Estudos II - Fernando Da Cruz Pereira (Final)

Ilha SolteiraIlha Solteira

UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA

“JÚLIO DE MESQUITA FILHO”

Câmpus de Ilha Solteira - SP

FERNANDO DA CRUZ PEREIRA

Implementação da técnica de demodulação de fase óptica em

quadratura em sensor óptico de amplitude.

Estudos Especiais II

Comissão Examinadora:

Prof. Dr. Cláudio Kitano - Faculdade de Engenharia de Ilha Solteira - Orientador

Prof. Dr. Carlos Antônio Alves - Faculdade de Engenharia de Ilha Solteira

Prof. Dr. Dilson Amâncio Alves - Faculdade de Engenharia de Ilha Solteira

Ilha Solteira - SP

2014

RESUMO

O grupo de estudos do Laboratório de Optoeletrônica (LOE) daFEIS-UNESP trabalha há vá-

rios anos na área de interferometria óptica. A expressão geral da transmissão (razão entre o

retardo de fase e a tensão aplicada) de um modulador eletro-óptico de intensidades é idêntica

à expressão do sinal fotodetectado na saída de um interferômetro de dois feixes. Em 2014, um

novo método de detecção interferométrica de fase óptica foiinvestigado no LOE, sendo denomi-

nado de método dePhase unwrapping. Este método é imune ao fenômeno de desvanecimento,

consegue medir o tempo de atraso entre o estímulo e a resposta, tem ampla faixa dinâmica,

também reconstrói a forma de onda do sinal de modulação sem a necessidade de aplicação de

filtros, possuindo, ainda, a capacidade de demodular sinaisde modulação com formas de ondas

não periódicas. Beneficiando-se dessas informações, promoveu-se a adaptação do método de

Phase unwrappinga um sensor óptico de tensão (SOT) elevada em configuração de quadra-

tura de sinais, a base do efeito eletro-óptico linear em cristais de niobato de lítio. Por meio do

método de demodulação apresentado, realizou-se testes experimentais em um SOT. Obteve-se

gráficos para comparação com os sinais de entrada e de saída reconstruídos pelo método de

Phase unwrapping, bem como os espectros harmônicos dos sinais de alta tensão.

Palavras-chave:Sensor óptico de tensão elevada. Efeito eletro-óptico. Detecção de fase óptica.

Phase unwrapping.

LISTA DE FIGURAS

Figura 1 Elipsoide de índices de refração.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

Figura 2 Rotação de eixos em torno do eixo cristalinoX1. . . . . . . . . . . . . . . 20

Figura 3 Célula Pockels paralela.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

Figura 4 Célula Pockels longitudinal.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

Figura 5 Esquema do sensor eletro-óptico de amplitude com campo elétrico externo

aplicado em Z e propagação óptica em Y.. . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

Figura 6 Padrão de interferência experimental devido ao espalhamento da luz no cristal. 25

Figura 7 Esquema do novo sensor eletro-óptico de amplitude com campo elétrico ex-

terno aplicado em Y e propagação óptica em Z.. . . . . . . . . . . . . . . 29

Figura 8 Padrão de interferência experimental devido ao espalhamento da luz no cristal. 30

Figura 9 Exemplos de sinais de entrada e saída do interferômetro.. . . . . . . . . . 34

Figura 10 Esquema do sensor eletro-óptico de amplitude com sinais de saída em qua-

dratura de fase. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

Figura 11 Figura de Lissajous obtida de dois sinais interferométricos em quadratura per-

feita. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

Figura 12 Medição deΨ(t) através de dois sinais em quadratura.. . . . . . . . . . . 39

Figura 13 Figura de Lissajous de sinais simulados: a) Sinais com erros de quadratura;

b) Sinais após a correção de quadratura.. . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

Figura 14 Processo dephase unwrapping.(a) Função (59) obtida pelo Matlab. (b) Fun-

ção (71) comphase unwrapping. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

Figura 15 Círculos trigonométricos com os sinais para as funções: a) Cosseno; b)Seno;

c) Tangente.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

Figura 16 Determinação do arco tangente no quadrante correto.. . . . . . . . . . . . 45

Figura 17 Resultado obtido do processo de phase unwrapping quandoFs não atende (73).46

Figura 18 Esquema de montagem do SOT.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

Figura 19 Célula Pockels para baixas tensões, contendo cristal e eletrodos de placas

paralelas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

Figura 20 Montagem experimental do SOT em quadratura para baixa tensão.. . . . . 49

Figura 21 Instrumentação utilizada no SOT em quadratura para baixa tensão.. . . . . 49

Figura 22 Gráfico com os sinais senoidais de entrada e reconstruído adquiridos doSOT. 50

Figura 23 Gráfico com os sinais triangulares de entrada e reconstruído adquiridosdo SOT. 51

Figura 24 Gráfico com os sinais arbitrários de entrada e reconstruído adquiridos do SOT. 52

Figura 25 Gráfico: a) Sinal arbitrário aplicado na entrada do SOT e b) Sinais de saída

em quadratura de fase do SOT.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

Figura 26 Gráfico contendo a figura de Lissajous dos sinais de saída apresentados na

Figura 25b. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

Figura 27 Célula Pockels para altas tensões, contendo cristal e eletrodos de placaspara-

lelas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

Figura 28 Montagem experimental do SOT em quadratura para alta tensão.. . . . . . 55

Figura 29 Sistema de amplificação para tensões elevadas.. . . . . . . . . . . . . . . 55

Figura 30 Gráfico com os sinais senoidais de entrada e reconstruído em altas tensões

adquiridos do SOT. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

Figura 31 Gráfico com os sinais de entrada e reconstruído adquiridos do SOT de uma

forma de onda triangular distorcida.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

Figura 32 Componentes harmônicas do sinal de entrada e sinal reconstruído de uma

forma de onda triangular distorcida.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

Figura 33 Gráfico com os sinais de entrada e reconstruído adquiridos do SOT de uma

forma de onda com elevado conteúdo harmônico.. . . . . . . . . . . . . . 58

Figura 34 Componentes harmônicas do sinal de entrada e sinal reconstruído de uma

forma onda com elevado conteúdo harmônico.. . . . . . . . . . . . . . . 59

LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS

DEE Departamento de Engenharia Elétrica

DSP Processador de sinais digitais (Digital Signal Processor)

FEIS Faculdade de Engenharia de Ilha Solteira

FFT Transformada rápida de Fourier (Fast Fourier Transform)

GPIB Barramento de interface de uso geral (General Purpose Interface Bus)

He-Ne Hélio-Neônio

Jm & Jm+2 Método de demodulação de fase óptica baseado na análise espectral

LiNbO3 Niobato de Lítio

LOE Laboratório de Optoeletrônica

MOEMS Sistemas micro-optoeletromecânicos (Micro-Opto-Electro-Mechanical Systems)

n-CPM Método de demodulação de fase óptica baseado na análiseespectral

PIN Fotodiodo pin (Positive-Intrinsic-Negative)

PM Modulação de fase (Phase Modulation)

SOT Sensor Óptico de Tensões

SSA Método de Segmentação do Sinal Amostrado

UNESP Universidade Estadual Paulista

USB Interface serial universal (Universal Serail Bus)

LISTA DE SÍMBOLOS

ηi j Tensor impermeabilidade dielétrica

ε Tensor dielétrico absoluto

E Campo elétrico

r i jk Coeficiente eletro-óptico linear

si jkl Coeficiente eletro-óptico quadrático

X,Y,Z Direções cristalográficas do cristal de Niobato de Lítio

n Índices de refração

ne Índice de refração extraordinário

no Índice de refração ordinário

εr Matriz permissividade relativa

η Impermeabilidade dielétrica

λ Comprimento de onda

θ Desalinhamento angular no plano XY

V(t) Tensão de entrada no modulador eletro-óptico

V(t) Tensão aplicada

v(t) Tensão elétrica fotodetectada

I(t) Intensidade óptica

I0 Intensidade óptica do laser na saída do analisador

∆Ψ Retardo de fase total

φ0 Diferença de fase estática devido à birrefringência

φ(t) Retardo eletro-óptico

L Comprimento do cristal

d Espessura do cristal

Vπ Tensão de meia-onda

K′(1) Vetor de onda do modo ordinário

K′(2) Vetor de onda do modo extraordinário

∆Ψ′ Retardo de fase óptica induzida

A Fator de proporcionalidade do circuito fotodetector

V Visibilidade das franjas de interferência

Θ Termo de fase relacionado aos desvios da quadratura

r Razão dos ganhos entre os dois canais de conversão fotoelétrica

p offsetsdo canal 1

q offsetsdo canal 2

∆Ψ(t) Fase óptica total do sinal de saída interferométrico

v1c(ti) Vetor corrigido dev1(t)

v2c(ti) Vetor corrigido dev2(t)

Θ′ Estimativa deΘr ′ Estimativa der

p′ Estimativa dep

q′ Estimativa deq

∆Ψr(ti) Série discreta no tempo da fase óptica total interferométrica recuperada

R Raio do círculo paramétrico centrado na origem referente aosdados em quadra-

tura ideal

Fs Frequência de amostragem

fs Frequência do sinal de modulação

x Índice de modulação

SUMÁRIO

1 INTRODUÇÃO 9

1.1 Escopo do Trabalho 10

1.2 Objetivos 11

1.3 Apresentação do Trabalho 11

2 EFEITO ELETRO-ÓPTICO LINEAR 13

2.1 Efeito Eletro-Óptico 14

2.2 Célula Pockels 22

2.3 Sensor Eletro-Óptico de Amplitude 24

2.4 Obtenção do sinal em quadratura 34

3 MÉTODO DE DEMODULAÇÃO DE SINAIS INTERFEROMÉTRICOS EM

QUADRATURA BASEADO EM PHASE UNWRAPPING 37

3.1 Análise de sinais interferométricos em quadratura de fase 37

3.2 Phase unwrapping 43

4 RESULTADOS EXPERIMENTAIS 47

4.1 Arranjo experimental em baixa tensão 47

4.1.1 Resultados obtidos em baixa tensão 50

4.2 Arranjo experimental em alta tensão 53

4.2.1 Resultados obtidos em alta tensão 56

5 CONCLUSÕES 60

REFERÊNCIAS 61

9

1 INTRODUÇÃO

Com a invenção do laser por volta de 1960, como fonte óptica de elevada coerência,

permitiu-se aplicar técnicas utilizadas em micro-ondas e telecomunicações, em óptica, estabelecendo-

se a área hoje conhecida como optoeletrônica. Dessa forma, conceitos como modulação PM

(Phase Modulation), interferência entre ondas eletromagnéticas e detecção por lei quadrática

puderam ser aplicadas a sensores ópticos.

Atualmente, constituem aplicações da optoeletrônica o estudo de novas famílias de laser

e fotodetectores, de dispositivos moduladores para comunicações ópticas baseados em óptica

volumétrica, em fibras ópticas, em MOEMS (micro-optical-electro-mechanical systems) ou em

óptica integrada, dispositivos baseados no efeito eletro-óptico, acústico-óptico e eletroabsorção,

e, em sensores e atuadores ópticos controlados eletronicamente, dentre vários outros exemplos.

Um sensor interferométrico é extremamente sensível a pequenas variações de diversas grande-

zas físicas através da modulação de fase óptica, e, a eletrônica atual permite demodular facil-

mente desvios de fase da luz da ordem de 1 grau em medições realizadas no infravermelho (10

THz).

Por outro lado, as amplitudes das correntes e tensões em um sistema elétrico de potência,

geralmente, encontram-se demasiadamente elevadas para que se realize a conexão de equipa-

mentos de medição, controle ou de proteção diretamente a seus elementos. Além disso, essa

forma de conexão seria potencialmente perigosa para os operadores das subestações de energia

elétrica, pelo fato de que a única proteção é a isolação que o equipamento possui (NETTO,

2008).

O sensoriamento de parâmetros dos elementos de alta tensão nos sistemas elétricos de po-

tência constitui um processo difícil, caro e, frequentemente, incômodo, devido às exigências de

isolação elétrica, robustez, confiabilidade e longevidade(40 anos de uso, sem serviço de revisão

e sob frequente demanda) dos sensores (DONALDSON et al., 2001).

