Estatistica Descritiva_Unidade I

Estatstica Descritiva

Professora conteudista: Marisa Rezende Bernardes

SumrioEstatstica DescritivaUnidade I

1 ESTATSTICA DESCRITIVA .................................................................................................................................11.1 Introduo estatstica ........................................................................................................................11.2 Panorama histrico ................................................................................................................................21.3 Denies ...................................................................................................................................................41.4 Organizao e apresentao dos dados ...................................................................................... 17

1.4.1 Tabelas ......................................................................................................................................................... 171.4.2 Histogramas .............................................................................................................................................. 231.4.3 Polgonos de frequncia ....................................................................................................................... 27

1.5 Medidas de posio ou tendncia central ................................................................................. 281.5.1 Mdia aritmtica (x) .............................................................................................................................. 291.5.2 Mediana ...................................................................................................................................................... 341.5.3 Moda ............................................................................................................................................................ 35

1.6 Medidas de disperso ......................................................................................................................... 371.6.1 Varincia e desvio padro ................................................................................................................... 371.6.2 Varincia e desvio padro para dados isolados ponderados ................................................. 411.6.3 Varincia e desvio padro para dados agrupados em classes .............................................. 441.6.4 Medida de disperso relativa coeciente de variao (Cv) ................................................. 48

Unidade II

2 PROBABILIDADE ............................................................................................................................................... 672.1 Panorama histrico ............................................................................................................................. 672.2 Denies ................................................................................................................................................ 68

2.2.1 Experimentos aleatrios ....................................................................................................................... 682.2.2 Espao amostral ...................................................................................................................................... 692.2.3 Evento .......................................................................................................................................................... 692.2.4 Probabilidade de um evento .............................................................................................................. 702.2.5 Propriedade da unio ............................................................................................................................ 75

2.3 Distribuies de probabilidades ...................................................................................................... 772.3.1 Distribuio binomial de probabilidades ....................................................................................... 772.3.2 Distribuio Poisson de probabilidades ......................................................................................... 812.3.3 Distribuio normal de probabilidades .......................................................................................... 83

1 ESTATSTICA DESCRITIVA

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APRESENTAO

A primeira considerao a ser feita sobre este texto se refere ao fato de ter sido elaborado para um curso de educao a distncia. Esse um posicionamento importante, uma vez que estabelece um ambiente de aprendizagem diferente daquele utilizado pelo ensino presencial e, portanto, tem exigncias diferenciadas. Essa modalidade de educao caracteriza-se como uma prtica educativa que exige do estudante, mais do que em outra modalidade, construir conhecimentos, participar efetivamente de seu prprio crescimento. Esse modelo implica, obviamente, em um processo de ensino prprio, uma vez que modifica, ou mesmo suprime, o fsico e o estrutural do ensino presencial. Assim, a funo docente sofre um deslocamento, seu papel descentralizado e a forma de ateno ao aluno est mais prxima do que se entende por pesquisa em meios acadmicos. um novo formato de ensino-aprendizagem na graduao, no qual os estudantes, assim como aqueles que se iniciam em pesquisas acadmicas, devem aprender a estudar sozinhos, buscar informaes com base em indicaes do docente responsvel pelo curso (orientador) e ser capazes de fazer inferncias na produo do seu conhecimento.


1.1 Introduo estatstica

Para a realizao de pesquisas so necessrios alguns conceitos estatsticos bsicos, que sero apresentados no

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decorrer deste texto. Mas inicialmente apresentaremos alguns esclarecimentos sobre a importncia da estatstica nas prosses.

Qual a denio de estatstica?

Qual a sua utilidade na minha vida prossional?

Em que situaes ela pode e deve ser aplicada?

Por que importante estudar estatstica?

1.2 Panorama histrico

As cincias tm suas origens na prpria histria do homem. A estatstica, que uma parte da matemtica aplicada, teve origem semelhante matemtica, cuja raiz est associada s contagens de carter prtico e utilitrio. Na Antiguidade, muitos povos j registravam o nmero de habitantes, de nascimentos, de bitos, faziam estimativas das riquezas individuais e sociais, cobravam taxas de impostos e realizavam inquritos quantitativos por tcnicas que, atualmente, so chamadas de estatsticas.

Na Idade Mdia coletavam-se informaes, normalmente com nalidades tributrias. A partir do sculo XVI, as anlises sistemticas de fatos sociais, como nascimentos, batizados, casamentos e funerais, originaram as primeiras tbuas e tabelas e os primeiros nmeros relativos. Mas foi no sculo XVIII que o estudo de fatos como esses foram adquirindo caractersticas verdadeiramente cientcas. A nova cincia (ou mtodo) foi denominada Estatstica por Godofredo Achenwall, que relacionou o seu objetivo com o das cincias. Dessa forma, as tabelas foram complementadas e surgiram outras formas de representao, como grcos e clculos de probabilidades, permitindo assim que a estatstica proporcionasse concluses sobre uma populao (universo) a partir de uma amostra (parte desse universo).


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Atualmente o pblico leigo posiciona-se de duas formas opostas quanto validade das concluses estatsticas: ou cr que so infalveis ou arma que elas no provam nada. Na verdade, as duas formas de pensar esto erradas. Os que pensam de forma extrema no conhecem os objetivos, o campo e as exigncias do mtodo estatstico; ignoram as limitaes da estatstica, sejam tericas ou prticas, ou a conhecem de forma apenas supercial.

Exemplos de aplicaes da estatstica

A classe C consumiu 41,35% do total de bens e servios nas reas urbanas em 2010, aponta pesquisa do DataFolha Popular. As classes A e B, juntas, consumiram 42,9%. O estudo mostra o crescimento ocorrido no consumo da chamada nova classe mdia: em 2002 ela era responsvel por 25,8% do total de compras de bens e servios. J as classes A e B, em 2002, participavam de 58,1% do mercado consumidor.1

Este exemplo mostra a importncia da estatstica, quando auxilia na percepo das modicaes ocorridas no cotidiano das pessoas. Os dados fornecidos mostram ao leitor o desaparecimento da classe B ou, se preferir, o surgimento de uma nova classe social. Exemplos como esse muitas vezes esto em nosso cotidiano, mas sem as ferramentas adequadas no temos a percepo clara dos fatos.

Com base nas estatsticas do Departamento de Polcia Rodoviria Federal (DPRF), o nmero de acidentes em rodovias federais apresentou, entre 2004 e 2009, uma elevao de 41,7%, atingindo o quantitativo de 159,4 mil em 2009.

1 Fonte: Folha de Londrina, Caderno de Economia, edio 24 dez. 2010.

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Como voc pode perceber, essa uma estatstica importante: ela pode servir de alerta aos nossos governantes quanto necessidade de se analisar as leis de trnsito, o estado geral das rodovias ou, at mesmo, se a scalizao nas estradas tem sido feita a contento.

Segundo o F/Nazca, entre os brasileiros com mais de 12 anos, 54% costuma acessar a internet (81,3 milhes de pessoas). O principal local de acesso so as lan houses (31%), seguidas da prpria casa (27%) e das casas de parentes e amigos com 25% (abril/2010). O Brasil o 5 pas com o maior nmero de conexes internet.2

Os exemplos mencionados acima se referem a um levantamento de dados acerca de algum assunto ou tema.

1.3 Denies

Algumas variveis, como grau de escolaridade, gnero (masculino, feminino) ou estado civil, so atributos ou qualidades do indivduo pesquisado. Portanto, so chamadas de variveis ou dados qualitativos. Por outro lado, renda, nmero de carros, nmero de lhos e idade so resultantes de uma mensurao ou contagem, sendo dessa maneira chamados de variveis quantitativas ou dados quantitativos.

Aps a coleta de dados, os mesmos devem passar por um processo de organizao para que possam ser analisados.

Dados brutos so os dados coletados inicialmente na pesquisa e que ainda no passaram por nenhum processo de organizao.

2 Disponvel em: < http://www.fnazca.com.br/index.php/2010/ 11/29/brasil-tem-813-milhoes-de-internautas-em-acao/>. Acesso em: 18 dez. 2011.

Dados so informaes obtidas a partir de pesquisas sobre determinado tema, nas quais se efetuou contagens, observaes ou medidas.


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Rol refere-se aos dados brutos j organizados em ordem crescente ou decrescente de valor.

A organizao desses dados pode ser feita com a utilizao de um simples rol (lista de dados) ou de tabelas ou grcos. Exemplos:

Rol

25, 25, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 35, 35, 37, 38, 39, 40, 41, 43, 45, 47, 48, 49, 49, 49, 50, 50, 50, 50, 51, 51, 52, 53, 54, 55, 55, 56, 56, 57

Os dados foram listados em ordem crescente, sem nenhuma organizao maior, como, por exemplo, acusar dados que se repetem, como o caso dos nmeros 25, 55 etc.

