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ESTUDO BIDIMENSIONAL DA INTERAÇÃO DINÂMICA

ESTRUTURA-SOLO-ESTRUTURA

Marco Felipe Fialho Santos

Projeto de Graduação apresentado ao

Curso de Engenharia Civil da Escola

Politécnica, Universidade Federal do Rio de

Janeiro, como parte dos requisitos necessários

à obtenção do título de Engenheiro Civil.

Orientador:

Sergio Hampshire de Carvalho Santos

Rio de Janeiro

Março de 2018

ESTUDO BIDIMENSIONAL DA INTERAÇÃO DINÂMICA

ESTRUTURA-SOLO-ESTRUTURA


PROJETO DE GRADUAÇÃO SUBMETIDO AO CORPO DOCENTE DO CURSO

DE ENGENHARIA CIVIL DA ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE

FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS

NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE ENGENHEIRO CIVIL.

Examinado por:

___________________________________________

Prof. Sergio Hampshire de Carvalho Santos, D.Sc.

___________________________________________

Prof. Silvio de Souza Lima, D.Sc.

___________________________________________

Prof. Franciane Conceição Peters, D.Sc.

RIO DE JANEIRO

MARÇO DE 2018

iii

Santos, Marco Felipe Fialho

Estudo Bidimensional da Interação Dinâmica

Estrutura-Solo-Estrutura/ Marco Felipe Fialho Santos. - Rio

de Janeiro: UFRJ/ ESCOLA POLITÉCNICA, 2018.

X, 57 p.: il.; 29,7 cm.

Orientador: Sergio Hampshire de Carvalho Santos

Projeto de Graduação – UFRJ/ POLI/ Engenharia

Civil, 2018.

Referências Bibliográficas: p.57.

1. Análise Dinâmica de Solo. 2. Interação

Estrutura-Solo-Estrutura. 3. Solo Estratificado. I. Santos,

Sergio Hampshire de Carvalho.

II. Universidade Federal do Rio de Janeiro, Escola

Politécnica, Curso de Engenharia Civil. III. Estudo

Bidimensional da Interação Dinâmica Estrutura-Solo-

Estrutura.

iv

AGRADECIMENTOS

Agradeço ao professor Sergio Hampshire, pela orientação e apoio essenciais.

À minha família, por todo suporte, incentivo e amor depositados em mim ao longo

de toda minha jornada.

À Carla Magalhães, por toda paciência, carinho e atenção.

À Helena Fideles, pelas sugestões e auxílio na elaboração deste trabalho.

À professora Franciane Peters e toda equipe do LAMEMO, pelo imenso suporte

concedido a mim.

Aos colegas de faculdade, que tornaram a experiência da graduação algo além de

aulas e livros.

v

Resumo do Projeto de Graduação apresentado à Escola Politécnica/UFRJ como parte

dos requisitos necessários para a obtenção do grau de Engenheiro Civil.

Estudo Bidimensional da Interação Dinâmica Estrutura-Solo-Estrutura


Março/2018

Orientador: Sergio Hampshire de Carvalho Santos

Curso: Engenharia Civil

No âmbito do projeto de fundações de máquinas, frequentemente é

desconsiderada a interação dinâmica entre fundações superficiais, assumindo-se esta

hipótese como favorável à segurança. Também é corrente na prática de projeto tratar um

perfil de solo estratificado como um perfil homogêneo aproximado. Neste contexto, este

trabalho objetiva avaliar a interação dinâmica estrutura-solo-estrutura em meio

estratificado, sob o aspecto bidimensional, para solicitações verticais em fundações

superficiais rígidas, através da implementação de código baseado nos estudos

desenvolvidos por WOLF (1985). Apresenta-se a teoria de propagação de ondas em

meio elástico e homogêneo, definindo-se as equações utilizadas neste estudo. A partir

daquelas, introduz-se as matrizes de rigidez dinâmica, no domínio do número de onda,

para cada camada e o semiplano. A montagem da matriz de rigidez global é definida,

bem como o vetor de carregamentos. Aplicando-se a Transformada de Fourier, compõe-

se a equação matricial que resolve os deslocamentos no domínio espacial. O código é

validado pelos resultados obtidos na literatura. Posteriormente, a rotina é empregada

para definir a rigidez dinâmica da fundação, viabilizando o cálculo da amplificação

dinâmica, imprescindível para avaliação da interação estrutura-solo-estrutura. Por fim,

apresentam-se alguns exemplos práticos.

Palavras-chave: Análise Dinâmica de Solo, Interação Estrutura-Solo-Estrutura, Solo

Estratificado

vi

Abstract of Undergraduate Project presented to POLI/UFRJ as a partial fulfillment of

the requirements for the degree of Civil Engineer.

Two-Dimensional Study of Structure-Soil-Structure Dynamic Interaction


March/2018

Advisor: Sergio Hampshire de Carvalho Santos

Course: Civil Engineering

In the context of machine foundations design, the dynamic interaction between

shallow foundations is often disregarded, being this hypothesis assumed as

conservative. It is also common practice to treat a layered soil profile as an approximate

homogeneous one. In this context, this work aims to evaluate the dynamic structure-

soil-structure interaction in a two-dimensional layered medium, for vertical loads for

rigid surface foundations, by a code implementation based on studies developed by

WOLF (1985). The theory of wave propagation in elastic and homogeneous medium is

presented, defining the equations used in this study. Based on these equations, the

dynamic stiffness matrices, in the wave number domain, are introduced for each layer

and the half-plane. The assembly of the global stiffness matrix is defined, as well as the

vector of loads. Applying the Fourier Transform, the matrix equation that solves the

displacements in the spatial domain is composed. The code is validated by the results

obtained in the literature. Subsequently, the routine is used to define the dynamic

stiffness of the foundation, making possible the calculation of the dynamic

amplification, essential for the evaluation of the structure-soil-structure interaction.

Finally, some practical examples are shown.

Keywords: Soil Dynamic Analysis, Structure-Soil-Structure Interaction, Layered Soil

vii

SUMÁRIO

1 INTRODUÇÃO ................................................................................................. 1

1.1 Motivação ................................................................................................... 1

1.2 Objetivo ...................................................................................................... 1

1.3 Revisão da Literatura .................................................................................. 2

1.4 Organização do Trabalho............................................................................ 3

2 PROPAGAÇÃO DAS ONDAS ......................................................................... 4

2.1 Ondas de volume ........................................................................................ 4

2.2 Ondas de superfície .................................................................................... 5

2.3 Equações de movimento ............................................................................. 6

2.4 Análise no domínio da frequência ............................................................ 10

2.5 Ondas de compressão P ............................................................................ 10

2.6 Ondas de cisalhamento S .......................................................................... 12

2.7 Amortecimento de histerese ..................................................................... 14

2.8 Movimento total ....................................................................................... 16

2.9 Desacoplamento do movimento ............................................................... 16

3 MODELAGEM DO SOLO ............................................................................. 17

3.1 Matriz de rigidez dinâmica do movimento no plano ................................ 17

3.1.1 Rigidez da camada isolada para ondas P e SV ................................... 20

3.1.2 Rigidez do semiplano para ondas P e SV ........................................... 24

3.2 Comentários sobre as matrizes ................................................................. 25

3.3 Arranjo das matrizes de rigidez para movimento no plano ...................... 25

3.4 Carregamento externo superficial harmônico........................................... 27

3.5 Rigidez dinâmica do solo para fundação superficial ................................ 30

3.6 Análise adimensional ................................................................................ 34

4 MODELAGEM COMPUTACIONAL E APLICAÇÕES ............................... 36

4.1 Coeficientes de flexibilidade e deslocamentos translacionais .................. 36

viii

4.1.1 Validação do modelo .......................................................................... 38

4.1.2 Comentário sobre integração numérica em k ..................................... 40

4.2 Impedâncias adimensionais ...................................................................... 41

4.2.1 Comentário sobre integração numérica em x ..................................... 44

4.3 Amplificação dinâmica e interação estrutura-solo-estrutura .................... 44

4.3.1 Exemplo 1a (semiplano) ..................................................................... 47

4.3.2 Exemplo 1b (semiplano) ..................................................................... 48

4.3.3 Exemplo 2a (d = 5m) .......................................................................... 49

4.3.4 Exemplo 2b (d = 5m) .......................................................................... 50

4.3.5 Exemplo 3a (d = 10m) ........................................................................ 51

4.3.6 Exemplo 3b (d = 10m) ........................................................................ 52

4.3.7 Exemplo 4a (d = 20m) ........................................................................ 53

4.3.8 Exemplo 4b (d = 20m) ........................................................................ 54

5 CONSIDERAÇÕES FINAIS........................................................................... 55

6 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS............................................................. 57

ix

LISTA DE FIGURAS

Figura 2.1 – Onda primária. (BOLT, 2018) ..................................................................... 4

Figura 2.2 – Onda secundária. (BOLT, 2018) .................................................................. 5

Figura 2.3 – Onda de Love. (BOLT, 2018) ...................................................................... 5

Figura 2.4 – Onda de Rayleigh. (BOLT, 2018) ................................................................ 6

Figura 2.5 – Tensões num elemento infinitesimal, pertencente a um meio elástico

infinito. (CHALRÉO, 2012) ............................................................................................. 6

Figura 2.6 – Deslocamentos associados a ondas P. (SOLDAN, 1999) .......................... 11

Figura 2.7 – Deslocamentos associados a ondas S. (SOLDAN, 1999) .......................... 13

Figura 2.8 – Ciclo de histerese para materiais elásticos. (LIMA e SANTOS, 2008) ..... 15

Figura 3.1 – Nomenclatura da camada para o movimento no plano. (WOLF, 1985) .... 18

Figura 3.2 – Cargas nas interfaces no movimento no plano. (AUTOR, 2018) .............. 26

Figura 3.3 – Faixa de fundação com carregamento uniformemente distribuído. (WOLF,

1985) ............................................................................................................................... 28

Figura 3.4 – Malha na interface solo-estrutura. (a)Elementos; (b)Cargas aplicadas;

(c)Deslocamentos (WOLF, 1985) .................................................................................. 31

Figura 4.1 – Perfil de solo genérico proposto para análise do modelo. (AUTOR, 2018)

........................................................................................................................................ 37

Figura 4.2 – Caso 1: Parte real do coeficiente de flexibilidade Fww. (AUTOR, 2018) .. 39

Figura 4.3 – Caso 1: Parte imaginária do coeficiente de flexibilidade Fww. (AUTOR,

2018) ............................................................................................................................... 39

Figura 4.4 – Caso 1: Deslocamento vertical superficial w(x). (AUTOR, 2018) ............ 40

Figura 4.5 – Caso 2: Rigidez dinâmica do perfil - Coeficiente de mola. (AUTOR, 2018)

........................................................................................................................................ 43

Figura 4.6 – Caso 2: Rigidez dinâmica do perfil - Coeficiente de amortecimento.

