu ponto médio, e determinamos a média aritmética ponderada por meio da fórmula:

x = ∑ xifi / ∑ fi,

onde xi é o ponto médio da classe.

 

Medidas de posição

Média aritmética

Com intervalos de classe:

Exemplo: Consideremos a distribuição:

Medidas de posição

Média aritmética

Com intervalos de classe:

Exemplo: na tabela anteriorComo, neste caso:

 

∑ xifi = 6.440, ∑ fi = 40 e x = ∑ xifi / ∑ fi,

então: x = 6.440 / 40 x = 161 x = 161 cm

Medidas de posição

Média aritmética

Com intervalos de classe:Exercício:

 

1) Complete o esquema e calcule a média aritmética da distribuição de freqüência:

Custos(R$)│ 450 ├ 550 ├ 650 ├ 750 ├ 850 ├ 950 ├ 1.050 ├ 1.150

fi │ 8 10 11 16 13 5 1

Medidas de posição

Média aritmética

Emprego da Média:

 

A média é utilizada quando:

a)desejamos obter a medida de posição que possui a maior estabilidade;

a)houver necessidade de um tratamento algébrico posterior.