Exemplo de um Projeto Completo de um Edifício de Concreto Armado

8/15/2019 Exemplo de um Projeto Completo de um Edifício de Concreto Armado

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ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:set/2001 fl. 38

Na ocasião de emendas, deve-se procurar alojar as armaduras como mostrado na figuraabaixo (figura 3.7.2.3):

Figura 3.7.2.3

Quando ocorrer uma distribuição em mais de três camadas, deve-se prever a partir daquarta camada, espaço adequado para a passagem do vibrador (figura 3.7.2.4).

Figura 3.7.2.4

Nota: se bw > 60 cm, prever mais acessos para o vibrador (admitindo-se a eficiência dovibrador dentro de um raio de aproximadamente 30 cm).

Para alojar barras em feixes de 2, 3 ou 4 barras, deve-se proceder de acordo com asregras do item 4, substituindo-se o diâmetro das barras φ pelo diâmetro equivalente aofeixe de barras

n = 2 n = 3 n = 4

φ φeq n= onde n = no de barras no feixe.

> 2 φ > φ

> φ > 2 φ

φvibr + 1 cm

acesso p/vibrador

4a




Detalhes complementares:

a) armadura de flexão alojada junto à face superior da seção (figura 3.7.2.5)

Figura 3.7.2.5

Nota: prever espaço para passagem do vibrador.

b) armadura junto à borda com abas tracionadas (figura 3.7.2.6)

Recomenda-se distribuir parte da armadura de tração nas abas tracionadas devidamenteligadas à alma da viga através de armaduras de costura.

Figura 3.7.2.6

c) vigas altas (h > 60 cm)

Posicionar as armaduras de pele (A sl) conforme indicado na figura 3.7.2.7.

Figura 3.7.2.7

d / 3 ≤ 30 cm

entre 6 e 20

Asl = 0,05% bw h(de cada lado)

φvib + 1

φvib + 1 cm

Asw

Asf2 ,φf2 ≤ hf /10

As = Asw + Asf1 + Asf2

Asf1 ,φf1 ≤ hf /10




3.7.3 Decalagem

Devido à fissuração diagonal, existe, então, uma translação (decalagem) para o ladodesfavorável. Em particular, na seção sobre o apoio extremo, fica evidenciada a presençade força de tração na armadura, apesar de ser nulo o momento fletor. Este efeito explica apossibilidade de ocorrência de ruptura por escorregamento da armadura sobre os apoiosextremos da viga. A figura a seguir nos fornece um exemplo de um diagrama decalado.

Figura 3.7.3.1

A NBR6118 usa a seguinte expressão: a l (1,5 –1,2η)x d ≥ 0,5x d

onde η é a “taxa de cobertura”; η = 1 -d0

c

ττ = 1 -

wd

c

15,1 ττ

Na prática, em vigas, podemos adotar a l = 0,75 d

3.7.4 Ancoragem nos Apoios

Admite-se que a segurança esteja garantida pela verificação das duas condiçõesseguintes:

a) A armadura deve estar devidamente ancorada para garantir, junto à face interna doapoio, a resultante de tração igual a:

R + 5,5 φ ≥ 6cm

Rs,apo,d

Vd

Md/z diagrama deforça resultanteno banzo

pd

a l

a l

a l

Rs,apo,d = Vd (al / d) ≥ Vd / 2;




b) Na ocasião de gancho de extremidade as barras devem estender-se, a partir da faceinterna do apoio, por um comprimento igual a (r + 5,5φ) ≥ 6 cm, onde φ é o diâmetro dabarra e r o seu raio de dobramento padronizado (para o aço CA50: r = 2,5 φ quando φ <20; e r = 4 φ para φ ≥ 20); neste caso, quando o cobrimento lateral das barras na regiãodo apoio for maior ou igual a 7 cm e a carga acidental q não for freqüente, é suficienteverificar apenas esta condição.

3.7.5 Cobertura do Diagrama de Md Transladado

O trecho da extremidade da barra de tração, considerado como de ancoragem, tem iníciona seção teórica onde sua tensão σs começa a diminuir (o esforço da armadura começa aser transferido para o concreto). Deve prolongar-se pelo menos 10 φ além do ponto teóricode tensão σs nula, não podendo em nenhum caso ser inferior ao comprimento necessárioestipulado no capítulo referente à ancoragem das barras. Assim, na armadura longitudinalde tração das peças solicitadas por flexão simples, o trecho de ancoragem da barra teminício no ponto A (figura 3.7.5.1) do diagrama de forças Rst = M / Z, deslocado docomprimento al . Se a barra não for dobrada, o trecho de ancoragem deve prolongar-sealém de B, no mínimo 10φ. Se a barra for dobrada, o início do dobramento pode coincidircom o ponto B. (ver figura 3.7.51).

Figura 3.7.5.1




3.8 Esquemas Estruturais

3.8.1 Esforços Finais de Dimensionamento em Vigas de Edifícios

Os esforços finais de dimensionamento devem conter as envoltórias de solicitações. A“distância” entre as envoltórias, máxima e mínima, depende, basicamente, do valorrelativo da carga acidental.

Em vigas de edifícios, normalmente, a parcela variável das cargas representa menos de30 % do total. Nestas condições, em geral, não há necessidade de se determinar àsenvoltórias de solicitações porque seus valores se aproximam daqueles obtidos para acarga total; é suficiente, pois, a determinação dos diagramas de estado correspondente àcarga total atuante na viga. Por outro lado, como se admite o comportamento elásticolinear, pode-se determinar primeiro as solicitações correspondentes aos valorescaracterísticos das cargas, que multiplicados pelos coeficientes de ponderação das ações(γf ) permitem definir as solicitações em valores de cálculo utilizadas nosdimensionamentos e nas verificações.

3.8.2 Vãos Teóricos da Viga

Os vãos teóricos são utilizados no cálculo dos esforços solicitantes.

Quando as larguras dos pilares de apoio forem menores do que PD / 5 (PD = pé direito), ovão teórico pode ser tomado como a distância entre os centros dos apoios, não sendonecessário adotar valores maiores que:

a) em viga isolada: 1,05l

o ;b) em vão extremo de viga contínua: o vão livre acrescido da semi-largura do apoiointerno e de 0,03 l

o ,

Sendo lo o vão livre (distância entre as faces internas dos apoios).

Quando a largura do pilar de apoio for maior do que PD/5 pode-se engastar o vão, numponto interno ao pilar, à distância h/2 ≥ 10 cm da face.

Nas vigas em balanço, o vão teórico é o comprimento que vai da extremidade até o centrodo apoio, não sendo necessário considerar valores superiores a 1,03 vezes ocomprimento livre.

3.8.3 Efeito do Pilar de extremidade – Aproximações permitidas pelaNBR-6118

O efeito do pilar de extremidade pode ser estimado através do modelo constituído de trêsbarras convergentes (vão de extremidade da viga e lances adjacentes, superior e inferior,do pilar) considerados todos eles engastados nas extremidades opostas.




Quando não se fizer o cálculo exato da influência da solidariedade dos pilares com a viga,deve ser considerado, nos apoios externos, momento fletor igual ao momento deengastamento perfeito multiplicado por:

supinf vig

supinf

r r r r r ++

+ (na viga)

supinf vig

sup

r r r r

++ (no tramo superior do pilar)

supinf vig

inf r r r

r ++

(no tramo inferior do pilar)

onde r i é a rigidez do elemento i no nó considerado.

Os pilares internos são, normalmente, pouco solicitados à flexão. Em certas situações (devãos e carregamentos, significativamente, diferentes entre vãos adjacentes), o modelo

primário, de articulação perfeita junto aos pilares internos, pode superavaliar o efeito deum vão carregado sobre os demais, aliviando em demasia os momentos positivos nestesvãos. Pilares internos relativamente rígidos atenuam estes efeitos e devem serdevidamente considerados. Para este efeito, no processo usual de cálculo, costuma-secomparar os momentos positivos nos vãos, determinados sob a hipótese dos pilaresinternos serem rígidos à flexão, com aqueles correspondentes ao modelo primário,adotando-se o que for maior. Dessa forma, admite-se que esteja “coberta” a situação real.

3.8.4 Considerações do Projeto de Revisão da NBR-6118/200

O projeto de revisão da norma sugere que o vão efetivo de uma viga seja calculado como:

lef = l0 + a1 + a2

Os parâmetros a 1 e a2 podem ser calculados conforme o esquema mostrado abaixo:

l o

t t

h

l o






3.9 Aplicação ao Edifício Exemplo

3.9.1 Cálculo da V1

3.9.1.1. Esquema Estrutural

0.2750 0.27504.7754.785

2.7500

2.7500

( 2 )

3

2

( 1 )

1

( 7 ) 10

( 4 )

( 9 )( 8 )

( 3 )

( 10 )

( 6 )

( 5 )

6

5

4 7

8

9

11

Barra A (m2) I (m4)1 0,1235 3,715E-42 0,1235 3,715E-43 0,2090 2,107E-44 0,2090 2,107E-45 0,0800 2,667E-46 0,0800 2,667E-47 0,1404 4,000E-38 10,000 10,0009 10,000 10,000

10 0,1403 4,000E-3

Cálculo da mesa colaborante:

- V1a: 3,589m4,785x43 l

43 a ===

b1 < 0,10 a = 0,359m8 hf = 8 x 0,10 = 0,80m0,5 b2 = 0,5 x 4,32 = 2,16m

Portanto, b1 = 0,359m




- V1b: 3,581m4,775x43 l

43 a ===

b1 < 0,10 a = 0,358m8 hf = 8 x 0,10 = 0,80m0,5 b2 = 0,5 x 5,645 = 2,823m


3.9.1.2. Carregamentos Verticais

1.52 kN/m

15.12 kN/m 14.68 kN/m

1.26 kN/m

3.9.1.3. Esforços devido ao Vento

+36.42 kN.m

+47.725 kN.m

+44.859 kN.m

+31.201 kN.m

3.9.1.4. Envoltória de Esforços

Para a envoltória de esforços, consideramos a seguinte combinação:

Fd = 1,4 Fg + 1,4 Fq + 1,4*0,8*Fvento




Viga V1

x Mperm Mvar Mvto1 Mvto2 Mcomb1 Mcomb2 Vperm Vvar Vvto 1 Vcomb1 Vcomb20,000 -7,100 -0,700 -36,420 36,420 -51,710 29,870 29,400 3,000 15,610 62,843 27,8770,479 5,200 0,500 -28,463 28,463 -23,898 39,858 22,200 2,200 15,610 51,643 16,6770,957 14,100 1,400 -20,506 20,506 -1,266 44,666 14,900 1,500 15,610 40,443 5,4771,436 19,500 2,000 -12,548 12,548 16,046 44,154 7,700 0,800 15,610 29,383 -5,583

