Testes de Hipóteses II - IME-USPfmachado/MAE229/AULA6.pdf · Testes de Hipóteses II Capítulo 12, Estatística Básica (Bussab&Morettin, 8a Edição) 6a AULA – 06/04/2015 MAE229

Testes de Hipóteses II

Capítulo 12, Estatística Básica(Bussab&Morettin, 8a Edição)

6a AULA – 06/04/2015

MAE229 - Ano letivo 2015Lígia Henriques-Rodrigues

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1. Teste para a média de uma população comvariância conhecida

Passo 1: H0 : µ = µ0 contra(i) H1 : µ 6= µ0;(ii) H1 : µ > µ0 ou H1 : µ = µ1 (µ1 > µ0);(iii) H1 : µ < µ0 ou H1 : µ = µ1 (µ1 < µ0).

Passo 2: A estatística a ser usada é

X ∼ N(µ,σ2

n

),

que sob a validade de H0 é

X ∼H0

N(µ0,

σ2

n

)⇐⇒ Z =

X − µ0

σ/√

n∼H0

N(0,1).

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Passo 3: Dado α

(i) RC = {x : x ≤ c ∨ x ≥ d}, com c = µ0 − z(1− α/2)√

σ2

n e

d = µ0 + z(1− α/2)√

σ2

n ;

(ii) RC = {x : x ≥ d}, com d = µ0 + z(1− α)√

σ2

n ;

(iii) RC = {x : x ≤ c}, com c = µ0 − z(1− α)√

σ2

n ,

com z(p) o p-quantil da normal padrão.

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2. Teste para a média de uma população comvariância desconhecida e n pequeno



X − µS/√

n∼ t(n − 1),


T =X − µ0

S/√

n∼H0

t(n − 1).

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Passo 3: Dado α

(i) RC = {x : x ≤ c ∨ x ≥ d}, com c = µ0 − t(1− α/2) S√n e

d = µ0 + t(1− α/2) S√n ;

(ii) RC = {x : x ≥ d}, com d = µ0 + t(1− α) S√n ;

(iii) RC = {x : x ≤ c}, com c = µ0 − t(1− α) S√n ,

com t(p) o p-quantil da distribuição t-student com (n − 1)-graus de liberdade.

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3. Teste para a média de uma população comvariância desconhecida e n grande


Passo 2: Neste caso, a estatística a ser usada é

X − µS/√

n∼ N(0,1),


Z =X − µ0

S/√

n∼H0

N(0,1).

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Passo 3: Dado α

(i) RC = {x : x ≤ c ∨ x ≥ d}, com c = µ0 − z(1− α/2) S√n e

d = µ0 + z(1− α/2) S√n ;

(ii) RC = {x : x ≥ d}, com d = µ0 + z(1− α) S√n ;

(iii) RC = {x : x ≤ c}, com c = µ0 − z(1− α) S√n ,

com z(p) o p-quantil da distribuição normal padrão.

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Exemplo 1:

Um fabricante afirma que seus cigarros contêm 30 mg de nicotina. Umaamostra de 25 cigarros fornece média de 31,5 mg e desvio padrão de 3 mg.No nível de 5%, os dados refutam ou não a afirmação do fabricante? Admitaque a quantidade de nicotina por cigarro segue uma distribuição normal.

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4. Teste para a variância de uma população normalNeste caso, o parâmetro de interesse é σ2 ( ou σ) e vimos que

S2 =1

n − 1

n∑i=1

(Xi − X )2

é um estimador não enviesado e consistente de σ2.

Para realizarmos inferências sobre σ2 ( ou σ), precisamos obter uma v.a. queseja função de S2 e de σ2, mas cuja distribuição (amostral) não dependa deσ2.

TeoremaSeja (Z1, . . . ,Zn) uma AAS retirada de uma população N(0,1). Então:

1 Z tem distribuição N(0,1/n);2 As variáveis Z e

∑ni=1(Zi − Z )2 são independentes;

3∑n

i=1(Zi − Z )2 tem distribuição χ2(n − 1).

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Corolário

A v.a. (n−1)S2

σ2 tem distribuição χ2(n − 1).

De fato,

(n − 1)S2

σ2 =n − 1σ2

1n − 1

n∑i=1

(Xi − X )2 =n∑

i=1

(Xi − Xσ

)2

=n∑

i=1

((Xi − µσ

)−

(X − µσ

))2

=n∑

i=1

(Zi − Z )2.

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Passo 1: H0 : σ2 = σ20 contra

(i) H1 : σ2 6= σ20 ;

(ii) H1 : σ2 > σ20 ou H1 : σ2 = σ2

1 (σ21 > σ2

0);(iii) H1 : σ2 < σ2

0 ou H1 : σ2 = σ21 (σ2

1 < σ20).


(n − 1)S2

σ2 ∼ χ2(n − 1),


χ2 =(n − 1)S2

σ20

∼H0

χ2(n − 1).

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Passo 3: Dado α

(i) RC = {χ2 : 0 < χ2 ≤ c ∨ χ2 ≥ d}, com c = χ2(1− α/2) e d = χ2(α/2);

(ii) RC = {χ2 : χ2 ≥ d}, com d = χ2(α);

(iii) RC = {χ2 : 0 < χ2 ≤ c}, com c = χ2(1− α),

com χ2(p) o p-quantil da distribuição Qui-quadrado.

