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UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPÍRITO SANTO
CENTRO TECNOLÓGICO DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELÉTRICA
PROJETO DE GRADUAÇÃO
ESTUDO DOS EFEITOS DA CORRENTE DE MAGNETIZAÇÃO (INRUSH) DE UM TRANSFORMADOR
SOBRE UM GERADOR SÍNCRONO
HUGLEYDSON THOM PROESCHOLDT
VITÓRIA – ES MARÇO/2006
HUGLEYDSON THOM PROESCHOLDT
ESTUDO DOS EFEITOS DA CORRENTE DE MAGNETIZAÇÃO (INRUSH) DE UM TRANSFORMADOR
SOBRE UM GERADOR SÍNCRONO Parte manuscrita do Projeto de Graduação do aluno Hugleydson Thom Proescholdt, apresentado ao Departamento de Engenharia Elétrica do Centro Tecnológico da Universidade Federal do Espírito Santo, para obtenção do grau de Engenheiro Eletricista.
VITÓRIA – ES MARÇO/2006
HUGLEYDSON THOM PROESCHOLDT
ESTUDO DOS EFEITOS DA CORRENTE DE
MAGNETIZAÇÃO (INRUSH) DE UM TRANSFORMADOR SOBRE UM GERADOR SÍNCRONO
COMISSÃO EXAMINADORA: ___________________________________ Prof. Dr. Gilberto Costa Drumond Sousa Orientador ___________________________________ Profa. Dra. Jussara Farias Fardin Examinadora ___________________________________ Eng. Leandro Matos Riani Examinador
Vitória - ES, 02, março, 2006
i
DEDICATÓRIA
À minha Mãe.
ii
AGRADECIMENTOS
Agradeço ao Engenheiro Leandro Matos Riani por propor o trabalho. Ao
professor Gilberto Costa Drumond Sousa pela atenção e paciência durante estes meses
de trabalho. Ao professor Domingos Sávio e professora Jussara Farias Fardin pelo
fornecimento de materiais que me ajudaram a entender melhor o problema.
iii
Lista de figuras
Figura 1 Relação entre fluxo magnético, curva de saturação e corrente de
magnetização ............................................................................................................... 11
Figura 2 - Modelo de um Transformador .................................................................... 12
Figura 3 - Circuito equivalente de um transformador visto pelo primário .................. 14
Figura 4 – Relação entre mψ e mi . ............................................................................... 17
Figura 5 – Relação entre mψ e satnãom
_ψ . ......................................................................... 18
Figura 6 – Relação entre ψΔ e mψ .............................................................................. 19
Figura 7 – Transformador monofásico modelado no Simulink ................................... 22
Figura 8 – Modelo do Transformador trifásico no Simulink ...................................... 23
Figura 9 – Diagrama de Blocos da simulação ............................................................. 24
Figura 10 – Transformação da corrente do eixo abc para o eixo qd0. ........................ 25
Figura 11 – Transformação da tensão no eixo qd0 para o eixo abc ............................ 26
Figura 12 – Eixo abc/qd0 e enrolamentos amortecedores ........................................... 27
Figura 13 – Modelo da tensão no eixo qd0 aplicado ao ambiente Simulink ............... 30
Figura 14 – Modelagem de rqsψ e r
dsψ no ambiente Simulink ......................................... 31
Figura 15 – Modelagem de rmqψ no ambiente Simulink .............................................. 32
Figura 16 – Modelagem de mdψ e fdψ no ambiente Simulink ...................................... 33
Figura 17 – Modelagem de rkq1ψ e r
kdψ no ambiente Simulink ..................................... 34
Figura 18 – Modelagem do Torque eletromagnético aplicado ao Simulink. .............. 35
Figura 19 – Modelagem do regulador de velocidade aplicado ao ambiente Simulink 36
Figura 20 - Modelo da fase da tensão aplicada ao ambiente Simulink. ..................... 37
Figura 21 – Gráfico da envoltória da tensão na saída do gerador síncrono ................. 38
Figura 22 – Aproximação na tensão no momento da comutação ................................ 39
Figura 23 – Formas de onda da tensão ........................................................................ 40
Figura 24 – Corrente Ia no gerador .............................................................................. 41
Figura 25 – Aproximação da corrente Ia ..................................................................... 41
Figura 26 – Corrente Ib no gerador ............................................................................. 42
iv
Figura 27 - Corrente Ic no gerador .............................................................................. 42
Figura 28 – Corrente Ia com energização com fase 90º .............................................. 43
Figura 29 – Velocidade do rotor durante a energização do transformador ................. 44
Figura 30 – Torque eletromagnético ............................................................................ 45
Figura 31 – Corrente Ia em regime .............................................................................. 45
v
SUMÁRIO
DEDICATÓRIA ........................................................................................................... I
AGRADECIMENTOS .............................................................................................. II
SUMÁRIO ................................................................................................................... V
RESUMO .................................................................................................................. VII
1 CORRENTE TRANSITÓRIA DE MAGNETIZAÇÃO (INRUSH
CURRENT) ................................................................................................................... 8
1.1 Introdução: .......................................................................................................... 8
1.2 Relação Fase da Tensão (θ ) e Fluxo magnético (φ ) [2] .................................... 9
1.3 Relação entre o Fluxo magnético (φ ) e a corrente de magnetização (I m ):[2] .. 10
2 MODELAGEM DO TRANSFORMADOR ................................................. 12
2.1 Introdução: ........................................................................................................ 12
2.2 Equacionamento do modelo para transformador .............................................. 15
2.3 Inclusão da saturação: ....................................................................................... 17
3 MODELAGEM DO TRANSFORMADOR USANDO SIMULINK ......... 20
3.1 O Simulink do Matlab ....................................................................................... 20
3.2 Modelo do transformador ................................................................................. 20
3.2.1 Parâmetros do Transformador ................................................................. 20
3.2.2 Equivalência da corrente em pu no transformador e no gerador............. 20
3.2.3 Transformador monofásico completo modelado no Simulink ................ 21
3.2.4 Modelo do transformador trifásico no Simulink ..................................... 22
4 GERADOR SÍNCRONO ............................................................................... 24
4.1 Mudança de eixo abc para qd0 e qd0 para abc ................................................. 24
4.2 Modelagem da máquina síncrona com correntes impostas .............................. 27
4.2.1 Modelagem de rqsv e r
dsv no Simulink ...................................................... 29
4.2.2 Modelagem de rqsψ e r
dsψ no Simulink .................................................... 30
4.2.3 Modelagem de rmqψ , r
mdψ e rfdψ no Simulink ........................................... 31
4.2.4 Modelagem de rkq1ψ e r
kdψ no Simulink .................................................... 33
4.3 Torque Elétrico ................................................................................................. 34
vi
4.4 Regulador de velocidade ................................................................................... 35
4.5 Cálculo da posição angular do rotor ( rθ ). ......................................................... 36
5 RESULTADOS ............................................................................................... 38
5.1 Tensão ............................................................................................................... 38
5.2 Correntes ........................................................................................................... 39
5.3 Velocidade do rotor e Torque elétromagnético ................................................ 43
6 CONCLUSÃO ................................................................................................ 47
ANEXO I .................................................................................................................... 48
REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA: ........................................................................ 51
vii
RESUMO
O trabalho desenvolvido visa mostrar o efeito da corrente de magnetização
inrush de um transformador sobre um gerador síncrono em um sistema isolado.
