ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS Universidade Federal do Espírito Santo Prof. Pedro Sá Método dos Esforços Deslocamentos em Estruturas Energia Potencial de Deformação:

ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS

Universidade Federal do Espírito Santo

Prof. Pedro Sá

Método dos EsforçosDeslocamentos em EstruturasEnergia Potencial de Deformação:

Nas seções transversais das barras de uma estrutura reticulada atuam os esforços N, Vx, Vy, T, Mx e My,.

Desprezando as deformações devidas aos esforços cortantes, a energia potencial de deformação acumulada num elemento infinitesimal da barra de área A e comprimento dz (variação da energia) é:

yyxx dMdMTdNdwdU 2

1

E

U



Prof. Pedro Sá

Método dos EsforçosDeslocamentos em EstruturasEnergia Potencial de Deformação:

yyxx dMdMTdNdwdU 2

1

,EA

Ndzdw ,

x

xx EI

dzMd

y

yy EI

dzMd ,

GJ

Tdzd

Logo,

y

y

x

x

EI

M

EI

M

GJ

T

EA

N

dz

dU2222

2

1

E

U



Prof. Pedro Sá

Método dos EsforçosDeslocamentos em EstruturasTeorema de Castigliano:

"A derivada parcial da energia potencial de deformação em relação a um esforço qualquer é igual ao deslocamento do ponto de aplicação do esforço na sua direção."

11 P

U

1

1 M

U

P1 P2

M1d1 q1



Prof. Pedro Sá


iiPU 2

1

P1 P2

d1 d2

112

1dP

P

UPdUU ii

112

1 ddPdU

P1 P2

d1 d2

dP1

dd1 P1

P2

d1d2

dP1dd

1 1111 2

1

2

1 dPPddPUdU ii dP1

dd1

Introduzindo um incremento dP1:

Acrescentando o sistema original:



Prof. Pedro Sá


112

1dP

P

UPdUU ii

1111 2

1

2

1 dPPddPUdU ii Igualando as duas expressões

111111 2

1

2

1

2

1 dPPddPdPP

UP iiii

desprezível

11 P

U



Prof. Pedro Sá

Método dos EsforçosDeslocamentos em EstruturasIntegrais de Mohr:

O teorema de Castigliano somente permite determinar o deslocamento do ponto de aplicação de um esforço na sua direção. Para se determinar os deslocamentos de qualquer ponto em qualquer direção pode-se utilizar o seguinte recurso:

Integrais de Mohr:

- aplica-se um esforço virtual no ponto desejado, na direção desejada;

- determina-se a energia de deformação do sistema em função deste esforço;

- aplica-se o teorema de Castigliano;

- e anula-se o esforço virtual.



Prof. Pedro Sá


Seja N, T, Mx e My os esforços internos numa seção, decorrentes de um sistema de esforços externos aplicados em uma estrutura e

N, T ,Mx, My os esforços internos decorrentes de um esforço virtual unitário aplicado na direção onde se deseja avaliar o deslocamento.

dz

EI

EMM

EI

EMM

GJ

ETT

EA

ENNU

y

vyy

x

vxxvv

2222

2

1

onde Ev é o esforço virtual.



Prof. Pedro Sá


dz

EI

EMM

EI

EMM

GJ

ETT

EA

ENNU

y

vyy

x

vxxvv

2222

2

1

dz

EI

MEMM

EI

MEMM

GJ

TETT

EA

NENN

dE

dU

y

yvyy

x

xvxxvv

v

dzEI

MM

EI

MM

GJ

TT

EA

NN

dE

dU

y

yy

x

xx

Evv 0

Exercícios

As integrais de Mohr constituem o chamado Método da Carga Unitária.



Prof. Pedro Sá

Método dos EsforçosDeslocamentos em EstruturasTeorema da Reciprocidade (Betti-Maxwell):

"O trabalho realizado por um esforço, durante o deslocamento do seu ponto de aplicação, devido à ação de outro esforço qualquer é igual ao trabalho realizado pelo segundo esforço, durante o deslocamento do seu ponto de aplicação, devido à ação do primeiro esforço."