Tabela

Pesos (kg) de alunos da academia de ginstica X:

Pesos Frequncia de alunos

50| ------55 5

55| ------60 10

60| ------65 18

65| ------70 22

70| ------75 17

Observe que neste caso houve um agrupamento dos dados por intervalos. Desta forma, os dados repetidos aparecem na coluna de frequncias. Esse tipo de organizao dos dados, como ser visto posteriormente, de grande utilidade nos clculos estatsticos.

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Mortes cometidas por policiais ...

Mortes cometidas por policiais ...

Rio de Janeiro So Paulo Estados Unidos

Fonte: imagem obtida blog Estado (2009)3

Os grcos normalmente so mais acessveis ao pblico leigo, uma vez que apresentam as informaes normalmente de forma mais imediata.

A palavra estatstica derivada da palavra status, que signica estado, o que justicado em razo dos dados estatsticos estarem associados aos censos realizados na antiga Babilnia, no Egito e no Imprio Romano. poca, o objetivo principal desses levantamentos era prover o Estado de informaes sobre a populao, como, por exemplo, nascimentos e mortes.

No entanto, nos dias atuais a estatstica no se limita a levantamento de dados, clculos de mdias e apresentao de dados em tabelas e grcos.

De que maneira a estatstica pode ser denida ento?

Estatstica um conjunto de mtodos e processos quantitativos que visam a estudar e a medir fenmenos coletivos. Esses mtodos so utilizados para a coleta, classicao, apresentao, anlise e interpretao de dados quantitativos, possibilitando assim concluses e decises pautadas e validadas por esses dados.

3 Disponvel em: . Acesso em: 09 jan. 2011.


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O estudo da estatstica divide-se em duas classicaes principais, a estatstica descritiva e a estatstica inferencial.

Estatstica descritiva a parte da estatstica que tem por objetivo a coleta, descrio e apresentao dos dados observados, porm sem tirar concluses mais genricas (tabelas e grcos).

Estatstica inferencial a parte da estatstica que tem por objetivo tirar concluses a respeito da populao, a partir da amostra utilizada.

Precisamos saber ento o que populao e amostra para o clculo estatstico!

Conjunto de dados

Em um conjunto de dados podemos denir dois tipos distintos de conjuntos: populao e amostra.

Levando-se em considerao que na maioria dos levantamentos de dados impossvel ou impraticvel (o custo torna proibitivo, por exemplo) o tratamento de todos os dados da populao, retira-se uma amostra. Nesse caso, admite-se que a amostra tenha sido escolhida conforme alguma tcnica de amostragem.

Populao: a totalidade dos indivduos (pessoas, animais ou objetos) com atributos comuns, sobre a qual se faz alguma inferncia recebe o nome de populao ou universo. Ou seja, o conjunto de todos os resultados que podem ser encontrados.

Amostra uma parcela dessa populao, utilizada para fazer a pesquisa e destacada segundo normas apropriadas.

Importante: como as concluses relativas populao sero baseadas nos resultados encontrados nas amostras escolhidas,

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necessrio garantir que a amostra seja representativa da populao. Ou seja, esse conjunto de dados deve possuir as mesmas caractersticas bsicas da populao, no que diz respeito ao que vai ser pesquisado.

x1 x2 x3x3 ... xn

Amostra (parte)

Populao (todo)

Inferncia estatstica

Exemplos de identicao de conjunto de dados, amostra e populao:

1 Em um levantamento recente, perguntou-se a 3002 adultos nos EUA se eles liam notcias na internet pelo menos uma vez por semana. Seiscentos adultos responderam que sim. Identique a populao e a amostra. Descreva o conjunto de dados (Fonte: Pew Research Center).4

Soluo: a populao neste caso corresponde s respostas de todos os adultos dos EUA, enquanto a amostra consiste na resposta dos 3.002 adultos dos EUA envolvidos no levantamento.

O conjunto de dados consiste nas 600 respostas positivas (sim) e em 2402 respostas negativas.

Observe: a amostra um subconjunto das respostas de todos os adultos dos EUA.



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2 Uma pesquisa foi feita para se obter informaes sobre as massas corporais de 12.000 crianas. Para tanto, foram selecionadas dessa populao apenas 100 crianas.

Soluo: tamanho da populao 12.000 e o tamanho da amostra 100.

A seguir vamos denir dois termos importantes que sero utilizados em todo o curso: parmetro e estatstica.

Parmetro uma descrio numrica estabelecida para toda uma populao.

Estatstica uma caracterstica numrica estabelecida para uma amostra.

Exemplos de distino entre parmetro e estatstica:

Para os exemplos abaixo analise se o valor numrico descreve um parmetro populacional ou uma estatstica amostral. Justique.

1 Foi feito um levantamento envolvendo 100 indivduos, residentes no bairro X em So Paulo, do sexo masculino, com menos de 40 anos, que j foram internados com problemas cardiovasculares em um hospital X.

Soluo: uma vez que a medida numrica 100 refere-se a um subconjunto de So Paulo, ela uma estatstica amostral.

2 Em uma pesquisa aleatria sobre condies de higiene das lanchonetes de certo shopping, vericou-se que 23% no estavam dentro das condies bsicas de saneamento estabelecidas pela lei.

Soluo: como a medida numrica de 23% refere-se a um subconjunto da populao, ela um parmetro amostral.

O termo pesquisa aleatria, neste caso, signica que a escolha das lanchonetes foi feita ao acaso.

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3 A mdia nal dos 200 estudantes formados pela universidade X em certo ano foi de 85 pontos.

Soluo: como a medida de 85 pontos refere-se a todos os estudantes formados, ela um parmetro populacional.

EXERCCIOS

1 O que estatstica? Por que importante estudar estatstica?

2 Em que situaes devemos usar uma amostra, ou seja, uma parcela da populao para fazer uma pesquisa?

3 Quais cuidados devem ser tomados ao selecionar essa amostra?

4 De que trata a estatstica inferencial?

5 Qual a origem da palavra estatstica?

Nos exerccios 6 a 8 classique o conjunto de dados em populao ou amostra. Justique.

6 Foi feito um levantamento sobre 100 funcionrios de uma indstria que possui 1000 funcionrios.

7 Uma pesquisa listou todas as notas de cada aluno de uma escola.

8 Um grupo de senhoras listou o preo de 500 produtos de uma loja que tem 2.000 produtos.

9 Diferencie estatstica descritiva e estatstica diferencial. Uma amostra grande de homens com 48 anos de idade foi estudada durante 18 anos. Entre 60% e 70% dos homens solteiros estavam vivos aos 65 anos de idade. Entre os

Vamos conversar a respeito de algumas nuances importantes para a continuidade do nosso estudo!

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homens casados, 90% estavam vivos aos 65 anos de idade. Que parte do estudo representa o ramo descritivo da estatstica? Que concluses podem ser tiradas desse estudo usando a estatstica diferencial (Larson & Farber, 2007)?

10 Uma pesquisa realizada em um campus da Unip mostrou que 90% dos estudantes tinham um grau de averso por matemtica (em consequncia, por estatstica). Isso signica que a maioria dos estudantes tem averso estatstica?

Observe que os mtodos estatsticos fornecem um razovel grau de certeza sobre particularidades de uma populao, a partir do cuidado com a seleo da amostra. No entanto, quando a amostra no se confunde com a populao (a amostra no a populao e, sim, parte dela) qualquer armao a respeito da populao (ou seja, da totalidade) uma inferncia uma possibilidade com razovel grau de certeza, mas no absoluta.

Por hora s estamos analisando as possibilidades que as ferramentas estatsticas apresentam. Tanto elas podem ser ferramentas preciosas em pesquisas cientficas quanto podem ser mal utilizadas, com o intuito de distorcer dados da realidade. Portanto, o leitor deve estar sempre atento ao contexto de uma informao, no apenas em resultados prontos apresentados, por exemplo, pela mdia ou por publicaes que no foram auditadas por pessoas capacitadas.

Resoluo dos exerccios

1 um conjunto de mtodos e processos quantitativos utilizados para estudar e medir fenmenos coletivos. importante o seu estudo porque fornece ferramentas adequadas para que se tenha a percepo clara dos fatos

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do cotidiano permitindo, portanto, concluses e decises por meio de pesquisas.

2 Quando for impossvel ou impraticvel o tratamento de todos os dados da populao (o que acontece na maioria das vezes). Neste caso, seleciona-se uma amostra, segundo mtodos que sero apresentados posteriormente.

