Estruturas de Betão I - Folhas de Apoio [IST]

ESTRUTURAS DE BETO I

FOLHAS DE APOIO S AULAS

Coordenao: Jos Noronha da Camara

Ano Lectivo 2013/2014

Introduo

Estas folhas de apoio s aulas tm como objectivo facilitar o seu

acompanhamento e correspondem, em geral, sequncia e organizao da

exposio incluindo, ainda, a resoluo de problemas. So apontamentos de sntese

que no dispensam a consulta de restantes apontamentos da disciplina e da

bibliografia proposta, onde deve ser realado o recente livro sobre Estruturas de Beto

da autoria do Prof. Jlio Appleton.

Estes apontamentos resultaram da experincia de ensino e de textos anteriores da

disciplina para os quais contriburam os docentes que tm vindo a leccionar o Beto

Estrutural, sob a orientao do Prof. Jlio Appleton, que foi, nesta escola, nos ltimos

30 anos e at ao ano lectivo 2010/2011, o responsvel por esta rea da engenharia de

estruturas.

Durante o ano lectivo 2003/2004 o Prof. Jlio Appleton com a Eng Carla Marcho,

organizaram a 1 verso destas folhas de apoio s aulas. A estas foram sendo

introduzidas vrias contribuies, mais directamente, dos Profs. Jos Camara, Antnio

Costa, Joo Almeida e Srgio Cruz.

Deve-se realar que o essencial do ensino do beto estrutural a transmisso do

conhecimento sobre as caractersticas do comportamento estrutural e

fundamentao dos modelos de clculo, aspectos que se repercutem depois,

naturalmente, nas prescries normativas, com algumas variaes.

Ao longo destes ltimos anos tm sido referidas na disciplina, em geral, as normas

europeias (Eurocdigos), j aprovados na verso definitiva (EN). Refira-se que, no

entanto, no houve ainda uma aprovao formal, sendo possvel utilizar, no mbito

profissional, em alternativa, a regulamentao nacional (REBAP Regulamento de

Estruturas de Beto Armado e Pr-Esforado) ou a regulamentao europeia

(Eurocdigo 2 Projecto de Estruturas de Beto).

Refira-se que, sendo esta disciplina integrada na rea da engenharia de estruturas,

fundamental que os alunos tenham uma boa percepo do comportamento das

estruturas, em geral, e, de uma forma quase imediata, das estruturas isostticas. As

matrias tratadas na Resistncia dos Materiais, referentes ao comportamento de

peas lineares em traco, flexo, esforo transverso, toro e em zonas onde a

hiptese de Bernoulli no vlida (Princpio de Saint-Venant), por exemplo, junto dos

apoios de vigas e/ou de zonas de actuao de cargas concentradas) so uma base

fundamental. tambm importante relembrar o comportamento elstico-plstico das

estruturas, para se poder compreender a influncia das caractersticas do

comportamento no linear dos materiais na resposta das estruturas. Este aspecto

particularmente importante para os elementos de beto estrutural e,

consequentemente para o estudo das Estruturas de Beto.

Tambm os Teoremas Limite da Teoria da Plasticidade, Esttico e Cinemtico, que na

verso curricular actual so apresentados na disciplina de Estruturas Metlicas, so

fundamentais (principalmente o Esttico) para a boa compreenso das metodologias

de dimensionamento e verificao da segurana das estruturas e, em particular das

Estruturas de Beto.

Finalmente refira-se que no ano lectivo 2013/2014 os docentes que acompanharo a

disciplina so:

Jos N. da Camara (Coordenador da disciplina)