P1

d11 d21

d22d12

P2 12111

22212

deslocamento do ponto 1

deslocamento do ponto 2

dij: deslocamento do ponto i provocado pela ação de Pj

212121 PP



Prof. Pedro Sá

Método dos EsforçosDeslocamentos em EstruturasTeorema da Reciprocidade (Betti-Maxwell):Pelo Princípio da Superposição dos Efeitos,

P1

d11d21

aplicando-se inicialmente P1 e posteriormente P2

P1

d11 d21

d22d12

P2

1112

1 PU 1212221112

1 PPPU

P2

d12 d22

P2

d12 d22

P1

d11 d21

2222

1 PU 2122221112

1 PPPU

aplicando-se inicialmente P2 e posteriormente P1



Prof. Pedro Sá

Método dos EsforçosDeslocamentos em EstruturasTeorema da Reciprocidade (Betti-Maxwell):Igualando os trabalhos realizados nas duas situações de carregamento,

P1

d11 d21

d22d12

P2

1212221112

1 PPPU

P2

d12 d22

P1

d11 d21

2122221112

1 PPPU

212222111121222111 2

1

2

1 PPPPPP 212121 PP (reciprocidade dos trabalhos)



Prof. Pedro Sá

Método dos EsforçosDeslocamentos em EstruturasTeorema da Reciprocidade (Betti-Maxwell):Se P1 = P2, 2112 (reciprocidade dos deslocamentos)

"O deslocamento do ponto 1 devido à ação de um esforço aplicado no ponto 2 é igual ao deslocamento do ponto 2 devido à ação de igual esforço aplicado no ponto 1."

P

d1

2 P

d

1

2

M

q

1 2

Mq

1 2



Prof. Pedro Sá

Método dos EsforçosFormulação do MétodoSeja a viga abaixo representada.O seu grau de hiperestaticidade é: enimrg

,3r ,2i ,3m ,2e ,4n

42323 g

1g

SP

X1 é o hiperestático, isto é, o esforço incógnito abundante.

X1



Prof. Pedro Sá

Método dos EsforçosFormulação do MétodoA Equação de Compatibilidade dos Deslocamentos é:

,01

onde d1 é o deslocamento, na direção de X1, da seção onde foi retirado o apoio.

Usando o PSE,

X1

X1

= +

carregamento real

hiperestático



Prof. Pedro Sá

Método dos EsforçosFormulação do MétodoPara cada um destes carregamentos, a seção onde foi retirado o apoio se deslocará.

carregamento real

hiperestático

d10

d11X1

d10 é o deslocamento, na direção de X1, devido ao carregamento real na viga ed11 é o deslocamento, na direção de X1, devido ao hiperestático X1 = 1.

01



Prof. Pedro Sá

Método dos EsforçosFormulação do MétodoAssim,

0111101 X11

101

X

Os demais esforços incógnitos (reações de apoio e esforços internos) são, então, calculados pela Equações de Equilíbrio da Estática aplicáveis.

Os deslocamentos d10 e d11 são determinados pelo Método da Carga Unitária.

01



Prof. Pedro Sá

Método dos EsforçosFormulação do MétodoUsando o SP abaixo, a equação de compatibilidade dos deslocamentos será:

X1

de11 ou 011 de

SP

onde d1

e é o deslocamento angular, na direção de X1, da seção onde foi introduzida a rótula, na parte esquerda ed1

d é o deslocamento angular, na direção de X1, da seção onde foi introduzida a rótula, na parte direita.



Prof. Pedro Sá

Método dos EsforçosFormulação do Método

= +

carregamento real

hiperestático

X1

X1

d10e d10

d

carregamento real

hiperestático

d11eX1 d11

dX1

Usando o PSE,

Deslocamentos no SP:d10

e – d10d

é o deslocamento, na direção de X1, devido ao carregamento real ed11

e – d11d é o deslocamento, na direção

de X1, devido ao hiperestático X1 = 1.

011 de



Prof. Pedro Sá

Método dos EsforçosFormulação do MétodoLogo,

011111101011 Xdedede 11

101

X

Esta formulação é a base do processo denominado Equação dos Três Momentos, aplicável a vigas contínuas.

Os deslocamentos d10, e d11 são determinados pelo Método da Carga Unitária.