Uma forma encontrada para minimizar os riscos aos operadores desses sistemas foi desen-

volver transformadores para instrumentos, que constituemuma forma segura e adequada de

operação, com o objetivo de fornecer os sinais de tensão e corrente que os equipamentos de

controle e medição necessitam (PETCH; RUSHTON, 1981).

Nessa linha de equipamentos, foram desenvolvidos sensoresópticos com características es-

peciais, que são dedicados a converter tensões e correntes elevadas a valores reduzidos. Em

geral, o arranjo preferido é o do modulador eletro-óptico deintensidades clássico, constituído

1.1 Escopo do Trabalho 10

por um cristal eletro-óptico posicionado entre dois polarizadores cruzados e uma lâmina de

quarto-de-onda para estabelecer o ponto de quadratura de fase (YARIV; YEH, 1984). O ma-

terial eletro-óptico pode ser o Niobato de Lítio (LI; CUI; YOSHINO, 2001; LI; YOSHINO,

2002; ZHAO et al., 2002), o BGO (KUROSAWA et al., 1993; KYUMA etal., 1983; LI; CUI;

YOSHINO, 2003; SANTOS; TAPLAMACIOGLU; HIDAKA, 1999, 2000),o BTO (FILIPPOV

et al., 2000a, 2000b), entre outros.

Park, Kim e Song (2007) propuseram um interferômetro híbrido em fibra óptica (um Mi-

chelson combinado com um Mach-Zehnder) para gerar dois sinais em quadratura de fase, cujo

método de demodulação é do arco tangente. Para modular o sinal de interferência, um compri-

mento de fibra óptica foi enrolado num cilindro piezoelétrico que age como elemento sensor.

Em meados de 2010 foram demonstrados os benefícios da utilização dos sensores de me-

dição óptica na medição da tensão, utilizando-se do efeito Pockels e de um cristal de BGO

localizado entre os dois eletrodos. A luz polarizada passa 2vezes pelo cristal, e, o sinal de saída

é então dividido em dois para a obtenção dos sinais em quadratura (NUQUI; ZARGHAMI;

MENDIK, 2010).

Por sua vez, em 2011, Pan et al. (2011), utilizando-se de um sensor óptico baseado no

efeito Pockels transverso e utilizando um cristal de BGO comoelemento sensor, obteve boa

linearidade e precisão na medição de tensão AC.

1.1 Escopo do Trabalho

Constituem interesses do grupo de estudos do Laboratório de Optoeletrônica (LOE) do

Departamento de Engenharia Elétrica da Universidade Estadual Paulista (DEE - UNESP), a

pesquisa, teórica e/ou experimental, de sensores ópticos de natureza variada como, por exem-

plo, os sensores interferométricos de vibrações nano e micrométricas (BERTON, 2013; GA-

LETI, 2012; LEMES, 2014; LEÃO, 2004; TAKIY, 2010; MENEZES, 2009; MARÇAL, 2008;

BARBOSA, 2009), sensores de deslocamento linear (SAKAMOTO, 2006), sensores de ultras-

som (SAKAMOTO et al., 2012), e sensores eletro-ópticos de tensão elevada (PEREIRA, 2013;

LIMA, 2013; MARTINS, 2006).

Métodos clássicos ou inéditos de demodulação de fase óptica, baseados na análise espectral

do sinal interferométrico fotodetectado, têm sido exaustivamente testados desde 2004, como o

método denominado Jm & Jm+2 (MARÇAL et al., 2012) e o método n-CPM(n - Commuted

Pernick Method) (GALETI et al., 2013).

Também têm sido testados uma variedade de outros métodos de detecção interferométrica

de fase óptica como, por exemplo, os métodos polarimétricos, de quadratura de fase como o

método dephase unwrapping(LEMES, 2014), de contagem de franjas, e os métodos baseados

1.2 Objetivos 11

na análise temporal do sinal de saída como, por exemplo, o método de baixa profundidade de

modulação de fase (BARBOSA et al., 2010; CARVALHO; FERREIRA; KITANO, 1999).

Recentemente, Pereira (2013) utilizando-se do método de segmentação do sinal amostrado

SSA (GALETI, 2012), propôs modificações no método, para esteoperar em um sensor óptico

de tensões elevadas (SOT). O objetivo do trabalho de Pereira(2013) era a determinação da qua-

lidade da energia elétrica e, sendo assim, os sinais aplicado na entrada do SOT eram da ordem

de 8 kV de pico e com alto conteúdo harmônico. Desta forma, os sinais interferométricos de

saída passam a possuir informações do sinal aplicado na entrada do SOT, tais como a amplitude

e o espectro harmônico.

Contudo, o método SSA é aplicável apenas a alguns tipos de sinais de modulação periódicos

e necessita que os sinais interferométricos de saída sejam filtrados antes de serem demodulados,

uma vez que o algoritmo se baseia em comparação de derivadas.Em aplicações onde se deseja

medir o conteúdo espectral dos sinais de modulação, um filtromal projetado pode alterar as

raias de interesse do espectro do sinal (LEMES, 2014).

Neste senário, Lemes (2014) propôs um método de demodulaçãode fase óptica em qua-

dratura de sinais, baseado no algoritmo dephase unwrapping, que é implementado no domínio

do tempo, é imune ao desvanecimento do sinal, com ampla faixadinâmica e com a possibi-

lidade de trabalhar com sinais não periódicos. Testes preliminares com o método dephase

unwrappingevidenciaram seu potencial para realizar medições de deslocamentos mecânicos

sub-nanométricos, dentro de uma faixa dinâmica capaz de se estender até centenas de radianos

na detecção de fase óptica.

1.2 Objetivos

O objetivo deste trabalho é aplicar o método dephase unwrappingem um sinal de saída de

um modulador eletro-óptico de amplitude, a base de célula Pockels, configurado para operar em

quadratura de sinais, com a finalidade de se obter a forma de onda e seu conteúdo harmônico.

1.3 Apresentação do Trabalho

Este trabalho está dividido em cinco capítulos, incluindo esta introdução.

No Capítulo 2 são descritos o efeito eletro-óptico, a célula Pockels e o modulador eletro-

óptico de amplitude. Nesse capítulo, o modulador é então apresentado em duas configurações:

com a propagação do feixe óptico na direção X e o campo externoaplicado na direção Z, e, com

propagação no eixo óptico Z e campo aplicado em Y.

No Capítulo 3 é apresentado o método dephase unwrappingutilizado para a demodulação

1.3 Apresentação do Trabalho 12

dos sinais fotodetectados. Também será abordado uma breve análise dos sinais obtidos em

interferômetros de quadratura.

O procedimento experimental é então apresentado no Capítulo4, com os resultados do

processamento dos sinais obtidos, e, sendo feita uma comparação entre os sinais de entrada

com os sinais reconstruídos. Por último, o Capítulo 5 apresenta as conclusões e sugestões para

trabalhos futuros.

13

2 EFEITO ELETRO-ÓPTICO LINEAR

Desde 2004, os trabalhos desenvolvidos no LOE têm enfatizado a caracterização de atua-

dores (um grau de liberdade) e mini manipuladores (vários graus de liberdade) piezoelétricos,

a base de elementos isolados (piezocerâmica, transdutor cristalino, nanocerâmica), ou então,

vinculados a estruturas amplificadoras de deslocamento. Interferômetros a laser têm sido em-

pregados para esta finalidade, agregados a diversas opções de métodos de demodulação de fase

óptica. Em geral, a amostragem do sinal interferométrico desaída é realizada com o auxílio de

osciloscópio digital ligado ao computador via interface USB-GPIB. O processamento do sinal

normalmente é executado com os recursos do software Matlab.

Porém, com o passar dos anos, percebeu-se que a relação interferométrica entre a entrada de

fase óptica (diferença de fase entre os braços do interferômetro) e a saída elétrica fotodetectada

(proporcional à intensidade óptica gerada pela interferência entre os feixes oriundos de cada

braço) exibe uma similaridade muito grande com a expressão matemática da transmissão (razão

entre as intensidades ópticas na saída e entrada) de um modulador eletro-óptico de amplitude

a base de uma célula Pockels linear. Associado a esta informação, e ao fato do modulador

eletro-óptico possuir resposta analítica fechada (utilizando as teorias da propagação de ondas

em meio anisotrópico e do efeito eletro-óptico), se começoua empregar este aparato para va-

lidar as técnicas inéditas de demodulação de sinais interferométricos propostas no LOE. Além

disso, tal sistema possui uma complexidade estrutural bem menor que um interferômetro e é

afetado eminentemente por variações de temperatura ambiente, ao contrário do interferômetro,

que é intensamente penalizado por vibrações mecânicas espúrias, turbulências de ar e a variação

de temperatura do ambiente circunvizinho (mesmo que imperceptíveis ao operador do sistema).

Com isso, percebeu-se que o modulador eletro-óptico constitui uma excelente plataforma para

testar novas técnicas de detecção de fase, antes das mesmas serem postas em prática em expe-

rimentos interferométricos mais complexos. Por fim, incursões na área de medições de tensões

elétricas elevadas (transformador de potencial óptico) têm sido realizadas (MARTINS, 2006),

beneficiando-se do fato que as técnicas de detecção interferométricas podem ser prontamente

adaptadas para esta finalidade. Lembra-se ainda que, a rigor, o modulador eletro-óptico de in-

tensidades pode ser interpretado como um interferômetro polarimétrico, no qual a informação

encontra-se na diferença de fase entre os modos de polarização, ordinário e extraordinário, do

cristal eletro-óptico, ao invés da diferença de fase entre os braços do interferômetro.


2.1 Efeito Eletro-Óptico

A propagação da radiação óptica em determinados cristais, que não apresentam centro de

simetria em sua rede cristalina, e, na presença de campo elétrico externo, pode dar origem

ao fenômeno conhecido por efeito eletro-óptico linear (YARIV; YEH, 1984). De acordo com

a teoria quântica dos sólidos, o tensor impermeabilidade dielétrica relativa (ηi j ) depende da

distribuição de cargas no cristal. A aplicação de um campo elétrico externo,E, resulta numa

redistribuição das cargas de ligação, causando uma pequenadeformação na rede iônica. O

resultado é uma mudança no tensor impermeabilidade. Assim,Yariv e Yeh (1984) definem o

tensor impermeabilidade relativaηi j como:

ηi j = ε0(ε−1)i j (1)

sendo,ε0 a permissividade absoluta do vácuo (1/36π × 10−9 F/m), ε−1 o inverso do tensor

dielétrico absolutoε e i, j = 1,2,3,...

O efeito eletro-óptico resulta em uma variação no tensor impermeabilidade relativa dada

por:

∆ηi j = ηi j (E)−ηi j (0) (2)

parai, j = 1,2,3, no qualηi j (E) é o tensor impermeabilidade perturbado pelo campo elétrico

externoE, e,ηi j (0) é o mesmo tensor na ausência de campo elétrico.

A variação na impermeabilidade dielétrica relativa, com relação ao campo elétrico, pode

ser descrita como:

∆ηi j = r i jkEk+si jkl EkEl + · · · (3)

onder i jk e si jkl são os coeficientes eletro-ópticos linear e quadrático respectivamente (linear

- efeito Pockels, e quadrático - efeito Kerr). Na série de Taylor (3) desconsideram-se os ter-

mos superiores ao quadrático, pois suas influências são muito pequenas, e, os campos elétricos

necessários para se obter estes efeitos precisam ser extremamente altos.

As propriedades ópticas de um cristal eletro-óptico podem ser descritas também pelo elip-

soide de índices de refração que, na ausência de campo elétrico, é dado por:

ηi j (0)xix j =

(

1

n2X

)

X2+

(

1

n2Y

)

Y2+

(

1

n2Z

)

Z2 = 1 (4)


na qual as coordenadasxi ou x j referem-se ao eixos cristalinos principais,X, Y, Z e nX, nY e

nZ são os índices de refração em suas respectivas direções, umarepresentação esquemática do

elipsoide de índice de refração é apresentada na Figura 1.

Figura 1 -Elipsoide de índices de refração.