1,914 21,500 2,200 -4,591 4,591 28,038 38,322 0,500 0,100 15,610 18,323 -16,6432,393 19,900 2,000 3,366 -3,366 34,430 26,890 -6,800 -0,700 15,610 6,983 -27,9832,871 15,000 1,500 11,323 -11,323 35,782 10,418 -14,000 -1,400 15,610 -4,077 -39,0433,350 6,500 0,700 19,280 -19,280 31,674 -11,514 -21,200 -2,100 15,610 -15,137 -50,1033,828 -5,400 -0,500 27,238 -27,238 22,246 -38,766 -28,500 -2,900 15,610 -26,477 -61,4434,307 -20,700 -2,100 35,195 -35,195 7,498 -71,338 -35,700 -3,600 15,610 -37,537 -72,5034,785 -39,500 -3,900 43,152 -43,152 -12,430 -109,090 -42,900 -4,300 15,610 -48,597 -83,5635,060 -51,900 -5,200 47,725 -47,725 -26,488 -133,392 -47,100 -4,700 15,610 -55,037 -90,0035,060 -51,300 -4,400 -44,859 44,859 -128,222 -27,738 46,200 4,000 14,214 86,200 54,3605,335 -39,200 -3,400 -40,717 40,717 -105,243 -14,037 42,100 3,600 14,214 79,900 48,0605,813 -20,700 -1,800 -33,525 33,525 -69,048 6,048 35,100 3,000 14,214 69,260 37,4206,290 -5,600 -0,500 -26,333 26,333 -38,034 20,954 28,100 2,400 14,214 58,620 26,7806,768 6,200 0,500 -19,142 19,142 -12,059 30,819 21,100 1,800 14,214 47,980 16,1407,245 14,600 1,200 -11,950 11,950 8,736 35,504 14,100 1,200 14,214 37,340 5,5007,723 19,600 1,700 -4,758 4,758 24,491 35,149 7,100 0,600 14,214 26,700 -5,1408,200 21,300 1,800 2,434 -2,434 35,066 29,614 0,100 0,000 14,214 16,060 -15,7808,678 19,700 1,700 9,626 -9,626 40,741 19,179 -6,900 -0,600 14,214 5,420 -26,4209,155 14,700 1,300 16,817 -16,817 41,235 3,565 -13,900 -1,200 14,214 -5,220 -37,0609,633 6,400 0,500 24,009 -24,009 36,550 -17,230 -20,900 -1,800 14,214 -15,860 -47,700

10,110 -5,300 -0,400 31,201 -31,201 26,965 -42,925 -28,000 -2,400 14,214 -26,640 -58,480

3.9.1.5. Dimensionamento à Flexão

a) Md = -51,710 kNmbw = 19 cmd = 51 cmf ck = 20 MPa

x = 5,75 cm < x34 = 0,628 x 51 = 32,03 cm As = 2,44 cm2 (4Φ10)lb = 34 Φ= 34 cm

OBS: O cálculo de lb será mostrado adiante.

b) Md = -133,392 kNmbw = 19 cmd = 51 cmf ck = 20 MPa





c) Md = -42,925 kNmbw = 19 cmd = 51 cmf ck = 20 MPa

x = 4,74 cm < x34 = 0,628 x 51 = 32,03 cm

As = 2,01 cm2 (3Φ10)lb = 37 Φ= 37 cm

d) Md = 44,666 kNmbw = 19 cmd = 51 cmbf = 54,9 cmhf = 10 cmf ck = 20 MPa


e) Md = 35,782 kNmbw = 19 cmd = 51 cmbf = 54,9 cmhf = 10 cmf ck = 20 MPa

x = 1,33 cm < x34 = 0,628 x 51 = 32,03 cm As = 1,63 cm2 (3Φ10)

lb = 30 Φ= 30 cmf) Md = 35,504 kNm

bw = 19 cmd = 51 cmbf = 54,9 cmhf = 10 cmf ck = 20 MPa


g) Md = 41,236 kNmbw = 19 cmd = 51 cmbf = 54,9 cmhf = 10 cmf ck = 20 MPa

x = 1,54 cm < x34 = 0,628 x 51 = 32,03 cm




As = 1,88 cm2 (3Φ10)lb = 34 Φ= 34 cm

Asmín = 1,57 cm2

Resumo

Md (kNm) bw (cm) d (cm) bf (cm) hf (cm) x (cm) As (cm2) lb (cm)-51,710 19 51 0 0 5,75 2,44 34-133,392 19 51 0 0 16,24 6,89 61-42,925 19 51 0 0 4,74 2,01 3744,666 19 51 54,9 10 1,66 2,04 3735,782 19 51 54,9 10 1,33 1,63 3035,504 19 51 54,9 10 1,32 1,62 3041,236 19 51 54,9 10 1,54 1,88 34

3.9.1.6. Dimensionamento ao Cisalhamento

a) Vd = 62,84 kNbw = 19 cm Ast = 1,73 cm2 / m Astmín = 2,66 cm2 / m (Φ6,3 c/23)

b) Vd = 90,00 kNbw = 19 cm Ast = 3,14 cm2 / m (Φ6,3 c/20) Astmín = 2,66 cm2 / m

c) Vd = 86,20 kNbw = 19 cm Ast = 2,95 cm2 / m (Φ6,3 c/21) Astmín = 2,66 cm2 / m

d) Vd = 58,48 kNbw = 19 cm Ast = 1,51 cm2 / m Astmín = 2,66 cm2 / m (Φ6,3 c/23)

Resumo

Vd (kN) b

w (cm) A

st(cm2/m) A

st mín

(cm2/m)62,84 19 1,73 2,6690,00 19 3,14 2,6686,20 19 2,95 2,6658,48 19 1,51 2,66




3.9.1.7. Cobertura do Diagrama de Momento Transladado

a l = 0,75 d = 0,75 x 51 = 38,25 cm

ef s,

cals,

bu

ydb A

Af l

τφ=4

2,47MPaf , cdbu ==τ 3 2420

435MPa,

f yd ==151

500

sef

scalb A

A l φ= 44

4 Ø 16

4 Ø 103 Ø 10

3 Ø 10 3 Ø 10




3.9.1.8. Detalhamento









Barra A (m2) I (m4)1 0,1335 3,4E-32 0,2090 0,6E-3


m 3,3754,5x43 l

43 a ===

b1 < 0,10 a = 0,3375 m8 hf = 8 x 0,10 = 0,80 m0,5 b2 = 0,5 x 2,775 = 2,16 m0,5 b2 = 0,5 x 4,6 = 2,30 m

Portanto, b1 = 0,3375 m

Barra 1

Barra 2

Barra 2






25 39 KN535KN

±437KNm

±417KNm





Para a envoltória de esforços, consideramos a seguinte combinação:

Fd = 1,4 Fg + 1,4 Fq + 1,4*0,8*Fvento

Viga V1X Mperm Mvar Mvto1 Mvto2 Mcomb1 Mcomb2 Vperm Vvar Vvto 1 Vcomb1 Vcomb2

0 -16,00 -3,40 41,70 -41,70 19,54 -73,86 48,20 10,10 -15,10 64,71 98,530,45 2,90 0,70 33,16 -33,16 42,18 -32,10 36,77 7,70 -15,10 45,35 79,170,9 17,10 3,60 24,62 -24,62 56,55 1,41 25,34 5,30 -15,10 25,98 59,81

1,35 27,60 5,50 16,08 -16,08 64,35 28,33 13,91 2,90 -15,10 6,62 40,451,8 29,50 6,20 7,54 -7,54 58,42 41,54 2,48 0,50 -15,10 -12,74 21,08

2,25 28,10 5,90 -1,00 1,00 46,48 48,72 -8,95 -1,90 -15,10 -32,10 1,722,7 21,50 4,50 -9,54 9,54 25,72 47,08 -20,38 -4,30 -15,10 -51,46 -17,64

3,15 9,60 2,10 -18,08 18,08 -3,87 36,63 -31,81 -6,70 -15,10 -70,83 -37,003,6 -7,30 -1,50 -26,62 26,62 -42,13 17,49 -43,24 -9,10 -15,10 -90,19 -56,36

4,05 -27,40 -4,63 -35,16 35,16 -84,22 -5,46 -54,67 -11,50 -15,10 -109,55 -75,734,5 -53,40 -8,11 -43,70 43,70 -135,06 -37,17 -66,10 -13,90 -15,10 -128,91 -95,09


a) Md = -73,86 kNmbw = 12 cmd = 51 cmf ck = 20 MPa

x = 13,95 cm < x34 = 0,628 x 51 = 32,03 cm As = 3,74 cm2 (3Φ12,5)

lb = 44 Φ= 55 cmb) Md = 19,54 kNm

bw = 12 cmd = 51 cmbf = 79,5cmhf = 10 cmf ck = 20 MPa

x = 0,49 cm < hf As = 0,97 cm2

c) Md = 64,35 kNmbw = 12 cmd = 51 cmbf = 79,5cmhf = 10 cmf ck = 20 MPa

x = 1,65 cm < hf As = 2,94 cm2 (4Φ10)




lb = 40 Φ= 40 cm

d) Md = 48,72 kNmbw = 12 cmd = 51 cmbf = 79,5 cmhf = 10 cmf ck = 20 MPa

x = 1,25 cm < hf As = 2,22 cm2 (3Φ10)lb = 31 Φ= 31 cm

e) Md = - 135,06 kNmbw = 12 cmd = 51 cmf ck = 20 MPa


Md(kNm) bw(cm) d(cm) bf (cm) hf (cm) x (cm) As(cm2) lb (cm)-73,86 12 51 0 0 13,95 3,74 5519,54 12 51 80 10 0,45 0,97 4064,35 12 51 80 10 1,44 2,94 4048,72 12 51 80 10 1,25 2,22 31

-135,06 12 51 0 0 29,58 7,93 70

3.9.2.6. Dimensionamento ao Cisalhamentoa) Vd = 128,91 kN

bw = 12 cm Ast = 5,73 cm2 / m (Φ6,3 c/11)

Astmín = 1,68 cm2 / m (Φ5 c/20)

b) Força cortante de cálculo correspondente à armadura mínima:

V*= KN648611

x(f db cminwywdw ,,

) =τ+ρ

c) Vd = 98,53 kNbw = 12 cm Ast = 4,15 cm2 / m (Φ6,3 c/15)




Resumo

Vd (kN) bw (cm) Ast (cm2/m) Ast mín (cm2/m)128,91 12 5,73 1,6898,53 12 4,15 1,68


a l = 0,75 d = 0,75 x 51 = 38,25 cm


4φ16

4φ103φ10

3φ12,5









2.73

1 2( 1 )

Barra A (m2) I (m4)1 0,0933 2,700E-3


- m2,730 la ==

b1 < 0,10 a = 0,273m8 hf = 8 x 0,10 = 0,80m0,5 b2 = 0,5 x 2,71 = 1,355 m



0.58 kN/m

7.62 kN/m

3.9.3.3. Reações

10.4 kN0.8 kN 0.8 kN

10.4 kN






Barra A (m2) I (m4)1 0,1596 4,50E-3

2 0,1762 3,80E-3Cálculo da mesa colaborante:

- V4a: m 5,51 la ==

b1 < 0,10 a = 0,551m8 hf = 8 x 0,10 = 0,80m0,5 b2 = 0,5 x 4,32 = 2,16m


- V4b: 5,51mla ==

b1 < 0,10 a = 0,551m8 hf = 8 x 0,10 = 0,80m0,5 b2 = 2,16m


Barra 1 Barra 2




b1 < 0,10 a = 0,551m8 hf = 8 x 0,10 = 0,80m0,5 b2 = 1,365m




14.31 kN.m

+15.17 kN.m

Var: 1 52 KN/mPer: 15 12 Kn/m

Var: 2 77 KN/mPer: 15 32 KN/m

Var: 0 8 KNPer: 10 4 KN





Viga V4

x Mperm Mvar Mvto1 Mvto2 Mcomb1 Mcomb2 Vperm Vvar Vvto 1 Vcomb1 Vcomb20,000 -16,900 -2,100 14,310 -14,310 -10,573 -42,627 46,800 5,400 5,362 79,085 67,0210,280 -4,400 -0,700 12,812 -12,812 7,209 -21,489 42,500 4,900 5,362 72,365 61,0010,560 6,900 0,600 11,314 -11,314 23,172 -2,172 38,300 4,500 5,362 65,925 55,1210,840 17,000 1,900 9,816 -9,816 37,454 15,466 34,100 4,100 5,362 59,485 49,2411,120 26,000 2,900 8,318 -8,318 49,776 31,144 29,800 3,700 5,362 52,905 43,2211,400 33,800 3,900 6,820 -6,820 60,418 45,142 25,600 3,200 5,362 46,325 37,3411,680 40,300 4,700 5,322 -5,322 68,960 57,040 21,400 2,800 5,362 39,885 31,4611,960 45,700 5,500 3,823 -3,823 75,962 67,398 17,100 2,400 5,362 33,305 25,4412,240 49,900 6,100 2,325 -2,325 81,004 75,796 12,900 2,000 5,362 26,865 19,5612,520 52,900 6,600 0,827 -0,827 84,227 82,373 8,700 1,500 5,362 20,285 13,6812,800 54,800 6,900 -0,671 0,671 85,629 87,131 4,400 1,100 5,362 13,705 7,6612,8 54,800 6,900 -0,671 0,671 85,629 87,131 -6,000 0,300 5,362 -1,975 -6,899