3 A amostra deve ser escolhida conforme alguma tcnica de amostragem, para que seja representativa da populao.

4 a parte da estatstica que tem por objetivo tirar concluses a respeito da populao, a partir da amostra utilizada.

5 A palavra estatstica derivada da palavra status, que signica estado, o que justicado em razo dos dados estatsticos estarem associados aos censos realizados na antiga Babilnia, no Egito e no Imprio Romano, cujo objetivo era fazer o levantamento de dados sobre assuntos relacionados ao Estado, como nascimentos e mortes.

6 Os 100 funcionrios constituem uma amostra do universo (todo) de 1.000 funcionrios da indstria. Ou seja, os 100 funcionrios constituem uma amostra porque representam apenas uma parcela da populao (1.000) de funcionrios da indstria.

7 Este levantamento corresponde aos dados da populao porque foram listadas as notas de todos os alunos da escola e no apenas de parte deles (o que corresponderia a uma amostra).

8 Os 500 produtos correspondem a uma amostra, uma vez que a loja possui 2.000 produtos.

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9 A estatstica descritiva inclui informaes tais como entre 60% e 70% dos homens solteiros estavam vivos aos 65 anos de idade e entre os homens casados, 90% estavam vivos aos 65 anos. Uma possvel inferncia tirada desse estudo a de que o fato de ser casado est associado com uma vida mais longa para os homens.

10 Esta questo foi colocada com o propsito de mostrar o quanto podem ser perigosas as ferramentas estatsticas quando utilizadas erroneamente, ou at mesmo com ms intenes. Foi frisada acima a importncia de uma amostra ser representativa em relao populao. No h indicativos na questo proposta de como a amostra foi selecionada nem das condies conhecidas de antemo sobre o campus.

Vamos considerar as seguintes possibilidades:

a) sabido de antemo que o campus s abriga cursos da sade;

b) o percentual de cursos do ICET neste campus pequeno.

Nestas duas possibilidades (existem outras, um bom exerccio para o leitor pensar nas nuances possveis deste campus imaginrio), uma pesquisa precisa de condies especiais de vericao, tanto em relao seleo da amostra quanto forma como os estudantes sero abordados e forma de anlise dos dados obtidos (contedo da disciplina do prximo perodo, estatstica indutiva).

Uma das medidas estatsticas que veremos a seguir neste texto a mdia aritmtica simples. Como voc j sabe de sua experincia como estudante, a mdia aritmtica simples obtida a partir do quociente entre a soma de dados obtidos (no caso, suas notas em dada matria) e o nmero de vezes que os dados aparecem (quantas provas voc realizou).

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Por exemplo: vamos considerar que voc seja um aluno da UNIP. Na prova P1 sua nota em Estatstica foi 6,0 e na prova P2 foi 8,0. Como a mdia de aprovao na UNIP, sem exame, 7,0, voc foi aprovado, uma vez que sua mdia nal 7,0.

MF = + =6 0 8 02

7 0, ,

,

No exemplo acima, sua mdia nal mostra que voc sabe exatamente 70% do contedo dado?

Quais sero os critrios para se estabelecer notas de corte em concursos vestibulares e os critrios de aprovao?

Qual a razo de um jovem precisar ter ao menos 18 anos para se submeter a um exame que permita dirigir?

Pensou a respeito? Percebeu que muitos critrios que regem nossas vidas so estabelecidos a partir de uma avaliao geral do comportamento das pessoas?

Estes critrios, denominados arbitrrios, no so estabelecidos por gosto e, sim, por estudos estatsticos que possibilitam estabelecer que, a partir de certos ndices, a maioria das pessoas est apta a exercer certas atividades. Isso no signica que todas as pessoas esto aptas. Esse critrio, evidentemente, como todas as decises humanas, pode abrigar injustias. Alguns estudantes podem saber mais do que 70% do contedo da disciplina e no serem aprovados sem exame porque houve alguma interferncia externa quando das avaliaes (doenas, morte de familiares etc.); o mesmo pode ocorrer por ocasio de concursos. Adultos podem ter comportamentos irresponsveis que jovens de menor idade no teriam. Mas, neste caso, outras habilidades tambm so consideradas a partir de anlises estatsticas (como reexos, por exemplo).

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Entendeu o recado? Voc estuda tambm para estar mais capacitado a tomar decises de razes prticas em seu cotidiano e no apenas para se formar prossionalmente.

Pense nisso quando se sentir tentado a ultrapassar os limites de velocidade estabelecidos para ruas e rodovias (por que eles existem? Quais as condies que interferiram nestas demarcaes?).

O que signicam os limites estabelecidos em seus exames de sangue?

Por que voc atravessa a rua mesmo visualizando um carro em sua direo?

Voc saber detectar inmeras situaes equivalentes a partir deste curso.

H uma conhecida ironia estatstica, perfeita para uma montagem com os personagens vividos por Paulo Gracindo (primo rico) e Brando Filho (primo pobre), no quadro humorstico Primo rico, primo pobre. A anedota foi montada a partir de uma imagem antiga.

Cena 1:

Hoje eu comi um faiso inteiro. Nada como um charuto cubano para

complementar o prazer de uma refeio assim.

Que bom, primo. Eu, em compensao, no comi nada desde ontem.

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Cena 2:

Primo, voc precisa olhar a vida pelo seu lado bom. Na mdia, ns comemos meio faiso cada um.

Pense bem: eu comi um faiso, voc no comeu nenhum. Mas ns somos

duas pessoas, portanto:

MF = + =1 02

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Fonte: imagens disponveis em: . Acesso em: 09 jan. 2011.

Sugesto de leitura

A anedota mostra como o saber pode manipular a favor do poder. Em minha Dissertao de Mestrado (Bernardes, 2003) tratei de questes impostas e tambm reguladoras do exerccio da prosso docente. No entanto, o leitor interessado nas articulaes existentes entre o poder e o saber poder generalizar para qualquer prosso as discusses estabelecidas neste texto. Nele, o prossionalismo tratado como um discurso prprio do capitalismo, pautado no saber, mas, simultaneamente, proporcionando condies para o avano do saber.

A articulao de duas tcnicas de poder, as disciplinas do corpo e a regulao da populao tm se constitudo, segundo Foucault (1988), na grande tecnologia do poder da atualidade. Porm, estas tcnicas no so negativas, mas positivas, quando delas se extrai qualquer valor moral ou poltico e observa-se apenas a tecnologia empregada: no seria possvel uma populao como a atual, nas condies existentes, sem determinadas tcnicas empregadas na produo de alimentos, por exemplo. Desta forma, o poder disciplinar no destri o indivduo, ao contrrio, ele uma produo do poder e do saber.

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As contingncias impem a necessidade do poder ser competente e buscar a produo, o acmulo e a transmisso do saber. Em contrapartida, o saber, ao instrumentar o poder, assegura o exerccio de um poder para quem o detm: o domnio do perito. , portanto, a partir destas prticas disciplinares que Foucault (1996) sugere a busca do porqu do aparecimento dos domnios de saber: poder e saber implicam-se mutuamente. Uma perspectiva, portanto, como apontou Freidson (1998), para o entendimento da multiplicidade de formas histricas assumidas pela denio de prosso. As prosses, observa o autor, tm sido agentes que criam e fazem avanar o conhecimento incorporado nas disciplinas, quando seus membros projetam esse conhecimento nos assuntos humanos e do Estado.

1.4 Organizao e apresentao dos dados

1.4.1 Tabelas

A apresentao dos dados em uma tabela um dos mtodos estatsticos mais utilizados. Uma tabela estatstica consegue expor os resultados de determinada pesquisa sinteticamente, na qual se tem uma viso mais clara e fcil dos resultados obtidos. Ao se dispor os dados em linhas e colunas distribudos de forma ordenada, segundo regras estabelecidas, tem-se as tabelas estatsticas.

1.4.1.1 Elementos de uma tabela

Ttulo: precede a tabela e contm a designao do fato observado, o local e a poca em que foi registrado;

Corpo: contm os dados pesquisados;

Cabealho: a parte superior da tabela que especica o contedo das colunas;

Fonte: situada no rodap da tabela e especica a entidade responsvel.

Como voc pode observar, a tabela deve ser autoexplicativa, ou seja, deve conter todas as informaes importantes a respeito do que est sendo pesquisado, sem que seja necessrio ler todo o trabalho.

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1.4.1.2 Distribuio de frequncia

Distribuio de frequncia: as distribuies de frequncias podem ser divididas em duas categorias, de acordo com o tipo de varivel em estudo. Ou seja, varivel discreta ou varivel contnua.

