Estatistica Descritiva_Respostas Listas 1 e 2

DISCIPLINA: Probabilidade e Estatística – Apostila 1 Prof.: Antonio Kronbauer

1

Classes

168 177

177 186

186 195

195 204

204 213

213 222

222 231

231 240

240 249

249 258

258 267

LISTA DE EXERCÍCIOS Nº 1

1) Temos a seguir distância em metros entre poços produtores e injetores numa malha aproximadamente regular de um Campo de Petróleo da Bacia do Recôncavo. Construir uma disposição ramo-folha. 172 182 177 174 166 158 170 178

163 161 191 167 171 201 166 172

Ramo Folha Ramo Folhas ordenadas 15 8 15 8 16 6 3 1 7 6 16 1 3 6 6 7 17 2 7 4 0 8 1 2 17 0 1 2 2 4 7 8 18 2 18 2 19 1 19 1 20 1 20 1

2) Os pesos dos tubos de revestimentos de poços de petróleo variam de 168 a 266

quilogramas. Indique os limites de 11 classes em que esses pesos podem ser agrupados.

266 – 168 = 98 98 / 11 = 8,9091


2

3) Temos a seguir as notas obtidas por 40 estudantes em um teste de estatística. Agrupe essas notas em uma distribuição com as classes (intervalos fechados dos dois lados): 20 a 29, 30 a 39, 40 a 49, 50 a 59, 60 a 69, 70 a 79, 80 a 89 e 90 a 99. Calcule a frequência absoluta e relativa de cada classe.

75 89 66 52 90 68 83 94 77 60 38 47 87 65 97 49 65 72 73 81 63 77 91 88 74 37 85 76 74 63 69 72 31 87 76 58 63 70 72 65

4) Uma auditoria feita em 60 Relatórios de Teste de Formação revelou os seguintes números de erros no preenchimento dos Formulários de TFR. 0 0 2 1 4 1 0 1 3 2 2 0 1 1 1 4 0 3 1 5 1 1 0 2 0 0 1 1 4 3

0 1 0 2 1 4 3 1 0 0 5 1 2 0 3 0 2 1 1 3 1 4 3 0 2 0 1 1 0 1

Construa uma distribuição que mostre quantos formulários continham 0,1,2,3,4 ou 5 erros.

Nº de erros Nº de formulários 0 17 1 21 2 8 3 7 4 5 5 2 Σ 60

Ramo-folha

2 -

3 1 7 8

4 7 9

5 2 8

6 0 3 3 3 5 5 5 6 8 9

7 0 2 2 2 3 4 4 5 6 6 7 7

8 1 3 5 7 7 8 9

9 0 1 4 7

Classes Frequência absoluta

(Fi)

Frequência relativa

(fi) fi%

20 29 0 0/40 0%

30 39 3 3/40 7,5%

40 49 2 2/40 5%

50 59 2 2/40 5%

60 69 10 10/40 25%

70 79 12 12/40 30%

80 89 7 7/40 17,5%

90 99 4 4/40 10%

Σ 40 1 100%


3

5) Montar uma série cronológica para representar os valores das exportações de

etanol, fornecidas pelo Instituto do Açúcar e do Álcool nos anos de 1975 a 1981 em dólares .

Valores em ordem cronológica de 1975 a 1981: U$ 60.193, U$ 80.114, U$ 81.826, U$ 106.879, U$ 112.064, U$ 126.740, U$ 149.548.

EXPORTAÇÕES DE ETANOL

ANO RECEITA (U$) 1975 60.193 1976 80.114 1977 81.826 1978 106.879 1979 112.064 1980 126.740 1981 149.548

Fonte: IAA

6) Dado o rol de 50 notas. Agrupar os elementos em classes (k = 7) e calcular a frequência absoluta, frequência relativa, frequência acumulada e ponto médio de cada classe.

33 35 35 39 41 41 42 45 47 48 50 52 53 54 55 55 57 59 60 60 61 64 65 65 65 66 66 66 67 68 69 71 73 73 74 74 76 77 77 78 80 81 84 85 85 88 89 91 94 97

2riorLimiteSuperiorLimiteInfe

PontoMédio+=

Classes Fi fi Fac Pto médio 33 43 7 7/50 = 0.14 7 38 43 53 5 5/50 = 0.10 12 48 53 63 9 9/50 = 0.18 21 58 63 73 11 11/50 = 0.22 32 68 73 83 10 10/50 = 0.20 42 78 83 93 6 6/50 = 0.12 48 88 93 103 2 2/50 = 0.04 50 98

Σ 50 1

R = 97 – 33 = 64 k = 7 h = 64 / 7 = 9,14 10


4

7) Dadas as estaturas de 140 alunos, conseguiu-se a distribuição abaixo. Calcular a média. Resp. 164,93 cm.