(AUTOR, 2018) .............................................................................................................. 43

Figura 4.7 – Esquema para o problema de interação estrutura-solo-estrutura. (AUTOR,

2018) ............................................................................................................................... 45

Figura 4.8 – Exemplo 1a: Amplificação dinâmica vs. Frequência Adimensional.

(AUTOR, 2018) .............................................................................................................. 47

Figura 4.9 – Exemplo 1b: Amplificação dinâmica vs. Frequência Adimensional.

(AUTOR, 2018) .............................................................................................................. 48

x


(AUTOR, 2018) .............................................................................................................. 49


(AUTOR, 2018) .............................................................................................................. 50


(AUTOR, 2018) .............................................................................................................. 51


(AUTOR, 2018) .............................................................................................................. 52


(AUTOR, 2018) .............................................................................................................. 53


(AUTOR, 2018) .............................................................................................................. 54

1

1 INTRODUÇÃO

1.1 Motivação

Atualmente, o emprego de máquinas é notório nas mais diversas atividades

produtivas. No tocante a máquinas pesadas, tais como geradores, motores elétricos,

turbinas a gás etc., o projeto de fundações não deve contemplar apenas o aspecto

estático, mas o dinâmico também. Neste tipo de projeto, não só a tipologia estrutural e

as características do solo subjacente são imprescindíveis para definição da solução,

como também a natureza das solicitações dinâmicas oriundas da operação do

maquinário.

Na prática corrente de projeto de fundações de máquinas, costuma-se desconsiderar

o efeito da interação entre máquinas operando em proximidade. Esta premissa é tomada

como sendo a favor da segurança por engenheiros e técnicos da área. No que concerne à

tratativa do perfil estratigráfico, muitas vezes faz-se necessária a homogeneização do

mesmo, uma vez que a maioria dos métodos disponíveis para a modelagem tem por

hipótese um solo homogêneo.

A respeito do último aspecto citado, pode-se mencionar o trabalho de SOLDAN

(1999), que discorre sobre uma abordagem do perfil de solo com várias camadas,

através da implementação da metodologia apresentada por WOLF (1985).

Baseando-se no exposto, as principais motivações deste trabalho são o atendimento

à questão da interação dinâmica estrutura-solo-estrutura e o fornecimento de um meio

de análise do perfil estratigráfico considerando a heterogeneidade de suas camadas,

assim dando continuidade aos estudos de SOLDAN (1999).

1.2 Objetivo

O objetivo principal é o desenvolvimento de uma ferramenta computacional que

viabilize a análise bidimensional da interação dinâmica estrutura-solo-estrutura em

fundações superficiais. O escopo deste estudo compreende carregamentos harmônicos

verticais, uniformemente distribuídos, em razão de serem viáveis para composição de

quaisquer outros tipos de carregamento, empregando-se a Transformada de Fourier.

2

Além disso, são consideradas fundações superficiais rígidas, assentes sobre perfil de

solo estratificado.

Inicialmente, busca-se resolver o problema para a fundação isolada. Conforme

apresentado por WOLF (1985), aplica-se a teoria da propagação de ondas em meio

elástico, apresentando-se as equações básicas utilizadas para modelar a matriz de rigidez

dinâmica do perfil do solo, viabilizando o cálculo da função de influência de

flexibilidade. Calculando-se as médias dos deslocamentos e conhecendo-se as ações que

despertam os mesmos, define-se a rigidez dinâmica da fundação.

Na etapa subsequente, calcula-se o espectro de resposta, através da variação da

frequência de excitação do carregamento, o que permite identificar a frequência crítica

do problema. A fim de avaliar a interação entre os deslocamentos das fundações

próximas, calcula-se a função de influência de flexibilidade gerada para cada frequência,

avaliando-se o deslocamento gerado por cada carregamento em cada fundação. Assim é

possível montar a matriz de flexibilidade do conjunto, cuja inversão fornece os valores

de rigidez das fundações, permitindo a avaliação do fenômeno considerando a interação

entre elas.

1.3 Revisão da Literatura

O tema de interação dinâmica solo-estrutura tem sido objeto de estudo de alguns

especialistas, tais como WOLF (1985), cuja metodologia é referência principal no

desenvolvimento deste projeto. Uma vez que sua abordagem aplica a mesma

metodologia para problemas bidimensionais e tridimensionais, considerou-se um ponto

de partida com potencial para estudos posteriores.

Outros estudiosos, como RICHART et al. (1970), haviam já desenvolvido

anteriormente equações para definir as propriedades físicas do conjunto solo-estrutura

para os seis graus de liberdade conhecidos, no tocante a fundações circulares e

retangulares rígidas. No caso de fundações retangulares, os coeficientes de

amortecimento são calculados pelas fórmulas de fundações circulares, empregando-se

raios equivalentes.

Ainda sobre a análise tridimensional, cita-se WOLF e GAZETAS (1994), que

fornecem também um conjunto de fórmulas para definir as propriedades físicas do

3

sistema dinâmico. Estes autores ainda desenvolveram equações para tratar de fundações

com formas poligonais quaisquer.

As abordagens previamente citadas têm por hipótese um solo homogêneo. Outros

estudos, como os de LUCO (1974) e de GAZETAS (1983), desenvolveram meios de se

analisar perfis de solo com uma ou diversas camadas sobre o semiespaço. Contudo,

nestes dois últimos estudos, a solução é axissimétrica, ou seja, é aplicável apenas a

fundações de forma circular.

1.4 Organização do Trabalho

Este trabalho é composto por seis capítulos, sendo o Capítulo 1 o de Introdução.

O Capítulo 2 versa sobre os fundamentos da propagação de ondas em meio elástico,

apresentando as expressões, em coordenadas cartesianas, que caracterizam as ondas de

compressão e de cisalhamento, abordadas neste estudo. Neste capítulo, também é

apresentada a independência da análise dos deslocamentos no plano vertical e fora dele,

viabilizando a abordagem bidimensional.

O Capítulo 3 apresenta como a modelagem do solo é feita, através da consideração

da matriz de rigidez de cada camada do perfil e do semiplano, arranjando-se cada uma

daquelas matrizes numa matriz global, de maneira similar à abordagem do Método dos

Elementos Finitos. O vetor de carregamentos externos é definido através da mudança de

variável do domínio espacial para o domínio do número de onda, empregando a

Transformada de Fourier.

O Capítulo 4 consolida os conceitos previamente desenvolvidos por meio da

apresentação do programa implementado. A validação do código é feita com base nos

resultados obtidos por WOLF (1985) e reproduzidos por SOLDAN (1999).

Posteriormente, adapta-se o código para considerar existência de duas fundações

simultaneamente, viabilizando a análise da interação entre elas. Apresentam-se alguns

exemplos numéricos.

O Capítulo 5 conclui os estudos feitos neste trabalho, bem como sugere possíveis

continuidades da linha de pesquisa abordada.

O Capítulo 6 enumera as referências bibliográficas deste trabalho.

4

2 PROPAGAÇÃO DAS ONDAS

As ondas sísmicas podem ser originadas por eventos naturais, como é o caso dos

sismos, nos quais uma parcela da energia potencial armazenada sob a forma de

deformação das rochas é liberada. Ondas desta natureza também podem ser oriundas de

solicitações dinâmicas na superfície do solo, tal como ocorre na base das fundações de

máquinas.

Estas ondas podem ser classificadas em dois tipos, a saber: ondas de volume, que

compreendem as ondas primárias ou de compressão e as ondas secundárias ou de

cisalhamento, e as ondas superficiais, que abrangem as ondas de Love e as ondas de

Rayleigh. A seguir é apresentada uma breve descrição destes tipos de onda.

2.1 Ondas de volume

As ondas primárias, também conhecidas como ondas de dilatação volumétrica ou

ondas P, caracterizam-se fundamentalmente pelo movimento das partículas do solo se

desenvolver na mesma direção de propagação da onda, similar ao comportamento de

ondas axiais em uma haste (SANTOS, 2017). A Figura 2.1 ilustra o comportamento

supracitado.

Figura 2.1 – Onda primária. (BOLT, 2018)

As ondas secundárias, também conhecidas como ondas de cisalhamento ou ondas S,

caracterizam-se essencialmente pelo movimento das partículas do solo se desenvolver

perpendicularmente à direção da propagação da onda (SANTOS, 2017). A

representação deste tipo de onda é apresentada na Figura 2.2.

5

Figura 2.2 – Onda secundária. (BOLT, 2018)

2.2 Ondas de superfície

De acordo com SANTOS (2017), as ondas Q – de Love – surgem nos limites

horizontais entre camadas de solo, enquanto que na superfície livre manifestam-se as

ondas R – de Rayleigh.

Segundo aquele autor, as ondas de Love caracterizam-se pelo deslocamento das

partículas do solo perpendicularmente ao eixo horizontal de propagação, dentro de um

plano horizontal (Figura 2.3). No caso das ondas de Rayleigh, sua caracterização se dá

pelo deslocamento das partículas de solo em trajetórias elípticas dentro do plano vertical

que contém a direção horizontal de propagação, conforme a Figura 2.4.

Figura 2.3 – Onda de Love. (BOLT, 2018)

6

Figura 2.4 – Onda de Rayleigh. (BOLT, 2018)

2.3 Equações de movimento

O desenvolvimento apresentado a seguir para a obtenção das equações de

movimento para um meio homogêneo, isotrópico e elástico, é baseado no estudo

original de RICHART et al. (1970), conforme reproduzido por SOLDAN (1999). Neste

estudo, parte-se do equilíbrio de forças num elemento infinitesimal, posteriormente

manipulando-se algebricamente as equações diferenciais e aplicando-se conceitos da

Teoria da Elasticidade, para então estabelecer as equações de movimento do meio.

Figura 2.5 – Tensões num elemento infinitesimal, pertencente a um meio elástico infinito.

(CHALRÉO, 2012)

Empregando-se a Segunda Lei de Newton no elemento da Figura 2.5, busca-se o

equilíbrio entre as forças internas e externas ao elemento, resultando nas seguintes

equações:

∂σxx∂x

+∂σxy

∂y+∂σxz∂z

= ρ∂2u

∂t2 (2.1)

7

∂σyx

∂x+∂σyy

∂y+∂σyz

∂z= ρ

∂2v

∂t2 (2.2)

∂σzx∂x

+∂σzy

∂y+∂σzz∂z

= ρ∂2w

∂t2 (2.3)

onde é a massa específica do meio; u, v e w são os deslocamentos nas direções x, y e z,

respectivamente.

