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TESTES DE HIPÓTESES
Spencer Barbosa da SilvaDepartamento de Estatística
Teste Bilateral
• A concentração de determinada substância no sangue é uma va (continua) que segue a distribuição Normal com variância 36.
• Considere uma doença que altera a concentração desta substancia.
• Para pacientes sadios (sem a doença) a concentração média desta substancia é 18 mg por litro de sangue.
• O tratamento proposto para esta doença é eficaz?
X = concentração da substância no sangue dos pacientes dos
pacientes doentes após o tratamento
X ~ Normal com média µ e variância σ2 =36
µ = 18 tratamento é eficaz
µ ≠ 18 tratamento não é eficaz
Inferência Estatística
• Uma amostra de n pacientes doentes foi submetida ao tratamento.
• Após o tratamento verificamos a concentração média desta substancia no sangue destes n pacientes ( ).
• Nossa decisão sobre µ será tomada com base em , pois é o melhor estimador para µ.
• Se a média amostral for muito diferente de 18, então optaremos por µ ≠ 18.
x
x x
Ho: µ = 18 Ha: µ ≠ 18
1cx 2cx
Região de Rejeição de Ho ou Região Crítica
18
Região de Rejeição de Ho ou Região Crítica
21 cc xxouxxRC
Erros associados ao teste de hipóteses
α = P(erro Tipo I) = P(rejeitar Ho| Ho verdadeira) = nível de significância
β = P(erro Tipo II) = P(não rejeitar Ho| Ho falsa)
1 - β = 1- P(não rejeitar Ho| Ho falsa) = P(rejeitar Ho| Ho falsa) = poder do teste
Ho verdadeira Ho falsa
Rejeitar Ho Erro Tipo I Sem erroDecisão
Não rejeitar Ho Sem erro Erro Tipo II
Situação
nzxc
2
01
Ho: µ = µ0 Ha: µ ≠ µ0
onde z>0 é um valor da tabela normal padrão associado ao nível de
significância do teste (α).
P(Z < -z) = P(Z > z) = α/2
nzxc
2
02
• No nosso exemplo: Ho: µ = 18 Ha: µ ≠ 18 n=30
• Considerando 5% de significância (α = 0,05):
• A concentração média da substancia no sangue dos 30 pacientes doentes submetidos ao tratamento após o tratamento foi de 22,00 mg por litro.
• Conclusão: Rejeitamos a hipótese nula ao nível de 5% de significância, ou seja, a amostra fornece evidência de que o tratamento não é eficaz.
85,15303696,1181 cx 15,2030
3696,1182 cx
15,2085,15 xouxRC
• A nossa conclusão foi rejeitar Ho, ou seja, concluímos que a tratamento não é eficaz.
• É possível que esta conclusão esteja errada, ou seja, é possível que na verdade o tratamento seja eficaz?
• Sim, é possível. Podemos estar rejeitando Ho quando na verdade Ho é verdadeira. A probabilidade de estarmos cometendo este erro (erro do tipo I) é igual ao nível de significância adotado (neste caso 5%).
Exemplo: Um pesquisador deseja estudar o efeito de certa substância
no tempo de reação de seres vivos a um certo estimulo. Cobaias que
fizeram uso desta substancia forneceram os seguintes tempos de
reação (em segundos):
9,1 9,3 7,2 7,5 13,3 10,9 7,2 9,9 8,0 8,6
Sabe-se que o tempo de reação a este estimulo tem distribuição
Normal com desvio padrão de 2 segundos. Sem o uso desta
substancia, o tempo médio de reação é de 8 segundos.
O pesquisador desconfia que o tempo médio é reação é alterado pela
substancia. Teste esta desconfiança ao nível de 10% de significância.
Teste Unilateral
• A concentração de determinada substância no sangue é uma va (continua) que segue a distribuição Normal com variância 36.
• Considere uma doença que aumenta a concentração desta substancia.
• Para pacientes sadios (sem a doença) a concentração média desta substancia é 18 mg por litro de sangue.
• O tratamento proposto para esta doença é eficaz?
X = concentração da substância no sangue dos pacientes dos
pacientes doentes após o tratamento
X ~ Normal com média µ e variância σ2 =36
µ = 18 tratamento é eficaz
µ > 18 tratamento não é eficaz
Inferência Estatística
• Uma amostra de n pacientes doentes foi submetida ao tratamento.