Estaturas Alunos 145 150 2 150 155 10 155 160 27 160 165 38 165 170 27 170 175 21 175 180 8 180 185 7

8) Dada a distribuição, determine a média. Resp. 75,7

Classes Fac 68 72 8 72 76 20 76 80 35 80 84 40

Estaturas Alunos

(Fi)

Média das estaturas

Xi Xi.Fi

145 150 2 147,5 295,0

150 155 10 152,5 1.525,0

155 160 27 157,5 4.252,5

160 165 38 162,5 6.175,0 165 170 27 167,5 4.522,5

170 175 21 172,5 3.622,5

175 180 8 177,5 1.420,0

180 185 7 182,5 1.277,5 Σ 140 23.090,0

X = ∑ x i Fi n

X = 23.090 = 164,929 140

Classes Fac

Ponto Médio

Xi

Fi Xi.Fi

68 72 8 70 8 560

72 76 20 74 12 888

76 80 35 78 15 1170

80 84 40 82 5 410 Σ 40 3028

X = ∑ x i Fi n

X = 3028 = 75,7 40


5

9) Dada a amostra:

28 33 27 30 31 30 33 30 33 29

27 33 31 27 31 28 27 29 31 24

31 33 30 32 30 33 27 33 31 33

23 29 30 24 28 34 30 30 18 17

18 15 16 17 17 18 19 19 20 29

a) Agrupar os elementos em classe (inicie pelo15) use h = 5 (limite inferior fechado e superior aberto). b) Construir a tabela de distribuição de frequência c) Calcular a média. Resp. 27,5

10) Suponha que você dispõe de informações completas sobre as despesas de viagem

dos Engenheiros de uma empresa durante o ano de 2010. De um exemplo de cada situação em que esses dados podem ser considerados como: a) Uma população

Todos os Engenheiros desta empresa

b) Uma amostra

Um grupo menor de Engenheiros desta empresa, por exemplo, 5 Engenheiros

Classes Fi Ponto Médio (Xi)

Xi.Fi

15 20 10 17,5 175 20 25 4 22,5 90 25 30 12 27,5 330 30 35 24 32,5 780

∑ 50 1375

Ramo-folha

1 5 6 7 7 7 8 8 8 9 9

2 0 3 4 4 7 7 7 7 7 8 8 8 9 9 9 9

3 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 2 3 3 3 3 3 3 3 3 4

Ramo-folha

1 5 6 7 7 7 8 8 8 9 9

2 0 3 4 4 7 7 7 7 7 8 8 8 9 9 9 9

3 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 2 3 3 3 3 3 3 3 3 4

X = ∑ x i Fi n

X = 1375 = 27,5 50


6

11) Em um posto de controle rodoviário, 12 motoristas multados por excesso de velocidade estavam dirigindo a 8, 11, 14, 6, 8, 10, 20, 11, 13, 18, 9 e 15 quilômetros por hora acima do limite de velocidade de 80 km/h.

a. Em média, quantos quilômetros por hora esses motoristas estavam excedendo o limite?

8 + 11 + 14 + 6 + 8 + 10 + 20 + 11 + 13 + 18 + 9 + 15 = 143

143 / 12 = 11,92km/h

b. Se um motorista que excedia o limite em menos de 15 quilômetros por hora foi

multado em R$ 160 e os outros foram multados em R$ 288, determine a média das multas que esses motoristas tiveram que pagar.

>15 multa de R$160,00

≤ 15 multa de R$288,00

= 192$12

2304

12

28831609R

xx ==+

12) Um empregado perdeu uma das dez notas de compras efetuadas naquele dia. O

valor médio de todas as 10 notas era de R$ 7,20 e as 9 notas restantes tinham os valores de R$4,80 , R$7,10 , R$7,90 , R$9,55 , R$4,45 , R$5,72 , R$7,54 , R$8,34 e R$9,70. Qual o valor da nota perdida?