Fonte: (KITANO, 1993)

Já na presença de campo elétricoE, o elipsoide de índices passa a ser dado por:

ηi j (E)xix j = 1 (5)

Combinando-se (2) e (5), obtém-se:

(ηi j (0)+∆ηi j )xix j = 1 (6)

e, utilizando apenas a parcela linear de (3), tem-se:

(ηi j (0)+ r i jkEk)xix j = 1 (7)

que conduz a um novo elipsoide de índices de refração, agora,perturbado pela ação do campo

elétrico externo.

Pode-se obter uma importante propriedade analisando-se (2) e (3), quando prevalecer ape-

nas o efeito eletro-óptico linear:

∆ηi j = ηi j (E)−ηi j (0) = r i jkEk (8)


parai, j, k = 1,2,3. Sabe-se que para um meio sem perdas e opticamente inativo o tensorεi j é

simétrico. Assim, a matrizηi j também é simétrica e, consequentemente, os índicesi e j em (8)

podem ser permutados entre si (YARIV; YEH, 1984), logo:

r i jk = r jik (9)

Da álgebra de tensores, sabe-se que o número de elementos de um tensor de ordem n é 3n

(NYE, 1957). Por exemplo,εi j é um tensor de segunda ordem e possui 3n = 32 = 9 elementos.

Assim, o tensor de terceira ordemr i jk (n = 3) possuirá 33 = 27 elementos. Entretanto, devido a

propriedade de simetria (9), existirão alguns elementos repetidos e o tensor impermeabilidade

poderá exibir apenas 18 elementos.

Expandindo a relação (8), obtém-se:

∆η11 =r111E1+ r112E2+ r113E3 (10a)

∆η22 =r221E1+ r222E2+ r223E3 (10b)

∆η33 =r331E1+ r332E2+ r333E3 (10c)

∆η23 = ∆η32 =r231E1+ r232E2+ r233E3 (10d)

∆η13 = ∆η31 =r131E1+ r132E2+ r133E3 (10e)

∆η12 = ∆η21 =r121R1+ r122E2+ r123E3 (10f)

ou, na forma matricial:

∆η11

∆η22

∆η33

∆η23

∆η13

∆η12

=

r111 r112 r113

r221 r222 r223

r331 r332 r333

r231 r232 r233

r131 r132 r133

r121 r122 r123

·

E1

E2

E3

(11)

Confirma-se que, devido à simetria estabelecida em (9), houveuma redução no número

de elementos independentes der i jk , de 27 para 18. Em virtude desta simetria, é conveniente

introduzir a notação de índices reduzidos na qual é estabelecida a seguinte correspondência

(YARIV; YEH, 1984):


1= 11

2= 22

3= 33

4= 23= 32

5= 13= 31

6= 12= 21

(12)

Substituindo os índicesij da matriz retangular em (11) pelos correspondentes índicesredu-

zidos produz-se:

∆η11

∆η22

∆η33

∆η23

∆η13

∆η12

=

r11 r12 r13

r21 r22 r23

r31 r32 r33

r41 r42 r43

r51 r52 r53

r61 r62 r63

·

E1

E2

E3

(13)

Contudo, devido a condição de simetria cristalina tem-se que, na maioria dos materiais,

a matriz dos coeficientes eletro-ópticos em (13) é esparsa, isto é, a maioria dos elementos é

nula. As relações de simetria cristalina estabelecerão quais dos 18 coeficientes serão nulos,

bem como, as relações que existirão entre os coeficientes remanescentes.

Assim, analisa-se a matriz de coeficientes eletro-ópticos do cristal de niobato de lítio (LiNbO3)

utilizado neste trabalho. Sendo este cristal trigonal de classe de simetria 3m, sua matriz de coe-

ficientes é dada por (YARIV; YEH, 1984):

r lk =

0 −r22 r13

0 r22 r13

0 0 r33

0 r51 0

r51 0 0

−r22 0 0

(14)

paral = 1,2,3...,6 ek = 1,2,3. Observa-se apenas 8 coeficientes eletro-ópticos não nulos, sendo

que apenas 4 deles são independentes:r13, r22, r33 e r51.

Expandindo a equação (8), utilizando-se a notação de índices reduzidos para expressar os

coeficientes eletro-ópticos conforme a matriz (14), obtém-se:


∆η11 =− r22E2+ r13E3 (15a)

∆η22 =r22E1+ r13E3 (15b)

∆η33 =r33E3 (15c)

∆η23 =r51E2 (15d)

∆η13 =r51E1 (15e)

∆η12 =− r22E1 (15f)

O elipsoide de índices de refração perturbado, conforme especificado em (6), torna-se:

(η11+∆η11)X21 +(η22+∆η22)X2

2 +(η33+∆η33)X23 +2(η23+∆η23)X2X3

+2(η13+∆η13)X1X3+2(η12+∆η12)X1X2 = 1(16)

sendoX1 = X, X2 = Y e X3 = Z, os eixos principais do cristal.

Sabe-se que, no sistema de coordenadas cristalino, as matrizes de permissividade relativa e

impermeabilidade relativa do material não perturbado são diagonais. Sendo o niobato de lítio

um cristal uniaxial negativo, isto é, comne < no, ondene é o índice de refração extraordinário

e no é o índice de refração ordinário, suas componentes de permissividade relativa sãoε11 =

ε22 = 1/no e ε33 = 1/ne, tal que, na ausência de campo elétrico tem-se:

εr =

ε11 0 0

0 ε22 0

0 0 ε33

⇒ η =

1/ε110 0

0 1/ε220

0 0 1/ε33

=

1/n2

o0 0

0 1/n2

o0

0 0 1/n2

e

(17)

Reescrevendo (16), com as informações de (15) e (17), obtém-se:

(

1n2

o− r22E2+ r13E3

)

X21 +

(

1n2

o+ r22E2+ r13E3

)

X22 +

(

1n2

e+ r33E3

)

X23

+2r51E2X2X3+2r51E1X1X3−2r22E1X1X2 = 1(18)

Analisa-se agora, dois casos de interesse em que a célula Pockels pode ser implementada:

o primeiro caso é quando o campo elétrico externo for aplicado na direçãoX3 (eixo óptico Z)

e a propagação do feixe de laser se dá na direção deX1 ou X2 (eixos X e Y respectivamente),

e, o segundo caso, quando o campo elétrico externo for aplicado na direçãoX1 ou X2 (X e Y

respectivamente) e a propagação do feixe de laser é paraleloaX3 (Z).


Considerando-se primeiramente o caso com campo elétrico aplicado ao longo do eixoX3,

ou seja,E1 = E2 = 0, E3 6= 0, a equação do elipsoide de índice em (18) pode ser reescritacomo:

(

1n2

o+ r13E3

)

X21 +

(

1n2

o+ r13E3

)

X22 +

(

1n2

e+ r33E3

)

X23 = 1 (19)

Nota-se que em (19) não há ocorrência de produtos cruzados dotipo X1X2, X1X3 ouX2X3, e

assim, conclui-se que as direções dos eixos principais do novo elipsoide de índices permanecem

inalterados (não houve rotação dos eixos), porém, com novosíndices de refraçãonX1, nX2 enX3.

Logo, (19) pode ser escrita como:

X21

n2X1

+X2

2

n2X2

+X2

3

n2X3

= 1 (20)

sendo

1

n2X1

=1n2

o+ r13E3 =

1

n2X2

(21a)

1

n2X3

=1n2

e+ r33E3 (21b)

a partir das quais se obtêm:

nX1 =no1

√

1+n2or13E3

= nX2 (22a)

nX3 =ne1

√

1+n2er33E3

(22b)

O cristal de niobato de lítio possui os seguintes parâmetros: no = 2,286,ne = 2,2, rT13 =

9,6 pm/V, rT22 = 6,8 pm/V, rT

33 = 30,9 pm/V erT51 = 32,6 pm/V, para um feixe de laser com

comprimento de onda deλ = 632,8 nm (YARIV; YEH, 1984). Neste estudo utilizam-se os

coeficientesrT (stressnulo), pois, o cristal é livre para deformar-se de acordo coma lei da

piezoeletricidade, e, a variação dostrainsegue a modulação do campo aplicado (YARIV; YEH,

1984).

Comor13 e r33 são muito pequenos ocorre que,n2or13E3 << 1 en2

er33E3 << 1 em (22a) e

(22b), mesmo para amplitudes de campo elétrico da ordem de dezenas de kV (KITANO, 1993).

Assim, é possível aplicar a expansão em série binomial:


1√1+x

= 1− 12

x+1·32·4x2+ . . . para |x|< 1 (23)

a partir daí, mostra-se que as expressões dos índices de refração em (22) são convertidos para:

nX1∼=no

(

1− 12

n2or13E3

)

∼= nX2 (24a)

nX3∼=no

(

1− 12

n2er33E3

)

(24b)

ficando evidente que os novos índices de refração variam linearmente com o campo elétrico

aplicado.

Agora, considera-se o segundo caso, no qual o campo elétricoexterno seja aplicado na

direção do eixo Y do cristal. Partindo-se da equação (18) e, sendoE2 6= 0 eE1 = E3 = 0 tem-se:

(

1n2

o− r22E2

)

X21 +

(

1n2

o+ r22E2

)

X22 +

(

1n2

e

)

X23 +2r51E2X2X3 = 1 (25)

Observa-se em (25) que, com a aplicação de um campo elétricoE2, o elipsoide de índice de

refração passa a exibir o produto cruzado (X2X3), que produz uma rotaçãoθ dos eixos principais

do elipsoide em torno do eixoX1 do cristal. Assim, é necessário avaliar essa rotação, que está

ilustrada na Figura 2, e encontrar os novos eixos cristalográficos, denotados porX1′, X2

′ e X3′,

que são paralelos aos eixos principais do elipsoide rodado.

Figura 2 -Rotação de eixos em torno do eixo cristalinoX1.

Fonte: Elaboração do autor

Recorrendo-se a transformação de rotação de eixos (YARIV, 1985), deX1X2X3 paraX1′X2

′X3′,


obtém-se uma relação entre os eixos cristalinos e os novos eixos coordenados principais:

X1

X2

X3

=

1 0 0

0 cosθ −sinθ0 sinθ cosθ

·

X1′

X2′

X3′

(26)

Assim,

X1 =X1′ (27a)

X2 =cosθX2′−sinθX3

′ (27b)

X2 =sinθX2′+cosθX3

′ (27c)

sendoθ o ângulo de rotação dos eixos em torno deX1.

Substituindo as relações (27) em (25), mostra-se que o novo elipsoide de índices é agora

referenciado ao novo sistema de coordenadas (X1′X2

′X3′), e, após uma sequência de operações

algébricas, tem-se (KITANO, 1993):

θ = tan−1

(

−2r51E21n2

e− 1

n2o−r22E2

)

2(28)

Lembra-se que os coeficientesr51 e r22 são da ordem de 10−12 m/V, portanto, mesmo para

os máximos valores de campo que serão utilizados nesta dissertação (800 kV de pico/m), pode-

se concluir que a rotaçãoθ é desprezível (inferior a 0,1 graus) nesta configuração de campo

elétrico (KITANO, 1993).

Portanto, para o campo elétrico aplicado ao longo do eixoE2 e não havendo rotação signi-

ficativa em torno deX1, a equação do elipsoide de índices (25) pode ser reescrita como:

(

1n2

o− r22E2

)

X21 +

(

1n2

o+ r22E2

)

X22 +

(

1n2

e

)

X23 = 1 (29)

Assim, tal qual para o caso da configuração do campo aplicado em X3 (Z), as direções

dos eixos do novo elipsoide de índices continuam inalteradas, embora, com novos índices de

refraçãonX1′ , nX2

′ e nX3′ . Assim, a equação (29) pode ser escrita como em (20), conduzindo-se

aos valores de índices perturbados:


nX1′ =no

1√

1−n2or22E2

(30a)

nX2′ =no

1√

1+n2or22E2

(30b)

nX3′ =ne (30c)

Neste caso, também é possível aplicar a expansão em série binomial (23) às equações (30)

a fim de se obter os novos índices de refração quando o campo elétrico é aplicado na direção Y:

nX1′ =no+

12

n3or22E2 (31a)

nX2′ =no−

12

n3or22E2 (31b)

nX3′ =ne (31c)

Pode-se observar, novamente, que os novos índices de refração variam linearmente com o

campo elétrico aplicado (E2).