3,071 52,600 6,900 -2,121 2,121 80,925 85,675 -10,100 -0,400 5,362 -8,695 -12,6393,342 49,300 6,700 -3,571 3,571 74,401 82,399 -14,300 -1,200 5,362 -15,695 -18,5193,613 44,900 6,300 -5,021 5,021 66,057 77,303 -18,400 -1,900 5,362 -22,415 -24,2593,884 39,300 5,600 -6,470 6,470 55,613 70,107 -22,600 -2,700 5,362 -29,415 -30,1394,155 32,600 4,800 -7,920 7,920 43,489 61,231 -26,700 -3,400 5,362 -36,135 -35,8794,426 24,800 3,800 -9,370 9,370 29,545 50,535 -30,900 -4,200 5,362 -43,135 -41,7594,697 15,900 2,500 -10,820 10,820 13,641 37,879 -35,000 -4,900 5,362 -49,855 -47,4994,968 5,800 1,100 -12,270 12,270 -4,083 23,403 -39,200 -5,700 5,362 -56,855 -53,3795,239 -5,400 -0,600 -13,720 13,720 -23,766 6,966 -43,300 -6,500 5,362 -63,715 -59,119

5,510 -17,700 -2,400 -15,170 15,170 -45,130 -11,150 -47,500 -7,200 5,362 -70,575 -64,999


a) Md = 87,131 kNmbw = 12 cmd = 51 cmbf = 74,1 cmhf = 10 cmf ck = 20 MPa


Asmín = 1,57 cm2

b) Md = -45,13 kNmbw = 12 cmd = 51 cmf ck = 20 MPa

x = 8,11 cm < x34 = 0,628 x 51 = 32,03 cm




As = 2,17 cm2 (3Φ10) lb = 60 cm

c) Md = -42,67 kNmbw = 12 cmd = 51 cmf ck = 20 MPa

x = 4,71 cm < x34 = 0,628 x 51 = 32,03 cm As = 2,00 cm2 (3Φ10) lb = 55 cm Asmín = 0,99 cm2 (2Φ8)

Resumo

Md (kNm) bw (cm) d (cm) bf (cm) hf (cm) x (cm) As (cm2) lb (cm)87,13 19 51 74,1 10 2,42 4,00 70-45,13 19 51 0 0 8,11 2,17 60-42,67 12 51 0 0 4,71 2,00 55

3.9.4.6. Dimensionamento ao Cisalhamento

a) Vd = 79,09 kNbw = 19 cm Ast = 2,58cm2 / m Astmín = 2,66cm2 / m (Φ6,3 c/23)

b) Vd = 70,58 kNbw = 12 cm Ast = 2,70 cm2 / m (Φ6,3 c/23) Astmín = 1,68 cm2 / m (Φ6,3 c/25)

Resumo

Vd (kN) bw (cm) Ast (cm2/m) Ast mín (cm2/m)79,23 19 2,58 2,6670,16 12 2,70 1,68






2φ16

3φ10 3φ10




3.9.4.9. Flecha

Estádio II:

- esforço solicitante = g + 0,7 qM = 54,8 + 0,7 (6,90 + 0,67) = 60,1 kNm

Para o trecho a, temos:

- posição da linha neutraMPa287953,5f *6600*0,9E ckc =+=

29728795

210000 ,EE

c

se ===α

001105174,1x

4,00db

A sd ,===ρ

f def

es hcm925 2 11-

b A x ≤=

ρα++α= ,

- tensão máxima de compressão no concreto




2

f

c kN/cm560

35,92 -51x5,92x74,1

6010x2

3x -dxb

M2 ,=

=

=σ

- tensão na armadura

2

s

s 30,65kN/cm3

5,92 -514

6010

3x -d A

M=

=

=σ

- produto de rigidez a flexão no estádio IIEc III = AsEs(d – x)(d-x/3) = 4x21000x(51-5,92)x(51 – 5,92/3)=18565,03x104 kN cm2

= 18,57 x107 kN cm2

- para os dados adotados tem-se:Ic = 4,5 x 10-3 m4 = 4,5 x 105 cm4 Ec Ic = 4,5 x 105 x 28,8 x 102 = 129,6 x 107 kN cm2

Ec III = 0,143 Ec Ic

Para o trecho b, temos:

- posição da linha neutraMPa287953,5f *6600*0,9E ckc =+=

29728795

210000 ,EE

c

se ===α

00064051122,2x

4,00db

A sd ,===ρ

f def

es

hcm704 2

11-b A

x ≤=ρα++α

= ,

- tensão máxima de compressão no concreto2

f

c kN/cm420

34,70 -51x4,70x122,2

6010x2

3x -dxb

M2 ,=

=

=σ

- tensão na armadura2

s

s kN/cm3903

34,7

-514,0

6010

3x

-d A

M ,=

=

=σ

- produto de rigidez a flexão no estádio IIEc III= AsEs(d – x)(d-x/3)= 4,0x21000x(51-4,7)x (51 – 4,7/3)= 19,23x107 kN cm2

- para os dados adotados tem-se:Ic = 3,8 x 10-3 m4 = 3,8 x 105 cm4 Ec Ic = 3,8 x 105 x 28,8 x 102 = 109,44 x 107 kN cm2




Ec III = 0,18 Ec Ic

a) flecha de carga de curta duração (a q)

q* = 0,7 qq* = 0,7 x 1,52 = 1,064 kN/m (trecho a)q* = 0,7 x 2,77 = 1,939 kN/m (trecho b)Q* = 0,7 x 0,8 = 0,56 kN

Ec III = 18,57 x 107 kN cm2 (trecho a)III = 0,6448 x 105 cm4 = 0,6448 x 10-3 m4

Ec III = 19,23 x 107 kN cm2 (trecho b)III = 0,6677 x 105 cm4 = 0,6677 x 10-3 m4

Utilizando o ftool, temos:

aq = 0,2 mm = 0,0002 m < )(OK! 0,0110m5005,51

500l ==

b) flecha de carga de longa duração (a g)

ago = 1,5 mm = 0,0015 m

( ) 0,001847m515,9210,00152ξ1aa gog =

+=+=

ag + aq = 0,001847 + 0,0002 = 0,002047 m < )(OK! 0,018m300

l =

3.9.4.10. Fissuração

Considerando ηb = 1,5, c = 2,5 cm, φt = 6,3 mm e Wlim = 0,3 mm.

a) determinação da tensão σs:

0010605174,1x

4,00db

A sd ,===ρ

Portanto, no estádio II:

f es

f f

es hcm5,9 A d2b 11-b A x ≤=α++α

=

2

s

s kN/cm30,6

35,9 -514,00

6010

3x -d A

M =

=

=σ




b) avaliação da abertura da fissura

02202185

004r ,

,, ==ρ

+ρ

σ

−η

φ= 454

E0,75210

1Ws r

s

b1

=

+

−= 45

0,0224

2100030,6

0,75x1,5216

101W1 0,24 mm < Wlim = 0,3 mm (OK!)

Não será necessário verificar pela segunda expressão da norma.

3.10 Recomendações do Projeto de Revisão da NBR6118 (2001)

Apresenta-se neste item algumas recomendações do Projeto de Revisão da novaNBR6118 (2000).

Resistência à tração

ctmctk

ctmctk

ck ctm

f f

f f

MPa f f

.3,1

.7,0

)(.30,0

sup,

inf ,

3/2

==

=

Módulo de Elasticidade

ccs

ck c

E E f E

.85,0.5600

2/1

==

Imperfeições Geométricas

2/11

100

1

1n

l

a

S

+=

=

θ θ

θ

Onde n = número total de elementos verticais contínuos

2001

max1 =θ

Entre o vento e o desaprumo pode ser considerado apenas aquele mais desfavorável.).03,0015,0( h N M d sd +=




Estados Limites de Serviço

Combinações de Serviço:

a) Quase-PermanentePodem atuar durante grande parte do período de vida da estrutura. São normalmenteutilizadas para a verificação do estado limite de deformação Excessiva.

b) Frequentes

Repetem-se muitas vezes durante o período de vida da estrutura. São normalmenteutilizadas para a verificação dos estados limites de formação de fissuras, aberturas defissuras e vibrações excessivas.

c) Raras

Podem atuar no máximo algumas vezes durante o período de vida útil da estrutura. Sãoeventualmente utilizadas para a verificação do estado limite de formação de fissuras.

Combinações Últimas Normais

eqk oeeq

n

aqik ojk qqegk eg gk g d F F F F F F ψ γ ψ γ γ γ ++++= ∑1.

Combinações de Serviçoa) Combinação Quase-Permanente:

∑ ∑= =

+=m

i

n

jqik j gik serviçod F F F

1 22, ψ

b) Combinação Frequente

∑ ∑= =

++=m

i

n

jqik jk q gik serviçod F F F F

1 2211, ψ ψ

c) Combinação Rara

∑ ∑= =

++=m

i

n

jqik jk q gik serviçod F F F F

1 211, ψ




Armadura Mínima de Tração

)(.30,0

.3,1

..8,0

3/2

sup,

sup,0min,

MPa f f

f f

f W M

ck ctm

ctmctk

ctk d

===

Seção Retangular:

cd c

yd s

f A

f Aw

.

.0035,0 ==

Seção T:

cd c

yd s

f A

f Aw

.

.0024,0 ==

face por A A almac pele s ,, %.10,0=

Espaçamento < 20 cmPara ∅ < 8,0mm(aço liso) adotar o dobro da armadura

Armadura de Cisalhamento

Modelo de Cálculo I:

a) Verificação da compressão diagonal do concreto

)(250

1

....27,02

2

MPa f

d bw f V

V V

ck V

cd V Rd

Rd sd

−=

=≤

α

α

b) Cálculo da armadura

4,1.30,0.7,0

.7,0

.3,1

30,0...6,0

3/2

inf ,

sup,

3/2

3

ck ctd

ctmctk

ctmctk

ck ctm

ctd c

swc Rd sd

f f

f f

f f

f f d bw f V

V V V V

=

==

==

+=≤




o90/..9,0. == α a pd f s

AV ywd

sw sw

c) Decalagem

)(2

cot)cot1().(2

cd

d

cd

d

V V V

d al

g g V V

V d al

−=

−+−= α α

Modelo de Cálculo II:

oo4530 ≤≤θ

a) Verificação da compressão diagonal do concreto

θ θ α

θ θ α

sen.cos.....54,0

sen.cot.....54,0

2

22

2

d bw f V

g d bw f V

V V

cd V Rd

cd V Rd

Rd sd

==

≤

b) Cálculo da armadura

4,1.30,0.7,0

.7,0.3,1

30,0

...6,0

3/2

inf ,

sup,

3/2

3

ck ctd

ctmctk

ctmctk

ck ctm

ctd c

swc Rd sd

f f

f f f f

f f

d bw f V

V V V V

=

==

==

+=≤

θ g d f s

AV ywd

sw sw cot...9,0.=

c) Decalagem

θ g d al cot..5,0=

Armadura mínima de cisalhamento:

yk

ctm sw sw f

f sbw

A .2,0.min, ≥= ρ




Determinação de Deslocamentos

Combinação Quase-Permanente:

∑ ∑+=i j

qik j gik d F F F 2ψ

→= 2,02ψ Em locais sem cargas de equipamentos ou grandes concentrações depessoas

→= 4,02ψ Em locais com cargas de equipamentos ou grandes concentrações depessoas

→= 6,02ψ Bibliotecas, garagens, etc.

