Estudo das Tensões no Estado Limite de Serviço em … · Avaliação das Tensões no Estado Limite de Serviço em Seções de Concreto Protendido 2 Mostra PROPEEs UFMG, v. 1, n

1 Mostra PROPEEs UFMG, v. 1, n. 1, 29 e 30 de Abril 2013

Avaliação das Tensões no Estado Limite de Serviço em Seções de

Concreto Protendido

Avaliation of Stresses in the Service Limit State in Prestressed Concrete

Sections

Thiago Pena Bortone1

1Mestrando do Programa de Pós-Graduação em Engenharia de Estruturas da Universidade Federal de Minas Gerais;

[email protected]

Resumo

Este trabalho visa apresentar um modelo matemático e um fluxograma de software para a avaliação das tensões, no

estado limite de serviço, em seções de peças de concreto protendido em qualquer idade desde o instante da aplicação

da força de protensão. Inicia-se com a conceituação de concreto protendido, seus materiais, dispositivos e suas

vantagens na engenharia estrutural. Posteriormente é iniciada uma abordagem sobre reologia do concreto,

descrevendo sob o ponto de vista físico suas propriedades mecânicas e também a descrição das perdas de protensão

no sistema de pós-tração com armadura aderente. A seguir, apresentam-se as formulações matemáticas de tais

fenômenos conforme prescrição da norma brasileira NBR-6118 (ABNT, 2007). Terminada a parte conceitual

relacionada aos materiais, iniciam-se as exposições dos métodos numéricos utilizados para a determinação dos

esforços solicitantes dos elementos de vigas isostáticos ou hiperestáticos, bem como a introdução do conceito de

esforços hiperestáticos de protensão e suas influências em estruturas hiperestáticas. Por fim, apresenta-se um roteiro

de cálculo e um fluxograma com passos detalhados para futura criação de um software desenvolvido na linguagem

orientada a objetos, Microsoft Visual Basic .NET, com a finalidade de permitir a análise em termos quantitativos das

tensões em qualquer tempo especificado, verificando assim, para estruturas de vigas de eixo reto simplesmente

apoiadas, os estados limite de utilização preconizados pela norma NBR-6118 (ABNT, 2007), classificando a estrutura

quanto ao grau de protensão. Palavras-chave: Concreto Protendido. Tensões no Estado Limite de Serviço. Perdas Imediatas de Protensão. Perdas

Diferidas de Protensão.

Abstract

This paper presents a mathematical model and a flowchart of software for the avaliation of stresses in the service

limit state, in sections of prestressed concrete pieces in any ages until the moment of application of prestressing force.

It starts with the concept of prestressed concrete, materials, devices and their advantages in structural engineering.

Thereafter begins a discussion of rheology of the concrete, describing the point of view of their physical and

mechanical properties also the description of the loss of prestress in post-pull system with armor adherent. Next, we

present the mathematical formulations of such phenomena as prescribed by the Brazilian standard NBR-6118

(ABNT, 2007). Once the conceptual part related to materials, begin the exhibitions of the numerical methods used to

determine the internal forces of elements or hyperstatic isostatic beams, as well as introducing the concept of

prestressing hyperstatic efforts and their influences in statically indeterminate structures. Finally, it presents a guide

of calculation and a flowchart with detailed steps to creating a future software developed in object-oriented language,

Microsoft Visual Basic .NET, in order to enable analysis in quantitative terms at any time of tensions specified, thus

verifying structural beams straight shaft simply supported, states usage limit recommended by the standard NBR-

6118 (ABNT, 2007), classifying the structure of the degree of prestressing.

Keywords: Prestressed Concrete. Stresses in Service Limit State. Immediately Loss of Prestressing. Deferred Loss of

Prestressing.

1 Introdução

Ao longo dos tempos, a sociedade vem exigindo

estruturas cada vez mais eficientes tanto em questão de

suporte de cargas quanto em relação conforto em sua

utilização. Por isso, o homem está sempre em busca de

soluções no campo da engenharia para alcançar esses

objetivos.

O primeiro grande passo, no campo das estruturas de

concreto foia utilização do concreto armado que, segundo

Pfeil (1988), por definição, é o material misto obtido pela

colocação de barras de aço no interior do concreto. Nele, as

armaduras são posicionadas no interior da formaantes do

lançamento do concreto, obtendo-se assim uma peça de

concreto armado.

As armaduras colocadas nas peças de concreto armado

têm capital influência sobre a resistência última da

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estrutura, bem como sobre os fenômenos de deformações

excessivas e aparecimento de fissuras. Porém a falta de

conhecimento quanto aos modos de abordar o problema,

principalmente da fissuração, atrasou durante várias

décadas o desenvolvimento do concreto armado, levando os

projetistas a usar tensões muito baixas nas armaduras

tracionadas, limitando a capacidade de carga em serviço

(PFEIL, 1984a).

As preocupações com a fissuração do concreto levou os

engenheiros do início do século XX a utilizarem o artifício

de pré-compressão de vigas, de modo que, sob as cargas em

serviço a seção de concreto permanecesse toda comprimida

eportanto, livre de fissuras.

Daí surgiu-se o conceito da protensão de estruturas que,

segundo Pereira (1987), pode ser definido como o artifício

de introduzir em uma estrutura um estado prévio de

tensões, de modo a melhorar sua resistência ou seu

comportamento sob ação de diversas solicitações.

A pré-compressão era aplicada tracionando-se as barras

de armação antes da concretagem (Figura 1a). Após o

preenchimento das formas com concreto e decorrido um

período de cura do mesmo, as barras eram ancoradas por

meio de um conjunto formado de rosca e porca, em placas

metálicas situadas na face das vigas, cortando-se o excesso

de armadura ao final da operação (Figura 1b).

Figura 1: Concreto armado com barras de armadura pré-

tracionadas

SIMBOLOGIA:

a) – barras de armaduras tracionadas por meio de macacos

hidráulicos atuando nos bancos de ancoragem;

b) – viga após a cura do concreto e cabos de protensão

ancorados aplicando uma força P de compressão;

1 – armadura de protensão;

2 – forma da viga;

3 – bancos de ancoragem;

4 –viga concretada;

5 –placa de ancoragem do cabo de protensão;

Os ensaios de flexão de vigas pré-comprimidas

revelaram excelente comportamento sem que a viga

fissurasse sob as cargas de serviço. Porém, com a repetição

da experiência, depois de decorridos alguns mesesverificou-

se que a melhora do comportamento havia desaparecido e a

mesma estava se comportando da mesma forma que uma

estrutura de concreto armado usual, sem alongamento das

armaduras.

Este fato não foi compreendido na época devido ao

pouco conhecimento acerca do efeito dos fenômenos de

relaxação do aço, retração e fluência do concreto.

Em 1928, o engenheiro francês Eugène Freyssinet

(LEONHARDT, 1983), não só fundamentou teoricamente

os citados fenômenos como também criou um sistema

capaz de comprimir a viga de maneira durável.

Em seus estudos, ele comprovou que os encurtamentos

unitários no concreto devido à retração e fluência,

correspondiam a tensões de 15 a 25 KN/cm², o que

explicava o desaparecimento do efeito da pré-compressão

das vigas visto que as armaduras eram tracionadas a tensões

de ordem de 10 a 12 KN/cm². Freyssinet então passou a

utilizar fios de aço trefilado, que trabalhavam com tensões

iniciais da ordem de 100 KN/cm² restando ao passar do

tempo, uma tensão de compressão permanente de 75 a 85

KN/cm².

2 Objetivos

Visto a importância da aferição das tensões iniciais e

finais para o comportamento estrutural de peças de concreto

protendido, esse trabalho visa apresentar um roteiro de

cálculo e um fluxograma com passos detalhados para futura

criação de um software escrito, na linguagem orientada a

objetos, Microsoft Visual Basic .NET com a finalidade de

permitir a análise em termos quantitativos das tensões em

qualquer tempo especificado, verificando assim, para

estruturas de vigas de eixo reto simplesmente apoiadas, os

estados limite de utilização preconizados pela norma

brasileira NBR-6118 (ABNT, 2007).