Utilizando a ferramenta Simulink do Matlab apresenta-se uma proposta de
modelagem em forma de diagramas de blocos tanto para o transformador quanto para
o gerador síncrono. Estes diagramas de blocos contêm as equações matemáticas que
definem os modelos demonstrados neste trabalho.
Utiliza-se, entre outros artifícios, a abordagem pelo enlace de fluxo por
segundo e a transformação de Park nos modelos do transformador e do gerador como
sugestão para o problema proposto. Os efeitos foram simulados e são mostrados
através de figuras geradas pelo Simulink do Matlab, e discutidos neste projeto
comparando os resultados obtidos com a teoria mencionada.
8
1 CORRENTE TRANSITÓRIA DE MAGNETIZAÇÃO (INRUSH
CURRENT)
1.1 Introdução:
Ao se energizar um transformador nota-se um fenômeno físico onde a corrente
inicial é, relativamente, maior que a corrente a vazio e, até mesmo, que a corrente
nominal do transformador, tal fenômeno é conhecido como corrente transitória de
magnetização (inrush current). Neste último caso, pode-se ter uma falsa impressão que
pode estar ocorrendo um falta ou curto-circuito no transformador. Considerando-se
todo o problema e observando-se as características do transformador, a explanação
correta da corrente transitória de magnetização (inrush current) torna-se clara. Tal
fenômeno físico ocorre devido ao aumento do fluxo magnético, que pode chegar ao
dobro do fluxo magnético em regime permanente. Este aumento depende da fase em
que a tensão está quando ocorre o fechamento da chave que conecta a fonte de tensão e
o transformador, e também da polaridade e magnitude do magnetismo residual.
Existem seis situações possíveis: [1]
1. Energização com tensão em 0 Volt e sem magnetismo residual;
2. Energização com tensão em 0 Volt e máximo magnetismo residual com
polaridade oposta ao fluxo normal;
3. Energização com tensão em 0 Volt e máximo magnetismo residual com
mesma polaridade do fluxo normal;
4. Energização com máxima tensão e sem magnetismo residual;
5. Energização com máxima tensão e máximo magnetismo residual com
polaridade oposta ao fluxo normal;
6. Energização com máxima tensão e máximo magnetismo residual com
mesma polaridade do fluxo normal.
Aborda-se nesta simulação os itens 1 e 4. Devido à limitação do prazo,
propondo-se uma continuação dos estudos para a contemplação dos itens 2, 3, 5 e 6.
9
1.2 Relação Fase da Tensão (θ ) e Fluxo magnético (φ ) [2]
Aplicando-se uma tensão senoidal: )()( θω += tsenVtv m , ao enrolamento
primário de um transformador, gera-se um fluxo magnético φ . Supondo-se o valor de
θ no instante inicial igual a 90º, tem-se:
tVtsenVtv mm ωω cos)º90()( =+= (1.1)
Sabe-se que:
)(tvdtdN =φ (1.2)
Substituindo-se a primeira equação na segunda, tem-se:
dttvNd )(=φ
∫=t
m tdtVN0
cosωφ
ωω
φN
tsenVm= (1.3)
De onde se conclui que o maior fluxo acontece em regime permanente, pois
não há transitório. Daí tem-se que o máximo valor será:
ωφ
NVm=max (1.4)
Agora, considerando-se que o valor de θ no instante inicial igual a 0º, tem-se:
)()( tsenVtv m ω= (1.5)
Substituindo na equação:
)(tvdtdN =φ (1.6)
Tem-se:
dttvNd )(=φ (1.7)
∫=t
m tdtsenVN0
ωφ
∫=t
m dttsenVN 0
1ωφ
tN
Vm ωω
φ cos−= | t0
10
]1)[cos( −−= tN
Vm ωω
φ
)]cos(1[ tN
Vm ωω
φ −= (1.8)
De onde conclui-se que o valor máximo alcançado pelo fluxo é:
NVm
ωφ
2max = (1.9)
Portanto, percebe-se uma relação íntima e de grande importância entre a
amplitude do fluxo magnético máximo e a fase em que a tensão é aplicada. Quando a
tensão é aplicada com fase 90º o fluxo máximo originado será conforme equação 1.4:
ωφ
NVm=max . Entretanto quando a tensão é aplicada com fase 0º o fluxo máximo
originado será conforme a equação 1.9: N
Vm
ωφ 2
max = , ou seja duas vezes maior que o
fluxo máximo atingido quando a tensão é aplicada com fase igual a 90º.