20,7=X

n = 10

4,45; 4,80; 5,72; 7,10; 7,54; 7,90; 8,34; 9,55; 9,70

Total das notas = 7,20 x 10 = 72,00

∑ das notas restantes = 65,10

Nota perdida = 72,00 – 65,10 = 6,90.


7

13) Os salários médios anuais dos professores em 3 cidades são : R$38.300 , R$44.500 , R$41.000. Havendo 720, 660 e 520 professores nessas cidades, calcular o salário médio dos professores das 3 cidades. Resp: R$ 41.192,63

n1 = 720 300.38=X

n2 = 660 500.44=X

n3 = 520 000.41=X

520660720

)(520x41000 )(660x44500 )(720x38300 MGE

++++=

1900

213200002937000027576000 MGE

++=

63,192.411900

78266000 MGE ==

14) Determine a posição mediana para: a) n = 25 b) n = 32 c) n = 37 d) n = 64

a) elementoX º132

26

2

125~⇒=+

⇒

b) elementoseeX º17º1612

32

2

32~ =+⇒ 2

º17º16~ elementoelementoX

+=

c) elementoX º14238

2137~

⇒=+⇒

d) elementoseeX º33º321264

264~ =+⇒

2º33º32~ elementoelemento

X+=

15) Em 15 dias, uma bomba de um posto de gasolina da Avenida Paralela abastece: 40, 52, 55, 38, 40, 48, 56, 56, 60, 37, 58, 63, 46, 50, 61 carros.

Determine a mediana.

37, 38, 40, 40, 46, 48, 50, 52, 55, 56, 56, 58, 60, 61, 63

n = 15

elementoX º82

162

115~⇒=+

⇒ carrosX 52~ =


8

16) Em 20 paginas de um relatório, uma secretária cometeu os seguintes números de erros: 0, 0, 1, 2, 0, 3, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 4, 1, 0, 0, 2,1.

a) Determine a media b) Determine a mediana c) Quantos dos 20 valores superam a media d) Quantos estão abaixo dela e) Quantos superam a mediana f) Quantos estão abaixo dela

0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 3, 4

n = 20

X Fi XiFi Fac

0 11 0 11

1 5 5 16

2 2 4 18

3 1 3 19

4 1 4 20

Σ 20 16

a) 8,020

16 === ∑n

xifiX erros/página

b) n par

elementosen

en

X º11º10122

~⇒+⇒

0~ =X

c) 9 valores superam a média

d) 11 valores estão abaixo da média

e) 9 valores superam a mediana

f) Nenhum


9

17) Para a distribuição abaixo, determine a moda pelos dois processos. (Czuber e Pearson). Classes Fi 7 10 6 10 13 10 13 16 15 16 19 10 19 22 5

I. Fórmula de Czuber:

Classe modal = 13 16

L inf = 13

∆1 = 15 – 10 = 5

∆1 = 15 – 10 = 5

h = 16 – 13 = 3

II. Fórmula de Pearson: XXMo 2~

3 −≅

Calculando a Mediana:

n = 46 n/2 = 23º elemento

X~

= Lmd + Fmd

f h . ) - n/2 ( Σ Dados: Lmd = 13, n = 46, ∑ f = 16, h = 3, Fmd = 15

X~

= 4,14)3*4667,0(133*15

)16 - 246 (

13 =+=+

Calculando a média:

37,1446661=== ∑

n

XiFiX

Calculando a moda:

Mo ≅ 3*14,4 – 2*14,37 = 43,2 – 28,74 = 14,46

Mo = Linf + ∆1 • h ∆1 + ∆2

Linf= Limite inferior da classe modal ∆1 = Diferença entre a frequência da classe modal e

