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Estimação Bayesiana de
Sinais Baseada em Ôndulas
Mário A. T. FigueiredoInstituto de Telecomunicações, and Departamento de Engenharia Electrotécnica e de Computadores Instituto Superior TécnicoLisboa, PORTUGAL
W
SinalOriginal
y
“Discrete wavelet
transform”(DWT)
W -1
DWT inversa
Sinalprocessado
Exemplos: compressão estimação (e.g., “denoising”)
1
Coeficientesobservados
Coeficientesprocessados
Regra de processamento
Processamento de sinais baseado na transformada discreta
Sinal discreto
Wx
DWT (periódica)
W x
Coeficientes
Decorrelação “mais branco” do que x
2
Ortonormal W W = I T
Esparsa é dominada por “poucos” coeficientes “grandes”
x = [x1,…xn] = [1,…,n]
Características da DWT
y = x + nRuído branco gaussiano
Sinal originalSinal ruidoso
DWT
Wy = Wx + Wn
(W é ortonormal)
3
Wy
WT^
Estimator x
x = W (Wy)T^
+ n’
Estimação baseada em ôndulas (remoção de ruído)
4
0 5000 10000 15000-6
-4
-2
0
2
4
6
0 5000 10000 1500010
-40
10-30
10-20
10-10
100
Representação dominada por “poucos” coeficientes “grandes”
0 5000 10000 1500010
-5
10-4
10-3
10-2
10-1
100
DWT
DFTSinal “vulgar”
Coeficientes da DWT: esparsos
5
0 5000 10000 15000-6
-4
-2
0
2
4
6
0 2 4 6 8 100
500
1000
1500
2000
0 20 40 60 80 1000
10
20
30
40
50
60
70
0 5000 10000 15000-10
-5
0
5
10
Sinal “vulgar”
Ruído branco gaussiano
Histograma dos valores absolutos
Histograma dos valores absolutos
~104
DWT
DWT
Coeficientes da DWT: esparsos
Sugere : - Manter os coeficientes grandes que dominam a representação - Eliminar os pequenos, “provavelmente” dominados por ruído.
6
Valores de n’Valores de
p()
Esparsa, ou“heavy tailed”
e n’ têm características estatísticas diferentes
Gaussianap(n’)
= n’ Como estimar ?
Remoção de ruído baseada na DWT
7
Objectivo: Manter os coeficientes “grandes” e eliminar os restantes.
Questões: qual ( ) ? Que limiar ?
Regras de limiar (“thresholding rules”)
“hard”“soft”
s
H
Donoho and Johnstone (1994), outros...
^ ^
Remoção de ruído baseada na DWT
8
Métodos para escolha de limiar:
- Limiar universal (VisuShrink) Donoho & Johnstone (1994).
- Limiar que depende do nível da decomposição e estimado a partir dos coeficientes observados com base no “Steins unbiased risk estimator” (SURE) (SureShrink); Donoho & Johnstone (1995).
- Validação cruzada (“cross-validation”); Weyrich & Warhola (1994) e Nason (1994).
- Métodos bayesianos; Vidakovik (1994), Chipman, Kolaczyk, & McCulloch (1995), Crouse, Nowak, & Baraniuk (1997), Figueiredo & Nowak (1998).
Remoção de ruído baseada na DW”T: técnicas propostas
9
0 1000 2000 3000 4000-10
-5
0
5
10
Sinal original
0 1000 2000 3000 4000-10
-5
0
5
10
Sinal ruidoso
0 1000 2000 3000 4000-10
-5
0
5
10
Sinal estimado“soft threshold”“Sure criterion”
Remoção de ruído baseada na DWT: Exemplo
10
= n’Modelo de observação:n’ ~ i.i.d. gaussianos média nula variância 2
Função de verosimilhança: pN
Conhecimento a priori: p
Lei de Bayes: p() = pp
p
Probabilidade (conhecimento) a posteriori
Função de custo L(’) - Custo associado com a estimativa ’ quando o verdadeiro valor é
Revisão: estimação bayesiana
11
Objectivo: regra de estimação ^
Critério: minimizar o valor expectável a posteriori do custo (“posterior expected loss”)
dpL )|()ˆ,(minarg
ˆ
|)ˆ,(minarg)(ˆ
LE
Exemplos:
L(’) = ||’ dpE )|(|)(
(média a posteriori)
L(’) = )|(maxarg)(
p
(máximo a posteriori - MAP)
'0
'1
Revisão: estimação bayesiana
12
y = x + nDWT
Wy = Wx + Wn + n’
Modelo de observação / função de verosimilhançaRelembrar...
Ruído brancogaussiano
(W é ortonormal)
p(y|x) = N(x,2I)
p() = N(,2I)
Funções de veromilhança semelhantesnos domínios do sinal e da DWT
Remoção de ruído baseada na DWT: Formulação bayesiana
13
…induz, no “domínio do sinal”,
pX(x) dx = p(Wx) d pX(x) = p(Wx)
…porque det(W)=1, dx = d
Propriedade de descorrelação da DWT. Coeficientes a priori independentes.
