ETAPA 3

Passo 1Determinar (usando a equao clssica Ec= 0,5 mv) quais so os valores de energia cintica Ec de cada prton de um feixe acelerando no LHC, na situao em que os prtons viajam s velocidades: v1= 6,00x107 m/s (20% da velocidade da luz), v2= 1,50x108 m/s (50% da velocidade da luz) ou v3= 2,97x108 m/s (99% da velocidade da luz).EC= (M.V)/2

Ec1=(1,67x10-27.36,00x1014 )/2Ec1=(60,12x10-13 )/2Ec1=3,01x10 -12 J

Ec2=(1,67x10-27.2,25x1016 )/2Ec2=(3,76x10-11)/2Ec2=1,88x10-11J

Ec3=(12.1,67x10-27.8,82x1016) /2Ec3=(14,73x10-11) /2Ec3=7,36x10-11J

Passo 2Sabendo que para os valores de velocidade do Passo 1, o clculo relativstico da energia cintica nos d:Ec1= 3,10x10-12 J,Ec2= 2,32x10-11 J,Ec3= 9,14x10-10 J, respectivamente determinar qual o erro percentual da aproximao clssica no clculo da energia cintica em cada um dos trs casos. O que se pode concluir?Ec1Erro (%) = ((3, 01x10-12 - 3, 10x10-12) / 3, 10x10-12)) x100Erro (%) =((-9, 00x10-14) / 3,10x10-12)x100Erro (%) =2,9x10-2x100Erro (%) =2,9%

Ec2Erro (%) =((1, 88x10-11 - 2, 32x10-11)/2, 32x10 -11)x100Erro (%) =((-0, 44x10-11)/2, 32x10-11)x100Erro (%) =18,96x10-2x100Erro (%) =18,96%

Ec3Erro (%) =((7, 36x10-11-91, 40x10-11)91, 40x10-11)x100Erro (%) =((-84, 04x10-11)/91, 40x10-11)x100Erro (%) =91,95%

Passo 3

Considerando uma fora eltrica Fe= 1,00 N (sobre os 1x1015 prtons do feixe), determinar qual o trabalho realizado por essa fora sobre cada prton do feixe, durante uma volta no anel acelerador, que possui 27 Km de comprimento.

Fe=1,00Nn=1x1015prtonsd=27 km ou 27x103mW=1,00x27x103W=27x103J27x103J 1x1015prtons (regra de 3) X 1 prton1x1015x=27x103x=27x1031x1015 x=27x10-12JR: O trabalho realizado de 27x10-12J

Passo 4

Determinar qual o trabalho W realizado pela fora eltrica aceleradora Fe, para acelerar cada um dos prtons desde uma velocidade igual a 20% da velocidade da luz at 50% da velocidade da luz, considerando os valores clssicos de energia cintica, calculados no Passo 1.Determinar tambm qual a potncia mdia total P dos geradores da fora eltrica (sobre todos os prtons), se o sistema de gerao leva 5us para acelerar o feixe de prtons de 20% a 50% da velocidade da luz.

Dados:

Ec1=3,01x10-12J (20%da velocidade da luz)Ec2=1,88x10-11J (50% da velocidade da luz) t=5usW=18,8x10-12 - 3,01x10-12W=15,79x10-12JR: O trabalho realizado pela fora eltrica de 15,79x10-12J

Potencia em cada prton:P=15,79x10-12 / 5x10-6P=3,16x10-6 WPotencia sobre todos os prtons:Ptotal=3,16x10-6. 1x1015Ptotal=3,16x109WR: A potncia geral sobre todos os prtons de 3,16 x 10w

Relatrio

Primeiramente foram calculados a energia cintica Ec de cada prton, que a energia relacionada ao movimento. Depois, no segundo passo, achamos o erro percentual entre os calculos de energia cintica da era clssica newtoniana em relao a relativstica. Isso mostra que quando o prton se aproxima da velocidade da luz o erro tende a aumentar, ou seja, a diferena da energia cintica ir aumentar. No terceiro passo, o trabalho realizado sobre cada prton de 27x10-12 J e o realizado de 3,16 x 109W.E por fim, no quarto passo o trabalho realizado pela fora eltrica sobre cada prton na acelerao de 15,79x10-12J, e a potncia mdia total dos geradores de fora eltrica sobre todos os prtons de 3,16x109W.

ETAPA 4

Passo 1

Determine a posio do centro de massa do sistema composto por um feixe de prtons(P) que ir colidir com um feixe de ncleos de chumbo (Pb), no interior do detector ATLAS, supondo que ambos os feixes se encontram concentrados nas extremidades opostas de entrada no detector, com uma separao de 46m entres eles. O feixes de prtons possui 1x1015prtons ,enquanto o de chumbo possui 3x1013ncleos.Lembre-se que a massa de cada ncleo de chumbo vale 207 vezes a massa de um prton.