da classe anterior ∆2 = Diferença entre a frequência da classe modal e

da classe posterior h = Amplitude da classe

Mo = 13 + 5,143*55

5 =+

Classes Fi Xi Xi.Fi Fac

7 10 6 8,5 51,0 6

10 13 10 11,5 115,0 16

13 16 15 14,5 217,5 31

16 19 10 17,5 175,0 41

19 22 5 20,5 102,5 46

∑ 46 661,0


10

18) Para a distribuição, calcule: a) D6, P65, Q1

Classes Fi 4 6 4 6 8 11 8 10 15 10 12 5

D6

D6 elementoº2110

210

10

35*6

10

6n⇒=⇒⇒

D6 8,88,082*4,082*15

152182*

15

1510

35*6

8 =+=+=−+=−

+= D6 = 8,8

P65

P65 elementoº75,22100

2275

100

35*65

100

65n⇒=⇒⇒

P65 ( )2*5167,082*15

75,782*

15

1575,2282*

15

15100

35*65

8 +=+=−+=−

+=

P65 = 8 + 1,0333 = 9,0333 P65 = 9,0333

Q1

Q1 elementon

º75,8435

41

⇒⇒⇒

Q1 ( )2*4318,062*11

75,462*

11

475,862*

11

44

35

6 +=+=−+=−

+=

Q1 = 6 + 0,8636 = 6,8636 Q1 = 6,8636

Classes Fi Fac 4 6 4 4 Q1 → 6 8 11 15

P65, D6 → 8 10 15 30 10 12 5 35 ∑ 35


11

b) D2, P43, Q3.

Classes FAC 20 30 3 30 40 8 40 50 18 50 60 22 60 70 24

D2

D2 elementoº8,410

48

10

24*2

10

2n⇒=⇒⇒

D2

+=−+=−

+= 10*5

8,13010*

5

38,43010*

5

310

24*2

30

D2 ( ) 6,336,33010*36,030 =+=+= D2 = 33,6

P43


1032

100

24*43

100

43n⇒=⇒⇒

P43 32,24010*10

32,24010*

10

832,104010*

10

8100

24*43

40 +=+=−+=−

+=

P43 = 42,32

Classes Fi Fac 20 30 3 3 D2 → 30 40 5 8

P43, Q3 → 40 50 10 18 50 60 4 22 60 70 2 24 ∑ 24


12

19) Abaixo estão dadas as notas de 50 alunos:

60 85 33 52 65 77 84 65 74 57

71 35 81 50 35 64 74 47 54 68

80 61 41 91 55 73 59 53 77 45

41 55 78 48 69 85 67 39 60 76

94 98 66 66 73 42 65 94 88 89

Pede-se:

a) Determinar a amplitude total da amostra Resp. 65 b) Nº. de classes pela fórmula de Sturges Resp. 7 c) Amplitude das classes Resp. 10 d) Quais as classes (inicie pelo 30) e) Frequência absoluta das classes f) Frequência relativa g) Pontos médios das classes h) Frequência acumulada i) Média Resp. 65,60 j) Moda pelos dois processos (Czuber e Pearson) Resp. 66 k) Mediana Resp. 65,83 l) 1º e 3º quartis Resp. 53,13 e 78,33 m) 7º decil e 55º percentil Resp. 75,56 e 67,92

Folha Ramos Folha Ramos

3 3 5 5 9 3 3 5 5 9

4 7 1 5 1 8 2 4 1 1 2 5 7 8

5 2 7 0 4 5 9 3 5 Ordenando 5 0 2 3 4 5 5 7 9

6 0 5 5 4 8 1 9 7 0 6 6 5 → 6 0 0 1 4 5 5 5 6 6 7 8 9

7 7 4 1 4 3 7 8 6 3 Rol 7 1 3 3 4 4 6 7 7 8

8 5 4 1 0 5 8 9 8 0 1 4 5 5 8 9

9 1 4 8 4 9 1 4 4 8

a) Determinar a amplitude total da amostra Resp. 65

R = Xmax – Xmin = 98 – 33 = 65


13

b) Nº. de classes pela fórmula de Sturges Resp. 7

k = 1 + 3,22 log n k = 1 + 3,22 log 50 = 1 + 3,22*1,6990 k = 1 + 5,47 = 6,47 ≅ 7

c) Amplitude das classes Resp. 10

h = 65 ÷ 7 = 9,29 ≅ 10

d) Quais as classes (inicie pelo 30) e) Frequência absoluta das classes f) Frequência relativa g) Pontos médios das classes h) Frequência acumulada

Classes Fi Xi FiXi Fi(%) Fac

30 40 4 35 140 8% 4 40 50 6 45 270 12% 10 50 60 8 55 440 16% 18 60 70 12 65 780 24% 30 70 80 9 75 675 18% 39 80 90 7 85 595 14% 46 90 100 4 95 380 8% 50