Seguindo a Teoria da Elasticidade, conforme apresentado em VILLAÇA e

TABORDA GARCIA (2006), as expressões que definem as deformações normais e

cisalhantes, equações de (2.4) a (2.9), bem como as Leis de Hooke para o meio

isotrópico, equações de (2.10) a (2.15), são:

εx =∂u

∂x (2.4)

εy =∂v

∂y (2.5)

εz =∂w

∂z (2.6)

γxz =∂u

∂z+∂w

∂x (2.7)

γxy =∂u

∂y+∂v

∂x (2.8)

γyz =∂v

∂z+∂w

∂y (2.9)

εx =1

E[σx − ν(σy + σz)] (2.10)

εy =1

E[σy − ν(σx + σz)] (2.11)

εz =1

E[σz − ν(σx + σy)] (2.12)

γyz =1

Gτyz (2.13)

8

γxy =1

Gτxy (2.14)

γxz =1

Gτxz (2.15)

O problema é regido pelas quinze expressões apresentadas anteriormente, que

relacionam as variáveis envolvidas no movimento da onda: seis tensões, seis

deformações e três deslocamentos. Conforme sugerido por WOLF (1985), para melhor

compreensão dos tipos de onda, são introduzidas a deformação volumétrica de

amplitude e o vetor de distorção {Ω}, sendo as componentes deste vetor as grandezas

Ωx, Ωy e Ωz.

ε = εx + εy + εz =∂u

∂x+∂v

∂y+∂w

∂z (2.16)

Ωx =1

2(∂w

∂y−∂v

∂z) (2.17)

Ωy =1

2(∂u

∂z−∂w

∂x) (2.18)

Ωz =1

2(∂v

∂x−∂u

∂y) (2.19)

∂Ωx∂x

+∂Ωy

∂y+∂Ωz∂z

= 0 (2.20)

A seguir são enumeradas a relação entre o módulo cisalhante G e o módulo de

elasticidade E, expressa na equação (2.21), bem como a expressão da constante de Lamé

λ, definida na equação (2.22).

G =E

2(1 + ν) (2.21)

λ =2Gν

1 − 2ν (2.22)

Através da manipulação das expressões apresentadas até aqui, reescrevem-se as

equações (2.1), (2.2) e (2.3), chegando-se às expressões (2.23), (2.24) e (2.25). A partir

9

da manipulação destas três últimas equações é que serão definidas as expressões da

onda de dilatação volumétrica e da onda de cisalhamento.

(λ + 2G)∂ε

∂x+ 2G(

∂Ωy

∂z−∂Ωz∂y) = ρ

∂2u

∂t2 (2.23)

(λ + 2G)∂ε

∂y+ 2G (

∂Ωz∂x

−∂Ωx∂z) = ρ

∂2v

∂t2 (2.24)

(λ + 2G)∂ε

∂z+ 2G(

∂Ωx∂y

−∂Ωy

∂x) = ρ

∂2w

∂t2 (2.25)

A equação da propagação de ondas de dilatação volumétrica é obtida pela

diferenciação das três últimas expressões por x, y e z, respectivamente, seguida da soma

destas, resultando em:

∂2ε

∂t2= cp

2∇2ε (2.26)

onde ∇2 representa o operador Laplaciano e cp é a velocidade de propagação da onda

primária, como indicado abaixo:

∇2=∂2

∂𝑥2+∂2

∂𝑦2+∂2

∂𝑧2 (2.27)

cp = √λ + 2G

ρ (2.28)

As equações que definem a propagação de ondas de cisalhamento estão associadas

a cada componente do vetor {Ω}. A mérito de síntese, apresenta-se o raciocínio para

obtenção da expressão associada a Ωx, uma vez que as demais são obtidas de modo

análogo. Diferenciando-se a equação (2.24) por z, a equação (2.25) por y e subtraindo-

as, obtém-se a equação de propagação das ondas de cisalhamento na componente x:

∂2Ωx∂t2

= cs2∇2Ωx (2.29)

onde cs é a velocidade de propagação da onda secundária, expressa na equação abaixo:

10

cs = √G

ρ (2.30)

De maneira análoga, chega-se a:

∂2Ω𝑦

∂t2= cs

2∇2Ω𝑦 (2.31)

∂2Ω𝑧∂t2

= cs2∇2Ω𝑧 (2.32)

As ondas superficiais não serão abordadas neste trabalho.

2.4 Análise no domínio da frequência

No estudo desenvolvido por WOLF (1985), as expressões anteriormente

apresentadas são redefinidas, de modo que a análise passa a ser feita no domínio da

frequência. Esta alteração visa o atendimento de excitações harmônicas com frequência

circular ω, em função deste tipo de carregamento ser fundamental na modelagem de

outros de comportamento mais geral.

Priorizando a coesão, a seguir são apresentadas apenas as equações (2.26), (2.29),

(2.31) e (2.32), reescritas no domínio da frequência, conforme as equações (2.33) e

(2.34), respectivamente:

∇2ε = −ω2

cp2ε (2.33)

∇2{Ω} = −ω2

cs2{Ω} (2.34)

2.5 Ondas de compressão P

De acordo com WOLF (1985), a solução da equação (2.33) pode ser verificada pela

função teste (2.35), cuja representação gráfica é apresentada na Figura 2.6:

ε = −iω

cpAp × e

iωcp (−lxx−lyy−lzz)

(2.35)

11

onde:

i: unidade imaginária;

Ap: amplitude da onda primária;

lx, ly e lz: cossenos diretores da direção do movimento da onda P.

Decorre da definição de lx, ly e lz que:

lx2 + ly

2 + lz2 = 1 (2.36)

Figura 2.6 – Deslocamentos associados a ondas P. (SOLDAN, 1999)

A fim de interpretar a função (2.35), lembra-se que o movimento harmônico pode

ser representado pela lei (2.37). Uma onda propagando-se na direção s, com sentido

positivo e velocidade cp, pode ser representada por uma expressão como a lei (2.38).

Comparando-se esta última com a expressão (2.35), chega-se a equação (2.39).

L(t) = eiωt (2.37)

L(t) = eiω(t−

scp) (2.38)

s = lxx + lyy + lzz (2.39)

12

Conforme concluído por WOLF (1985), o produto escalar mostrado na equação

(2.39) indica que a coordenada s é medida na direção do movimento. Também se

conclui que para qualquer tempo t, a amplitude da deformação volumétrica é constante

se s for constante. Em outras palavras, a equação (2.39) é a de um plano normal à

direção de propagação da onda P, o que remete à ideia de frente de onda.

As três componentes do deslocamento, associadas à onda P (índice p), são

apresentadas a seguir, notando-se que a equação (2.16) é satisfeita:

up = lxAp × eiωcp (−lxx−lyy−lzz)

(2.40)

vp = lyAp × eiωcp (−lxx−lyy−lzz)

(2.41)

wp = lzAp × eiωcp (−lxx−lyy−lzz)

(2.42)

2.6 Ondas de cisalhamento S

Analogamente ao que foi feito para as ondas P, WOLF (1985) fornece a função

teste (2.43) como solução da equação (2.34). A Figura 2.7 representa o comportamento

daquela solução.

{Ω} = −iω

2cs{C} × e

iωcs (−mxx−myy−mzz) (2.43)

onde:

{C}: vetor auxiliar associado às amplitudes da onda S nas direções x, y e z;

mx, my e mz: cossenos diretores da direção do movimento da onda S.

Da definição de mx, my e mz, chega-se à equação (2.44). Como consequência da

expressão (2.20), tem-se a equação (2.45). Nesta última, o fato de o produto escalar ser

igual a zero implica no vetor {C} e, consequentemente, no vetor {Ω} serem

perpendiculares à direção de propagação da onda S.

13

mx2 +my

2 +mz2 = 1 (2.44)

mxCx +myCy +mzCz = 0 (2.45)

Figura 2.7 – Deslocamentos associados a ondas S. (SOLDAN, 1999)

As três componentes do deslocamento, associadas à onda S (índice s) são

apresentadas a seguir, notando-se que as equações (2.17), (2.18) e (2.19) são satisfeitas:

us = (mzCy −myCz) × eiωcs (−mxx−myy−mzz) (2.46)

vs = (mxCz −mzCx) × eiωcs (−mxx−myy−mzz) (2.47)

ws = (myCx −mxCy) × eiωcs (−mxx−myy−mzz) (2.48)

Como foi indicado por WOLF (1985), as três últimas equações apontam que os

deslocamentos são proporcionais às componentes do produto vetorial entre {C} e a

direção de propagação da onda S. Isto permite concluir que o movimento de uma

partícula nesta onda permanece num plano perpendicular à direção de propagação, o

que define a onda secundária.

Conforme será justificado mais adiante, o vetor deslocamento da onda S será

decomposto em uma componente horizontal de amplitude ASH (onda SH) e em uma

14

componente com amplitude ASV (onda SV), esta última pertencendo ao plano que

contém o eixo global vertical Z e a direção de propagação da onda. A Figura 2.7

esclarece este ponto.

ASH =Cz

√mx2 +my

2

(2.49)

ASV =mxCy −myCx

√mx2 +my

2

(2.50)

A reformulação dos deslocamentos em termos destas duas amplitudes fica:

us =mxmzASV −myASH

√mx2 +my

2

× eiωcs (−mxx−myy−mzz)

(2.51)

vs =mymzASV +mxASH

√mx2 +my

2

× eiωcs (−mxx−myy−mzz)

(2.52)

ws = −√mx2 +my

2 × ASH × eiωcs (−mxx−myy−mzz) (2.53)

2.7 Amortecimento de histerese

“O amortecimento de histerese acontece devido ao fato de que quando os materiais

são submetidos a tensões cíclicas, a relação tensão-deformação, quando dos ciclos de

carregamento e descarregamento, segue caminhos diferentes”, conforme mostrado na

Figura 2.8 (LIMA e SANTOS, 2008). Segundo estes autores e conforme resultados de

experimentos sugerem, a energia dissipada por este tipo de amortecimento praticamente

independe da frequência de aplicação da carga.

15

Figura 2.8 – Ciclo de histerese para materiais elásticos. (LIMA e SANTOS, 2008)

De acordo com WOLF (1985), ao trabalhar-se no domínio da frequência, pode-se

introduzir o amortecimento de histerese na solução, empregando-se o Princípio da

Correspondência. Este princípio declara que a solução é obtida a partir daquela

associada a um problema elástico, pela substituição de constantes elásticas por suas

correspondentes complexas. Exemplificando, no caso de uma matriz de rigidez estática

[K], aplica-se a seguinte equação:

[K∗] = [K](1 + 2ξi) (2.54)

onde ξ é o coeficiente de amortecimento histerético e [K*] é a matriz de rigidez

correspondente (por convenção, asterisco sempre denotará um valor complexo).

