-
Pg. 4-1
4. Inferncia estatstica a. Estimao de parmetros
b. Testes de hipteses.
c. Anlise da Varincia.
d. Regresso linear simples
e. Regresso linear mltipla.
f. Controle da Qualidade.
g. Introduo ao planejamento de experimentos.
O objetivo da inferncia estatstica auxiliar a tomar decises a
respeito da populao com base em uma amostra da mesma.
Divide-se em:
a) Estimao: quando nada se sabe a respeito da populao; b) Testes
de Hipteses: quando se afirma algo sobre a populao e vai-se
verificar se verdade. Independentemente de qual enfoque se
aplique, as afirmaes feitas sempre devem vir acompanhadas de um
grau de confiana, ou grau de certeza; ou seja, o quanto se est
certo ao comunicar uma informao, porque toda deciso tem um risco,
que probabilidade associada a uma deciso errada.
H dois tipos de erros (riscos): 1. Rejeitar como falso o que
verdadeiro: erro (tambm chamado risco do
produtor ou fornecedor) 2. Aceitar (no rejeitar) como verdadeiro
o que falso: erro (beta),
tambm chamado risco do consumidor ou cliente
preciso considerar os dois riscos, e estipul-los nos contratos,
considerando a relao custo/benefcio de uma deciso errada. Eles so
inversamente relacionados, ou seja, quando um aumenta o outro
diminui, embora no somem 100%.
O 1. Tipo de erro [de deciso]: erro (alfa), conhecido como nvel
de significncia. O 2. Tipo de erro [ de deciso ] o erro . O que
mais se emprega (1- ), chamado poder do teste de hipteses.
-
Pg. 4-2
a. Estimao de parmetros
a.1 Conceito de estimao de parmetros (caractersticas) da
populao
Na Estatstica, o nome parmetro refere-se a uma caracterstica da
populao; os mais conhecidos so a mdia e o desvio-padro. Quando nada
se sabe a respeito dos valores dos parmetros da populao pode-se
estimar esses valores a partir de dados de uma amostra, ou seja,
fazer uma estimao, que pode ser de dois tipos: pontual e por
intervalo. Na estimao pontual, o valor da caracterstica da amostra
considerado uma estimativa do valor do parmetro na populao.
valor do parmetro na populao = valor na amostra Caso se
retirasse uma outra amostra, esse valor seria diferente.
Dificilmente o valor da amostra ser igual ao da populao, mais ainda
por ser desconhecido o valor do parmetro da populao. Para que a
estimao fornea uma idia melhor daquela caracterstica, faz-se uma
estimao por intervalo, para a qual seja quase certo que o valor da
populao esteja nele. Estimativas por intervalos so conhecidas como
intervalos de confiana (IC). A idia do intervalo de confiana um
refinamento da estimativa pontual. Desse modo, considera-se uma
variao em torno do valor amostral e escreve-se que o valor da
caracterstica da populao se situa entre dois limites, ou seja, est
no intervalo
Valor na amostra ( a estimativa pontual) [ erro de amostragem ]
gerando o intervalo de confiana, no necessariamente simtrico. O
conceito de intervalo de confiana ilustrado pela Figura 3.1.
Figura 3.1 - O conceito de intervalo de confiana.
O erro de amostragem diretamente proporcional ao grau de certeza
de que o intervalo contenha o valor da caracterstica da populao, ou
seja, confiana dos resultado. Se queremos um intervalo de confiana
para o qual estejamos quase certos que contenha o valor da populao,
esse intervalo deve ser tanto maior quanto mais se aumenta a
certeza de que ele realmente conter o valor do parmetro da
populao.
O erro de amostragem diretamente proporcional disperso da
populao (quanto mais dispersa a populao, maior ser a variao entre
as amostras),
Intervalo de confiana
Valor amostral
Limite inferiorde confiana
Limite superiorde confiana
Intervalo de confiana
Valor amostral
Limite inferiorde confiana
Limite superiorde confiana
-
Pg. 4-3
Finalmente, o erro de amostragem inversamente proporcional ao
tamanho da amostra (quanto maior a amostra, mais esta se aproxima
da populao e diminui o erro de amostragem). O objetivo do estudo
das tcnicas estatsticas de estimao obter o menor intervalo que
tenha uma confiana adequada ao tomador de deciso, ou seja, a
estimao por intervalo consiste em encontrar um intervalo definido
por dois limites, tal que a probabilidade do valor da populao estar
contido nele seja igual a (1 ). Em porcentagem, essa probabilidade,
chamada nvel ou grau de confiana, denotada por 100 (1 ) %.
A2. A estimativa por intervalo mais popular: mdia da populao
Para a estimao por intervalo da mdia da populao (a mais utilizada e
representada pela letra grega ), a partir da estimativa pontual,
que a mdia aritmtica amostral, deduziremos como relacionar o
tamanho da amostra, a disperso e a confiana (influenciadores no
erro de amostragem) em uma expresso matemtica para calcular os
limites do intervalo de confiana (IC).
A amplitude do intervalo de confiana no caso de estimao de mdia
da populao igual a duas vezes o erro de amostragem e varia:
a) diretamente em relao ao grau de certeza, ou seja, confiana;
b) diretamente em relao disperso; c) inversamente em relao ao
tamanho da amostra.
Ento, pode-se escrever que:
Mdia amostral confiana . amostra da tamanho
disperso
que fornece o seguinte intervalo:
Mdia - confiana . amostra da tamanho
disperso Mdia + confiana .
amostra da tamanhodisperso
Usualmente, tem-se uma amostra pequena; obviamente, sabe-se o
tamanho n dela e podem ser calculados a mdia amostral ( X ) e o
desvio-padro amostral (s).
-
Pg. 4-4
No caso de se estimar a mdia da populao, usa-se o modelo
estatstico denominado distribuio de Student (tambm conhecida como
distribuio t de Student). Nesses casos, o intervalo de confiana
dado pela seguinte expresso:
n
s t
n
s t + XX
Observemos que a estrutura da expresso matemtica igual j
vista:
Mdia - confiana . amostra da tamanho
disperso Mdia + confiana .
amostra da tamanhodisperso
Todavia, com fazer em relao ao erro que se admite cometer, ou
seja, confiana que se deseja? A soluo a seguinte: escolhe-se o
erro, usualmente 5% (equivalente a dizer que se tem uma confiana de
95%). Surge, agora, mais um problema, como expressar a confiana,
como inclu-la na expresso matemtica?
Ea-1
Retiraram-se, aleatoriamente, 25 itens de um conjunto para
constiturem uma amostra. Anotam-se 25 valores de uma caracterstica,
cuja mdia aritmtica e o desvio-padro calculados foram,
respectivamente, 50mg/L e 8 mg/L. Determinar, com uma confiana de
95%, o intervalo no qual pode estar o valor verdadeiro da mdia
dessa caracterstica.
RESPOSTA
n
s t
n
s t + XX
258
2,064 05 258
2,064 05 +
53,31mg/L 46,69mg/L
Neste captulo, admite-se que o leitor tenha uma compreenso
intuitiva de probabilidade, ou seja, da chance de alguma coisa
acontecer.
-
Pg. 4-5
Os modelos estatsticos relacionam probabilidades com fatores a
serem colocados nas expresses matemticas. Para uma mesma
probabilidade de acerto de deciso (confiana), h fatores que
dependem do modelo estatstico. Entretanto, como se determinou o
valor de t, fator associado probabilidade de acerto de deciso? Com
o uso do Excel.
No Excel, em Inserir Funo, escolhe-se a funo INVT, resultando na
Figura 3.2.
Figura 3.2 - A funo INVT Nele, digitam-se, em Probabilidade, o
valor do erro que se admite cometer e, em Graus_liberdade, o
tamanho da amostra menos 1, conforme Figura 3.3.
Figura 3.3 - A funo com os dados do Exemplo 17
Se desejarmos obter apenas o limite superior (ou apenas o limite
inferior) do intervalo de confiana, para determinar o valor de t no
Excel, em Probabilidade deve ser colocado o dobro do erro.
Para a distribuio de Student, temos, por exemplo, os seguintes
fatores para os tamanhos 25 e 38, e confianas de 90%, 95% e 99%
(Tabela 3.1).
erroerro
n-1
-
Pg. 4-6
Tabela 3.1 - Fatores associados a confianas com base na
distribuio de Student
Tamanho da amostra = 25
Confiana Fator
90% 1,710882316
95% 2,063898137
99% 2,796950866
Tamanho da amostra = 38
Confiana Fator
90% 1,687094482
95% 2,026190487
99% 2,715405572
Os fatores dependem do tamanho da amostra no apenas na
distribuio de Student1, mas tambm em outras distribuies de
probabilidades.
Considerem-se os exemplos seguintes.
SITUAO 5
Na fase de Projeto Executivo de uma rodovia, explicar como deve
ser estimado o valor do
ndice de Suporte California CBR de um solo a ser utilizado na
execuo de um aterro.
SOLUO
A Instruo de Servio IS-206 ESTUDOS GEOTCNICOS constante das
Diretrizes Bsicas para
Elaborao de Estudos e Projetos Rodovirios do DNIT Edio 2006
(Publicao IPR-726)
estabelece os critrios estatsticos a serem empregados no estudo
de ocorrncias de materiais
empregados nos diversos servios de construo rodoviria. Segundo
essa instruo, devem
1 William Sealy Gosset (1876-1937) foi um qumico e estatstico,
sendo mais conhecido pelo
pseudnimo de Student. Ingls, trabalhou na destilaria Guiness,
cujo dono proibiu que seus funcionrios publicassem artigos
cientficos, e por essa causa conhece-se a distribuio t de Student e
no distribuio de Gosset. No modelo de Gosset, tem-se uma distribuio
para cada grau de liberdade. Desse modo, aquilo que se conhece
publicado como tabela t de Student , na verdade, o extrato de vrias
tabelas, onde cada linha parte da tabela geral, ou seja, cada linha
o extrato da tabela para aquele grau de liberdade
-
Pg. 4-7
ser realizados furos de sondagem nos vrtices de um reticulado
com malha de 50m de lado,
nos quais devero ser coletados exemplares de todos os horizontes
identificados,
submetendo-as aos ensaios de caracterizao, compactao e ndice de
Suporte California
CBR. Os valores obtidos nos ensaios so submetidos a tratamento
estatstico, calculando-se os
seguintes valores:
Onde
No caso especfico do ndice de Suporte California CBR, para fins
de projeto, adotado o
valor mnimo Xmin.