∑ 50 3280 100

i) Média Resp. 65,60

6,6550

3280=== ∑n

XiFiX

j) Moda pelos dois processos (Czuber e Pearson) Resp. 66

Czuber ∆ 1=4 ∆ 2=3

( ) 71,6571,56010*5714,06010*34

460 =+=+=

++=Mo


14

k) Mediana Resp. 65,83

elementon

X º252

~⇒⇒

( )10*

12

18256010*

12

182

50

60~ −+=

−+⇒X

83,56010*5833,06010*12

760

~ +=+=+=X

l) 1º e 3º quartis Resp. 53,13 e 78,33

Q1 Q1 elementon

º5,12450

41

⇒⇒⇒

Q1 10*3125,05010*8

5,25010*

8

105,125010*

8

104

50

50 +=+=−+=−

+=

Q1 = 50+3,13 = 53,13 Q1 = 53,13

Q3 Q3 elementoxn

º5,374

1504503

43

⇒=⇒⇒

Q3 10*9

5,77010*

9

305,377010*

9

304

50*3

70 +=−+=−

+=

Q3 = 70 + (0,8333*10) = 70 + 8,33 Q3 = 78,33

83,65~ =X


15

m) 7º decil e 55º percentil Resp. 75,56 e 67,92

D7

D7 elementoº3510

350

10

50*7

10

7n⇒=⇒⇒

D7

+=−+=−

+= 10*9

57010*

9

30357010*

9

3010

50*7

70

D7 ( ) 56,57010*5555,070 +=+=

D7 = 75,56

P55


2750

100

50*55

100

55n⇒=⇒⇒

P55 10*12

5,96010*

12

185,276010*

12

18100

50*55

60 +=−+=−

+=

P55 ( )10*7917,060+= = 60 + 7,92

P55 = 67,92


16

20) Dada a amostra: 2,3,4,5,7,10,12 a) Qual a amplitude total Resp. 10 12 – 2 = 10

b) Determine o desvio médio Resp. 3,02

Xi Xi 2 │Xi- X │ (Xi- X )2 2 4 2 - 6,14 = 4,14 2 - 6,14 = (4,14)2 = 17,1396 3 9 3 - 6,14 = 3,14 3 - 6,14 = (3,14)2 = 9,8596 4 16 4 - 6,14 = 2,14 4 - 6,14 = (2,14)2 = 4,5796 5 25 5 - 6,14 = 1,14 5 - 6,14 = (1,14)2 = 1,2996 7 49 7 - 6,14 = 0,86 7 - 6,14 = (0,86)2 = 0,7396 10 100 10 - 6,14 = 3,86 10 - 6,14 = (3,86)2 = 14,8996 12 144 12 - 6,14 = 5,86 12 - 6,14 = (5,86)2 = 34,3396

∑ 347 21,14 82,8572

02,37

14,21 ==−

=∑

n

XXiDm

c) Calcule a variância e o desvio padrão Resp. 13,81 e 3,72

Variância amostral: ( )

1

2

2

−−

= ∑n

xS xi

81,136

8572,822 ==S Variância = 13,81

Desvio Padrão Amostral: 2SS=

81,132 == SS = 3,72 Desvio padrão = 3,72

14,67

43

7

121075432 ==++++++=X


17

21) Para a série 5,5,5,6,6,6,6,7,7,7,7,7,7,8,8,8,9,9 :

a) Construir a distribuição de freqüência

Xi Fi XiFi |Xi- X | |Xi- X |.Fi Xi 2 Xi2Fi 5 3 15 5 – 6,83 = 1,83 5,49 25 75 6 4 24 6 – 6,83 = 0,83 3,32 36 144 7 6 42 7 – 6,83 = 0,17 1,02 49 294 8 3 24 8 – 6,83 = 1,17 3,51 64 192 9 2 18 9 – 6,83 = 2,17 4,34 81 162

∑ 18 123 6,17 17,68 867 b) Calcular a amplitude total. Resp. 4 R = 9 – 5 = 4 c) Determinar a desvio médio. Resp. 0,98

98,018

68,17 ==−

=∑

n

FiXXiDm

d) Calcular a variância populacional. Resp. 1,47

Variância populacional:

( )

NN

XiFiFiXi∑

∑−=

22

2σ

( )

47,118

5,26

18

5,840867

1818

15129867

1818

123867

2

2 ==−=−

=−

=σ

e) Calcular o desvio padrão populacional. Resp. 1,21

Desvio Padrão Populacional: σ = 21,147,12 ==σ f) Calcular o coeficiente de variação populacional. Resp. 18%

