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DA PARAÍBADA PARAÍBA

Luiz Medeiros de Araujo Lima FilhoLuiz Medeiros de Araujo Lima FilhoDepartamento de EstatísticaDepartamento de Estatística

Distribuição AmostralDistribuição Amostral

INTRODUÇÃO

• A Inferência Estatística é um conjunto de técnicas queobjetiva estudar a população através de evidências fornecidaspor uma amostra.

• É a amostra que contém os elementos que podem serobservados e, a partir daí, quantidades de interesse podemser medidas.

x

• A Distribuição Amostral retrata o comportamento de umaestatística (média, proporção, entre outras), casoretirássemos todas as possíveis amostras de tamanho “n”de uma população.

• Uma estatística é uma função da amostra. Uma amostraconsiste de observações de uma variável aleatória. Assim,estatísticas também são variáveis aleatórias e, por isso,possuem uma distribuição de probabilidade.

x

Considere uma população de 5 elementos (N = 5): 2, 3, 6, 8 e11. Determine todas as amostras possíveis com reposição ecalcule a média e a variância

Solução: Na população, temos que µ=6 e σ2=10,8.

DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DA MÉDIA

Solução: Na população, temos que µ=6 e σ2=10,8.

Amostra (2,2) (2,3) (2,6) (2,8) (2,11) (3,2) .... (11,11)

2 2,5 4 5 6,5 2,5 .... 11

0 0,5 8 18 40,5 0,5 .... 0

X

2S

• Seja X1, X2, ..., Xn uma a.a.s. retirada de uma população X.Temos que X1, X2, ..., Xn são independentes, com E(Xi) = µ eVar(Xi) = σ2. Assim, se X tem distribuição normal ou n > 30(Teorema Central do Limite), temos que

x

• Suponha que podemos extrair todas as amostras de tamanho n

(sem reposição) de uma população finita de tamanho N, neste casotemos que:

µ µ σσ

X n

N n

N= =

−

− e

X 1

A quantidade é conhecida como o fator de correção amostralpara população finita, ou simplesmente “Fator de Correção”.

N n

N

−

− 1

x

• Se o tamanho da população for muito grande, infinito ou ainda aamostragem for feita com reposição, os resultados acima passam aser:

Obs: Uma população que tem um limite superior definido é chamadade finita. Em estatística, considera-se como população finita quando(n/N) > 0,05, ou seja, quando a fração amostral é maior do que 5 %.

µ µ σσ

X n= = e

X

para população finita, ou simplesmente “Fator de Correção”.

Distribuição Amostral de quando a população é normalX

Distribuição Amostral de quando a população não é normal e amostra suficientemente grande

X

EXEMPLO 1

A altura dos estudantes da turma de Estatística temdistribuição normal com média 172 cm e desvio padrão 9 cm.Uma amostra de 25 estudantes é retirada.

a) Qual a probabilidade de que a média amostral seja acimade 175 cm?de 175 cm?

b) Qual a probabilidade de que a média amostral esteja entre170 e 176 cm?

c) Qual deve ser a altura média dos estudantes que permitaque em 90% das vezes a média amostral seja inferior a estevalor.

DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DA PROPORÇÃO

Considere uma população em que cada elemento éclassificado de acordo com a presença ou ausência dedeterminada característica. Por exemplo, podemos pensar emeleitores escolhendo entre 2 candidatos, pessoasclassificadas de acordo com o sexo, e assim por diante.Vamosclassificadas de acordo com o sexo, e assim por diante.Vamosconsiderar uma população em que a proporção de indivíduoscom uma certa característica é p. Logo, podemos definir umav.a. X como

• Retira-se uma a.a.s. de tamanho n dessa população. Sejao número de indivíduos com a característica de

interesse na amostra, temos que Sn ~ Binomial(n, p).

• A variável aleatória Sn tem distribuição exata dada por uma

∑=

=

n

i

in XS1

• A variável aleatória Sn tem distribuição exata dada por umabinomial com parâmetros n e p. Desta forma, probabilidadesenvolvendo a proporção amostral podem ser calculadas demodo exato usando esta distribuição.

• Caso o valor de n seja muito grande, essas probabilidadesdarão algum trabalho para serem calculadas e torna-seconveniente utilizar a aproximação Normal.

A Distribuição Amostral de pode ser aproximadapor uma distribuição normal de probabilidadesempre que o tamanho da amostra for grande.

TEOREMA CENTRAL DO LIMITE

p̂

Pode-se utilizar essa aproximação se são satisfeitasas seguintes condições:

o np ≥ 5

o n(1-p) ≥ 5

• Sabemos que tem distribuição normal para nsuficientemente grande. Seja , a proporção amostral,temos que:

n

SX n

=

Xp =ˆ

Obs: é conhecido como erro padrão da proporção.p̂σ

• Suponha que podemos extrair todas as amostras detamanho n (sem reposição) de uma população finita detamanho N, neste caso temos que:

1

)1(ˆˆ

−

−−==

N

nN

n

ppp pp σµ e

x

• Se o tamanho da população for muito grande, infinito ouainda a amostragem for feita com reposição, os resultadosacima passam a ser:

n

pppp

)1(ˆˆ

−== p e σµ

A quantidade é conhecida como o fator de correçãoamostral para população finita, ou simplesmente “Fator deCorreção”.

N n

N

−

− 1

Com base em dados históricos, uma companhia aérea estima em15% a taxa de desistência entre seus clientes, isto é, 15% dospassageiros com reserva não aparecem na hora do vôo. Paraotimizar a ocupação de suas aeronaves, essa companhia decideaceitar 400 reservas para os vôos em aeronaves que comportamapenas 350 passageiros.

Exemplo 2

apenas 350 passageiros.

a) Qual a probabilidade de que essa companhia não tenhaassentos suficientes em um desses vôos. Essa probabilidade éalta o suficiente para a companhia rever sua política de reserva?

x

De acordo com os estudos realizados pela Cagepa, no município de JoãoPessoa, o consumo mensal de água por residência tem distribuição normalcom média 20 m3 e variância de 144 m3.

a) Em uma amostra de 36 residências, qual a probabilidade de que a médiaamostral não se afaste da verdadeira média populacional por mais de 2

Exemplo 3

amostral não se afaste da verdadeira média populacional por mais de 2m3?

b) Devida a escassez de água nos reservatórios, a empresa deseja estipularum consumo médio de forma que em 95% das vezes o consumo médioamostral seja inferior a este valor. Qual deve ser o valor estipulado pelaCagepa?

Exemplo 4

Com base em dados obtidos em uma pesquisa de mercado,observou-se a aceitação de um determinado sabonete é de 70%. Aempresa entrevistou 100 consumidores.

a) Qual deveria ter sido o tamanho da amostra com nível deconfiança de 95% e um erro amostral de no máximo 3%?confiança de 95% e um erro amostral de no máximo 3%?

b) Qual a probabilidade de que a proporção amostral deaceitação do sabonete esteja entre 65% e 78%?

c) Qual a probabilidade de que sejam encontradas 60 oumais consumidores que tenham aprovado o produto?