Nas expresses acima esto incorporados os intervalos de confiana
adotados pelo DNIT que
so:
- 80% na estimativa da mdia da populao
- 50% na estimativa dos valores mximos e mnimos.
b. Testes de hipteses. 4b A segunda parte da Inferncia
Estatstica: testes de
hipteses Considere-se um novo fornecedor que afirma ser melhor o
produto dele: essencial que se compare esse novo produto com um
outro, aquele sendo usado. Por exemplo, um produto apresenta, para
certa caracterstica, a mdia 70. Uma amostra do novo fornecedor
apresenta mdia 65. A diferena entre os valores 65 e 70
estatisticamente
680291
680291
,,
,,
min
max
=
++=
NXX
NXX
amostradapadrodesviosindividuaivaloresX
amostradamdiaXexemplaresdenmeroN
N
XX
N
XX
i
N
ii
N
ii
=
=
=
=
=
=
=
=
1
1
2
1
)(
-
Pg. 4-8
significante? Ou seja, essa variao devida ao acaso ou realmente
os produtos so diferentes?
A hiptese que os resultados dos mtodos podem ser considerados
iguais, ou seja, a variabilidade ecistente devida somente
natureza.
O objetivo dos testes de hipteses verificar se uma determinada
afirmao a respeito da populao verdade. Por exemplo, um determinado
mtodo tem o mesmo comportamento de outro mtodo? Com base nos
experimentos com um e com outro, realizam-se alguns clculos,
chamados estatsticas de teste, a partir de amostras, e conclui-se a
respeito.
Em todo teste, so feitas duas hipteses: a hiptese de nulidade
(usualmente chamada hiptese nula), representada por H0, e uma
hiptese alternativa, representada por H1.
A hiptese de nulidade o que se afirma (normalmente uma igualdade
ou o status quo) a respeito do que est sendo testado e considerada
verdadeira. Entretanto, tenta-se provar que H0 falsa com base em
uma evidncia, ou seja, diz-se que a diferena estatisticamente
significante.
Definir o que vem a ser estatisticamente significante depende do
erro que se admite cometer ao decidir-se pela veracidade, ou no, da
hiptese de nulidade. O objetivo do teste estatstico tentar provar
que tudo o que se afirma no verdade, ou seja, tentar rejeitar
afirmao inicial.
De modo esquemtico, temos que:
H0: parmetro da populao = valor numrico
H1: parmetro da populao valor numrico
Esse um exemplo de teste bilateral, em que a hiptese alternativa
estipulada para identificar afastamentos, em ambos os sentidos, do
parmetro sendo testado. A regio englobando esses afastamentos
denomina-se regio de no-rejeio (ou regio de aceitao). Graficamente,
representa-se uma regio de no-rejeio de 100 (1 ) % de confiana para
os testes bilaterais conforme a Figura 3.4, onde o erro que se
admite cometer e que se divide em ambas as extremidades. A regio de
no-rejeio limitada por valores crticos calculados e, desse modo,
preciso determinar dois pontos de corte (os limites) entre as
regies alm das quais a hiptese de nulidade ser rejeitada; se a
hiptese de nulidade for verdadeira, a probabilidade de se decidir
erradamente pequena, comumente 5%.
Regio deno -rejeiorejeio rejei obilateral
-
Pg. 4-9
Figura 3.4 - Representao da regio de no-rejeio no teste
bilateral.
Deve-se lembrar que o objetivo do teste de hipteses sempre
tentar rejeitar a hiptese de nulidade com base em uma amostra; caso
no se consiga em determinada retirada, conclui-se que aquela
amostra no forneceu elementos suficientes para a rejeio
desejada.
Por outro lado, caso haja interesse em se determinar apenas se o
parmetro excede determinado valor, as hipteses so formuladas como,
por exemplo:
H0: parmetro da populao = valor numrico
H1: parmetro da populao > valor numrico
Esse o caso de teste unilateral superior, em que a hiptese
alternativa indica afastamentos do parmetro em relao a um valor no
sentido da direita (Figura 3.5). Observamos que todo o erro est
concentrado na extremidade superior.
Figura 3.5 - Representao da regio de no-rejeio no teste
unilateral superior.
De modo semelhante, no teste unilateral inferior (Figura 3.6), o
objetivo verificar se o parmetro menor que determinado valor, e as
hipteses so formuladas como:
H0: parmetro da populao = valor numrico
H1: parmetro da populao < valor numrico
Figura 3.6 - Representao da regio de no-rejeio no teste
unilateral inferior.
Nesse caso, todo o erro concentra-se na extremidade inferior. A
situao que se for estudar definir o tipo de teste a ser
selecionado. Por exemplo, em termos de carga mxima suportada por um
elevador, o cuidado apenas no ultrapassar com o valor mximo da
capacidade, no importando o valor mnimo da carga (teste unilateral
superior). Por outro lado, ao se estimar o lucro de uma empresa, a
preocupao com o faturamento mnimo e no com o mximo (teste
unilateral inferior). Em todos os casos, a estatstica amostral deve
ser comparada com um valor crtico para determinar a rejeio, ou no,
da hiptese de nulidade.
Regio deno-rejeiorejeio rejei oRegio deno-rejeiorejeiorejeio
rejeiorejeio
Regio de no-rejei o rejei o
unilateral superiorRegio de
no-rejei o rejei ounilateral superior
Regio de no-rejei o rejei orejei o
unilateral superior
Regio de no-rejei orejei o
unilateral inferiorRegio de
no-rejei orejei orejei ounilateral inferior
-
Pg. 4-10
Observemos que, ao contrrio do que usualmente apresentam os
livros de Estatstica, no se deve ilustrar as regies de no-rejeio e
rejeio como se fosse uma distribuio de deMoivre-Laplace-Gauss,
porque os conceitos de regies de no-rejeio e rejeio independem da
distribuio estatstica que modela o problema.
A realizao de um teste de hipteses (modo clssico) da seguinte
maneira: 1) estebelecem-se as hipteses de nulidade e alternativa;
2) a partir do modelo estatstico adequado ao problema,
determinam-se os limites (no caso
do teste bilateral) ou o limite (superior ou inferior, no caso
de teste unilateral) da regio de no-rejeio;
3) retira-se uma amostra e, com base nela, verifica-se o limite
terico ultrapassado, ou no. Caso seja, rejeita-se a hiptese de
nulidade.
Usualmente, desejamos estudar se h diferenas entre dois
conjuntos de resultados, e na ocasio da realizao dos ensaios, h
duas situaes:
a) amostras independentes, quando os dados so coletados de tal
maneira que as observaes no so relacionadas umas s outras, e
b) amostras dependentes (comumente chamadas de pareadas ou em
par), quando uma mesma amostra analisada por dois mtodos
diferentes.
No caso de amostras independentes, faz-se, primeiramente o teste
F2 para verificar se as varincias das amostras podem ser
consideradas iguais; no de amostras dependentes, no necessrio.
Em quaisquer dessas situaes, os resultados so comparados por
meio do teste denominado t (de Student)3.
3.3.1 Duas amostras Independentes Para comparar duas amostras,
faz-se o teste t de Student. No Excel, em Anlise de Dados, h esse
teste com o nome de Test-T: duas amostras presumindo varincias
equivalentes e Test-T: duas amostras presumindo varincias
diferentes
2 F a letra inicial de Fisher (Ronald Fisher, 1890-1962),
estatstico ingls considerado o pai da
Estatstica moderna. O nome da distribuio foi atribudo por
Snedecor (George Snedecor, 1881-1974) em homenagem a ele. 3 Estes
dois testes pressupem que os dados possam ser modelados pelo modelo
probabilstico
conhecido como distribuio de Gauss (popularmente conhecida como
distribuio normal) de acordo com o Teorema Central do Limite (mais
detalhes no Anexo 3).
-
Pg. 4-11
Figura 3.7 Opes resultantes da abertura da tela Anlise de
Dados.
Desse modo, deve-se fazer, antes, o teste F para igualdade de
varincias. O teste F necessrio porque h dois Testes T, cada um
adequado a uma situao de varincias (Figura 3.11).
Fig. 3.11 - Tipos dos testes-T
Comeando a testar hipteses: teste F para igualdade de
varincias
passo 1: primeiramente, digite em uma coluna os resultados do
mtodo 1 e em outra coluna os resultados do mtodo 2.
passo 2: no menu Ferramentas, escolha a opo Anlise de Dados... e
a Ferramenta de Anlise Teste F: duas amostras para varincias
(Figura 3.8).
Figura 3.8 - Anlise de dados: passo 3:
a) ao dar o OK, surge a tela da Figura 3.8, na qual se digitar,
no retngulo Intervalo da varivel 1 (agora com um trao vertical
intermitente), as clulas inicial e final dos resultados do mtodo 1,
separadas por dois pontos ou, ento, selecionar o conjunto de
valores clicando na primeira clula e arrastando o ponteiro do mouse
(sem soltar o boto esquerdo) at a ltima clula (no se preocupe com a
notao incluindo o sinal $); neste ltimo caso, observar que em
Intervalo da varivel 1 aparecem as colunas inicial e final onde
foram digitados os valores.
