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LISTA DE EXERCÍCIOS 2

1) Uma companhia produz circuitos integrados em três fábricas I, II, III. A fábrica I produz 40% dos circuitos, enquanto a II e a III produzem 30% cada uma. As probabilidades de que um circuito produzido por essas fábricas não funcione são 0,01; 0,04 e 0,03 respectivamente. Escolhido um circuito da produção conjunta das três fábricas, qual a probabilidade de o mesmo não funcionar?

RESOLUÇÃO

P ( I ∩NF )+P ( II ∩NF )+P (III ∩NF )⇒ (40%×1%)+(30%×4% )+ (30%×3% )⇒

(0,4×0,01 )+(0,3×0,04 )+(0,3×0,03 )⇒ 0,004+0,012+0,009⇒ 0,025ou2,5%

2) Considere a situação do problema anterior, mas suponha agora que um circuito é escolhido ao acaso e seja defeituosa. Determine qual a probabilidade de ele ter sido fabricado pela fábrica I.

RESOLUÇÃO

P ( I ∩NF)P(NF)

⇒ 0,0040,025

⇒0,16 ou16%

3) Um empreiteiro apresentou orçamentos separados para a execução da parte elétrica e da parte de encanamento de um edifício. A probabilidade de ele ganhar a concorrência da parte elétrica é de 1/2. Caso ele ganhe a parte elétrica, a chance de ganhar a parte de encanamento é de 3/4; caso contrário, a probabilidade é de 1/3. Calcule a probabilidade de ele: (a) ganhar os dois contratos; (b) ganhar apenas um; (c) não ganhar nenhum.

RESOLUÇÃO

Produção de Circuitos

Fabrica I - Produção : 40%

ou 0,4

Circuito Funciona (F): 99% ou 0,99

Circuito não Funciona (NF): 1% ou 0,01

Fábrica II - Produção: 30%

ou 0,3

Circuito Funciona (F): 96% ou 0,96

Circuito não Funciona(NF): 4% ou 0,04

Fábrica III - Produção 30% ou

0,3

Circuito Funciona(F): 97% ou 0,97

Circuito não Funciona(NF): 3% ou 0,03

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a) P ¿b) ¿c) P (E∩PE )× P (C ∩PC )⇒0,5×0,67⇒ 0,335ou33,5%

4) Os arquivos da polícia de trânsito revelam que, das vítimas de acidentes automobilísticos que utilizam cinto de segurança, apenas 10% sofrem ferimentos graves, enquanto que essa incidência é de 50% entre as vitimas que não utilizam o cinto de segurança. Estima-se em 60% a percentagem dos passageiros que usam o cinto. A polícia acaba de ser chamada para investigar um acidente em que houve um indivíduo gravemente ferido. Calcule a probabilidade de ele estar usando o cinto no momento do acidente. Outra pessoa não sofreu ferimentos graves. Calcule a probabilidade de ela estar usando o cinto no momento do acidente.

RESOLUÇÃO

Individuo gravemente ferido – Probabilidade de estar usando cinto.

Orçamentos

Elétrica (E)

Ganhar: (GE) 1/2 ou 0,5

Ganhar encanamento

(GEC): 3/4 ou 0,75

Perder encanamento

(CEC): 1/4 ou 0,25Perder (PE): 1/2 ou

0,5

Encanamento (C)

Ganhar (GC): 1/3 ou 0,335

Perder (PC): 2/3 ou 0,67

Acidentes de Trânsito

Usam cinto (UC): 60% ou 0,6

Acidentes Graves (GUC): 10% ou 0,1

Acidentes Não Graves (NGUC):

90% ou 0,9

Não Usam Cinto (NC): 40% ou 0,4

Acidentes Graves (GNC): 50% ou 0,5

Acidentes Não Graves (NGNC):

50% ou 0,5

3

P (UC∩GUC )P (UC∩GUC )∪P (NC∩GNC )

⇒ 0,6×0,1(0,6 X 0,1 )+(0,4×0,5 )

⇒ 0,060,06+0,2

⇒

0,060,26

⇒ 0,2307ou23,07%

Indivíduo sem ferimentos graves – Probabilidade de estar usando cinto.

P (UC∩NGUC )P (UC∩NGUC )∪P (NC∩NGNC )

⇒ 0,6×0,9(0,6×0,9 )+(0,4×0,5 )

⇒ 0,540,54+0,2

0,540,74

⇒0,7297ou72,97%

5) Em média, 5% da quantidade de um determinado produto vendido por uma loja é devolvido. Qual a probabilidade de nas quatro próximas unidades vendidas deste produto, duas delas sejam devolvidas?

RESOLUÇÃO

VVDD VDDV DDVV DVVDVDVD DVDV

n=4 x=2 p=0,05 ou 5%

P (X=2 )⇒(42)(0,05 )2× (0,95 )4−2 4 !2 ! (4−2 )!

(0,05 )2× (0,95 )2

4 !2!×2!

(0,05 )2× (0,95 )2 244

(0,0025 )× (0,9025 )6×0,00225625

0,1353ou13,53%

6) Existem dois métodos A e B para ensinar aos trabalhadores uma certa habilidade industrial. A percentagem de fracassos é de 20% para A e de 10% para B. Entretanto, B é mais caro e por isso só é utilizado em 30% dos casos (nos restantes dos casos se usa A). Um trabalhador foi treinado segundo um dos dois métodos, porém não consegue executar a tarefa corretamente. Qual é a probabilidade de que ele tenha recebido o treinamento pelo método A?

RESOLUÇÃO

4

P ( A∩FA )P ( A∩FA )∪P (B∩FB )

0,7×0,2(0,7×0,2 )+(0,3×0,1 )

0,140,14+0,03

0,140,17

0,8235ou82,35%

7) Um fabricante afirma que apenas 5% de todas as válvulas que produz têm uma duração inferior a 20 horas. Uma indústria compra semanalmente um grande lote de válvulas desse fabricante, mas sob a seguinte condição: ela aceita o lote se, em dez válvulas escolhidas ao acaso, no máximo uma tiver duração inferior a 20 horas: caso contrário todo o lote é descartado.

RESOLUÇÃO

n=10 x=(0 ;1 ) p=0,05ou5%

P (Valv .defeit ≤1 )=P (Valv .defeit .=0 )+P(valv .defeit .=1)

P (X=x )=(nx ) px×(1−p)n− x⇒Calculando as probabilidades separadamente

Para x=0⇒(100 )0,050× (1−0,05 )10−0⇒ 1× (0,95 )10

Para x=1⇒(101 )0,051× (1−0,05 )10−1⇒ 10 !1 ! (10−1 )!

⇒ 10 !×9 !1!×9 !

⇒

10×0,051×0,959

Logo :0,9510+10×0,051×0,9590,5987+10×0,05×0,6302

0,5987+10×0,03150,5987+0,31510,9138ou91,38%

A probabilidade do lote ser aceito é de 91,38%.

Probabilidade do lote ser rejeitado: 0,0862 ou 8,62%.

MÉTODOS

A70% ou 0,7

Sucesso A (SA):80% ou 0,8

Fracasso A (FA): 20% ou 0,2

B30% ou 0,3

Sucesso B (SB): 90% ou 0,9

Fracasso B (FB): 10% ou 0,1