Varivel discreta: quando a amostra grande, mas o nmero de observaes distintas pequeno. Para se construir uma distribuio de frequncias, basta dispor os dados em duas colunas: uma para os dados observados e outra para as frequncias correspondentes a cada valor.

Exemplo: notas dos alunos da turma X em Estatstica.

Notas Frequncia de alunos

50 10

60 8

65 10

70 9

80 8

90 10

95 5

Fonte: Secretaria da UNIP, campus de Bauru.

Varivel contnua: quando o tamanho da amostra grande e o nmero de observaes distintas tambm. Para construir a distribuio de frequncias devemos dispor os dados em classes que possuam amplitude dentro das quais se incluiro os dados.

Exemplo: volume exportado ($) de empresas eletrnicas, pas X, ano 2010.

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Volume exportado Nmero de empresas

5000|----------6000 1

6000|----------7000 3

7000|----------8000 8

8000|----------9000 8

9000|---------10000 11

10000|----------11000 6

11000|---------12000 3

Fonte: dados ctcios

1.4.1.3 Construo de tabelas de distribuio de frequncia (dados isolados)

Frequncia absoluta (fi): coluna que apresenta os dados coletados de acordo com o nmero de ocorrncias em relao particularidade a ser estudada.

Observe que a somatria das frequncias fi dever coincidir com o nmero de dados coletados.

Frequncia relativa absoluta (fri): a razo entre a frequncia relativa e o nmero total de dados coletados.

ffnrii=

Observe que a somatria das frequncias fri dever resultar 1.

A=]0,2] A=]0,2] A

Frequncia relativa absoluta percentual (fri %): a razo entre a frequncia relativa e o nmero total de dados coletados, apresentados em forma de percentagem.

ffnrii(%) .= 100

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Ou:

fri(%)=fri.100

Observe que a somatria das frequncias fri dever resultar 100.

Frequncias absolutas cumuladas (Fac): trata-se da adio da frequncia absoluta adicionada s suas anteriores. Observe que o resultado nal dever coincidir com o nmero de dados coletados.

Exemplos:

1 Sejam os dados referentes s idades de um grupo de adolescentes: 12, 14, 14, 14, 15, 15, 17, 17, 17,17.

Construir uma tabela por distribuio de frequncias, indicando as frequncias absolutas (fi), frequncias relativas absolutas (fri), frequncias relativas absolutas percentuais (fri%) e frequncias absolutas acumuladas (Fac)

Idade (xi)

FrequnciaAbsoluta

(fi)

Frequncia relativa abs.

(fri)

Frequncia relativa abs.percentual

(fri %)

Frequncias abs.acumuladas

(Fac)

12 1 1/10= 0,1 10% 1

14 3 3/10= 0,3 30% 4

15 2 2/10= 0,2 20% 6

17 4 4/10= 0,4 40% 10

Total 10 1,0 100% -

Se a populao ou a amostra em questo muito grande, torna-se difcil observar as diferentes caractersticas ou mesmo calcular os estimadores da amostra. Nesse caso, pode ser interessante organizar ou agrupar os dados originais em classes e determinar o nmero de indivduos pertencentes a cada

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classe. Este nmero obtido chamado de frequncia de classe. A frequncia de classe determinada pela soma das frequncias de todos os valores existentes dentro da classe.

2 Construo de tabelas de distribuio de frequncia (dados agrupados em classes).

Os dados a seguir representam o consumo anual (toneladas) de inseticida de uma amostra aleatria de lavradores de certa regio durante um ano.

Amostragem:

11, 12, 15, 18, 22, 27, 32, 35, 38, 40, 42, 48, 50, 56, 63, 67, 70, 70, 75, 80, 87, 90, 97, 100, 105, 110, 115, 120, 120, 125, 125, 126, 127, 130, 130, 130, 132, 138, 142, 145, 150, 155. 155, 160, 160, 170, 170, 175, 178.

O rol j est disposto em ordem crescente. Caso no estivesse, seria necessrio ordenar os dados de forma a destacar os limites inferiores e superiores.

a) Tamanho da amostra: n = 49.

O nmero de classes deve ser escolhido de acordo com a convenincia, levando-se em conta a utilizao de arredondamento de nmeros ou outros fatores de interesse, como o desejo ou a necessidade de se resumir mais a tabela ou de expandi-la.

Uma sugesto de literatura k n= , em que k seria o nmero de classes ou intervalos a serem utilizados na construo da tabela.

No exemplo do consumo anual de inseticida:

b) Nmero de classes:

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k = 49

K = 7 classes

c) Amplitude de cada classe

Amplitude de cada classe

Ac = At / K

Onde At = limite superior do rol limite inferior do rol

Prosseguindo no exemplo dado, como os dados obtidos j foram dispostos em ordem crescente, observa-se que o limite superior do rol 178 e o limite inferior 11. Como o nmero de classes escolhido foi 7, temos:

Ac = (178 11) / 7

Ac = 23,86 (ou seja, arredondando, 24)

d) Construo da tabela por classes de valores (dados agrupados em classes).

Na construo da tabela por classes, elege-se como representante de classe o ponto mdio.

Consumo anual (toneladas) de inseticida de uma amostra aleatria de lavradores de certa regio durante um ano.

Classe Freq. abs. (fi )Ponto mdio da classe

(PMi)Freq. rel. abs. percent.

(fri%)Freq. acum.

(Fac)

11|--------35 7 (11+35)/2 = 23 (7/49) x 100=14,29 7

35|--------59 7 (35+59)/2= 47 (7/49) x 100=14,29 14

59|--------83 6 (59+83)/2= 71 (6/49) x 100=12,24 20

83|-------107 5 (83+107)/2= 95 (5/49) x 100=10,20 25

107|-----131 8 (107+131)/2=119 (8/49) x 100=16,33 33

131|-----155 8 (131+155)/2=143 (8/49) x 100=16,33 41

155|-----179 8 (155+179)/2=167 (8/49) x 100=16,33 49

Total 49

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Ateno: utilizando-se o valor do ponto mdio (PMi) como o nico representante de cada classe presume-se, no entanto, perda de preciso.

1.4.2 Histogramas

1.4.2.1 Grcos de barras

So formas de apresentao da frequncia dos dados de um levantamento, nas quais a visualizao a partir de um grco constitudo por barras.

Programas como o Excel fornecem diversos modelos de grcos de barras, inclusive em trs dimenses.

As imagens a seguir foram obtidas com o auxlio da ferramenta do Word inserir grco, que abre uma srie de possibilidades de grcos:

Quando se opta pelo modelo coluna (vide guras a seguir), abre-se uma planilha do Excel para a insero dos dados:

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Os dados inseridos na planilha do Excel foram retirados da tabela:

Srie 1 Srie 2 Srie 3

Categoria 1 4,3 2,4 2



Categoria 4 4,5 2,8 5,0

E apresentados no grco gerado pelo prprio Excel:

6

5

4

3

2

1

0Categoria 1 Categoria 2 Categoria 3 Categoria 4

Srie 1Srie 2Srie 3

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O programa oferece outras formas de visualizao, como a da gura a seguir, que apresenta os mesmos dados da gura anterior:

5

Categoria 1 Categoria 2 Categoria 3 Categoria 4

Srie 1Srie 2Srie 3

4,54

3,53

2,52

1,51

0,50

1.4.2.2 Grcos de barras de dados agrupados

Uma boa representao grca para dados agrupados o histograma. Este grco de barras usado para a representao de frequncias. Normalmente so usadas frequncias relativas por sua relao com probabilidades.

Exemplo:

A tabela apresenta os resultados de um hipottico estudo da durabilidade de uma ferramenta. Escolhido um intervalo de tempo (10 horas, neste caso), as peas da amostra (150, neste caso) foram agrupadas de acordo com a faixa de durabilidade, resultando na coluna Quantidade da tabela.

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Tabela: vida til da ferramenta

Vida em horas Xm QuantidadeFrequncia relativa %

Frequncia relativa acumulada %

50-60 55 5 3,3 3,3

60-70 65 7 4,7 8,0

70-80 75 10 6,7 14,7

80-90 85 21 14,0 28,7

90-100 95 33 22,0 50,7

100-110 105 32 21,3 72,0

110-120 115 22 14,7 86,7

120-130 125 13 8,7 95,3

130-140 135 2 1,3 96,7

140-150 145 3 2,0 98,7

150-160 155 2 1,3 100

Freq. relativa %

valores

30

20

10

040 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160

Grco de frequncias relativas

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Freq. relat. acumul.

40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160

Valores

100

90

80

70

60

50

40

30

20

10

0

Grco de frequncias relativas acumuladas

Fonte: exemplo e guras obtidas em MSPC Informaes Tcnicas (2009).5

Ogiva: o grco de linha que passa pelos valores superiores das faixas do histograma de frequncias acumuladas (indicado em linhas tracejadas na gura que representa o grco de frequncias relativas acumuladas).