Frmula do centro de massa:Cm=(mP.d1+mPb.d2)/(mP+mPb)

Cm=posio docentro de massamP=massa dos prtonsmPb=massa dos ncleos de chumbod1=posio dos prtonsd2=posio dos ncleos de chumbo

Dados:

P=1x1015prtonsPb=3x1013ncleos

Resoluo:

Calculo de massa de prtonsmP=1x1015x1,67x10-27mP=1,67x10-12kg

Calculo de massa de ncleos de chumbomPb=207x1,67x10-12mPb=345,69x10-12kg

Posio do centro de massa do sistema

Cm=(1,67x10-12).(0) + (345,69x10-12) / (461,67x10-12)+(345,69x10-12 )Cm=(15901,74x10-12) / 347,36x10-12Cm=45,78m

Resposta:O centro de massa entre os prtons e os ncleos de chumbo de 45,78m

Passo 2

Calcular o vetor momento linear total p de cada feixe, sendo as velocidades escalares vp=6,00x107m/s e vPb=5,00x106m/s. Em seguida ,calcule o valor do momento linear total P do sistema de partculas.

Formula:P=m.v

Dados:

mP=1,67x10-12kgmPb=345,69x10-12kgvp=6,00x107m/s vPb=-5,00x106m/s

Resoluo:

Vetor linear total do feixe dos prtons.Pprton=1,67x10-12.6,00x107Pp=1,00x10-4 kgmsPp=1,00x10-4 kgms

Vetor linear total do feixe dos ncleos de chumboPchumbo=-345,69x10-12.5,00x106Ppb=-1,73x10-3 kgmsPpb=1,73x10-3 kgms. Valor do momento linear total P do sistema de partculasP=Pp+PpbP=1,00 x 10-4-17,3x10-4P=-16,3 x 10-4kgmsP=16,3 x 10-4kgms

Resposta:

O vetor do momento linear total de cada feixe :

- Momento linear total do feixe de prton Pp=1,00x10-4kgms- Momento linear total dofeixe do ncleo de chumbo Ppb=1,73x10-3 kgms

- Momento linear do sistema P=16,3x10-4 kgms

Passo 3

Considere agora que cada prton colide elasticamente apenas com um ncleo de chumbo, sendo a velocidade de cada um deles dada no Passo 2. Nessa condio ,um cientista observou que aps umas dessas colises o ncleo de chumbo se dividiu em 3 fragmentos,tendo o primeiro massa 107 vezes maior que a massa do prton e os outros dois massas iguais ,de valor 50 vezes maior que a massa do prton .Os dois fragmentos menores foram observados em regies diametralmente opostas no interior do detectou ATLAS,cada um em uma direo formando um angulo de 30 graus com a direo da reta de coliso ,conforme esquematizado na figura 6. Nessas condies, determine quais so os mdulos das velocidades do prton, do fragmento maior e dos fragmentos menores de chumbo aps a coliso, sabendo que o mdulo da velocidade dos fragmentos menores igual ao dobro do mdulo da velocidade do fragmento maior.

Frmula:momento linearP=m.v

Pi=Pf

Equao de coliso

vPf=((mP-mPb)/(mp+mPb). vPi) + ((2mPb)/(mp+mPb). vPbi)

vPi=velocidade inicial do prtonvpf=velocidade final do prtonvPbi=velocidade inicial do ncleo de chumbomP=massa do prtonmPb=massa do chumbo

Dados:vPi=6,00x107m/s vPbi=5,00x106m/smP=1,67x10-27 kgmPb=3,46x10-25 kgResoluo:Clculo do momento linear antes da coliso Momento linear do prtonPPi=1,67x10-27.6,00x107PPi=1,00x10-19kg.msPPi=1,00x10-19kg.ms

Momento linear do ncleo de chumboPPbi=3,46x10-25.(-5,00x106)PPbi=-1,73x10-18 kgmsPPbi=1,73x10-18 kgms

Soma total do momento linear inicialPi=1,00x10-19 - 1,73x10-18Pi=-1,63x10-18 kgmsPi=1,63x10-18 kgms

Velocidade do prton depois da coliso.

vPf=[{(1,67x10-27- 3,46x10-25) /(1,67x10-27+3,46x10-25)}. (6,00x107)]+[{2 . (3,46x10-25) / (1,67x10-27)+(3,46x10-25)}.(5,00x106.cos180)]

vPf=-0,99. 6,00x107+2.(5,00x106)vPf=-69,4x106m/svPf=69,4x106m/s

Clculo das velocidades do fragmento maior e dos fragmentos menores de chumbo

Momento linear final do prton e do ncleo de chumbo

Nas colises elsticas, a energia cintica dos corpos envolvidos na coliso pode variar, mas a energia cintica do sistema se mantm constante. E o momento linear total tambm constante antes e depois da coliso,portanto:

Pi=Pf Pf=1,63x10-18 kgms

Calculo do momento linear final do prtonPPf =1,67x10-27. 69,4x106 PPf=1,16x10-19 kgmsPPf=1,16x10-19 kgms

Calculo do momento linear final do ncleo de chumboPPbf=Pf-PPf PPbf=1,63x10-18-1,16x10-19PPbf=1,51x10-18 kgmsPPbf=1,51x10-18 kgms