Flecha Imediata:

oc II a

r o

a

r ceq I E I

M M I

M M E EI ≤

−+

=

33

1)(

=r M Momento de fissuração

3/2.30,0

.

ck ctm

ctmr

f f

W f M

==

=W Módulo de resistência relativo à fibra mais tracionada=a M Momento fletor na seção crítica do vão

=o I Momento de inércia da seção bruta

= II I Momento de inércia do Estádio II puro

Flecha Diferida:

Flecha Diferida =αf . Flecha Imediata

'.501 ρ ξ

α +∆= f

d b A s

.'

'= ρ

onde s A' = Armadura de compressão no trecho considerado

)()( ot t ξ ξ ξ −=∆

t = tempo em meses na data em que se calcula a flechato = tempo em meses na data do carregamento




>≤=

mesest para

mesest parat t

t

702

70.996,0.68,0)(

32,0

ξ



4 – Pilares de Edifícios

4.1 Introdução

As funções dos pilares são as de conduzir as cargas verticais dos pavimentos para asfundações, donde decorre seu comportamento primário de barra comprimida, e defornecer estabilidade ao edifício quanto aos esforços horizontais (vento e terremotos). Ospilares podem ser dimensionados para fornecer estabilidade às estruturas isoladamente(pilares de grande rigidez, como os das caixas de escada e elevadores) ou participandode pórticos de contraventamento (associação de pilares e vigas).

Neste capítulo apresentaremos um procedimento para o cálculo de pilares de edifíciosbaseado no texto do projeto de revisão da NBR6118 publicado em agosto de 2001, quedoravante chamaremos de NB1/2001.

Neste capítulo, em muitas ocasiões, apresentaremos apenas os dispositivos da NB1/2001necessários para o entendimento e dimensionamento do edifício exemplo, permanecendocomo referência básica o texto da NB1/2001.

4.2 Análise Local e Global

A NB1/2001 define dois níveis de análise para os pilares:

global e;local.

Deve ser realizada a análise global, considerando o carregamento proveniente do vento,desaprumo e efeitos de 2 a ordem globais para todos os elementos responsáveis pelocontraventamento do edifício, ou seja, os elementos responsáveis pela resistência aosesforços horizontais atuantes.

Todos os elementos, considerados isolados (trechos do pilar entre os pisos do edifício)devem ser verificados localmente, considerando os momentos iniciais aplicados em suasextremidades, momentos devidos à excentricidade acidental local e quando necessário,efeitos localizados de 2a ordem.

4.3 Cargas e Ações Consideradas




Considerando o arranjo tradicional, com lajes apoiando-se em vigas que por sua vez seapóiam em pilares, temos que os esforços atuantes em uma determinada seção do pilardecorrem do momento fletor introduzido pelas vigas, das cargas verticais que se somam acada pavimento e dos esforços transversais provenientes da ação do vento e daconsideração do desaprumo global da estrutura, além dos efeitos globais e locais de 2 a

ordem.

4.3.1 Cargas Verticais

As cargas verticais são determinadas segundo o procedimento apresentado no capítulo 1,utilizando os valores de carga prescritos pela NBR6120/1980 – Cargas para o Cálculo deEstruturas de Edificações.

4.3.2 Ação do Vento A consideração do efeito do vento nas edificações é obrigatória segundo a NB1/2001.Este efeito deve ser determinado de acordo com o prescrito pela NBR6123/1988 – ForçasDevidas ao Vento em Edificações, permitindo-se o emprego de regras simplificadasprevistas em normas brasileiras específicas (NB1/2001 11.4.1.2). O procedimentosimplificado para a obtenção do carregamento de vento segundo a NBR6123 éapresentado no capítulo 1.

4.3.3 Imperfeições Geométricas Globais

Na análise global das estruturas reticuladas, sejam elas contraventadas ou não, deve serconsiderado um desaprumo dos elementos verticais conforme mostra a Figura 4-1(NB1/2001).

l

θa

n prumadas de pilares Figura 4-1– Consideração das imperfeições geométricas globais (NB1/2001)

Aonde:

1001

1l

=θ ( 4.1 )




21 n

11a

+θ=θ ( 4.2 )

tal que,l é a altura da estrutura em metros;

n é o número total de elementos verticais contínuos.

=θ

3001

4001

min1 para estruturas de nós fixos;

para estruturas de nós móveis e imperfeições locais.( 4.3 )

2001

máx1 =θ

Ainda segundo a NB1/2001, o desaprumo mínimo (θ1mín) não deve necessariamente sersuperposto ao carregamento de vento. Entre os dois, vento e desaprumo, pode ser

considerado apenas o mais desfavorável, que pode ser definido como o que provoca omaior momento total na base da construção.

Deve-se ainda considerar o efeito de imperfeições locais (entre pisos). Tal procedimentoserá discutido quando da modelagem dos pilares isolados.

4.3.4 Efeitos de 2 a Ordem

Na análise estrutural de estruturas de nós móveis devem ser obrigatoriamenteconsiderados os efeitos da não-linearidade geométrica e da não-linearidade física e,portanto, no dimensionamento, devem ser obrigatoriamente considerados os efeitosglobais e locais de 2ª ordem.

Uma solução aproximada para a determinação dos esforços globais de 2 ª ordem, consistena avaliação dos esforços finais (1 ª ordem + 2ª ordem) a partir da majoração adicionaldos esforços horizontais da combinação de carregamento considerada por 0,95 γz. Esseprocesso só é válido para γz ≤ 1,3 (NB1/2001). Acima deste limite, devemos utilizarmétodos mais exatos para a determinação dos esforços, como a análise não-linear físicae geométrica utilizando programas de elementos finitos, ou para casos mais simples, oprocesso P- ∆.

A análise global de 2ª ordem em geral fornece apenas os esforços nas extremidades dasbarras. Desta forma, quando não tivermos os esforços de 2 a ordem no meio dos pilares,provenientes da análise global, devemos realizar uma análise dos efeitos locais de 2 ªordem ao longo dos eixos das barras comprimidas, de acordo com o prescrito no item15.8 da NB1/2001.

Quando realizarmos uma análise global com discretização conveniente das vigas epilares, utilizando uma formulação para os elementos que leve em consideração a não-linearidade física e geométrica, podemos considerar que os efeitos de 2 a ordem já sãoautomaticamente captados pelos elementos.




4.4 Combinações de Carregamento (ELU)

O valor de cálculo das ações para a combinação última, F d, é determinado por (NB1/200111.8.2):

( ) qk0qqjk j0k1qqgkggkgd FFFFFF εεεεε ψγ+ψ+γ+γ+γ= ∑ ( 4.4 ) ou, mais especificamente para as ações presentes neste edifício exemplo:

( )∑ψ+γ+γ= qjk j0k1qqgkgd FFFF ( 4.5 ) Tomando os coeficientes de ponderação das ações no estado limite último (ELU)(NB1/2001 11.7.1), temos as seguintes combinações de cálculo para o edifício exemplo:

Tabela 4-1 – Combinações de carregamento para o cálculo dos pilares do edifício exemplo para cadadireção

Combinação Descrição1 Carga acidental vertical como

ação principal. Vento (+).( )( )vento,qvertical,qgk

qjk j0k1qqgkgd

F6,0F4,1F4,1FFFF

++=ψ+γ+γ= ∑

2 Carregamento de vento comoação principal. Vento (+).

( )( )vertical,qvento,qgk

qjk j0k1qqgkgd

F5,0F4,1F4,1FFFF

++=ψ+γ+γ= ∑

3 Carga acidental vertical comoação principal. Vento (–).

( )( )vento,qvertical,qgk

qjk j0k1qqgkgd

F6,0F4,1F4,1FFFF

++=ψ+γ+γ= ∑

4 Carregamento de vento comoação principal. Vento (–).

( )( )vertical,qvento,qgk

qjk j0k1qqgkgd

F5,0F4,1F4,1FFFF

++=ψ+γ+γ= ∑

Desta forma, a rigor, para o edifício exemplo, teríamos 8 combinações de carregamento, oque obviamente torna o cálculo manual muito extenso. Com o objetivo de manter asimplicidade, utilizaremos o dispositivo apresentado no livro de comentários da NB1/2001,que permite a substituição das combinações de carregamento acima por apenas uma emcada direção, se o edifício apresentar 1,1z ≤γ (a definição de γz é apresentada no capítulo1).

Tabela 4-2 – Combinação de carregamento para o cálculo dos pilares do edifício exemplo para cadadireção (processo simplificado ( 1,1z ≤γ ) )

Combinação




1( )vento,qqkgk

vento,qqkgkgd

F8,0FF4,1F8,0FFF⋅++=⋅++γ=

Para paredes estruturais com espessura inferior a 19cm e não interior a 12cm, e para ospilares com dimensão interior a 19cm, as ações F d devem ser majoradas pelo coeficientede ajustamento γn (NB1/2001 13.2.3). Esta correção se deve ao aumento da probabilidadede ocorrência de desvios relativos e falhas na construção.

b γn ≥ 19cm 1,0

12 ≤ b ≤ 19cm4,1

b07,073,2n

−=γ ( 4.6 )

4.5 Definições

4.5.1 Esbeltez

As simplificações possíveis (tanto do seu comportamento, como do método demodelagem) de serem adotadas no projeto dos pilares isolados estão diretamenterelacionadas com o índice de esbeltez λ do pilar.

i

el=λ ( 4.7 )

c

c AIi = ( 4.8 )

ondel e = comprimento de flambagemi = raio de giração da seção geométrica da peça (seção de concreto não

se considerando a presença da armadura)Ic = momento de inércia da seção transversal do pilar em relação ao eixo

principal de inércia na direção considerada

Ac = área da seção transversal do pilarNas estruturas de edifícios consideradas indeslocáveis, o comprimento de flambagem l e dos pilares é determinado conforme a Figura 4-2 e a equação ( 4.9 ). Nas estruturas denós móveis, rigorosamente o comprimento de flambagem é medido entre pontos deinflexão da configuração deformada do pilar. Entretanto, uma boa aproximação éconsiderar o mesmo critério adotado para os pilares de estruturas indeslocáveis.




h0

Figura 4-2 – Determinação do comprimento de flambagem nos casos usuais de estruturas deedifícios

O comprimento equivalente l e do elemento comprimido suposto simplesmente apoiadoem ambas extremidades é o menor dos seguintes valores:

+≤l

ll

h0e ( 4.9 )

Na próxima figura apresentamos o comprimento de flambagem para outras condições devinculação e na Figura 4-4 a situação real e a de projeto.

l e = l l e = 0,5l

l e = 2/3 l Figura 4-3 – Comprimentos de Flambagem




Figura 4-4 – Situação de Cálculo x Situação de Projeto

4.5.2 Excentricidade

Em algumas ocasiões é conveniente saber transformar os momentos fletores aplicados aexcentricidades equivalentes:

Figura 4-5 – Equivalência entre os pares N-M e N-e

Utilizando a convenção da Figura 4-5, temos:

yy

xx

eNMeNM⋅=⋅=

( 4.10 )

4.6 Classificação dos Pilares

4.6.1 Introdução




Tradicionalmente temos a classificação dos pilares baseada em sua esbeltez, em suaposição relativa no pavimento e quanto ao fato dele pertencer ao sistema decontraventamento do edifício. Entretanto, sabemos que tais classificações tem apenas oobjetivo de permitir o cálculo mais simplificado para alguns tipos de pilares, pois se

adotarmos a modelagem global da estrutura, todos os pilares podem ser tratados damesma forma.