3 Importância da pesquisa

Como já é sabido, para todo e qualquer projeto de

estruturas é necessário atender os critérios de

dimensionamento tanto do estado limite último, que

determina à segurança a ruptura da peça, quanto dos

estados limites de serviço que garantem um adequado

funcionamento da estrutura para as cargas correntemente

aplicadas sobre ela.

Assim, esse trabalho vem propor um modelo e

posteriormente, uma implementação computacional, para

caracterizar o comportamento em serviço das estruturas

protendidas com cabos aderentes pós-tracionados

compostos de cordoalhas agilizando assim o processo de

cálculo das tensões no estado limite de serviço.

Suas aplicações são inúmeras desde lajes alveolares pré-

moldadas até seções de pontes e viadutos enfim, todas as

estruturas de concreto protendido podem ter suas tensões

avaliadas em qualquer tempo requerido de maneira mais

rápida comparada ao método de cálculo manual.

Bortone, T. P.

3


4 Revisão bibliográfica

4.1 Aços para Protensão

Os aços atualmente utilizados e fabricados para uso em

estruturas de concreto protendido podem ser divididos em

três grandes grupos representados na Figura 2:

Figura 2: Tipos de Aços para Protensão

Suas características principais são (SCHMID, 2008):

Fios trefilados de aço carbono:

- Diâmetro máximo de 12 mm;

- Fornecidos em rolos ou bobinas;

- Resistência aumentada devido ao

encruamento do aço;

- Resistências mais elevadas para menores

diâmetros.

Cordoalhas sem revestimento (Figura 3):

- Fios enrolados em forma de hélice;

- Comumente em 3 a 7 fios;

- Aço de protensão aderente.

Cordoalhas com revestimento:

- Fios enrolados em forma de hélice;

- Comumente em 3 a 7 fios;

- Uso de graxa e capa de PEAD;

- Aço de protensão não aderente.

Cordoalhas para estais:

- Produzidas com 3 camadas protetoras à

corrosão;

- Fios galvanizados a quente;

- Uso de capa plástica resistente a raios

ultravioleta;

- Aço de protensão não aderente.

Barras de Aço:

- Peças retilíneas de comprimento limitado;

- Aço laminado a quente;

- Diâmetro superior a 12mm.

Podemos também classificar os aços de protensão

quanto a relaxação que, segundo Pereira (1987), é o

fenômeno da perda de tensão sob deformação imposta

constante. Os dois tipos são definidos como aço de

relaxação baixa (RB) e aço de relaxação normal (RN).

Até 1974, segundo Schmid (2008), eram fabricados no

Brasil somente aços de protensão de relaxação normal

(RN), também chamados aços aliviados. Estes aços são

retificados por um tratamento térmico que alivia tensões

internas de trefilação, através do qual os fios são passados

em chumbo derretido entre 250 e 500ºC, o que resulta na

melhora da linearidade do diagrama Tensão x Deformação.

Contudo, o fio de aço tracionado tende a ceder com o

tempo e consequentemente perder parte da tensão

introduzida com a protensão, fenômeno conhecido como

relaxação. Parte desta relaxação pode ser provocada

propositalmente durante o alívio das tensões, elevando-se a

temperatura entre 350 e 400ºC e provocando um

alongamento no fio de, aproximadamente, 1%. Esta etapa é

conhecida como estabilização e os aços produzidos e

sujeitos a este tratamento termomecânicosão denominados

estabilizados ou de relaxação baixa (RB).

Os aços utilizados atualmente para a protensão

caracterizam-se por suas elevadas resistências e pela

ausência de um patamar de escoamento.

Em se tratando de cordoalhas, que é objeto de estudo

desse artigo, sua designação se dá pelas letras CP (concreto

protendido) seguidas da resistência característica à ruptura

por tração em kgf/mm² e, indicação sobre sua relaxação RN

(relaxação normal) ou RB (relaxação baixa).

A curva tensão-deformação dos principais aços

utilizados no detalhamento de projetos de estruturas

protendidas são apresentadas na Figura 3 abaixo:

Figura 3: Diagrama Tensão-Deformação dos aços.

Aresistência característica a ruptura (fptk) dos tipos

mais comuns de aços para concreto protendido é

apresentada na Tabela 1:

Fios trefilados de aço carbono

Cordoalhas

Sem Revestimento

Engraxadas e Plastificadas

Para Estais Barras de aço


4


Tabela 1: Característica de alguns tipos de aço.

4.2 Concreto

O concreto usual é constituído de quatro materiais:

agregado graúdo (brita), agregado miúdo (areia), água e

cimento portland. Os dois últimos constituintes formam um

material pastoso que preenche a maior parte dos vazios

entre os agregados e, quando esta pasta endurece, se forma

um material sólido, que é denominado concreto.

É conhecido que, o comportamento estrutural do

concreto varia sob o efeito do tempo e que, tais variações

devem ser tomadas em conta principalmente em estruturas

de concreto protendido. As principais parcelas contribuintes

para a deformação total do concreto são as deformações por

retração do concreto, a deformação elástica e por fluência

do concreto.

4.2.1 Deformação por Retração do Concreto

Segundo Pfeil (1983) denomina-se retração, a redução

de volume do concreto provocada por perda de umidade por

evaporação e/ou pela carbonatação do concreto (dissolução

de cristais de hidróxido de cálcio, seguida da transformação

em carbonato de cálcio).

O encurtamento total devido à retração depende de

diversos fatores sendo os mais importantes: a dimensão do

elemento estrutural, fator água/cimento, a umidade

ambiente e a temperatura de exposição da obra.

Seu efeito inicia a partir do momento em que a água

presente no concreto é consumida pelas reações químicas

que ocorrem no mesmo sendo, o processo de cura com uso

de água ou de produtos químicos, diminuidores de sua

intensidade.

A seguir vê-se um gráfico tempo-deformação indicativo

do efeito da retração do concreto (Figura 4).

4.2.2 Deformação Elástica do Concreto

A deformação elástica, como o próprio nome sugere,

segue a Lei de Hooke onde, a tensão devido ao

carregamento externo ou interno (ζ) é proporcional à

deformação específica (ε) e ao módulo de elasticidade

longitudinal ou módulo de Young do material constituinte

(E).

Essa deformação é reversível sendo assim eliminada de

maneira imediata após a remoção da solicitação (Figura 4).

4.2.3 Deformação por Fluência do Concreto

Segundo Pereira (1987), denomina-se fluência, o

acréscimo de deformação de uma peça sob tensão imposta

constante e pode ser ilustrada pela Figura 4:

Quando um carregamento é aplicado no concreto, uma

parte das tensões é absorvida pela água microscópica

presente no concreto e o restante pelo esqueleto sólido do

mesmo. Mantendo-se o carregamento por um longo período

de tempo, as tensões absorvidas pela água são lentamente

transferidas para o esqueleto do concreto aumentando assim

sua deformação.

A fluência é um fenômeno parcialmente reversível o

que significa que parteda é plástica.

O efeito da fluência depende de vários fatores, sendo os

mais importantes: a idade do concreto na época do

carregamento, a umidade ambiente, a temperatura ambiente

e as dimensões do elemento estrutural (FERRAZ, 1958b).

Figura 4: Deformações no concreto.

SIMBOLOGIA:

εc– Deformação específica do concreto;

εc,s – Deformação específica do concreto devido a retração;

εcc – Deformação específica do concreto devido a fluência;

εc,el – Deformação específica elástica do concreto.

4.3 Prescrições da NBR 6118 (2007)

4.3.1 Classe de Agressividade Ambiental

A agressividade do meio ambiente está relacionada às

ações físicas e químicas que atuam sobre as estruturas de

concreto independentemente das ações mecânicas ou outras

previstas no dimensionamento estrutural (NBR 6118;

ABNT, 2007).