1.4.3 Polgonos de frequncia

Os dados de um levantamento podem ser representados por intermdio de um polgono de frequncia, que nada mais do que a unio dos pontos mdios de cada coluna do histograma (coluna xm ).

Exemplo:

Utilizando a mesma tabela do exemplo anterior, insere-se duas linhas (faixas 40-50 e 160-170) com quantidades zero para fechar o polgono. Este ento representado a partir do histograma ou somente por um grco de linha.

5 Disponvel em: < http://www.mspc.eng.br/matm/prob_est300.shtml>. Acesso em: 27 jan. 2011.

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Tabela: vida til da ferramenta

Vida em horas Xm Quantidade Frequncia relativa %

40-50 45 0 0

50-60 55 5 3,3

60-70 65 7 4,7

70-80 75 10 6,7

80-90 85 21 14,0

90-100 95 33 22,0

100-110 105 32 21,3

110-120 115 22 14,7

120-130 125 13 8,7

130-140 135 2 1,3

140-150 145 3 2,0

150-160 155 2 1,3

160-170 165 0 0

Freq. relativa %

valores

30

20

10

040 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160

1.5 Medidas de posio ou tendncia central

So medidas que fornecem uma ideia sobre o comportamento do conjunto de dados estudado. uma forma de resumir o conjunto atravs de um valor nico, que representa em termo mdio todo o conjunto.

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Veja que essas medidas so importantes para situaes em que no temos necessidade de mostrar todos os resultados, mas apenas um que nos d uma posio referente a todo o conjunto. Por exemplo, pode no interessar para a coordenao de um curso saber a mdia de cada aluno de uma turma, mas sim qual foi a mdia aritmtica das notas daquela turma ou a nota mediana ou a nota modal (maioria).

1.5.1 Mdia aritmtica (x)

1.5.1.1 Mdia aritmtica simples

Quando desejamos conhecer a mdia dos dados no agrupados, obtemos a mdia aritmtica simples.

Mdia aritmtica o quociente da diviso da soma dos valores da varivel pelo nmero deles:

x

x

n

ii

n

_=

1

Sendo:

x a mdia aritmtica;

xi os valores da varivel;

n o nmero de valores.

Exemplo:

Sabendo-se que a produo de suco diria de uma pequena indstria durante uma semana foi de 100, 145, 135, 150, 160, 180 e 100 litros tem-se, para a produo mdia da semana:

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Soluo:

x

x

n

ii

n

_,= = + + + + + =

1 100 145 155 160 180 100

7142 14

Logo: x = 142,14 litros

1.5.1.2 Mdia aritmtica ponderada

Neste caso, as frequncias so nmeros indicadores da intensidade de cada valor da varivel; elas funcionam, portanto, como fator de ponderao, o que nos leva a calcular a mdia aritmtica ponderada.

Mdia Aritmtica Ponderada

Nos clculos envolvendo mdia aritmtica simples, todas as ocorrncias tm exatamente a mesma importncia ou o mesmo peso. Dizemos ento que elas tm o mesmo peso relativo. Porm, existem casos onde as ocorrncias tm importncia relativa diferente. Nestes casos, o clculo da mdia deve levar em considerao esta importncia relativa ou peso relativo. Este tipo de mdia chama-se mdia aritmtica ponderada. Ponderar signica pesar. No clculo da mdia ponderada, multiplicamos cada valor do conjunto por seu peso, isto , por sua importncia relativa.6

x

x f

f

i ii

n

ii

n

_.

=

1

1

Sendo fi o peso de cada varivel xi6 Disponvel em: < http://www.somatematica.com.br/fundam/

medias.php>. Acesso em: 27 jan. 2011.

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Exemplos:

1 Os dados a seguir mostram os preos correspondentes a um mesmo produto em 20 locais diferentes: 5, 5, 6, 6, 6, 7, 7, 8, 9, 9, 9, 9, 10, 10, 10, 10, 10, 11, 11, 12.

Soluo: o modo mais prtico de obteno da mdia ponderada abrir, na tabela, uma coluna correspondente ao produto xi.fi:

Preo (xi) Nmero de locais (fi) xi.fi

5 2 10

6 3 18

7 2 14

8 1 8

9 4 36

10 5 50

11 2 22

12 1 12

fii

n

= 20

1

x fi ii

n

. =

1

170

Logo:

x

x f

f

i ii

n

ii

n

_.

,= = =

1

1

17020

8 5

Portanto, o preo mdio do produto nos 20 locais pesquisados de R$ 8,50, ou seja,

x = R$ 8,50

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2 Um professor passou um trabalho para ser feito em casa e que deveria ser entregue no dia da prova do ms. Ele atribuiu pesos diferentes para as duas avaliaes. Se a prova e o trabalho tiverem pesos 3 e 1, respectivamente, e se um aluno tirar 70 na prova e 90 no trabalho, qual ser a mdia do aluno?

Soluo:

x

x f

f

i ii

n

ii

n

_.

. .= = + =

1

1

70 3 90 14

75

Portanto, a mdia do aluno ser de 75 pontos, ou seja,

x = 75 pontos

Observe que a nota da prova tinha maior peso (peso 3) e o trabalho, menor peso (peso 1). Em decorrncia dessa diferena de peso, a mdia nal teve maior inuncia da nota da prova (70), resultando no valor nal de 75.

1.5.1.3 Mdia aritmtica para dados agrupados numa distribuio de frequncias

Nesse caso, as variveis (xi) sero representadas pelos pontos mdios de cada classe da tabela.

Mdia aritmtica para dados agrupados em classes utilizada quando possvel estabelecer classes de valores. Ento necessrio obter o ponto mdio que represente cada intervalo. Esse ponto mdio (Pmi) a mdia aritmtica simples dos valores extremos que compem cada classe ou intervalo. No clculo da mdia aritmtica para dados agrupados em classes, multiplicamos cada ponto mdio do conjunto por seu peso, isto , por sua importncia relativa.

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x

P f

f

mi ii

n

ii

n

_.

=

1

1

Sendo fi o peso de cada varivel Pmi

Exemplo:

Calcular a mdia aritmtica das estaturas do grupo de crianas recm-nascidas, apresentadas na tabela abaixo.

Classicao das crianas recm-nascidas por estatura:

Estatura (cm) fi Pmi Pmi. fi32|--------- 34 2 33 66

34|----------36 9 35 315

36|----------38 15 37 555

38|----------40 25 39 975

40|----------42 10 41 410

42|----------44 7 43 301

fii

n

= 68

1

Pm fi ii

n

. = 2622

1

Assim:

x

P f

f

mi ii

n

ii

n

_.

,= = =

1

1

262268

38 56

Portanto, a estatura mdia deste grupo de crianas recm-nascidas 38,56 cm.

Lembre-se de que a mdia aritmtica deve estar sempre entre os valores estudados. Nesse caso, como as mdias de estaturas variavam de 32 a 44 cm, a mdia obrigatoriamente deve estar dentro desse intervalo.

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1.5.2 Mediana

A mediana de uma srie de n dados dispostos em ordem crescente ou decrescente o elemento que ca na posio central. Caso o nmero de dados seja par, a mediana ser a mdia entre os dois pontos centrais do conjunto.

Exemplos:

1 As estaturas (m) de 9 pacientes que frequentam uma clnica nutricional so dadas pelos seguintes valores:

1,48 1,50 1,52 1,55 1,57 1,60 1,63 1,65 1,67

Obter a mediana do conjunto.

Soluo: uma vez que o nmero de dados 9 (um nmero mpar), a mediana o ponto mdio, ou seja, a estatura mediana 1, 57m.

2 Um paciente cuja estatura 1,60m deixa de frequentar a clnica nutricional do exemplo acima. Qual a estatura mediana dos pacientes restantes?

Soluo: as estaturas restantes so: 1,48 1,50 1,52 1,55 1,57 1,63 1,65 1,67.

Uma vez que o nmero de dados 8 (um nmero par), a mediana a mdia entre os dois pontos mdios.

(1,55 + 1,57) / 2 = 1,56m

Assim, a mediana das estaturas dos pacientes remanescentes da clnica de 1,56m.

3 Calcule a mediana da distribuio a seguir. Ela representa o nmero de erros cometidos por dia pelo sistema

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ine

Di

agra

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2/11

//

2 R

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o: E

lain

e -

Corr

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: Mr

cio

- 24

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2011

computacional, em um departamento de auditoria. Foram registrados os dados por um perodo de112 dias.