Apesar de não ser abordado neste trabalho, o fluxo residual também tem efeito
sobre a amplitude do fluxo magnético máximo. Reconsiderando-se o valor do fluxo
magnético máximo, a amplitude deste poderá ser acrescida ou decrescida, dependendo
do valor do fluxo magnético residual. Caso o fluxo magnético residual possua a
mesma polaridade do fluxo magnético máximo, resultará em um acréscimo na
amplitude. Caso possua polaridade oposta, resultará em um decréscimo na amplitude
do fluxo magnético máximo.
1.3 Relação entre o Fluxo magnético (φ ) e a corrente de magnetização (I m ):[2]
Conforme pode-se observar na figura 1, a corrente de magnetização tem
relação direta com o fluxo magnético, através da curva de saturação. Observa-se que
para um fluxo magnético 1φ há uma corrente de magnetização pequena em relação à
corrente de magnetização causada pelo fluxo magnético 3φ , pois há uma saturação
muito forte devido a este último fluxo.
11
Figura 1 Relação entre fluxo magnético, curva de saturação e corrente de magnetização
12
2 MODELAGEM DO TRANSFORMADOR
2.1 Introdução:
Considere o modelo de transformador da figura 2.1:
Figura 2 - Modelo de um Transformador
De onde pode-se afirmar:
dtdirv λ+= (2.1)
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
2
1
vv
v , ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
2
1
00r
rr e ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡=
2
1
2221
1211
2
1
ii
LLLL
λλ
λ (2.2)
)( 21 rr : é a resistência da bobina 1 (2);
)( 2211 LL : é a indutância própria da bobina 1 (2);
)( 2112 LL : é a indutância mútua entre a bobina 1 (2) e 2 (1);
)( 21 λλ : é o enlace de fluxo da bobina 1 (2);
13
A indutância é definida como o enlace de fluxo dividido pela corrente que o
produz:
11
21
1
21
1
111
1
11
1
11111 )(
])[(])[(
mlml
mlml LLRN
RN
i
NR
iNR
iN
iN
L +=+=+
=+
=φφ (2.3)
22
22
2
22
2
222
2
22
2
22222 )(
])[(])[(
mlml
mlml LLRN
RN
i
NR
iNR
iN
iN
L +=+=+
=+
=φφ (2.4)
m
mm
RNN
i
NR
iN
iN
L 21
1
211
1
2112
)()(
===φ (2.5)
m
mm
RNN
i
NR
iN
iN
L 21
2
122
2
1221
)()(
===φ (2.6)
Colocando-se 12L e 21L em função de 1mL e 2mL , respectivamente, tem-se que:
21
21
12
21
2
22
1
21
LNN
LNN
LN
LN
Rmm
m ==== (2.7)
Daí:
2
1212 N
NLL m= (2.8)
1
2121 N
NLL m= (2.9)
Reescrevendo-se em termos do enlace de fluxo, tem-se:
11 1 1
21 11 12 1 1
2 21 22 2 221 2 2
1
l m m
m l m
NL L LNL L i i
L L i iNL L LN
λλ
λ
⎡ ⎤+⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥= = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦+⎢ ⎥⎣ ⎦
(2.10)
Multiplicando, tem-se:
14
22
121111 )()( i
NN
LiLL mml ++=λ (2.11)
22 1 1 2 2 2
1
( ) ( )m l mNL i L L iN
λ = + + (2.12)
Multiplicando-se 2λ por 1
2
NN , tem-se:
22 2 2
2 1 1 2 2 221 1 1
( )m l mN N NL i L L iN N N
λ = + +
2221221
2 ')( iLLiLNN
mlm ++=λ
Agora, multiplicando-se por 22
21
NN , tem-se:
22222
21
1222
21
21 ')(2
iLLNN
iLNN
NN
mlm ++=λ
212112 ')'(' iLLiL mlm ++=λ (2.13)
Representando-se a equações de 1λ e 2'λ em um circuito equivalente, visto
pelo lado primário do transformador, tem-se:
Figura 3 - Circuito equivalente de um transformador visto pelo primário
Pelo circuito equivalente, nota-se que:
21 'iiim += (2.14)
15
2.2 Equacionamento do modelo para transformador
Definindo-se o enlace de fluxo por segundo por:
11 λωψ b= = 1121121111 )'(')( iLiiLiLiLL lbmbmbmlb ωωωω ++=++ (2.15)
2 2' 'bψ ω λ= = 2 1 2 1 1 1 1 2 2 2( ' ) ' ( ' ) ' 'b l m b m b m b lL L i L i L i i L iω ω ω ω+ + = + + (2.16)
Seja o enlace de fluxo mútuo por segundo definido por:
)'( 211 iiLmbm +=ωψ (2.17)
Tem-se:
111 iLlbm ωψψ += (2.18)
1
11
lb
m
Li
ωψψ −
= (2.19)
2 2 2' ' 'm b lL iψ ψ ω= + (2.20)
22
2
''
m
b l
iL
ψ ψω−
= (2.21)
Conforme equação 2.17:
)'( 211 iiLmbm +=ωψ
Então:
1 21 2
1 1 2
''
m m m
b m b l b l
i iL L L
ψ ψ ψ ψ ψω ω ω
− −+ = = + (2.23)
Isolando-se mψ :
'2
'2
1
1'211
)111(llll xxxxxm
mψψ
ψ +=++ (2.24)
Onde 11 mbm Lx ω= , 11 lbl Lx ω= e 22 '' lbl Lx ω= são, respectivamente, as reatâncias
magnetizantes, de dispersão no primário, e de dispersão no secundário.
