ESTATÍSTICA BÁSICA - Distribuição Amostral da Proporção · Distribui˘c~oes Amostral da Propor˘c~ao Seja uma popula˘c~ao em que a propor˘c~ao de elementos portadores de certa

ESTATISTICA BASICADistribuicao Amostral da Proporcao

Tiago Viana Flor de Santanawww.uel.br/pessoal/tiagodesantana/

[email protected] – sala 07

Curso: MATEMATICA

Universidade Estadual de Londrina – UELDepartamento de Estatıstica – DSTA

Distribuicoes Amostral da Proporcao

Seja uma populacao em que a proporcao de elementos portadores de certacaracterıstica e p.

Exemplos:

1 Em um lote de pecas a proporcao de pecas defeituosas e p = 20%;

2 A proporcao de eleitores de uma cidade que voltam no candidato A ep = 49, 5%.

Santana,T.V.F. (UEL/DSTA) ESTATISTICA 2 / 13


Em todos esses casos e possıvel definir uma v.a. X tal que:

X =

{1 , se o elemento apresentar a caracterıstica;0 , caso contrario.

em que, sorteando um elemento da populacao a probabilidade de que eleapresente a caracterıstica e:

P(X = 1) = p

e por extensao, a probabilidade de sortear um indivıduo que nao apresentea caracterıstica e:

P(X = 0) = 1− p .



A v.a. X assim definida caracteriza uma distribuicao de Bernoulli comparametro p, ou seja

X ∼ Bernoulli(p) ,

com media e variancia

E (X ) = p e Var(X ) = p(1− p)

ou de forma equivalente

µ = p e σ2 = p(1− p)



Retirada uma AAS dessa populacao,

(X1, X2, . . . , Xn )

a media amostral para essa amostra e expressa por

X =

∑ni=1 Xi

n

Note que a soma no numerador da expressao acima assume valoresinteiros, ou seja

n∑i=1

Xi ∈ {0, 1, 2, ..., n} .

Portanto, X expressa a proporcao de indivıduos com a caracterısticade interesse na amostra.



Retirada uma AAS dessa populacao,

(X1, X2, . . . , Xn )

a media amostral para essa amostra e expressa por

X =

∑ni=1 Xi

n

Note que a soma no numerador da expressao acima assume valoresinteiros, ou seja

n∑i=1

Xi ∈ {0, 1, 2, ..., n} .

Portanto, X expressa a proporcao de indivıduos com a caracterısticade interesse na amostra.



Pelo TLC, tem-se que

X ∼ Normal

(µ,σ2

n

)se n→∞ ,

como X ∼ Bernoulli(p) entao

µ = p e σ2 = p(1− p)



Pelo TLC, tem-se que

X ∼ Normal

(µ,σ2

n

)se n→∞ ,

como X ∼ Bernoulli(p) entao

µ = p e σ2 = p(1− p)



Portanto,

X ∼ Normal

(p,

p(1− p)

n

)se n→∞ ,

pois X ∼ Bernoulli(p).

Representando X por P a proporcao amostral, tem-se que

P ∼ Normal

(p,

p(1− p)

n

)se n→∞ .



Portanto,

X ∼ Normal

(p,

p(1− p)

n

)se n→∞ ,

pois X ∼ Bernoulli(p).

Representando X por P a proporcao amostral, tem-se que

P ∼ Normal

(p,

p(1− p)

n

)se n→∞ .



Assim a proporcao amostral P tem distribuicao Normal para amostras gran-des (n→∞).

P ∼ Normal

(p,

p(1− p)

n

)se n→∞ .



Exemplo 10.12

Suponha que p = 30% dos estudantes de uma escola sejam mulheres.

Retira-se uma AAS de n = 10 estudantes e calcula-se P = proporcao demulheres na amostra.

a. Qual a distribuicao de P;

Resp.: P ∼ Normal(0, 3 ; 0, 0210).

b. Qual a probabilidade da proporcao amostral estar entre 25% e 30%?Resp.: P(0, 25 < P < 0, 30) = P(0 < Z < 0, 34) = 0, 13307.

c. Qual a probabilidade de que P difira de p em menos de 0,01?Resp.: P(|P − p| < 0, 01) = P(−0, 01 < P − p < 0, 01) = P(−0, 07 < Z < 0, 07) = 0, 056.