Ni
i...1
)(p)(p
Função densidade de probabilidade a priori, no “domínio dos coeficientes”
p) com = Wx
Formulação bayesiana
Teoria da decisão bayesianaVerosimilhança“prior”Custo L(x,x’)
14
x = (y) regra de estimaçãoóptima
^
x = WTBayes () = WT Bayes (Wy) ^
Sob certas condições (fracas) no custo L(x,x’) :
Wy
WTEstimador
Bayes(.)x = WT
Formulação bayesiana
15
Verosimilhança e probabilidade a priori exprimem independência
Estimação independente;i.e., coeficiente por coeficiente
Justifica que se considere apenas um coeficiente .
p| ~ N(,2) Função de verosimilhança simples
Pergunta: o que deve exprimir a fdp a priori, p() ?
Resposta: o carácter esparso dos coeficientes da DWT
Formulação bayesiana: escolha do “prior”
16
1)(pProposta:
)(p
Exprime total ignorância acerca da “escala” em que está representado
…no seguinte sentido:
Mudança de escala (por ex., de volt para milivolt): ’= k
'
1)'(
p Outra interpretação:
p(log(|)) = const.
Formulação bayesiana: escolha do “prior”
17
1)(pCaracterísticas de:
)(p
Extremamente “heavy-tailed”
Tão “heavy-tailed” que é impróprio.…não é uma função densidade deprobabilidade “vulgar”.
dp )(
Limite de uma família de Student-t
Formulação bayesiana: escolha do “prior”
18
Lei de Bayes:
d)(p)|(p
)(p)|(p
)p(
)(p)|(p)|(p
Escreva-se:K
)('p
d)(p'
)('p)(p
1d)(p' Em que p’() está não normalizada:
Obviamente:
d)(p')|(p
)(p')|(p)|(p
Conclusão: p() não depende da normalização do “prior”
Revisão: estimação bayesiana com “prior” impróprio
19
d)(p')|(p
)(p')|(p)|(p
Lei de Bayes com “prior” não normalizado
Exemplo clássico: estimador de máxima verosimilhança:
)|(pmaxargˆMV
)|(pmaxargd)|(p
)|(pmaxargˆ
MAP
A
A
…não é mais do que um estimador MAP com p’() = const.=A
Revisão: estimação bayesiana com “prior” impróprio
1)(pDificuldade: com
)(p
20
d)(p)|(p
...a própria fdp a posteriori é imprópria:
Solução: Escrita alternativa para p(): Bayes hierárquico. Aplicação de uma técnica de Bayes empírica (“empirical Bayes”)
O “prior”proposto
21
1)(pA fdp a priori
é equivalente ao seguinte modelo hierárquico:
p| =N(,2)
p| = N(,2)
p2) 2
1
22 )|,(p)|(p d
222 d)(p)|(p)(p
)|(p
1)(p
“Prior” de Jeffreys
)(p
)(p)|(p
Estimação bayesiana hierárquica
p2)
2
1
Invariante sob mudanças de escala (ignorância)
p2)
2
1
a b a b 2
22
mesma área,mesma probabilidade
)alog()blog(d1
]}ba,[Pr{ 2b
a 22
)alog()blog(d1
]}ba,[Pr{ 2b
a 22
)alog()blog(
=
Universal:não depende deescolha de escala
Estimação bayesiana: “prior” de Jeffreys
23
)|(pmaxarg 222
)(p)|(pmaxarg 222
1. Estimar 2 com base na fdp marginal:
2. Utilizar essa estimativa no critério de Bayes: = Bayes (|2)
Estimaçao bayesiana empírica
24
p|2) = N(,2 + 2)
z
z+
p| = N(,2)
...porque + n
N(,2)
N(,2)
p2) ~ “prior de Jeffreys”
2
2
2
3
p| = N(,2)
22 3
= E[| , ] =^2 + 2
Estimaçao bayesiana empírica
0
0
IdentidadeNova regra
25
22 3ˆ
23 23
23 Limiar “universal”
Nova regra de “threshold/shrinkage”
0
0
"Hard threshold""Soft threshold"Nova regra
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Nova regra versus “hard” e “soft” “thresholding” (com o mesmo limiar)
23 23
Nova regra versus “hard” e “soft” “thresholding”
27 Comparação de desempenho: sinal “Blocks”
28 Comparação de desempenho: sinal “Bumps”
29 Comparação de desempenho: sinal “Doppler”
30 Comparação de desempenho: sinal “HeaviSine”
31
+ ruídoprocessamento
Exemplo em restauração de imagens
32
+ ruídoprocessamento
Exemplo em restauração de imagens