2.2 Célula Pockels

Uma célula Pockels é composta por um cristal eletro-óptico eum par de eletrodos por onde

é aplicado o campo elétrico externo. As disposições desses eletrodos em uma célula Pockels

podem ocorrer de duas formas: transversal e longitudinal.

A forma transversal é empregada quando o campo elétrico externo é aplicado perpendi-

cularmente à direção de propagação do feixe óptico, conforme ilustrado na Figura 3. Nesta

configuração, a aplicação do campo elétrico pode ser feita através de placas metálicas paralelas

ou tintas condutoras aplicadas nas superfícies laterais doelemento sensor.


Figura 3 -Célula Pockels paralela.


Na forma longitudinal, Figura 4, tem-se o campo elétrico externo aplicado longitudinal-

mente ao cristal, ou seja, paralelo à direção de propagação do feixe óptico. Para permitir a

passagem do feixe luminoso, os eletrodos devem ser feitos demetal semi-transparente ou vaza-

dos. Geralmente são utilizados como eletrodos, óxidos metálicos, filmes metálicos, grades ou

anéis aplicados às faces opostas do elemento sensor.

Figura 4 -Célula Pockels longitudinal.


Dentre várias aplicações, a célula Pockels pode ser usada como modulador eletro-óptico

(em telecomunicações) ou como sensor eletro-óptico. Quando usada como modulador, a infor-

mação é disponível na forma de um campo elétrico modulador e inserida na fase da luz que

passa através da célula. A luz então é transmitida a um receptor para que a informação seja

decodificada (YARIV; YEH, 1984). O caso em que a célula Pockelsé usada como sensor é o

objeto de estudo das próximas seções.


2.3 Sensor Eletro-Óptico de Amplitude

Primeiramente, estuda-se o caso em que a propagação do raio óptico ocorre ao longo do

eixo Y do cristal e o campo elétrico externo, gerado pela tensãoV(t), é aplicado ao longo do

eixo Z. Na Figura 5 ilustra-se o esquema do modulador eletro-óptico de intensidade óptica com

célula Pockels transversal. Este é composto por um polarizador, ajustado a um ângulo de 45o

dos eixos cristalográficos X ou Z do cristal de LiNbO3, com a finalidade de acoplar, com iguais

amplitudes, os modos ordinário e extraordinário. Na saída do cristal, encontra-se um segundo

polarizador, com eixo deslocado angularmente de 90o em relação ao primeiro polarizador. Neste

texto, a tensão elétricaV(t) será denominada de tensão aplicada, enquanto o sinal fotodetectado

será referido como sinal de saída ou tensão fotodetectada,I(t) ouv(t), conforme estabelecido a

seguir.

Figura 5 -Esquema do sensor eletro-óptico de amplitude com campo elétrico externo aplicado em Z epropagação óptica em Y.


O segundo polarizador, neste arranjo, é denominado de analisador, e tem a finalidade de

analisar o estado de polarização da luz ao sair da célula Pockels, permitindo-se obter um feixe

de saída na qual a informação da tensão elétricaV(t) aplicada ao cristal encontra-se inserida na

fórmula da intensidade óptica.

Esta é uma configuração clássica cujos detalhes podem ser encontrados em Yariv e Yeh

(1984). Como será visto adiante, ela apresenta uma birrefringência natural, devido à diferença

entre os índices de refração ordinário e extraordinário (no ene, respectivamente) do cristal, bem

como, uma birrefringência induzida pela aplicação deV(t).

O alinhamento desse sistema não é uma tarefa trivial, devidoao elevado grau de paralelismo

exigido entre a direção de propagação do feixe óptico com o eixo Y do cristal, bem como, ao

ajuste angular (45o) entre os eixos requerido pelos polarizadores e os eixos do cristal, tornando-


se necessários ajustes extremamente delicados. Para tal são utilizados estágios de translação e

rotação ajustados por parafusos micrométricos para garantir um bom alinhamento. A montagem

do arranjo deve ser feita em mesa óptica a fim de minimizar vibrações indesejadas no sistema.

O procedimento de alinhamento consiste, primeiramente, emcruzar o polarizador e o ana-

lisador, sem inserir a célula Pockels no sistema. Para tal, ajusta-se o polarizador a 45o do plano

horizontal estabelecido pela mesa óptica. Em seguida, monitora-se o sinal de saída com um

fotodetector e rotaciona-se o analisador de forma que se anule o máximo possível da intensi-

dade do feixe de laser na saída do sistema. Isso garante que o polarizador e o analisador estão

cruzados a 90o entre si.

A seguir, inserindo a célula Pockels entre o polarizador e o analisador, esquematizado na

Figura 5, a birrefringência natural do LiNbO3 fará com que a intensidade óptica de saída seja

novamente não-nula.

Ao se apagar completamente a iluminação do laboratório, observa-se que a célula Pockels

fica iluminada, evidenciando um intenso espalhamento de luzno interior do cristal de LiNbO3.

Assim, o feixe de saída (após o analisador) é composto pelo feixe de laser propriamente dito, e

por luz espalhada ao redor de seu eixo longitudinal (MARTINS, 2006).

Projetando-se essa luz de saída sobre um anteparo, obtém-seuma imagem similar a apre-

sentada na Figura 6. O espalhamento faz com que uma parcela daluz se propague pelo cristal

em direções diferentes do feixe principal, equivalente a uma emissão secundária de luz, segundo

uma abertura angular na forma de cone divergente.

Com isso, aproveitando-se de um defeito de qualidade do cristal (o espalhamento) para

auxiliar no alinhamento do laser com o eixo Y do cristal, basta ajustar o feixe principal do laser

para que incida no centro da figura de interferência, como a daFigura 6 (MARTINS, 2006).

Figura 6 -Padrão de interferência experimental devido ao espalhamento da luz no cristal.



A intensidade óptica na saída do sistema mostrado na Figura 5, a qual é proporcional ao

sinal gerado pelo fotodetector, será (YARIV; YEH, 1984):

I(t) = Iosin2∆Ψ2

(32)

na qualIo é a intensidade óptica do laser após o polarizador e∆Ψ o valor do retardo de fase

total, que é a soma de duas parcelas: uma devido a birrefringência natural do cristal,φo, e outra

devido a influência do campo elétrico externo,φ(t). Ambas serão identificadas a seguir.

Admite-se que o campo óptico na entrada da célula Pockels possua polarização linear a

45o do eixoX1 (X) ou X3 (Z), de forma que excite os modos de polarização nas direçõesdos

eixosX1 eX3, com igual amplitude. Se dois modos de propagação forem excitados na interface

X2 = 0 com a mesma fase, o retardo de fase total, após os campos percorrerem um comprimento

L será (YARIV, 1985):

∆Ψ =(

K(1)−K(3))

L (33)

sendo queK(1) e K(3) são as magnitudes dos vetores de onda para as polarizações ópticas nas

direções dos eixosX1 eX3, respectivamente, e,L é o comprimento do cristal na célula Pockels.

Os dois modos de propagação, com deslocamento elétrico paralelo aos eixosX1 e X3, pos-

suem vetores de onda cujos módulos são dados por:

K(1) =2πλ

nX1 (34a)

K(3) =2πλ

nX3 (34b)

na qualnX1 e nX3 são os índices de refração do cristal submetido ao campoE3, eλ é o compri-

mento de onda do laser.

Substituindo-se (34a) e (34b) em (33), obtém-se:

∆Ψ =2πλ

(nX1 −nX3)L (35)

Utilizando-se as expressões dos índices de refração deduzidas em (24a) e (24b), substituindo-

as em (35), e, após algumas operações matemáticas tem-se:


∆Ψ =2πλ

(ne−no)L− πλ(n3

er33−n3or13)E3L (36)

Conforme já anunciado, observam-se dois tipos de atraso na fase quando se analisa a equa-

ção (36). A primeira parcela refere-se à birrefringência natural do cristal,φo, que independe do

campo elétrico, e, a segunda, que se deve a aplicação do campoelétrico externo,φ(t). Esta,

por sua vez, pode ser controlada ajustando-se a tensão aplicadaV(t). Assim, a primeira parcela

devido a birrefringência natural do cristal, é:

φo =2πλ

(ne−no)L (37)

sendone eno os índices de refração ordinário e extraordinário do LiNbO3.

Devido à birrefringência natural, o arranjo fica muito susceptível às variações de tempe-

ratura ambiente e de vibrações mecânicas, causando o fenômeno chamado desvanecimento de

sinal (fading). Segundo Smith, Riccius e Edwin (1976), os índices de refraçãono e ne variam

com a temperatura. Assim, a diferença entre os índices, (ne− no), também varia com a tem-

peratura, embora muito pouco, da ordem de 1 ppm poroC. Contudo, como na faixa óptica o

comprimento de ondaλ é da ordem de 1µm = 10−6 m, tem-se que(ne−no)/λ tem uma vari-

ação da ordem de 1 ppm / 1µm = 10−6/10−6 = 1 rad poroC, algo muito grande relativamente

aos valores de fase induzida que se deseja medir, em torno de mrad. Em princípio, o efeito

da vibração mecânica não é muito crítico ao sistema, entretanto, o processo de alinhamento

dos componentes do modulador (laser, célula Pockels, polarizador e analisador) é algo deli-

cado, e assim, é prudente se evitar trepidações excessivas da mesa óptica a fim de não causar o

desalinhamento dos componentes.

Com o cristal inserido entre dois eletrodos na forma de placasparalelas separadas por uma

distânciad, o campo elétrico,E, pode ser estabelecido a partir da tensão elétrica aplicadaaos

eletrodos:

E =V(t)

d(38)

A partir de (38), considerando-se apenas a parcela influenciada pelo campo elétrico em

(36), tem-se que o retardo de fase (ou retardo eletro-óptico) induzido pode ser definido como:

φ(t) =πλ(n3

er33−n3or13)

Ld

V(t) (39)

O valor de tensão elétrica aplicada ao cristal, e que proporciona um retardo eletro-óptico

φ(t) deπ radianos, é denominado de tensão de meia-ondaVπ . Substituindo-seφ(t) = π rad e

V(t) =Vπ em (39), mostra-se que a tensão de meio-onda é dada por:


Vπ =λ

n3er33−n3

or13· dL

(40)

A tensão de meia-onda normalmente é utilizada para comparardiferentes células Pockels,

pois, quanto menor o valor deVπ , menor é a tensão necessária para alimentá-la. Por exemplo,

quando são empregadas em telecomunicações, esta é uma característica desejável. Porém, neste

trabalho, necessita-se de uma célula Pockels com altos valores deVπ , da ordem de dezenas de

kV.

O valor deVπ pode ser estimado substituindo-se em (40) os parâmetros do LiNbO3 medidos

emλ = 632,8 nm: no = 2,286;ne = 2,2; r13 = 9,6 pm/V er33 = 30,9 pm/V. O cristal usado

neste trabalho é tal qued = 1,1 mm eL = 50,025 mm. O resultado do cálculo conduz a

Vπ = 64,92V.

Pode-se também obterφ(t), substituindo-se (40) em (39), obtendo-se assim:

φ(t) =πVπ

V(t) (41)

Nota-se em (41) que, para um mesmo valor de tensão aplicadaV(t), quanto menor oVπ ,

maior será o retardo de fase induzidaφ(t).

Obviamente, como o valor deVπ para esta célula Pockels é muito pequeno, fica inviável de

se implementar um sensor óptico de tensões elevadas. Por este motivo, montou-se outra célula

Pockels que tem a capacidade de operar comVπ da ordem de kV. A seguir, é então, apresentada

a nova configuração do sensor e, consequentemente, o cálculode seuVπ .