4.6.2 Classificação quanto à Resistência dos Esforços Transversais

Os pilares de um edifício podem pertencer ou não ao seu sistema de contraventamento,responsável por resistir aos esforços transversais. Desta forma, temos:

Pilares de Contraventamento: são responsáveis pela estabilidade global da

estrutura e devem ser dimensionados para resistir aos esforços globais de vento,desaprumo, etc. e aos esforços provenientes da análise local (esforços introduzidospelas vigas dos pavimentos, momentos de 2 a ordem localizados).Pilares Contraventados: são contraventados pelos primeiros. É necessário apenasefetuar sua análise local.

Percebe-se que o procedimento de dimensionamento é o mesmo, mudando apenas osesforços para dimensionamento.

4.6.3 Classificação quanto a sua Posição no Pavimento

Quanto a sua localização no pavimento, os pilares são usualmente classificados em:

Pilares CentradosPilares de ExtremidadePilares de Canto

O objetivo principal desta classificação é simplificar o procedimento de cálculo, excluindoas excentricidades iniciais nas duas direções para os pilares centrados e a excentricidadeinicial numa direção para os pilares de extremidade.

Sob o nosso ponto de vista, tais simplificações são muito grosseiras e podemdesconsiderar excentricidades iniciais importantes. Por exemplo, um pilar centrado podeapresentar excentricidades iniciais importantes decorrentes de vãos desiguais de vigas,carregamentos de lajes e vigas muito diferentes, vinculação excêntrica de viga ao pilar,que podem ser esquecidas.

Desta forma, adotaremos o procedimento de determinar os momentos iniciais nasdireções principais para todos os pilares e sempre dimensionar os pilares à flexão normaloblíqua.

4.6.4 Classificação quanto a sua Esbeltez




Tradicionalmente, os pilares são classificados, quanto a sua esbeltez em:

Pilares CurtosPilares Medianamente Esbeltos

Pilares EsbeltosPilares muito Esbeltos

Esta classificação é realizada para que possamos simplificar o tratamento dos pilares.Conforme o pilar se torna mais esbelto, os efeitos de 2 a ordem e decorrentes da fluênciatornam-se mais importantes e desta maneira, passamos a utilizar modelos menossimplificados e mais confiáveis. A NB1/2001 introduziu várias mudanças na avaliação daesbeltez dos pilares que conseqüentemente altera os limites que separam os tipos depilares, além de novos métodos para a avaliação dos efeitos de 2 a ordem e da fluência.Um resumo sobre estas mudanças pode ser visto no tópico 4.9.

4.7 Dimensionamento à Flexão Normal Composta

4.7.1 Processo Geral

a) Definição

G

Plano de Simetria ePlano de Solicitação

N

M

b) Construção de Curvas de Interação(M u, Nu)




GL N

x

εc

εs

N c

N s

σc σsi.A si

Concreto Aço

ac

as

Dados: Seção, armaduras, materiais(f ck,f yk)Escolhe-se x → Domínios de ELU sai a deformação correspondente → Com as

deformações entra-se no diagrama dos materiais para retirar astensões no aço e no concreto.Nc → Resultante de tensões no concretoac → Dstância da resultante de tensões no concreto ao C.G. da seção transversalNs → Resultante das forças nas barras de açoas → Distância da resultante das forças no aço ao C.G. da seção transversal

Domínios do Estado Limite Último“Lugar Geométrico” das Deformações Últimas

Deduz-se:

Nu = Nc + Ns Mu = Ncac + Nsas

Nu e Mu formam um par de valores que levam a peça ao E.L.U

Portanto:Correspondência Biunívoca x ↔ (Nu,Mu)




Variando x obtém-se pares (N u,Mu)

c) Aspecto Geral das Curvas de Interação

N u

Mu

Compressão

TraçãoDC

B

A

A s dado

Pontos Característicos

A → Compressão SimplesB → Máximo Mu C → Flexão SimplesD → Tração Simples

Trecho AC → Flexo-CompressãoTrecho CD → Flexo-Tração

d) Verificação da segurança da peça, dada a armadura, para os esforços N d e Md

Nu

Mu

BoaSegurança

N d

Md

A s dado N d

Mu

SegurançaDeficiente

M d

A s dado

Nu

Marca-se no gráfico o ponto(Nd , Md)Se o ponto é interno à curva → Segurança Boa

Se o ponto é externo à curva → Segurança deficiente




Ábacos de Interação para Dimensionamento

Escolhidos seção transversal e disposição da armadura e categoria do aço

Curvas interação, função de variáveis adimensionais do tipo:

cdc

d

.f AN=ν

.h.f AMµ

cdc

d=

armadura)degeométrica(taxa A A

ρc

s=

armadura)demecânica(taxa.f A.f A

cdc

yds=ω

υ

µ

υ

µ

ω = 0

ω = 1 Retira-se o ω

desejado

4.7.2 Processo Simplificado

Nas situações de cálculo de flexão composta normal de seções retangulares ou circularescom armadura simétrica em que a força normal reduzida (ν) for maior ou igual a 0,7,permite-se a transformação deste caso de dimensionamento em um de compressãocentrada equivalente (NB1/2001). Tal processo é conveniente para a estimativa daarmadura, que posteriormente será verificada por métodos mais rigorosos.

7,0≥ν

0Mhe1NN

eq,Sd

real,Sdeq,Sd

=

β+=

(4.11)




onde

cdc

Sd

f AN⋅

=ν ,hN

Mhe

real,Sd

real,Sd

⋅= e

( ) hd́

8,001,039,0

1

⋅−α⋅+

=β

e

circularesseçõespara46se61se

1se1

s

ss

ss

−=α>α=α≥αα=α

<αα

−=α

considerando2 A

A Alateral,s

erior inf ,serior sup,ss

==α , conforme a figura abaixo:

Figura 4-6 – Arranjo de armadura caracterizado pelo parâmetro α s

4.7.3 Ábacos Adimensionais para Dimensionamento



























4.8 Dimensionamento à Flexão Oblíqua

4.8.1 Processo Geral

Superfície de Interação ( Para um dado A s)

Figura 4-7 – Diagrama de Interação

4.8.2 Processo Simplificado

A NB1/2001 permite o cálculo simplificado e aproximado, nas situações de flexão simplesou composta oblíqua, pela expressão de interação:

1=MM

+MM

yy,Rd

y,Rd

xx,Rd

x,Rdαα

onde:

( 4.12 )




MRd,x; MRd,y são as componentes do momento resistente de cálculo em flexãooblíqua composta, segundo os dois eixos principais de inércia x e y, daseção bruta, com um esforço normal resistente de cálculo N Rd igual à normalsolicitante NSd. Estes são os valores que se deseja obter;

MRd,xx; MRd,yy são os momentos resistentes de cálculo segundo cada um dosreferidos eixos em flexão composta normal, com o mesmo valor de NRd.Estes valores são calculados a partir do arranjo e da quantidade dearmadura em estudo;

α é um expoente cujo valor depende de vários fatores, entre eles o valor daforça normal, a forma da seção, o arranjo da armadura e de suasporcentagens. Em geral pode ser adotado α = 1,0 a favor da segurança. Nocaso de seções retangulares poder-se adotar α = 1,2.

Os momentos MRdxx e MRdyy são extraídos dos diagramas de interação para a flexãonormal nas direções x e y da seção. O diagrama de interação é construído arbitrando-sevalores para MRdx e determinando o momento:

yy,Rdxx,Rd

x,Rdy,Rd M

MM

1M α

α

⋅−= ( 4.13 )

Figura 4-8 – Aproximação dos diagramas de interação para a flexão oblíqua

Observação:Horowitz apresenta uma expressão para a melhor avaliação de α:

+=α

máx,Rd

Sd

NNb5,0 =

A50CA/p60,1B50CA/p50,1

b ( 4.14 )

4.8.3 Ábacos Adimensionais para Dimensionamento













4.9 Pilares Contraventados (Cálculo dos Pilares Isolados)

4.9.1 Introdução

A próxima figura mostra os critérios para a modelagem dos pilares isolados em função deseu índice de esbeltez.

Consideração dos efeitos de 2 ordema

Consideração da Fluência

Método Geral

Método do Pilar Padrão com curvatura aproximada

Método do Pilar Padrão com rigidez aproximadaΚ

Método do Pilar Padrão acoplado a diagramas M, N, 1/r

λ1 90 140 2000

Figura 4-9 – Critérios para a modelagem dos pilares isolados conforme o índice de esbeltez

As duas primeiras barras indicam o intervalo onde há obrigatoriamente a necessidade daconsideração dos efeitos de 2 ª ordem e de fluência e nas quatro barras seguintes ointervalo de validade de cada método de solução recomendado pela NB1/2001. Devemos

ainda complementar que o valor λ1 é um valor que determina o início da consideração dosefeitos de 2 ª ordem e será discutido com mais detalhe no tópico 4.9.2 e que não sãopermitidos pilares usuais com índice de esbeltez maior que 200.

4.9.2 Critério para a Dispensa dos Efeitos de 2 ª Ordem

A NB1/2001 estabelece novos critérios para a dispensa dos efeitos de 2 ª ordem. Elaestabelece que os esforços locais de 2 ª ordem em elementos isolados podem serdesprezados quando o índice de esbeltez λ for menor que o valor limiteλ1 (ao invés do

valor fixo de 40 utilizado anteriormente).O valor de λ 1 depende de diversos fatores, mas os preponderantes são:

a excentricidade relativa de 1ª ordem e1/h;a vinculação dos extremos da coluna isolada;a forma do diagrama de momentos de 1ª ordem.

Desta forma, são estabelecidas expressões que visam levar em conta a influência decada um dos fatores citados acima. Assim sendo, o valor de λ1 é calculado pelaexpressão:




α≥

≤

α+=λ

bb

11 35

90 /h)e12,5( 25 ( 4.15 )

O parâmetro αb é determinado em função da vinculação dos extremos da coluna e daforma do diagrama de momentos de 1 ª ordem:

a) Para pilares biapoiados

40,0M

M 40,060,0 A

Bb ≥+=α para pilares biapoiados sem cargas transversais ( 4.16 )

αb = 1,0 para pilares biapoiados com cargas transversais significativas, ao longoda altura.Sendo,M A e MB os momentos de 1 ª ordem nos extremos do pilar, tomando-se para M Ao maior valor absoluto ao longo do pilar e adotando para MB o sinal positivo setracionar a mesma face que M A e negativo em caso contrário.

b) Para em pilares em balanço

85,0M

M 20,080,0 A

Cb ≥+=α ( 4.17 )

Sendo,M A o momento de 1ª ordem no engaste, eMC o momento de 1ª ordem no meio do pilar em balanço.

c) Para pilares biapoiados ou em balanço com momentos menores que o momentomínimo

Deve-se tomar αb = 1 se o maior momento ao longo da coluna for menor que o momentomínimo definido em (4.19).