• Após o tratamento verificamos a concentração média desta substancia no sangue destes n pacientes ( ).
• Nossa decisão sobre µ será tomada com base em , pois é o melhor estimador para µ.
• Se a média amostral for muito maior que 18, então optaremos por µ > 18.
x
x x
Ho: µ = 18 Ha: µ > 18
cx
RC
18
cxxRC
nzxc
2
0
onde z > 0 é um valor da tabela normal padrão associado ao nível de
significância do teste (α).
P(Z > z) = α
Ho: µ = µ0 Ha: µ > µ0
• No nosso exemplo: Ho: µ = 18 Ha: µ > 18 n=30
• Considerando 5% de significância (α = 0,05):
• A concentração média da substancia no sangue dos 30 pacientes doentes submetidos ao tratamento após o tratamento foi de 22,00 mg por litro.
• Conclusão: Rejeitamos a hipótese nula ao nível de 5% de significância, ou seja, a amostra fornece evidência de que o tratamento não é eficaz.
79,19303664,118 cx
79,19 xRC
• A nossa conclusão foi rejeitar Ho, ou seja, concluímos que a tratamento não é eficaz.
• É possível que esta conclusão esteja errada, ou seja, é possível que na verdade o tratamento seja eficaz?
• Sim, é possível. Podemos estar rejeitando Ho quando na verdade Ho é verdadeira. A probabilidade de estarmos cometendo este erro (erro do tipo I) é igual ao nível de significância adotado (neste caso 5%).
Exemplo: Um pesquisador deseja estudar o efeito do álcool no tempo
de reação de seres vivos a um certo estimulo. Cobaias que
fizeram uso de bebida alcoólica substancia forneceram os seguintes
tempos de reação (em segundos):
9,1 9,3 7,2 7,5 13,3 10,9 7,2 9,9 8,0 8,6
Sabe-se que o tempo de reação a este estimulo tem distribuição
Normal com variância 6. O tempo médio de reação sem efeito de
álcool é de 9 segundos.
O pesquisador desconfia que o álcool aumenta o tempo médio de
reação. Teste esta desconfiança ao nível de 1% de significância.
Teste Unilateral
• A concentração de determinada substância no sangue é uma va (continua) que segue a distribuição Normal com variância 36.
• Considere uma doença que diminui a concentração desta substancia.
• Para pacientes sadios (sem a doença) a concentração média desta substancia é 18 mg por litro de sangue.
• O tratamento proposto para esta doença é eficaz?
X = concentração da substância no sangue dos pacientes dos
pacientes doentes após o tratamento
X ~ Normal com média µ e variância σ2 =36
µ = 18 tratamento é eficaz
µ < 18 tratamento não é eficaz
Inferência Estatística
• Uma amostra de n pacientes doentes foi submetida ao tratamento.
• Após o tratamento verificamos a concentração média desta substancia no sangue destes n pacientes ( ).
• Nossa decisão sobre µ será tomada com base em , pois é o melhor estimador para µ.
• Se a média amostral for muito menor que 18, então optaremos por µ < 18.
x
x x
Ho: µ = 18 Ha: µ < 18
cx
RC
18
RC
cxxRC
nzxc
2
0
onde z > 0 é um valor da tabela normal padrão associado ao nível de
significância do teste (α).
P(Z > z) = α
Ho: µ = µ0 Ha: µ < µ0
• No nosso exemplo: Ho: µ = 18 Ha: µ < 18 n=30
• Considerando 5% de significância (α = 0,05):
• A concentração média da substancia no sangue dos 30 pacientes doentes submetidos ao tratamento após o tratamento foi de 22,00 mg por litro.
• Conclusão: Não rejeitamos a hipótese nula ao nível de 5% de significância, ou seja, a amostra fornece evidência de que o tratamento é eficaz.
21,16303664,118 cx
21,16 xRC
• A nossa conclusão foi não rejeitar Ho, ou seja, concluímos que a tratamento é eficaz.
• É possível que esta conclusão esteja errada, ou seja, é possível que na verdade o tratamento não seja eficaz?
• Sim, é possível. Podemos não estar rejeitando Ho quando na verdade Ho é falsa. A probabilidade de estarmos cometendo este erro (erro do tipo II) é igual a β.