A nova configuração do sensor eletro-óptico, ilustrada no esquema da Figura 7, está associ-

ada ao segundo caso estudado na seção 2.1. Esta célula tem o campo elétrico externo agora apli-

cado na direção Y do cristal e o feixe de laser propaga-se na direção do eixo óptico Z. Optou-se

em trabalhar com o feixe de laser propagando no eixo óptico Z,onde não ocorre birrefringência

natural, mas apenas a birrefringência induzida, como será apresentado a seguir. Assim, nesta

configuração, a variação doVπ com a temperatura é uma ordem de grandeza menor que aquela

onde ocorre a birrefringência natural. Como a propagação ocorre em Z, esta configuração é

menos susceptível ao desvanecimento do sinal devido as variações de temperatura ambiente.


Figura 7 -Esquema do novo sensor eletro-óptico de amplitude com campo elétrico externo aplicado emY e propagação óptica em Z.


O procedimento de alinhamento é similar ao feito com a célulaPockels mencionada anteri-

ormente: primeiramente, cruzam-se o polarizador e o analisador, sem inserir a célula Pockels.

Para tal, ajusta-se o polarizador a 45o do plano horizontal estabelecido pela mesa óptica e,

em seguida, monitora-se o sinal de saída com um fotodetectore rotaciona-se o analisador de

forma que se anule o máximo possível o feixe de laser na saída do sistema. Isso garante que o

polarizador e o analisador estão cruzados a 90o entre si.

Inserindo a célula Pockels entre o polarizador e o analisador, esquematizado na Figura 7,

a anisotropia do LiNbO3, nesta configuração, fará com que a intensidade óptica de saída seja

novamente não-nula.

Projetando-se a luz de saída sobre um anteparo, obtém-se umaimagem similar a apresen-

tada na Figura 8. Como se observa, a intensidade do laser no centro da figura é nulo. O alinha-

mento necessita um descruzamento muito pequeno entre os polarizadores, o que fará aparecer

um pequeno’spot’ do feixe principal do laser no centro da Figura 8. Assim, apósposicionar o

feixe principal no centro da figura de espalhamento, reposiciona-se os polarizadores a 90o entre

si. Com isso, o sistema estará alinhado.


Figura 8 -Padrão de interferência experimental devido ao espalhamento da luz no cristal.


Objetivando-se determinar a intensidade óptica dada pela equação (32), calcula-se o novo

retardo eletro-óptico para um campo óptico que possua polarização linear a 45o do eixoX1 (X)

ou X2 (Y) (de forma que excite os modos de polarização nas direçõesdos eixosX1 e X2, com

igual amplitude):

∆Ψ′ =(

K′(1)−K

′(2))

L (42)

sendo queK′(1) e K

′(2) são os módulos dos vetores de onda para as polarizações ópticas nas

direçõesX1 eX2, respectivamente eL é o comprimento do cristal na célula Pockels.

Os dois modos de propagação, com deslocamento elétrico paralelo aos eixosX1 e X2, pos-

suem vetores de onda cujos módulos são:

K′(1) =2πλ

nX1′ (43a)

K′(2) =2πλ

nX2′ (43b)

Substituindo-se os termosnX1′ e nX2

′ em (43a) e (43b) pelos índices que refração em (31a)

e (31b), respectivamente, e o resultado na equação (42), é possível obter o retardo eletro-óptico

induzido para esta configuração:

∆Ψ′ =2πλ

(n3or22)E2L = φ ′(t) (44)


Observa-se que nesta configuração não há ocorrência da birrefringência naturalφ ′0 = 0,

mas apenas a birrefringência induzida, o que faz, por exemplo, que esta nova configuração pos-

sua maior imunidade ao desvanecimento do sinal devido as variações de temperatura ambiental.

Substituindo-se (38) em (44), verifica-se que o retardo eletro-óptico induzido pode ser de-

finido como:

φ ′(t) =2πλ

(n3or22)

Ld

V(t) (45)

Partindo-se da equação (45), obtém-se a tensão de meia-ondaVπ , substituindo-seφ ′(t) = πeV(t) =Vπ :

Vπ =λ

2n3or22

· dL

(46)

Conhecidos todos os parâmetros do material, torna-se possível encontrar o valor teórico de

Vπ . Assim, dados o comprimento de onda do laser de Hélio-Neônioλ = 632,8 nm, o índice de

refraçãono = 2,286, o coeficiente eletro-ópticor22 = 6,8 pm/V, e, considerando que o cristal

usado neste trabalho tem dimensõesL= 10,258 mm ed= 9,924 mm (comprimento e espessura

do cristal, respectivamente), calcula-seVπ = 3,768 kV.

Segundo Martins (2006), a intensidade óptica detectada pelo fotodetector em ambas as con-

figurações apresentadas anteriormente, dada em (32), também pode ser apresentada na seguinte

forma:

I(t) = Io2 {1−cos∆Ψ}

= Io2 {1−cos[φ(t)+φo]}

(47)

o que corresponde a um sinal PM (Phase Modulation) sem portadora (CARLSON; CRILLY;

RUTLEDGE, 2002). Esta expressão é bastante similar ao sinalde saída de um interferômetro

homódino de dois feixes (BERTON, 2013; BERTON; KITANO; HIGUTI, 2010; GALETI,

2012), onde a informação está inserida na fase da luz, e, que permite a elaboração de um SOT,

no qual a informação sobre o valor instantâneo da tensãoV(t) a qual está inserida emφ(t), é

transmitida a um receptor para posterior recuperação.

Uma maneira simples de se extrairφ(t) de (47) pode ser implementada quando sua magni-

tude é muito pequena. Por exemplo, seja o caso ondeφ(t) = xsinωst, parax<< 1 rad eωs a

frequência do sinal. O parâmetrox costuma ser denominado de índice de modulação de fase.

Neste caso, o problema constitui mensurarφ(t) dado que o sinalI(t) é amostrado pelo sistema

de aquisição de dados.


Na técnica chamada de detecção de sinal de baixo índice de modulação, ajusta-se o sistema

óptico para queφ0 seja igual aπ/2 rad. Isto pode ser estabelecido, por exemplo, selecionando-

se o valor adequado deL em (37). Quando não existir o termo de birrefringência natural φ0,

pode-se usar uma lâmina de quarto-de-onda (λ/4).

Nesta situação, (47) torna-se

I(t) = Io2

{

1+cos[

φ(t)+ π2

]}

= Io2 {1−sinφ(t)}

(48)

Comox << 1 rad, conclui-se queφ(t) << 1 rad, tal que, pode-se aproximar: sinφ(t) ∼=φ(t). Desta forma, suprimindo-se a parcela DC de (48), obtém-se oseguinte sinal de saída

∆I(t)∼=− Io2 φ(t)

∼=− Io2 xsinωst

(49)

Portanto, o sinal de saída fotodetectado é proporcional aφ(t). Inclusive, esta técnica pode

ser implementada para casos ondeφ(t) tem forma de onda arbitrária, desde que seu valor má-

ximo seja pequeno.

Entretanto, conforme foi discutido na seção 2.3, a faseφ0 pode variar sensivelmente ao

longo do tempo devido à derivas térmicas ambientais. Comox << 1 rad, e,φ0 pode variar 1

rad/oC, a medição deφ(t) diante do desvanecimento de sinal constitui um problema bastante

sério. Para se ter uma noção desta dificuldade, considere-seuma situação onde oφ0 se desvia

aleatoriamente a partir deπ/2 rad, atingindo 2π rad após alguns minutos. Com isso, (47)

torna-se

I(t) = Io2 {1+cos[φ(t)+2π]}

= Io2 {1+cosφ(t)}

(50)

Comox << 1 rad, então,φ(t) << 1 rad, e assim, cosφ pode ser expandido em série de

Taylor:

cosφ = 1− φ2

2!+

φ4

4!−·· · , |φ |< 1 (51)

Diante disso, (50) pode ser escrito como:


I(t)∼= Io2

{

1− φ2(t)2

}

∼= Io2

{

1− x2

2 sin2ωst}

∼= Io2

{

1− x2

2

}

∼= Io2

{[

1−(

x2

)2]

+(

x2

)2cos2ωst

}

(52)

na qual empregou-se apenas os dois primeiros termos da sériede Taylor (51). Suprimindo-se a

parcela DC de (52), obtém-se o seguinte sinal de saída:

∆I(t)∼= Io2

(x2

)2cos2ωst (53)

uma expressão muito diferente de (49). Este resultado revela que, paraφ0 = 2π rad, o si-

nal detectado não mais corresponde aφ(t) = xsinωst, mas sim, a uma versão distorcida, com

amplitudex2 e com elevado conteúdo de segunda harmônica. Na verdade, como se está consi-

derandox<< 1 rad, então,x2 deve tender a zero. Ou seja, para uma aproximação em primeira

ordem, o sinal fotodetectado∆I(t) praticamente se anula. Daí, o nome deste fenômeno, qual

seja, desvanecimento, um termo relacionado ao ato de sumir,apagar ou desaparecer.

Deve-se registrar que o desvanecimento é o grande desafio nesta área da instrumentação

eletrônica. O problema pode ficar ainda mais complicado nos casos, ondex é elevado, no qual,

mesmo quandoφ0 = π/2 rad, o sinal de saída∆I(t) não é mais proporcional aφ(t).

De fato, casos em queφ(t) > π/2 rad conduzem a sinais∆I(t) contendo vários ciclos

de oscilação para um único ciclo deφ(t) = xsinωst. O caso (S3, I3) mostrado na Figura 9

corresponde a esta situação, sendo S3 o sinal senoidal de entrada e I3 o sinal de saída. O caso

(S1, I1) corresponde a situação em quex<< 1 rad eφ0 = π/2 rad, e, o caso (S2, I2), a situação

em quex<< 1 rad eφ0∼= 2π, e que foram discutidos ainda há pouco.


Figura 9 -Exemplos de sinais de entrada e saída do interferômetro.

Fonte: (CHANG et al., 2007)

Objetivando detectar a fase óptica induzida por tensão,φ(t), inserida no argumento da

função cosseno da expressão (47), e diante da variação aleatória deφ0, propõe-se aplicar a

técnica de demodulação de sinais em quadratura de fase. Paraisto, torna-se necessário gerar

um segundo sinal de saída, semelhante a (47), porém, em quadratura de fase com ele. Com isto,

será possível mensurarφ(t) mesmo quando sua magnitude for superior aπ/2 rad, com forma

de onda arbitrária, diante de variações deφ0, de Io, e com a incidência de ruído eletrônico.

O procedimento para se obter o sinal em quadratura de fase é discutido na próxima seção,

enquanto a técnica de demodulação porphase unwrappingé abordada no próximo capítulo.

2.4 Obtenção do sinal em quadratura

Na Figura 10 ilustra-se o esquema do sensor eletro-óptico deamplitude que foi proposto

pelo autor para a obtenção de sinais em quadratura de fase. A configuração é semelhante as das

Figuras 5 e 7, diferenciando-se após o cristal de LiNbO3.


Figura 10 -Esquema do sensor eletro-óptico de amplitude com sinais de saída em quadratura de fase.


A obtenção de sinais em quadratura de fase é possível pela inserção de alguns componentes

ópticos adicionais: divisor de feixe neutro 50:50 (beam spliter) [BS]; lâmina de quarto-de-onda

(waveplate) [λ/4], com o eixo rápido alinhado à 90o da mesa óptica; polarizadores (Analisa-

dores) [A1] e [A2] dispostos à 90o em relação ao polarizador [P]; fotodetectores [PD1] e [PD2]

para a conversão do sinal luminoso em sinal elétrico. O sinalao sair do cristal, passa por [BS] e

divide-se em dois feixes. Um deles passa pelo analisador [A1] e incide no fotodetector [PD1],

e o outro, passa pela lâmina [λ/4], pelo analisador [A2] e incide no fotodetector [PD2].

Uma lâmina deλ/4 é um dispositivo que proporciona um retardo de fase deπ/2 rad entre

os modos, rápido e lento, que se propagam através dela. Isto equivale a acrescentar um ’bias’

deπ/2 rad no argumento da função cosseno em (47).

Como o ramo 1 não contém a lâmina deλ/4, a intensidade óptica detectada pelo foto-

detector [PD1] ainda é dada pela equação (47), porém, a intensidade óptica detectada pelo

fotodetector [PD2] é dada por:

I(t) = Io2

{

1−cos[

φ(t)+φo+π2

]}

= Io2 {1−sin[φ(t)+φo]}

(54)

Como se observa, as partes variáveis no tempo de (47) e (54) estão em quadratura de fase,

e podem ser amostradas por osciloscópios de dois canais a fim de se determinar a fase óptica

φ(t), a qual é proporcional a tensão que se deseja medir,V(t) em (41).