Eduardo Jlio

Joo F. de Almeida

Antnio Costa

Rui Rodrigues

IST, Setembro de 2013

NDICE

1 INTRODUO AO COMPORTAMENTO DO BETO ESTRUTURAL 1

1.1. Elemento de beto sem incluso de armaduras 1

1.2. Elemento de beto armado 4

1.2.1 Clculo das tenses numa seco aps fendilhao 5

1.2.2 Clculo do momento de cedncia da seco 9

1.3. Diferena do comportamento seco/estrutura 10

2 CONCEITO DE SEGURANA NO DIMENSIONAMENTO DE ESTRUTURAS 12

2.1 Objectivos de segurana na engenharia estrutural em geral 12

2.2 Filosofia adoptada na verificao da segurana em relao aos Estados Limites ltimos

14

2.3 Filosofia adoptada na verificao da segurana em relao aos Estados Limites de

Utilizao 16

3 MATERIAIS 24

3.1 Caracterizao dos betes 24

3.1.1 Tenses de rotura do beto 25

3.1.2 Mdulo de elasticidade do beto 25

3.1.3 Valor caracterstico da tenso de rotura do beto compresso fc 25

3.2 Caracterizao das armaduras 26

3.2.1 Classificao das armaduras para beto armado 26

4 VERIFICAES DE SEGURANA ROTURA POR FLEXO 28

4.1 Relaes tenso-extenso dos materiais para verificao da segurana aos E.L. ltimos

28

4.1.1 Beto 28

4.1.2 Ao 29

4.2 Anlise da seco. Mtodo Geral 30

4.3 Mtodo do diagrama rectangular 31

4.3.1 Clculo de MRD 31

4.4 Resistncia flexo simples com o aumento de armaduras 39

4.5 Dimensionamento Flexo Simples Grandezas Adimensionais 41

4.5.1 Mtodo Geral 41

4.5.1.1 Grandezas adimensionais 42

4.5.2 Mtodo do Diagrama Rectangular Simplificado 43

4.5.2.1 Grandezas adimensionais 43

4.5.3 Utilizao de Tabelas 44

4.5.3.1 Determinao da capacidade resistente (Anlise) 44

4.5.3.2 Dimensionamento de armaduras 44

4.6 Estimativa do Momento Resistente 46

4.7 Parmetros que influenciam o valor do Momento Resistente 48

4.8 Dimensionamento de seces com outras formas 49

4.8.1 Largura efectiva de uma seco em T 49

4.8.1.1 Avaliao da largura efectiva 50

4.8.2 Dimensionamento de seces em T por tabelas 51

4.8.3 Simplificao de seces para efeitos de dimensionamento flexo simples 53

5 DISPOSIES CONSTRUTIVAS GERAIS 57

5.1 Recobrimento das armaduras 58

5.2 Distncia livre entre armaduras (s) 58

5.3 Agrupamentos de armaduras 59

5.4 Dobragem de vares 60

5.5 Posicionamento das armaduras 61

5.6 Princpios a ter em ateno na pormenorizao das armaduras 61

5.7 Disposies construtivas em vigas Armaduras longitudinais de flexo 62

5.7.1 Quantidades mnima e mxima de armadura 62

5.7.2 Armadura longitudinal superior nos apoios de extremidade 62

6 INTRODUO AO COMPORTAMENTO NO LINEAR DE ESTRUTURAS DE BETO

64

6.1 Anlise Elstica seguida de Redistribuio de Esforos 65

6.2 Aplicao directa do clculo plstico (Teorema esttico) 68

6.3 Exemplos de Aplicao Prtica da No Linearidade na Verificao da Segurana das

Estruturas 69

7 ESFORO TRANSVERSO E TORO 73

7.1 Comportamento elstico e modelo de comportamento na rotura ao Esforo Transverso 73

7.2 Possveis modos de rotura e verificaes de segurana correspondentes 81

7.3 Influncia do esforo transverso nas compresses e traces da flexo 87

7.3.1 Rotura por arrancamento da armadura longitudinal no apoio de extremidade 88

7.3.2 Armadura longitudinal no vo 89

7.3.3 Apoio de continuidade 90

7.4 Disposies das armaduras transversais 91

7.5 Espaamento entre estribos e sua pormenorizao 91

7.6 Amarrao de Armaduras 96

7.7 Armadura de Ligao Banzo-Alma 111

7.8 Armadura de suspenso 113

7.8.1 Carga distribuda aplicada na parte inferior da viga 113

7.8.2 Apoios indirectos 114

7.9 Transmisso de Cargas concentradas prximas dos apoios 121

7.10 Armadura Inclinada 125

7.11 Seces com Largura Varivel 126

7.12 Foras de Desvio 126

7.13 Toro 128

7.13.1 Toro de equilbrio 128

7.13.2 Toro de compatibilidade 129

7.13.3 Toro analisada como esforo transverso 130

7.13.4 Dimensionamento das paredes sujeitas a um esforo transverso 133

7.14 Efeito conjunto Toro / Esforo Transverso 137

7.15 Disposies construtivas relativas a armaduras de toro 137

7.15.1 Armadura transversal 137

7.15.2 Armadura longitudinal 138

7.16 Dimensionamento Conjunto da Seco 138

8 DURABILIDADE DE ESTRUTURAS DE BETO ARMADO E PR-ESFORADO 143

8.1 Introduo 143

8.2 Mecanismo de Deteriorao 144

8.3 Ambiente de Exposio 145

8.4 Perodo de Iniciao e Perodo de Propagao 149

8.5 Despassivao das Armaduras 151

8.6 Corroso das Armaduras 152

8.7 Efeitos da Deteriorao 155

8.8 Metodologia para a Garantia da Durabilidade 156

8.9 Outros aspectos importantes para a garantia da durabilidade das construes 159

8.9.1 Concepo e Projecto 159

8.9.2 Execuo 160

8.9.3 Manuteno, Inspeces e Eventuais Reforos 160

9 VERIFICAO DO COMPORTAMENTO EM SERVIO (ESTADOS LIMITES DE

UTILIZAO SLS) 162

9.1 Introduo 162

9.2 Verificao aos Estados Limites de Utilizao 162

9.3 Aces 162

9.4 Materiais 163

9.4.1 Propriedades dos materiais para verificao da segurana aos estados limites de

utilizao 163

9.4.2 Efeitos diferidos no tempo do beto 165

9.4.2.1 Fluncia 166

9.4.2.2 Retraco 168

9.5 Estado Limite de Abertura de Fendas 170

9.5.1 Mecanismo da fendilhao e abertura de fendas 170

9.6 Clculo de tenses com base na seco fendilhada e sua limitao 182

9.6.1 Limitao das tenses em servio 183

9.7 Armadura mnima 187

9.7.1 Traco 187

9.7.2 Flexo 189

9.8 Limites admissveis de fendilhao relativos ao aspecto e durabilidade 198

9.9 Controlo da fendilhao sem clculo directo (EC2) 198

9.10 Estado Limite de Deformao 201

9.10.1 Limites de Deformao 201

9.10.2 - Questes na Avaliao e na Limitao da deformao 202

9.10.3 - Avaliao directa da deformao 207

9.10.3.1 Clculo da curvatura em estado I 207

9.10.3.2 Clculo da curvatura em estado II 208

9.10.4 Clculo das deformaes 209

9.10.4.1 Mtodo Bilinear 210

10 VERIFICAO DA SEGURANA AOS ESTADOS LIMITES LTIMOS DE

ELEMENTOS COM ESFORO AXIAL NO DESPREZVEL 218

10.1 Flexo Composta e Desviada 218

10.2 Resistncia flexo composta 218

10.2.1 Diagramas de deformaes na rotura 218

10.2.2 Determinao dos esforos resistentes 219

10.3 Flexo Desviada 223

10.3.1 Rotura convencional 224

10.3.2 Determinao dos esforos resistentes 224

10.4 Disposies construtivas de pilares 227



10.4.3 Armadura transversal 228

11 VERIFICAO DA SEGURANA DE PILARES ISOLADOS AOS ESTADOS LIMITE

LTIMOS 236

11.1 Comportamento de elementos esbeltos 236

11.2 Esbelteza 236

11.3 Imperfeies geomtricas 237

11.3.1 Excentricidade inicial 238

11.4 Importncia dos Efeitos de 2 ordem e tipos de rotura associados 239

11.5 Considerao dos efeitos de 2 ordem 241

11.5.1 Mtodos de anlise simplificados 242

11.5.2 Mtodo da curvatura nominal 244

11.5.3 Mtodo da rigidez nominal 250

11.6 Dispensa da verificao da segurana ao estado limite ltimo de encurvadura 251

12 ESTRUTURAS EM PRTICO 261

12.1 Classificao das estruturas 261

12.2 Comprimento de encurvadura 262

12.3 Efeitos das imperfeies geomtricas em estruturas porticadas ou mistas 264

12.4 Efeitos de segunda ordem em prticos 264

12.4.1 Verificao da segurana de prticos contraventados 265

12.4.2 Considerao dos efeitos de 2 ordem em prticos no contraventados 266

Bibliografia de referncia 274

Estruturas de Beto I

1

1 Introduo ao Comportamento do Beto Estrutural

Nesta introduo ao comportamento do beto armado resume-se de uma forma

simplificada, mas muito abrangente, as principais caractersticas do seu

funcionamento em flexo. importante que, desde logo, se compreenda o essencial

das caractersticas da resposta do beto estrutural e se as enquadre na base do

aprendido anteriormente no curso, em particular, na disciplina de Resistncia de

Materiais.

Iremos comear por discutir o comportamento de uma pea de beto simples e, depois

introduzir as armaduras em ao, que vm dar contedo e eficincia a este material

compsito que, durante o Seculo XX e at actualidade, tem sido o responsvel pelo

desenvolvimento das infra-estruturas que sustentam todo o nosso modo de

organizao da sociedade.

Comecemos por referir algumas notaes correntes na engenharia de estruturas, em

geral, e no beto estrutural, em particular, que so internacionalmente aceites.

Notaes:

f resistncia do material

fc tenso de rotura do beto compresso

fck tenso caracterstica de rotura do beto compresso

fct tenso de rotura do beto traco

Ec mdulo de elasticidade do beto

fy tenso de cedncia do ao

fyk tenso caracterstica de cedncia do ao

fu tenso de rotura do ao

Es mdulo de elasticidade do ao

1.1. ELEMENTO DE BETO SEM INCLUSO DE ARMADURAS

Considere-se a viga de beto simples ilustrada na figura seguinte, bem como os

diagramas de esforos correspondentes a uma carga pontual genrica P aplicada a

meio vo.


2

(+)

DEV

DMF

P/2

(+)

(-)

5.00

P/2

P

0.50

0.20

P/2

P/2

PL/4

Como se sabe, o maior momento flector ocorre a meio vo, estando, na hiptese de

comportamento elstico, esta seco sujeita ao seguinte diagrama de tenses

normais:

M

2

G

h/2

h/2

y 1

Tenses: = M y

Ic ; mx =

M Wc

em que Wc = I

ymx (mdulo de flexo)

Para uma seco rectangular, Wc = b h

3

12

2 h

= b h

2

6

Para um determinado nvel de carga P ocorrer uma fenda, com incio na regio mais

traccionada da pea, ou seja na parte inferior da seco de meio vo (por ser a seco

submetida a um momento flector maior) e, na sequncia, a rotura da viga. De facto, a

partir do incio da formao da fenda deixa de ser possvel existir uma distribuio de

tenses na seco que equilibre o momento aplicado.

Na figura seguinte podem observar-se os diagramas momentos-curvaturas e carga-

deslocamento que ilustram o comportamento desta viga, desde o incio do

carregamento at rotura, verificando-se que esta frgil.


3

M

1/ R

EI (rigidez de flexo)

P

a) Diagrama momento-curvatura b) Diagrama carga-deslocamento

Este comportamento resulta da lei de comportamento do material beto:

fc

fct (2 a 5 MPa)

(20 a 80 MPa)

3.5

Ec (30GPa)

ndice c concrete

fc tenso de rotura do beto compresso

fct tenso de rotura do beto traco

Ec mdulo de elasticidade do beto

Atravs da anlise da relao constitutiva do beto pode concluir-se que este um

material que possui um bom comportamento e resistncia compresso, com uma

resposta quase linear para nveis de tenses baixos a mdios, e uma baixa

resistncia traco (da ordem de 1/10 a 1/15 da resistncia compresso). Esta

ltima caracterstica responsvel pela rotura do beto simples, como ilustrado no

exemplo anterior, e pela formao de fendas no beto armado, como se ir estudar na

disciplina.

Clculo do momento de fendilhao

Admita-se que: fct = 2.0 MPa

E, como,

= M Wc

= M v

Ic e Wc =

bh2 6

(para uma seco rectangular)

O momento de fendilhao pode ser avaliado pela expresso:

Mcr = fctWc = 2 103

0.20 0.502 6

= 16.7 kNm

A carga P, que est associada ao momento de fendilhao, pode ser estimada, para

aquela estrutura e carregamento, atravs da seguinte relao:

Mcr = PL 4

P = 4Mcr

L =

4 16.7 5

= 13.4 kN


4

Concluso: Uma viga de beto simples no explora, minimamente, a capacidade

resistente do material em compresso, pois a mxima tenso que se

pode mobilizar igual, ou da mesma ordem de grandeza, da resistncia

traco. O comportamento fica, assim, associado a uma baixa

capacidade de carga, condicionada pelo aparecimento de uma fenda, e,

na sequncia, uma rotura frgil.

Soluo: Introduzir um material com boa resistncia traco nas regies onde

necessrio, ou seja, nas zonas traccionadas das peas. Ao se adoptar a

armaduras de ao explora-se muito melhor a capacidade resistente do

elemento de beto, pois passa a haver a possibilidade de equilibrar

compresses mais elevadas no beto atravs das traces que passam a

se poder mobilizar nas armaduras. Alm disso, por via da ductilidade

associada ao ao, temos tambm um comportamento dctil na rotura.

Tem-se, assim, o Beto Estrutural (beto + armaduras de ao).

Esta anlise realizada para um elemento de beto simples submetido flexo

pode, e deve, ser equacionada, pelos alunos, para a situao mais simples da

Resistncia dos Materiais que a de um tirante (esforo axial simples).

1.2. ELEMENTO DE BETO ARMADO

Analisemos, ento as principais caractersticas do comportamento do beto armado

resultante da introduo das armaduras de ao nas peas de beto.

O ao um material dctil com uma boa resistncia traco, mas tambm

compresso (ver figura seguinte). Por outro lado, a sua disposio em vares permite

um bom envolvimento pelo beto e, consequentemente, condies para uma boa

aderncia entre os materiais.

2.5 a 10%

Es (200GPa)

(200 a 800 MPa)

fu

fy

fy

ndice y yeld (cedncia)

fy+ fy

-

Com a introduo destas armaduras no beto obtm-se um comportamento conjunto

com boa ligao e extremamente eficiente em termos da resposta estrutural. De facto,


5

com o aparecimento de fendas nalgumas seces de beto, as traces passam, no

essencial, para as armaduras, o que permite garantir o equilbrio da seco para um

nvel de cargas muito superior. Este aspecto ser, desde j, clarificado no pargrafo

1.3.

Entretanto, importante desde j percepcionar as caractersticas globais da resposta,

que claramente no linear, de um elemento de beto armado. Nas figuras seguintes

podem observar-se diagramas tipo, de momentos-curvaturas mdias e carga-

deslocamento, respectivamente, para elementos e estruturas de beto armado, desde

o incio do carregamento at rotura. Verifica-se que, com o incio das fendas (1), h

alguma perda de rigidez mas que a capacidade resistente mxima s se atinge para

cargas superiores depois de verificada a cedncia das armaduras (2) e explorada,

depois, a ductilidade (3). A cedncia da armadura corresponde a se atingir o

momento de cedncia da seco, sendo que, a partir da, o momento na seco s

pode aumentar devido a um incremento residual da tenso do ao entre o valor de

cedncia e o ltimo, ou um ligeiro aumento do brao devido a uma acomodao das

compresses mais junto s fibras extremas da seco. Entretanto o elemento de beto

armado pode continuar a aumentar a curvatura, com um comportamento caracterstico

de um material dctil.

Ao longo desta disciplina analisar-se-o estas caractersticas do comportamento e o

seu enquadramento nas disposies regulamentares para assegurar os nveis de

segurana e de qualidade de comportamento necessrios.

(1)

(2) (3)

b) Diagrama carga-deslocamentoa) Diagrama momento-curvatura

PM

R/1

III

(1)

(2) (3)(1) - fendilhao do beto

(2) - cedncia das armaduras

(3) - rotura

1.2.1 CLCULO DAS TENSES NUMA SECO APS FENDILHAO

Na sequncia, analisa-se, primeiro, um conceito importante no beto estrutural que o

de que as quantidades de ao devem assegurar, pelo menos, a substituio das

traces que se libertam a quando da abertura de uma fenda, e depois, a avaliao

de tenses numa seco fendilhada. Tambm nesta anlise importante que o

aluno faa o paralelo com a situao equivalente da traco simples.


6

Para se compreender estes aspectos do comportamento comecemos por analisar a

resposta flexo de uma seco de beto armado, tomando-se o exemplo seguinte:

0.20

0.50d

Admita-se:

As = 10.0 cm2

d = 0.45 m (altura til da armadura)

Ec = 30 GPa

Es = 200 GPa

(i) Avaliao simplificada da quantidade de armadura mnima necessria para

substituir o papel das traces no beto quando se forma uma fenda (Anlise em

Estado no fendilhado - Estado I desprezando as armaduras, como

razovel, em geral, em termos prticos)

A fora de traco disponibilizada pelas armaduras deve ser superior fora de

traco no beto que se liberta quando se forma a fenda, tal que, de uma forma

simplificada (admitindo fct = 2MPa e fy = 400 MPa):

fct

h/2

b

Fct

Fc

(antes de fendilhar)

Fs Fct As, min fy b h2

12 fct

As, min 0.2 0.5 4

2103

1

400103 10

4 = 1.25 cm

2

(Refira-se que no exemplo apresentado a armadura admitida

superior a este valor, pois: As = 10cm2>> 1.25cm

2)

Vejamos, agora, a avaliao da distribuio de tenses numa seco fendilhada

(denominada por Estado II) de acordo com as hipteses usualmente admitidas.