Calculo da velocidade final do fragmento maior e dos fragmentos menores

Momento linear do eixo x

PPbfx=(107mp.vPbf.cos180)+(50mp.2vPbf.cos150)+(50mp.2vPbf.cos210)

PPbfx=107x1,67x10-27.vPbf.cos180+100x1,67x10-27.vPbf.cos150+ 100x1,67x10-27.vPbf.cos210PPbfx=(-1,79x10-25.vPbf)-(1,45x10-25.vPbf)-(1,45x10-25.vPbf)PPbfx=-4,69x10-25.vPbfPPbfx=4,69x10-25.vPbf

Momento linear do eixo yPPbfy=(107mp.vPbf.sin180)+(50mp.2vPbf.sin150)+(50mp.2vPbf.sin210)PPbfy=(107. 1,67x10-27.vPbf.sin180)+((100x1,67x10) - (27.vPbf.sin150)+(100. 1,67x10-27.vPbf.sin210)PPbfy=(0+8,35x10-26.vPbf)-(8,35x10-26.vPbf )

PPbfy=0PPbfy=0

Velocidade do fragmento maiorPPbf=PPbfx+PPbfy1,51x10-18=4,69x10-25.vPbaf +0 vPb107f=1,51x10-18 . 4,69x10-25vPb107f=3,22x106m/s

Velocidade dos fragmentos menoresvPb50f=2x3,22x106vPb50f=6,44x106m/s

Resposta:

A velocidade do prton de 69,4x106m/sA velocidade do fragmento maior de chumbo 3,22x106m/sAs velocidades dos fragmentos menores de chumbo so 6,44x106m/s

Passo 4

Sabendo que a deteco dos fragmentos no momento em que cada um deles atravessa as paredes do detector e considerando a coliso descrita no Passo 3, determine qual o impulso transferido parede do detector ATLAS pelo prton Jpe pelo fragmento maior de chumbo JPb107, aps a coliso. Considere que aps atravessar a parede a velocidade do prton P se tornou 1o vezes menor que a calculada no Passo 3,enquanto a velocidade final do fragmento de chumbo Pb107(aps atravessar a parede do detector)se tornou 50 vezes menor que a calculadora no Passo 3.

Frmula

* Teorema do impulsoJ=Pf-Pi

Dados PPi=1,16x10-19 kgms v Pi=69,4x106m/s vPb107i=3,22x106m/s

Resoluo

Clculo do momento linear do fragmento maior do ncleo de chumboPPb107i=107.1,67x10-27.3,22x106PPb107i=5,75x10-19 kgms

Velocidade do prton aps atravessar a parede do ATLAS vPf=6,94x106m/s

Velocidade do fragmento do ncleo de chumbo aps atravessar a parede do ATLAS vP107f=64,4x103m/s

Clculo do momento linear do prton aps atravessar a paredePPf=1,67x10-27. 6,94x106PPf=1,16x10-20 kgms

Clculo do momento linear do fragmento do maior do ncleo de chumbo aps atravessar a paredePPb107f=107. 1,67x10-27x64,4x103PPb107f=1,15x10-20kgms

Clculo do impulso transferido pelo prton Jp=1,16x10-20-1,16x10-19 Jp=-1,04x10-19Ns Jp=1,04x10-19Ns

Calculo do impulso transferido pelo fragmento de chumbo Jp=1,15x10-20-5,75x10-19 Jp=-5,63x10-19Ns Jp=5,63x10-19Ns

Resposta:Os impulsos transferidos so:- Impulso pelo prton = 1,04x10-19Ns- Impulso pelo fragmento maior de chumbo = 5,63x10-19Ns

Relatrio

Primeiramente no primeiro passo calculamos o Centro de Massa que o ponto que se move como se toda a massa do sistema estivesse concentrada e todas as foras fossem aplicadas. No nosso caso, foi em relao a um conjunto de prtons e ncleos de chumbo que de 45,78m. No 2 passo foi realizado o clculo do momento,que a multiplicao da massa total pela velocidade do centro de massa. No passo 3 analisamos um caso em que ocorreu uma coliso elstica em que no houve perda de energia cintica para foras externas, assim calculamos as velocidades de cada partculas, do qual o chumbo se fragmentou com o choque frontal entre elas, formando uma nova partcula que se direcionou a um ngulo de 30 em relao ao eixo x. E, por fim, calculamos o impulso que foi gerado pela parede transferindo-os para os prtons e a partcula de chumbo que a subtrao do momento pela velocidade do prton.

CONCLUSO

Podemos concluir que podemos calcular a energia cintica ou o trabalho cintico atravs dos valores da velocidade e da massa. Tambm calculamos o centro de massa atravs desses valores. Constatamos que o centro de massa o ponto que se move como se toda a massa do sistema estivesse concentrada e todas as foras fossem aplicadas. Tambm, em uma das situaes da atps, no qual as partculas se atritaram com a parede, resolvemos problemas relacionados ao impulso que a subtrao do momento pela velocidade do prton. Esses clculos podem ser utilizados na Engenharia Civil, principalmente o Centro de Massa, onde poderemos encontrar um ponto ideal de sustentao e onde colocar os pilares.