Fazendo-se:
'211
1111 ll xxxx mM
++= (2.25)
16
Chega-se a:
)( '2
'2
1
1
ll xxxMm
ψψψ += (2.26)
Como:
dtd
irvb
1111
1 ψω
+= (2.27)
22 2 2
'1' 'b
dv r idtψ
ω= + (2.28)
Fazendo-se as devidas substituições, chega-se a:
)(1
111
1
lxrv
dtd m
bbψψ
ωωψ −
−= (2.29)
)( '2
'2'
2'2
'2
lxrv
dtd m
bbψψ
ωωψ −
−= (2.30)
Neste projeto aborda-se somente a energização com o secundário do
transformador a vazio, ou seja, sem carga. Daí:
02 =i
Como:
22
2
'' m
l
ix
ψ ψ−= (2.31)
Verifica-se que:
2 1 1' m mx iψ ψ= = (2.32)
Mas:
1 1 1m lx iψ ψ= +
1 1 1 1 1 1 1 1( )m l m lx i x i x x iψ = + = +
1 1 11
( ) mm l
m
x xxψψ = +
1
1 1 1
m m
m l
xx x
ψψ
=+
1 11 1
1 1 1
( ( ))m m mb b
m l l
d x v rdt x x xψ ψ ψω ω −
= −+
17
dtdirv
b
'2'
2'
2'2
1 ψω
+= (2.33)
Mas 0'2 =i :
dtdv
b
'2'
21 ψω
=
dtd
v m
b
ψω1'
2 =
{ }'2 1 1 1
1
m
m l
xv v r ix x
= −+
(2.34)
2.3 Inclusão da saturação:
Conforme ilustrado na figura 4 percebe-se a relação inicialmente linear entre
mψ e mi . Entretanto quando ocorre a saturação, para um aumento da corrente de
magnetização mi , há um aumento não-linear no valor de mψ . Verifica-se então um
desvio no valor de mψ em relação à característica linear.
Figura 4 – Relação entre mψ e mi .
Da figura 5, ψψψ Δ−= satnãom
satm
_ , onde ψΔ é a diferença entre a variável não
saturada e a variável saturada.
18
Figura 5 – Relação entre mψ e satnão
m_ψ .
Para corrigir este valor, reconsideram-se as expressões:
)( '21
_1
_ iiX satnaom
satnaom +=ψ (2.35)
'2
'2'
21
11
l
m
l
m
Xi
Xi ψψψψ −
=−
= (2.36)
Substituindo-se 2.36 em 2.35:
'2
'2
1
1_
1
_
l
m
l
msatnao
m
satnaom
XXXψψψψψ −
+−
= (2.37)
Fazendo-se:
'21
_1
1111
llsatnao
mM XXXX++= (2.38)
Tem-se:
)( _1
'2
'2
1
1satnao
mllMm XXX
X ψψψψ Δ−+= (2.39)
Como satnaomX _
1 é conhecido, a cada passo de integração tem-se mψ , com mψ
obtém-se pela curva da figura 6 o valor de ψΔ , que corrigirá o valor de mψ , que é a
relação usada na simulação.
19
Figura 6 – Relação entre ψΔ e mψ
20
3 MODELAGEM DO TRANSFORMADOR USANDO SIMULINK
3.1 O Simulink do Matlab
O Simulink é uma ferramenta do programa Matlab para modelagem,
simulação e análise de sistemas dinâmicos. Aplica-se a sistemas lineares e não
lineares, contínuos e/ou discretos no tempo.
Utiliza-se uma interface gráfica com o usuário para construção dos modelos a
partir de diagramas em blocos, através de operações de clique-e-arraste do mouse.
Com esta interface pode-se criar modelos da mesma forma que se faz com papel e
caneta. SIMULINK é o resultado de uma longa evolução de pacotes de simulação
anteriores que necessitavam da formulação de equações diferenciais ou de equações de
diferenças em linguagens de programação. Inclui bibliotecas de blocos contendo
fontes, visualizadores, componentes lineares, não lineares e conectores, com a opção
de criação ou personalização de blocos.
3.2 Modelo do transformador
3.2.1 Parâmetros do Transformador
Os parâmetros principais do transformador são: 50MVA, 138kV/13,8kV,
trifásico. Visto a dificuldade de conseguir-se o restante dos parâmetros do
transformador, adotou-se uma equivalência em pu em relação a um transformador
disponibilizado dentro do demo do Simulink, onde todos os parâmetros eram
contemplados. Como os transformadores eram da mesma ordem de grandezas, estes
parâmetros foram transformados em pu e aplicados para o modelo do transformador
usado nesta simulação.
3.2.2 Equivalência da corrente em pu no transformador e no gerador
A corrente gerada em pu dentro do bloco do transformador não pode ser
aplicada diretamente ao bloco do gerador síncrono, pois possuem bases diferentes.
21
Para sanar este problema, inseriu-se na saída do bloco do transformador um bloco
chamado relação de corrente, que nada mais é do que a mudança de base do
transformador para a base do gerador síncrono, feita por uma variável k. Esta variável
assume o valor de 0.625, conforme é mostrado abaixo:
625,0
8,13.380
8,13.350
_
_ ===
kVMVA
kVMVA
II
kgeradorbase
trafobase
3.2.3 Transformador monofásico completo modelado no Simulink
O modelo de um enrolamento aplicado ao ambiente Simulink é mostrado na
figura 7. As equações relativas a este bloco são:
Função 1: Conforme equação 2.27, )(1
111
1
lxrv
dtd m
bbψψωωψ −
−= , que é integrada e
nos dá o valor de 1ψ ;
Função 2: Conforme equação 2.19, 1
11
lb
m
Li
ωψψ −
= ;
Função 3: Conforme equação 2.39, )( _1
'2
'2
1
1satnao
mllMm XXX
X ψψψψ Δ
−+= , que
representa o enlace de fluxo por segundo incluindo o efeito da saturação;
Função 4: Conforme equação 2.30, )( '2
'2'
2'2
'2
lxrv
dtd m
bbψψωωψ −
−= , que é integrada e
nos dá o valor de 2'ψ ;
Função 5: Conforme equação 2.31, 22
2
'' m
l
iX
ψ ψ−= .
Função Look-Up Table: Este bloco contém a matriz que relaciona os valores
mψ com ψΔ , conforme figura 7. A função Memory preserva um valor anterior para
que não haja looping.
Tem-se como entrada 1 1v e entrada 2 2'v , como saída 1 1i , saída 2 2'i .