(ii) Clculo do estado de tenso nas seces, aps a fendilhao do beto

Hipteses consideradas para o denominado Estado II

O beto no resiste traco

As seces mantm-se planas aps a fendilhao


7

c

LN

c

(-)

(+)

s s (Fs)

(Fc)

b

x

dz Mcr

Clculo da posio da linha neutra

Atravs da determinao do centro de gravidade da seco homogeneizada,

x = Ai xi

Ai =

bx x/2 + As Es/Ec d

bx + As Es/Ec x

bx + As

Es Ec

= bx x 2

+ As Es Ec

d

bx2 + As Es Ec

x = bx2 2

+ As Es Ec

d bx2

2 = As

Es

Ec (d - x)

(equao que traduz a igualdade de momentos estticos)

Para a seco em estudo,

0.2x2 2

= 1010-4 x 200 30

(0.45 - x) 0.1x2 + 6.6710-3x - 0.03 = 0 x = 0.143 m

z (brao das foras resultantes) = d - x 3

= 0.45 - 0.143

3 = 0.40 m

Avaliemos, agora para o momento de fendilhao, anteriormente estimado (pargrafo

1.1) a distribuio de tenses na seco, aps fendilhao:

Clculo da tenso no beto (c)

Por equilbrio: Mcr = Fs z = Fc z =16.7 kNm Fc = Mcr z

= 16.7 0.40

= 41.8 kN

Fc = c x b

2 c =

2Fc bx

= 2 41.8

0.20 0.143 = 2923 kN/m2 2.9 MPa

Clculo da tenso nas armaduras (s)

Fs = s Ass = Fs As

= 41.8

10 10-4 = 41800 kN/m2 = 41.8 MPa


8

Clculo das extenses mxima no beto e nas armaduras (c e s)

= E

c =

c Ec

= 2923

30106 = 0.09710-3 0.1

s = s Es

= 41800

200106 = 0.2

ou c

s =

x d - x

s = d - x

x c=

0.45 - 0.143 0.143

0.09710-3 = 0.2

M = 16.7 kNm

0.143

[MPa]

-2.9

s = 0.2(+)

(-)

c = 0.1

LN

41.8

Verifica-se que, para a quantidade de armadura da seco (10 cm2), bastante superior

mnima estimada (1.25cm2), o nvel de tenses nas armaduras (41.8 MPa), depois

de se formar a fenda, muito inferior ao da cedncia caracterstica (400MPa), ou seja,

h, neste caso uma reserva muito grande at se atingir a cedncia.

Avaliemos agora, para este exemplo, as curvaturas das seces depois e antes da

fendilhao.

Clculo da curvatura em Estado II

1 R

= c + s

d =

0.110-3 + 0.210-3 0.45

= 6.6710-4 m-1

Curvatura em Estado I, sem considerar as armaduras:

M = 16.7 kNm

[MPa]

(+)

(-)

c

c

2.0

2.0

c = c Ec

= 2.0

30103 = 6.6710-5

1R

= 2 6.6710-5

0.5 =2.6710-4 m-1


9

Verifica-se, assim, que, para esta seco e com esta armadura, se verifica uma perda

de rigidez considervel quando se perde a participao do beto traccionado, de:

1/RII

1/RI 2.5. Refira-se que este valor seria maior ou menor consoante a quantidade de

armadura adoptada fosse, respectivamente, inferior ou superior aos 10 cm2

considerados.

Estas curvaturas podem ser directamente calculadas dividindo o momento pelas

rigidezes homogeneizadas, se for o caso, nos referidos Estados I e II, tal que:

Estado I sem considerar as armaduras: 1Rc

= M

Ec Ic

Estado I com considerao das armaduras: 1

R =

M

Ec I

Estado II: 1

R =

M

Ec I

M

R/1

III

Ec I

Ec IEc I

Ic, I e I, so, respectivamente, a inrcia de seco s de beto, de beto e armaduras

homogeneizada no beto em situao no fendilhada (valor de I Ic) e fendilhada (I)

sem considerar o beto traco.

1.2.2 CLCULO DO MOMENTO DE CEDNCIA DA SECO

Em estado II (seco fendilhada sem participao de beto traco) a linha neutra e

a rigidez da seco nica, como avaliada anteriormente. Assim, a um acrscimo do

momento flector ir somente corresponder um aumento de curvatura com

consequente aumento de tenses, i.e., com o brao entre as resultantes das foras de

compresso e traco a se manter constante.

M

s1s(+)

(-)

c1

LN

c

M1 M2 M1

c2

s2


10

A continuao da aplicao do momento M conduz, portanto, ao aumento das tenses

nas fibras, proporcionalmente ao momento. No entanto, para nveis superiores de

carga, pode o beto entrar numa regio de comportamento com alguma no

linearidade.

M1z1

Fc

Fs1

c1

LN

M2z2

Fs2

Fc

c2

LN

M1 M2

A variao do brao , no entanto, pouco significativa (z1 z2), pelo que a avaliao do

momento de cedncia se pode fazer tomando para a fora F a fora correspondente

cedncia das armaduras, tal que:

My z Fy com Fy = Asfsy

Em que z o brao atrs determinado.

Clculo do momento de cedncia da seco

s = fy = 400 MPa Fy = 400 103 10 10-4 = 400 kN

z = 0.40m My = 0.4 400 = 160 kNm

Verifica-se que, para esta seco, a diferena entre os momentos de fendilhao e de

cedncia significativa, de 16.7 kNm para 160 kNm, o que mostra bem o papel das

armaduras.

1.3. DIFERENA DO COMPORTAMENTO SECO/ESTRUTURA

As estruturas so compostas por inmeras seces sendo que s algumas fendilham.

Nestas seces h uma perda brusca de rigidez (aumento de deformao

significativo), como mostra o grfico a), corresponde passagem do Estado I ao II. No

entanto, considerando o comportamento mdio de um elemento estrutural (como o

representado na direita da figura), vai-se verificar uma diminuio mais gradual da

rigidez mdia (grfico b)). A razo simples: em termos mdios teremos seces

efectivamente fendilhadas, mas entre estas haver outras com o beto traccionado,

portanto menos deformveis.


11

a) Seco

III

b) Elemento

M

R/1

Mcr

III

My

(1)

(2) (3)

Mcr

My(1)

(2) (3)

MM

R

Este efeito de atenuao da importncia da perda de rigidez, a quando da fendilhao,

ainda mais notrio, quando se analisa a resposta da estrutura no seu conjunto. De

facto, ao nvel da deformao global da estrutura, no se chega a notar um aumento

pontual da deformao. Verifica-se, isso sim, uma diminuio da rigidez para cargas

superiores s do incio do processo de formao de fendas (zona do diagrama carga-

deslocamento de (1) para (2)) ver figura seguinte. Nesta relao, a perda de rigidez

por abertura de fendas numa ou noutra seco, dilui-se em termos da resposta global,

mas, mesmo assim, com implicaes na deformao da viga.

P

(1)

(2) (3)

Para nveis de carga superiores a zona da viga passvel de ter fendas aquela em

que os esforos sejam superiores aos de incio da fendilhao, como se mostra na

figura seguinte.

DMF

Mmx

P

Regio onde ocorre

fendilhao para Pmx

Mcr

Refira-se que, como referido anteriormente, medida que se verifica o incremento de

carga as tenses nos materiais aumentam at que se atinge, em princpio na seco

mais esforada, a cedncia do ao, ou seja o momento de cedncia - (ponto (2) dos


12

diagramas). Este nvel de carga corresponde, grosso modo, capacidade mxima da

seco, verificando-se, a partir da, s um ligeiro aumento at ao momento ltimo,

associado a um grande aumento de deformaes. a zona de comportamento

associada explorao da capacidade ltima da seco flexo, que se verifica, em

geral, com desenvolvimento de uma resposta dctil. Evidentemente que, em estruturas

hiperstticas, as zonas principais das estruturas no entram, em geral,

simultaneamente em cedncia. Assim, a partir do seu incio numa determinada

seco, h lugar, ainda, para incrementos de carga at se mobilizar a capacidade

mxima da estrutura.

2 Conceito de Segurana no Dimensionamento de Estruturas

O conceito de segurana a exigir s estruturas no obviamente especfico ao beto

estrutural, sendo aplicado a estruturas construdas em qualquer material, em particular

s estruturas metlicas e/ou mistas (beto/ao). Na sequncia, apresenta-se um

resumo dos princpios fundamentais das metodologias de verificao da segurana

que reputamos essencial, nesta fase da aprendizagem dos alunos, para se

compreender o enquadramento das preocupaes dos engenheiros na concepo e

projecto das Estruturas de Beto.

2.1 OBJECTIVOS DE SEGURANA NA ENGENHARIA ESTRUTURAL EM GERAL

H dois objectivos fundamentais a considerar pelos engenheiros de estruturas para

assegurar, sociedade em geral, um nvel de segurana adequado s construes.

Seguidamente referem-se esses dois objectivos gerais, particularizando-se, para cada

um deles, o tipo de verificaes em causa.

1) Garantir um bom comportamento das estruturas em situao de servio, ou

seja, na sua utilizao corrente

Na forma regulamentar este objectivo corresponde a verificar a segurana aos

Estados Limite de Utilizao:

Limitar a deformao (Para as estruturas, em geral, e no s de beto)

De acordo com as recomendaes mais recentes, e para o caso de pisos de edifcios,

a deformao final ou o incremento de deformao aps a execuo de paredes de

alvenaria, deve ser limitada, para as aces com carcter de permanncia,

respectivamente, a:

servioadmissvel

L250

ou L

500


13

Trata-se no primeiro caso de uma questo de aspecto e funcionalidade e no segundo

caso para evitar fendas nas alvenarias que no conseguem, a partir de um certo

ponto, acompanhar a deformao da sua base de suporte sem fendilharem.

Limitar o nvel de tenses mximas no beto e no ao

Segundo as disposies regulamentares mais recentes o nvel mximo das tenses no

ao e no beto deve ser limitado, em servio. Estes limites dependem do tipo e nvel

das aces, como se verificar no curso.

Controlar as aberturas de fendas (Aspecto claramente especfico s

estruturas de beto armado):

servioadmissvel (0.2 a 0.4mm)

Sendo a existncia de fendas uma situao normal no Beto Armado, h que limitar a

sua abertura, em geral, para um nvel de aces com carcter de permanncia. Esta

necessidade advm, de razes de aceitabilidade esttica e, em ambientes mais

agressivos, para no serem veculo de um processo mais rpido de degradao do

beto estrutural (questo de durabilidade, como se ver no curso).

Garantir um adequado comportamento dinmico (estruturas em geral)

Este aspecto da verificao do comportamento em servio das estruturas, s ser

analisado na disciplina de uma forma indirecta, devendo ser aprofundado

posteriormente no curso. No fundo trata-se de controlar as frequncias prprias de

vibrao das estruturas, de tal forma a evitar situaes de ressonncia com a

frequncia das aces.