Por fim, é importante reconhecer que a fase totalΨ(t) = φ(t)+φ0 varia apenas para pertur-

bações que acontecem entre o polarizador [P] e o divisor de feixes [BS] na Figura 10. Com isso,

Ψ(t) será detectado tanto por [PD1] quanto por [PD2], e, perturbações nos trechos de saídas não


alteram esta fase.

A seguir, será apresentado um método de demodulação de fase óptica φ(t), que além de

recuperar a forma de onda do sinalV(t), pode operar com sinais não periódicos. Este método é

baseado no algoritmoPhase Unwrapping(LEMES, 2014).

37

3 MÉTODO DE DEMODULAÇÃO DE SINAIS INTERFEROMÉTRICOS EMQUADRATURA BASEADO EM PHASE UNWRAPPING

Neste capítulo será realizada uma breve análise dos sinais obtidos em interferômetros de

quadratura, e também, estudado os princípios dos algoritmos dephase unwrappingaplicados

como método de demodulação interferométrica de fase óptica.

3.1 Análise de sinais interferométricos em quadratura de fase

Conforme discutido anteriormente, existe uma grande similaridade entre sinais interfero-

métricos em quadratura e os sinais de saída do SOT, dados por (47) e (54). Uma exceção, é que

o sinal algébrico (-) torna-se invertido (+) no caso do interferômetro em quadratura. Entretanto,

isto não tem grandes consequências para os objetivos propostos neste trabalho, e assim, grande

parte da formulação matemática desenvolvida por Lemes (2014) pode ser empregada aqui sem

restrições.

Aplicando-se um sinal de modulaçãoφ(t) ao SOT, e, supondo inicialmente que não haja

atraso de fase na conversão de sinal óptico para elétrico, osdois sinais em quadratura podem

ser escritos na forma geral como (RIPPER, 2005; VELDMAN, 2003;DOBOSZ; USUDA;

KUROSAWA, 1998):

v1(t) = A1{1+V1cos[φ(t)+φ0]} (55)

v2(t) = A2{1+V2sin[φ(t)+φ0+Θ]} (56)

sendo que os fatoresAi eVi (parai = 1, 2) são, respectivamente, os fatores de proporcionalidade

do circuito fotodetector e visibilidade das franjas de interferência. O termo de faseΘ refere-se a

desvios eventuais da condição de quadratura que ocorrem na prática, devido as não idealidades

dos componentes ópticos do interferômetro, bem como, da má localização dos fotodetectores

em pontos nas figuras de franjas de interferência (LEMES, 2014).

As grandezasA1 e A2 dependem das potências ópticas nos ramos 1 e 2 após o divisor de

feixes da Figura 10, e também, das responsividades de tensãodos fotodiodos PD1 e PD2, e,

dos ganhos dos sistemas de aquisição de dados. Por sua vez,V1 eV2 estão relacionadas com o

contraste das franjas de interferências, como as mostradasnas Figuras 6 ou 8. Ou seja,V1 eV2

são números que variam entre 0 e 1, sendo tanto maior quanto mais bem definidas estiverem


as franjas negras sobre o fundo vermelho. Quando a visibilidade é reduzida, a franja é apenas

um pouco mais vermelha que a cor de fundo, e, com isso, tem-se um baixo contraste e uma

menor relação sinal-ruído. No caso da célula Pockels, uma visibilidade próxima da unidade

está relacionada essencialmente a um excelente alinhamento do sistema óptico.

Caso ocorra uma ou mais das desigualdades:A1 6= A2, V1 6=V2 eΘ 6= 0 , ao se visualizar os

sinais descritos em (55) e (56) no modo XY de um osciloscópio,tem-se uma figura de Lissajous

com forma de uma elipse. Em condições ideais, têm-seA1 = A2, V1 = V2 e Θ = 0 e assim, a

figura de Lissajous que se obtém é a de um círculo, tal como se ilustra na Figura 11. Contudo,

devido às primeiras parcelas constantes em (55) e (56), estecírculo não deve estar no centro da

tela desse osciloscópio.

Figura 11 -Figura de Lissajous obtida de dois sinais interferométricos em quadratura perfeita.

Fonte: (LEMES, 2014)

Considerando-se condições ideais de quadratura isto é,A1 =A2 =A,V1 =V2 =V eΘ= 0, e

removendo-se as primeiras parcelas do lado direito de (55) e(56), pode-se reescrevê-las como:

v1(t) = AVcos[∆Ψ(t)] (57)

v2(t) = AVsin[∆Ψ(t)] (58)

sendo∆Ψ(t) = φ(t)+φo , ou seja, a fase óptica total do sinal interferométrico de saída.

De (57) e (58), pode-se extrair a fase óptica total do sinal interferométrico calculando-se:

∆Ψ(t) = tan−1[

v2(t)v1(t)

]

(59)


Observa-se em (59) que o fatorAV é cancelado diante a divisão dev2(t) por v1(t). Isto

significa que o cálculo da fase não depende das potências ópticas nos ramos 1 e 2 da Figura

10, dos ganhos dos fotodiodos PD1 e PD2, ou das visibilidadesdas franjasV1 eV2. Esta é uma

característica interessante, pois permite manter o interferômetro calibrado mesmo seAV variar

ao longo do tempo.

Portanto, segundo (59), a diferença de fase total entre doisinstantes de tempo corresponde

ao arco da rotação dada por∆Ψ(t) num sistema de coordenadasv1×v2. Apresenta-se na Figura

12 o arco obtido com os dois sinais de saída em quadratura. Observa-se que, quando um dos

sinais de tensão elétrica é nulo, o outro é máximo.

Figura 12 -Medição deΨ(t) através de dois sinais em quadratura.


Os gráficos da Figura 12 não variam comφ(t) ou φ0, mais sim, com a soma∆Ψ(t) =

φ(t)+ φ0. Ora, o sinalφ(t) é variável no tempo por razões óbvias, e,φ0 varia aleatoriamente

no tempo devido a deriva de temperatura. No entanto, sendo∆Ψ(t) a mesma função presente

emv1(t) e v2(t), o resultado na Figura 12 será sempre um círculo. Esta característica faz com

que a determinação de∆Ψ(t) não seja prejudicada pelo desvanecimento de sinal causado pelo

comportamento aleatório deφ0(t).

Entretanto, a equação (59) é válida apenas quandov1(t) ev2(t) estão em condições ideais de

quadratura e, sendo assim, antes de se extrair∆Ψ(t), necessita-se realizar correções nos sinais

descritos em (55) e (56) para casos práticos (VELDMAN, 2003).

De fato, na prática poderá ocorrerA1 6= A2, V1 6= V2 e Θ 6= 0 devido, por exemplo, à dife-


renças nas responsividades dos fotodiodos PD1 e PD2 na Figura 10, à diferentes ganhos nos

sistemas de aquisição de dados, à taxas diferentes de 50% no divisor de feixes BS, à pequenos

desalinhamentos no sistema óptico, dentre outros. Na Figura 13a ilustra-se um exemplo típico

de figura de Lissajous obtida na prática. A figura resultante não é circular (é elíptica) e não

está centrada na origem da tela do osciloscópio. Nos próximos parágrafos apresenta-se um mé-

todo de correção de imperfeições práticas objetivando-se obter um circulo centrado na origem

mostrado na Figura 13b. Para isto, invoca-se a dissertação de Lemes (2014).

Figura 13 -Figura de Lissajous de sinais simulados: a) Sinais com erros de quadratura; b) Sinais apósa correção de quadratura.


Segundo Lemes (2014), a figura de Lissajous na Figura 13a é o resultado das equações

paramétricas:

v1′(ti) = v1(ti)+ p (60)

v2′(ti) =

1r[v2(ti)cosΘ−v1(ti)sinΘ]+q (61)

sendor a razão entre os diferentes ganhos dos dois canais de conversão opto-elétrica (isto é, de


PD1 e PD2 na Figura 10),Θ é o desvio da quadratura [ver equação (56)], e,p eq são osoffsets

de cada canal. As funçõesv1(ti) e v2(ti) são os sinais interferométricos ideais, em quadratura

de fase [ver equações (57) e (58)] amostradas nos instantes de tempoti.

Deseja-se converter a elipse dada por (60) e (61) no círculo da Figura 13b, cuja forma ideal

seria:

v21(ti)+v2

2(ti) = R2 (62)

sendoRo raio do círculo. Esta equação podem ser reescrita em termosdev1′(ti) ev2

′(ti) dadas

em (60) e (61), como:

[

v1′(ti)− p

]2+

{

[v2′(ti)−q]r2+[v1

′(ti)− p]sinΘcosΘ

}2

= R2 (63)

(substituindo-se as expressões dev1′(ti) ev2

′(ti) em (63), obtém-se (62)).

Por outro lado, a equação geral da elipse (60) e (61) também pode ser escrita como:

A[v1′(ti)]

2+B[v2′(ti)]

2+C[v1′(ti)v2

′(ti)]2+Dv1

′(ti)+Ev2′(ti) = 1 (64)

a qual, comparada com (63) resulta:

A=(R2cos2Θ− p2− r2q2−2rpqsinΘ)−1 (65a)

B=Ar2 (65b)

C=2ArsinΘ (65c)

D =−2A(p+ rqsinΘ) (65d)

E =−2Ar(rq+ psinΘ) (65e)

O círculo corrigido mostrado na Figura 13b pode ser determinado a partir dos coeficientes

A, B, · · · , E, e com o auxílio do método de mínimos quadrados, a fim de se obter outro conjunto

de coeficientesa, b, · · · , e.

Assim, segundo Lemes (2014), utilizando-se do algoritmo deHeydemann (1981), obtém-se

os seguintes sinais com a quadratura corrigida:


v1c(ti) = v1′(ti)− p′ (66)

v2c(ti) =1

cosΘ′[

(v1′(ti)− p′) ·sinΘ′+ r ′(v2

′(ti)−q′)]

(67)

sendov1c ev1c os vetores corrigidos dos sinais fotodetectados, e

Θ′ =sin−1[

c(4ab)−1/2]

(68a)

r ′ =

(

ba

)−1/2

(68b)

p′ =(2bd−ec)/(c2−4ab) (68c)

q′ = (2ae−dc)/(c2−4ab) (68d)

nas quaisa, b, · · · , esão soluções do produto matricial:

a

b

c

d

e

={

[X]T [X]}−1

[X]T [I] (69)

sendo[I] a matriz identidade, e

[X] =

[v1′(t0)]2 [v2

′(t0)]2 v1′(t0)v2

′(t0) v1′(t0) v2

′(t0)

[v1′(t1)]2 [v2

′(t1)]2 v1′(t1)v2

′(t1) v1′(t1) v2

′(t1)

[v1′(t2)]2 [v2

′(t2)]2 v1′(t2)v2

′(t2) v1′(t2) v2

′(t2)

[v1′(t3)]2 [v2

′(t3)]2 v1′(t3)v2

′(t3) v1′(t3) v2

′(t3)

[v1′(t4)]2 [v2

′(t4)]2 v1′(t4)v2

′(t4) v1′(t4) v2

′(t4)

A

B

C

D

E

(70)

para instantes de tempot0, t1, · · · , t4.

No exemplo das Figuras 13a e 13b foram empregados:r = 1,5, p= 0,5, q= 0,33 eΘ =

45o. A qualidade do círculo obtido confirma a eficiência do algoritmo.


3.2 Phase unwrapping

Após realizar as correções de quadratura dos sinais por (66)e (67), pode-se extrair a fase

óptica total interferométrica∆Ψ(t) por meio de (59). Entretanto, devido à função arco tangente

ser a inversa de uma função trigonométrica (periódica), nota-se queΨ(t), calculada por progra-

mas como o Matlab, terá descontinuidades conforme varia no tempo (uma vez que se trata de

uma "função de múltiplos valores"). Na Figura 14a, ilustra-secomo seria a resposta gerada em

Matlab quando a fase∆Ψ(t) tem a forma de uma senoide. Isto acontece porque, por definição,

a função arco-tangente varia somente entre−π/2 e+π/2 rad.