22
Figura 7 – Transformador monofásico modelado no Simulink
3.2.4 Modelo do transformador trifásico no Simulink
O modelo do transformador aplicado ao ambiente Simulink é ilustrado na
figura 8. As equações relativas a este bloco são:
Funções 1, 2 e 3: Conforme equação 2.34, { }1111
'2 irv
XXX
vm
m −+
=l
;
Funções 4, 5 e 6: O instante de tempo de energização do trafo é determinado
pelo degrau (Step 1, 2 e 3) após o tempo determinado pela constante t. A função Step
inicia em zero assume o valor 1 após t segundos. Dentro deste bloco é feito o produto
entre a tensão de entrada e o Step. Se o Step é 0, a saída do bloco tem valor 0, quando
seu valor é 1, a saída do bloco tem o valor da tensão de entrada;
Funções 7, 8 e 9: Passando o valor da tensão de eficaz para tensão de pico.
Relação de corrente 1, 2 e 3: Mudança de base para a corrente. Saindo da base
do transformador para a base do gerador síncrono, conforme descrito em 3.2.1.
23
Tem-se como entrada 1 a tensão av , entrada 2 a tensão bv e entrada 3 a tensão
cv . Como saída 1 a corrente ai , saída 2 a corrente bi e saída 3 a corrente ci .
Figura 8 – Modelo do Transformador trifásico no Simulink
24
4 GERADOR SÍNCRONO
O gerador síncrono foi modelado de tal forma que suas variáveis de entrada
são as correntes drenadas pela carga, no caso o transformador a ser energizado, e tem-
se como saída as tensões aV , bV e cV , conforme mostrado na figura 9.
Figura 9 – Diagrama de Blocos da simulação
Os blocos no interior do gerador síncrono são discutidos nos tópicos a seguir.
4.1 Mudança de eixo abc para qd0 e qd0 para abc
O estudo da máquina síncrona em regime transitório é mais complexo do que
em regime permanente. As grandezas elétricas não podem ser representadas por
fasores e impedâncias, pois há variação da freqüência. Por isso a máquina é estudada
no domínio do tempo. Para o estudo do transitório usa-se a teoria de Park. Park
observou que os efeitos que ocorrem na máquina podem ser decompostos nas direções
do eixo direto e de quadratura. Dada esta decomposição simplificam-se bastante as
equações diferenciais.
25
No estudo em questão as variáveis de entrada são as correntes ai , bi e ci .
Aplica-se a transformação de Park:
abcsqd IKI =0
Onde
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+−
+−
=
21
21
21
)3
2()3
2(
)3
2cos()3
2cos(cos
32 πθπθθ
πθπθθ
sensensenKs
O modelo de transformação abc/qd0 aplicado ao ambiente Simulink é
mostrado na figura 10.
Figura 10 – Transformação da corrente do eixo abc para o eixo qd0.
Conforme pode-se observar, as entradas são, no eixo abc, as correntes
drenadas pelo trafo e o ângulo teta ( rθ ), ângulo do rotor. Na saída têm-se as correntes
no eixo qd0.
As equações relativas a este bloco são, desenvolvidas, dadas de acordo com as
equações:
26
)]3
2cos()3
2cos(cos[32 πθπθθ ++−+= rcrbraq iiii ;
)]3
2()3
2([32 πθπθθ ++−+= rcrbrad senisenisenii ;
)21
21
21(
32
0 cba iiii ++= .
As variáveis de saídas, tensão no eixo qd0, deverão ser transformadas para o
eixo abc, para serem entregues ao modelo do transformador. Para tanto é valida a
transformada inversa de Park. Ou seja,
01
qdsabc VKV −=
O modelo de transformação qd0/abc é mostrado na figura 11.
3Vc
2Vb
1Va
f(u)
Fcn2
f(u)
Fcn1
f(u)
Fcn
4teta
3V0
2Vd
1Vq
Figura 11 – Transformação da tensão no eixo qd0 para o eixo abc
Conforme pode-se observar, as entradas são, no eixo qd0, as tensões geradas
pela máquina síncrona e o ângulo teta ( rθ ), ângulo do rotor. Na saída têm-se as tensões
no eixo abc.
As equações relativas a este bloco são, desenvolvidas, dadas de acordo com as
equações:
27
0cos vsenvvv rdrqa ++= θθ ;
;)3
2()3
2cos( 0vsenvvv rdrqb +−+−=πθπθ
;)3
2()3
2cos( 0vsenvvv rdrqc ++++=πθπθ
A figura 12 ilustra o eixo abc e o eixo qd0 com seus enrolamentos
amortecedores: kd, fd, kq1 e kq2. Nota-se que o eixo qd0 gira junto com o rotor, ou
seja, na velocidade do rotor rω . O ângulo do rotor rθ é ilustrado na figura 12 tomando-
se como referência o eixo a.