Exemplo: Nas pontes de pees verificar que a frequncia principal de vibrao vertical

da estrutura no se aproxima da frequncia da excitao, neste caso, as cadncias

dos passos dos utilizadores.

2) Assegurar um nvel de segurana adequado em relao a determinadas

situaes de rotura (rotura local ou global da estrutura)

Na forma regulamentar este objectivo corresponde a verificar a segurana aos

Estados Limite ltimos

Para alm de assegurar um comportamento adequado da estrutura nas condies da

sua utilizao, o engenheiro de estruturas tem de, com um nvel de confiana

muitssimo superior, poder garantir que no h possibilidade de qualquer tipo de

rotura, seja localizada, por falta de capacidade resistente, como numa pea linear,

por:


14

Traco ou Compresso

Flexo

Esforo Transverso

Toro

Qualquer combinao destas

Zonas particulares de apoios e/ou introduo de cargas

Seja global, por perda de equilbrio conjunto da estrutura, como o derrubamento

de um muro de suporte.

As caractersticas de comportamento do beto estrutural, prximo da rotura, e as

hipteses admitidas para avaliao das capacidades resistentes dos elementos

estruturais, acima referidas, e das estruturas, no seu conjunto, sero analisadas nos

Captulos seguintes.

2.2 FILOSOFIA ADOPTADA NA VERIFICAO DA SEGURANA EM RELAO AOS ESTADOS

LIMITES LTIMOS

Para garantir o objectivo acima enunciado, da no rotura, a regulamentao das

estruturas, em geral, tem vindo a introduzir, a partir dos anos 60, uma filosofia de

segurana que, tendo em conta a variabilidade das caractersticas dos materiais, do

valor das aces e da avaliao da resposta estrutural, assegura uma probabilidade

de rotura de 1 x 10-5, ou seja, quase nula.

Este formato baseia-se, de uma forma simplificada, na avaliao de valores

caractersticos para os materiais e aces, e ainda adopo de coeficientes parciais

de segurana adequadamente definidos. Vejamos, ento, com algum pormenor, essa

valorao.

1) Definio de valores caractersticos para:

Valores das aces Ssk (95% de probabilidade de no serem excedidos)

Resistncias dos materiais SRk (95% de probabilidade de serem superiores).

2) Adopo de coeficientes de segurana parciais que:

Majorem as cargas, consoante o tipo de aco:

Aces permanentes: valor aproximadamente constante durante a vida

g = 1.0 ou 1.35 (consoante a aco for ou no favorvel)


15

Aces variveis: variam durante a vida til da estrutura (ex: sobrecarga,

vento, sismo, variao de temperatura, etc.)

q = 0.0 ou 1.5 (consoante a aco for ou no desfavorvel)

Aces acidentais: muito fraca probabilidade de ocorrncia durante a

vida til da estrutura (ex: exploses, choques, incndios, etc.) a = 1.0

Minorem as resistncias dos diferentes tipos de materiais:

Armaduras (s = 1.15)

Beto (c = 1.5)

Exemplo: fyd = fyk

s ; fcd =

fck

c

3) Estabelecimento de combinaes de aces, conforme especificado no RSA

Exemplo: Ssd = gSg + q (Sq + 0iSqi) (0i 1 coeficiente de combinao da

aco varivel i)

Sq aco varivel de base

Sqi restantes aces variveis

4) A avaliao dos efeitos das aces na estrutura usualmente realizada com base

numa anlise elstica linear da mesma, mas com as eventuais/necessrias

adaptaes para ter em conta, nas estruturas hiperstticas, o efeito do comportamento

no linear do beto estrutural (como constatado nos pargrafos anteriores).

Com base nos modelos estruturais adoptados h, ento, que avaliar os efeitos das

aces. Tem-se, por exemplo, para a flexo, os denominados momentos de clculo

ou dimensionamento, que, para o caso de uma nica carga varivel, corresponde a:

Msd = g Mg + qMq

5) A avaliao das capacidades resistentes (foras ou esforos) depende da geometria

do elemento, das caractersticas dos materiais e do tipo de esforo.

Por exemplo para o momento resistente, como vimos anteriormente, teremos, de

uma forma simplificada, : MRd = As fyk

1.15 z.

No Captulo seguinte a avaliao deste valor ser detalhadamente apresentada.

6) Verificao da condio de segurana geral: SSd SRd

Exemplo para os momentos: Msd MRd


16

No caso do exemplo anterior, e considerando s a sobrecarga (q = 1.5), tem-se

(tomando o brao de foras, z, avaliado para o comportamento elstico):

M = PL 4

Msd = 1.5 P 5 4

MRd = 10 10-4

400 1.15

103 0.40

Donde resulta, como valor de carga que pode ser aplicada estrutura, com um nvel

de segurana adequado em relao rotura por flexo (ou seja, verifica a segurana

ao Estado Limite ltimo de Flexo):

P 74.2 kN

O procedimento de verificao da segurana acima resumido pode ser ilustrado com

base nos diagramas de distribuio probabilstica dos efeitos das aces e da

avaliao das resistncias, como indicado na figura seguinte. A partir de valores

caractersticos, superiores e inferiores, respectivamente para as aces e materiais,

majoram-se e minoram-se esses valores, com coeficientes parciais de segurana,

para s depois estabelecer a condio de segurana.

Percebe-se que a margem de segurana disponvel que se obtm com este

procedimento muito grande. Repare-se na diferena entre os valores mdios

expectveis das aces e das resistncias. No entanto, a justificao da garantia da

probabilidade de no rotura ser de 1 x 10-5,como acima referida, est fora do mbito

destas folhas, e desta disciplina.

Ssm Ssk SRk SRmSsd SRd

Aces ou efeitos das aces Resistncia

2.3 FILOSOFIA ADOPTADA NA VERIFICAO DA SEGURANA EM RELAO AOS ESTADOS

LIMITES DE UTILIZAO

Para assegurar o comportamento adequado nas condies de servio, pretende-se

avaliar, agora, to bem quanto possvel, a resposta efectiva da estrutura quando em

utilizao. Com esse objectivo faz sentido tomar valores de aces que se esperam

efectivamente actuem a estrutura (e no valores caractersticos superiores e/ou

majorados) e valores mdios para o comportamento dos materiais (certamente que

no valores caractersticos inferiores e/ou minorados).


17

Esta formulao conduz a que a probabilidade de serem excedidos os valores

admissveis seja da ordem de 1 x 10-1.

Vejamos ento, em termos prticos, com que bases se fazem estas verificaes:

1) Definio dos valores da aco que actuam na estrutura adoptando, por um lado,

para os pesos prprios dos materiais estruturais e/ou de outros revestimentos

utilizados densidades mdias e, por outro lado, valores de sobrecargas com

probabilidades reais de virem a actuar as estruturas (percentagens mais pequenas do

valor caracterstico tm mais probabilidade de ocorrerem).

2) Estabelecimento de combinaes de aces, conforme preconizado no RSA:

Combinao quase permanente de aces: Estado limite de longa durao

( 50% do tempo de vida da estrutura) Scqp = G + 2iQi

Combinao frequente aces: Estado limite de curta durao ( 5% do

tempo de vida da estrutura) Sfreq = G + 1 Q + 2iQi

Combinao caracterstica: Estado limite de muito curta durao (algumas

horas no perodo de vida da estrutura) Sraro = G + Q + 1iQi

2 < 1 < 1.0)

Q aco varivel de base

Qi restantes aces variveis

3) A avaliao dos efeitos das aces deve ser realizada considerando, em geral, as

propriedades mdias dos materiais por forma a estimar o comportamento previsvel.

importante referir que, para o efeito de cargas exteriores a hiptese de comportamento

linear razovel e usual, para a obteno de esforos, mas j no para avaliao

das deformaes, a menos que, convenientemente, corrigidas. Por outro lado, devido

a deformaes impostas estrutura, a grandeza dos esforos depende fortemente da

rigidez da estrutura, e, ento, a rigidez elstica deve ser diminuda, logo na avaliao

de esforos.

, portanto, necessrio considerar, de uma forma simplificada, os efeitos da

fendilhao (perda de rigidez) e da fluncia do beto nas caractersticas da resposta e

na forma de avaliar os efeitos das aces. Estes assuntos iro os alunos analisar ao

longo do curso.

4) Posteriormente h que fazer as verificaes de segurana, atrs mencionadas,

como a limitao da deformao, o controlo do nvel de tenses nos materiais e o

controlo das aberturas de fendas. Estas verificaes so estabelecidas nos


18

regulamentos, para certas combinaes de aces. Refira-se que um certo limite

dependente da durao de tempo em que possa subsistir.

Por exemplo, para o caso da deformao, importante garantir a sua limitao para a

situao quase-permanente, mas no para a eventualidade de, numa ou vrias

situaes na vida da estrutura, se ter uma sobrecarga maior. Assim:

combinao quase permanente admissvel

Por outro lado, uma abertura de fendas mxima de 0.5 mm pode ser considerada

aceitvel para a combinao caracterstica de aces, pois s acontece muito

esporadicamente, mas no para uma situao com carcter de permanncia, em que

se aponta na regulamentao para um limite de 0.3 mm.


19

EXERCCIO 1

Considere a estrutura de um piso estrutural, que ser tomado como referncia nos

captulos seguintes, a construir com os materiais indicados e as aces previstas

referidas, e que se representa na planta seguinte:

4.00 4.00 4.004.00

10.00

3.00

S2

S1

Materiais: C25/30, A400

Aces:

Peso prprio

Revestimento=2.0 kN/m2

Sobrecarga = 3.0 kN/m2

Coeficientes de majorao:

G = Q = 1.5

Coeficientes de combinao:

1 = 0.4 ;2 = 0.2

Seco da viga: 0.300.85 m2

Espessura da laje: 0.15m

a) Determinar, para as seces S1 e S2 da viga, os valores dos esforos, para a

verificao da segurana rotura.

b) Calcular, para as mesmas seces, os esforos para as combinaes em servio,

rara, frequente e quase-permanente.


20

RESOLUO DO EXERCCIO

No processo de verificao da segurana de uma estrutura fundamental encontrar

um modelo de anlise da estrutura, que nunca deve ser confundido, com a prpria

estrutura. Trata-se, no essencial, de um modelo da estrutura que serve de base

para a anlise, dimensionamento e verificao de segurana, neste caso da viga

central em causa.

1. Modelo de clculo:

Modelo para o clculo da viga

10.00 3.00

S2 S1

g, q

Corte transversal viga

rev, q

0.30

0.15

0.70

4.00

Comentrios ao modelo de clculo, escolhido, com algumas simplificaes:

Consideram-se as vigas sem continuidade na ligao aos pilares;

Considera-se que as lajes descarregam apenas nas vigas transversais.