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Intervalo de confiança para σ2

A construção do IC(σ2; γ) é feita a partir da expressão

P(χ2

1 <(n − 1)S2

σ2 < χ22

)= γ,

que permite obter a desigualdade:

(n − 1)S2

χ22

≤ σ2 ≤ (n − 1)S2

χ21

,

com χ21 = χ2(1− α/2) = χ2((1 + γ)/2) e χ2

2 = χ2(α/2) = χ2((1− γ)/2).

NOTA: O IC(σ2; γ) corresponde à região de aceitação do teste bilateral.

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Exemplo 2:

Uma das maneiras de manter sob controle a qualidade de um produto écontrolar a sua variabilidade. Uma máquina de encher pacotes de café estáregulada para enchê-los com média 500g e desvio padrão de 10g. O peso decada pacote X segue uma distribuição N(µ, σ2). Colheu-se uma amostra de16 pacotes e observou-se uma variância de s2 = 169g2. Com esse resultado,você diria que a máquina está desregulada com relação à variância?(considere α = 5%)

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Valor-p ou nível descritivo

O valor-p ou nível descritivo ou probabilidade de significância representa umaforma alternativa de decisão que não exige a fixação do nível de significânciaα nem a determinação da região crítica.

O que se faz é calcular a probabilidade de ocorrer valores da estatística maisextremos do que o observado, sob a hipótese de H0 ser verdadeira.

Valor-p = P(obter dados ainda mais desfavoráveis a H0|H0 é verdadeira)

Assim,Valor-p muito pequeno =⇒ dados incoerentes com H0;Valor-p muito grande =⇒ dados coerentes com H0.

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Pelo que, se indicarmos por α̂ o valor-p, a decisão num teste de hipótesesserá a de:

rejeitaremos H0 para n.s. α > α̂

se o nível descritivo for muito pequeno, há evidências de que a hipótesenão seja válida;

não rejeitaremos H0 para n.s. α ≤ α̂

se o nível descritivo for muito grande, há evidências de que a hipóteseseja válida.

O Valor-p é o menor nível de significância que nos conduz à rejeição de H0com a amostra observada.

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Cálculo do Valor-p

Exemplo:Uma estação de televisão afirma que 60% dos televisores estavam ligados noprograma especial de domingo. Uma rede concorrente deseja contestar essaafirmação e decide usar uma amostra de 200 famílias para um teste. Destas,104, confirmaram ter assistido a programa. Teste a veracidade da afirmaçãoda estação, considerando α = 5%.

H0 : p = 0,6 versus H1 : p < 0,6.Neste caso, a RC é uma cauda à esquerda, logovalor-p=P(p̂ < 0,52|p = 0,6) = P(Z < −2,30) = 0,01—–> os dados sugerem que a hipótese deve ser rejeitada

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Exemplo:Suponha que queiramos testar H0 : µ = 50 contra H1 : µ > 50, em que µ é amédia de uma normal N(µ,900). Extraída uma amostra de n = 36elementos, obtemos x = 52. Calcule o valor-p do teste.

Neste caso, a RC é uma cauda à direita, logovalor-p=P(X > 52|µ = 50) = P(Z > 0,40) = 0,345.—–> os dados sugerem que a hipótese não deve ser rejeitada

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Exemplo:Uma companhia de ônibus intermunicipais planejou uma nova rota paraservir vários locais situados entre duas cidades importantes. Um estudopreliminar afirma que a duração das viagens pode ser considerada uma v.a.normal com média igual a 300 minutos e desvio padrão 30 minutos. As dezprimeiras viagens realizadas nessa nova rota apresentaram média igual a314 minutos. Esse resultado comprova ou não o tempo médio determinadonos estudos preliminares.

3. Caso: H0 : µ = 300 versus H1 : µ 6= 300.Neste caso, a RC é uma reunião de caudas, e como xobs = 314 > 300,entãovalor-p=2P(X > 314|µ = 300) = 2P(Z > 1.48) = 2× 0,07 = 0,14

—–> não existe muita evidência para rejeitar H0

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Cálculo do Valor-p

Depende do que significa obter dados ainda mais desfavoráveis a H0 que osjá obtidos, isto á, da forma da região crítica, RC.

Cauda à esquerda (H1 : θ < θ0)

Valor-p = P(X < xobs|H0) = p−

Dados piores⇐⇒ estar à esquerda de xobs, isto é, mais próximo da RC.

Cauda à direita (H1 : θ > θ0)

Valor-p = P(X > xobs|H0) = p+

Dados piores⇐⇒ estar à direita de xobs, isto é, mais próximo da RC.

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Reunião de caudas (H1 : θ 6= θ0)

Valor-p = 2min(p−,p+)

Se a f.d.p. é simétrica então

Valor-p = 2P(X > xobs|H0), se xobs > θ0

Valor-p = 2P(X < xobs|H0), se xobs < θ0

pois cada cauda tem peso α/2.

Dados piores⇐⇒ estar à esquerda de xobs, se xobs está mais perto da caudaesquerda e estar à direita de xobs se xobs está mais perto da cauda direita.

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Exemplo 3:

Calcule o valor-p associado aos testes de hipóteses realizados e com basenele, conclua ao nível de significância de 1%.

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