-
Pg. 4-12
Figura 3.8 - Teste F de igualdade para varincias de duas
amostras
b) Repetir, no Intervalo da varivel 2, com os resultados do
mtodo 2. c) Observar que o valor de (Alfa) aparece preenchido com
0,05 (5%), por
ser o erro mais usual admitido; mantenha esse valor ou altere-o
de acordo com suas necessidades.
d) Indicar a opo de sada: pode ser na mesma planilha onde os
dados foram digitados (neste caso, digite a clula que ser a clula
superior esquerda e deixe pelo menos sete colunas para a tabela de
resumo de sada), em uma nova planilha (para nomear a nova planilha,
digite um nome no retngulo) ou mesmo em uma nova pasta de trabalho
(para nomear a nova pasta de trabalho, digite um nome no
retngulo.).
passo 4: clique em OK para surgir a tela do resultado do teste
de hipteses.
E3-2
Dez amostras forem analisadas por um laboratrio, Lab 1, e outras
dez amostras do mesmo produto foram analisadas por outro
laboratrio, Lab 2.. Com base nos dados da Tabela 3.2 e admitindo-se
um erro de deciso de 5%, pode-se considerar equivalentes os dois
laboratrios?
Tabela 3.2 Resultados de dez amostras
Laboratrio 1 Laboratrio 2
2,07 2,05
2,42 2,43
-
Pg. 4-13
2,81 2,85
3,03 2,98
3,30 3,26
3,34 3,37
3,55 3,50
3,79 3,81
4,05 4,01
4,42 4,38
RESPOSTA
Aps a digitao dos resultados do Lab 1 na coluna A e do Lab 2 na
coluna B, desejando-se os resultados na mesma planilha dos dados, o
aspecto da tela do Excel o da Figura 3.9.
Figura 3.9 Dados para o Teste F de igualdade para varincias
Ao se dar o OK, surge a tela com os resultados, Figura 3.10.
-
Pg. 4-14
Teste-F: duas amostras para varincias
Varivel 1 Varivel 2Mdia 3,278 3,264Varincia 0,524062222
0,509826667Observaes 10 10gl 9 9F 1,027922344P(F
-
Pg. 4-15
Figura 3.12 Anlise de dados passo 2:
a) ao dar o OK, surge a tela da Figura 3.13, na qual se devem
digitar, no retngulo Intervalo da varivel 1 (agora com um trao
vertical intermitente), as clulas inicial e final dos resultados do
Lab 1, separadas por dois pontos ou, ento, selecionar o conjunto de
valores clicando na primeira clula e arrastando o ponteiro do mouse
(sem soltar o boto esquerdo) at a ltima clula (no se preocupe com a
notao incluindo o sinal $); neste ltimo caso, observar que em
Intervalo da varivel 1 aparecem as colunas inicial e final onde
foram digitados os valores.
Figura 3.13 - Teste T: duas amostras presumindo varincias
equivalentes
b) Fazer o mesmo no Intervalo da varivel 2 com os resultados do
Lab 2. c) Observar que o valor de (Alfa) aparece preenchido com
0,05 (5%), por ser o erro mais usual
admitido; mantenha esse valor ou altere-o de acordo com suas
necessidades. d) Indicar a opo de sada: pode ser na mesma planilha
onde os dados foram digitados (neste
caso, digite a clula que ser a clula superior esquerda e deixe
pelo menos sete colunas para a tabela de resumo de sada), em uma
nova planilha (para nomear a nova planilha, digite um nome no
retngulo) ou mesmo uma nova pasta de trabalho (para nomear a nova
pasta de trabalho, digite um nome no retngulo.).
passo 3: clique em OK para surgir a tela da Figura 3.14 com o
resultado do teste de hipteses.
-
Pg. 4-16
Teste-t: duas amostras presumindo varincias equivalentes
Varivel 1 Varivel 2Mdia 3,278 3,264Varincia 0,524062222
0,509826667Observaes 10 10Varincia agrupada 0,516944444Hiptese da
diferena de mdia 0gl 18Stat t 0,043540268P(T
-
Pg. 4-17
3.3.2 Um novo conceito
Enquanto que no teste de hipteses clssico, a probabilidade de
erro definida antes do teste, no conceito moderno denomina-se
valor-p, que a probabilidade de retirar a amostra em mos SE a
hiptese de nulidade verdadeira.
A regra de deciso a seguinte: rejeitar a hiptese de nulidade SE
o valor-p pequeno (usualmente, at 5%). Por exemplo, se o resultado
dado pelo aplicativo computacional for o da Figura 3.15, como o
valor-p pequeno (menor que 5%), 0,00026 [0,026%], deve-se rejeitar
H0. Observamos tambm que o Excel informa o valor crtico (a partir
do modelo conceitual) e o valor calculado (determinado a partir
da amostra. Como F calculado maior que F crtico, ento tambm pelo
enfoque clssico (no qual se estipulou 5% de erro), obviamente tambm
se rejeita H0.
Figura 3.15 Resultado do aplicativo computacional
3.3.2 Amostras Dependentes
Se a mesma amostra analisada por dois mtodos, faz-se o Teste-T:
duas amostras em par para mdias (Figura 3.17).
-
Pg. 4-18
Figura 3.17 - Teste T: duas amostras em par para mdias Os demais
passos so semelhantes aos Testes T.
E3-3
Uma caracterstica de cinco amostras de um minrio foi medida por
dois laboratrios, um deles de referncia.
Amostra Resultados pelo Laboratrio 1
Resultado pelo Laboratrio
de referncia A 0,0134 0,0135
B 0,0144 0,0156
C 0,0126 0,0137
D 0,0125 0,0137
E 0,0137 0,0136
Com uma confiana de 95%, o Laboratrio 1 pode ter seus
resultados
considerados equivalentes com relao a essa caracterstica?
RESPOSTA
Aps a digitao dos resultados do Laboratrio 1 na coluna A e do
laboratrio de referncia na coluna B, desejando-se os resultados na
mesma planilha dos dados, o aspecto da tela do Excel o da Figura
3.18.
-
Pg. 4-19
Figura 3.18 Dados para o Teste T: duas amostras em par para
mdias
Ao se dar o OK, surge a tela com os resultados, Figura 3.19.
Teste-t: duas amostras em par para mdias
Varivel 1 Varivel 2Mdia 0,01332 0,01402Varincia 6,27E-07
0,000000787Observaes 5 5Correlao de Pearson 0,711073Hiptese da
diferena de mdia 0gl 4Stat t -2,42974P(T
-
Pg. 4-20
Estatisticamente significante = rejeitar a hiptese de nulidade
(nula) = o valor amostral no compatvel com o valor da hiptese de
nulidade (nula) = a variao amostral no uma explicao razovel da
discrepncia entre os valores da hiptese de nulidade (nula) e os
valores amostrais todas elas com o mesmo significado.
c. Anlise da Varincia.
Anlise da Varincia (ANOVA) A Anlise da Varincia (conhecida como
ANOVA)4 testa a hiptese de que so iguais as mdias
de todas as populaes de onde so retiradas as amostras; se no
verdade, apenas se pode
afirmar que, pelo menos, uma das mdias diferente das outras (mas
no se sabe qual). Em
notao estatstica:
H0: 1 = 2 = ... = c
H1: ao menos uma das mdias diferente
Porque no usar vrios testes T, dois a dois? Porque a
probabilidade de se cometer ao menos
um erro do tipo I, usando testes t para comparar duas a duas
todas as mdias de um
experimento com k grupos dada na Tabela 3 .3
Tabela A3.3 - Erros cometidos ao usar o teste de Student dois a
dois
Nmero de mdias Nvel de significncia do teste
0,05 0,01 0,001
2 0,05 0,01 0,001
3 0,14 0,03 0,003
4 0,26 0,06 0,006
5 0,40 0,10 0,010
Na Anlise da Varincia, o teste F o modelo usado para se testar a
hiptese de que as
amostras provem de populaes iguais, ou seja, cujas mdias no so
significativamente
diferentes umas das outras. A ANOVA se baseia nas propriedades
da mdia e da varincia de
que, para um conjunto de valores com mdia X , se somarmos uma
constante a todos os valores originais, a nova mdia ser igual
anterior acrescida dessa constante, mas a varincia
4 ANOVA a abreviao de ANalysis Of VAriance.
-
Pg. 4-21
no se altera. Considere o exemplo a seguir, em que os dados de
entrada j induzem a que
pelo menos uma das mdias diferente. A ANOVA baseia-se no
seguinte:
Variao total dos dados = Variao entre grupos + Variao dentro dos
grupos
Para que haja efeito diferencial entre os grupos, a variao entre
deve ser maior que a
variao dentro do mesmo grupo
E-14.1
A hiptese de nulidade (sempre IGUALDADE): que as mdias de A, B e
C so
iguais. Verificar se verdade, podendo-se errar em 5% das
vezes.
RESPOSTA
O resultado apresentado pelo Excel o seguinte:
Se decidir com F-calculado,
F-calculado > F-crtico: 17,63 > 3,88 REJEITAR H0
Se decidir com valor-p,
valor-p pequeno: 0,00026 0,026% REJEITAR H0
Concluso: Ao menos uma das mdias diferente
Anlise da Varincia no Excel
passo 1: coloque os valores em colunas, cada coluna referindo-se
a um grupo;
passo 2: v a Anlise de Dados..., surgindo a Figura A14.1,
-
Pg. 4-22
Figura A14.1 ANOVA em Anlise de dados
passo 3: clique em OK, surgindo a Figura A14.2, ANOVA: fator
nico.