Ainda como apresentado por WOLF (1985), o efeito deste tipo de amortecimento

pode ser diferente para ondas P e ondas S, de modo que são introduzidas as

propriedades complexas do material pelas equações (2.55) e (2.56). Nestas equações, ξp

e ξs referem-se aos coeficientes de amortecimento histerético para ondas primárias e

secundárias, respectivamente. As equações (2.57) e (2.58) definem as velocidades de

propagação complexas.

λ∗ + 2G∗ = (λ + 2G)(1 + 2ξpi) (2.55)

G∗ = G(1 + 2ξsi) (2.56)

16

cp∗ = cp√1 + 2ξpi (2.57)

cs∗ = cs√1 + 2ξsi (2.58)

2.8 Movimento total

As funções teste selecionadas para e {Ω}, equações (2.35) e (2.43),

respectivamente, não representam a solução mais geral para solução da equação de onda,

mas sim, correspondem a ondas planas (WOLF, 1985). Portanto, é razoável assumir que

a propagação das ondas P e S pertencem ao mesmo plano vertical, isto é, o plano X-Z.

Fazendo-se ly = my = 0, somando-se os deslocamentos provocados por ambos os

tipos de ondas e considerando-se o amortecimento, tem-se:

lx2 + lz

2 = 1 (2.59)

mx2 +mz

2 = 1 (2.60)

u = lxAp × eiωcp∗ (−lxx−lzz)

+mzASV × eiωcs∗ (−mxx−mzz)

(2.61)

v = ASH × eiωcs∗ (−mxx−mzz)

(2.62)

w = lzAp × eiωcp∗ (−lxx−lzz)

−mxASV × eiωcs∗ (−mxx−mzz)

(2.63)

2.9 Desacoplamento do movimento

A partir das equações (2.61), (2.62) e (2.63), pode-se concluir que os

deslocamentos associados a u e w dependem apenas da onda P e da onda SV. Por outro

lado, os deslocamentos em v, fora do plano X-Z, são causados pela onda SH, sendo

assim independentes de u e w.

Esta conclusão é fundamental para se estabelecer o estudo bidimensional da rigidez

dinâmica do solo, que será apresentado no Capítulo 3.

17

3 MODELAGEM DO SOLO

Tal como proposto por WOLF (1985), a fim de viabilizar a análise do perfil

estratificado de solo, condições de contorno na superfície, de continuidade entre as

camadas adjacentes e entre a camada mais profunda e o semiplano precisam ser

formuladas.

A construção do modelo é feita de maneira análoga a diversas metodologias de

análise estrutural, tais como o Método dos Deslocamentos e o Método dos Elementos

Finitos, através da montagem das contribuições de rigidez de cada elemento estrutural

formando o sistema global. Para tanto, é necessário calcular as matrizes de rigidez

dinâmica e os vetores de carregamento adequados para cada camada do perfil e do

semiplano, que são os componentes da estrutura modelada neste trabalho.

Visando a aplicação a problemas com carregamentos harmônicos verticais, mais

comuns na prática, serão tratadas a seguir apenas as matrizes de rigidez e vetores de

carregamento associados ao movimento no plano. Isto não compromete nem limita a

análise, em função do desacoplamento do movimento, conforme exposto no Item 2.9.

3.1 Matriz de rigidez dinâmica do movimento no plano

O elemento básico usado para a análise do meio homogêneo estratificado

representa uma camada horizontal com propriedades constantes (SOLDAN, 1999).

Neste projeto, são abordados apenas os carregamentos de natureza superficial. Uma

camada genérica, bem como os seus respectivos carregamentos, é apresentada na Figura

3.1.

A origem do sistema de coordenadas local, com o eixo Z sendo positivo para baixo,

fica localizada no topo da camada de espessura d. A forma das equações (2.61) e (2.63),

correspondentes aos deslocamentos u e w para as ondas P e SV, indica que as condições

de contorno no topo e no fundo da camada variam com as leis (3.1) e (3.2).

u(x) = eiωcp∗ (−lxx)

(3.1)

18

w(x) = eiωcs∗ (−mxx)

(3.2)

Conforme sugerido por WOLF (1985), a fim de se obter independência em relação

a x, permitindo uma análise dependente apenas de z, força-se a seguinte igualdade:

lxcp∗

=mx

cs∗ (3.3)

Figura 3.1 – Nomenclatura da camada para o movimento no plano. (WOLF, 1985)

Uma vez que quatro condições de contorno precisam ser satisfeitas, isto é,

deslocamentos u e w, e tensões σz e τxz, um segundo par de ondas P e SV com a mesma

variação em x, mas em sentido contrário, é introduzido. Estas ondas acrescentadas

podem ser interpretadas como sendo aquelas que são refletidas.

Observando a Figura 3.1, nota-se que ΨP e ΨSV são, respectivamente, os ângulos de

incidência das ondas P e SV, medidos a partir da horizontal no sentido anti-horário.

Desta definição, chega-se às expressões (3.4) e (3.5). Aplicando-se as equações (2.59) e

(2.60), chega-se às expressões (3.6) e (3.7).

lx = cos (ΨP) (3.4)

mx = cos (ΨSV) (3.5)

19

lz = ±√1 − lx2 (3.6)

mz = ±√1 −mx2 (3.7)

Nas duas últimas equações, o sinal negativo antes da raiz corresponde às ondas de

amplitude AP e ASV, que se propagam no sentido negativo do eixo Z, enquanto que o

sinal positivo está associado às ondas de amplitude BP e BSV, propagando-se no sentido

positivo do eixo Z. Os índices P e SV associam-se às ondas P e SV, respectivamente. A

seguir, reformulam-se as equações (2.61) e (2.63):

u(z, x) = lx [AP × eiωzcp∗ √1−lx

2

+ BP × e−iωzcp∗ √1−lx

2

] × eiωcp∗ (−lxx)

−√1 −mx2 [ASV × e

iωzcs∗ √1−mx

2

+ BSV × e−iωzcs∗ √1−mx

2

]

× eiωcs∗ (−mxx)

(3.8)

w(z, x) = −√1− lx2 [AP × eiωzcp∗ √1−lx

2

− BP × e−iωzcp∗ √1−lx

2

] × eiωcp∗ (−lxx)

−mx [ASV × eiωzcs∗ √1−mx

2

+ BSV × e−iωzcs∗ √1−mx

2

]

× eiωcs∗ (−mxx)

(3.9)

Convém introduzir uma notação complementar, levando a análise para o domínio

do número de onda (SOLDAN, 1999):

c =cp∗

lx=cs∗

mx (3.10)

k =ω

c (3.11)

s = −i√1 −1

lx2 = tan (ΨP) (3.12)

t = −i√1 −1

mx2 = tan (ΨSV) (3.13)

20

Das equações (3.10) e (3.11), depreende-se que a velocidade de fase c e o número

de onda k são os mesmos para a onda P e para a onda SV. A fim de otimizar a concisão,

WOLF (1985) renomeia os termos que descrevem a variação com z nas equações (3.8) e

(3.9) por u(z) e w(z), respectivamente. Aquelas equações podem então ser reescritas

como segue:

u(z, x) = u(z) × e−ikx (3.14)

w(z, x) = w(z) × e−ikx (3.15)

onde

u(z) = lx[AP × eiksz + BP × e

−iksz]

− mxt[ASV × eiktz − BSV × e

−iktz] (3.16)

w(z) = −lxs[AP × eiksz − BP × e

−iksz]

− mx[ASV × eiktz + BSV × e

−iktz] (3.17)

Desta forma, pode-se interpretar as funções u(z) e w(z) como as amplitudes das

ondas se propagando na direção do eixo X.

3.1.1 Rigidez da camada isolada para ondas P e SV

Objetivando chegar às expressões das tensões normais σz (z) e cisalhantes τxz (z),

WOLF (1985) usa as equações (2.4), (2.6), (2.7), (2.10), (2.12) e (2.15), chegando a:

σz(z) = λ∗ (∂u

∂x+∂w

∂z) + 2G∗

∂w

∂z (3.18)

τxz(z) = G∗ (∂u

∂z+∂w

∂x) (3.19)

Substituindo-se as equações (3.14), (3.15), (3.16) e (3.17) nas expressões (3.18) e

(3.19) conclui-se:

σz(z) = iklx(1 − t2)G∗[AP × e

iksz + BP × e−iksz]

− 2ikmxtG∗[ASV × e

iktz − BSV × e−iktz]

(3.20)

21

τxz(z) = 2iklxsG∗[AP × e

iksz − BP × e−iksz]

+𝑖𝑘mx(1 − t2)G∗[ASV × e

iktz + BSV × e−iktz]

(3.21)

A tensão normal σx não é necessária para o cálculo da matriz de rigidez, uma vez

que esta tensão não atua na interface de um plano z = constante (WOLF, 1985).

Conforme apresentado na Figura 3.1, os deslocamentos e tensões no topo da camada

são designados pelo índice 1, enquanto que no fundo da camada usa-se o índice 2. Nas

equações (3.16), (3.17), (3.20) e (3.21), faz-se z = 0 (topo) e z = d (fundo), a fim de se

escrever as grandezas u1, w1, σz1,τxz1, u2, w2, σz2 e τxz2 como funções de AP e ASV (ondas

incidentes), e BP e BSV (ondas refletidas). Manipulando as quatro equações para retirar

os termos das amplitudes, encontra-se a matriz de transferência [M], que permite

relacionar as tensões e deslocamentos no topo da camada com as respectivas grandezas

no fundo da camada:

{

u2w2τxz2σz2

} = [M] {

u1w1τxz1σz1

} (3.22)

Sendo a matriz [M] dada por:

[M] =1

1 + t2[

M11 M12

M21 M22

M13 M14

M23 M24

M31 M32

M41 M42

M33 M34

M43 M44

] (3.23)

onde

M11 = 2cos(ksd) + (t2 − 1) × cos(ktd) (3.24)

M12 = i1 − t2

ssen(ksd) + 2it × sen(ktd) (3.25)

M13 =1

ksG∗sen(ksd) +

t

kG∗sen(ktd) (3.26)

M14 =i

kG∗cos(ksd) −

i

kG∗cos(ktd) (3.27)

22

M21 = −2is × sen(ksd) − i1 − t2

tsen(ktd) (3.28)

M22 = (t2 − 1) × cos(ksd) + 2cos(ktd) (3.29)

M23 =i

kG∗cos(ksd) −

i

kG∗cos(ktd) (3.30)

M24 =s

kG∗sen(ksd) +

1

ktG∗sen(ktd) (3.31)

M31 = −4kG∗s × sen(ksd) − kG∗

(1 − t2)2

tsen(ktd) (3.32)

M32 = 2ikG∗(1 − t2) × cos(ksd) − 2ikG∗(1 − t2) × cos(ktd) (3.33)

M33 = 2cos(ksd) + (t2 − 1) × cos(ktd) (3.34)

M34 = −2is × sen(ksd) − i1 − t2

tsen(ktd) (3.35)

M41 = 2ikG∗(1 − t2) × cos(ksd) − 2ikG∗(1 − t2) × cos(ktd) (3.36)

M42 = −kG∗(1 − t2)2

ssen(ksd) − 4kG∗t × sen(ktd) (3.37)

M43 = i1 − t2

ssen(ksd) + 2it × sen(ktd) (3.38)

M44 = (t2 − 1) × cos(ksd) + 2 cos(ktd) (3.39)

Introduzindo-se na equação (3.22) o carregamento externo com amplitudes

definidas nas expressões de (3.40) a (3.43), definido no sistema global de coordenadas,

manipula-se a expressão, levando à matriz de rigidez dinâmica da camada [SLP-SV],

apresentada na equação (3.44). O índice L representa a camada (layer, em inglês) do

solo, enquanto que o subscrito P-SV caracteriza o movimento no plano.