As estruturas de concreto protendido assim como as de

concreto armado são classificadas quanto ao tipo de

ambiente em:

CP-105 Barra

CP-125 Barra

CP-150 RN Fio

CP-175 RN Cordoalha

CP-175 RB Cordoalha

CP-190 RN Cordoalha

CP-190 RB Cordoalha 190

175

190

150

175

105

125

Resistência Característica à

Ruptura (fptk) - KN/cm²Designação Tipo

Bortone, T. P.

5


Tabela 2: Classes de Agressividade Ambiental.

Tal classificação gera requisitos mínimos a serem

atendidos no campo do cobrimento da armadura de modo a

evitar a corrosão da mesma, na qualidade do concreto e no

nível de protensão (Tabela 3).

Tabela 3: Exigências das Classes de Agressividade Ambiental.

4.3.2 Estados Limites de Serviço

Os estados limites de serviço previstos pela norma

brasileira NBR 6118 (ABNT, 2007) para estruturas de

concreto protendido são:

Estado Limite de Formação de Fissuras (ELS-F):

Estado em que inicia a formação de fissuras.

Admite-se que este estado é atingido quando a

tensão de tração máxima na seção transversal for

igual a resistência a tração na flexão do concreto;

Estado Limite de Abertura das Fissuras (ELS-W):

Estado em que as fissuras se apresentam com

aberturas iguais aos máximos permitidos;

Estado Limite de Deformações Excessivas (ELS-

DEF): Estado em que as deformações atingem os

limites estabelecidos para sua utilização;

Estado Limite de Descompressão (ELS-D): Estado

no qual em um ou mais pontos da seção

transversal a tensão normal é nula, não havendo

tração no restante da seção;

Estado Limite de Compressão Excessiva (ELS-

CE): Estado em que as tensões de compressão

atingem o limite convencional estabelecido.

4.3.3 Combinações de Ações de Serviço

As combinações de ações de serviço são classificadas de

acordo com sua permanência na estrutura e são definidas

pela norma brasileira NBR 6118 (ABNT, 2007) como:

Quase Permanentes (CQP): Podem atuar

durante grande parte da vida da estrutura.

Frequentes (CF): Se repetem muitas vezes

durante a vida da estrutura.

Raras (CR): Ocorrem algumas vezes durante a

vida da estrutura.

Para o cômputo das solicitações devido as combinações

descritas anteriormente procede-se segundo as fórmulas

abaixo com os coeficientes de ponderação descritos na

Tabela 4:

( ) ∑ ∑ (1)

( ) ∑ ∑ ∑

(2)

( ) ∑ ∑ (3)

SIMBOLOGIA:

Fd,serv– Solicitação em serviço;

Fgi,k– Solicitação permanente;

Fqj,k– Solicitação acidental;

Fg1,k– Solicitação permanente principal;

Fq1,k– Solicitação acidental principal;

ψ1j ou ψ1– Coeficiente de ponderação da solicitação acidental

principal;

ψ2 – Coeficiente de ponderação da solicitação acidental

secundária.

Tabela 4: Coeficientes de Ponderação.


6


4.3.4 Níveis de Protensão

Os níveis de protensão estão relacionados com a

intensidade da força aplicada que por sua vez é função da

proporção de armadura ativa em relação à passiva.

As estruturas de concreto protendido pós-tracionadas

são classificadas quanto em três níveis onde para cada um

deles temos requisitos quanto a classe de agressividade

ambiental (CAA), fissuração e combinações de ações,

conforme a Tabela 5:

Tabela 5: Níveis de Protensão.

4.4 Sistema de Protensão com cabos

aderentes pós-tracionados compostos de

cordoalhas

No sistema de protensão com cabos aderentes pós-

tracionados, os cabos têm suas extremidades ancoradas no

concreto. Por isso, eles, além de aplicarem ao concreto um

esforço de compressão, podem ainda funcionar como

armadura de concreto convencional graças a aderência entre

os cabos e o elemento estrutural (FERRAZ, 1958a).

O sistema de armadura pós-tracionada é constituído

basicamente pelos cabos de protensão, suas ancoragens e o

equipamento de protensão.

4.4.1 Cabos de Protensão

Os cabos de protensão, como já descritos anteriormente,

são fabricados com o uso de aço de alta resistência,

aproximadamente quatro vezes mais resistente que o aço

usado no concreto armado.

Os cabos são posicionados dentro de bainhas metálicas,

geralmente feitas com chapas finas corrugadas, visando

assim garantir sua correta posição dentro do elemento

estrutural e também permitir tanto sua colocação antes da

concretagem quanto depois dela (fiação posterior). O

diâmetro das bainhas utilizadas depende do diâmetro do

cabo de protensão usado.

Após a concretagem do elemento estrutural, a bainha

metálica contendo o cabo de protensão é preenchida com

uma nata de cimento, o que garante uma proteção adicional

à armadura contra a corrosão e estabelece a aderência entre

o cabo e a peça de concreto.

Para atender a essas finalidades é necessário que ocorra

o preenchimento total dos espaços vazios das bainhas pela

nata de cimento sem que haja bolhas de ar ou água de

segregação. Além disso, a nata não deve conter em sua

composição elementos capazes de provocar corrosão do aço

e, que após seu endurecimento, haja garantida elevada

resistência (MACHADO, 1965)

O procedimento de preenchimento das bainhas é

controlado por meio de purgadores instalados ao longo da

peça. A saída desta nata dos purgadorescomprova o total

preenchimento dos vazios da bainha (ver Figura 5).

Figura 5: Purgador e bainha metálica.

4.4.2 Ancoragem dos Cabos

Os sistemas de ancoragem dos cabos de protensão nos

elementos estruturais compreendem dois tipos: ancoragens

ativas e ancoragens passivas ou mortas (Figura 6):

Figura 6: Tipos principais de ancoragem e seus subtipos.

As ancoragens ativas (Figura 7a) são aquelas por onde

se faz o estiramento dos cabos e são colocadas nos pontos

de saída dos mesmos. Sua localização deve ser escolhida de

modo a permitir fácil acesso e posicionamento dos

equipamentos de protensão (EMERICK, 2005).

De maneira geral, a fixação dos cabos nessas

ancoragensé feita através do processo de encunhamento.

Nesse processo, as cordoalhas são inicialmente separadas

uma a uma. Quando no instante de tracionamento de cada

cordoalha, a força de protensão determinada pelo projeto é

atingida, cunhas são forçadas no furo de passagem das

Ancoragens Ativas

Ancoragens Passivas ou

Mortas

Com uso de Dispositivos de

Ancoragem Ativa

Com uso de Laço ou Barras Dobradas

Com uso de formas Especiais

Bortone, T. P.

7


cordoalhas de modo a não deixá-las regredir a posição

inicial.

Para o posicionamento das ancoragens ativas são feitos

antes da concretagem, rebaixos nas faces dos elementos

estruturais, chamados de nichos, que após a operação de

protensãosão preenchidas com concreto, de forma a

permitir um bom acabamento final da face da peça bem

como promover uma maior proteção a corrosão da

armadura protendida.

As ancoragens passivas ou mortas podem ser feitas pré-

cravando os fios das cordoalhas, utilizando um dispositivo

de ancoragem ativa ou podem ser feitas com uso de laços

ou barras dobradas, ancorando os cabos por aderência

dentro do corpo de concreto (Figura 7b).

Figura 7: Ancoragem ativa (a) e passiva (b).

4.4.3 Equipamentos de Protensão

Basicamente, para se executar a operação de protensão

em uma peça, o equipamento necessário é o macaco de

protensão. Ele é um dispositivo hidráulico para estiramento

do cabo onde se controla, através de um manômetro de

pressão, a força aplicada nas cordoalhas. Na medida em que

o cabo é tracionado, são feitas medições do alongamento do

mesmo para comparação com os dados de projeto.

4.5 Perdas de protensão no sistema com

cabos aderentes pós-tracionados compostos

de cordoalhas

Segundo Pfeil (1983), denominam-se perdas de protensão

todas as perdas verificadas nos esforços ou nas tensões

aplicadas aos cabos de protensão.

As perdas podem ser classificadas quanto ao agente

causador ou quanto à época de ocorrência (Figura 8).