%18100*18,0100*83,6

21,1100 ==== xCV

µσ

σ = Desvio padrão populacional µ = Média populacional

83,618

123

18

1824422415

18

2*93*86*74*63*5 ==++++=++++==X


18

LISTA DE EXERCÍCIOS Nº 2

1) Determine a média aritmética das seguintes séries:

a) 3, 4, 1, 3, 6, 5, 6 → 47

28

7

6563143 ==++++++=X

b) 7, 8, 8, 10, 12 → 95

45

5

1210887 ==++++=X

c) 3,2; 4,0; 0,75; 5,0; 2,13; 4,75 → 31,36

83,19

6

75,413,20,575,00,42,3 ==+++++=X

d) 70, 75, 76, 80, 82, 83, 90 → 43,797

556

7

90838280767570 ==++++++=X

2) A média mínima para aprovação em determinada disciplina é 5,0. Se um estudante obtém as notas 7,5; 8,0; 3,5; 6,0; 2,5; 2,0; 5,5; 4,0 nos trabalhos mensais da disciplina em questão, pergunta-se se ele foi ou não aprovado.

88,48

39

8

0,45,50,25,20,65,30,85,7 ==+++++++=X → O aluno não foi aprovado.

3) Calcule para cada uma das distribuições abaixo sua respectiva média:

n

XiFiX ∑=

a)Xi Fi XiFi 3 2 6 4 5 20 7 8 56 8 4 32 12 3 36

∑ 22 150

82,622

150==X

b) Xi Fi XiFi 10 5 50 11 8 88 12 10 120 13 6 78

∑ 29 336

59,1129

336==X

DISCIPLINA: Probabilidade e Estatística – Apostila 1 Prof: Antonio Kronbauer

19

c)

Xi Fi Fac XiFi 2 3 3 6 3 6 9 18 4 10 19 40 5 6 25 30 6 3 28 18

∑ 28 112

428

112==X

d) Xi Fi XiFi 85 5 425 87 1 87 88 10 880 89 3 267 90 5 450

∑ 24 2109

88,8724

2109==X

4) Turmas que possuem determinada disciplina em comum apresentam nesta

disciplina: Turma A: (40 alunos): média 6,5 Turma B: (35 alunos): média 6,0 Turma C: (35 alunos): média 4,0 Turma D: (20 alunos): média 7,5 Determine a média geral.

85,5130

760==X

Xi Fi XiFi 6,5 40 260 6,0 35 210 4,0 35 140 7,5 20 150

∑ 130 760


20

5) Encontre a média harmônica:

a) 5, 7, 12, 15 b) Xi Fi 2 3 3 4 4 6 5 5 6 2

Xn

Fn

X

F

X

Fn

Mh+++

=...

2

2

1

1

a) 12,84929,0

4

420

2074

420

283560844

15

1

12

1

7

1

5

14 ===

+++=

+++=Mh

b) 53,317

60

340

60*20

60

34020

60

206090809020

6

2

5

5

4

6

3

4

2

320 ====++++=

++++=Mh

6) Tem-se R$ 2.000,00 disponíveis mensalmente para a compra de determinado artigo que custou, nos meses de junho, julho e agosto respectivamente, R$ 200,00; R$ 500,00 e R$ 700,00. Qual foi o custo médio do artigo para esse período? (calcular através da média harmônica).

14,357100*57,384,0

3

70

593

70

1014353

700

1

500

1

200

13 ====++=

++=Mh

7) Para cada série determine a mediana:

a) 1, 3, 3, 4, 5, 6, 6

n é ímpar -> elementoX º42

8

2

17~⇒=+

⇒ 4~ =X

b) 1, 3, 3, 4, 6, 8, 8, 9

n é par -> elementoseen

en

X º5º412

8

2

81

22~

⇒+⇒+⇒

5~

210

264~ =⇒=+

⇒ XX


21

c) 12, 7, 10, 8, 8 rol 7, 8, 8, 10, 12

n é ímpar -> elementoX º326

215~

⇒=+⇒ 8

~ =X

d) 82, 86, 88, 84, 91, 93 rol 82, 84, 86, 88, 91, 93

n é par -> elementoseen

en

X º4º3126

26

122

~⇒+⇒+⇒

87~

2

174

2

8886~ =⇒=+⇒ XX

8) Dada a série: 1,2; 1,4; 1,5; 1,8; 2,0. Calcular a média e o desvio padrão populacional.