Figura A14.2 - Tela para a entrada de dados da ANOVA: fator
nico
passo 4:
a) digitar, no retngulo Intervalo de entrada (agora com um trao
vertical
intermitente), a clula superior esquerda e a clula inferior
direita,
separadas por dois pontos ou, ento, selecionar o conjunto de
valores
clicando na primeira clula e arrastando o ponteiro do mouse (sem
soltar
o boto esquerdo) at a ltima clula (no se preocupe com a
notao
incluindo o sinal $); neste ltimo caso, observar que em
Intervalo de
entrada aparecem as colunas inicial e final onde foram digitados
os
valores.
b) Observar que o valor de (Alfa) aparece preenchido com 0,05
(5%), por
ser o erro mais usual admitido; mantenha esse valor ou altere-o
de acordo
com suas necessidades.
c) Indicar a opo de sada: pode ser na mesma planilha onde os
dados
foram digitados (neste caso, digite a clula que ser a clula
superior
esquerda e deixe pelo menos sete colunas para a tabela de resumo
de
sada), em uma nova planilha (para nomear a nova planilha, digite
um
-
Pg. 4-23
nome no retngulo) ou mesmo em uma nova pasta de trabalho
(para
nomear a nova pasta de trabalho, digite um nome no
retngulo.).
passo 5: clique em OK para surgir tela do resultado da ANOVA;
dela somente
interessam os valores de F e F-crtico.
Interpretao do resultado
Se o valor de F for maior que F-crtico, deve-se rejeitar a
igualdade dos mtodos, e conclui-se que ao
menos um deles tem desempenho diferente dos demais, afirmao que
tem uma chance de erro de
5%
EA8-1
Quatro analistas analisaram uma soluo de concentrao conhecida e
encontraram
os seguintes resultados:
Analistas Determinaes (%)
An1 10,2 9,9 10,1 10,4 10,2 10,4
An2 9,9 10,2 9,5 10,4 10,6 9,4
An3 10,6 10,5 10,7 10,6 10,8 11,0
An4 10,1 9,9 10,2 9,9 11,1 10,0
Pode-se afirmar que o desempenho dos analistas o mesmo, tendo-se
uma chance
mxima de erro de 5%?
RESPOSTA
Uma empresa utilizou trs combustveis com diferentes porcentagens
de lcool, visando avaliar a alterao no desempenho de um
equipamento.
Grupos (ou tratamentos ou parcelas)
-
Pg. 4-24
E3-6 Equipamentos (ou repeties) G1 G2 G3
1 19 40 39
2 31 35 27
3 15 46 20
4 30 41 29
5 33 35
6 30
RESPOSTA
O resultado apresentado pelo Excel o seguinte:
Anova: fator nico
RESUMOGrupo Contagem Soma Mdia Varincia
Coluna 1 4 95 23,75 63,58333333Coluna 2 5 195 39 26,5Coluna 3 6
180 30 43,2
ANOVAFonte da variao SQ gl MQ F valor-P F crtico
Entre grupos 534,5833333 2 267,2916667 6,255485129 0,013769699
3,885293835Dentro dos grupos 512,75 12 42,72916667
Total 1047,333333 14
Como F-calculado > F-crtico: 6,255 > 3,88, rejeita-se a
hiptese de nulidade e ao menos uma das mdias diferente.
Entretanto, todos os grupos diferem entre si? Para responder,
necessrio realizar a comparao mltipla entre mdias para determinar
quais grupos diferem entre si:
Teste de Tukey Teste de Student-Newman-Keuls (SNK) Correo de
Bonferroni
Nesta publicao, usar-se- o teste de Tukey.
3.5 Teste de Tukey
-
Pg. 4-25
O teste de Tukey passo-a-passo para o exemplo E3-:
passo 1. Ordenar as mdias em ordem decrescente, anotando o grupo
e o tamanho da amostra correspondente:
Grupo: G2 G3 G1
Mdia: 39,00 30,00 23,75
n: 5 6 4
passo 2. Calcular as diferenas entre as mdias dos grupos:
(39,00-30,00) = 9,00; (39,00-23,75) = 15,25; (30,00-23,75) =
6,25
Passo 3. Estimar o erro-padro (EP) de cada diferena entre mdias,
usando a frmula
EP =
+
BnAnQMresduo 11
2, onde QMresduo a MQ dentro dos
grupos.
Desse modo, temos
EP =
+
61
51
273,42
= 2,7989
EP =
+
41
51
273,42
= 3,1007
EP =
+
41
61
273,42
= 2,9836
Passo 4. Para cada diferena de mdias, calcular a estatstica de
teste Q
-
Pg. 4-26
EPBA
calcQ XX
=
Desse modo, temos
7989,200,3000,39
=calcQ = 3,22
9836,275,2300,39
=calcQ = 5,11
1007,375,2300,30
=calcQ = 2,02
Passo 5. Verificar o valor de crtico de Q (Anexo 4) Q; nmero de
mdias; gl dentro dos grupos Q0,05; 3; 12 = 3,773
Passo 6. Aplicar a regra de deciso: Se o valor de Qcalc para
cada par de mdias for maior que Q0,05; 3; 12 = 3,773, ento os
grupos diferem entre si
Qcalc =3,22 < Q0,05; 3; 12 = 3,773, portanto G3 = G2
Qcalc =5,11 > Q0,05; 3; 12 = 3,773, portanto G3 G1
Qcalc =2,02 < Q0,05; 3; 12 = 3,773, portanto G2 = G1
d. Regresso linear simples 4.1 Regresses Linear e No-Linear
H diversas maneiras de se utilizar uma equao de regresso, entre
as quais aquela em que as duas variveis referem-se ao mesmo
elemento sendo estudado, mas uma delas relativamente dispendiosa,
ou difcil de lidar, enquanto a outra, no.
-
Pg. 4-27
Por exemplo, a resistncia e a dureza de um metal podem estar
inter-relacionadas, de modo que conhecendo-se a dureza, pode-se
estimar a resistncia. Se o teste de resistncia destri o metal,
enquanto que o teste de dureza no o destri, uma pessoa interessada
em estimar a resistncia confia nos resultados do teste de dureza
para estimar a resistncia. Assim sendo, a finalidade de uma equao
de regresso estimar valores de uma varivel com base em valores
conhecidos da outra varivel. Outra utilizao da equao de regresso
explicar valores de uma varivel em termos da outra varivel, isto ,
pode-se suspeitar de uma relao de causa e efeito entre duas
variveis. Por exemplo, um psiclogo pode tentar explicar as variaes
de comportamento em funo de uma pessoa estar ou no empregada.
Entretanto, deve-se notar que a lgica de uma relao causal deve
provir de teorias externas ao campo da Estatstica. Ainda uma
terceira aplicao da regresso: predizer valores de uma varivel. Por
exemplo, costuma-se aplicar testes psicolgicos a empregados ou
estudantes, para avaliar o potencial de sucesso no emprego ou na
escola. Pode-se presumir que haja um relacionamento matemtico entre
o resultado do teste e o potencial futuro. Embora tais relaes
possam assumir uma grande diversidade de formas, este tpico se
limitar s equaes lineares (cujos grficos so linhas retas) que so
importantes porque servem para modelar muitas relaes da vida real,
e so relativamente fceis de lidar e de interpretar. A regresso
linear compreende a anlise de dados amostrais para saber se e como
duas ou mais variveis esto relacionadas uma com a outra de maneira
proporcional em uma populao.
A anlise de regresso linear apresenta como resultado uma equao
matemtica que descreve um determinado relacionamento com base em
uma linha reta. A equao pode ser usada para estimar, ou predizer,
valores de uma varivel quando se conhecem ou se supem conhecidos
valores da outra varivel. A equao que relaciona duas variveis, por
exemplo, resposta medida e varivel modificada, :
Y = a X + b
onde:
Y = resposta medida
X = varivel modificada
a = coeficiente angular (inclinao) da reta b = interseo da reta
com o eixo Y (ou seja, a ordenada quando X = 0)
O mtodo mais usado para determinar a linha reta que melhor
representa um conjunto de pontos conhecido como MMQ, mtodos dos
mnimos quadrados. A reta resultante (chamada reta de regresso) tem
a propriedade de conter o ponto ( YX , ) onde X a mdia aritmtica
dos valores de X, e Y a mdia aritmtica dos valores Y.
Um modo de apresentar os resultados por meio de um diagrama de
disperso, isto , de um grfico em que cada observao representada por
um ponto. As coordenadas de cada ponto no eixo horizontal (X) e no
eixo vertical (Y) representam os valores dessas variveis.
Examinando-se o conjunto de pontos, obtm-se uma impresso visual de
como as duas variveis se relacionam.
-
Pg. 4-28
Regresso Linear no EXCEL, a partir do grfico de disperso:
passo 1: primeiramente, digite em uma coluna os valores das
concentraes e em outra coluna os resultados da resposta medida.
passo 2: selecione as duas colunas
passo 3: clique no cone Assistente de Grfico (Figura 4.6); surge
a tela Assistente de Grfico etapa 1 de 4 (Figura 4.7). Escolha o
grfico Disperso (X, Y) e clique Avanar, preenchendo, se desejar, o
solicitado em cada uma das etapas. Finalize, clicando em Concluir
qualquer das etapas.
Figura 4.6 - Assistente de grfico
Figura 4.7 - Assistente de grfico etapa 1 de 4
Para compreender melhor o procedimento, observe o exemplo para a
determinao da reta no Exemplo E4-2.
-
Pg. 4-29
E4-2
Os dados observados durante 5 anos para uma determinada demanda
foram os seguintes:
Ano 1 2 3 4 5
Demanda 10,4 17,3 27,1 33,8 41,5
a) Faa um grfico mostrando os dados experimentais. b) Determine
a equao da reta dos mnimos quadrados, usando o
Excel. c) Indique a demanda terica na metade do terceiro
ano.
RESPOSTA
1. Aps a digitao dos resultados do ano na coluna A e da demanda
na coluna B, escolha o grfico Disperso (XY), que resulta na Figura
4.8. .