Exemplo 10.12



a. Qual a distribuicao de P;Resp.: P ∼ Normal(0, 3 ; 0, 0210).





Exemplo 10.12




b. Qual a probabilidade da proporcao amostral estar entre 25% e 30%?

Resp.: P(0, 25 < P < 0, 30) = P(0 < Z < 0, 34) = 0, 13307.




Exemplo 10.12








Exemplo 10.12





c. Qual a probabilidade de que P difira de p em menos de 0,01?

Resp.: P(|P − p| < 0, 01) = P(−0, 01 < P − p < 0, 01) = P(−0, 07 < Z < 0, 07) = 0, 056.



Exemplo 10.12







Exercıcios

Exercıcio 1

Um procedimento de controle de qualidade foi planejado para garantir ummaximo de 10% de itens defeituosos na producao.

A cada 6 horas sorteia-se uma amostra de 20 pecas e, havendo mais de 15%de defeituosas, encerra-se a producao para verificacao do processo.

Qual a probabilidade de uma parada desnecessaria?

Resp. 0,23%.


Exercıcios

Exercıcio 1

Um procedimento de controle de qualidade foi planejado para garantir ummaximo de 10% de itens defeituosos na producao.

A cada 6 horas sorteia-se uma amostra de 20 pecas e, havendo mais de 15%de defeituosas, encerra-se a producao para verificacao do processo.

Qual a probabilidade de uma parada desnecessaria?Resp. 0,23%.


Exercıcios

Exercıcio 2

Supondo que a producao do exemplo anterior esteja sob controle, isto e,p = 10%.

E que os itens sejam vendidos em caixas com 100 unidades.

Qual a probabilidade de que uma caixa:

a) tenha mais do que 10% de defeituosos?

b) nao tenha itens defeituosos?

Resp. a) 0,5 b) 0,0.


Exercıcios

Exercıcio 2

Supondo que a producao do exemplo anterior esteja sob controle, isto e,p = 10%.

E que os itens sejam vendidos em caixas com 100 unidades.

Qual a probabilidade de que uma caixa:

a) tenha mais do que 10% de defeituosos?

b) nao tenha itens defeituosos?

Resp. a) 0,5 b) 0,0.


Exercıcios

Exercıcio 3

Um professor da um teste rapido, constante de 20 questoes do tipo certo-errado.

Para testar a hipotese de o estudante estar adivinhando a resposta, ele adotaa seguinte regra de decisao:

“Se 13 ou mais questoes estiverem corretas, ele nao esta adivinhando”.

Qual a probabilidade do professor rejeitar a hipotese, sendo que na realidadeela e verdadeira?

Resp. 0,34%.


Exercıcios

Exercıcio 3

Um professor da um teste rapido, constante de 20 questoes do tipo certo-errado.

Para testar a hipotese de o estudante estar adivinhando a resposta, ele adotaa seguinte regra de decisao:

“Se 13 ou mais questoes estiverem corretas, ele nao esta adivinhando”.

Qual a probabilidade do professor rejeitar a hipotese, sendo que na realidadeela e verdadeira?Resp. 0,34%.


Exercıcios

Exercıcio 4

Um distribuidor de sementes determina, por meio de testes, que 5% dassementes nao germinam.

Ele vende pacotes com 200 sementes com garantia de 90% de germinacao.

Qual a probabilidade de que um pacote nao satisfaca a garantia?

Resp. 0,06%.


Exercıcios

Exercıcio 4

Um distribuidor de sementes determina, por meio de testes, que 5% dassementes nao germinam.

Ele vende pacotes com 200 sementes com garantia de 90% de germinacao.

Qual a probabilidade de que um pacote nao satisfaca a garantia?Resp. 0,06%.


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