Figura 12 – Eixo abc/qd0 e enrolamentos amortecedores
4.2 Modelagem da máquina síncrona com correntes impostas
Ao admitir-se as correntes rqsi e r
dsi impostas, implicitamente ignora-se a
dinâmica do estator [3]. Assumindo valores em pu, faz-se e rω ω= .Para ação geradora:
28
r r rrqs s qs ds
b
v r i ω ψω
= − + (4.1)
r r rrds s ds qs
b
v r i ω ψω
= − − (4.2)
Como as correntes são variáveis de entrada, deverão ser usadas para calcular
as tensões:
)( rqs
rmq
ls
srds
b
rrqs
rqs
Xrv
dtd
ψψψωωψ
−+−= (4.3)
)( rds
rmd
ls
srqs
b
rrds
rds
Xrv
dtd
ψψψωωψ
−+−= (4.4)
Onde:
)(1
1
lkq
rkq
ls
rqs
aqrmq XX
XΨ
+Ψ
=Ψ (4.5)
)''
(lfd
rfd
lkd
rkd
ls
rds
adrmd XXX
XΨ
+Ψ
+Ψ
=Ψ (4.6)
)111(1
1lkqlsmqaq XXXX++= (4.7)
)1111(1
lfdlkdlsmdad XXXXX+++= (4.8)
))(( 11
11
1 rkq
rmq
xlkq
kqrkqb
rkq
Xr
vdt
dψψω
ψ−+= (4.9)
))(( rkd
rmd
xkd
kdrkdb
rkd
Xrv
dtd ψψωψ
−+= (4.10)
))(( rfd
rmd
xfd
fd
md
fdrfdb
rfd
Xr
Xr
edt
dψψω
ψ−+= (4.11)
Onde:
sr é a resistência do estator;
lsX é a reatância do estator;
fde' é a tensão de campo;
fdr é a resistência do campo;
29
lfdX é a reatância do campo;
1lkqr é a resistência do eixo amortecedor q;
1lkqX é a reatância do eixo amortecedor q;
kdr é a resistência de eixo amortecedor d;
lkdX é a reatância do eixo amortecedor d;
mqX é a reatância mútua no eixo amortecedor q;
mdX é a reatância mútua no eixo amortecedor d; rqsψ é o enlace de fluxo por segundo do eixo q com referencial rotórico;
rdsψ é o enlace de fluxo por segundo do eixo d com referencial rotórico; rmqψ é o enlace de fluxo mútuo por segundo do eixo q no referencial rotórico;
rmdψ é o enlace de fluxo mútuo por segundo do eixo d no referencial rotórico; rkq1ψ é o enlace de fluxo por segundo do enrolamento amortecedor k do eixo q
no referencial rotórico; rkdψ é o enlace de fluxo por segundo do enrolamento amortecedor k do eixo d
no referencial rotórico; rfdψ é o enlace de fluxo por segundo do campo no referencial rotórico;
rqsv é a tensão no eixo q no referencial rotórico;
rdsv é a tensão no eixo d no referencial rotórico;
bω é a velocidade base;
rω é a velocidade do rotor em radianos mecânico;
eω é a velocidade do rotor em radianos elétricos;
4.2.1 Modelagem de rqsv e r
dsv no Simulink
O modelo de tensão do gerador aplicado ao ambiente Simulink é ilustrado na
figura 13. As equações relativas a este bloco são:
30
Função 1: Conforme equação 4.1: rds
b
rrqss
rqs irv ψ
ωω
+−= ;
Função 2: Conforme equação 4.2: rqs
b
rrdss
rds irv ψ
ωω
−−= .
Tem-se como entrada 1 a corrente rqsi , entrada 2 velocidade do rotor rω ,
entrada 3 a velocidade base bω , entrada 4 o enlace de fluxo por segundo rdsψ , entrada 5
o enlace de fluxo por segundo rqsψ e entrada 6 a corrente r
dsi .
Figura 13 – Modelo da tensão no eixo qd0 aplicado ao ambiente Simulink
4.2.2 Modelagem de rqsψ e r
dsψ no Simulink
O modelo do enlace de fluxo por segundo, rqsψ e r
dsψ , modelado no ambiente
Simulink é ilustrado na figura 14. As equações relativas a este bloco são:
Função 1, conforme equação 4.3 : )( rqs
rmq
ls
srds
b
rrqs
rqs
Xrv
dtd
ψψψωωψ
−+−= ;
Função 2, conforme equação 4.4: )( rds
rmd
ls
srqs
b
rrds
rds
Xrv
dtd ψψψ
ωωψ
−+−= ;
31
Tem-se como entrada 1 a tensão rqsv , como entrada 2 a tensão r
dsv ,como entrada
3 o enlace de fluxo por segundo rmdψ , como entrada 4 o enlace de fluxo por
segundo rmqψ e como entrada 5 a velocidade do rotor rω .
Figura 14 – Modelagem de r
qsψ e rdsψ no ambiente Simulink
4.2.3 Modelagem de rmqψ , r
mdψ e rfdψ no Simulink
Os enlaces de fluxo por segundo, rmqψ , r
mdψ e rfdψ , modelados no ambiente
Simulink são ilustrados nas figuras 15 e 16. Na figura 15 tem-se o modelo de rmqψ . A
equação relativa a este bloco é:
Função conforme equação 4.5: )'
(1
1
lkq
rkq
ls
rqs
aqrmq XX
XΨ
+Ψ
=Ψ
Tem como entrada 1 o enlace de fluxo por segundo rqsψ e como entrada 2 r
kq1ψ .
Na figura 16 tem-se o modelo de rmdψ e r
fdψ . As equações relativas a estes
blocos são:
32
Função 1, conforme equação 4.6: )(lfd
rfd
lkd
rkd
ls
rds
adrmd XXX
XΨ
+Ψ
+Ψ
=Ψ ;
Função 2, conforme equação 4.11: ))'('( rfd
rmd
xfd
fd
md
fdrfdb
rfd
Xr
Xr
edt
dψψω
ψ−+=
Tem-se como entrada 1 deste bloco o enlace de fluxo por segundo rdsψ e como
entrada 2 o enlace de fluxo por segundo rkdψ .
Figura 15 – Modelagem de r
mqψ no ambiente Simulink
33
Figura 16 – Modelagem de mdψ e fdψ no ambiente Simulink
4.2.4 Modelagem de rkq1ψ e r
kdψ no Simulink
Os enlaces de fluxo por segundo, rkq1ψ e r
kdψ , modelados no ambiente Simulink
são ilustrados na figura 17. As equações relativas a este bloco são:
Função 1, conforme equação 4.10: ))'('(' rkd
rmd
xkd
kdrkdb
rkd
Xrv
dtd ψψωψ
−+= ;
Função 2, conforme equação 4.9: ))'('('
11
11
1 rkq
rmq
xlkq
kqrkqb
rkq
Xr
vdt
dψψω
ψ−+= .
Tem-se como entrada 1 o enlace de fluxo rmdψ e entrada 2 o enlace de
fluxo rmqψ .
34
Figura 17 – Modelagem de rkq1ψ e r
kdψ no ambiente Simulink
4.3 Torque Elétrico
O torque elétrico em pu é definido por: rds
rqs
rqs
rdsele iiT ψψ −= (4.3.1)
O modelo aplicado ao ambiente simulink é ilustrado na figura 18. A Função 1
é modelada de acordo com a equação 4.3.1. Neste bloco, tem-se como entrada 1 o
enlace de fluxo rdsψ , com entrada 2 a corrente r
qsi , como entrada 3 rqsψ e como entrada 4
a corrente rdsi .