2. Clculo das aces na viga

2.1. Carga permanente

Peso prprio

pp = beto rea = [4 0.15 + (0.85 - 0.15) 0.30] 25 = 20.3kN/m

Revestimento

rev = 2.0 4.0 = 8.0kN/m

cp = pp + rev = 20.3 + 8.0 = 28.3kN/m

2.2. Sobrecarga

sc = 3.0 4.0 = 12.0kN/m


21

3. Diagrama de esforos para uma carga unitria (poder-se-ia considerar logo

partida considerar o valor das cargas)

S1S2

10.00 3.00

p=1 kN/m

RA RB

10.25

4.5

4.553.0

DMF

[kNm]

(+)

(-)

DEV

[kN]

(+)

(-)

(+)

5.45

x

(i) Clculo das reaces de apoio

MA = 0 10 RB- 1.0 13 13 2

= 0 RB = 8.45kN

F = 0 RA + RB = 13 RA = 13 - 8.45 = 4.55kN

(ii) Clculo do momento flector a vo

MB = - 1 3 3 2

= - 4.5kN/m

Mvo = 1 102 8

- 4.5 2

= 10.25kNm L/2 L/2

pL /82

(iii) Clculo do momento flector mximo

4.55 + 5.454.55

= 10.0

x x = 4.55m

Mmx = 4.55 4.55

2 = 10.35kNm

Mvo Mmx


22

ALNEA A)

Seco S1 Seco S2

MS1G

= 4.5 28.3 = - 127.35 kNm MS2G

= 10.25 28.3 = 290.1 kNm

MS1Q

= 4.5 12.0 = - 54 kNm MS2Q

= 10.25 12.0 = 123.0 kNm

VS1G

= 5.45 28.3 = 154.2 kN

VS1Q

= 5.45 12.0 = 65.4 kN

Valores de clculo dos esforos

MS1sd

= 1.5 ( )MS1G + MS1Q = 1.5 (-127.35 - 54) = -272.0 kNm

MS2sd

= 1.5 ( )MS2G + MS2Q = 1.5 (290.1 + 123) = 619.7 kNm

VS1Sd

= 1.5 ( )VS1G + VS1Q = 1.5 (-154.2 - 65.4) = -329.4 kN

Considerao de alternncia de sobrecarga

A sobrecarga, sendo uma aco varivel, pode actuar em qualquer tramo. Assim, para

cada caso, h que verificar a hiptese de carga mais desfavorvel.

Chama-se, desde j a ateno, para que na consola e sobre o apoio adjacente, os

esforos s dependem das cargas na prpria consola e, portanto, os valores mximos

so os avaliados anteriormente.

Por outro lado, se se considerar apenas a actuao da sobrecarga no tramo apoiado,

o momento flector obtido a meio vo desse tramo ser superior ao calculado

considerando a sobrecarga a actuar em toda a viga (calculo anterior).

Deste modo,

g

q

MS2Q

= 12 102

8 = 150 kNm ; MS2

G = 10.25 28.3 = 290.1 kNm

MS2sd

= 1.5 (290.1 + 150) = 660.2kNm


23

Refira-se que, sendo a viga isosttica, a distribuio de esforos para uma qualquer

combinao de aces nica. Ora isto diferente do que acontece nas estruturas

hiperstticas onde so possveis distribuies de esforos distintas que equilibram as

mesmas aces... e que so compatveis com o comportamento, efectivamente no

linear, dos materiais.

Alnea b)

Seco S1

Mc rara = MG + MQ = -127.35 - 54 = - 181.4kNm

Mcfreq = MG + 1 MQ = -127.35 - 0.4 54 = -149.0kNm

Mcqp = MG + 2 MQ = -127.35 - 0.2 54 = 138.2kNm

Vc rara = VG + VQ = 154.2 + 65.4 = 219.6kN

Vcfreq = VG + 1 VQ = 154.2 + 0.4 65.4 = 180.36kN

Vcqp = VG + 2 VQ = 154.2 + 0.2 65.4 = 167.3kN

Seco S2

Mc rara = MG + MQ = 290.1 + 123.0 = 413.1kNm

Mcfreq = MG + 1 MQ = 290.1 + 0.4 123 = 339.3kNm

Mcqp = MG + 2 MQ = 290.1 + 0.2 123 = 314.7kNm

Verifica-se tambm que o nvel de esforos considerados para a verificao da

segurana rotura so significativamente superiores aos correspondentes das

combinaes de aces em servio, e que estes ltimos so to menores, quo a

probabilidade de ocorrncia seja maior.


24

3 Materiais

3.1 CARACTERIZAO DOS BETES

O beto tem como referido anteriormente, e os alunos certamente sabero nesta fase

do curso, um comportamento no linear. Ou seja, tem uma relao tenso-extenso

que no segue a lei de Hook, em particular para tenses mais elevadas. Como se ver

na sequncia, at certos nveis limitados de tenso, razovel admitir o

comportamento como linear.

Os betes so, em termos regulamentares, classificados por classes de resistncia,

como certamente analisaram na disciplina de materiais.

As classes de resistncia esto definidas de acordo com os valores caractersticos de

tenso de rotura compresso aos 28 dias de idade, referidos a provetes cbicos ou

provetes cilndricos, apesar destes ltimos serem aqueles que se consideram como

referncia na avaliao da segurana estrutural.

No quadro seguinte apresentam-se, para as vrias classes de resistncia do beto, os

valores caractersticos e de clculo das tenses de rotura compresso (fck e fcd), bem

como o valor mdio da tenso de rotura traco (fctm) e mdulo de elasticidade aos

28 dias (Ec, 28).

Classe B15

C12/15

B20

C16/20

B25

C20/25

B30

C25/30

B35

C30/37

B40

C35/45

B45

C40/50

B50

C45/55

B55

C50/60

cub.

fck

cil.

[MPa]

15

12

20

16

25

20

30

25

37

30

45

35

50

40

55

45

60

50

fcd

[MPa] 8.0 10.7 13.3 16.7 20.0 23.3 26.7 30.0 33.3

fctm

[MPa] 1.6 1.9 2.2 2.6 2.9 3.2 3.5 3.8 4.1

Ec,28

[GPa] 27.0 29 30 31 33 34 35 36 37


25

3.1.1 TENSES DE ROTURA DO BETO

A partir dos valores caractersticos das tenses de rotura compresso ou traco,

definem-se os valores denominados de dimensionamento ou de clculo rotura:

fcd = fcil.ck

c , fctd =

fctk

c com c = 1.5 ( )fcil.ck 0.8 fcubosck

O valor mdio da tenso de rotura do beto traco pode ser estimado pela

expresso:

fctm = 0.30 f2/3ck

Nota: o valor de fcd definido a partir da resistncia em cilindros, dado que estes provetes so

mais representativos da resistncia do beto em peas longas.

3.1.2 MDULO DE ELASTICIDADE DO BETO

Na anlise de estruturas usual admitir um comportamento elstico, como atrs j

referido, considerando-se, em geral, o mdulo de elasticidade secante do beto aos 28

dias de idade. Este mdulo de elasticidade, tal como a figura seguinte indica,

encontra-se definido para c = 0 e c = 0.4 fck. Refira-se a propsito, que este tipo de

hiptese adoptada, na prtica da engenharia, com muita frequncia, considerando-

se, posteriormente, formas mais ou menos directas de ter em considerao o efectivo

comportamento no linear do beto armado, quer em condies de servio, quer,

por maioria de razo, prximo da rotura.

fcm

c

c

Ec

0.4 fck

3.1.3 VALOR CARACTERSTICO DA TENSO DE ROTURA DO BETO COMPRESSO FC

A partir de um certo nmero de resultados de ensaios, possvel avaliar o valor

caracterstico do beto.


26

Assim:

fck = fcm - Sn , Sn desvio padro das resistncias das amostras

parmetro que depende do nmero de ensaios

n 6 10 15

1.87 1.62 1.48

3.2 CARACTERIZAO DAS ARMADURAS

As armaduras a utilizar no beto estrutural podem dividir-se em:

armaduras para beto armado

armaduras de pr-esforo

As primeiras so tambm denominadas de armaduras passivas, pois s so

solicitadas em resposta a aces exteriores.

As armaduras de pr-esforo so compostas por aos com capacidade resistente da

ordem de 3 a 4 vezes superiores s passivas e so chamadas de activas, pois so

traccionadas antes da actuao das solicitaes exteriores.

Nestes elementos referem-se unicamente as primeiras pois o pr-esforo introduzido

na disciplina de Estruturas de Beto II.

3.2.1 CLASSIFICAO DAS ARMADURAS PARA BETO ARMADO

Os aos so classificados tendo em considerao o processo de fabrico, a rugosidade

da superfcie e a sua capacidade resistente. Assim temos:

processo de fabrico

ao natural (laminado a quente) (N)

ao endurecido a frio (E)

aderncia

alta aderncia (superfcie rugosa ou nervurada) (R)

aderncia normal (superfcie lisa) (L)

resistncia

(A235), A400, A500


27

O ao A235 foi utilizado na construo em Portugal, em geral com vares lisos, mas j

no produzido actualmente.

As armaduras designam-se, assim, com a seguinte simbologia base:

Designao das armaduras: A500 N R SD

fyk aderncia

processo de fabrico ductilidade especial

Os aos de dureza natural A400 NR e A500 NR produzidos em Portugal,

apresentam apenas duas famlias de nervuras ver figura abaixo. Nos aos A400

todas as nervuras de uma famlia so paralelas ao passo que no A500 as nervuras

tm alternadamente inclinaes diferentes, pelo menos de um dos lados.

A diferenciao, entre aos com ductilidade especial (SD), recomendados em zonas

ssmicas, e os correntes, ilustrada na figura, sendo que, no essencial, os SD tem as

mesmas nervuras nas duas faces.

Tipo A400NR Tipo A500NR

Tipo A400NR SD Tipo A500NR SD

Identificao do tipo de ao

Os aos endurecidos a frio (E) so produzidos por laminagem com impresso de um

perfil nervurado, constitudo por trs famlias de nervuras dispostas em 3 planos.


28

4 Verificaes de Segurana Rotura por Flexo

Para a avaliao das capacidades resistentes das seces de beto flexo, no

mbito da filosofia de segurana em relao rotura, comea-se por mostrar como se

caracterizam os comportamentos dos materiais a adoptar naquela avaliao.

Posteriormente, e a partir de hipteses admitidas para a deformao da seco na

rotura, mostra-se como se avaliam os esforos resistentes de flexo.

4.1 RELAES TENSO-EXTENSO DOS MATERIAIS PARA VERIFICAO DA SEGURANA

AOS E.L. LTIMOS

4.1.1 BETO

A partir da relao tenso-extenso caracterstica do beto, referida anteriormente,

definida uma relao simplificada, com base numa parbola e num rectngulo com um

valor mximo de resistncia, o qual obtido do valor caracterstico, pela aplicao do

correspondente coeficiente parcial de segurana de 1.5.

c

c

fcd

c2

fck

cu2

(Diagrama parbola rectngulo)

fcd = fck

c , c = 1.5 0.8 1.0

para 0 c c2

c = fcd para c2 c cu2

Para as classes de resistncia at C50/60,

c2[] cu2[]

2.0 3.5

Para uma definio analtica detalhada destas curvas pode ser consultada bibliografia

referida para a disciplina.