05
1015202530354045
0 2 4 6Ano
Dem
an
da
Figura 4.8 Reta relacionando Ano e Demanda
2. Ao se clicar com o boto direito em qualquer um dos pontos do
grfico, abre-se um novo menu (Figura 4.9).
-
Pg. 4-30
Figura 4.9 Menu para determinar a linha de tendncia
3. Clicar em Adicionar linha de tendncia..., surgindo a Figura
4.10, onde a tendncia Linear j est selecionada.
Figura 4.10 Aba Tipo de Adicionar linha de tendncia
5. Clicar na aba Opes e marcar a quadrcula referente a Exibir
equao no grfico e Exibir valor de R-quadrado no grfico (Figura
4.11)
-
Pg. 4-31
Figura 4.11 Aba Opes de Adicionar linha de tendncia
O objetivo de se determinar o valor de R2 para verificar o
quanto a modelagem adequada, e quanto mais prximo do valor 1,
melhor.
5. Aps dar o OK, surge a tela da Figura 4.12.
y = 7,87x + 2,41R2 = 0,9968
05
1015202530354045
0 2 4 6Ano
Dem
an
da
Figura 4.12 Resultado final
-
Pg. 4-32
As respostas so: a) A equao da rota Y = 7,87X + 2,41, onde
X = ano e
Y = demanda
b) para o tempo de 3,5 anos, a demanda calculada a partir da
equao por: Y = 7,87 x 3,5 + 2,41, o que nos fornece o valor de
29,955 para a demanda.
A anlise de regresso apenas indica qual relacionamento matemtico
pode existir, se existir algum. Em outras palavras, a regresso no
pode mostrar que uma varivel tenda a causar certos valores de outra
varivel, ou seja, no garante que exista relao de causa e
efeito.
Alm do grfico de disperso, pode-se fazer a Regresso Linear no
EXCEL com a Ferramenta de Anlise Regresso.
passo 1: primeiramente, digite em uma coluna os valores do ano e
em outra coluna os resultados da demanda.
passo 2 v ao menu Ferramentas e escolha Anlise de dados...;
surge a respectiva tela (Figura 4.13).
Figura 4.13 - Anlise de dados.
passo 3: por meio da barra de rolagem da direita, procure, entre
as Ferramentas de Anlise, Regresso (Figura 4.14);
-
Pg. 4-33
Figura 4.14 - Regresso em Ferramentas de Anlise.
passo 4: clique OK no extremo superior direito do quadro,
surgindo a tela Regresso (Figura 4.15);
Figura 4.15 Tela de Regresso
passo 5: a) em Intervalo Y de entrada (agora com um trao
vertical intermitente),
digitar as clulas inicial e final das demandas, separadas por
dois pontos ou, ento, selecionar o conjunto de valores clicando na
primeira clula e arrastando o ponteiro do mouse (sem soltar o boto
esquerdo) at a ltima clula (no se preocupe com a notao incluindo o
sinal $); neste ltimo caso, observe-se que em Intervalo Y de
entrada aparecem as clulas inicial e final onde foram digitados os
valores.
b) Fazer o mesmo com os anos no Intervalo X de entrada. c)
Observar que o valor do nvel de confiana aparece preenchido e
bloqueado
com o valor usual (95%); mantenha esse valor ou altere-o de
acordo com suas necessidades, clicando na quadrcula esquerda e
colocando o valor desejado.
d) Indicar a opo de sada: pode ser na mesma planilha onde os
dados foram digitados (neste caso, digite a clula que ser a clula
superior esquerda e deixe pelo menos sete colunas para a tabela de
sada), uma nova planilha (para nomear a nova planilha, digite um
nome no retngulo) ou mesmo uma nova pasta de trabalho (Para nomear
a nova pasta de trabalho, digite um nome no retngulo).
e) No marque as outras quadrculas. passo 6: dar um OK e observar
o resultado.
-
Pg. 4-34
E4-3
Os dados observados durante 5 anos para uma determinada demanda
foram os seguintes:
Ano 1 2 3 4 5
Demanda 10,4 17,3 27,1 33,8 41,5
Determine a equao da reta dos mnimos quadrados Y = AX + B com a
variao dos coeficientes A e B.
RESPOSTA
passo 1: primeiramente, digitar em uma coluna os valores do Anoe
em outra coluna os resultados da Demanda:
passo 2: ir ao menu Ferramentas e escolha Anlise de dados...;
surgindo a respectiva tela (Figura 4.16).
Figura 4.16- Anlise de dados.
passo 3: por meio da barra de rolagem da direita, procurar,
entre as Ferramentas de Anlise, Regresso (Figura 4.17);
Figura 4.17- Regresso em Ferramentas de Anlise.
-
Pg. 4-35
passo 4 clicar OK no extremo superior direito do quadro,
surgindo a tela Regresso.
passo 5: Digitar ou selecionar os dados, e marcar as quadrculas
referentes a resduos (Figura 4.18).
Figura 4.18 Tela com os dados de entrada e opes de sada passo 6:
ao dar OK, aparece parte dos resultados completos (Figura
4.14).
Coeficientes Erro padro Stat tInterseo 2,41 0,851841143
2,829166Varivel X 1 7,87 0,256839768 30,64167
Figura 4.19 Parte dos resultados do Exemplo E4-2 Observe-se que
tanto para a interseo quanto para a Varivel X1, aparecem os
seguintes valores: Coeficientes, Erro padro; Stat t; valor-P; 95%
inferiores; 95% superiores; Inferior 95,0% e superior 95,0%. O que
realmente nos interessa, no momento, so os valores de 95%
inferiores e superiores cujos resultados aparecem duas vezes. Essa
repetio porque o EXCEL sempre coloca o resultado para 95% de
confiana, alm da confiana escolhida pelo analista. Dessa parte dos
resultados, sero vistos apenas os da Figura 4.20.
Coeficientes 95% inferiores 95% superioresInterseo 2,41
-0,300938699 5,120938699Varivel X 1 7,87 7,052621228
8,687378772
Figura 4.20 Resultados do Exemplo 4.1 a serem analisados
A resposta a seguinte: Y = 7,87X + 2,41
A inclinao A pode variar entre 7,05 e 8,68.
A ordenada B pode variar entre 0,30 e 5,12.
Para a varivel X1, no exemplo, tem-se que 95% inferiores = 7,05
e 95% superiores = 8,68, o que significa que o valor de a pode
variar entre esses dois resultados. Desse modo, a verdadeira
inclinao estimada, com 95% de confiana, como estando entre 7,05 e
8,68. Uma vez que esses valores esto acima de 0, pode-se concluir
que existe relao linear significativa em termos estatsticos, ou
seja, h 95% de probabilidade de ser verdade haver um
-
Pg. 4-36
relacionamento entre protenas e as absorbncias. Por outro lado,
se o valor 0 (zero) estivesse contido no intervalo, no haveria
relao entre protena e concentrao.
A combinao dessas variaes dos coeficientes a e b resulta no que
se denomina corredor de confiana, conforme a Figura 4.21.
Figura 4.21 Corredor de confiana
Os modelos de regresso que no so uma funo afim dos parmetros se
chamam modelos de regresso no-linear. possvel, com as mesmas
expresses utilizadas em regresso linear, realizar
1
outros tipos de regresses que, embora no sejam lineares, podem
se tornar lineares mediante transformaes simples como, por exemplo,
aplicar logaritmos a ambos os termos.
Entretanto, modelos lineares nem sempre so adequados para
representar algumas situaes, mas podem ser mais facilmente
resolvidos, em parte devido ao seu fcil ajuste sem o uso de
computadores, do que os modelos no-lineares. Antes do surgimento
dos aplicativos computacionais, transformavam-se os dados para uma
forma linear e, em seguida, analisava-se por esse tipo de regresso
linear. Ocorre que estas transformaes poderiam trazer resultados
imprecisos se realizada com dados transformados como se fosse uma
regresso linear, podendo tambm distorcer o erro experimental e
alterar a real relao entre os valores de X e de Y. Portanto, um
mtodo que no deve ser utilizado por causa de sua impreciso; ao invs
disso, para
Reta de regresso
Corredor de 99%
de confiana
Corredor de 95%
de confiana
-
Pg. 4-37
dados que no so descritos por uma funo linear, deve-se
implementar um protocolo que far o ajuste dos dados com o uso de
uma funo no linear.
Um modelo no-linear um modelo que no se enquadra em nenhum dos
outros dois casos: no um modelo linear e tambm no possvel
transform-lo em um deles.
De modo semelhante aos modelos lineares, o processo de estimao
dos parmetros pode ser obtido por meio da minimizao da soma de
quadrados dos resduos. A diferena que se obtm um sistema de equaes
normais no-lineares, o qual no apresenta uma soluo explicita. O
mtodo dos mnimos quadrados utilizado na estimao dos parmetros em
modelos no-lineares, da mesma maneira que em modelos lineares.
Nos casos mais simples, o Excel, tem a soluo imediata (Figura
4.22)
Figura 4.22 Aba Tipo de Adicionar linha de tendncia
-
Pg. 4-38
1. Mtodos dos mnimos quadrados ordinrios (MQO) Este mtodo devido
ao matemtico alemo Johann Carl Friedrich Gauss (1777-1855), que
o
descreveu aos dezoito anos (1795). Mais tarde, Adrien-Marie
Legendre (1805) introduziu
contribuies ao mtodo em seu Nouvelles mthodes pour la
dtermination des orbites des
comtes .