P1 = −τxz1 (3.40)

23

R1 = −σz1 (3.41)

P2 = τxz2 (3.42)

R2 = σz2 (3.43)

{

P1iR1P2iR2

} = [SP−SVL ] {

u1iw1u2iw2

} (3.44)

sendo a matriz [SLP-SV] dada por:

[SP−SVL ] =

(1 + t2)kG∗

D[

S11 S12S12 S22

S13 S14S23 S24

S13 S23S14 S24

S33 S34S34 S44

] (3.45)

onde

D = 2[1 − cos(ksd) × cos(ktd)] + (st +1

st) × sen(ksd) × sen(ktd) (3.46)

S11 = S33 =1

tcos(ksd) × sen(ktd) + s × sen(ksd) × cos(ktd) (3.47)

S12 =3 − t2

1 + t2[1 − cos(ksd) × cos(ktd)]

+1 + 2s2t2 − t2

st(1 + t2)sen(ksd) × sen(ktd)

(3.48)

S13 = −s × sen(ksd) −1

tsen(ktd) (3.49)

S14 = cos(ksd) − cos(ktd) (3.50)

S22 = S44 =1

ssen(ksd) × cos(ktd) + t × cos(ksd) × sen(ktd) (3.51)

S23 = −cos(ksd) + cos(ktd) (3.52)

24

S24 = −1

ssen(ksd) − t × sen(ktd) (3.53)

S34 = −S12 (3.54)

Conforme destacado por WOLF (1985), a fim de se obter uma matriz [SLP-SV]

simétrica, multiplicam-se os valores de R1, R2, w1 e w2 por i.

3.1.2 Rigidez do semiplano para ondas P e SV

A matriz de rigidez dinâmica do semiplano [SRP-SV] (o índice R refere-se a rocha) é

calculada suprimindo-se as ondas incidentes. Nas equações (3.16), (3.17), (3.20) e

(3.21), faz-se z = 0 e introduzem-se as condições AP = ASV = 0, o que elimina a

indeterminação das amplitudes BP e BSV. Emprega-se o subscrito “o”, de outcropping

(afloramento), para representar a superfície livre do semiplano. Com as equações (3.55)

e (3.56), chega-se a expressão (3.57).

Po = −τxz1 (3.55)

Ro = −σz1 (3.56)

{PoiRo

} = kG∗

[ is(1 + t2)

1 + st2 −

1 + t2

1 + st

2 −1 + t2

1 + st

it(1 + t2)

1 + st ]

{uoiwo

} (3.57)

25

3.2 Comentários sobre as matrizes

Analisando as matrizes de rigidez obtidas nos itens 3.1.1 e 3.1.2, WOLF (1985)

avaliou que, para um meio ideal sem amortecimento histerético, [SRP-SV] possui

elementos imaginários, enquanto que [SLP-SV] tem elementos reais. De outra maneira,

poder-se-ia interpretar as camadas do perfil como molas e o semiplano como um

amortecedor, no qual a energia é irradiada para o infinito.

No caso de um sistema com amortecimento de histerese, alternativamente pode se

obter a matriz de rigidez do semiplano através do estudo do caso de uma camada com

espessura d → ∞. Nesta situação, a submatriz 2x2 da diagonal de [SLP-SV] converge para

[SRP-SV], enquanto que os demais termos convergem para zero (SOLDAN, 1999).

Por fim, conclui-se que, para cada frequência ω, a matriz de rigidez é função da

velocidade de fase c (ou do número de onda k), das propriedades dos materiais (λ, G, ρ,

ξp, ξs) e da espessura da camada d (WOLF, 1985).

3.3 Arranjo das matrizes de rigidez para movimento no plano

Tal como foi mencionado no início deste capítulo, a montagem das matrizes de

rigidez far-se-á de modo análogo ao método dos deslocamentos. Como apresentado por

SOLDAN (1999), considera-se que cada nó nas interfaces entre camadas estará

isoladamente equilibrado, permitindo a montagem das equações matriciais que

representam o sistema global.

Os parâmetros das camadas, empregados nas equações, ficam assim definidos:

• Camada n:

dn – espessura da camada;

Gn – módulo cisalhante da camada;

νn – coeficiente de Poisson da camada;

ρn – massa específica da camada;

ξn – coeficiente de amortecimento da camada.

26

• Rocha (semiplano):

GR – módulo cisalhante da rocha;

νR – coeficiente de Poisson da rocha;

ρR – massa específica da rocha;

ξR – coeficiente de amortecimento da rocha.

Nota-se que foi empregado apenas um coeficiente de amortecimento para cada

camada e para o semiplano. Conforme feito diversas vezes em exemplos da literatura,

costuma-se adotar, num mesmo material, os mesmos valores para ξp e ξs.

Conforme a Figura 3.2 ilustra, sobre cada interface – reduzida a um nó para efeitos

de análise – podem atuar tensões oriundas da camada superior e/ou da camada inferior.

Embora sejam representadas duas camadas e o semiplano, a análise pode ser estendida a

um número n de camadas.

Figura 3.2 – Cargas nas interfaces no movimento no plano. (AUTOR, 2018)

O índice superior se refere à camada, enquanto que o inferior se refere à posição

dentro da camada (“1” para interface superior, “2” para interface inferior). Identificando

os deslocamentos u e w por índices associados às interfaces do perfil, escrevem-se as

equações de equilíbrio para cada camada e para o semiplano:

P11

R11

R12

P12

P21

R21

R22

P22

Po Ro

CAMADA 1

CAMADA 2

ROCHA

interface 1

interface 2

interface 3

27

{

P1

1

iR11

P21

iR21}

=

[ S111 S12

1

S211 S22

1

S131 S14

1

S231 S24

1

S311 S32

1

S411 S42

1

S331 S34

1

S431 S44

1 ]

{

u1iw1u2iw2

} (3.58)

{

P1

2

iR12

P22

iR22}

=

[ S112 S12

2

S212 S22

2

S132 S14

2

S232 S24

2

S312 S32

2

S412 S42

2

S332 S34

2

S432 S44

2 ]

{

u2iw2u3iw3

} (3.59)

{PoiRo

} = [S11o S12

o

S21o S22

o ] {u3iw3

} (3.60)

Por fim, a matriz de rigidez global para o perfil fica:

{

P11

iR11

P21 + P1

2

i(R21 + R1

2)

P22 + Po

i(R22 + Ro)}

=

[ S111 S12

1

S211 S22

1

S131 S14

1

S231 S24

10 00 0

S311 S32

1

S411 S42

1

S331 + S11

2 S341 + S12

2

S431 + S21

2 S441 + S22

2

S132 S14

2

S232 S24

2

0 00 0

S312 S32

2

S412 S42

2

S332 + S11

o S342 + S12

o

S432 + S21

o S442 + S22

o ]

{

u1iw1u2iw2u3iw3}

(3.61)

Objetivando a maior concisão do texto, optou-se por não apresentar as expressões

dos termos S das matrizes. Estes podem ser obtidos das equações (3.45) e (3.57).

3.4 Carregamento externo superficial harmônico

Neste item apresenta-se como o carregamento externo é considerado na análise. O

caso do estudo bidimensional no plano X-Z pode ser utilizado para calcular fundações

muito longas na direção Y, conforme indicado por WOLF (1985). A Figura 3.3 ilustra

uma faixa de fundação carregada.

28

Figura 3.3 – Faixa de fundação com carregamento uniformemente distribuído. (WOLF, 1985)

O carregamento dinâmico superficial apresentado na Figura 3.3 é harmônico, tendo

frequência de excitação ω, possuindo amplitudes r0, q0 e p0 nas direções z, y e x,

respectivamente. O valor de 2Δb representa a largura da faixa de fundação carregada.

A vantagem da resolução do problema para carregamentos desta forma é poder usá-

los para representar situações de carga mais gerais, empregando-se séries de Fourier.

Isto implica que, desenvolvendo uma metodologia que resolva cargas harmônicas,

pode-se solucionar problemas com carregamentos genéricos.

Conforme apresentado por WOLF (1985), aplicando-se a Transformada de Fourier,

as amplitudes dos carregamentos podem ser representadas na direção horizontal em uma

série de termos exponenciais – vide expressão (3.62). O par de transformadas de Fourier

utilizado é expresso pelas equações (3.63) e (3.64), sendo f uma grandeza

(carregamento ou deslocamento) qualquer.

L(x) = e−ikx (3.62)

f(k) =1

2π∫ [f(x) × eikx]+∞

−∞

dx (3.63)

f(x) = ∫ [f(k) × e−ikx]+∞

−∞

dk (3.64)

Sendo assim, conforme o número de onda k varia de –∞ a +∞, todos os tipos de

onda são tratados (WOLF, 1985). O desacoplamento do movimento no plano X-Z e fora

dele implica em que os carregamentos de amplitude p(x) e r(x) associam-se a u(x) e

w(x), respectivamente, assim como q(x) relaciona-se a v(x).

29

Com foco no estudo no plano, aplica-se a equação (3.63), fazendo o intervalo de

integração compatível com a largura da faixa do carregamento, considerando as

amplitudes de carregamento constantes. As expressões de p(k) e r(k) ficam:

p(k) =1

2π∫ (p0 × e

ikx)+∆b

−∆b

dx =p0πksen(k∆b) (3.65)

r(k) =1

2π∫ (r0 × e

ikx)+∆b

−∆b

dx =r0πksen(k∆b) (3.66)

A equação (3.67) define o equilíbrio dinâmico do sistema, sendo [SP-SV] a matriz de

rigidez global e n o número de camadas. Uma vez que o problema aqui analisado

contempla apenas carregamentos superficiais, o vetor global de carregamentos possui

entradas apenas nos elementos que correspondem à superfície do perfil.