4.9.3 Solicitações Iniciais

A solicitação inicial é composta pela força normal de cálculo (Nd) no elemento e pelosmomentos iniciais de cálculo (M1d,A e M1,B) aplicados às extremidades das barras.

Os esforços atuantes iniciais nos pilares são provenientes das combinações decarregamento utilizadas, devendo-se ressaltar que os momentos iniciais nasextremidades podem ser oriundos de uma análise de 1 ª ordem ou de 2 ª ordem global.

O momento inicial deve ainda respeitar um momento mínimo inicial decorrente daconsideração de imperfeições construtivas conforme será visto no item 4.9.4.






Consiste na análise não-linear de 2 ª ordem efetuada com discretização adequada dabarra, consideração da relação momento-curvatura real em cada seção e consideraçãoda não-linearidade geométrica de maneira não aproximada, sendo obrigatório paraλ >140.

4.9.5.2 Métodos Aproximados

A determinação dos esforços locais de 2 ª ordem pode ser feita por métodos aproximadoscomo o do pilar padrão e o do pilar padrão melhorado.

4.9.5.2.1 Método do Pilar Padrão com Curvatura AproximadaÉ permitido para λ ≤ 90, em pilares de seção constante e de armadura simétrica econstante ao longo de seu eixo. A não-linearidade geométrica é considerada de formaaproximada, supondo que a deformada da barra seja senoidal. A não-linearidade física élevada em conta através de uma expressão aproximada da curvatura na seção crítica.

O momento total máximo na coluna é dado por:

A1d,

2e

d A1d,btot,d M r 1

10.NM M ≥+α=

l ( 4.20 )

sendo 1/r a curvatura, que na seção crítica pode ser avaliada pela expressão aproximada:

h0,005

0,5)(h0,005

r 1 ≤

+ν= ( 4.21 )

onde,h = altura da seção na direção considerada;

ν = força normal adimensional, dada pela expressãof A

N cdc

Sd=ν

M1d,A deve respeitar o valor mínimo estabelecido em ( 4.19 ) (M1d,A ≥ M1d,min). O momentoM1d,A e o coeficiente αb têm as mesmas definições do item 4.9.2, sendo M1d,A o valor decálculo de 1ª ordem do momento M A.

4.9.5.2.2 Método do Pilar Padrão com rigidez (kapa) aproximada

É permitido para λ ≤ 90, nos pilares de seção retangular constante, armadura simétrica econstante ao longo do eixo.

A não linearidade geométrica é considerada de forma aproximada, supondo que adeformada da barra seja senoidal. A não linearidade física é levada em conta através deuma expressão aproximada da rigidez.

O momento total máximo na coluna é dado por:




MM

/1201

MM min1d, A1d,2

A1d,btot,d ≥≥

νκλ−

α= ( 4.22 )

sendo o valor da rigidez adimensional Κ (kapa) dado aproximadamente por:ν

+=Κ

h.NM

. 51 32d

totd, ( 4.23 )

As variáveis h, ν, M1d,A e αb são as mesmas definidas no item anterior e o processo éiterativo, sendo usualmente 2 ou 3 iterações suficientes.

4.9.5.2.3 Método do Pilar Padrão acoplado a diagramas M, N, 1/r A determinação dos esforços locais de 2 ª ordem em pilares com λ ≤ 140 pode ser feita

pelo método do pilar padrão ou pilar padrão melhorado, utilizando para a curvatura daseção crítica valores obtidos de diagramas M – N – 1/r específicos para o caso.

4.10 Pilares de Contraventamento

A determinação da rigidez mínima já foi discutida no capítulo 1.

4.11 Detalhamento

As exigências deste tópico referem-se a pilares cuja maior dimensão da seção transversalnão exceda cinco vezes a menor dimensão (que devem ser tratados como pilaresparede), e não são válidas para as regiões especiais.

4.11.1 Diâmetro Mínimo da Armadura Longitudinal (NB1/2001 18.4.2)

O diâmetro das barras longitudinais não deve ser inferior a 10 mm e nem superior 1/8 damenor dimensão transversal.

4.11.2 Taxa Mínima de Armadura

cyd

dmín,s A%40,0

f N15,0 A ⋅≥⋅= ( 4.24 )

4.11.3 Taxa Máxima de Armadura






As armaduras longitudinais devem ser dispostas na seção transversal de forma a garantira adequada resistência do elemento estrutural. Em seções poligonais, deve existir pelomenos uma barra em cada vértice; em seções circulares, no mínimo seis barrasdistribuídas ao longo do perímetro.

Figura 4-13 – Disposição das barras da armadura longitudinal

O espaçamento livre entre as armaduras, medido no plano da seção transversal, fora da

região de emendas, deve ser igual ou superior ao maior dos seguintes valores:40 mm;quatro vezes o diâmetro da barra ou duas vezes o diâmetro do feixe ou da luva;no mínimo 1,2 vezes o diâmetro máximo do agregado, inclusive nas emendas.

Quando estiver previsto no plano de concretagem o adensamento através de aberturalateral na face da forma, o espaçamento das armaduras deve ser suficiente para permitira passagem do vibrador.

O espaçamento máximo entre eixos das barras, ou de centros de feixes de barras, deve

ser menor ou igual a duas vezes a menor dimensão no trecho considerado, sem exceder40 cm.

Para as condições usuais dos edifícios, temos:

Figura 4-14 – Espaçamentos convencionais entre barras da armadura longitudinal

4.11.6 Armadura Transversal (NB1/2001 18.4.3)

A armadura transversal de pilares, constituída por estribos e, quando for o caso, porgrampos suplementares, deve ser colocada em toda a altura do pilar, sendo obrigatória

sua colocação na região de cruzamento com vigas e lajes.






A ancoragem das armaduras dos pilares nas emendas é usualmente feita por aderência(quando há congestionamento da seção transversal pode-se usar outro tipo de solução,como a soldagem, ou emenda com luvas), e como os apoios são diretos, não hánecessidade do confinamento da ancoragem, seja utilizando armadura transversal oucobrimento suficiente de concreto.

Como as barras de aço nos pilares no caso geral estão comprimidas, devem serancoradas sem ganchos.

4.12.1 Comprimento Básico de Ancoragem (NB1/2001 – item 9.4.2.4)

Define-se comprimento de ancoragem básico como o comprimento reto de uma barra dearmadura passiva necessário para ancorar a força limite A s f yd nessa barra, admitindo, aolongo desse comprimento, resistência de aderência uniforme e igual a f bd (resistência de

aderência de cálculo entre armadura e concreto).O comprimento de ancoragem básico é dado por:

bd

ydb f

f 4φ=l ( 4.27 )

onde, a resistência de aderência de cálculo entre armadura e concreto na ancoragem dearmaduras passivas (f bd) deve ser obtida pela seguinte expressão:

ctd321bd f f ηηη=

( 4.28 )sendo:

c

inf ,ctkctd

f f

γ= ( 4.29 )

e

η1 = 1,0 para barras lisasη1 = 1,4 para barras dentadasη1 = 2,25 para barras nervuradas

η2 = 1,0 para situações de boa aderência (ver item 9.3.1)η2 = 0,7 para situações de má aderência (ver item 9.3.1)

η3 = 1,0 para φ< 32 mmη3 = (132 −φ)/100 , para φ > 32 mm,

onde φ é o diâmetro das barras longitudinais.

4.12.2 Comprimento de Ancoragem Necessário (NB1/2001 – item9.4.2.5)








Para que os pilares parede possam ser incluídos como elementos lineares no conjuntoresistente da estrutura deve-se garantir que sua seção transversal tenha sua formamantida por travamentos adequados nos diversos pavimentos, e que os efeitos de 2ªordem localizados sejam convenientemente avaliados.

4.14.2 Dispensa da análise dos efeitos localizados de 2ª ordem

Os efeitos localizados de 2ª ordem de pilares parede podem ser desprezados se, paracada uma das lâminas componentes do pilar parede, forem obedecidas as seguintescondições:

a) A base e o topo de cada lâmina devem ser convenientemente fixadas às lajes doedifício que conferem ao todo o efeito de diafragma horizontal;

b) A esbeltez λi de cada lâmina deve ser menor que 35, podendo, o cálculo desta

esbeltez λi ser efetuado através das expressões dadas a seguir.

i

eii h

46,3 l

=λ ( 4.31 )

onde, para cada lâmina:

λei é o comprimento equivalente;hi é a espessura.

O valor de l e depende dos vínculos de cada uma das extremidades verticais da lâmina,

conforme Figura 4-19.






4.15 Exemplo de Dimensionamento: Pilar P7























ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:out/2001 fl. 1

5 – Caixas D’água em Concreto Armado

5.1 Introdução

Na maioria dos edifícios e residências as formas usuais das paredes das caixas d’águasão retangulares. Nos reservatórios elevados isolados são utilizadas as cilíndricas.

Em relação ao nível do solo, os reservatórios podem ser enterrados, semi-enterrados eelevados. Assim, temos os seguintes exemplos de caixa d’água:

5.1.1 Reservatórios elevados apoiados nos pilares

5.1.2 Reservatórios enterrados apoiados diretamente no solo

Obs: Se a pressão vertical devido ao peso do reservatório for maior do que a taxaadmissível do solo, devemos apoiar as paredes da caixa d’água em estacas ou nospilares da própria estrutura do edifício, caso seja possível.






Se a caixa d’água for enterrada ou semi-enterrada, apoiada em estaca ou pilares,consideraremos dois casos de cargas:

1º Caso: carga vertical máxima

amáx q g g g p +++= 321

2º Caso: carga vertical mínima, quando o nível do lençol freático do solo estiver acima donível da laje de fundo, de modo a produzir pressões negativas.

S g g g pmín −++= )( 321

Se a caixa d’água for enterrada ou semi-enterrada, apoiada diretamente no solo,também devemos considerar dois casos de cargas:

1º Caso: carga vertical máxima, com a caixa totalmente cheia e sobrecarga máxima sobrea tampa. Determinaremos assim a pressão vertical máxima sobre o solo da fundação,dada por:

=<⋅

= ∑ si

máx s ba

V σ σ , taxa admissível do solo

onde:

∑ iV = somatória de todas as cargas verticais acima do nível inferior do lastro, inclusive

peso das paredes;

ba ⋅ = área da laje de fundo em contato com o solo.

2º Caso: carga vertical mínima, com caixa totalmente vazia e sob carga máxima sobre atampa. Para caixas d’água usuais podemos admitir uma distribuição de pressão uniformedo solo sobre a laje de fundo, dada por:

sba

V p i +

⋅= ∑

onde:

∑ iV = somatória de todas as cargas acima do nível superior da laje de fundo (laje detampa, sobrecarga máxima + paredes);

ba ⋅ = área da laje de fundo em contato com o solo;

s = sub-pressão d’água, se existir.




5.2.3 Carga sobre a parede

5.2.3.1 Carga vertical máxima

Reação máxima da laje de tampa → 1r (kN/m 2)Reação máxima da laje de fundo → 2r (kN/m 2)Peso próprio da parede → conct hb g γ ⋅⋅= )( (kN/m 2)

CARGA TOTAL → g r r p ++= 21 (kN/m 2)

5.2.3.2 Carga horizontal máxima

1º Caso: Reservatório elevado

A única pressão a considerar é devida à água.

a K P águaaa ⋅⋅=γ




Obs: Se existirem 2 compartimentos, considerar o caso de um deles cheio e o outro vazio.