3.1 Explicao conceitual
Quando se faz uma regresso linear, os valores observados (xi,yi)
esto dispersos ao redor da
reta de regresso.. Quanto menor for essa disperso, melhor a reta
de regresso representa o
conjunto de valores observados. Em 1809, Carl Friedrich Gauss
(1777-1855) demonstrou que a
melhor maneira de determinar um parmetro desconhecido de uma
equao minimizar a
soma dos quadrados dos resduos, ou seja, diferenas entre os
valores reais e os do modelo
(Figura 3.1)
Figura 3.1 Ilustrao do resduo
Adrien-Marie Legendre (1752-1833) denominou este mtodo de Mnimos
Quadrados e, em abril de 1810, Pierre-Simon, marqus de Laplace
(1749-1827) generalizou o problema.
Deseja-se minimizar a seguinte soma:
( )=
=
n
iiiS yy
1
2 , onde
valores de y observados
valor de y estimado pela reta de regresso y=ax+b
ou seja, mnimos quadrados consiste em minimizar a soma dos
quadrados dos resduos,
Analisando:
-
Pg. 4-39
Suponha-se que os valores de y no sejam influenciados pelos
valores de x. Se y no depende de x, graficamente, tem-se y
constante ( , dado que a=0 e y=b). Ento, est-se admitindo
que os valores observados yi so flutuaes ao acaso ao redor de um
valor mdio y . Tem-se que
)( YYi : Variao de Y em torno de sua mdia;
)( YYi : Variao de Y explicada pelas variaes de X: (Yi = b +
aXi).
)( YYi : Mede o grau de disperso entre os valores observados e o
estimado (no explicado por X - o resduo). X causa impacto em Y, mas
existem impactos causados pelos erros, e a variao dos pontos
observados nem sempre pertencem reta de regresso. (Figura 3.2)
Figura 3.2 Ilustrao das diferenas entre o modelo, os dados reais
e a mdia das
observaes y
Quanto, ento, a reta de regresso (valores ) difere deste valor
mdio ? Isto fornecido
pela soma dos quadrados das distncias entre e ( ), o que
corresponde a
. Tambm se pode medir a disperso dos valores observados em
relao
reta, o que corresponde a , dado pela soma dos quadrados das
distncias entre
e ( ) (Figura 2).
-
Pg. 4-40
Por esta razo, diz-se que corresponde o quanto da variao de
"justificado" pela reta ajustada e a o quanto resta para ser
explicado.
Se o modelo representar adequadamente os dados, as observaes
estaro prximas da reta
de regresso.
Ou seja,
Variao Total = Variao Explicada pela Variao de X + Variao
Residual
Matematicamente, como ( ) ( ) ( )yyyy iiyiyi += ento
, onde
valores de y observados
valor mdio de y
valor de y estimado pela reta de regresso y=ax+b
3.2 Medida de qualidade do ajuste, o coeficiente de determinao
R2
O objetivo determinar se o modelo representa adequadamente os
dados coletados.. Se se fizer
SQTsSQ
SQTgSQ
SQTSQT ReRe
+=
ento
( )( ) ( )
+
= 2
2
2
2
1YY
e
YY
YY
i
i
i
i
Denomine-se a proporo explicada pela varivel X de R2, igual a
SQTgSQ Re
. Da que:
1 = R2 + SQTsSQ Re
, ou seja, R2 = 1 - SQTsSQ Re
Assim, 10 2 R , e indica o percentual de variao de Y explicada
pela varivel independente X. O coeficiente de determinao representa
a proporo (ou porcentagem) da variao total em Y explicada pelo
modelo de regresso. Por exemplo, se R2 = 0,57, ento 57% das variaes
de Y so atribudas apenas variao de X.
R2 uma funo no decrescente do nmero de variveis explicativas do
modelo, o que faz
com que o aumento do nmero de regressores aumente quase
invariavelmente o R2. Como:
-
Pg. 4-41
22 i
2i
eSQ Re g SQ Re sR 1 1SQT SQT y
= = =
e 2iy independente do nmero de variveis explicativas, mas
2ie depende do nmero de
variveis explicativas presentes no modelo (conforme aumenta o
nmero de variveis
explicativas, provavelmente 2ie ir diminuir, fazendo com que o
R
2 aumente).
Ao comparar dois modelos de regresso com a mesma varivel
dependente e diferente
nmero de variveis dependentes, a escolha do modelo, pelo R2 mais
alto, deve ser feita com
cautela.
Para comparar os dois R2, deve-se considerar o nmero de variveis
explicativas presentes no
modelo, por meio do R2 Ajustado( 2R ), dado por
22 i
2i
e ( n k )R 1y ( n 1 )
=
onde: k o nmero de parmetros do modelo.
Em sntese, R2 representa uma medida de intensidade da relao
linear entre as variveis.
3.3 Teste F para regresso linear simples:
Pode-se tambm verificar se Y relaciona-se com X, por meio de um
teste de hipteses
H0: a=0 versus H1: a0
A hiptese de nulidade a de que a variao de y no depende de x,
portanto rejeitando-se H0
est-se admitindo que y funo de x. Para esse teste, poder-se-ia
usar o teste de Student,
mas como toda a explicao baseia-se em soma de quadrados, e
sabendo-se que t2 = F, ento
faz-se o teste-F, anlise da varincia, comparando-se a varincia
da regresso com a dos
resduos.
que, sob H0, uma distribuio F com graus de liberdade (1,n-2).
Portanto rejeita-se H0 quando
MQregresso for significativamente maior que a MQresduos.
O Quadro 3.1 apresenta a ANOVA com a identificao de cada uma das
clulas.
-
Pg. 4-42
Quadro 3.1. ANOVA DE UMA REGRESSO SIMPLES
g.l.SQ MQ F valo r pRegresso 1 SQregresso MQ regresso SQ
regresso / MQresd uos Resduos n-2 SQresduos MQ resduos Total n-1
SQt otal
A SQregressa tem apenas um grau de liberdade porque tanto yi
quanto y so fixos para cada xi.
A SQtotal tem (n-1) graus de liberdade pela definio de varincia
amostral.
A SQresduos tem (n-2) graus de liberdade porque a reta de
regresso tem dois parmetros, a e b, que devem ser fixos para cada
amostra
3.4. Explicaes adicionais
A regresso linear simples busca estabelecer uma funo matemtica
afim para descrever o
relacionamento entre a varivel resposta e uma varivel
explicativa em estudo. A EQ. 1 mostra
o exemplo de uma modelagem de regresso linear simples, na qual
os valores dos parmetros da regresso 1 e 2 foram estimados pelo
mtodo dos mnimos quadrados.
yt = 1 + 2 xt. EQ. 3.1 Caso a regresso pelo modelo linear no
tenha se apresentado adequada para descrever o
relacionamento entre as variveis com os dados observados,
pode-se empregar a regresso no-linear
como, por exemplo, a polinomial (EQ. 2).
...xxy 3321 +++= EQ. 3.2
Conforme sejam adicionadas potncias crescentes de x, a curva
tornar-se- cada vez mais
complexa numa tentativa de ajustarem os pontos representativos
do relacionamento entre as
duas variveis.
Considerando o caso de se ter um modelo de regresso linear
simples, o modelo geral est
representado pela EQ. 3.3. Observe a existncia do termo
referente ao erro, que diferencia o
modelo estatstico do modelo matemtico.
yt = 1 + 2x t + et EQ. 3.3
Onde 1 e 2 so constantes a serem determinadas, denominadas
parmetros da regresso e
et representa toda fonte de variabilidade em yt no explicada por
xt.
-
Pg. 4-43
Alm de no considerar a influncia da posio na modelagem, os
modelos de regresso linear simples apresentam alguns
pressupostos:
1. yt = 1 + 2x t + et
2. E (et ) = 0 E(yt) = 1 + 2x t
3. var(et) = 2 = var(yt)
4. cov(ei,ej) = cov(yi,yj) = 0
5. x t c (cte) para toda observao
6. et ~ N(0,2) yt ~ N[( 1 + 2x t ),
2 ] (opcional)
onde 2 representa um valor constante para a varincia.
comum que o termo et seja numericamente mais importante que a
explicao motivada pela
varivel xt. Nesse caso, recomendvel introduzir-se mais variveis
ao modelo de forma a
explicar o comportamento de yt. A anlise passa a ser ento
denominada de anlise de
regresso linear mltipla.
A regresso mltipla utilizada para testar dependncias acumuladas
de uma nica varivel
dependente em relao a diversas variveis independentes. Cada
varivel isolada e mantida
constante enquanto que as restantes variam sistematicamente, de
modo a que se possa
verificar os seus efeitos sobre a varivel dependente.
O modelo geral representado pela EQ. 3.4.
yt = 1 + 2x t2 + 3x t3++ nx tk + et EQ. 3.4
Onde os coeficientes 1, 2, , k so parmetros desconhecidos. O
parmetro k mede o
efeito de uma modificao na varivel xtk sobre o valor esperado de
yt, E(yt), mantidas
constantes todas as outras variveis. O parmetro 1 o termo
intercepto, cuja varivel xt1=1.
O erro aleatrio et representa todos os fatores considerados na
regresso como variveis
explicativas. O clculo do valor das estimativas e das varincias
pelo mtodo dos mnimos
quadrados apresenta o mesmo raciocnio que para a regresso linear
simples, porm seus
valores sero numericamente diferentes.
2. Valores extremos na regresso linear
Na regresso linear, o tratamento de valores extremos feito a
partir do grfico dos resduos
da regresso versus os nveis de concentrao. Duas linhas
horizontais correspondentes a
-
Pg. 4-44
resduosn
St)2,
21(
So traadas para indicar uma faixa de variao aceitvel para os
resduos da regresso
representados no grfico, sendo os casos de pontos fora destes
limites percebidos como
tendenciosidades. Compara-se a disposio dos pontos no grfico dos
resduos da regresso
com padres para identificar valores extremos ou no
adequabilidade do modelo original.
Cnicas indicam heteroscedasticidade, e formas em U ou U
invertido sugerem desvio de
linearidade.