Na avaliao do valor de fcd, para alm do coeficiente parcial de segurana, aparece o

coeficiente . Este parmetro tem em considerao a diminuio da tenso de rotura

do beto quando sujeito a tenses elevadas prolongadas. De facto, se o beto for

solicitado com constncia, durante um certo perodo de tempo, a uma tenso um

pouco inferior mxima (entre 85% a 100% de fc) acaba por atingir a rotura. De

acordo, por exemplo, com o REBAP, a tenso mxima no beto est limitada a 0.85

fcd, ou seja considerando = 0.85. No entanto, o EC-2 prope, para casos correntes,


29

1.0 fcd, pois nas condies de carregamento com persistncia o beto estar, em

geral, solicitado a nveis de tenses bem inferiores s acima referidas, tendo-se

considerado demasiado penalizante tomar esse efeito na verificao da segurana

rotura. Na disciplina, e na prtica da engenharia em geral no futuro, tender a utilizar-

se a hiptese proposta no EC2. No entanto, e para j, o mais importante perceber a

razo do sentido fsico deste coeficiente.

4.1.2 AO

Para a verificao da segurana aos E.L. ltimos pode ser considerada uma das duas

relaes constitutivas indicadas pelo EC-2, e presentes na figura seguinte, i.e.,

considerando ou no (hiptese muitas vezes admitida como simplificao) algum

incremento de resistncia a partir da cedncia, quantificado pelo coeficiente k.

k fyk

f yd

1

ukyd

ykf

E =200 GPas

2

s

sud

k fyd

fyd = fyk

s , s = 1.15

ud = 0.9 uk

Classe fyk

[MPa]

fyd

[MPa]

yd

[10-3

]

A235

A400

A500

235

400

500

205

348

435

1.025

1.74

2.175

O valor da extenso mxima convencional do ao, ud (igual a 90% do valor

caracterstico uk), a considerar depende da classe de ductilidade das armaduras. No

quadro seguinte so indicados os valores caractersticos das extenses ltimas, para

as diferentes classes de ductilidade, que so da ordem dos 25 a 75, portanto, muito

superiores aos do beto de 3.5 .

Classe de

ductilidade A B C

k 1.05 1.08 1.15


30

repercurses em termos da avaliao das capacidades resistentes flexo, so

praticamente nulas, como se ver no sub-captulo seguinte.

Em Portugal os aos so denominados por NR, ER ou NR SD, como referido em

3.2.1, onde explicada a simbologia e a forma como se pode proceder sua

identificao superficial. Para a construo corrente normal utilizarem-se ferros NR,

sendo em zonas de maior sismicidade, a utilizao de aos SD fundamental. Estas

classificaes actuais dos aos em Portugal, correspondem s caractersticas de

ductilidade das classes B (NR) e C (NR SD) definidas no EC2 e acima mencionadas.

4.2 ANLISE DA SECO. MTODO GERAL

Definidas as caractersticas dos materiais, a capacidade resistente flexo simples,

mas tambm traco e compresso isoladas e/ou estas em sobreposio com a

flexo, resultam do estabelecimento das condies de equilbrio e do estabelecimento

das condies de deformao da seco e das condies limite. No que se segue vai

se analisar a situao de flexo simples mas importante que os alunos estabeleam,

por si, as situaes de traco e compresso simples. A flexo composta ser tratada

posteriormente no curso.

Hipteses adoptadas na rotura convencional de dimensionamento

1- Apesar da complexidade do estado de deformao do beto armado, prximo da

rotura, a Hiptese de Bernoulli considerada.

2- A situao ltima limite atingida, quando se verifica uma das extenses ltimas

seguintes:

- -c = 3.5 (Deformao mxima de encurtamento no beto)

- s = ud (Deformao mxima de alongamento nas armaduras)

3- A participao do beto traco no considerada:

- c = 0 se c> 0 o beto traco tem tenso nula

LN

Fs

z MRd

Fc

x

(+)

(-)

c 3.5

s ud


31

Com base nas relaes constitutivas dos materiais e das hipteses anteriores,

estabelecem-se as equaes de equilbrio na seco. Assim, se as expressarmos em

funo das resultantes das tenses de traco e compresso, tem-se:

Equaes de Equilbrio (sendo Fs e Fc as resultantes das tenses de traco e

compresso, respectivamente.):

Equilbrio axial (Esforo axial nulo): Fs = Fc

Equilbrio de momentos: MRd = Fs z

4.3 MTODO DO DIAGRAMA RECTANGULAR

Neste mtodo simplifica-se a forma de distribuio das compresses no beto e

despreza-se a participao do ao compresso, o que permite resolver as equaes

anteriores, de forma simples.

0.8xx

fcdfcdc

(-)

fcd

c

3.5 c0.7

Deste modo,

s

c

Fs

z = d - 0.4x

x(-)

(+)

Fc

LN

d

fcd

0.8x0.4x

4.3.1 CLCULO DE MRD

Se forem conhecidos a geometria da seco, a quantidade de armadura e as

resistncias dos materiais, a avaliao da capacidade resistente segue os seguintes

passos (trata-se um problema dito de anlise pois a seco e armaduras esto

totalmente definidas):

i) Admitir que s = fyd (s yd), ou seja, que as armaduras esto em cedncia

ii) Determinar posio da linha neutra

Por equilbrio axial, Fc = Fs fcd Ac (x) = As fyd x = ?


32

iii) Calcular o momento resistente

Por equilbrio de momentos, MRd = As fyd (d - 0.4x)

iv) Verificar hiptese inicialmente admitida: s yd

Rotura convencional: c = 3.5 ou s = ud

A partir da posio da linha neutra anteriormente calculada, se

admitirmos que a rotura se d pelo beto, obtm-se a

extenso ao nvel da armadura.

c = 3.5

(+)

(-)

s

x

Se s yd a hiptese considerada inicialmente, de admitir o ao em cedncia

est correcta.

Se s < yd Fs < As fyd, trata-se de uma situao no desejvel pois nem se

estaria a tirar partido da resistncia mxima do ao.

A posio da Linha Neutra para essa situao limite pode ser avaliada para os aos

A400 e A500 por:

Posio da LN para c = 3.5 e s = yd (incio da cedncia do ao)

d

x

s=yd

(+)

(-)

c = 3.5

A400: yd = 1.74

x3.5

= d

3.5 + 1.74 x = 0.67 d

A500: yd = 2.175

x 3.5

= d

3.5 + 2.175 x = 0.62 d

Deste modo, se x 0.67 d no caso de se utilizar ao A400, ou se x 0.62 d no caso

de se utilizar ao A500, pode se concluir, desde logo, que o ao est em cedncia.

Por outro lado, conhecida a posio da Linha Neutra, possvel confirmar se a rotura

convencional se d pelo beto. Exemplifica-se, seguidamente, para aos das classes

B (NR) e C (NR SD).

Para um ao de Classe C: Posio da LN para c = 3.5 e ud = 0.9 75 = 67.5

x

c = 3.5

(-)

(+)

ud

d

x 3.5

= d 71

x = 0.05 d


33

Deste modo,

se x < 0.05 d (situao pouco corrente) c< 3.5

s = ud (rotura pela armadura)

se x > 0.05 d c = 3.5

s < ud (rotura pelo beto)

Se tratasse de um ao de Classe B ter-se-ia para este limite x = 0.072 d

Constata-se, assim, que, para uma grande gama de possveis posies da Linha

Neutra, a rotura convencional d-se pelo beto e o ao est em cedncia. Esta

diferenciao (rotura convencional pelo ao ou beto), nem importante pois de

qualquer maneira a capacidade mxima resistente do ao explorada.

No entanto, importante no dimensionamento das seces de beto armado controlar

melhor a posio da Linha Neutra por uma razo essencial: Um elemento de beto

armado deve apresentar ductilidade em situao de rotura, i.e., deve poder

evidenciar deformaes apreciveis por cedncia das armaduras, sem perda de

capacidade resistente. Esta caracterstica fundamental nas estruturas e, para tal,

importante assegurar valores x/d limitados, pois verifica-se, experimentalmente, que

aquele um parmetro que influencia directamente a ductilidade do elemento.

A Ductilidade ou Capacidade de Deformao Plstica das Seces medida pela

relao (1/R)u/(1/R)y, i.e., a relao entre as curvaturas ltima e de cedncia, como

ilustrado na figura seguinte.

As2 As3 As4< < >yd

yd = fyd

s =

348

200103 = 1.74

xd =

0.0960.55

= 0.175

Ductilidade da seco (como critrio mnimo desejvel que x/d ~ (0.4 a 0.5) ou,

equivalentemente, s >~

4 a 5,

3. Clculo da sobrecarga mxima (Msd MRd)

Msd = psd L

2 8

167.7kNm psd 8 167.7

52 = 53.7kN/m

psd = 1.5 (g + q) q = 53.7 1.5

- 0.30 0.60 25 = 31.3kN/m


37

Exerccio 3 (mesma base do exerccio 1)

Considere a mesma estrutura de piso e considere os clculos j realizados:

4.00 4.00 4.004.00

10.00

3.00

S2

S1


Aces:

Peso prprio

Revestimento = 2.0kN/m2

Sobrecarga = 3.0kN/m2

Coeficientes de majorao:

G = Q = 1.5

Coeficientes de combinao:

1 = 0.4 ;2 = 0.2

Seco da viga: 0.30 0.85m2

Espessura da laje: 0.15m

a) Determine as armaduras necessrias para garantir o Estado Limite ltimo de flexo

da viga (Seces S1 e S2)

a.1) utilizando o mtodo do diagrama rectangular simplificado

a.2) Fs z

a.3) com recurso a tabelas

a.4) pormenorize as armaduras de flexo


38

RESOLUO DA ALNEA A):

1. Modelo de clculo:

10.00 3.00

S2 S1

g, q

0.85

0.30

2. Envolvente do diagrama de esforos

660.2

(+)

DMF

[kNm](-)

272.0

S2

S1

ALNEA A.1)

Seco S2 (M +sd = 660.2 kNm)

0.30

As

Msd

Fs

z

Fc

0.85 fcd

0.8x

LN

x

0.80

Resoluo com = 0.85:

Fc = 0.85 fcd 0.8x b = 0.85 16.7 103 0.8x 0.3 = 3406.8x

Fs = As fyd = As 348 103

Equilbrio de momentos:

MAS = Msd 3406.8x (0.8 - 0.4x) = 660.2 x = 0.282m

Fc = 3406.8 0.282 = 960.7kN

Equilbrio de foras:

Fs = Fc As 348 103 = 960.7 As =

960.7

348 103 104 = 27.6 cm2

Verificao da hiptese de cedncia do ao


39

0.282

0.518

s

c = 3.5

(-)

(+)

Admitindo que c = 3.5

c = 3.5

s =

0.2820.518

s = 6.43 > yd = 1.74

xd = 0.35

A armadura est em cedncia e a seco tem um nvel de ductilidade aceitvel.