Quanto à época de ocorrência, denominam-se perdas

imediatas as perdas que só dependem do sistema

construtivo da obra e perdas diferidas são aquelas que são

computadas de acordo com as propriedades dos materiais

incorporados na estrutura.

Figura 8: Classificação das perdas de protensão.

5 Metodologia

A metodologia está dividida em duas partes. A primeira

consiste na apresentação do modelo de cálculo para

computar os esforços e tensões tanto nas fases iniciais e

finais quanto em qualquer tempo determinado em seções de

elementos protendidos. Na segunda parte, é descrito o

roteiro em forma de fluxograma representando todos os

passos a serem percorridos para determinação das tensões

nas seções.

5.1 Modelo de Cálculo

O modelo matemático proposto considera que a estrutura

protendida é discretizada em um dado número de seções

transversais que têm propriedades geométricas conhecidas e

também que o número de cabos, área e geometria estão

definidos.

5.1.1 Hipóteses

Todas as formulações aqui consideradas são válidasse

satisfeitas as seguintes hipóteses:

Quanto ao Agente

Causador

Perdas por Atrito

Perda na cravação das Ancoragens

Perdas por Deformação do

Concreto

Deformação Elástica

Deformação por Fluência

Deformação por Retração Perdas por

Relaxação do Aço

Quanto a Época de Ocorrência

Perdas Imediatas

Perdas por Atrito

Perda na cravação das Ancoragens

Deformação Elástica

Perdas Diferidas

Deformação por Fluência

Deformação por Retração

Relaxação do Aço


8


O endurecimento do concreto acontece a

condições ambientes constantes;

Existe uma perfeita aderência entre as barras de

armadura e o concreto;

A resistência a tração do concreto é considerada;

A peça analisada permanece no estádio I;

Os conceitos aqui expostos não são aplicáveis a

concretos sujeitos a temperaturas extremamente

altas (maiores do que 150ºC) ou baixas (menores

do que -20ºC).

5.1.2 Posições dos Cabos nas Seções

Para se determinar o traçado do cabo e garantir que o

mesmo seja suave e contínuo é necessária a inserção, por

parte do usuário, de pontos notáveis que, definirão trechos

de cabos onde, sua posição é completamente definida.

Para inserção de tais pontos do cabo usa-se uma

orientação de eixos cartesianos com origem na fibra

superior da seção mais à esquerda do elemento em análise.

O sentido positivo do eixo das abscissas vai da esquerda

para direita e do eixo das ordenadas de cima para baixo.

Com a definição dos pontos notáveis por trecho, as

ordenadas dos cabos nas seções do elemento estrutural são

definidas considerando:

Polinômios de 1º grau: apenas em trecho

horizontais;

Polinômios de 2º grau: demais casos.

Segundo essas premissas e visando um traçado suave

(sem angulosidade) dos cabos estabeleceu-se que no caso

de existir uma parábola no início do cabo, que não seja

seguida de um ponto de inflexão, a mesma terá derivada

primeira nula neste ponto sucessor. Caso ocorra uma

parábola no final do cabo, antecedida de um ponto que não

seja de inflexão, a mesma terá derivada primeira nula nesse

ponto antecessor. Não acontecendo nenhum dos dois casos

anteriores, teremos sempre trechos retos ou duas parábolas

consecutivas que serão definidas através das abscissas de

três pontos consecutivos cujas ordenadas do primeiro e

terceiro ponto tenham derivadas primeiras nulas. Os valores

da ordenada e da derivada primeira do ponto intermediário

são iguais para as duas parábolas.

Definidas assim as equações do desenvolvimento dos

cabos (Figura 9) basta calcular através das abscissas das

seções definidas pelo usuário, as ordenadas da posição dos

cabos de protensão bem como a variação angular de cada

trecho dos mesmos. Estes valores serão utilizados na

determinação do comprimento total do cabo bem como na

avaliação das perdas de tensão por atrito entre o cabo e a

bainha.

Figura 9: Processo para definição dos traçados dos cabos.

5.1.3 Perdas imediatas no sistema de protensão

com cabos aderentes pós-tracionados

compostos de cordoalhas

5.1.3.1 Perdas por Atrito

As perdas por atrito são de extrema importância para

determinação dos esforços de protensão atuantes ao longo

do elemento estrutural e acontecem nos macacos

hidráulicos, nas ancoragens e ao longo do comprimento dos

cabos de protensão.

5.1.3.1.1 Perdas por Atrito nos Macacos

Hidráulicos e nas Ancoragens

Essas perdas são determinadas através de ensaios e

variam de acordo com o modelo de macaco e ancoragens

utilizados. Seus valores dependem do esforço efetivo

aplicado nos cabos de protensão e é ligeiramente inferior ao

produto da pressão manométrica indicada pela área do

cilindro de protensão. Tais perdas equivalem, segundo Pfeil

(1984b), a 5% da tensão inicial aplicada.

Geralmente essas perdas são compensadas aplicando-se

aos cabos uma tensão (ζ) equivalente a:

(4)

onde Pmáx é a força aplicada pelo macaco e Acil a área do

cilindro do equipamento de protensão.

1) Definir os pontos notáveis dos cabos (trechos).

2a) Dois pontos consecutivos com mesma ordenada.

3a) Definição da equação analítica do trecho analisado segundo um polinômio do 1º

grau.

2b) Dois pontos consecutivos com ordenadas diferentes ou um dos

dois sendo um ponto de inflexão.

3b) Definição da equação analítica do trecho analisado segundo um polinômio do 2º

grau.

4) Computar o comprimento do cabo e sua variação angular.

Bortone, T. P.

9


5.1.3.1.2 Perdas por Atrito ao Longo do Cabo de

Protensão

Em geral, os cabos de protensão utilizados nas estruturas

de concreto protendido têm em seu perfil longitudinal e em

alguns casos, em seu perfil transversal, trajetórias curvas.

Quando de seu estiramento durante a protensão, eles

atritam contra a parede das bainhas metálicas em que estão

inseridos provocando perdas na tensão inicial de protensão

(PFEIL, 1980).

A norma brasileira NBR-6118 (ABNT, 2007), diz que

nos elementos estruturais com pós-tração, a perda por atrito

pode ser determinada pela equação abaixo transcrita sob a

forma de tensão:

[ ( )] (5)

SIMBOLOGIA:

Δζanc – perda de tensão de protensão devido ao atrito ao longo do cabo;

ζpmáx – tensão inicial de protensão;

α – soma dos ângulos de desvio entre a ancoragem e o ponto de

abscissa x,em radianos;

μ –é o coeficiente de atrito aparente entre o cabo e a bainha, em

1/radianos;

k –é o coeficiente de perda por metro provocada por curvaturas não

intencionais do cabo.

Na falta de dados experimentais, a referida norma

brasileira propõe valores estimados para μ e k como mostra

a Tabela 6.

Tabela 6: Coeficientes de atrito.

5.1.3.2 Perdas na cravação das ancoragens

No processo de protensão que utiliza macacos hidráulicos

para promover o estiramento dos cabos e cunhas para

fixação dos mesmos ao término da aplicação da força,

sempre há, quando da cravação da cunha e descarregamento

do macaco hidráulico, uma penetração da cunha na

ancoragem e por consequência, uma perda na elongação do

cabo que se configura em uma perda de tensão do elemento

protendido (BUCHAIM, 2007).

Essa penetração deve ser determinada experimentalmente

ou adotado valores indicados pelos fabricantes dos

dispositivos de ancoragem (NBR 6118; ABNT, 2007).

Para o cômputo dessa perda faz-se uso de um processo

iterativo (Figura 10) onde determinado o comprimento

afetado pela penetração da cunha, é calculada a força

ancorada e por consequência, tem-se a tensão ancorada e a

perda de tensão (Figura 11).

Figura 10: Processo para o cálculo da perda por atrito na

cravação das ancoragens.

Figura 11: Diagrama de tensões com perda por atrito e

cravação das ancoragens.