Os demais esforços incógnitos (reações de apoio e esforços internos) são ,então, calculados pela Equações de Equilíbrio da Estática aplicáveis.

de101010

de111111

onde

011 de



Prof. Pedro Sá

Método dos EsforçosFormulação do MétodoSeja o pórtico abaixo representado.O seu grau de hiperestaticidade é: enimrg

3r

3i

6m

3e

6n

63633 g

3g

Vy Mx

N N Vy

Mx

SP

X2 X3

X1X1 X2

X3

X1 = N, X2 = Vy, X3 = Mx são os hiperestáticos.



Prof. Pedro Sá

Método dos EsforçosFormulação do MétodoAs Equações de Compatibilidade dos Deslocamentos são:

SP

X2 X3

X1 X1 X2

X3

de11 de22 de33

ou

ou

ou

011 de

022 de

033 de

onde

die é o deslocamento, na direção de Xi,

da seção cortada, na parte esquerda edi

d é o deslocamento, na direção de Xi, da seção cortada, na parte direita.d1

e, d1d

, d2e e d2

d são deslocamentos lineares enquanto d3

e e d3d são deslocamentos

angulares



Prof. Pedro Sá

Método dos EsforçosFormulação do MétodoUsando o PSE,

X2 X3

X1 X1 X2

X3 = X1X1

X2

X2

X3X3+ + +

(a) (b) (c) (d)

(a): SP submetido ao carregamento real da estrutura hiperestática;(b): SP submetido ao hiperestático X1;(c): SP submetido ao hiperestático X2;(d): SP submetido ao hiperestático X3.



Prof. Pedro Sá

Método dos EsforçosFormulação do MétodoPara cada um destes carregamentos a seção cortada se deslocará, à esquerda e à direita.

d10e

X

Y

ZSG

d10d d20

d

d30e

d20e

d30e

di0e – di0

d é deslocamento da seção cortada, na direção de Xi, devido ao carregamento real;

d1jeXj

X

Y

ZSG

d1jdXj

d2jdXj

d3jeXj

d2jeXj d3j

eXj

dije – dij

d é deslocamento da seção cortada, na direção de Xi, devido ao hiperestático Xj = 1.



Prof. Pedro Sá

Método dos EsforçosFormulação do MétodoA equação geral de compatibilidade de deslocamentos é ou0 d

iei

,0,1

00

gj

jdij

eij

di

ei

di

ei X

onde g é o grau de hiperestaticidade da estrutura.

Assim, para o pórtico plano do exemplo, tem-se o seguinte sistema de equações lineares:

031321211110 XXX

032322212120 XXX

033323213130 XXX

di

eii 000

dij

eijij

ondeOs deslocamentos di0, e dij são determinados pelo Método da Carga Unitária.



Prof. Pedro Sá

Método dos EsforçosFormulação do MétodoDeterminação de Deslocamentos:

Como o SP equivale à estrutura hiperestática, estática e geometricamente, os deslocamentos dos pontos das seções desta estrutura são exatamente os mesmos verificados no SP.

Logo, após conhecidos os hiperestáticos, pelo Método dos Esforços, pode-se determinar qualquer deslocamento em qualquer seção da estrutura hiperestática, pelo Método da Carga Unitária, na seção equivalente no SP.

d = ?

X1d

Exercícios



Prof. Pedro Sá

Método dos EsforçosFormulação do MétodoEquação dos Três Momentos:

O processo denominado Equação dos Três Momentos é aplicável a vigas contínuas. Advém do Método dos Esforços, tomando-se, como SP, a viga isostática derivada da viga contínua dada por introdução de rótulas sobre os apoios intermediários.

viga contínua

SP

R1 R2 R3 R4 R5

L1 L2 L3 L4

M5M1

X3=M4X2=M3X1=M2

R1 R2 R3 R4 R5

L1 L2 L3 L4

M5M1 g = n-2, onde n é o número de apoios da viga.



Prof. Pedro Sá


O SP é um conjunto de vigas biapoiadas submetidas ao carregamento real e aos hiperestáticos Xi=Mi+1.

As equações de compatibilidade dos deslocamentos serão

ou onde i = 1, n-2.

0 di

ei

,0,1

00

gj

jdij

eij

di

ei X

Como todos os hiperestáticos são momentos fletores, os deslocamentos são rotações.