Seco S1 (M -sd

= 272.0 kNm)

Msd

0.8xFc

FsAs

0.30

0.80

x

LN

0.85 fcd

z

Equilbrio de momentos:

MAS = Msd 3406.8x (0.8 - 0.4x) = 272.0 x = 0.105m Fc = 357.7kN

Ento x/d = 0.13 Bom em termos de ductilidade disponvel

Equilbrio de foras

Fs = Fc As 348 103 = 357.7 As =

357.7

348103 104 = 10.28cm2

Verificao da hiptese de cedncia do ao

Admitindo que c = 3.5 tem-se: s

3.5 =

0.6950.105

s = 23.2 >>yd

4.4 RESISTNCIA FLEXO SIMPLES COM O AUMENTO DE ARMADURAS

Na figura seguinte apresentam-se os diagramas de deformao de uma seco de

beto armado, para quatro reas de armadura distintas (rea de armadura crescente).


40

x1

MRd

As s(+)

(-)

c

MRd,1

(As muito pequeno) (As maior)

x2

MRd,2

c

(-)

(+)

s

(...)

x3

MRd,3

s(+)

(-)

c

(...)

MRd,4

x4

c

(-)

(+)

s

1 2 3 4

Apresentam-se, em seguida, as relaes constitutivas do ao e do beto, com

indicao qualitativa da evoluo das tenses e extenses dos dois materiais, com a

variao da armadura.

fcd

c

syd ud s

s

fsyd

2 3.5 c

43 e2

1

e1 23

4

Conforme se pode observar na figura seguinte, para baixos nveis de armadura, existe

proporcionalidade entre a rea de armadura e o momento resistente da seco.

medida que a quantidade de armadura aumenta, esta relao deixa de ser linear, ou

seja, o aumento da armadura traduz-se em acrscimos menores de momento

resistente. Este comportamento deve-se sucessiva diminuio do brao do binrio

(z) com o aumento da rea de armadura, at que a armadura deixa de poder estar em

cedncia (caso 4) e, portanto, o aumento de armadura perde toda a eficincia.

321

MRd

As4

M1

M2

M3

M4


41

4.5 DIMENSIONAMENTO FLEXO SIMPLES GRANDEZAS ADIMENSIONAIS

4.5.1 MTODO GERAL

s1

c

(-)

(+)

xFc

M

Fs1

LN

s2

As1

As2d2

d

Fs2 x

b

c

Fc = fcd b x

Fs2 = s2 As2

Fs1 = s1 As1

fcd =

Ac c dA

bx ; x =

c y dA

c dA

coeficiente que define a relao da resultante das tenses de compresso no

beto pela fora de uma compresso uniforme com fcd, em toda a zona comprimida.

coeficiente que define a posio da resultante das tenses de compresso no

beto, funo de x.

Equaes de Equilbrio

Equilbrio axial: Fc = Fsfcd bx + s2 As2 = s1 As1 (1)

Equilbrio de momentos: MAs = M M = fcd b x (d - x) + s2 As2 (d - d2) (2)

(Equaes no lineares)

Clculo por iteraes

i) Fixar c = 3.5 e um valor de x (por exemplo, tal que, xd = 0.5)

ii) Calcular as foras axiais F

Se |Fc + Fs2| > Fs1

a LN tem de subir para diminuir FC, tendo uma das

extenses, c ou s, o valor mximo e, a outra, um

valor igual ou inferior ao limite.

sud

d

x

c 3.5

(-)

(+)

necessrio diminuir o valor de x at que F = 0


42

Se |Fc + Fs2| < Fs1

(a LN tem de baixar para aumentar Fc)

x

s

c 3.5

(+)

(-)

necessrio aumentar o valor de x at que F = 0.

ii) Calcular MRd

Definida a posio da LN e o diagrama de extenso, calculam-se as tenses e o

valor de MRd

Nota: Este um processo de clculo moroso. Na prtica recorre-se a programas de

clculo automtico ou a tabelas de clculo.

Para elaborar tabelas necessrio trabalhar com grandezas adimensionais,

por forma a que sejam aplicveis a seces com qualquer geometria.

4.5.1.1 Grandezas adimensionais

Equaes de Equilbrio

fcd

bx = s1 As1 - s2 As2 (1)

M =

fcd b x (d - x) + s2 As2 (d - d2) (2)

Substituindo (1) em (2),

M = s1 As1 (d - x) - s2 As2 (d - x) + s2 As2 (d - d2)

= s1 As1 (d - x) + s2 As2 (x - d2) (3)

Considerando As2 = As1 e s = fyd, a equao (3) toma a forma

M = As1fyd d

1 -

x d

+ As1fyd d

x d

- d2 d

Transformando esta equao numa forma adimensional (dividindo todos os termos por

b d2fcd), resulta

M b d2 fcd

= As1 fyd b d fcd

1 -

x d

+ As1 fyd b d fcd

x d

- d2 d

= (1 k) +

k -

d2 d


43

Definem-se, assim, os parmetros , w e k, de uso corrente na concepo e

dimensionamento de estruturas de beto:

= M

b d2 fcd (Momento flector reduzido);

= As1 fyd b d fcd

(Percentagem mecnica de armadura)

k = x d

(Posio da L. Neutra adimensional)

4.5.2 MTODO DO DIAGRAMA RECTANGULAR SIMPLIFICADO

4.5.2.1 Grandezas adimensionais

b

Fc

MRd

Fs

x

(+)

(-)

c

s

d

As

LN

0.4x

z

0.8x

MRd = Fs z = Fs (d - 0.4x)

Admitindo que o ao est na cedncia, MRd = As fyd (d - 0.4x)

Transformando a equao anterior numa forma adimensional, resulta

MRdb d2 fcd

= As fydb d fcd

1 - 0.4

xd

= As

b d fydfcd

1 - 0.4

xdRd = (1 - 0.4k)

Rd = MRd

b d2 fcd (momento flector reduzido); k =

x d

= As b d

fyd fcd

(percentagem mecnica de armadura)

Fc = Fs0.8 (kd) bfcd=Asfydk = 1.47 As

b d

fydfcd

= 1.47 ( =0.85)085).85)

Visto que Rd = (1 - 0.4k) e substituindo o resultado anterior, obtm-se a seguinte

expresso para clculo do momento flector reduzido em funo da percentagem

mecnica de armadura:

Rd = (1 - 0.588 )


44

4.5.3 UTILIZAO DE TABELAS

As tabelas podem ser utilizadas para:

i) Determinar o momento resistente de uma seco, dadas as armaduras;

ii) Determinar as armaduras, dado o momento solicitante

4.5.3.1 Determinao da capacidade resistente (Anlise)

Dado As1 e As2 determina-se e Tabelas

()

MRd = b d2fcd

4.5.3.2 Dimensionamento de armaduras

Dado Msd determina-se =Msd

b d2 fcd

Tabelas

() 1 As1 = 1 bd

fcdfyd

As2 = As1

Refira-se que as tabelas da disciplina foram desenvolvidas para = 0.85

Notas:

(i) No dimensionamento de uma seco, a posio da L.N. deve ser controlada por

forma a que se tenha a garantia de um nvel de ductilidade adequado.

Caso isso no acontea, ser conveniente dispor de armaduras de compresso

especficas ou modificar a seco da viga (aumentar a altura mais eficiente que

adaptar a largura, no entanto, na prtica do projecto, a altura est muitas vezes mais

condicionada).

(ii) Numa viga, existe, de qualquer forma, sempre armadura de compresso, por

razes construtivas, em geral, com um nvel no inferior a = 0.1.

Directamente atravs dos valores adimensionais do momento (), e no considerando

o papel da armadura de compresso, possvel ter, para uma dada seco, uma

noo do nvel de esforo actuante e da potencial ductilidade.

Momento elevado k prximo de 0.668 (A400) s prximo de yd

0.30 (seco pouco dctil)

Momento mdio k < 0.5 (seco dctil, dimensionamento adequado)

0.10 a 0.25

Momento pequeno 0.10 (situao aceitvel, a seco estar folgada)

IMPORTANTE: Estes valores devem ser tomados como referncia para um

dimensionamento adequado e no como imposies regulamentares ou outras. Por


45

exemplo, possvel ter valores de mais elevados e ter-se, ainda, um nvel de

ductilidade adequado, com utilizao de armadura de compresso.

No quadro seguinte, e para a flexo simples, apresentam-se as relaes de

dimensionamento - relativas aplicao do REBAP ( = 0.85) e do EC2 ( = 1)

com relaes constitutivas dos aos de acordo com as Classes A, B e C.

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

0,35

0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45

EC2 - k=1,00

EC2 - Classe A - k=1,05

EC2 - Classe B - k=1,08

EC2 - Classe C - k=1,15

EC2 - Classe C - k=1,35

REBAP

Verifica-se que as diferenas nos valores resistentes so pouco significativas, sendo a

maior entre o REBAP (linha inferior) e o EC2, tomando a classe de ao C com k = 1.35

(linha superior).

As diferenas mais importantes so devidas considerao do aumento da resistncia

do ao para alm da cedncia (coeficiente k). Refira-se que na prtica seria sempre

desajustado tomar para o ao C um valor superior a k = 1.15 pois, havendo a

possibilidade deste variar entre 1.15 e 1.35, ter-se-ia que tomar, sempre, o menor.

O facto de se adoptar para o beto o coeficiente 0,85 (em vez do 1), s tem

influncia relevante para esforos elevados, pois a comea a ter alguma influncia a

diminuio do brao das foras, devido ao aumento da zona das compresses.


46

4.6 ESTIMATIVA DO MOMENTO RESISTENTE

d

Fc

Mz

FsAs

Para momentos de ordem de grandeza pequena a mdia verifica-se que, para

seces rectangulares, razovel admitir, de umas forma simplificada: z 0.9 d.

M = Fsz Asfyd 0.9 d As = M

0.9 d fyd

De facto, pela observao das tabelas de flexo simples (pg. 9), com = 0, verifica-

se que:

para = 0.15, z (1 - 0.4 k) d = (1 - 0.4 x 0.247) d = 0.9 d

para < 0.15, z > 0.9 d, portanto a hiptese anterior conservadora para o

dimensionamento da armadura.

para > 0.15, z < 0.9 d, ento a hiptese referida, com pouca armadura de

compresso, pode ser menos conservadora. No entanto, mesmo para um valor

de da ordem de 0.25 e para um = 0.4tem-se tambm k = 0.247, e, por

conseguinte, z 0.9 d.

CONCLUSO IMPORTANTE:

Verifica-se, assim, que dentro da gama de valores de momentos, correntemente

recomendados e utilizados na prtica, esta hiptese simplificativa permite uma rpida

e eficiente estimativa dos momentos flectores resistentes.