5.1.3.3 Perdas por Deformação Elástica

As perdas por deformação elástica do concreto ou

encurtamento elástico, acontecem a medida que o elemento

estrutural tem em seu processo de protensão, mais de uma

fase de aplicação da força.

Assim, o primeiro cabo executado tem perda por

encurtamento elástico dos (n-1) cabos restantes e, o último

cabo tem essa perda nula.

Logo, a perda média de tensão por cabo pode ser

calculada por (NBR 6118; ABNT, 2007):

1) Traçar diagrama de tensões levando em conta as perdas por atrito.

2) Arbitrar o valor de x (comprimento afetado pela penetração da cunha).

3) Traçar, da orgiem até o ponto x, uma curva simétrica com sentido oposto a do diagrama de tensões

4) Calcular a área entre os diagramas.

5) Comparar o resultado com o deslocamento (δ) recomendado pelo fabricante da ancoragem.

6a) A tensão ancorada é igual ao valor, na origem, da curva traçada no passo 3.

6b) Voltar ao passo 2.

Valor = Valor ≠


10


( ) ( )

(6)

SIMBOLOGIA:

Δζp – perda de tensão de protensão devido ao encurtamento elástico do

concreto;

αp – relação entre os módulos de elasticidade do aço e do concreto;

ζcp – tensão no concreto causada pela protensão;

ζcg – tensão no concreto causada pela carga permanente.

5.1.4 Esforços Iniciais de Protensão

Após a determinação das perdas iniciais de protensão é

necessário determinar os esforços inicias de tal forma que:

∑ ( ) (7)

∑ ( ) (8)

∑ ( ) ( ) (9)

SIMBOLOGIA:

Nip – Força normal inicial de protensão na seção;

Ncab – Área do cabo de protensão na seção;

ζip – Tensão após as perdas imediatas de protensão do cabo na

seção;

α – Ângulo que o cabo faz com a horizontal na seção;

Qip – Força cortante inicial de protensão na seção;

Mip – Momento fletor inicial de protensão na seção;

Ycab – Ordenada do cabo na seção;

Ycg – Altura do centro de gravidade da seção.

5.1.5 Esforços Hiperestáticos de Protensão

Ao se protender uma estrutura estamos nada mais do

que inserindo um carregamento auto-equilibrado que

provoca esforços solicitantes nas seções, deformando-as.

Nas estruturas isostáticas, como estas deformações podem

ocorrer livremente, isto é, não são restringidas pelos apoios,

a protensão não modifica nem as reações de apoio nem os

diagramas de esforços solicitantes (GUYON, 1962).

Porém, quando temos estruturas hiperestáticas, por suas

restrições de deslocamento, há mudanças tanto nas reações

de apoio quando nos diagramas de esforços solicitantes.

Chamam-se de esforços hiperestáticos de protensão as

solicitações e reações geradas pela protensão em estruturas

hiperestáticas. Com isso o momento total em uma seção

qualquer será:

(10)

SIMBOLOGIA:

MSi – momento fletor solicitante em uma seção i;

MSe – momento fletor gerado pela solicitação externa;

Mhip – momento fletor hiperestático de protensão;

5.1.5.1 Cálculo dos Esforços Hiperestáticos de

Protensão

Para o cálculo das solicitações hiperestáticas de

protensão vamos utilizar o Método das Forças em sua

forma matricial.

Esse método consiste em criar uma de série de soluções

básicas da estrutura que satisfazem suas condições de

equilíbrio, mas não suas condições de compatibilidade para

que na superposição das mesmas essa condição seja

atendida (MARTHA, 2010). Logo, temos em ordem de

acontecimento: em primeiro lugar o estabelecimento das

condições de equilíbrio depois, as condições sobre o

comportamento dos materiais (leis constitutivas) e por fim

as condições de compatibilidade.

São obtidas após a resolução da estrutura pelo Método

das Forças, as reações de apoio hiperestáticas e com elas

são calculados os momentos hiperestáticos de protensão em

cada seção.

Para a obtenção das reações de apoio hiperestáticas

basta resolver um sistema de equações, apresentado aqui de

maneira matricial (Equação 11), onde no primeiro termo

temos a matriz de flexibilidade da estrutura (matriz

quadrada de ordem igual ao número de apoios da estrutura

hiperestática menos dois); no segundo termo o vetor de

reações hiperestáticas e no terceiro o vetor de deformações

na direção e sentido das reações de apoio redundantes,

provocadas pelo carregamento, aplicado a estrutura

isostática fundamental.

[

] [

] [

] (11)

∫

∫

∫

∫

(12)

Pode-se ver que cada termo aij da matriz de flexibilidade

da estrutura (Equação 12) é composto de 4 partes sendo,

por sua ordem de aparecimento, a componente que depende

do momento fletor, do esforço cortante, do momento torsor

e da força normal.

No presente trabalho, para o cálculo dos termos da

matriz de flexibilidade usaremos a Equação 13 pelos

motivos abaixo:

O termo relacionado ao momento de torsão

será nulo, pois, a análise aqui feita é contida no

plano (bidimensional);

O termo relacionado ao esforço normal

também será nulo pois, na estrutura não serão

aplicadas cargas horizontais;

O termo relacionado ao esforço cortante

também será nulo visto que o mesmo tem

Bortone, T. P.

11


pouca representatividade perante ao termo

relacionado ao momento fletor.

∫

(13)

SIMBOLOGIA:

aij – Termos da matriz de flexibilidade (válidos para i e j ≠ 0);

ai0 – Termos do vetor Bi;

Mi ou Mj –Momento fletor nas seções, devido ao esforço unitário

aplicado na direção do hiperestático i ou j (valido para i e j ≠ 0);

M0- Momento fletor nas seções devido à protensão (inicial ou

final);

E – Módulo de elasticidade longitudinal do concreto;

I – Momento de inércia da seção estudada;

5.1.5.2 Primeira Regra de Simpson

Como somente possuímos os valores dos momentos

fletores em cada seção utilizaremos uma integração

numéricas para determinação dos termos da matriz de

flexibilidade.

O método de integração numérica adotado foi a primeira

regra de Simpson (Equação 14) generalizada que, é uma

interpolação polinomial de 2º grau, portanto tem valor

exato para funções de até 3º grau e também possibilita a

divisão desigual entre tramos.

Numerando a seção inicial da estrutura a partir do

número zero temos e, sendo um numero par de seções por

vão temos:

∑

(14)

SIMBOLOGIA:

Δx– Distância entre duas seções consecutivas quaisquer de cada

tramo;

aij – Termos da matriz de flexibilidade (válidos para i e j ≠ 0);

ai0 – Termos do vetor Bi;

Mi ou Mj–Momento fletor nas seções, devido ao esforço unitário

aplicado na direção do hiperestático i ou j (valido para i e j ≠ 0);

M0- Momento fletor nas seções devido à protensão (inicial ou

final);

E – Módulo de elasticidade longitudinal do concreto;

I– Momento de inércia da seção estudada;

Ns– Número total de seções;

C – Coeficiente de Simpson (1 para seções extremas, 2 para seções

de numero par e 4 para seções de numero ímpar).

5.1.6 Deformações diferidas do concreto

5.1.6.1 Idade Fictícia do Concreto

Chama-se de idade fictícia do concreto, uma correlação

matemática que visa ajustar as propriedades reológicas do

concreto para os casos em que seu endurecimento ocorre

em temperaturas diferentes de 20ºC e, tem influência nos

efeitos das deformações causadas por retração e fluência do

concreto. Tal formulação não se aplica, porém a concretos

submetidos a cura a vapor. Devido ao fato de ocorrer

variação de temperatura durante a execução da obra é

recomendado um cálculo levando em conta 20ºC de

variação sempre a favor da segurança.

Defini-se então que a idade corrigida do concreto,

segundo a NBR 6118 (ABNT, 2007) é:

∑

(15)

SIMBOLOGIA:

t – idade fictícia do concreto, em dias;

α – coeficiente dependente da velocidade de endurecimento do

cimento (Tabela 7);

Ti – temperatura média diária do ambiente, em graus Celsius;

Δtef,i – período, em dias, durante o qual a temperatura média diária

do ambiente Tipode ser admitida constante.