2º Caso: Reservatório enterrado

Neste caso devemos considerar dois casos:

a) Caixa d’água cheia + empuxo ativo da terra nulo + nível d’água do lençol freáticoabaixo do nível da laje de fundo. Recaímos no caso de carga horizontal máxima doreservatório elevado, já visto.

b) Caixa d’água vazia + empuxo ativo da terra + nível freático máximo.

Pressão devido à terra “seca”:

Adotaremos a teoria de Coulomb para determinação do empuxo ativo da terra sobre aparede, desprezando o atrito entre a parede e o solo – coeficiente de empuxo ativo daterra = a K

Pressão horizontal do solo devido à sobrecarga vertical:

Pressão devido à terra submersa em água:

Z K P águaaa ⋅⋅=γ




Z K P a s solo ⋅⋅′=′ γ

onde: sγ ′ = submersoγ

)( saaágua soloa K K Z P P P γ γ ′⋅+⋅=

′+=

5.3 Disposições construtivas

a) Espessuras mínimas a serem adotadas

• Laje da tampa: 7 cm• Laje de fundo e parede: 10 cm (18 cm no caso de parede circular, com uso de fôrmas

deslizantes)• Mísulas horizontais e verticais: melhoram a concretagem e dão maior rigidez às

ligações• Abertura para inspeções e limpeza: 60 cm x 60 cm (no mínimo)• Espaçamento dos ferros: o mais uniforme possível, 10 a 15 cm entre barras, de modo

a facilitar a montagem e a concretagem dos mesmos, podendo adotar ferragemsuperior à exigida pelo cálculo.

b) Impermeabilização

A superfície do concreto em contato com a água deverá ser obrigatoriamenteimpermeabilizada.

5.4 Cálculo dos esforços solicitantes

5.4.1 Esquema de cálculo

5.4.1.1 Caixa d’água enterrada




Regra:Quando dois nós giram no mesmo sentido: articulaçãoQuando dois nós giram em sentido contrário: engaste

a) Caixa vaziaLaje da tampa – EngastadaLaje do fundo – EngastadaParedes – Engastadas

b) Caixa cheiaLaje da tampa – ArticuladaLaje do fundo – Engastada

Paredes

5.4.1.2 Caixa d’água elevada

Laje tampa – Articulada

Laje fundo – Engastada

Entre si – Engastadas






Obs: Os elementos acima representados estão sujeitos a forças normais de tração devidoàs reações de apoio.

Laje da tampa:

Conforme item 5.4.1.2 → Articulada

a) Momentos nos vãos

x

xkx

l P m

α

21 ⋅=

y

xky

l P m

α

21 ⋅=

b) Reações de apoio

41

1 x

xl P r ⋅=

)2(11 y

x x y l

l r r −=

Laje de fundo:

Conforme item 5.4.1.2 → Engastada





x

xkx

l P m

α

22 ⋅=

y

yky l P m

α

2

2 ⋅=

b) Momentos nos apoios

x

xkx

l P m

β

22 ⋅−=′

y

yky

l P m

β

22 ⋅=′

Obs: Face à existência de momentos fletores nas paredes laterais, devido ao empuxod’água, haverá uma compensação dos momentos entre paredes e a laje do fundo.

c) Momentos finais

Nos apoios:

≥′k m

Nos vãos:

≥k m

0k m = momento no vão da laje simplesmente apoiada

k m = momento no vão da mesma laje

k m′ = momento final de apoio da laje

Média (parede e laje do fundo)

0,8 maior

k k mm ′− 5,00

k m




d) Reações de apoio

42

2 x

x

l P r

⋅=

)2(22 y

x x y l

l r r −=

Cálculo das paredes:

Conforme item 5.4.1.2 →

Adotaremos como carregamento a carga linear triangular de valor máximo a P .


x

xakx

l P m

α

2⋅=

y

yaky

l P m

α

2⋅

=

b) Momentos nos apoios

x

xakx

l P m

β

2⋅−=′

y

xaky

l P m

β

2⋅=′

c) Momentos finais

Laje tampa – Articulada

Laje fundo – Engastada

Entre si – Engastadas




Nos apoios:

Direção y → ≥′k m

Direção x → ≥′k m

Nos vãos:

≥k m

5.4.2.2 Caixa d’água elevada armada em uma direção principal

a) Caixa d’água armada horizontalmente

Se a relação entre a altura e a largura da caixa for maior do que 2 teremos o caso dacaixa d’água armada horizontalmente, ou seja, h/b>2 ou 2h/b>2 (se a borda superior daparede for livre). Neste caso, calcula-se as paredes como pórtico de largura unitária esujeito a uma pressão unitária. Uma vez obtidos os esforços para a carga unitáriamultiplica-se pela pressão p 1, p 2,..., p n correspondente às faixas de cálculo.

Quadro ABCD de largura unitária = 1,00 m

Média (entre parede)

0,8 maior

k k mm ′− 5,00

k m

Média (parede e laje do fundo)

0,8 maior






P e : a/b > 2 e a/h > 2 ( ou a/2h>2 no caso da borda superior da parede for livre)

Devemos calcular a caixa como um pórtico ABCD de largura unitária conforme o esquemaabaixo:

Determinamos assim os esforços principais na direção vertical. A ferragemcorrespondente na direção horizontal; adotaremos a armadura mínima de distribuição.

A s , distribuição ≥ 1/5 A s,principal

Momento fletor na direção horizontal junto à parede de tampa: (PAR 1=2)

Comprimento da zona de perturbação: h83=λ

5.4.2.3 Caixa d’água enterrada armada em uma direção principal

a) Caixa d’água armada horizontalmente






Nela, tem-se sempre a armadura tracionada A s ; a armadura comprimida A' s é empregadapara se conseguir maior dutilidade da seção. Normalmente, dispensa-se A' s quando sepode ter seção subarmada só com A s .

Através de um artifício, o dimensionamento à flexão composta com grande excentricidade(tanto na flexo-compressão, quanto na flexo-tração) pode ser feito através da análise deuma flexão simples.

a) flexo-compressão

Figura 1 - Flexo-compressão - Grande excentricidade

Conforme a fig. 1, a resultante de tração para equilibrar o momento M sd é igual a(Rsd + N d). Dessa forma, obtém-se a armadura final, subtraindo-se o valor (N d / f yd) daarmadura que equilibra M sd à flexão simples.

Procedimento para cálculo: Sejam: b; h; d'; f ck ; CA50A; N d (compressão); M d

Tem-se:

Msd = M d + N d (d - h/2)

Com a hipótese de que se tem solução em seção subarmada com A' s = 0, tem-se:

simplesarmadurad6280xxPara

f bd4250

M11d251xMx40dbxf 680

34

cd2

sdsdcd

→=<

−−=→=−

,

,,),(,

h/2

R sd + N d - N d

0,8xR cd

Msd

Nd

R sd

Md

≡ ≡

h

d’

A s’

dNd

R sd As d’

Msd

+R sd ’ R cd

R sd + N d

R sd ’

R cd

Nd -Nd

Msd = M d + N d (d - h/2)




e: ydsdsd

sdsd

dsd f ANx40d

MR

x40dM

NR =−−

=→−

=+,,

O dimensionamento pode ser feito, também, através das equações de equilíbrio:

−+−==+

) /(), /( 2hdRx402hRM

RRN

sdcdd

cdsdd

Admitindo-se peça subarmada com armadura simples vem:

−+−==+

) /(), /(,

,

2hdf Ax402hbxf 680M

bxf 680f AN

ydscdd

cdydsd

Para x > x 34 → armadura dupla; adotando-se, por exemplo, 34xx = , vem:

dsdd

cdd

MMM

x40df xb680M

−=∆−= ),(,

ddd

ydssddd

dsd Ndd

Mx40d

Mf AR

ddM

x40dM

NR −−

∆+−

==→−

∆+−

=+',',

)'(''

''

' ,

dd

M A

f x

dx

sd

ds

ydsdyds 00350

−σ

∆=

=σ→ε>⋅−=ε

O dimensionamento pode ser feito, também, através das equações de equilíbrio:

−+−+−=+=+

)' /(')' /(), /(

'd2hRd2hRx402hRM

RRRN

sdsdcdd

sdcdsdd

O sistema é resolvido adotando-se, por exemplo, 34xx = .

b) Flexo-tração

Valem as expressões utilizadas na flexo-compressão, utilizando-se (-N d) no lugar de N d .

h/2 0,8xR cd

R s

Md h

d’ A s’

dNd

R sd As d’ Msd = M d - N d (d - h/2)






c) Altura efetiva h e

A altura efetiva h e é definida como o menor valor, entre o vão teórico l e a altura da

seção h: hhe ≤

l

5.6.2 Esforços Solicitantes

Normalmente, os esforços solicitantes podem ser estimados como se fossem vigasusuais. Apenas as reações dos apoios extremos devem ser majorados de cerca de 10%.

5.6.3 Armadura Principal de Tração

5.6.3.1. Determinação da armadura

A resultante de tração na armadura é determinada por

R A f M

zsd s ydd= =

sendo z, o braço de alavanca efetivo valendo:

z h e= ⋅ +0 2 2, ( )l para vigas-parede sobre dois apoios;

z h e= ⋅ +0 2 15, ( , )l para vigas-parede contínuas (nos apoios internos, l podeser tomado como a média dos vãos adjacentes).

5.6.3.2. Arranjo da armadura principal longitudinal

c) Vigas-parede sobre dois apoios, fig. 3.2.1.

Figura 3.2.1

Esta armadura deve ser distribuida na faixa de altura ( a hs e= −0 25 0 05, , l ), medida a partirda face inferior da viga, e mantida constante em todo o vão. A ancoragem junto à faceinterna dos apoios deve garantir a resultante de tração igual a 0,8 R sd .

As

a hs e= −0 25 0 05, , l




d) Vigas-parede contínuas

A armadura de vão deve ser distribuida da mesma forma que no caso a). Quanto àarmadura sobre os apoios contínuos, a metade da mesma deve ser prolongada por todaextensão dos vão adjacentes na faixa de altura igual a (0,25 h e – 0,05 l ), contada a partir

da borda superior; o restante da armadura pode ser interrompido às distâncias 0,4h e dasrespectivas faces do apoio, obedecendo a distribuição em três faixas, conforme mostradona fig. 3.2.2:

• ( )[ ] se A2501h50 ⋅≥−⋅ , /, l na faixa superior de altura 0,2 h e ;• restante da armadura total na faixa intermediária de altura 0,6 h e ;• nada (0) na faixa inferior de altura 0,2 h e .

Figura 3.2.2

5.6.4 Verificações de Concreto

Deve-se verificar:V b h

f d

w ecd

,max ,≤ 0 10 .

5.6.5 Armaduras de alma

e) Caso de carga aplicada na parte superior da viga-parede, fig. 5.1.

Figura 5.1

A sv1

Ash1

0,25h e-0,05 l

bw

s h

s v

0,2h e

0,6h e

0,2h e

0,4h e 0,4h e 0,4h e 0,4h e




Deve-se dispor armaduras em malha ortogonal (barras horizontais e verticais) nas facesda viga com taxa mínima de 0,1% (aços de alta aderência) em cada face, e em cadadireção.

Se A sh1 for a área de uma barra horizontal da malha, deve-se ter:

Ash1 = 0,001 b w s v ;

do mesmo modo,

Asv1 = 0,001 b w s h ,

para uma barra vertical da malha.