{

P1iR10⋮0 }

= [SP−SV]

{

u1iw1⋮uniwn}

(3.67)

Substituindo-se os valores de P1 = p(k) e R1 = r(k), e fazendo-se a inversão da

matriz de rigidez [SP-SV] para a matriz de flexibilidade [FP-SV] (simétrica), tem-se a

equação matricial de flexibilidade no domínio k:

{

u1iw1⋮uniwn}

= [FP−SV]

{

p(k)

ir(k)0⋮0 }

(3.68)

onde

[FP−SV] =

[

F11 F12F21 F22

… F1,2(n+1)… F2,2(n+1)

⋮ ⋮F2(n+1),1 F2(n+1),2

⋱ ⋮… F2(n+1),2(n+1)]

(3.69)

Nota-se que, para definição das amplitudes dos deslocamentos superficiais (u1 e w1),

necessita-se conhecer apenas os elementos F11, F12, F21 e F22 da matriz de flexibilidade

global. Com o objetivo de manter a nomenclatura original do trabalho de WOLF (1985),

renomeiam-se as grandezas, simplificando-se a equação (3.68) na equação (3.76).

30

u(k) = u1 (3.70)

w(k) = w1 (3.71)

Fuu(k) = F11 (3.72)

Fuw(k) = F12 (3.73)

Fwu(k) = F21 (3.74)

Fww(k) = F22 (3.75)

{u(k)iw(k)

} = [Fuu(k) Fuw(k)Fwu(k) Fww(k)

] {p(k)ir(k)

} (3.76)

Os elementos Fuu(k) e Fww(k) são funções pares de k, enquanto que Fuw(k) e Fwu(k)

são funções ímpares daquela variável. A partir da transformada inversa, dada pela

equação (3.64), aplicando-se a expressão de Euler (3.77) e fazendo as substituições

apropriadas, as expressões de u(x) e w(x) são obtidas na equação (3.78).

eiωt = cos(ωt) + i × sen(ωt) (3.77)

{u(x)w(x)

} =2

π(∫

sen(k∆b)

k[Fuu(k) × cos(kx) Fuw(k) × sen(kx)−Fwu(k) × sen(kx) Fww(k) × cos(kx)

]∞

0

dk) {p0r0}

(3.78)

3.5 Rigidez dinâmica do solo para fundação superficial

O cálculo dos coeficientes de rigidez dinâmica do solo para uma fundação

superficial representa um problema misto de valores de contorno (WOLF, 1985). Na

interface solo-estrutura, os deslocamentos são obtidos sob a premissa de que haja

continuidade destes entre a estrutura e o solo. Adota-se, então, uma malha de nós que

permitirá a prescrição do carregamento na interface solo-estrutura (ver Figura 3.4a).

31

Os valores de fato que atuam na superfície do solo, provenientes da base da

fundação e que atuam sobre um elemento de solo, são desconhecidos. Para tratar desta

questão, WOLF (1985) emprega uma formulação baseada numa função de ponderação.

Nesta abordagem, pode-se prescrever uma função para expressar a distribuição do

carregamento, baseando-se nos valores nodais desconhecidos. Na Figura 3.4b, ilustra-se

a aplicação de funções lineares para ponderação dos valores de carga vertical nos nós.

Figura 3.4 – Malha na interface solo-estrutura. (a)Elementos; (b)Cargas aplicadas;

(c)Deslocamentos (WOLF, 1985)

Conforme desenvolvido por WOLF (1985), definindo as intensidades

desconhecidas dos carregamentos nos nós por {p}, se expressa a amplitude do

carregamento na interface solo-estrutura {p(s)} por:

{p(s)} = [L(s)]{p} (3.79)

Na equação (3.79), s representa, simbolicamente, um ponto na interface solo-

estrutura. A matriz [L(s)] é composta das funções de interpolação escolhidas. A

amplitude dos deslocamentos na superfície {up(s)} é definida na expressão (3.80).

{up(s)} = [g(s)]{p} (3.80)

32

Nesta última equação, introduz-se a matriz [g(s)], cujos elementos são funções de

influência de flexibilidade do perfil estratificado analisado. Estas funções definem uma

relação de proporcionalidade entre os deslocamentos obtidos na superfície do perfil de

solo e o carregamento harmônico solicitante. Como exemplo, tomando o caso analisado

no Item 3.4, poder-se-ia definir a função gww(x), para deslocamentos verticais devidos a

carregamentos verticais, tal como segue:

gww(x) =w(x)

r0 (3.81)

Na Figura 3.4c, WOLF (1985) ilustra os nós associados à matriz de rigidez

dinâmica da fundação, bem como seus respectivos deslocamentos. As funções de forma

que compõem a matriz [N(s)] relacionam os valores nodais dos deslocamentos da base

da fundação {ub} com os deslocamentos da interface solo-estrutura {u(s)} tal como

segue:

{u(s)} = [N(s)]{ub} (3.82)

Buscando atender à condição de compatibilidade de deslocamentos na interface

solo-estrutura, WOLF (1985) propõe o critério definido na equação (3.83). Note-se que

este critério não é exato para todos os pontos do domínio S, mas atende, em média, à

condição de compatibilidade.

∫[W(s)]T({up(s)} − {u(s)})ds

S

= {0} (3.83)

A matriz [W(s)] é formada pelas funções de ponderação. A escolha destas funções

apresenta inúmeras possibilidades. No desenvolvimento de WOLF (1985), aquela

matriz fica definida pela equação (3.84). Substituindo-se as expressões (3.80) e (3.82)

na expressão (3.83), chega-se à equação (3.85).

[W(s)] = [L(s)] (3.84)

[G]{p} = [T]{ub} (3.85)

33

onde

[G] = ∫ [L(s)]T[g(s)]ds

S

(3.86)

[T] = ∫ [L(s)]T[N(s)]ds

S

(3.87)

A matriz de flexibilidade [G] é simétrica (WOLF, 1985). A partir das considerações

do Princípio dos Trabalhos Virtuais aplicadas no Método dos Elementos Finitos, as

amplitudes dos carregamentos concentrados {Pb} são obtidas por:

{Pb} = ∫ [N(s)]T{p(s)}ds

S

(3.88)

Por fim, resolvendo para {p} a equação (3.85), substituindo a expressão (3.79) em

(3.88) e aplicando a identidade (3.87), conclui-se:

{Pb} = [T]T[G]−1[T]{ub} (3.89)

Assim fica definida a matriz de rigidez dinâmica [Sbb] do solo para a fundação

superficial:

[Sbb] = [T]T[G]−1[T] (3.90)

Em geral, um carregamento horizontal com amplitude p0 despertará funções de

influência de flexibilidade horizontais e verticais, o mesmo ocorrendo com

carregamentos verticais. Levando em conta todas as componentes em [G], chega-se a

uma matriz de rigidez dinâmica [Sbb] para um contato com acoplamento (welded),

conforme foi classificado por WOLF (1985). Como aproximação, pode-se desprezar a

interação entre carregamento vertical e deslocamento horizontal e entre carregamento

horizontal e deslocamento vertical, caracterizando a condição de contato sem

acoplamento (relaxed).

34

3.6 Análise adimensional

O emprego da análise adimensional é recorrente em problemas dinâmicos, já que

viabiliza comparações entre problemas diversos e permite avaliações de caráter mais

geral. Neste sentido, WOLF (1985) decompõe a matriz de rigidez dinâmica [Sbb] da

seguinte forma:

[Sbb] = [Kbb]([k] + ia0[c]) (3.91)

Na equação (3.91), a matriz [Kbb] contém os coeficientes de rigidez estática. No

contexto deste projeto, entende-se por rigidez estática aquela obtida fazendo-se a

frequência de excitação ω = 0. As matrizes [k] e [c] representam os coeficientes de mola

e de amortecimento adimensionais, respectivamente. O parâmetro a0 é a frequência

adimensional, dada por:

a0 =ω × ∆b

cs (3.92)

onde cs é a velocidade de propagação da onda de cisalhamento na camada de solo à

superfície e Δb é metade da largura da fundação.

Conforme é discutido por WOLF (1985), no caso bidimensional, os coeficientes de

flexibilidade estáticos, para um perfil com semiplano, tendem a infinito. Desta forma, os

coeficientes da matriz de rigidez estática [Kbb] tenderiam a zero, inviabilizando a

adimensionalização de [Sbb]. A fim de contornar esta situação, WOLF (1985) sugere o

emprego do valor πG para adimensionalizar os elementos de [Sbb] relativos aos graus de

translação.

A massa adimensionalizada m̅ da estrutura é definida por:

m̅ =m

ρ × ∆b2 (3.93)

onde m é a massa da estrutura, ρ é a massa específica da camada de solo à superfície e

Δb é metade da largura da fundação.

35

O cálculo dos deslocamentos translacionais adimensionais, para o caso

bidimensional, é apresentado a seguir. A mérito de simplificação, desenvolve-se o

raciocínio para o deslocamento w, considerando-se apenas o carregamento harmônico

vertical. Usando-se o subscrito ω para associar o deslocamento vertical a uma dada

frequência ω, tem-se que:

[−ω2m+ πG(kww + ia0cww)] × wω = [πG(kww + ia0cww)] × w0 (3.94)

Empregando-se as identidades (3.92) e (3.93) na expressão (3.94), chega-se à

equação da amplificação dinâmica:

wa0w0

= [1 −a02m̅

π(kww + ia0cww)]

−1

(3.95)

36

4 MODELAGEM COMPUTACIONAL E APLICAÇÕES

A teoria e formulações apresentadas foram implementadas em linguagem

MATLAB, devido à notação simples e facilidade de desenvolvimento do código, além

de ser uma linguagem empregada de maneira abrangente em trabalhos acadêmicos e de

pesquisa.

Os exemplos numéricos apresentados restringem-se ao estudo na direção vertical,

que corresponde à maioria das aplicações práticas (SOLDAN, 1999). Os algoritmos são

desenvolvidos para o estudo no plano, viabilizando também análises na direção

horizontal, embora estas não sejam tratadas neste projeto.

4.1 Coeficientes de flexibilidade e deslocamentos translacionais

Num primeiro momento, aplica-se a formulação para cálculo das amplitudes dos

deslocamentos translacionais w(x) e u(x). Estas funções são essenciais para os estudos

sobre rigidez e amortecimento do solo, condensados à superfície. O código

desenvolvido é aplicável a perfis com um número qualquer de camadas, mas sempre

pressupondo a existência de um semiplano.