Figura 14 -Processo dephase unwrapping.(a) Função (59) obtida pelo Matlab. (b) Função (71) comphase unwrapping.

Fonte: (RIPPER, 2005)

Sendo assim, a série discreta no tempo da fase interferométrica total recuperada é calculada

corretamente por (LEMES, 2014):

∆Ψr(ti) = tan−1[

v2c(ti)v1c(ti)

]

+mπ (71)

sendo quem é um inteiro que deve ser determinado para que não ocorram descontinuidades.

Este processo é denominado dephase unwrapping(desdobramento de fase). O resultado correto

obtido é mostrado na Figura 14b, desde que o valor demseja determinado adequadamente apli-

cado, por exemplo, técnicas discutidas por (DOBOSZ; USUDA; KUROSAWA, 1998). Neste

texto contudo, é aplicada a técnica proposta por Lemes (2014).

Lemes (2014) desenvolveu um algoritmo dephase unwrappingcapaz de ser aplicado como

método de demodulação de fase óptica interferométrica capaz de recuperar a forma de onda do

sinal de excitação∆φ(t) e fornecer todas as amostras de∆Ψr(ti) nos quadrantes corretos.

Primeiramente, ilustra-se na Figura 15, os círculos trigonométricos com os devidos sinais

para as funções cosseno, seno e tangente associados av1c(ti), v2c(ti) e v2c(ti)/v1c(ti), respecti-


vamente.

Figura 15 -Círculos trigonométricos com os sinais para as funções: a) Cosseno; b)Seno; c) Tangente.


Com a ajuda da Figura 15 pode-se determinar o quadrante em que se encontra∆Ψr(ti) (71),

através das seguintes constatações:

• v1c(ti)> 0 ev2c(ti)> 0 , primeiro quadrante;

• v1c(ti)< 0 ev2c(ti)> 0 , segundo quadrante;

• v1c(ti)< 0 ev2c(ti)< 0 , terceiro quadrante;

• v1c(ti)> 0 ev2c(ti)< 0 , quarto quadrante.

Assim, basta calcular o módulo do arco tangente de (71), e associá-lo ao arco de círculo

correspondente ao quadrante correto, tal como se ilustra naFigura 16:

• a) ∆Ψr(ti) =∣

∣

∣tan−1

[

v2c(ti)v1c(ti)

]∣

∣

∣(1o quadrante);

• b) ∆Ψr(ti) = π −∣

∣

∣tan−1

[

v2c(ti)v1c(ti)

]∣

∣

∣(2o quadrante);

• c) ∆Ψr(ti) = π +∣

∣

∣tan−1

[

v2c(ti)v1c(ti)

]∣

∣

∣(3o quadrante);

• d) ∆Ψr(ti) = 2π −∣

∣

∣tan−1

[

v2c(ti)v1c(ti)

]∣

∣

∣(4o quadrante);


Figura 16 -Determinação do arco tangente no quadrante correto.


Desta forma, consegue-se determinar corretamente o quadrante de cada amostra de∆Ψr(ti).

Deste ponto em diante, o problema se resume em determinar o número de voltas que o arco

completa em torno do círculo para se eliminar o problema das descontinuidades. Sendo assim,

a expressão de∆Ψr(ti) passa a ser dada por:

∆Ψr(ti) = tan2−1[

v2c(ti)v1c(ti)

]

+2mπ (72)

sendo quetan2−1[

v2c(ti)v1c(ti)

]

representa a operação de arco tangente que fornece o arco no qua-

drante correto, conforme explicado anteriormente.

O arco calculado portan2−1[

v2c(ti)v1c(ti)

]

completa uma volta em torno do círculo trigonomé-

trico toda vez que o arco calculado da amostra atual estiver no 1o quadrante e o arco calculado

da amostra anterior estiver no 4o quadrante e, sendo assim, deve-se somar 1 am. Entretanto, se

o arco calculado da amostra atual estiver no 4o quadrante e o arco calculado da amostra ante-

rior estiver no 1o quadrante, tem-se que o arco calculado retrocedeu em uma volta em torno do

círculo trigonométrico e, desta forma, deve-se subtrair 1 dem.

O valor da frequência de amostragemFs é de suma importância no processo de demodu-

lação. Além de atender ao Teorema de Nyquist (OPPENHEIM; SCHAFER; BUCK, 1999),

também precisa atender uma exigência do método de demodulação apresentado. Assim, a

frequência de amostragemFs exigida para uma frequência de trabalhofs e para um sinal de

modulação com índicex deve ser (LEMES, 2014):


Fs = fs ·4x (73)

Para ilustrar essa dependência da frequência de amostragem, realiza-se a simulação de um

sinal de modulação em 1 kHz, comx = 6π rad eφ0(ti) = π rad. Verifica-se, por (73), que a

frequência de amostragemFs deve ser superior a 75,3982 kHz. Ilustra-se nas Figuras 17a e

17b o sinal de fase óptica total∆Ψ(ti) e o resultado de saída∆Ψr(ti) do algoritmo dephase

unwrappingquando os sinais fotodetectados são amostrados em 60 kHz, ouseja, quandoFs é

insuficiente. O sinal de fase óptica total reconstruída∆Ψr(ti) é totalmente inconsistente com

∆Ψ(ti) (LEMES, 2014).

Figura 17 -Resultado obtido do processo de phase unwrapping quandoFs não atende (73).


No próximo capítulo serão descritos os aparatos experimentais e os resultados preliminares

obtidos com a demodulação dos sinais provenientes do SOT, aplicando-se o método de quadra-

tura de fase.

47

4 RESULTADOS EXPERIMENTAIS

Neste capítulo serão apresentados os resultados obtidos experimentalmente com o SOT

configurado para operar em quadratura de fase, bem como a demodulação dos sinais obtidos

utilizando-se do algoritmo dephase unwrapping. Primeiramente, serão apresentados os resul-

tados para baixas tensões (centenas de volts), e, em seguida, serão apresentados os resultados

para altas tensões (dezenas de kV).

4.1 Arranjo experimental em baixa tensão

Nesta seção será apresentado o arranjo experimental utilizado para a aquisição e processa-

mento dos sinais de saída em quadratura do SOT em baixas tensões. O conjunto experimental

é mostrado na Figura 18. O bloco denominado SOT corresponde aquele da Figura 10.

Figura 18 -Esquema de montagem do SOT.



Apresenta-se na Figura 19 a célula Pockels utilizada no SOT de baixa tensão. Ela está

montada na configuração transversal, na qual aplica-se o campo elétrico na direção Z e o feixe de

laser propaga-se na direção Y do cristal de niobato de lítio (LiNbO3). Esta célula corresponde ao

primeiro dispositivo discutido na seção 2.3, cujas dimensões e parâmetros ópticos podem ser lá

encontrados. Enfatiza-se que esta configuração apresenta oindesejável efeito da birrefringência

natural, e assim, o fenômeno de desvanecimento é acentuado.

Figura 19 -Célula Pockels para baixas tensões, contendo cristal e eletrodos de placas paralelas.


A montagem do SOT é ilustrada na fotografia da Figura 20, sendo: 1) Laser de Hélio Neô-

nio (He-Ne) da Oriel Corporation, modelo 79290, operando emλ = 632,8 nm, com potência

nominal de 4 mW, 2) Polarizador, 3) Célula Pockels fixada em estágios de rotação e transla-

ção, 4) Lâmina deλ/4 de onda, 5) Polarizador (Analisador), 6) Divisor de feixe (50:50), 7)

Fios condutores de sinais de tensão, 8) Polarizador (Analisador), 9-10) Fotodetectores de lei

quadrática do tipo PIN, de silício, modelo PDA 55 da Thorlabs.

Na Figura 21, apresenta-se a instrumentação eletrônica utilizada: um osciloscópio digital

da Tektronix TDS2022 (item 1); um osciloscópio digital da Tektronix TDS1002C-EDU (item

2); um sintetizador de funções da Agilent Technologies 33210A (item 3); um computador para

aquisição dos sinais (item 4) e um trafo de bancada (item 5).


Figura 20 -Montagem experimental do SOT em quadratura para baixa tensão.


Figura 21 -Instrumentação utilizada no SOT em quadratura para baixa tensão.


A montagem experimental, como ilustrada na Figura 18, de certa forma, é simples: o ge-

rador de funções, operando com amplitude máxima de 10 V de pico a pico, é conectado a um

pequeno transformador de tensão com relação de transformação nominal de 6:220 V alimen-

tado pelo lado de baixa tensão. A aquisição é feita por dois osciloscópios: enquanto um deles

realiza a aquisição dos sinais interferométricos (em mV) desaída do SOT, o outro adquire o

sinal (centenas de volts) aplicado na célula Pockels. Para garantir que os sinais fossem adquiri-

dos de maneira síncrona, utilizou-se comotrigger externo dos osciloscópios o sinal detrigger

fornecido pelo gerador de sinais.

A saída do transformador de 6:220 V é então conectada à célulaPockels e constitui a forma

de onda que se deseja detectar, sendo que em um canal do osciloscópio (item 1 da Figura 21) é


conectada a saída do transformador a fim de se adquirir a tensão de entrada do SOT. Os sinais

de saída do SOT são então conectados ao outro osciloscópio (item 2 da Figura 21), e por meio

da interface USB, o computador realiza o controle automatizado dos osciloscópios, para fins de

aquisição de dados, bem como, o controle do gerador.

4.1.1 Resultados obtidos em baixa tensão

Devido as dimensões do cristal, trabalhou-se com tensões daordem de 170 V de pico apli-

cados à célula Pockels. De fato, um motivo de preocupação ao se operar com este cristal é não

exceder o limite de tensão imposto pela ruptura dielétrica do ar (principalmente), pelas bordas

dos eletrodos metálicos da célula Pockels. Como a espessura do cristal é de aproximadamente

1 mm, estima-se que não seja adequado se operar com tensões superiores a 1 kV. Portanto, os

níveis de tensões referidos acima são perfeitamente seguros.

Na Figura 22 apresenta-se o resultado da aplicação de tensãoexterna ao SOT, com forma

de onda senoidal gerada pelo sintetizador de funções. Sua amplitude é de 166 V de pico a

pico e frequência de 1 kHz. Observa-se que os gráficos a seguirforam gerados em termos de

amplitude, nos eixos verticais, por tempo, nos eixos horizontais. O sinal recosntruído porphase

unwrappingtambém está mostrado e desenhado na mesma escala. Seu valor pode ser obtido a

partir da fase ópticaφ(t) aplicando-se (41), ou seja,V(t) = Vπλ φ(t) paraVπ = 64,92V. Como se

verifica, a aplicação do métodophase unwrappinggera um sinal reconstruído fiel ao sinal de

entrada.

Figura 22 -Gráfico com os sinais senoidais de entrada e reconstruído adquiridos doSOT.

0 0,5 1 1,5 2 2,5−200

−100

0

100

200

Tempo [ms]

Ten

são

[V]

EntradaReconstruído


Deve-se ressaltar que não houve problemas quanto ao fato da faseφ0(t) variar no tempo,


confirmando que o método é imune ao desvanecimento do sinal.

A seguir, será apresentado na Figura 23 o gráfico contendo os sinais de entrada e recons-

truído de uma forma de onda triangular. Nota-se que ouve boa concordância entre os sinais.

Cabe registar que a saída do sintetizador de sinais é uma formade onda triangular perfeita (sem

distorção e com valor médio nulo), porém, ao passar pelo transformador de 6:220 V, o sinal

sofre alguma filtragem, como pode ser observada na Figura 23.Entretanto, o que é importante

neste exemplo é que existe uma concordância entre o sinal efetivamente aplicado ao SOT e o

sinal detectado.

Figura 23 -Gráfico com os sinais triangulares de entrada e reconstruído adquiridosdo SOT.

0 0,5 1 1,5 2 2,5−200

−100

0

100

200

Tempo [ms]

Ten

são

[V]



Para se verificar a robustez do método dephase unwrapping, programou-se no gerador de

funções, formas de ondas arbitrárias, porém periódicas, ilustradas pelos gráficos da Figura 24.