Tabela 7: Valores sugeridos pela norma NBR 6118 (ABNT,

2007) para o coeficiente α.

5.1.6.2 Espessura Fictícia da Peça

Chama-se de espessura fictícia da peça, a espessura de

uma parede, com as duas faces em contato com a

atmosfera, que sofre o mesmo efeito das deformações por

retração e fluência do concreto que a peça estudada,

multiplicada por um coeficiente que reflete a influência da

umidade relativa do ar sobre os citados efeitos (PFEIL,

1983).

Sua formulação matemática é proposta pela norma

brasileira NBR 6118 (ABNT, 2007) como sendo:

(16)

( ) (17)

SIMBOLOGIA:

hfic – espessura fictícia da peça;

γ – coeficiente dependente da umidade relativa do ar;

Ac – área da seção transversal da peça;

uar– parte do perímetro externo da peça em contato com o ar;

U – umidade relativa do ar, em porcentagem;

5.1.6.3 Deformação por Fluência no Concreto

5.1.6.3.1 Hipóteses Básicas

Para o cálculo das deformações por fluência no

concreto, quando das tensões em serviço, admitem-se as

seguintes hipóteses conforme consta da norma brasileira

NBR 6118 (ABNT, 2007):

a) A deformação por fluência do concreto εcc varia

linearmente com a tensão aplicada;


12


b) Para acréscimos de tensão aplicados em instantes

distintos, os respectivos efeitos de fluência se

superpõem;

c) A deformação rápida produz deformações

constantes ao longo do tempo; os valores de

coeficiente φa são função da relação entre a

resistência do concreto no momento da aplicação

da carga e sua resistência final;

d) O coeficiente de deformação lenta reversível φd

depende apenas da duração do carregamento; o seu

valor final e o seu desenvolvimento ao longo do

tempo são independentes da idade do concreto no

momento da aplicação da carga;

e) O coeficiente da deformação lenta irreversível φf

depende da umidade relativa do ambiente,

consistência do concreto no lançamento, espessura

fictícia da peça, idade fictícia do concreto no

instante to da aplicação da carga e da idade fictícia

do concreto no instante considerado t.

f) Para o mesmo concreto, as curvas de deformação

lenta irreversível, em função do tempo,

correspondente as diferentes idade do concreto no

momento do carregamento, são obtidas, umas em

relação a outras, por deslocamento paralelo ao eixo

das deformações.

5.1.6.3.2 Valor da Deformação por Fluência do

Concreto

Segundo a norma brasileira NBR 6118 (ABNT, 2007), a

deformação devido a fluência do concreto é dada por:

( )

( ) (18)

√ (19)

( ) [ ( ) ( )] (20)

[ ( )

( )] (21)

(22)

(23)

(24)

( )

(25)

( )

(26)

(27)

(28)

(29)

(30)

SIMBOLOGIA:

εcc(t,to)– deformação devido a fluência do concreto;

ζc – tensão atuante na peça;

Ec28 – Módulo de Elasticidade inicial do Concreto aos 28 dias;

φ(t,to) – Coeficiente de Fluência;

fck – resistência característica a compressão do concreto em MPa;

φa – coeficiente de deformação rápida irreversível;

φf∞ – coeficiente de deformação lenta irreversível em função da

espessura fictícia da peça e umidade relativa do ar;

βf(t) ou βf(to)– coeficiente de deformação lenta irreversível em

função da espessura fictícia da peça e idade do concreto (Figura 12);

t – idade fictícia do concreto no instante considerado, em dias;

to – idade fictícia do concreto ao ser feito o carregamento, em dias;

φd∞ – coeficiente de deformação lenta reversível, considerado igual

a 0,4;

βd – coeficiente de deformação lenta reversível em função do tempo

(t-to) decorrido após o carregamento;

fc(to)/fc(t∞) – função do crescimento da resistência do concreto

com a idade;

φ1c – parcela do coeficiente de deformação lenta irreversível que

depende da umidade relativa do ar e da consistência do concreto.

Equação válida para abatimentos entre 5 cm e 9 cm. Para valores de

abatimento entre 0cm e 4cm, com U≤90%, considerar 25% menor

do que o calculado pela equação. Para valores de abatimento entre

10 cm e 15 cm, com U≤90%, considerar 25% maior do que o

calculado pela equação;

U – Umidade relativa do ar, em porcentagem;

φ2c – parcela do coeficiente de deformação lenta irreversível que

depende da espessura fictícia da peça;

hfic – Espessura fictícia da peça, em metros;

A, B, C e D – Coeficientes da função βf.

Figura 12: Diagrama do coeficiente βf.

Bortone, T. P.

13


5.1.6.4 Deformação por Retração no Concreto

5.1.6.4.1 Hipóteses Básicas

Para o cálculo das deformações por retração no

concreto, admite-se a seguinte hipótese presente da norma

brasileira NBR 6118 (ABNT, 2007):

a) A deformação por retração do concreto

dependesomente da umidade relativa do ambiente,

da consistência do concreto no instante de seu

lançamento, da espessura fictícia da peça e da idade

fictícia do concreto.

5.1.6.4.2 Valor da Deformação por Retração do

Concreto

Segundo a norma brasileira NBR 6118 (ABNT, 2007), a

deformação devido à retração do concreto entre os instantes

t e to é dada por:

( ) [ ( ) ( )] (31)

(32)

(33)

(34)

( ) (

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(35)

(36)

(37)

(38)

(39)

(40)

SIMBOLOGIA:

εcs(t,to)– deformação devido a retração do concreto;

εcs∞ – coeficiente de retração que leva em conta a umidade relativa

do ambiente, espessura fictícia da peça e consistência do concreto;

ε1s – coeficiente dependente da umidade relativa do ambiente e da

consistência do concreto. Equação válida para abatimentos entre 5

cm e 9 cm. Para valores de abatimento entre 0 cm e 4 cm, com

U≤90%, considerar 25% menor do que o calculado pela equação.

Para valores de abatimento entre 10 cm e 15 cm, com U≤90%,

considerar 25% maior do que o calculado pela equação;

ε2s – coeficiente dependente da espessura fictícia da peça;

U – Umidade relativa do ar, em porcentagem;

βs(t) ou βs(to) – coeficiente relativo a retração em função da

espessura fictícia da peça e idade do concreto (Figura 13);

hfic – Espessura fictícia da peça, em metros;

t – idade fictícia do concreto no instante considerado, em dias;

to – idade fictícia do concreto no instante em que o efeito da

retração na peça começa a ser considerado, em dias;

A, B, C, D e E – Coeficientes da função βs.

Figura 13: Diagrama do coeficiente βs.

5.1.7 Perdas diferidas no sistema de protensão com

cabos aderentes pós-tracionados compostos de

cordoalhas

Como já dito anteriormente, as perdas diferidas de

protensão se resumem em perdas causadas por deformação

do concreto pelo efeito de fluência e retração e por

relaxação do aço.

As deformações de fluência e relaxação são

interdependentes, pois a armadura de protensão não fica

submetida nem a tensão constante nem a deformação

constante. Além disso, ambos os fenômenos são também

influenciados pela retração do concreto. As perdas totais de

protensão não podem ser então explicitadas em termos de

variáveis conhecidas recaindo em um problema iterativo

(Figura 14).