O problema modelado pode ser representado pela Figura 4.1. Como numa análise

estrutural convencional, definem-se as propriedades físicas (G, ν, ρ, ξ) e geométricas

(Δb, d) dos elementos, neste caso as camadas e o semiplano. Além destes parâmetros, o

programa recebe como dados de entrada a frequência e a amplitude dos carregamentos

solicitantes. Desta maneira são calculadas as matrizes de rigidez das camadas e do

semiplano, que são empregadas na montagem da matriz global de rigidez.

Por fim, faz-se a inversão da matriz de rigidez e extraem-se da matriz resultante os

coeficientes de flexibilidade do solo condensados à superfície. O emprego da

Transformada Inversa de Fourier – equação (3.78) – fornece os valores dos

deslocamentos w(x) e u(x) na superfície do perfil.

37

Figura 4.1 – Perfil de solo genérico proposto para análise do modelo. (AUTOR, 2018)

A sequência lógica do algoritmo de resolução do problema é apresentada a seguir:

1. Apresentação do programa e definição do número de camadas do perfil;

2. Leitura dos dados das camadas (G, ν, ρ, ξ, d) e das excitações externas (Δb,

p0, r0, ω, Δk e klim);

3. Cálculo dos parâmetros considerando o amortecimento de histerese para as

camadas e semiplano (G*, cs*, cp*);

4. Loop que emprega k variando de zero a um klim prescrito:

5. Cálculo dos parâmetros associados às ondas de volume (c, lx, mx, s e t);

6. Cálculo das matrizes de rigidez das camadas isoladas e do semiplano;

7. Montagem da matriz de rigidez global do perfil estratigráfico [SP-SV];

8. Cálculo da matriz de flexibilidade [FP-SV] pela inversão de [SP-SV],

armazenando os coeficientes de flexibilidade (Fww e Fwu) em vetores;

9. Cálculo dos carregamentos P1 e R1 no domínio k, associados ao topo

da camada, sendo armazenados em seus respectivos vetores;

10. Loop para cálculo dos vetores das abscissas (x) e dos deslocamentos w(x);

11. Plotagem dos gráficos.

12. FIM.

x

2Δb

camada n

semiplano

p0eiωt

r0eiωt

y

z camada 1 d1

dn

Gn, νn, ρn, ξn

GR, νR, ρR, ξR

G1, ν1, ρ1, ξ1

38

4.1.1 Validação do modelo

A fim de validar o modelo elaborado, foram feitos testes de consistência, tal como

citado por SOLDAN (1999). Avaliou-se casos com uma, duas e três camadas sobre o

semiplano, de tal forma que a soma das espessuras das camadas para um dado caso se

mantivesse a mesma, bem como as propriedades e carregamentos empregados. Os três

casos avaliados retornaram a mesma resposta, conforme a expectativa, já que a

metodologia emprega equações exatas na sua formulação.

Com o objetivo de fazer uma avaliação mais robusta, estudou-se um caso que foi

exemplificado por WOLF (1985) e reproduzido por SOLDAN (1999). O exemplo em

questão compreende uma camada de solo (índice L) sobre o semiplano (índice R) cujas

características são relacionadas abaixo:

Caso 1 – camada sobre semiplano:

csR = 2cs

L d = 20m

νL = νR = 0,33 GL = 20000kPa

ξL = ξR = 0,001 GR = 80000kPa

ωd

csL = 7 ω = 35rad/s

∆b = 0,0625d ∆b = 1,25m

ρL = ρR ρL = ρR = 2t/m³

Os parâmetros do problema são definidos à esquerda, tal como feito em WOLF

(1985), onde se realiza uma análise adimensional dos coeficientes de flexibilidade e do

deslocamento translacional w(x). Contudo, neste trabalho, são atribuídos valores

dimensionais aos parâmetros (à direita), de forma que atendam às condições

supracitadas, como foi feito por SOLDAN (1999).

As Figuras 4.2 e 4.3 apresentam, respectivamente, a variação das componentes real

e imaginária do coeficiente de flexibilidade vertical Fww(k). O deslocamento

translacional w(x) à superfície do perfil é ilustrado na Figura 4.4.

39

Figura 4.2 – Caso 1: Parte real do coeficiente de flexibilidade Fww. (AUTOR, 2018)

Figura 4.3 – Caso 1: Parte imaginária do coeficiente de flexibilidade Fww. (AUTOR, 2018)

40

Figura 4.4 – Caso 1: Deslocamento vertical superficial w(x). (AUTOR, 2018)

Os gráficos supracitados estão de acordo com aqueles apresentados por WOLF

(1985) e reproduzidos por SOLDAN (1999), assim validando o modelo computacional

desenvolvido.

4.1.2 Comentário sobre integração numérica em k

A Regra de Simpson Composta foi escolhida para efetuar a integração numérica

associada à Equação (3.78), que fornece os valores de w(x) e u(x). Esta escolha se deve

à facilidade de implementação da fórmula e boa precisão, alcançada quando intervalos

de integração adequados são escolhidos. A aproximação empregada é apresentada

abaixo:

∫ f(x)b

a

dx ≈h

3[f(x0) + 2∑ f(x2j)

n2−1

j=1

+ 4∑f(x2j−1)

n2

j=1

+ f(xn)] (4.1)

onde n é o número de partes em que o intervalo [a,b] é dividido, sendo n um número par

e h o valor dos subintervalos. Neste projeto, tem-se que a = 0, b = klim e h = Δk.

41

Cabe observar que nenhuma das fontes citadas anteriormente explicita os valores de

Δk e klim empregados em suas integrações numéricas, associados à equação (3.78).

Contudo, através da pesquisa de valores consistentes para estes parâmetros, chegou-se a

gráficos coerentes com aqueles obtidos na literatura. A escolha daqueles parâmetros foi

feita observando as curvas dos coeficientes Fww, buscando ajustar o incremento de

acordo com a forma da curva, e o limite de integração segundo os valores de número de

onda relevantes.

Os estudos de SOLDAN (1999) apontaram a necessidade de se definir valores de

Δk e klim para cada problema avaliado, sendo estes valores sensíveis a outros parâmetros,

como o coeficiente de amortecimento das camadas e do semiplano, a relação entre a

largura da fundação e a espessura das camadas e a frequência de excitação do

carregamento externo. Conforme concluído por SOLDAN (1999), foi recomendada a

investigação do limite de integração em k e do incremento da variável de integração,

mantendo um custo computacional baixo.

4.2 Impedâncias adimensionais

O algoritmo apresentado no Item 4.1.1 fornece como resultado os deslocamentos

translacionais. Estes são convertidos para funções de influência de flexibilidade, como

feito na Equação (3.81), que exemplifica o caso vertical. A fim de se obter a matriz de

rigidez dinâmica do solo para fundações superficiais, são feitas as seguintes

considerações quanto às matrizes [L(s)] e [N(s)] apresentadas no Item 3.5:

[L(s)] = [U] (4.2)

[N(s)] = [U] (4.3)

onde [U] é uma matriz na qual todos os elementos assumem o valor unitário.

As equações anteriores traduzem matematicamente as premissas adotadas na

modelagem. A expressão (4.2) deve-se à suposição de que o carregamento harmônico

distribuído à superfície do perfil solicitará os nós da interface solo-estrutura de maneira

42

homogênea. A expressão (4.3) reflete a hipótese de que a fundação é rígida, o que

significa que a forma da mesma, definida pelos nós, se mantém inalterada.

Empregando-se estas definições, a formulação apresentada no Item 0 e

implementando o código anterior para repetir os cálculos, variando a frequência de

excitação, chega-se aos coeficientes de mola e de amortecimento adimensionais.

Objetivando avaliar os resultados encontrados, estuda-se um problema que foi

apresentado por WOLF (1985). O caso em questão compreende uma camada de solo

sobre o semiplano, cujas características são relacionadas conforme mostrado abaixo:

Caso 2 – camada sobre semiplano:

csR = 2cs

L d = 5m

νL = νR = 0,33 GL = 20000kPa

ξL = ξR = 0,05 GR = 80000kPa

∆b = d ∆b = 5m

ρL = ρR ρL = ρR = 2t/m³

Os parâmetros do problema são definidos à esquerda, tal como feito em WOLF

(1985), onde se realiza uma análise adimensional dos coeficientes de flexibilidade e do

deslocamento translacional w(x). Entretanto, neste trabalho, são atribuídos valores

dimensionais aos parâmetros (à direita), de forma que atendam às condições anteriores.

Empregou-se a formulação para a condição de contato com acoplamento (welded).

43

A Figura 4.5 representa os valores obtidos para a constante de mola adimensional k,

em função da frequência adimensional a0. Analogamente, a Figura 4.6 apresenta os

coeficientes de amortecimento adimensional:

Figura 4.5 – Caso 2: Rigidez dinâmica do perfil - Coeficiente de mola. (AUTOR, 2018)

Figura 4.6 – Caso 2: Rigidez dinâmica do perfil - Coeficiente de amortecimento. (AUTOR, 2018)

44

Observa-se que os resultados obtidos são coerentes com o comportamento

representado em WOLF (1985).

4.2.1 Comentário sobre integração numérica em x

O número de elementos empregados na discretização da base da fundação

dependerá do valor máximo de frequência de excitação que se deseja analisar.

Conforme indicado por WOLF (1985), ao menos seis pontos são necessários para

representar adequadamente o comprimento de onda λ, expresso a seguir:

λ =2πcsω

(4.4)

onde cs é a velocidade da onda de cisalhamento no material da superfície do perfil e ω é

a frequência de excitação.

Desta forma, um elemento de comprimento Δx terá dimensão máxima de:

∆xmax =πcs3ω

(4.5)

Adotando-se este critério, divide-se uma base com largura de 2Δb em n elementos.

Aplicando a equação (3.92), conclui-se que a máxima frequência adimensional a0,max

modelada adequadamente é:

a0,max =πn

6 (4.6)

Desta forma, verifica-se que os intervalos adotados respeitam o critério da

discretização, sendo empregada a Regra de Simpson Composta para cálculo dos valores

dos coeficiente de mola (Figura 4.5) e dos coeficientes de amortecimento (Figura 4.6).

4.3 Amplificação dinâmica e interação estrutura-solo-estrutura

Incrementando o código desenvolvido no item 4.2 e introduzindo-se o valor de

massa adimensional m̅ , aplica-se a expressão (3.95) para o cálculo da amplificação

dinâmica. Destaca-se que a referida expressão fornece um número complexo como

45

resposta, sendo avaliado apenas o seu módulo, equivalente à amplitude do deslocamento

considerado. A curva de amplificação dinâmica é obtida conforme é variado o valor da

frequência de excitação.