35
Figura 18 – Modelagem do Torque eletromagnético aplicado ao Simulink.
4.4 Regulador de velocidade
Como o enfoque não é a máquina primária, buscou-se modelar um sistema de
controle turbina-gerador de forma bastante simplificada, essencialmente ignorando a
dinâmica governador-turbina. O bloco do regulador de velocidade tem como saída a
velocidade do rotor, que é a velocidade base quando não há torque elétrico. Sua
variação é causada devido ao torque elétrico gerado pela carga. Ao constatar que há
variação da velocidade do rotor, o controlador PI é acionado, gerando um torque
mecânico, mecT . Este por sua vez tenta minimizar, ou mesmo anular, o efeito do torque
elétrico para que não haja variação da velocidade do rotor, afim de que ela seja sempre
igual ao valor nominal.
O modelo do regulador de velocidade é ilustrado na figura 19 e a função 2 é
dada pela equação:
)(1elemec TT
Jdtd
−=ω (4.4.1)
36
Tem-se como entrada deste bloco a torque eletromagnético e saída a
velocidade do rotor.
Figura 19 – Modelagem do regulador de velocidade aplicado ao ambiente Simulink
4.5 Cálculo da posição angular do rotor ( rθ ).
A equação que define a posição angular do rotor é dada por:
rr
dtd ωθ
= (4.5)
E seu modelo aplicado ao Simulink é ilustrado na figura 20. Tem-se como
entrada a velocidade do rotor e como saída a posição angular do rotor.
37
Figura 20 - Modelo da fase da tensão aplicada ao ambiente Simulink.
38
5 RESULTADOS
Para a simulação considerou-se um gerador com o rotor girando na velocidade
de síncrona, 1 pu, onde foi aplicado uma corrente de campo e devido a esta corrente de
campo originou-se uma tensão terminal, próxima de 1 pu. O chaveamento para
energização do transformador foi realizado no instante de tempo 14,004 segundos.
Onde se constata modificações nas variáveis do gerador síncrono, como pode ser
observado nos itens a seguir.
5.1 Tensão
A figura 21 ilustra a envoltória da tensão, resultada da equação: 2 2( ) ( )r r
qs dsv v v= + . Conforme se observa, a variação da tensão é lenta, esta lentidão é
devido à característica indutiva do circuito. Aplica-se uma corrente no circuito de
campo, e a tensão do gerador leva cerca de 10 segundos para chegar ao valor de
regime, que deve ser o mais próximo possível de 1 pu.
Figura 21 – Gráfico da envoltória da tensão na saída do gerador síncrono
39
Aproximando-se mais do momento do chaveamento, tempo 14,004 segundos,
conforme ilustrado na figura 22, nota-se que no instante do chaveamento, a tensão
sofre alterações em relação ao seu regime. Esta alteração na forma de onda da tensão
está intimamente ligada ao efeito da corrente de magnetização do transformador, já
que esta causa alterações na dinâmica da máquina síncrona, no caso gerador síncrono,
conforme as equações 4.1, 4.2, 4.3 e 4.4. Como não há controle de campo, a corrente
de campo é fixa, a recuperação do valor tensão após o chaveamento é lenta e só
acontece devido à diminuição da corrente de magnetização.
Figura 22 – Aproximação na tensão no momento da comutação
5.2 Correntes
Conforme mostrou-se no item 1.2 deste trabalho, a amplitude da corrente de
magnetização está intimamente ligado a fase da tensão quando da comutação. A figura
23 ilustra as formas de onda das tensões aV , bV e cV no momento da energização,
14.004 segundos. Nota-se que a fase aV tem fase 0º, portanto deverá conter a corrente
40
de magnetização de maior magnitude, conforme item 1.2, em relação as tensões bV e
cV , que possuem fases iguais em módulo, deverão possuir o mesmo módulo da
corrente de magnetização. Estas afirmações são confirmadas pelas formas de ondas
ilustradas nas figuras 24, 25, 26 e 27.
Figura 23 – Formas de onda da tensão
41
Figura 24 – Corrente Ia no gerador
Figura 25 – Aproximação da corrente Ia
42
Figura 26 – Corrente Ib no gerador
Figura 27 - Corrente Ic no gerador
43
Caso haja energização no instante 14 segundos, a fase A estará em 90º, e
conforme item 1.2 não haverá surto da corrente de magnetização, pois o fluxo será o
mesmo de regime permanente. Pode-se verificar isto na figura 28.
Figura 28 – Corrente Ia com energização com fase 90º
Conforme observar-se na figura 28, a corrente de magnetização na fase A no
instante 14 segundos é muito menor do que a corrente de magnetização na fase A no
instante 14,004 segundos, conforme ilustrado na figura 24, confirmando-se assim a
importância desta variável quando há uma energização.
5.3 Velocidade do rotor e Torque elétromagnético
Antes do instante da energização, 14 segundos, a velocidade do rotor do
gerador síncrono permanece em velocidade contínua, ao energizar-se o transformador,
surge um torque eletromagnético, este torque faz com que a velocidade do rotor do
44
gerador balance até voltar ao valor nominal. Ao constatar que houve alteração da
velocidade do rotor do gerador síncrono, o regulador de velocidade atua a fim de
manter a velocidade do rotor do gerador síncrona. A figura 29 ilustra o comportamento
da velocidade do rotor quando acontece a energização do transformador, instante 14
segundos, e a figura 30 contempla o torque eletromagnético.
Figura 29 – Velocidade do rotor durante a energização do transformador
45
Figura 30 – Torque eletromagnético
O valor da corrente em regime é ilustrado na figura 31
Figura 31 – Corrente Ia em regime
46
Observa-se o valor da corrente converge para um valor usual que varia em
torno de 0.05 pu.
47
6 CONCLUSÃO
Os aspectos teóricos tomados neste projeto foram comprovados pelo modelo
apresentado no Simulink. Dentre eles pode-se destacar:
• A corrente de magnetização (inrush current): comprovou-se que sua
amplitude pode ser maior ou menor dependendo da fase da tensão.