Para a resoluo de problemas em geral e para a prtica de projecto, formas simples

de avaliao e controlo de resultados so de inestimvel valor.


47

RESOLUO DO EXERCCIO 3 (CONT.)

ALNEA A.2)

Fs = As fyd

z 0.9d M 0.9 d fyd AsAs =

M 0.9 d fyd

M+sd = 660.2kNm As = 660.2

0.9 0.8 348103 104 = 26.34cm2

M -sd = 272.0kNm As = 272.0

0.9 0.8 348103 104 = 10.86cm2

ALNEA A.3)

Seco S2 (M +sd

= 660.2 kNm)

= Msd

b d2 fcd=

660.2

0.30.8216.7103 = 0.206 = 0.241; k = 0.351

As = bd fcd fyd

= 0.241 0.30 0.80 16.7 348

104 = 27.76 cm2

Seco S1 (M -sd = 272.0 kNm)

= 272.0

0.3 0.82 16.7103 = 0.085 = 0.091; k = 0.163

As = bd fcd fyd

= 0.091 0.30 0.80 16.7 348

104 = 10.48cm2

importante comparar os resultados obtidos pelos dois mtodos, e perceber,

como referido no texto, que se for limitado, razovel assumir a metodologia

simplificada.


48

4.7 PARMETROS QUE INFLUENCIAM O VALOR DO MOMENTO RESISTENTE

Armadura de traco

z

As Fs

MRd

Fc

2Fs

< z

2Fc

2As

O momento resistente quase proporcional rea de armadura, para momentos no

muito elevados. Para momentos elevados, a variao menos significativa.

Armadura de compresso

As1

Fc

z

Fs1

Fc

MRd

Fs1

z

As1

As2Fs2

A influncia da armadura de compresso no valor do momento resistente, apenas

importante para esforos elevados. Para o nvel de esforos usuais, a variao

pouco significativa.

Largura da seco

FcFc

z

Fs

z

As Fs

MRd

As

A influncia da largura da seco no valor do momento resistente, apenas

importante para esforos elevados. Para esforos habituais, em que geralmente a rea

comprimida limitada, a variao pouco significativa.


49

Classe do beto

Fc

MRd

FsFsAs

z z

Fc

As

A influncia do aumento da classe do beto tem uma influncia equivalente dos

parmetros anteriores, largura da seco e/ou armadura de compresso, portanto s

se torna importante para esforos mais significativos, alis de uma forma equivalente

ao facto de se considerar ou no o coeficiente = 0.85.

4.8 DIMENSIONAMENTO DE SECES COM OUTRAS FORMAS

4.8.1 LARGURA EFECTIVA DE UMA SECO EM T

No dimensionamento de vigas com banzos ou com ligao a lajes, pode tirar-se

partido da existncia dos banzos, principalmente se se situarem na zona comprimida

da seco.

b1 b2bw

h f

d0

Neste caso, a distribuio de tenses no banzo no uniforme: as zonas laterais

deformam-se menos que a zona central da alma (devido deformao por corte)

efeito de shearlag, tal como se pode observar na planta e corte ilustrados de

seguida.

Simplificadamente, considera-se uma largura efectiva (bef) onde se admite que a

distribuio de tenses uniforme

Fc


50

M

x,max

bef

4.8.1.1 Avaliao da largura efectiva

(i) Banzo comprimido

bw

hf

bef

bef1 bef2

b1b1 b2 b2

b

Para o caso genrico apresentado na figura anterior, a largura efectiva pode ser obtida

atravs da expresso:

bef = befi + bw b

Temos, assim, a largura da alma e um valor complementar de cada lado, tal que:

befi = 0.2 bi + 0.1 L0 0.2 L0, com befi b

L0 representa a distncia entre pontos de momento flector nulo e pode ser

avaliado por:

0.7 L2

L2

L0 L1+0.15L2

L1 L3

0.15(L2+L3) 0.85 L3

Evidentemente que, em termos prticos possvel simplificar esta avaliao, desde

que se estime um valor inferior, pois conservativo e pouco significativo em termos do

resultado.

(ii) Banzo traccionado

No caso de se tratar de um banzo traccionado, proposto tomar, para alm da alma

da viga, uma largura funo da espessura do banzo dada por 4hf (hf espessura do


51

banzo) em que as armaduras de traco podem ser distribudas. No entanto, se for

possvel, em termos de pormenorizao, uma soluo com todas as armaduras de

clculo na largura da alma prefervel. De qualquer maneira, deve se procurar sempre

ter pelo menos, 50 a 60 % da armadura de clculo na alma.

4.8.2 DIMENSIONAMENTO DE SECES EM T POR TABELAS

Esta metodologia verifica-se ser, em geral, um pouco fastidiosa, pois exige a consulta

de vrias tabelas e realizao de interpolaes, podendo em geral ser evitada, em

particular se se verificar que a Linha Neutra se encontra no banzo comprimido.

Exemplo com indicao do processo de interpolao:

b bw

= 5 ; hf d

= 0.125

b bw

= 4

hf/d = 0.10 1

a

hf/d = 0.15 2

b bw

= 6

hf/d = 0.10 3

b hf/d = 0.15

4

Casos particulares:

Dado que se considera que o beto no resiste traco, o dimensionamento de uma

seco em T pode ser efectuado como se esta se tratasse de uma seco

rectangular nos seguintes casos:

(i) se a linha neutra estiver no banzo, caso este esteja comprimido (acontece na

generalidade dos casos) seco rectangular de largura bef;

bef

bw

LN

As

M

Fs

Fc

As

LN

bef

M

Fc

Fs


52

(ii) se a linha neutra estiver na alma e o banzo estiver traccionado seco

rectangular de largura bw

M

As

LN

bw

bef

Fc

Fs

Fc

bw

Fs

LN

As

M

RESOLUO DO EXERCCIO 3 ALNEA A3 CONSIDERANDO A SECO EM T

Dimensionamento das armaduras considerando a contribuio da laje compresso

Viga em T

bw

bef

h f

h

hf = 0.15 m

h = 0.85m

bw = 0.30m

bef = befi + bw = 1.22 2 + 0.30 = 2.74 m

bef1 = 0.2 b1 + 0.1 L0 = 0.2 3.72

+ 0.1 0.85 10 = 1.22 m 1.7m

0.2 L0 = 0.2 0.85 10 = 1.7 m

Hipteses para o dimensionamento da seco, para momentos positivos:

(i) Se a L.N. estiver no banzo da seco, o dimensionamento pode ser efectuado como

se a seco fosse rectangular, de largura bef.

(ii) Se a L.N. estiver na alma da seco, o dimensionamento dever de ser efectuado

com base em tabelas de seco em T (ou recorrendo ao mtodo do diagrama

rectangular simplificado).

Para verificar se a L.N. est no banzo,

MSd = 660.2kNm = 660.2

2.740.8216.7103 = 0.023 k = 0.076

x = k d = 0.076 0.8 = 0.06 m 0.15 m a LN est claramente no banzo


53

= 0.023 = 0.024 As = b d fcdfyd

= 0.024 2.74 0.8 16.7348

104 = 24.77cm2

importante comparar este resultado com o obtido anteriormente e verificar que neste

caso se obteve um valor inferior, em aproximadamente 10%, em relao ao da

considerao da viga rectangular. Isto deve-se ao facto de neste caso se poder dispor

de um brao maior. Note-se, que a hiptese de considerar a seco como rectangular,

conservativa em termos de verificao da segurana.

4.8.3 SIMPLIFICAO DE SECES PARA EFEITOS DE DIMENSIONAMENTO FLEXO

SIMPLES

1) Seco real

b

b'

bw

b

b'

2bw

2) Seco real

bw

b

b

2bw

3) Seco real

bw

b

bw

b


54

Seces a considerar no dimensionamento flexo

1)

b'

b

2bw

M M

bb'

(se a LN estiver no banzo) (se a LN estiver no banzo)

Nota: Se a LN estiver na alma da seco, o dimensionamento poder ser efectuado

com base numa seco em T (considerando a existncia do banzo que estiver

comprimido, e desprezando o banzo traccionado)

2) e 3)

bw

b

bw

M

b

M

(se a LN estiver na alma) (se a LN estiver no banzo)

(se a LN estiver na alma) (se a LN estiver no banzo)


55

Exerccio 4

Considere a estrutura da figura seguinte:

S1S2

10.00 3.50

cp

3.50

sc

1.00

1.00

0.20 0.20

0.15


Aces: pp + revest. = 20.0 kN/m

sobrecarga = 40.0 kN/m

Coeficientes de majorao: G = Q = 1.5

a) Determine as armaduras necessrias para garantir o Estado Limite ltimo de flexo

da viga (seces S1 e S2)

b) Pormenorize as armaduras de flexo.


56

RESOLUO DO EXERCCIO 4

ALNEA A)

1. Esforos de dimensionamento

10.003.50 3.50

psd

DMF

[kNm]

(+)

(-) (-)

551.3

573.8

551.3

psd = 1.5 (20 + 40) = 90 kN/m

MsdS1 = -

psd L12

2 = -

90 3.52 2

= -551.3 kNm

MsdS2 =

psd L22

8 - Msd

S1 = 90 102

8 - 551.3 = 573.8 kNm

2. Determinao das armaduras (E.L.U. flexo)

Seco S2 (M +sd = 573.8 kNm)

0.200.20

1.00 Msd

LN LN

1.00

0.40

= Msd

bd2 fcd =

573.8

0.40 0.952 13.3103 = 0.120 = 0.131

As = bd fcd fyd

= 0.131 0.40 0.95 13.3 348.0

104 = 19.03 cm2


57

Seco S1 (M -sd = 551.3 kNm)

Hiptese: a LN encontra-se no banzo da seco

Msd

1.00

1.00

LNLN

1.00

= Msd

bd2 fcd =

551.3

1.0 0.952 13.3 103 = 0.046 k = 0.112

k = x d

x = k d = 0.112 0.95 = 0.106 LN est no banzo

= 0.046 w = 0.048

As = bd fcd fyd

= 0.048 1. 0 0.95 13.3 348.0

104 = 17.42cm2

5 Disposies Construtivas Gerais

As disposies das armaduras nas peas de beto armado so de extrema

importncia quer para a boa resposta estrutural do beto estrutural, quer para

assegurar que durante a construo, em particular no processo de betonagem, se

assegura o posicionamento previsto para os ferros. Referimos agora, e na sequncia

as bases relativas a estas disposies.

Poderemos, talvez, diferenciar entre armaduras principais e secundrias, mas acima

de tudo preciso compreender que o importante a eficincia final do conjunto.

Armaduras principais: Asseguram a resistncia do elemento estrutural relativamente

segurana rotura (no s de flexo, como vimos anteriormente, mas tambm a

outros efeitos) e contribuem para assegurar um comportamento adequado nas

condies de servio, como vamos ver noutro Captulo do curso.

Armaduras secundrias: Tm

Documents

Estruturas de Betão I - Folhas de Apoio [IST]