Visando um melhor desempenho computacional, a integral indicada na equação

(3.86), para montagem da matriz [G], é feita numericamente pelo método de Gauss,

discretizando a base da fundação em função dos cinco pontos notáveis de Gauss. Como

se pode verificar pela equação (4.6), esta quantidade de pontos permite representar

adequadamente até a frequência adimensional a0 = 2,5, empregada como valor limite

nos gráficos subsequentes.

Com o objetivo de avaliar a interação dinâmica entre fundações superficiais

próximas, estuda-se o problema considerando o efeito combinado das duas estruturas e

compara-se com a resposta gerada por uma fundação isolada. Este estudo é

desenvolvido na hipótese de contato sem acoplamento, ou seja, carregamentos verticais

despertam apenas deslocamentos verticais. A Figura 4.7 define a situação investigada:

Figura 4.7 – Esquema para o problema de interação estrutura-solo-estrutura. (AUTOR, 2018)

Os exemplos avaliados a seguir visam ilustrar, além da interação dinâmica, como

este efeito se comporta sob diferentes características do perfil de solo, bem como da

massa do conjunto de fundação direta rígida. Para alcançar este objetivo, são modelados

perfis apenas com o semiplano e com uma camada sobre o semiplano, fazendo variar a

espessura da camada e a massa adimensional da fundação.

As propriedades do semiplano são escolhidas de modo a simular um saprolito de

basalto, enquanto que as camadas são compostas por solo arenoso. Estas considerações

são feitas baseando-se num exemplo encontrado em SOLDAN (1999). Para a distância

L

2b 2b

y z w(x)

x

r0eiωt

m̅ m̅

46

entre fundações, assume-se que estas são adjacentes, a fim de se observar o maior efeito

da interação dinâmica. Desta forma, a Tabela 4.1 enumera as propriedades dos materiais

empregados, bem como as características da fundação, parâmetros comuns a todos os

exemplos.

Tabela 4.1 – Parâmetros comuns aos exemplos de 1 a 4. (AUTOR, 2018)

Os parâmetros que variam, definindo cada exemplo, são resumidos na Tabela 4.2.

Tabela 4.2 – Parâmetros particulares aos exemplos de 1 a 4. (AUTOR, 2018)

Os valores escolhidos para as massas adimensionais visam simular fundações leves

( m̅ = 1) e fundações pesadas ( m̅ = 5). No exemplo 4 foram escolhidos valores

apropriados para o incremento do número de onda e do limite de integração, de modo a

suavizar as curvas obtidas, sem aumentar os custos computacionais.

x b [m] L [m] nareia = nsaprolito

2% 2,5 5,0 0,33

areia [t/m³] saprolito [t/m³] Gareia [kPa] Gsaprolito [kPa]

2 2,4 11500 55000

Exemplo Camada Dk [rad/m] klim [rad/m] d (m)

1a NÃO 0,005 6 ------ 1

1b NÃO 0,005 6 ------ 5

2a SIM 0,005 6 5 1

2b SIM 0,005 6 5 5

3a SIM 0,005 6 10 1

3b SIM 0,005 6 10 5

4a SIM 0,001 2 20 1

4b SIM 0,001 2 20 5

47

4.3.1 Exemplo 1a (semiplano)

Os resultados obtidos na Figura 4.8 indicam que o efeito da interação dinâmica

diminui os deslocamentos despertados com relação ao caso de fundação isolada. A

influência da atuação conjunta das fundações é maior para frequências adimensionais

próximas da frequência de ressonância do problema, embora este efeito seja também

percebido para valores maiores de a0.

Comparando-se este gráfico com aquele da Figura 4.9, percebe-se que, para

fundações leves, os efeitos da interação dinâmica são mais distribuídos ao longo da

curva de amplificação dinâmica vs. frequência adimensional. Contudo, este efeito tende

a ser dissipado para valores de frequência tendendo ao infinito.

Para a frequência adimensional a0 = 0,75, que desperta o maior valor de

amplificação dinâmica para o caso de fundação isolada, há uma redução de 13% na

resposta ao se considerar o efeito de interação dinâmica estrutura-solo-estrutura.

Figura 4.8 – Exemplo 1a: Amplificação dinâmica vs. Frequência Adimensional. (AUTOR, 2018)

48

4.3.2 Exemplo 1b (semiplano)




próximas da frequência de ressonância do problema, diminuindo rapidamente para

valores maiores de a0.


fundações pesadas, os efeitos da interação dinâmica são mais intensos e concentrados

para valores de frequência próximos da frequência de ressonância. Conforme se afasta

daquela frequência, os efeitos da interação tendem a ser dissipados rapidamente.

Para a frequência a0 = 0,44, que desperta o maior valor de amplificação dinâmica

para o caso de fundação isolada, há uma redução de 14% na resposta ao se considerar o

efeito de interação dinâmica estrutura-solo-estrutura.

Figura 4.9 – Exemplo 1b: Amplificação dinâmica vs. Frequência Adimensional. (AUTOR, 2018)

49

4.3.3 Exemplo 2a (d = 5m)




próximas da frequência de ressonância do problema, embora este efeito seja também

percebido para valores maiores de a0.





Para frequência a0 = 0,9, que desperta o maior valor de amplificação dinâmica para

o caso de fundação isolada, há uma redução de 15% na resposta ao se considerar o



50

4.3.4 Exemplo 2b (d = 5m)














51

4.3.5 Exemplo 3a (d = 10m)



influência da atuação conjunta das fundações é similar nas frequências adimensionais

próximas da frequência de ressonância do problema e para valores maiores de a0.









52

4.3.6 Exemplo 3b (d = 10m)














53

4.3.7 Exemplo 4a (d = 20m)




próximas da frequência de ressonância do problema, embora este efeito seja percebido

para valores maiores de a0.









54

4.3.8 Exemplo 4b (d = 20m)














55

5 CONSIDERAÇÕES FINAIS

O presente projeto apresentou a metodologia empregada por WOLF (1985) para o

estudo bidimensional da rigidez dinâmica de meio estratificado, dando continuidade aos

estudos desenvolvidos por SOLDAN (1999). O objetivo foi desenvolver uma

ferramenta computacional que permitisse o estudo da interação dinâmica entre

fundações superficiais.

O desenvolvimento teórico foi apresentado, desde a propagação de ondas em meio

elástico até a obtenção das matrizes de rigidez das camadas do perfil e do semiplano,

incluindo a consideração do carregamento no domínio do número de onda. A solução

do problema é caracterizada pelos deslocamentos gerados na superfície do perfil.

Adicionalmente, foram introduzidos os conceitos e a formulação para obtenção da

rigidez dinâmica do solo para fundação superficial rígida, essenciais ao estudo da

amplificação dinâmica.

Com base na formulação apresentada, foi implementado um programa

computacional para automatizar os cálculos e gerar as respostas. A validação do mesmo

tomou como referência um exemplo do trabalho original de WOLF (1985), que foi

reproduzido por SOLDAN (1999).

Nas respostas obtidas nos exemplos numéricos, foram reafirmadas as ponderações

feitas por SOLDAN (1999), a respeito da sensibilidade da resposta do solo quanto aos

parâmetros do incremento Δk e do limite de integração klim. Isto foi notado durante a

elaboração dos exemplos, reforçando a ideia de que, para cada problema analisado,

devem-se escolher parâmetros particularmente adequados.

Na sequência, o código implementado foi ajustado para o estudo da amplificação

dinâmica e da interação entre estruturas e o solo. Com os resultados dos exemplos

apresentados, pode-se notar que o efeito da interação dinâmica, de modo geral, é

pequeno, implicando numa redução em torno de 10% a 15% dos deslocamentos críticos

obtidos para fundação isolada. Entretanto, casos onde o efeito da interação é maior,

como o ilustrado no exemplo 2b, podem surgir, demandando estudos focados na

situação avaliada. Para fundações pesadas, notou-se que este fenômeno se manifesta de

maneira mais intensa e particular, para frequências de excitação próximas das de

56

ressonância, tendendo a se dissipar rapidamente para frequências afastadas daquela. No

caso de fundações leves, notou-se que a interação é sensível num intervalo de

frequências de excitação maior que aquele no caso de fundações pesadas, embora

menos intensa.

A fim de sugerir temas para trabalhos futuros, citam-se:

• Estudo da rigidez dinâmica do solo para fundações superficiais, avaliando

os casos de contato relaxado e soldado;

• Avaliação da interação estrutura-solo-estrutura em função da distância entre

fundações;

• Extensão do estudo ao caso axissimétrico.

57

6 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

BOLT, B. A., “Earthquake”, Encyclopaedia Britannica. Disponível em:

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deep-foci> Acesso em: 10 de fevereiro de 2018.

CHALRÉO, A. W., 2012, Estudo de Amplificação Sísmica em Solos

Estratificados. Projeto Final de Graduação, Escola Politécnica/UFRJ, Rio de Janeiro,

RJ, Brasil.

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Art”, Soil Dynamics and Earthquake Engineering, v.2, n.1.

LIMA, S. S., SANTOS, S. H. C., 2008, Análise Dinâmica das Estruturas. 1 ed.

Rio de Janeiro, Ciência Moderna.

LUCO, J. E., 1974, “Impedance Functions for a Rigid Foundation on a Layered

Medium”, Nuclear Engineering and Design, v. 31 (Jul.), pp. 204-217.

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Foundations. 1 ed. Englewood Cliffs, New Jersey, Prentice-Hall, Inc.

SANTOS, S. H. C., 2017, Fundações de Máquinas. Apostila da Escola Politécnica

da UFRJ, Rio de Janeiro, RJ, Brasil.

SOLDAN, C., 1999, Estudo Bidimensional da Rigidez do Solo Estratificado

sobre o Semi-espaço para Análise Dinâmica. Dissertação de M.Sc., COPPE/UFRJ,

Rio de Janeiro, RJ, Brasil.

VILLAÇA, S. F., TABORDA GARCIA, L. F., 1998, Introdução à Teoria da

Elasticidade. 3 ed. Cidade Universitária, Rio de Janeiro, COPPE/UFRJ.

WOLF, J. P., 1985, Dynamic Soil-Structure Interaction. 1 ed. Englewood Cliffs,

New Jersey, Prentice-Hall, Inc.

WOLF, J. P., 1994, Foundation Vibration Analysis Using Simple Physical

Models. 1 ed. Englewood Cliffs, New Jersey, Prentice-Hall, Inc.

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ESTUDO BIDIMENSIONAL DA INTERAÇÃO DINÂMICA …monografias.poli.ufrj.br/monografias/monopoli10024658.pdf · tratativa do perfil estratigráfico, muitas vezes faz-se necessária