Xi (Xi- µ) (Xi-µ)2 1,2 1,2 – 1,58 = - 0,38 0.1444 1,4 1,4 – 1,58 = - 0,18 0,0324 1,5 1,5 – 1,58 = - 0,08 0,0064 1,8 1,8 – 1,58 = 0,22 0,0484 2,0 2,0 – 1,58 = 0,42 0,1764 ∑ 0,4080

Variância populacional: ( )

082,05

4080,02

2 ==−

= ∑N

xiµ

σ

Desvio Padrão Populacional: σ = 29,0082,0

2 ==σ Média = 1,58 Desvio padrão populacional = 0,29

9) Abaixo a amostra de 60 rendas (em mil reais / mês) de Engenheiros de Petróleo de Empresas Operadoras e Prestadoras de Serviços que atuam no Recôncavo Baiano:

10 7 8 5 4 3 2 9 9 6 3 15 1 13 14 4 3 6 6 8 10 11 12 13 14 2 15 5 4 10 2 1 3 8 10 11 13 14 15 16

8 9 5 3 2 3 3 4 4 4 5 6 7 8 9 1 12 13 14 16

58,15

9,7

5

0,28,15,14,12,1 ==++++=µ


22

Ordenando 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 4 5 5 5 5 6 6 6 6 7 7 8 8 8 8 8 9 9 9 9 10 10 10 10 11 11 12 12 13 13 13 13 14 14 14 14 15 15 15 16 16

a) Agrupar os elementos em classes, sendo K = 6 e h = 3 Classes Fi Xi FiXi Fac

1 4 14 2,5 35 14 -> P10

4 7 14 5,5 77 28 -> D4 / Q1

7 10 11 8,5 93,5 39 -> Classe da mediana / P47

10 13 8 11,5 92 47 -> Q3 / D7

13 16 11 14,5 159,5 58 -> P90 / P80

16 19 2 17,5 35 60

∑ 60 492

b) Calcular a mediana

hFmd

fn

LmdX *2~

−+⇒

∑

( )55,073*18,073*

11

283073*

11

282

60

7~ +=+=−+=

−+⇒X

55,7

~ =X


23

c) Determinar o 3º quartil

Q3 = hFQ

fn

LQ *3

4

3

3∑−

+

Q3 elementon

º454

180

4

60*3

4

3⇒=⇒⇒

Q3 25,2103*75,0103*8

6103*

8

394510 +=+=+=−+=

Q3 = 12,25

d) Calcular o 4º decil

D4 elementoº2410

240

10

60*4

10

4n⇒=⇒⇒

D4 13,243*71,043*14

1043*

14

14244 +=+=+=−+=

D4 = 6,13 e) Calcular o 47º percentil


2820

100

60*47

100

47n⇒=⇒⇒

P47 055,073*018,073*11

2,073*

11

282,287 +=+=+=−+=

P47 = 7,055


24

f) Determinar o 1º quartil

Q1 elementon

º15460

41

⇒⇒⇒

Q1 21,043*071,043*14

143*

14

14154 +=+=+=−+= Q1 = 4,21

g) Calcular o desvio médio

Classes Fi Xi FiXi XXi − XXi − .Fi 1 4 14 2,5 35 2,5 – 8,2 = 5,7 79,8 4 7 14 5,5 77 5,5 – 8,2 = 2,7 37,8

7 10 11 8,5 93,5 8,5 – 8,2 = 0,3 3,3 10 13 8 11,5 92 11,5 – 8,2 = 3,3 26,4 13 16 11 14,5 159,5 14,5 – 8,2 = 6,3 69,3 16 19 2 17,5 35 17,5 – 8,2 = 9,3 18,6

∑ 60 492 235,2

92,360

2,235 ==−

= ∑n

FiXXiDm

h) Determinar a variância

Variância amostral:

( )

1

22

2

−

−=∑

∑

nn

XiFiFiXi

S

Classes Fi Xi FiXi Xi2 Xi2Fi 1 4 14 2,5 35 6,25 87,5 4 7 14 5,5 77 30,25 423,5

7 10 11 8,5 93,5 72,25 794,75 10 13 8 11,5 92 132,25 1058 13 16 11 14,5 159,5 210,25 2312,75 16 19 2 17,5 35 306,25 612,5

∑ 60 492 5289

26,2159

6,1254

59

4,40345289

16060

2420645289

2 ==−=−

−=S Variância = 21,26

2,860492=== ∑

n

FiXiX


25

i) Determinar o desvio-padrão

26,212 == SS = 4,61 Desvio padrão = 4,61

j) Qual o valor do coeficiente de variação?