Esses valores extremos so avaliados pelo mtodo dos resduos
padronizados Jackknife, cuja
estatstica o resduo padronizado Jackknife eiJ , calculado para
cada ponto da curva analtica por
r iiei
pn
pnrJ 2
1
=
onde
p o nmero de parmetros do modelo,
ei
ii S
re
= o resduo padronizado,
iresduosei hSs = 1 o erro padro do resduo. Nessa expresso,
xx
ii S
xx
nh
2)(1 += e
=
=
n
iixx xxS
1
2)(
Os resduos padronizados Jackknife seguem a distribuio de
Student, e valores eiJ maiores
que o valor do t crtico )1,2
1( pnt so considerados extremos e removidos, exceto quando a
porcentagem de dados tratados for superior a 22,2 % do nmero
original de dados ou quando
o ponto for a terceira e ltima replicata do nvel de concentrao
estudado. Para cada retirada,
recalcula-se a reta de egresso.
No Excel, tem-se:
-
Pg. 4-45
Regresso Linear no EXCEL com a Ferramenta de Anlise Regresso
passo 1: primeiramente, digite em uma coluna os valores das
concentraes
e em outra coluna os resultados da resposta medida.
passo 2 v ao menu Ferramentas e escolha Anlise de dados...;
surge a
respectiva tela (Figura 2.17).
Figura 2.17. Anlise de dados.
passo 3: por meio da barra de rolagem da direita, procure, entre
as
Ferramentas de Anlise, Regresso (Figura 2.18);
Figura 2.18. Regresso em Ferramentas de Anlise.
passo 4: clique OK no extremo superior direito do quadro,
surgindo a tela
Regresso (Figura 2.19);
-
Pg. 4-46
Figura 2.19. Tela de Regresso
passo 5:
e) em Intervalo Y de entrada (agora com um trao vertical
intermitente), digitar as clulas inicial e final das respostas
medidas,
separadas por dois pontos ou, ento, selecionar o conjunto de
valores
clicando na primeira clula e arrastando o ponteiro do mouse
(sem
soltar o boto esquerdo) at a ltima clula (no se preocupe com
a
notao incluindo o sinal $); neste ltimo caso, observe-se que
em
Intervalo Y de entrada aparecem as clulas inicial e final onde
foram
digitados os valores.
f) Fazer o mesmo com as concentraes no Intervalo X de
entrada.
g) Observar que o valor do nvel de confiana aparece preenchido
e
bloqueado com o valor usual (95%); mantenha esse valor ou
altere-o
de acordo com suas necessidades, clicando na quadrcula esquerda
e
colocando o valor desejado.
h) Indicar a opo de sada: pode ser na mesma planilha onde os
dados
foram digitados (neste caso, digite a clula que ser a clula
superior
esquerda e deixe pelo menos sete colunas para a tabela de
sada),
uma nova planilha (para nomear a nova planilha, digite um nome
no
retngulo) ou mesmo uma nova pasta de trabalho (Para nomear a
nova pasta de trabalho, digite um nome no retngulo).
f) MARCAR TODAS as outras quadrculas.
Passo 6: dar um OK e observar o resultado.
Exerccio 1: Verificar possveis valores extremos pelo mtodo
Jackknife , considerando os
dados e resultados a seguir.
-
Pg. 4-47
X Y
1 2,9
2 5,4
3 6,8
4 8,7
5 10,8
6 13,2
7 14,9
RESULTADOS DE RESDUOS
Observao Y previsto Resduos Resduos padro
1 3 -0,1 -0,401918476
2 4,985714 0,414285714 1,66509083
3 6,971429 -0,171428571 -0,689003102
4 8,957143 -0,257142857 -1,033504653
5 10,94286 -0,142857143 -0,574169252
6 12,92857 0,271428571 1,090921578
7 14,91429 -0,014285714 -0,057416925
desvpad= 0,248806676
mdia= 0
-0,5
0
0,5
0 2 4 6 8Re
sd
uo
s
Varivel X 1
Varivel X 1 Plotagem de resduos
Exerccio 2: Verificar possveis valores extremos pelo mtodo
Jackknife , considerando os
dados e resultados a seguir.
-
Pg. 4-48
X Y
1 2,9
2 5,4
3 6,8
4 8,7
5 10,8
6 13,2
7 14,9
8 57
RESULTADOS DE RESDUOS
Observao Y previsto Resduos Resduos padro
1 -3,683333333 6,583333333 0,568599047
2 1,644047619 3,755952381 0,324399637
3 6,971428571 -0,171428571 -0,014806196
4 12,29880952 -3,598809524 -0,310827291
5 17,62619048 -6,826190476 -0,589574491
6 22,95357143 -9,753571429 -0,842410848
7 28,28095238 -13,38095238 -1,155705839
8 33,60833333 23,39166667 2,020325981
desvpad= 11,57816456
mdia= 8,88178E-16
5. Regresso Linear anlise dos pressupostos A anlise dos resduos
revela:
a. se a presuno de normalidade da distribuio dos resduos se
confirma. Se o grfico dos resduos mostra uma tendncia sistemtica
positiva ou negativa significa que uma outra funo (no linear) deve
ser escolhida.
Resduos
X
0
b. pode revelar se a varincia dos resduos realmente constante,
ou seja, se a disperso
dos dados em torno da reta de regresso uniforme; A varincia dos
resduos indicada pela amplitude da disperso dos resduos, quando o
valor de x aumenta. Se essa amplitude aumenta ou diminui quando o
valor de x aumenta, a varincia no constante. Este problema
denominado heterocedasticidade Quando existe heterocedasticidade o
mtodo dos mnimos
-
Pg. 4-49
quadrados no pode ser usado para estimar a regresso, devendo ser
usado um mtodo mais complexo chamado mnimos quadrados geral.
Resduos
X
0
Resduos
X
0
Resduos parecem aleatrios, sem padro A varincia residual est
crescendo
c. se a presuno de que os resduos no so correlacionados est
satisfeita
5a. Teste de Ryan-Joner para verificar se os resduos dos dados
podem ser modelados pela distribuio de Gauss A questo mais
importante no "Os dados podem ser modelados pela distribuio de
Gauss? ou, popularmente falando, A populao normal?", porque j se
sabe que nenhuma
populao real pode ser modelada pela distribuio de Gauss.
Entretanto, a pergunta deve ser
Quanto no Gauss a populao? ou Quanto no ser Gauss vai
influenciar no resultado?
A estatstica Ryan-Joiner (RJ) pode ser utilizada para indicar a
resposta primeira dessas
perguntas.
Por ser um o coeficiente de correlao, a hiptese de nulidade
rejeitada quando os
coeficientes de correlao calculados so menores que os valores
crticos estabelecidos para
esses coeficientes.
Os passos so os seguintes:
1) Ordenar os resduos.
2) Determinar, a partir dos valores desses resduos, os percentis
estimados para uma
distribuio de Gauss padronizada, percentis denominados,
popularmente, quantis
normais, a partir da seguinte expresso
+
= )4/1()8/3(1
n
iqipara i = 1, ..., n
-
Pg. 4-50
onde qi a probabilidade acumulada associada ao valor
+
)4/1()8/3(
n
i, i a ordem da
resduo ordenado, e n, o tamanho da amostra.
3) Construir o grfico dos valores desses resduos e dos qi.
tconhecido como grfico
quantil-quantil (Q-Q). Se os dados pertencerem a uma distribuio
de Gauss, o
grfico o uma linha reta. No entanto, se os dados forem
provenientes de uma
outra distribuio, haver alguma curvatura ou uma distribuio
aleatria.
4) Calcular o coeficiente de correlao entre os valores desses
resduos e dos qi pela
expresso
SSS
qqee
eqeq
xR =
Onde
))((1
qqeeS in
iieq =
=
2
1)( eeS
n
iiee =
=
2
1)( qqS
n
iiqq =
=
n
e
e
n
ii
==
1
n
qq
n
ii
==
1
.
5) Determinar o valor do coeficiente de correlai crtico
Rcrtico(n) para um erro de 5%
pela expresso:
23505,06118,01288,00063,1)(nnn
nRcrtico +=
6) Se o coeficiente de correlao5 calculado for maior que
Rcrtico(n), no se rejeita a hiptese nula de normalidade dos
resduos, ou seja, os resduos podem ser considerados como podendo
ser modelados pela distribuio de Gauss6.
5 Quanto maior o coeficiente de correlao, ou seja, quanto mais
perto de 1, melhor. 6 Quando o teste de Ryan-Joiner indicar que os
dados apresentam desvio da distribuio de Gauss, aps
transformarem-se as variveis, por meio da raiz quadrada, logaritmos
e inverso da varivel dependente, nessa prioridade, avalia-se
novamente. Se o desvio de linearidade
-
Pg. 4-51
5b. Avaliao da Homoscedasticidade teste de Brown-Forsythe Quando
uma ANOVA-fator nico realizada, assume-se que as varincias dos
grupos so
estatisticamente iguais. Se esta suposio no vlida, ento o teste
F no vlido. O teste de
Brown-Forsythe um teste estatstico para a igualdade de varincias
do grupo baseado na
realizao de uma ANOVA em uma transformao da varivel resposta. A
estatstica de teste
Brown-Forsythe a estatstica F resultante de uma simples ANOVA
dos desvios absolutos a
partir da mediana.
A varivel de resposta transformada construda para medir a
variabilidade em cada grupo.
Seja
yyz jijij~
= onde y~ a mediana do grupo j.
A estatstica de teste Brown-Forsythe a estatstica F a partir de
uma ANOVA fator nico em
zij .
5c. Avaliao da independncia teste de Durbin-Watson
H0: No existe correlao serial dos resduos H1: Existe correlao
serial dos resduos
Calcula-se a estatstica DW =
=
=
=n
i
n
ii
e
ee
d
11
2
21
21)(
O valor de d sempre se encontra entre 0 e 4.