Nmero de erros cometidos por um sistema de computador:

Nmero de erros Frequncia de dias Frequncias acumuladas

0 21 21

1 15 36

2 20 56

3 15 71

4 20 91

5 20 111

fii

n

= 111

1

Soluo: uma vez que o nmero de dados mpar (que nesse caso dado pela soma das frequncias), o valor mediano ser dado pelo ponto mdio da soma das frequncias (55,5). Ou seja, a mediana corresponde ao nmero 2. Portanto, a mediana igual a 2 erros.

1.5.3 Moda

A moda de um conjunto de dados o valor com maior frequncia, ou seja, o valor que mais se repete. Se dois ou mais valores se repetirem com a mesma frequncia, cada valor uma moda e os dados so chamados de bimodais (duas modas) ou polimodais (vrias modas).

Exemplo:

1 Sejam os nmeros 3, 5, 5, 5, 5, 9, 10, 10, 10, 10, 15 correspondentes s idades (meses) de certo grupo de bebs. Encontre a moda das idades dos bebs.

Importante!

Um conjunto de nmeros pode no ter moda (amodal), quando todos os valores ocorrerem com a mesma frequncia.

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Idades Frequncia

3 1

5 4

9 1

10 4

15 1

Soluo: as idades 5 meses e 10 meses aparecem quatro vezes, enquanto as demais idades aparecem somente uma vez. Assim, as modas das idades dos bebs so 5 meses e 10 meses.

2 Encontre a moda correspondente s massas corporais dos alunos relacionados na tabela abaixo.

Massa corporal (kg) dos alunos do 2o grau do colgio X.

Massa corporal (kg) Frequencia (fi)

40 35

45 47

46 36

57 20

62 3

Soluo: para a obteno da moda, inicialmente identica-se qual a maior frequncia, que no caso 47. Este valor corresponde massa corporal de 45 kg. Portanto, a massa corporal mais frequente nesta amostra 45 kg.

3 Sejam os nmeros: 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10. Encontre o valor correspondente moda desse conjunto.

Soluo: como todos os valores tm a mesma frequncia, ou seja, todos aparecem uma nica vez, no existe moda, portanto o conjunto amodal.

Veja que nesse caso temos duas modas (dois valores com maior frequncia), o que indica um conjunto bimodal.

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1.6 Medidas de disperso

Para se avaliar quantitativamente o grau de variabilidade ou disperso dos valores de um conjunto de nmeros em torno do valor mdio usamos as medidas de disperso. Entre as principais que estudaremos esto: a varincia, o desvio padro e o coeciente de variao.

O grau de disperso de um conjunto de observaes pode ser obtido pela mdia dos desvios dos dados em relao mdia do conjunto de observaes feita.

Veja que quanto maior o grau de disperso de um conjunto de dados mais heterogneo ele se apresenta. Se compararmos vrios conjuntos, o que tiver menor disperso ser o mais homogneo; ou seja, seus dados esto apresentando menor variao em relao medida central.

1.6.1 Varincia e desvio padro

1.6.1.1 Varincia e desvio padro para dados isolados simples

Orientaes para o clculo da varincia e do desvio padro amostral e populacional Dados Isolados Simples.

1 Calcular a mdia aritmtica amostral:

x

x

n

ii

n

_=

1

Ou populacional:

_= xN

ii

N

1

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2 Calcular o desvio de cada dado em relao mdia amostral ou populacional:

( )_

x xi

(xi )

3 Elevar ao quadrado cada desvio em relao mdia amostral ou populacional:

( )_

x xi 2

(xi )2

4 Somar os resultados para obter a soma dos quadrados.

( )_

x xii

n

2

1 ou ( )xi

i

N

2

1

5 Dividindo-se por n-1 (n o nmero de dados da amostra) o resultado anterior obtm-se a varincia amostral e por N-1 (N o nmero de dados da populao) obtm-se a varincia populacional, respectivamente:

s

x x

n

ii

n

2

2

1

1=

( )

_

2

2

1

1=

( )x

N

ii

N

6 Determinando a raiz quadrada encontramos o desvio padro:

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amostral

s s= 2

ou populacional

= 2

Exemplo:

Determinar a varincia e o desvio padro amostrais da massa corporal inicial (kg) de adolescentes submetidos a uma dieta especial.

Massas corporais iniciais: 37 38 39 41 41 41 42 44 45 47

Soluo: determinar o desvio de cada massa inicial em relao massa mdia do grupo de adolescentes.

Em relao s massas iniciais a mdia :

x

x

n

ii

n

_,= = + + + + + + + + + = =

1 37 38 39 41 41 41 42 44 45 47

1041510

415

Logo x = 41,5 Kg.

Para se determinar como cada massa individual se desvia da mdia do grupo s subtrair 41,5 dela. Por exemplo, o desvio de 41 kg :

41 41,5 = 0,5.

Depois, esse resultado deve ser elevado ao quadrado: (-0,5)2 = 0,25.

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A tabela a seguir mostra os desvios e os quadrados dos desvios de cada uma das dez massas corporais iniciais.

Massa (Kg) xi Desvio (xix) Quadrados Desvio (xix)2

37 - 0,5 0,25

38 -3,5 12,25

39 -2,5 6,25

41 -0,5 0,25

41 -0,5 0,25

42 0,5 0,25

44 2,5 6,25

45 3,5 12,25

47 5,5 30,25

xii

n

= 415

1 ( )

_x xi

i

n

= 0

1 ( ) ,

_x xi

i

n

= 2

1

88 5

Como

s

x x

n

ii

n

2

2

1

1=

( )

_

s288 510 1

88 59

9 83=

= =, , ,

s = 9 83,

s 314,

Logo, a varincia amostral das massas corporais iniciais 9,83 e o desvio padro de 3,14 Kg.

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1.6.2 Varincia e desvio padro para dados isolados ponderados

Orientaes para o clculo da varincia e do desvio padro amostral e populacional dados isolados ponderados

1 Calcular a mdia aritmtica amostral

x

x f

f

i ii

n

ii

n

_.

=

1

1

ou a mdia aritmtica populacional

=

x f

f

i ii

N

ii

N

.1

1


( )_

x xi

(xi )

3 Elevar ao quadrado cada desvio em relao mdia amostral ou populacional:

( )_

x xi 2

(xi )2

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4 Somar os resultados para obter a soma dos quadrados e multiplicar por cada frequncia correspondente.

( ) ._

x x fii

n

i 2

1 ou ( ) .x fi

i

N

i 2

1

5 Dividindo-se por (n-1) (n o nmero de dados da amostra) o resultado anterior obtm-se a varincia amostral e por (N-1) (N o nmero de dados da populao) obtm-se a varincia populacional, respectivamente:

s

x x f

n

i ii

n

2

2

1

1=

( ) .

_

2

2

1

1=

( ) .x f

N

i ii

N

Exemplo:

Determinar a varincia e o desvio padro amostrais dos preos (R$) para os produtos a seguir:

Preos (R$) xi Frequncia fi5 2

7 3

8 5

9 4

11 2

Total 16

Soluo: seguir as orientaes dadas no quadro explicativo para o clculo de varincia e desvio padro para dados isolados

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simples, ou seja, determinar o desvio de cada preo para o grupo de produtos.

Preos ($) xi Frequncia fi xi.fi (xix)2.fi

5 2 10 (5 8,06)2.2 = 18,73

7 3 21 (7 8,06)2.3 = 3,37

8 5 40 (8 8,06)2.5 = 0,02

9 4 36 (9 8,06)2.4 = 3,53

11 2 22 (11 8,06)2.2 = 17,29

n fi

n

i= =

1

16 x fii

n

i =

1

129. ( ) . ,_

x x fii

n

i = 2

1

42 94

a) Clculo da mdia aritmtica

x

x f

n

ii

n

i_.

=

1

x

x f

n

ii

n

i_.

,= = =

1 12916

8 06

Logo,

x= R$8,06

b) Clculo da varincia

s

x x f

n

i ii

n

2

2

1

1=

( ) .

_

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s242 9416 1

=,

s242 9415

= ,

s2=2,86

c) Clculo do desvio padro

s2=2,86

s = 2 86,

s=1,69

Logo,

S = R$1,69

1.6.3 Varincia e desvio padro para dados agrupados em classes

Orientaes para o clculo da varincia e do desvio padro de uma amostra dados agrupados em classes

1 Calcular a mdia aritmtica amostral

x

Pm f

f

i ii

n

ii

n

_.