22,56100*5622,0100*2,8

61,4100* ====

X

SCV %

k) A distribuição é simétrica? Não. Média, mediana e moda têm valores diferentes.

Média = 8,2 Mediana = 7,54 Moda = 4

Comprovando a moda por Czuber: ∆ 1=14 ∆ 2=0

⇒∗

∆+∆∆+= hLMo

21

1inf 4313014

141 =+=∗

++=Mo

l) A distribuição é mesocúrtica? Não, é platicúrtica.

( ) ( ) 318,026,25

04,863,122

04,829,292,14221,425,12

2 1090

13 ===−−=

−−=

xPP

QQK

Se K = 0,236 a curva correspondente à distribuição de frequência é mesocúrtica. Se K > 0,236 é platicúrtica. Se K < 0,236 é leptocúrtica.

P90 elementoº54100

5400

100

60*90

100

90n⇒=⇒⇒

13 16 11 14,5 159,5 58 -> P90

P90 92,1492,1133*64,0133*11

7133*

11

475413 =+=+=+=−+=

P10 elementoº6100

600

100

60*10

100

10n⇒=⇒⇒

1 4 14 2,5 35 14 -> P10

P10 29,229,113*43,013*14

061 =+=+=−+=


26

m) Determine o 7º decil e o 80º percentil.

D7

D7 elementoº4210

420

10

60*7

10

7n⇒=⇒⇒

10 13 8 11,5 92 47 -> D7

D7 13,1113,1103*375,0103*8

3103*

8

394210 =+=+=+=−+=

D7 = 11,13

P80

P80 elementoº48100

4800

100

60*80

100

80n⇒=⇒⇒

13 16 11 14,5 159,5 58 -> P90 / P80

P80 27,0133*09,0133*11

474813 +=+=−+=

P80 = 13,27


27

~

FÓRMULAS

R = Xmáx – Xmin

K = 5 para n < 25 e K ≅ √ n para n > 25

X = w1X1 + w2X2 + … wkXk = ∑ wX w1 + w2 + … wk ∑w Q1 = l Q1 + (n/4 - Σf) h

FQ1 Di = l Di + (in/10 - Σf ) ⋅ h

FDi

X = ∑ x i Fi n

Q3 = l Q3+ (3n/4 - Σf) h FQ3

h = R ÷ K

fi = Fi n

µ = ∑ x N

Mh = n F1 + F2 + … Fn X1 X2 Xn

X = lmd+ ( n/2 - Σf) . h

Fmd

Sturges: K = 1 + 3,22 log n n = tamanho da amostra

X i = lim. Inf. + lim. Sup. 2

X = Σ x n

MGE = n1X1+ n2X2+ …nkXk

n1 + n2 + … nk

Q1 = n/4 Q2 = n/2 Q3 = 3n/4

Di = i ⋅ n 10

Pi = i ⋅ n 100

Pi = l Pi + (in/100 - Σf) ⋅ h FPi


28

σ² =

~

K =

Czuber: Pearson:

Σ Xi² Fi – (Σ Xi Fi)² N N σ = √ σ² � Desvio Padrão Pop. CV = σ • 100 ou CV = S • 100 µ X 1° Coeficiente de Pearson: 2° Coeficiente de Pearson:

AS = µ – Mo AS = X - Mo σ S

populacional amostral

Q3 – Q1 2(P90 – P10)

AS = Q1 + Q3 – 2X Q3 – Q1

Mo = l + ∆1 • h ∆1 + ∆2

Mo ≅ 3X – 2X

Dm =Σ | Xi– X | Fi n

S = √ S² � Desvio Padrão Amostral

- Se K = 0,236 é mesocúrtica. - Se K > 0,236 é platicúrtica. - Se K < 0,236 é leptocúrtica.

σ² =

Σ Xi² Fi – (Σ Xi Fi)² S² = n

n - 1

~

Documents

Estatistica Descritiva_Respostas Listas 1 e 2