Para determinação das perdas utilizaremos o método da

tensão média com Ec (módulo de elasticidade do concreto)

variável:

( ) ( ) ( )

( ( ) ( ))

( ) ( ) ( )

(41)

(42)

(43)

(

)

(

) (44)

(45)

(46)


14


(47)

SIMBOLOGIA:

Δζp,csr – Perda de tensão na armadura de protensão devido a

fluência e retração do concreto e relaxação do aço;

εcs(t,to) – Deformação total por retração do concreto;

Ep – Módulo de elasticidade longitudinal do aço de protensão;

n – Razão entre o módulo de elasticidade longitudinal do aço de

protensão e do concreto aos 28 dias;

φ(t,to) – Coeficiente de deformação por fluência do concreto;

ζcg – Tensão no concreto, ao nível do cabo, devido ao peso próprio

e outras cargas permanentes atuantes;

ζcpo – Tensão inicial no concreto, ao nível do cabo, devido apenas a

protensão;

Δζpr – Perda de tensão na armadura de protensão devido ao efeito

da relaxação pura do aço;

ζpo – Tensão inicial no aço de protensão devido apenas a protensão;

Ec(t) – Módulo de elasticidade longitudinal do concreto no tempo

desejado;

Ec(to) – Módulo de elasticidade longitudinal do concreto no

momento do carregamento;

ζp – Tensão no aço de protensão;

qi – Função de relaxação do aço de protensão;

a, b e c – Coeficientes da função de relaxação;

ψ60 – Valores de relaxação pura do aço para uma tensão

correspondente a 60% de ζpo;


correspondente a 70% de ζpo;


correspondente a 80% de ζpo.

Figura 14: Fluxograma de determinação das perdas diferidas de

protensão.

5.1.8 Esforços Finais de Protensão

Após a determinação das perdas diferidas de protensão é

necessário determinar os esforços finais de tal forma que:

∑ ( ) (48)

∑ ( ) (49)

∑ ( ) ( ) (50)

SIMBOLOGIA:

Nfp – Força normal final de protensão na seção;

Acab – Área do cabo de protensão na seção;

ζfp – Tensão após as perdas diferidas e imediatas de protensão do

cabo na seção;

α – Ângulo que o cabo faz com a horizontal na seção;

Qfp – Força cortante final de protensão na seção;

Mfp – Momento fletor final de protensão na seção;

Ycab – Ordenada do cabo na seção;

Ycg – Altura do centro de gravidade da seção.

5.1.9 Tensões finais no sistema de protensão com

cabos aderentes pós-tracionados compostos de

cordoalhas

Após a determinação dos esforços iniciais e finais de

protensão, passamos ao cálculo das tensões normais

máximas e mínimas em cada seção para as diversas

combinações de ações com o uso das equações da

resistência dos materiais (HIBBELER, 2010) mostradas

abaixo:

(51)

(52)

SIMBOLOGIA:

ζsup – Tensão atuante na borda superior;

Nx – Força normal atuante na seção;

A – Área da seção transversal;

I – Momento Central de Inércia no sentido da flexão;

Mx – Momento fletor atuante na seção;

ζinf – Tensão atuante na borda inferior;

Ys – Distância do centro de gravidade da seção transversal à borda

superior;

Yi – Distância do centro de gravidade da seção transversal à borda

inferior.

5.2 Fluxograma Proposto

Visto os conceitos básicos das estruturas protendidas

bem como os métodos matemáticos para computar os

esforços tanto nas fases iniciais e finais quanto em qualquer

tempo determinado, estabelecemos aqui o roteiro em forma

de fluxograma que representa todos os passos a serem

percorridos para determinação das tensões nas seções.

O fluxograma proposto será dividido em módulos

numerados de 1 a 14 para maiores explicações e

detalhamentos. Esse fluxograma será implementado

utilizando a linguagem de programação orientada a objetos

Microsoft Visual Basic .NET.

5.2.1 Módulo 1 (Entrada de Dados)

O chamado módulo 1 é o módulo pré-processador de

dados e se resume a recepção de dados fornecidos pelo

1) Arbitrar um valor para Δζp,csr e calcular Δζpr (Equação 42).

2) Recalcular Δζp,csr (Equação 41).

3) Δζp,csr (Passo 1) = Δζp,csr (Passo 2) ?

4a) Equilíbrio alcançado. 4b) Voltar ao

passo 1.

Bortone, T. P.

15


usuário e alocação dos mesmos em variáveis adequadas

para futuro acesso de outros módulos (Figura 15).

Figura 15: Fluxograma do Módulo 1.

5.2.1.1 Dados Gerais da Estrutura

São os dados iniciais fornecidos pelo usuário e que

descrevem o modelo da estrutura:

Tipo da Estrutura : Rodoviária ou Ferroviária;

Número de Cabos;

Número de Apoios;

Abscissas dos Apoios.

5.2.1.2 Características Geométricas das Seções

Os seguintes elementos definem as características

geométricas de cada seção do modelo:

Área da seção transversal;

Momento principal de inércia;

Altura da seção;

Posição do centro de gravidade da seção

medido a partir da face superior da seção;

Perímetro da seção em contato com o meio

ambiente.

5.2.1.3 Envoltórias de Esforços Solicitantes

Consideram-se os dados, em cada seção, dos esforços

externos no cálculo das tensões iniciais e finais da estrutura.

5.2.1.4 Dados Relativos ao Aço de Protensão

Para o cálculo das perdas do sistema de protensão e

tensões iniciais e finais, são utilizados os seguintes

elementos:

Módulo de Elasticidade Longitudinal do Aço

de Protensão (Ep);

Resistência Característica à tração do aço de

protensão (fptk);

Relaxação pura com ζ0/fptk = 0,60 (ψ60);



Área da Seção transversal dos cabos de

protensão;

Tensão inicial sem perdas no cabo;

Coeficiente de atrito entre o cabo e a bainha;

Perda de atrito por metro linear;

Escorregamento na ancoragem.

5.2.1.5 Dados Relativos ao Concreto e Meio

Ambiente

Os dados fundamentais para o cálculo das perdas da

resistência do concreto e influência do mesmo sobre os

efeitos de fluência e retração na estrutura:

Resistência Característica à Compressão do

Concreto (fck);

Abatimento (Slump);

Umidade Relativa do ar;

Data da aplicação da protensão;

Combinações de ações.

5.2.1.6 Dados Relativos aos Cabos de Protensão

Dados essenciais para o cálculo das posições dos cabos

nas seções bem como para determinação das perdas por

atrito e esforços finais nos cabos:

Modo de protensão: por ambas as

extremidades, pela extremidade da direita ou

pela extremidade da esquerda;

Números de cabos de protensão;

Desvio angular horizontal do cabo;

Número de trechos de cabos;

Coordenadas ou pontos notáveis que definem

cada trecho.

5.2.2 Módulo 2 (Propriedade dos Cabos)

O chamado módulo 2 se resume ao cômputo da

geometria dos cabos conforme 5.1.2 (Figura 16).

Módulo 1

Pré-Processador de Arquivos

(leitura de dado em arquivo)

Pré-Processador de Teclado

(leitura de dado digitados na tela)

Leitura de dados

Gerais da Estrutura

Características Geométricas das Seções

Envoltória de Momentos Fletores

Envoltória de Esforços Cortante

Dados Relativos ao aço de Protenção

Dados Relativos ao Concreto e Meio Ambiente

Dados Relativos aos Cabos de Protensão

Alocação dos dados em variáveis.


16



5.2.3 Módulo 3 (Perda por Atrito)

No módulo 3 se propõe calcular as perdas por atrito na

estrutura conforme 5.1.3.1 (Figura 17).


5.2.4 Módulo 4 (Perda na Cravação das

Ancoragens)

É denominado como módulo 4, o processador de dados

onde se propõe calcular as perdas na cravação das

ancoragens conforme 5.1.3.2 (Figura 18).


5.2.5 Módulo 5 (Perda por Encurtamento Elástico)

No módulo 5 é indicado o calculo das perdas por

encurtamento elástico do concreto devido às cravações de

cabos de protensão não simultâneas conforme 5.1.3.3

(Figura 19).


5.2.6 Módulo 6 (Tensão Inicial de Protensão)

No módulo 6 é indicado o calculo as tensões iniciais de

protensão (Figura 20).