• O calculo de β depende do valor de µ.
Exemplo: Um pesquisador deseja estudar o efeito de uma bebida
energética no tempo de reação de seres vivos a um certo
estimulo. Cobaias que fizeram uso de bebida alcoólica forneceram os
seguintes tempos de reação (em segundos):
9,1 9,3 7,2 7,5 13,3 10,9 7,2 9,9 8,0 8,6
Sabe-se que o tempo de reação a este estímulo tem distribuição
Normal com variância 6. Sem efeito de energético, o tempo médio de
reação é de 10 segundos.
O pesquisador desconfia que energético diminui o tempo médio de
reação. Teste esta desconfiança ao nível de 10% de significância.
Etapas de um teste de hipóteses
1. Estabelecer as hipóteses nula e alternativa.
2. Definir a forma da região crítica, com base na hipótese
alternativa.
3. Fixar α e obter a região crítica.
4. Concluir o teste com base na média amostral.
Exemplo: Deseja-se investigar se uma certa doença que ataca o rim
aumenta o consumo de oxigênio deste órgão. O consumo de oxigênio
segue a distribuição Normal com desvio padrão de 9 cm3/min. Para
indivíduos sadios o consumo médio é de 13 cm3/min. Uma
amostra de 5 pacientes doentes forneceu os seguintes valores para o
consumo (em cm3/min):
14,4 12,9 15,0 13,7 13,5
a) Com base nesta amostra, forneça uma estimativa pontual para o
consumo médio em pacientes doentes.
b) A amostra fornece evidencia de que a doença aumenta o consumo?
Faça um teste com 2% de significância?
Exemplo: Uma associação de defesa do consumidor desconfia que
embalagens de 450 gramas de um biscoito estão abaixo do peso. O
peso destas embalagens segue a distribuição Normal com desvio
padrão de 10 gramas. Para verificar esta suspeita foram coletados 81
pacotes do biscoito, de vários supermercados, obtendo-se peso médio
de 447 gramas. Existe evidencia amostral de que as embalagens estão
abaixo do peso? Use α=7%.
Exemplo: O tempo de duração de lâmpadas segue a distribuição
Normal com desvio padrão de 002 anos. Um fabricante de lâmpadas
afirma que o tempo médio de duração de suas lâmpadas é 2,3 anos.
Para verificar esta afirmação 49 lâmpadas foram testadas. O tempo
médio de duração destas lâmpadas foi de 2,5 anos. Existe evidencia
amostral de a informação do fabricante esteja errada? Use 12% de
significância.
- Podemos também realizar testes de hipóteses para a proporção populacional.
- Hipóteses:
H0: p = p0 Ha: p ≠ p0 ou p > p0 ou p > p0
- A decisão neste caso é baseada na proporção amostral.
- Ha: p ≠ p0
2
^
1
^
cc xpouxpRC
n
ppzpxc
)1( 00^
1
n
ppzpxc
)1( 00^
2
- Ha: p > p0
- Ha: p < p0
cxpRC ^
n
ppzpxc
)1( 00^
cxpRC ^
n
ppzpxc
)1( 00^
Exemplo: Uma companhia afirma que 40% da água obtida em poços
artesianos no nordeste é salobra. Para testar esta hipótese, 400 poços
foram sorteados e em 120 deles observou-se água salobra. Teste a
afirmação da companhia ao nível de 10% de significância.
Exemplo: A LG afirma que apenas 5% de suas televisões LCD dão
algum tipo de problema antes de 1 ano de uso. Para testar esta
hipótese, 500 televisões LCD novas da marca LG foram usadas
durante 1 ano. 40 delas apresentaram algum tipo de problema.
Suspeita-se que a porcentagem de televisões LCD da marca LG que
apresenta problema antes de 1 ano de uso seja maior do que o
informado pelo fabricante. Teste esta suspeita ao nível de 1% de
significância.
Exemplo: Um pré-vestibular afirma que 90% de seus alunos são aprovados no
Vestibular, mas desconfia-se que esta proporção seja menor. Para testar esta
desconfianca100 alunos deste pré vestibular foram selecionados. Destes 100,
76 disseram ter sido aprovado. Verifique se a desconfiança procede ao nível
de 5% de significância.