Também se percebe que o transitório é de curta duração, sendo que a
corrente converge para o valor usual a vazio;
• O impacto sobre a tensão gerada pela máquina síncrona: percebeu-se
que quando acontece a energização há um afundamento no seu valor,
próximo a 10% para o caso estudado, devido a corrente drenada pelo
transformador. Considera-se este afundamento de grande importância,
já que alguns relés, dependendo das configurações, podem atuar devido
a uma subtensão imposta pela energização. Apesar disso, não houve
distorções na onda, permanecendo senoidal perfeita;
• O impacto sobre a velocidade do rotor: com a entrada da carga,
transformador, notou-se uma perturbação na velocidade do rotor;
• O impacto sobre o torque eletromagnético: este aparece após a
energização, fazendo com que haja variação na velocidade do rotor;
48
ANEXO I
Arquivo .m do Matlab das variáveis de entrada.
clear all;
% VARIÁVEIS DE ENTRADA DO TRANSFORMADOR
kc=0.625;
wb = 2*pi*60;
Vt=1*sqrt(2);
NpbyNs = 10/1;
r1 = 0.00238;
rp2 =0.238;
xl1 =0.0952;
xpl2 =0.0952;
xm = 87.86;
xM = (1/(1/xm + 1/xl1 + 1/xpl2));
FLAG=1; % FLAG=1 - SATURACAO
t=14.00;
Dpsi=(1/110)*[ -2454.6 -2412.6 -2370.5 -2328.5 -2286.4 -2244.4 -2202.3 ...
-2160.3 -2118.2 -2076.1 -2034.1 -1992.0 -1950.0 -1907.9 -1865.9 ...
-1823.8 -1781.8 -1739.7 -1697.7 -1655.6 -1613.6 -1571.5 -1529.5 ...
-1487.4 -1445.3 -1403.3 -1361.2 -1319.2 -1277.1 -1235.1 -1193.0 ...
-1151.0 -1108.9 -1066.9 -1024.8 -982.76 -940.71 -898.65 -856.60 ...
-814.55 -772.49 -730.44 -688.39 -646.43 -604.66 -562.89 -521.30 ...
-479.53 -438.14 -396.75 -355.35 -313.96 -272.56 -231.17 -192.60 ...
-154.04 -116.41 -81.619 -46.822 -19.566 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 ...
0.0000 0.0000 19.566 46.822 81.619 116.41 154.04 192.60 231.17 ...
272.56 313.96 355.35 396.75 438.14 479.53 521.30 562.89 604.66 ...
646.43 688.39 730.44 772.49 814.55 856.60 898.65 940.71 982.76 ...
49
1024.8 1066.9 1108.9 1151.0 1193.0 1235.1 1277.1 1319.2 1361.2 ...
1403.3 1445.3 1487.4 1529.5 1571.5 1613.6 1655.6 1697.7 1739.7 ...
1781.8 1823.8 1865.9 1907.9 1950.0 1992.0 2034.1 2076.1 2118.2 ...
2160.3 2202.3 2244.4 2286.4 2328.5 2370.5 2412.6 2454.6 ];
psisat=(1/110)*[-170.21 -169.93 -169.65 -169.36 -169.08 -168.80 -168.52 ...
-168.23 -167.95 -167.67 -167.38 -167.10 -166.82 -166.54 -166.25 ...
-165.97 -165.69 -165.40 -165.12 -164.84 -164.56 -164.27 -163.99 ...
-163.71 -163.43 -163.14 -162.86 -162.58 -162.29 -162.01 -161.73 ...
-161.45 -161.16 -160.88 -160.60 -160.32 -160.03 -159.75 -159.47 ...
-159.18 -158.90 -158.62 -158.34 -157.96 -157.39 -156.83 -156.07 ...
-155.51 -154.57 -153.62 -152.68 -151.74 -150.80 -149.85 -146.08 ...
-142.31 -137.60 -130.06 -122.52 -107.44 -84.672 -42.336 0.0000 ...
0.0000 42.336 84.672 107.44 122.52 130.06 137.60 142.31 146.08 ...
149.85 150.80 151.74 152.68 153.62 154.57 155.51 156.07 156.83 ...
157.39 157.96 158.34 158.62 158.90 159.18 159.47 159.75 160.03 ...
160.32 160.60 160.88 161.16 161.45 161.73 162.01 162.29 162.58 ...
162.86 163.14 163.43 163.71 163.99 164.27 164.56 164.84 165.12 ...
165.40 165.69 165.97 166.25 166.54 166.82 167.10 167.38 167.67 ...
167.95 168.23 168.52 168.80 169.08 169.36 169.65 169.93 170.21 ];
% VARIÁVEIS DE ENTRADA DO GERADOR
wbg=2*pi*60;
rs=0.0062;
ws=wbg;
xd=1.05;
xq=0.67;
xld=0.32;
50
xlq=0.67;
xlld=0.64;
xllq=0.306;
xls=0.14;
tldo=2.02;
tlldo=0.044;
tllqo=0.017;
H=2;
xmd=xd-xls;
xmq=xq-xls;
xlf=xmd*(xld-xls)/(xmd-(xld-xls));
xlfd=xlf;
xlkd=(xlld-xls)*xmd*xlf/(xmd*xlf-(xlld-xls)*(xmd+xlf));
xlkq=xmq*(xllq-xls)/(xmq-(xllq-xls));
rfd=((xlf+xmd)/(ws*tldo));
rkd=(xlkd+xlf*xmd/(xlf+xmd))/(ws*tlldo);
rkq=(xlkq+xmq)/(ws*tllqo);
xaq=1/(1/xmq+1/xls+1/xlkq);
xad=1/(1/xmd+1/xls+1/xlfd+1/xlkd);
vfd=0.00165;
efd=vfd*(xmd/rfd);
51
REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA:
[1] S. Austen Stigant and A. C. Franklin, ‘The J&P Transformer Book”, 1973.
[2] Stephen J. Chapman, Electric Machiney Fundaments, 1985.
[3] P. C. Krause, O. Wasynsczuk, S. D. Sudholf, Analysis of Eletric Machinery, IEEE
Press, 1994.