Se a estatstica de Durbin-Watson substancialmente menor do que
2, h evidncia de
correlao serial positiva. Como regra emprica, se Durbin-Watson
inferior a 1,0, pode haver
motivo para alarme. Pequenos valores de d indicam que os termos
de erro sucessivos so, em
mdia, prximos um do outro, ou positivamente correlacionados.
persistir aps aplicao do teste de Ryan-Joiner s variveis
transformadas, recomenda-se utilizar mtodos robustos.
-
Pg. 4-52
Se d> 2, os termos sucessivos de erro so, em mdia, muito
diferentes uns dos outros, isto ,
negativamente correlacionados. Em regresses, isto pode implicar
uma subestimao do nvel
de significncia estatstica.
Para testar para auto-correlao positiva com nvel de significncia
, a estatstica de teste
comparada com os valores crticos inferiores e superiores (dL e
dU).
Se d dU, no h nenhuma evidncia estatstica de que os termos de
erro so positivamente
autocorrelacionados.
Extrato da tabela para o teste de Durbin-Watson para alfa =
5%
N dL dU
15 1,08 1,36
20 1,20 1,71
25 1,29 1,45
30 1.35 1,49
40 1,44 1,54
50 1,50 1,59
60 1,55 1,62
80 1,61 1,66
100 1,65 1,69
Graficamente, tem-se:
-
Pg. 4-53
EXERCCIOS
1. Explique o relacionamento entre ANOVA e regresso linear. 2.
Explique o uso de todas as opes (resduos etc.) do quadro Regresso
no
Excel. 3. Probleminha:
Calculou-se a mdia e o desvio-padro de uma amostra com 67
elementos, todos diferentes. Ao se retirar um valor igual mdia
aritmtica, a consequncia para os valores da mdia aritmtica e do
desvio-padro a seguinte, respectivamente:
a) aumenta - permanece b) diminui - permanece c) permanece
diminui d) permance - aumenta
e. Regresso linear mltipla.
f. Controle da Qualidade. Um grfico de controle um meio de
controlar um processo. Valores dos dados so coletados e
determina-se, por exemplo, a mdia amostral, a amplitude da amostra
ou o
desvio-padro amostral, baseados na caracterstica da qualidade de
interesse que se deseja
controlar, caracterstica colocada em um grfico. Se esse valor
estiver entre determinados
limites e no exibir qualquer padro sistemtico ou previsvel, o
processo pode ser
considerado sob controle estatstico. Se os limites so calculados
a partir de dados recentes, o
-
Pg. 4-54
grfico informa que o processo est, no momento, sob controle.
Entretanto, se os limites de
controle foram calculados a partir de dados anteriores, baseados
em um processo inicialmente
sob controle, o grfico pode ser usado para determinar se, aps
ltima coleta de dados, o
processo saiu ou no de controle.
Os grficos de controle so chamados, algumas vezes, de grficos de
Shewhart, porque Walter
A . Shewhart foi quem primeiro props sua teoria geral.
H dois tipos principais de grficos de controle: por variveis e
por atributos. Nos grficos de
controle por variveis, o valor de uma caracterstica da qualidade
medida em escala
numrica e so construdos para uma medida de representatividade
(normalmente a mdia
aritmtica) e para uma medida de disperso (normalmente a
amplitude ou o desvio-padro),
os quais devem ser utilizados de modo conjunto. Os grficos de
controle para variveis
informam a respeito da mdia da amostra, da amplitude da amostra,
do desvio padro da
amostra, dos valores individuais e da mdia mvel. Nos grficos de
controle por atributos,
indica-se a presena ou falta de uma determinada condio. Por
exemplo, nos grficos por
atributos indica-se a frao de itens no conformes, o nmero de no
conformidades, o
nmero total de no conformidades e o nmero total de no
conformidades por unidade.
A caracterstica da qualidade a ser acompanhada colocada o eixo
vertical, enquanto que, no
eixo horizontal, representam-se as amostras ou os subgrupos7. A
figura 8.1 mostra um tpico
grfico de controle.
10
15
20
25
30
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Nmero da amostra
Val
or
da ca
ract
erst
ica
FIGURA 8.1 - Grfico de controle.
7 Define-se como subgrupo o nmero de itens de uma determinada
amostra
-
Pg. 4-55
Trs linhas so indicadas no grfico de controle. A linha central
(LC) representa o valor mdio
da caracterstica em estudo, sendo uma indicao da medida central
do processo. A linha
central geralmente definida a partir de dados das amostras ou de
uma especificao. Para a
tomada de deciso a respeito do processo, utilizam-se dois
limites, o limite superior de
controle (LSC) e o limite inferior de controle (LIC).
Se os pontos representando os valores observados das
caractersticas encontram-se dentro
dos limites de controle e no exibem nenhuma disposio regular, o
processo considerado
sob controle estatstico. Se algum ponto situa-se fora dos
limites de controle ou se uma
disposio no-aleatria existe (como, por exemplo, inmeros pontos
sucessivos acima da
linha mdia), o processo considerado fora de controle
estatstico.
8.2. Determinao dos limites de controle
Considere uma caracterstica de interesse e sua estimativa. Por
exemplo, pode ser uma determinada medio em um ensaio e a medio em
uma amostra de escolhida no
processo. Sendo DP( ) o desvio padro, a linha central e os
limites de controle so dados por:
LC = valor mdio de
LSC = valor mdio de + k. DP( )
LIC = valor mdio de - k DP( )
onde k representa o nmero de desvios padro para limites de
controle a partir da linha
central. Tradicionalmente, o valor de k escolhido 3 (origem da
expresso limites 3, Six-
sigma e Seis Sigma).
Os valores apresentados em um grfico de controle so
considerados, aproximadamente,
como sendo modelados pela distribuio de deMoivre-Laplace-Gauss (
tambm conhecida
como distribuio normal). Para as mdias amostrais, o teorema
central do limite garante que
a distribuio de probabilidade tende para a distribuio de
deMoivre-Laplace-Gauss, mesmo
que a populao original no seja modelada por essa distribuio.
Como, na maioria dos casos,
utiliza-se a mdia amostral dos valores de determinadas
caractersticas, considera-se vlida a
distribuio de DeMoivre-Laplace-Gauss para a determinao dos erros
associados s
decises.
-
Pg. 4-56
Desse modo, k=3 significa que existe a probabilidade de que,
caso o processo esteja sob
controle, somente 0,27% dos valores encontrarem-se fora dos
limites de controle.
8.3. Limites de advertncia
Os limites de advertncia so aqueles em que os limites de
controle so calculados para k=2.
Se um ponto estiver fora dos limites de advertncia, mas dentro
dos limites de controle, o
processo no considerado fora de controle, mas serve como uma
advertncia para o usurio.
g. Introduo ao planejamento de
experimentos. (exemplo simples com
base no Montgomery)
Conceitos iniciais definies etc.
-
Pg. 4-57
-
Pg. 4-58
-
Pg. 4-59
-
Pg. 4-60
-
Pg. 4-61
-
Pg. 4-62
Finalmente, mais aplicaes
(continua no Captulo 5)
-
Pg. 4-63
EXERCCIOS
Caso encontre algum exerccio que no tem um texto que o responda,
pesquise a respeito e incorpore o que descobriu ao corpo do
material.
A.A.A.A. EXERCCIOS CONCEITUAISEXERCCIOS CONCEITUAISEXERCCIOS
CONCEITUAISEXERCCIOS CONCEITUAIS
Antes de resolver um problema, PENSE!
Fonte:
http://rpcriativo.blogspot.com/2010/04/pensar-fora-da-caixa-pode-ser-muito.html
1.
2. .
B.EXERCCIOS de habilidade B.EXERCCIOS de habilidade B.EXERCCIOS
de habilidade B.EXERCCIOS de habilidade (resolver
problemas)(resolver problemas)(resolver problemas)(resolver
problemas)
A repetio at a exausto leva perfeio!
Passo 1: Faa exerccios at completar 10 (dez) SEM ERRAR
NENHUM
Passo 2: Chegou ao final?
a. SIM: refaa todos mais uma vez e v ao Passo 3
b. NO: v ao Passo 1
Passo 3: Faa os exerccios computacionais
-
Pg. 4-64
1) Exerccios do Companion cap
2) Faa os exerccios a seguir na ordem em que aparecem. 1.
C.C.C.C. ExerExerExerExerccios de uso de aplicativos ccios de
uso de aplicativos ccios de uso de aplicativos ccios de uso de
aplicativos
computacionaiscomputacionaiscomputacionaiscomputacionais
1) Crie um anexo ao captulo 1 com os passos bsicos para usar o
aplicativo R.
2) Inclua no texto como fazer para gerar o feito no Excel dgitos
pseudoaleatrios com o aplicativo R.
D.D.D.D. Exerccios deExerccios deExerccios deExerccios de
interpretao de resinterpretao de resinterpretao de
resinterpretao de resultadosultadosultadosultados
Ao longo do texto.
E.EXERCCIOS de pesquisaE.EXERCCIOS de pesquisaE.EXERCCIOS de
pesquisaE.EXERCCIOS de pesquisa
Liste e comente endereos na rede mundial de computadores,
relacionados aos assuntos vistos neste captulo como, por exemplo,
em:
1. www.youtube.com
a.
b.
2. www.youtube.com/edu (Category: University)
a.
b.
FFFF.... QUESTES: ENADE E PROVO QUESTES: ENADE E PROVO QUESTES:
ENADE E PROVO QUESTES: ENADE E PROVO
1.
2.
G. Para descontrair:G. Para descontrair:G. Para descontrair:G.
Para descontrair:
3. http://www.youtube.com/watch?v=H6syI3xiBBg
-
Pg. 4-65
4.