Pode-se observar que, após o processo de demodulação, houveboa concordâncias entre os si-

nais de entrada e reconstruído. Este método possui uma substancial vantagem em comparação

ao método de Segmentação do Sinal Amostrado (SSA) (GALETI, 2012), uma vez que o mé-

todo SSA torna necessário se trabalhar com a detecção de pontos de derivadas nulas que são

atribuídos ao inicio e ao final dos ciclos. Por esse motivo nãopode haver segmento que conte-

nha derivadas nulas, pois, o método não as identificaria comopontos válidos e processaria os

sinais de forma errônea.

Como observado na Figura 24, o método dephase unwrappingfoi capaz de reconstruir os

sinais mesmo com a presença de pontos de derivadas nulas entre os ciclos.


Figura 24 -Gráfico com os sinais arbitrários de entrada e reconstruído adquiridos do SOT.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10−200

−150

−100

−50

0

50

100

150

200

Tempo [ms]

Ten

são

[V]


0 1 2 3 4 5−150

−100

−50

0

50

100

150

Tempo [ms]

Ten

são

[V]



Para melhor compreensão do processo de demodulação, apresentam-se na Figura 25 foto-

grafias dos osciloscópios contendo: (a) Sinal de baixa tensão aplicado ao SOT de uma forma

de onda arbitrária com frequência de modulação de 1 kHz e amplitude de 230 V de pico-a-

pico; b) Sinais interferométricos de saída do SOT em quadratura de fase [amarelo referente

à equação (55) e em azul referente à equação (56)]. Desta forma, apresenta-se na Figura 26

a figura de Lissajous quando o osciloscópio está em modo XY, referente aos sinais da Figura

25b, observa-se que a figura formada uma elipse inclinada indicando que o sistema não está em

perfeita quadratura de fase. Ou seja, após a aquisição dos sinais de saída, procede-se a correção

da quadratura dos sinais para a obtenção de um círculo, como descrito na seção 3.1 e, assim,

efetuar a demodulação dos sinais interferométricos de saída pelo método dephase unwrapping

para a obtenção da forma de onda do sinal de entrada.


Figura 25 -Gráfico: a) Sinal arbitrário aplicado na entrada do SOT e b) Sinais de saída em quadraturade fase do SOT.


Figura 26 -Gráfico contendo a figura de Lissajous dos sinais de saída apresentados na Figura 25b.


A seguir serão apresentados os resultados obtidos com a demodulação dos sinais em altas

tensões aplicados ao SOT.

4.2 Arranjo experimental em alta tensão

O arranjo experimental empregado nesta etapa da pesquisa é omesmo da Figura 18, exceto

pela nova célula Pockels, que possui capacidade de medir vários kV. Esta célula corresponde à


segunda configuração discutida na seção 2.3. Na Figura 27, ilustra-se a estrutura da nova célula

Pockels montada com os eletrodos na configuração transversal, porém, com o campo elétrico

aplicado na direção Y e com o feixe de laser propagando-se ao longo do eixo óptico Z do cristal

de LiNbO3. Não há birrefringência natural nesta configuração e, portanto, é menos susceptível

ao fenômeno de desvanecimento.

Figura 27 -Célula Pockels para altas tensões, contendo cristal e eletrodos de placasparalelas.


O novo cristal agora tem as seguintes dimensões: comprimento de 20,273 mm, largura de

10,258 mm e espessura de 9,924 mm. Portanto, com uma espessura de aproximadamente 10

mm, a máxima tensão admissível antes da ruptura dielétrica (do ar) ocorrer é de aproxima-

damente 10 kV. Isto significa que o SOT ainda não tem capacidade para operar com 13,8 kV

(RMS), uma tensão cujo valor de pico é 19,5 kV. Por este motivo,a máxima tensão utilizada

nesta dissertação foi de aproximadamente 8 kV de pico.

Observa-se na fotografia da Figura 28 a montagem experimental do SOT de tensões eleva-

das implementado no LOE, sendo: 1) Laser de Hélio Neônio (He-Ne) da Lasos, modelo LGK

7628, operando no espectro visível comλ = 632,8 nm e com potência nominal de 15 mW, 2)

Polarizador, 3) Célula Pockels fixada em estágios de rotação etranslação, 4) Polarizador (Ana-

lisador), 5) Lâmina deλ/4 de onda, 6) Divisor de faixe (50:50), 7) Condutores de sinais, 8)

Polarizador (Analisador), 9-10) Fotodetectores de lei quadrática do tipo PIN, de silício, modelo

PDA 55 da Thorlabs.


Figura 28 -Montagem experimental do SOT em quadratura para alta tensão.


Apresenta-se na Figura 29 o sistema de elevação de tensão, onde um transformador elevador

de tensão (item 1), com relação de transformação de 220 V para15 kV (RMS), é empregado para

elevar o sinal sintetizado pelo gerador de funções. Entretanto, como este gerador não fornece

corrente suficiente e possui tensão máxima de 10 V de pico-a-pico, utilizou-se um amplificador

de áudio (item 4) e um transformador de bancada (item 3) para reduzir o efeito do carregamento.

Figura 29 -Sistema de amplificação para tensões elevadas.


Sendo necessário verificar o quão eficiente será demodulaçãodos sinais, é importante com-

parar os sinais de entrada e de saída. Devido ao fato de se estar empregando tensões da ordem

de vários kV, o uso de uma ponta de prova capaz de operar nesta faixa de tensão se faz necessá-

ria. Por isso, utilizou-se uma ponta de prova (item 2 da Figura 29) com atenuação de 1000x, da

Tektronix, modelo P6015A.


4.2.1 Resultados obtidos em alta tensão

Nesta seção serão apresentados os resultados obtidos experimentalmente com o SOT para

tensões elevadas.

Foram geradas formas de ondas distintas com o objetivo de investigar a viabilidade do

método dephase unwrappingem recuperar a tensão de entrada a partir do sinal fotodetectado.

Na sequência serão apresentados resultados de formas de ondas reconstruídas através do método

dephase unwrappinge com processamento em Matlab no microcomputador. Os espectros dos

sinais foram obtidos por FFT no Matlab.

Para verificar se a aquisição ocorreria sem problemas, sintetizou-se um sinal senoidal com

frequência de 60 Hz e tensão em torno de 5 kV de pico, como mostrado na Figura 30. A partir

daí, detectou-se os sinais de saída dos fotodiodos e aplicou-se o método dephase unwrapping.

Pela análise do gráfico da Figura 30, observa-se que os sinais, de tensão de entrada e recons-

truído (obtido por meio da expressão (41),V(t) = Vππ φ(t) paraVπ = 3,768 kV), possuem boa

concordância.

Figura 30 -Gráfico com os sinais senoidais de entrada e reconstruído em altas tensões adquiridos doSOT.

0 10 20 30 40 50−6

−4

−2

0

2

4

6

Tempo [ms]

Ten

são

[kV

]



Para verificar a capacidade do SOT em reproduzir com certa fidelidade o sinal de alta tensão

aplicado, mesmo com elevado conteúdo de harmônicos superiores, foram geradas formas de

ondas triangulares. Porém, devido à limitada banda de resposta em frequência do sistema de

elevação de tensão, a forma de onda gerada possui o aspecto apresentado na Figura 31.

Portanto, o sinal recuperado pelo método dephase unwrappingserá comparado com a

forma de onda de entrada da Figura 31, pois esta é a alta tensãoque efetivamente está aplicada


ao SOT. Analisando os gráficos da Figura 31, nota-se que também houve boa concordância

entre os sinais de entrada e reconstruído.

Figura 31 -Gráfico com os sinais de entrada e reconstruído adquiridos do SOT de umaforma de ondatriangular distorcida.

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

Tempo [ms]

Ten

são

[kV

]



Apresenta-se na Figura 32 o gráfico com informações sobre o conteúdo harmônico da forma

de onda apresentada na Figura 31, onde nota-se que existe umaboa concordância entre as prin-

cipais componentes harmônicas dos sinais de entrada e reconstruído. Ocorrem concordâncias

entre as amplitudes harmônicas (ímpares) até a 11a harmônica.

Figura 32 -Componentes harmônicas do sinal de entrada e sinal reconstruído de uma forma de ondatriangular distorcida.

60 180 300 420 540 660 780 900 1000−60

−50

−40

−30

−20

−10

0

Frequência [Hz]

Mag

nitu

de [d

B]




Na sequência, para testar o SOT diante de harmônicas de ordens ainda mais elevadas, um

sinal com forma de onda quadrada é então sintetizado pelo gerador de funções. Novamente,

porém, ao passar pelo sistema elevador de tensão, que não possui suficiente largura de banda,

obtém-se uma versão distorcida como observada na Figura 33.O sinal reconstruído deverá ser

então comparado com esta forma de onda distorcida.

Figura 33 -Gráfico com os sinais de entrada e reconstruído adquiridos do SOT de umaforma de ondacom elevado conteúdo harmônico.

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50−6

−4

−2

0

2

4

6

Tempo [ms]

Ten

são

[kV

]



Analisando a Figura 33, verifica-se que o sinal reconstruídoobteve boa concordância em

relação ao sinal de entrada, indicando que o método dephase unwrappingutilizado possui

capacidade necessária para o processo de demodulação.

A seguir, na Figura 34, é apresentado o espectro das componentes harmônicas do sinal da

Figura 33. Analisando este espectro, observa-se que houve boa concordância entre as harmôni-

cas dos sinais de entrada e reconstruído até o nível de aproximadamente -40 dB (o que corres-

ponde até a 13a harmônica).


Figura 34 -Componentes harmônicas do sinal de entrada e sinal reconstruído de uma forma onda comelevado conteúdo harmônico.

60 180 300 420 540 660 780 900 1020 1140 1260 1380 1500−60

−50

−40

−30

−20

−10

0

Frequência [Hz]

Mag

nitu

de [d

B]



A seguir, serão apresentadas algumas conclusões sobre os resultados obtidos ao longo deste

trabalho, bem como, algumas sugestões de trabalhos de pesquisa futuros que podem utilizar este

trabalho como base.

60

5 CONCLUSÕES

Foram realizados estudos sobre o efeito eletro-óptico em cristais de niobato de lítio e sobre

o modulador eletro-óptico de amplitude a base de célula Pockels. Foram calculados os valores

das tensões de meia-ondaVπ para as duas configurações apresentadas.

Abordou-se a interferometria com dois sinais em quadratura. Ao longo do texto, foi apre-

sentado o método dephase unwrapping(LEMES, 2014), uma característica importante deste

método é que não há a necessidade de se filtrar os sinais de saída para o processo de demodula-

ção. Isto garante que sinais com harmônicos de grau elevado não sejam suprimidos. Somando

esta característica, tem-se a potencialidade que o método apresenta em demodular sinais arbi-

trários, como os observado na Figura 24.

Em seguida, procederam-se aos testes experimentais, em baixas e altas tensões aplicadas

no SOT. Utilizou-se o método dephase unwrappingpara a demodulação dos sinais de saída, e

assim, levantou-se por meio da FFT em Matlab seus espectros harmônicos para fins de compa-

ração.

A aplicação do método no processo de demodulação dos sinais evidenciou ser satisfatória.

Assim, foi possível obter as formas das tensões que foram aplicadas no SOT, observados pelos

gráficos apresentado no capítulo 4. A comprovação da potencialidade do método também foi

obtida pelos gráficos das componentes harmônicas dos sinais(Figuras 32 e 34).

Assim, deduz-se que, o método dephase unwrappingtenha também grande aplicabilidade

no processo de demodulação de sinais com elevado conteúdo harmônico, como por exemplo,

na determinação do conteúdo harmônico da rede de distribuição de 13.8 kV (RMS).

Sugere-se para trabalhos futuros que o método dephase unwrappingseja implementado em

arquitetura DSP, para a demodulação de sinais provenientesde um interferômetro de quadratura

montado no LOE, para a caracterização de atuadores piezoelétricos disponíveis no LOE, ou

então, para medição de tensões elevadas usando o SOT em quadratura estudado neste trabalho.

61

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Estudos II - Fernando Da Cruz Pereira (Final)