Assim, ou011 di

ei

di

ei

2,111,11,10,10,1 0

njj

dji

eji

di

ei M



Prof. Pedro Sá


i = 1, n-2. ,02,1

11,11,10,10,111

nj

jd

jie

jidi

ei

di

ei M

011,21,222222202022 nd

ne

ndedede MM

011,11,122,12,10,10,111 nd

nne

nndn

en

dn

en

dn

en MM

011,1,22200 ndni

eni

di

ei

di

ei

di

ei MM

...........................................................................

Desenvolvendo as equações acima:

...........................................................................



Prof. Pedro Sá


As rotações à esquerda e à direita do nó j são determinadas como indicado abaixo.

011,1,22200 ndni

eni

di

ei

di

ei

di

ei MM

Li-1

MiMi-1

Li

Mi+1Mi

di 1 e

i

MiMi-1

di

ei 1

Mi+1Mi

Assim, a equação acima se resume a

011,11,00 idiii

dii

eiii

eii

di

ei MMM (Equação dos Três Momentos)



Prof. Pedro Sá

Método dos EsforçosFormulação do MétodoEquação dos Três Momentos: 011,11,00 i

diii

dii

eiii

eii

di

ei MMM

:00di

ei e rotações, no SP, à esquerda e à

direita do nó i, respectivamente, devidas ao carregamento real.

:1,eii rotação, no SP, à esquerda do

nó i, devida a Mi-1=1.

:1,dii rotação, no SP, à direita do nó i,

devida a Mi+1=1.

:dii

eii e rotações, no SP, à esquerda e à

direita do nó i, respectivamente, devidas a Mi=1.

eio

Li-1

Mi-1=1

eii 1,

Li-1Mi=1

eii

Li-1

dio

Li

Mi=1

dii

Li Mi+1=1

dii 1,

Li



Prof. Pedro Sá

Método dos EsforçosFormulação do MétodoEquação dos Três Momentos: 011,11,00 i

diii

dii

eiii

eii

di

ei MMM

Resolvendo pelo Método da Carga Unitária ou por qualquer outro método (integração da linha elástica ou Analogia de Mohr):

1

11, 6

ix

ieii EI

L ix

idii EI

L

61, 1

1

3

ix

ieii EI

L ix

idii EI

L

3

Assim, a equação fica:

06336 1

1

11

1

100

i

ix

ii

ix

i

ix

ii

ix

idi

ei M

EI

LM

EI

L

EI

LM

EI

L

00

Convenção de Sinais:

ou

di

eii

ix

ii

ix

i

ix

ii

ix

i MEI

LM

EI

L

EI

LM

EI

L001

1

11

1

1 62

A cada apoio interno

corresponde uma equação.



Prof. Pedro Sá


Observações:

a) Utilizando os valores absolutos das rotações devidas ao carregamento real, a equação fica:

di

eii

ix

ii

ix

i

ix

ii

ix

i MEI

LM

EI

L

EI

LM

EI

L001

1

11

1

1 62

b) Caso as rotações sejam calculadas pela Analogia de Mohr, corresponderão às reações nos apoios da viga conjugada. A equação, então, fica:.

di

ei 00 e

di

eii

ix

ii

ix

i

ix

ii

ix

i RRMEI

LM

EI

L

EI

LM

EI

L

62 1

1

11

1

1



Prof. Pedro Sá


Observações:

R1 R2 R3

L1 L2 L3

M1 M3

R1 R2 R3

L1 L2

M1

V3d

d) Caso haja um balanço, pode-se reduzir as cargas no balanço ao apoio correspondente.

c) Se a rigidez EIx for constante, a equação se simplifica:

di

eixiiiiiii EIMLMLLML 001111 62

di

eixiiiiiii RREIMLMLLML 62 1111

ou



Prof. Pedro Sá


Observações:

dx

L

EIMM 10

1

121

62

e) Caso haja um engaste em alguma extremidade, haverá mais uma incógnita (o momento fletor no engaste) e a equação de compatibilidade de deslocamentos correspondente será

01

0n

para engaste no primeiro apoio ou

para engaste no último apoio. e

nn

nxnn L

EIMM 0

1

11

62

Estas expressões podem ser obtidas da equação geral, considerando no primeiro caso, e no segundo.

,001 eiiL

,00 diiL



Prof. Pedro Sá

Método dos EsforçosFormulação do Método

Fim do Capítulo

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