=

1

1

Ou a mdia aritmtica populacional

45


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: Mr

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- 24

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=

Pm f

f

i ii

N

ii

N

.1

1


(Pmix)

(Pmi)

3 Elevar ao quadrado cada desvio calculado anteriormente:

(Pmix)2

(Pmi)2

4 Somar os resultados para obter a soma dos quadrados e multiplicar por cada frequncia correspondente.

( ) ._

Pm x fi ii

n

2

1

( ) .Pm fi ii

N

2

1

5 Dividindo-se por (n -1) obtm-se a varincia amostral e por (N -1) obtm-se a varincia populacional, respectivamente.

s

Pm x f

n

i ii

n

2

2

1

1=

( ) .

_

2

2

1

1=

( ) .Pm f

N

i ii

N

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Sendo: X = ( xifi) ( fi)

X a mdia aritmtica;

xi os valores da varivel;

fi o nmero de valores.

6 Determinando a raiz quadrada encontramos o desvio padro amostral

s s= 2

Ou populacional

= 2

Obs:

n fii

n

=

1

N fii

N

=

1

Exemplo:

Determinar a varincia e o desvio padro amostrais das massas (g) para as peas a seguir.

Faixas de massas (g) Frequncia (fi)

2|--------4 2

4|--------6 4

6|--------8 7

8|-------10 4

10|-------12 3

Total = 20

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Soluo: seguir as orientaes dadas no quadro explicativo para o clculo de varincia e desvio padro para dados agrupados em classes, ou seja, determinar o desvio do valor de cada massa para o grupo de peas.

Massas (g) Frequncia fi Pmi Pmi.fi (Pmix)2.fi

2|------4 2 3 6 (3 7,2)2.2 = 35,28

4|------6 4 5 20 (5 7,2)2.4 = 19,36

6|------8 7 7 49 7 7,2)2.7 = 0,28

8|------10 4 9 36 (9 7,2)2.4 = 12,96

10|----12 3 11 33 (11 7,2)2.3 = 43,32

n fii

n

= =

1

20 Pm fi ii

n

. = 144

1

( ) . ,_

Pm x fi ii

n

= 2

1

1112

a) Clculo da mdia

x

Pm f

f

i ii

n

ii

n

_.

=

1

1

x_

,= =14420

7 2

x=7,2

b) Clculo da varincia

s

Pm x f

n

i ii

n

2

2

1

1=

( ) .

_

s2111220 1

=,

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s2=5,85

c) Clculo do desvio padro

s = 5 85,

s=2,42

Logo,

S =2,42 g

1.6.4 Medida de disperso relativa coeciente de variao (Cv)

Nesta modalidade de medida de disperso, a variao dos dados apresentada em forma de percentagem.

Observao: a disperso relativa til especialmente para estabelecer comparao em termos relativos do grau de concentrao em torno da mdia de sries distintas ou numa mesma srie com unidades de medidas diferentes. Por exemplo, se desejamos comparar se uma amostra de estudantes apresenta maior disperso quanto massa corporal total ou quanto massa muscular.

Clculo do coeciente de variao (em relao mdia amostral ou mdia populacional):

Cs

xv = _ .100

Cv =.100

Lembre-se: o coeciente de variao expresso em porcentagens.

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Sendo:

s= desvio padro amostral.

= desvio padro populacional.

= mdia aritmtica populacional.

x = mdia aritmtica amostral.

Exemplo:

Em uma indstria, o salrio mdio das mulheres de R$ 2.000,00, com desvio padro de R$ 800,00, e o dos homens de R$ 3.000,00, com desvio padro de R$ 900,00. Qual salrio possui maior disperso relativa, o das mulheres ou o dos homens?

Soluo: como os dados so referentes a toda a populao de homens e mulheres da indstria e no apenas a uma amostra, o clculo coeciente de variao ser feito com base na mdia e no desvio padro populacionais.

Clculo do Cv para as mulheres:

Cv =.100

Cv = =800 1002000

40.

Cv = 40%

Clculo do Cv para os homens:

Cv =.100

50

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Cv = =900 1003000

30.

Cv = 30%

Dessa forma, conclumos que os salrios das mulheres apresentam maior disperso relativa do que os salrios dos homens.

Exerccios

1 A tabela a seguir apresenta a distribuio das exportaes de produtos eletrnicos de empresas em determinado ano.

Volume exportado de produtos eletrnicos por empresas:

Volume exportado Nmero de empresas

5000|----------6000 1

6000|----------7000 3

7000|----------8000 8

8000|----------9000 8

9000|----------10000 11

10000|----------11000 6

11000|----------12000 3

Fonte: dados ctcios

Considerando-se que no ano anterior ao dos dados tabelados, o volume mdio exportado foi de R$ 9.000,00 podemos armar que o volume mdio exportado no perodo atual aumentou?

a) sim, o volume mdio exportado aumentou para R$ 9.100,00.

b) sim, o volume mdio exportado aumentou para R$ 9.200,00.

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c) o volume mdio exportado continuou igual.

d) no, o volume mdio exportado diminuiu para R$ 8.875,00.

e) no, o volume mdio exportado diminuiu para R$ 8.000,00.

2 Uma pesquisa realizada em uma indstria durante 27 meses mostrou a distribuio de peas defeituosas fabricadas.

Nmero de peas de preciso defeituosas devolvidas mensalmente pelo controle de qualidade:

Nmero de peas com defeito Nmero de meses

0 2

1 8

2 6

3 4

4 4

5 2

6 1

Fonte: dados ctcios

A mediana (Me) e a moda (Mo) de peas rejeitadas por ms foi:

a) Me= 2 e Mo = 1.

b) Me= 1 e Mo = 1.

c) Me= 2 e Mo = 2.

d) Me= 1 e Mo = 6.

e) Me= 2 e Mo = 6.

52

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3 A nota mdia para aprovao em uma disciplina X 70 pontos. Se um aluno tirou 60, 75, 80 e 55 pontos no 1o, 2o, 3o e 4o bimestres, respectivamente, e considerando-se que o 3o bimestre tinha peso 2 e os demais bimestres peso 1, o aluno ser aprovado?

a) sim, com mdia de 72 pontos.

b) sim, com mdia de 70 pontos.

c) sim, com mdia de 78 pontos.

d) no, ser reprovado, com mdia de 68 pontos.

e) no, ser reprovado, com mdia de 65 pontos.

4 Qual a posio que o valor 70 ocupa na srie 60, 50, 70, 80, 90?

a) a mdia e a moda.

b) a mdia e a mediana.

c) a mediana e a moda.

d) a mdia, a mediana e a moda.

e) a varincia.

5 As fases principais do mtodo estatstico so:

a) coleta de dados, amostragem, apresentao tabular e grca e denio dos problemas.

b) amostragem, apresentao tabular, apurao dos dados, interpretao dos dados e planejamento.

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c) denio do problema, planejamento, coleta dos dados, anlise e interpretao dos dados.

d) denio do problema, amostragem, apresentao tabular e anlise.

e) denio do problema, coleta dos dados, concluso.

6 Um comerciante vende determinado produto em sacas que deveriam conter uma massa mnima mdia de 16,50 kg como padro. A avaliao de 40 sacas revelou os resultados apresentados na tabela abaixo:

Massas (kg) referentes a 40 sacas do produto X

Massas Nmero de sacas

14,55 1

15,05 3

15,55 8

16,05 9

16,55 10

17,05 6

17,55 3

Fonte: dados ctcios

O padro est sendo respeitado?

a) sim, o peso mdio de 16,50 kg.

b) sim, o peso mdio de 16,60 Kg.

c) no, o peso mdio de 15,00 Kg.

d) no, o peso mdio de 15,80 kg.

e) no, o peso mdio de 16,23 Kg.

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e -

Corr

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2011

7 Foram selecionadas amostras aleatrias de aes negociadas para a realizao de um estudo do desempenho de duas companhias corretoras de aes. Para isso, considerou-se a porcentagem de lucro para cada ao e as respectivas variaes durante um perodo especco, conforme os dados que seguem abaixo:

Corretora A: mdia de lucro obtido no perodo foi 4,5 um, com desvio padro de 0,41 um.

Corretora B: lucros obtidos (um): 3,7; 3,8; 3,9; 4,6; 4,9; 5,1.

Obs.: um = unidade monetria

Qual corretora apresentou resultados mais homogneos no perodo?

a) Corretora A, com desvio padro de 0,41 um.

b) Corretora B, com desvio padro de 0,61 um.

c) Corretora B, com mdia de 4,33 um.

d) Corretora A, com mdia de 5,4 um.

e) As duas corretoras apresentaram a mesma variabilidade nos lucros.