Módulo 2

Carregamentos dos dados relativos aos Cabos de Protensão (Módulo 1)

Processamento de dados

Equações do perfil longitudinal

Obtenção do comprimento

Obtenção da variação angular vertical total

Obtenção das posições (ordenadas) em cada seção

Desenho do perfil longitudinal na estrutura


Módulo 3

Carregamentos dos dados relativos aos Cabos de Protensão (Módulo 1 e Módulo 2)


Equações das perdas por atrito

Obtenção dos valores das perdas em cada seção

Desenho do diagrama de tensões iniciais e com perdas


Módulo 4

Carregamentos dos dados relativos aos Cabos de Protensão (Módulos 1,2 e 3)


Determinação do comprimento de influência

Montagem das equações das perdas

Determinação dos valores das perdas para cada seção

Desenho do diagrama de tensões iniciais junto com

o do Módulo 3


Módulo 5

Carregamentos dos dados relativos aos Cabos de Protensão (Módulos 1,2)


Montagem das equações das perdas

Determinação dos valores das perdas para cada seção

Desenho do diagrama de tensões junto com o do módulo 4


Bortone, T. P.

17



5.2.7 Módulo 7 (Esforços Iniciais de Protensão)

O módulo 7 é onde se indica o calculo dos esforços

iniciais de protensão conforme 5.1.4 (Figura 21).


5.2.8 Módulo 8 (Reações Hiperestáticas Iniciais)

O chamado módulo 8 é onde se propõe calcular as

reações hiperestáticas iniciais de protensão conforme 5.1.5

(Figura 22).


5.2.9 Módulo 9 (Perdas Diferidas)

O chamado módulo 9 propõe calcular perdas diferidas

(por fluência e retração do concreto e relaxação do aço) de

protensão conforme 5.1.7 (Figura 23).


5.2.10 Módulo 10 (Esforços Finais de Protensão)

No módulo 10 são estabelecidos o calculo dos esforços

finais de protensão conforme 5.1.8 (Figura 24).

Módulo 6

Carregamentos dos dados relativos aos Cabos de Protensão (Módulos Anteriores)


Determinação dos valores das tensões para cada seção


o do Módulo 5


Módulo 7



Determinação dos valores dos esforços para cada seção

Exibição dos dados na tela


Módulo 8



Determinação dos valores das reações para estrutura

Obtenção do momento fletor e esforços cortantes

hiperestáticos e exibiçào na tela


Módulo 9



Estabelecimento das equações

Determinação dos valores das perdas para estrutura


o do Módulo 6 e exibição na tela



18



5.2.11 Módulo 11 (Tensão Final de Protensão)

O chamado módulo 11 é um módulo processador de

dados e é onde se propõe calcular as tensões iniciais de

protensão (Figura 25).


5.2.12 Módulo 12 (Combinações)

O chamado módulo 12 é onde se propõe definir as

combinações de ações e chegar aos esforços solicitantes de

cada combinação (Figura 26).


5.2.13 Módulo 13 (Tensões Finais da Seção e

Classificação)

O chamado módulo 13 é um módulo processador de

dados e é onde se propõe definir as tensões finais conforme

5.1.9 e classificar a estrutura quanto ao grau de protensão

conforme 4.3.4 (Figura 27).


5.2.14 Módulo 14 (Saída de Dados)

O chamado módulo 14 é um módulo pós-processador de

dados e é onde se propõe efetuar a saída de dados do

programa (Figura 28).

Módulo 10



Determinação dos valores dos esforços para cada seção

Exibição dos dados na tela


Módulo 11



Determinação dos valores das tensões para cada seção

Desenho do diagrama de tensões finais junto com

o do Módulo 7


Módulo 12

Carregamentos dos dados relativos às Combinações (Módulo 1)


Determinação dos valores dos esforços por combinação


Módulo 13



Estabelecimento das equações para as combina;cões

Determinação dos valores das tensões para estrutura

Desenho do diagrama de tensões finais por seção

e exibição na tela


Bortone, T. P.

19



6 Considerações Finais

O modelo aqui descrito para o cálculo de estruturas

protendidas embora simples é matematicamente laborioso

para realização manual.

Inúmeras aproximações têm sido propostas para

simplificar tais cálculos e, obter um comportamentoatravés

do modelo matemático que, represente a estrutura da

maneira mais real possível.

É verdade que, para as estruturas de concreto

protendido bem como qualquer estrutura são necessárias as

verificações de todos os estados limite últimos (ELU) e

estados limites de serviço (ELS) visto que os dois

determinam a segurança a ruptura (ELU) e garantem um

adequado nível de conforto ao usuário (ELS).

Entretanto computando e garantindo um bom

funcionamento da peça no estado limite de serviço (ELS), a

segurança a ruptura (ELU), na grande maioria dos casos,

vai se concretizar bastando-se apenas considerar a armadura

passiva na seção transversal.

A vantagem de se ter um sistema computacional no qual

se computa as tensões atuantes em peças com cabos pós-

protendidos aderentes constituídos por cordoalhas é que se

agiliza o processo de cálculo e se minimiza erros que, pelo

fato de se efetuarem cálculos múltiplos semelhantes

acontecem com certa frequência.

Alguns pontos poderão ser revistos no futuro como, por

exemplo, a inclusão da verificação ao esforço cortante,

análise não linear das deformações por fluência e retração

no concreto e relaxação no aço e nova formulação para

perda por atrito entre os cabos e a bainha metálica.

Enfim, em termos de contribuição, é proposto um

modelo matemático a ser implementado na linguagem

orientada a objetos Microsoft Visual Basic .NET, gerando

uma ferramenta tanto para uso acadêmico quanto para uso

profissional para o estudo das tensões no estado limite de

serviço de peças em com cabos aderentes pós-tracionados

compostos de cordoalhas protendidas capaz de calcular as

referidas tensões nas etapas iniciais e finais (tempo

estipulado), considerando as formulações preconizadas pela

norma brasileira NBR 6118 (ABNT, 2007), e mostrando de

maneira gráfica as evoluções das perdas de tensões das

diversas fases de protensão.

Referências Bibliográficas

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(ABNT). NBR 6118: Projeto de Estruturas de Concreto –

Procedimento. Brasil, 2007.

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Brasil: EDUEL – Editora da Universidade Estadual de Londrina,

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7ª Edição. São Paulo, Brasil: Pearson Prentice Hall, 2010.

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1965.

MARTHA, L. F. R.; Análise de Estruturas: Conceitos e Métodos

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PEREIRA, S. S. R. SAPBS: Um Sistema para Análise do

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Sucessivos. Tese (Doutorado) — UFRJ – Universidade Federal do

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PFEIL, W. Concreto Protendido: Processos Construtivos, Perdas

de Protensão, Sistemas Estruturais. Rio de Janeiro, Brasil: LTC -

Livros Técnicos e Científicos Editora S.A., 1980.

PFEIL, W. Concreto Protendido: Processos Construtivos, Perdas

de Protensão. 2ª Edição. Rio de Janeiro, Brasil: LTC - Livros

Técnicos e Científicos Editora S.A., 1983.

Módulo 14

Pós-Processador de Arquivos

(saída de dado em arquivo)

Pós-Processador de Teclado

(saída de dadso na tela)

Saída de dados

Impressão:

Dados de Entrada (Módulo 1)

Tabelas de posições dos cabos e tensões nos cabos em cada seção

Variações angulares verticais dos cabos

Comprimento dos Cabos

Alongamento dos Cabos

Tabelas de esforços iniciais, finais e hiperestáticos

Tensões nas seções transversais devido as combinações e comparaçào com os limites

Classificação quanto ao nível de protensão



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PFEIL, W. Concreto Protendido: Introdução. Rio de Janeiro,

Brasil: LTC - Livros Técnicos e Científicos Editora S.A., 1984a.

PFEIL, W. Concreto Protendido: Dimensionamento à Flexão. Rio

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PFEIL, W. Concreto Armado: Introdução – Constituição e

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Dimensionamento. 5ª Edição. Rio de Janeiro, Brasil: LTC - Livros

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SCHMID, M. R. L. Um pouco da História do uso do Aço no

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50 – Abril/Maio/Junho, p. 50–55, 2008.

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Estudo das Tensões no Estado Limite de Serviço em … · Avaliação das Tensões no Estado Limite de Serviço em Seções de Concreto Protendido 2 Mostra PROPEEs UFMG, v. 1, n