8 A tabela abaixo mostra as idades de 40 crianas entrevistadas em duas escolas estaduais de certa cidade no ano corrente:

Idades Frequncia

11 2

12 1

13 9

14 6

15 22

Total 40

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Qual o percentual de crianas com 14 anos?

a) 10%

b) 12%

c) 20%

d) 18%

e) 15%

9 Realizou-se uma prova de estatstica para duas turmas. Os resultados foram os seguintes:

Turma A: = 5 e = 2,5

Turma B: = 4 e = 2,0

Com base nesses resultados, podemos concluir que:

a) A turma B apresentou maior disperso absoluta.

b) Tanto a disperso absoluta quanto a relativa so maiores para a turma B.

c) A disperso relativa igual disperso absoluta.

d) A disperso absoluta de A maior do que a de B, mas em termos relativos as duas turmas no diferem quanto ao grau de disperso das notas.

e) A disperso absoluta de B maior do que a de A.

10 A prefeitura de um grande centro quer conhecer o padro de consumos mensais de energia eltrica e de gua de duas de suas regies: uma delas com residncias

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de alto padro de construo e outra com residncias de baixo padro de construo.

O estatstico responsvel pelo estudo solicitou, junto s companhias de distribuio de energia eltrica e de gua, uma amostra aleatria de cada regio dos valores de consumo mensal de energia eltrica e de gua das residncias de cada regio. As companhias distribuidoras forneceram um resumo dos dados solicitados, mdia e desvio padro do consumo nas residncias amostradas, apresentados na tabela a seguir:7

Tamanhos de amostra, mdia e desvio-padro das variveis estudadas

Regio Consumo Nmero de residncias amostradas Mdia amostralDesvio padro

amostral

Residncias de Alto Padro Energia eltrica (kWh)gua (m3) 400240750

6075

Residncias de Baixo Padro Energia eltrica (kWh)gua (m3) 1200100200

6040

Fonte: Companhias distribuidoras de luz X e gua Y

Baseando-se nas informaes da tabela acima, o estatstico concluiu que:

a) Entre as residncias de alto padro, o consumo de gua apresenta variabilidade relativa menor do que a variabilidade relativa do consumo de energia eltrica.

b) As residncias de alto padro apresentam variabilidade relativa do consumo de gua maior do que aquelas de baixo padro.

c) As residncias de alto padro e de baixo padro apresentam variabilidades relativas similares quanto ao consumo de energia eltrica


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Lembre-se: o clculo feito pela mdia aritmtica dos limites do intervalo. Por exemplo: (5000+6000)/2 = 5500.

d) Entre as residncias de baixo padro, o consumo de gua apresenta variabilidade relativa maior do que a do consumo de energia eltrica.

e) Entre as residncias de baixo padro, o consumo de gua apresenta variabilidade relativa similar do consumo de energia eltrica.

Resoluo dos exerccios

1 d) no, o volume mdio exportado diminuiu para R$ 8.875,00.

Para vericar se o volume mdio de exportaes aumentou, devemos calcular a mdia aritmtica, que nesse caso se trata de dados agrupados em classes.

Clculo da mdia

x

Pm f

f

i ii

n

ii

n

_.

=

1

1

Devemos, portanto, encontrar o ponto mdio (Pmi) referente a cada classe ou intervalo.

Volume exportado Nmero de empresas (fi)Pmi Pmi.fi

5000|----------6000 1 5500 5500

6000|----------7000 3 6500 19500

7000|----------8000 8 7500 60000

8000|----------9000 8 8500 68000

9000|----------10000 11 9500 104500

10000|----------11000 6 10500 63000

11000|----------12000 3 11500 34500

n fii

n

= =

1

40 Pm fi ii

n

. = 355000

1

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x

Pm f

f

i ii

n

ii

n

_.

=

1

1

x_= 355000

40

x = 8875

2 a) Me= 2 e Mo = 1

Nmero de peas de preciso defeituosas devolvidas mensalmente pelo controle de qualidade:

Nmero de peas com defeito Nmero de meses

Frequncias acumuladas

0 2 2

1 8 10

2 6 16

3 4 20

4 4 24

5 2 26

6 1 27

fii

n

= 27

1

Uma vez que o nmero de dados mpar (que nesse caso dado pela soma das frequncias), o valor mediano ser dado pelo ponto mdio da soma das frequncias (13,5). Ou seja, a mediana corresponde ao nmero 2. Portanto, a mediana igual a 2 peas.

Em um maior nmero de meses (8 meses) tivemos 1 pea defeituosa, esse valor corresponde ao valor modal.

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3 b) sim, com mdia 70 pontos.

Notas referentes disciplina X

Bimestres Notas (xi) Pesos (fi) xi. fi1 60 1 60

2 75 1 75

3 80 2 160

4 55 1 55

fii

n

= 5

1

x fi ii

n

. = 350

1

Assim:

x

x f

f

i ii

n

ii

n

_.

= = =

1

1

3505

70

Como o 3o bimestre tinha peso 2, a nota referente a esse bimestre deve ser multiplicada por 2. Como os demais bimestres tm peso 1, as notas devem ser multiplicadas por 1. O resultado da somatria deve ser dividido pela soma dos pesos (1 +1 + 2 + 1) = 5

x =(60x1 + 75x1 + 80x2 + 55x1) / 5

Logo:

x = 70 pontos

4 b) a mdia e a mediana

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Observe que se trata de dados isolados ponderados.

Mdia aritmtica:

x

x

n

ii

n

_= = + + + + = =

1 60 50 70 80 905

3505

70

x = 70

Uma vez que o nmero de dados 5 (um nmero mpar), a mediana o ponto mdio, ou seja, 70.

5 c) denio do problema, planejamento, coleta dos dados, anlise e interpretao dos dados.

Ao se aplicar o mtodo estatstico deve-se primeiramente denir o tema (ou problema), fazer o planejamento de como ser feita a coleta de dados (amostra), coletar os dados para que possam ser analisados e interpretados.

6 e) no, o peso mdio 16,23 Kg.

Para saber se o padro est sendo respeitado, devemos calcular o valor mdio das massas dessas 40 sacas e vericar se est sendo de, no mnimo, 16,50 Kg.

Massas (xi) Nmero de sacas (fi) xi.fi14,55 1 14,55

15,05 3 45,15

15,55 8 124,4

16,05 9 144,45

16,55 10 165,5

17,05 6 102,3

17,55 3 52,65

fii

n

= 40

1

x fi ii

n

. =

1

649

A mdia aritmtica para esses dados foi igual a 70, portanto a resposta a alternativa b).

Portanto, o dado 70 corresponde tanto mdia aritmtica quanto ao valor da mediana da distribuio dada.

Na prxima etapa do curso de Estatstica (Estatstica Indutiva), voc ser informado de como so realizadas estas etapas.

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Logo:

x

x f

f

i ii

n

ii

n

_.

,= = =

1

1

64940

16 225

x_

,16 23 kg

Logo o padro no est sendo respeitado.

7 a) Corretora A, com desvio padro de 0,41 um.

O grau de homogeneidade est associado menor variao em relao mdia. Portanto, para se analisar o desempenho das corretoras, necessrio conhecer as medidas de posio de ambas e as respectivas medidas de disperso.

O problema j fornece estes dados da empresa A, mas no da empresa B. Portanto, necessrio calcul-los:

Dados da Corretora B: lucros obtidos (um): 3,7; 3,8; 3,9; 4,6; 4,9; 5,1

a) Clculo da Mdia

x

x

n

ii

n

_ , , , , , ,,= = + + + + + = =

1 3 7 3 8 3 9 4 6 4 9 5 1

6266

4 33

x_

, 4 3

b) Clculo do desvio padro

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Lucrosxi

Desvio (xix) Quadrados (xix)2

3,7 (3,7 4,33) = 0,63 0,40

3,8 (3,8 4,33) = 0,53 0,28

3,9 (3,9 4,33) = 0,43 0,18

4,6 (4,6 4,33) = 0,27 0,07

4,9 (4,9 4,33) = 0,57 0,32

5,1 (5,1 4,33) = 0,77 0,59

xii

n

= 26

1

( ) ,_

x xii

n

= 0 02

1

( ) ,_

x xii

n

= 2

1

184

Como a varincia dada por:

s

x x

n

ii

n

2

2

1

1=

( )

_

s21846 1

1845

0 37=

= =, , ,

Da, o desvio padro :

s = 0 37,

s=0,61

Clculo do coeciente de variao das corretoras:

Clculo do Cv para a corretora A:

Cs

xv =

._100

Cv = =0 41 100

4 59 11

, .,

,

Cv=9,11%

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Clculo do Cv para a corretora B:

Cs

xv =

._100

Cv = =0 61 1004 33

14 09, .,

,

Cv = 14,09%

A corretora B apresentou um coeciente de variao em relao mdia (14,09%) mai

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Estatistica Descritiva_Unidade I