Em vigas contínuas, a armadura de flexão sobre os apoios pode ser considerada comopertencente às armaduras horizontais da malha.

Nas vizinhanças dos apoios, recomenda-se introduzir armadura complementar, de mesmodiâmetro que a armadura de alma, conforme indicado na fig. 5.2.

Figura 5.2

f) Caso de carga aplicada na parte inferior da viga parede

Neste caso, além da malha prevista no ítem a), convém incorporar estribos suplementaresque garantam a suspensão da totalidade das cargas, do seu ponto de aplicação para aregião superior da viga. Esses estribos devem abraçar as armaduras principais de tração

e devem atingir pelo menos a altura h e , fig. 5.3.

Figura 5.3

A sv1

Asv1

Ash1

A sh1

a 1

a s a 2

b1

b2

he

a 1 ≅ b 1 = 0,2 h e

a 2 = 0,3 h e

b2 = 0,5 h e




g) Caso de cargas indiretas

Este caso que se refere às vigas-parede carregadas ao longo de toda a sua altura, porexemplo, através de um septo, necessita de armadura de suspensão nos moldes vistosno ítem anterior. Se a carga for particularmente importante, pode-se suspender parte da

carga (<60%) por intermédio de barras dobradas, fig. 5.4.

Figura 5.4h) Caso de apoios indiretos

Quando as vigas-parede apoiam-se, em toda a sua altura, em apoios rígidos (parede,pilar de forte seção, laje transversal), tem-se os apoios indiretos. Neste caso, atransferência das cargas para os apoios é garantida através de armaduras constituindomalhas ortogonais, dispostas na região indicada na fig. 5.5; as barras verticais devemgarantir a resultante V d e as horizontais, 0,8 V d (as armaduras de alma que se achamposicionadas no interior da referida zona podem ser consideradas no cálculo).

Figura 5.5

Quando V d ultrapassa o valor (0,75 V d,lim ), onde V d,lim = 0,1 f cd b w d, recomenda-se oemprego de barras dobradas a 45 o, fig. 5.6, equilibrando a resultante 0,8 V d, em suadireção.

Figura 5.6

0,4 h e

0,6 h e

0,5 h e

h e

0,4 h e

Vd




5.6.6 Dimensionamento das Zonas de Apoio

a) Limites para o valor da reação de apoio

Quando a região do apoio não é enrigecida por nervura ou pilar, o valor da reação deveser limitada a:

0,8 b w (c + h o) f cd , no caso de um apoio extremo; e1,2 b w (c + 2 h o) f cd , no caso de um apoio intermediário.

bw = espessura da viga-paredec = largura do apoio considerado menor ou igual a l / 5 (nos apoios intermediários, toma-se o menor dos vãos adjacentes como o valor de l ).ho = altura do enrijecimento junto à parte inferior da viga (nervura ou laje eventual)

Figura 6.1

b) Caso de cargas concentradas junto aos apoios

Quando a viga-parede é submetida a uma carga concentrada Q d junto de um de seusapoios, deve-se acrescentar armaduras complementares horizontais, distribuidas em duasfaixas, suficientes para equilibrar a resultante de tração igual a Q d / 4 em cada faixa,conforme indica a fig. 6.2; além disso, deve-se considerar a força cortante acrescida dovalor V qd dado por:.

V Q h c

hqdd e

e

= ⋅ −

22

para apoios internos;

V Q h c

hqd de

e

= ⋅ −

para apoios extremos.

Figura 6.2

h

c c

0,3h e 0,3h 0,3h

0,1h e

0,4h e

0,4h

0,1h

Q d Qd

c + h o c + 2h o

c c

ho

bw

0,5h




5.7 Formas, Cortes e Consideração de Cálculo para o Edifício Exemplo

A seguir, são apresentados a forma e um corte genérico da caixa d’água do edifícioexemplo, bem como o esquema de cálculo utilizado.

As lajes de tampa encontram-se apoiadas nas paredes externas e apresentamcontinuidade sobre a parede 2, devendo, para tanto, serem dimensionadas para omomento negativo neste apoio. As duas lajes de fundo encontram-se engastadas emseus quatro cantos. Os eixos das paredes delimitam os vãos de cálculo das lajes detampa e de fundo, conforme é mostrado a seguir:






5.9 Solicitações de Cálculo

5.9.1 Esforços de Tração

Para determinação dos esforços de tração, convém primeiro dividir a parede em sub-regiões como é mostrado na figura abaixo.

As regiões 1 e 3 apresentam a mesma resultante, assim como as regiões 5 e 7, e 4 e 8. Aresultante é calculada através do “volume” compreendido em cada região. Assim:

A resultante na laje da tampa é o volume compreendido nas regiões 1, 2 e 3; A resultante na laje de fundo é o volume compreendido nas regiões 5, 6 e 7; A resultante na parede lateral é o volume compreendido na região 4 ou 8

Para as paredes PAR1, PAR2 e PAR3, temos as seguintes resultantes:

Reação na laje de Fundo (R F):

KN2143091x2

11,6x1,28 7,41,09x1,28x47x

21,28

281x611x3

1,282xR

2

F ,,,,, =++

+=

Reação na laje da Tampa (R T):

325091x2

740x472

740x281x3

7,42xRT ,,,,,, =

+

= KN

45 o

45o

11,6 KN/m

7,4 KN/m 1 2 3

5

4

7 6

8

19 KN/m

7,4 KN/m

11,6 KN/m

7 4 c m

1 2 8 c m

128 cm 128 cm109 cm








Lajes do Fundo LF1 e LF2: Laje com as 4 bordas engastadas (carga uniforme)

Para o cálculo das paredes, serão utilizadas as tabelas de Montoya/ Meseguer/ Moránpara carregamento triangular 1, conforme é mostrado a seguir:

ly / l x x y x y 2

0,5 10 26 36 62 24

0,6 11 23 36 57 21

0,7 12 20 35 51 17

0,8 13 16 33 45 14

0,9 13 14 31 39 11

1,0 12 11 29 34 9

xp0010mx l2y

α⋅⋅⋅= , yp0010my l2y

α⋅⋅⋅= ,

xp0010xm l2y β⋅⋅⋅= ,' yp0010ym l

2y

β⋅⋅⋅= ,'

) /(, 34y

hE2p0010w l ⋅α⋅⋅⋅=

1 Outras fontes de consulta poderão ser utilizadas como, por exemplo, as tabelas de R.Bares

m p

xx

x

= l 2

α

m p

yx

y

= l 2

α

′ = −m p

xx

x

l 2

β

′ = −m p

yx

y

l 2

β

w

p

Ehmax

x

=

l 4

32α

ν = 0 2,

Beton-Kalender (1976)

l ly x/ α x

α y βx βy

α 2

1,00 47,3 47,3 19,4 19,4 68,51,05 43,1 47,3 18,2 18,8 62,4

1,10 40,0 47,8 17,1 18,4 57,61,15 37,3 48,3 16,3 18,1 53,41,20 35,2 49,3 15,5 17,9 50,31,25 33,4 50,5 14,9 17,7 47,61,30 31,8 51,7 14,5 17,6 45,31,35 30,7 53,3 14,0 17,5 43,41,40 29,6 54,8 13,7 17,5 42,01,45 28,6 56,4 13,4 17,5 40,51,50 27,8 57,3 13,2 17,5 39,51,55 27,2 57,6 13,0 17,5 38,41,60 26,6 57,8 12,8 17,5 37,61,65 26,1 57,9 12,7 17,5 36,91,70 25,5 57,8 12,5 17,5 36,31,75 25,1 57,7 12,4 17,5 35,8

1,80 24,8 57,6 12,3 17,5 35,41,85 24,5 57,5 12,2 17,5 35,11,90 24,2 57,4 12,1 17,5 34,71,95 24,0 57,2 12,0 17,5 34,52,00 24,0 57,1 12,0 17,5 34,3>2 24,0 57,0 12,0 17,5 32,0

m x

m y l

y

lx

m’y

m’y

m’x m’x




Do apresentado acima, tem-se:

LT 1 LT 2 LF 1 LF 2 PAR1/2/3 PAR4A/5A PAR4B/5B

lx (cm) 3,65 3,19 3,65 3,19 2,03 2,03 2,03

ly (cm) 5,30 3,65 5,30 3,65 3,57 3,19 5,30ly/ lx 1,45 1,15 1,45 1,15 0,57 0,64 0,38

mx 338 174 1106 646 82 90 78

my 223 118 561 499 191 168 203

m’x 0 387 2361 1478 280 421 281 m

( K N x c m

)

m’y 592 0 1808 1331 464 277 483

Prossegue agora com a análise dos momentos negativos. Como apresentado nos

capítulos anteriores, o momento negativo de dimensionamento será o maior entre a médiaou 0,8 do menor (em valor absoluto, ou 0,8 do maior em módulo). Ou seja:

⋅≥

'

','

m

m80m

menor

Do exposto, tem-se:

m’ a (KNcm) m’ b (KNcm) 0,8 m’ > (KNcm) m’ médio (KNcm) m’ (KNcm)LT1 LT2592 387 474 490 490LF1 LF21808 1478

1446 1643 1643

PAR1/PAR2 PAR4B/PAR5B280 281

224 281 281

PAR1/PAR2 LF1464 1808

1446 1136 1446

PAR2/PAR3 PAR4A/PAR5A280 277

224 279 279

PAR2/PAR3 LF2

464 14781182 971 1182

PAR4A/PAR5A LF2421 1331

1065 876 1065

PAR4B/PAR5B LF1483 2361

1889 1422 1889

5.9.3 Combinações e Dimensionamento

LT1 (b=100 cm, h=10 cm, m=338 KNcm/m, n=1,86 KN/m)

Msd= 1,4 x338 -1,4 x1,86 x(7- 210 ) = 468 KNcm




X = 1,25 x7 x

−−

412

x7x100x4250

46811

2

,,

=0,72 cm

As=

−+

720x407468

861x41x4843

1,,

,,,

= 1,66 cm 2/m

Armadura mínima:h = 10 cm: Asmin = 0,15%bh = 1,50 cm 2/mh = 12 cm: Asmin = 0,15%bh = 1,80 cm 2/mh = 15 cm: Asmin = 0,15%bh = 2,25 cm 2/m

LocalL

(cm)m

(KN cm)R (KN)

(tração) L

Rn =

(KN/m)

Msd

(KNcm)

x(cm)

As(cm 2) Bitola

530 mx 338 9,86 1,86 468 0,72 1,66 φ6.3c/19365 my 223 5,32 1,46 308 0,47 1,09 (φ6.3c/20 )LT1

(h=10cm)365 LT2 -490 5,32 1,46 682 1,07 2,43365 mx 174 5,32 1,46 240 0,36 0,85 (φ6.3c/20 )319 my 118 4,05 1,27 162 0,24 0,58 (φ6.3c/20 )LT2

(h=10cm)365 LT1 -490 5,32 1,46 682 1,07 2,43 φ6.3c/13530 mx 1106 71,28 13,45 1464 1,31 3,37 φ8c/14365 my 561 43,21 11,84 711 0,62 1,77 (φ6.3c/14 )365 LF2 -1643 43,21 11,84 2226 2,05 4,96

PAR1/365

PAR2-1446 43,21 11,84 1950 1,78 4,35

PAR4B/

LF1(h=15cm)

530PAR5B

-1889 71,28 13,45 2560 2,39 5,76

365 mx 646 43,21 11,84 830 0,73 2,01 (φ6.3c/14 )319 my 499 35,42 11,10 629 0,55 1,58 (φ6.3c/14 )365 LF1 -1643 43,21 11,84 2226 2,05 4,96 φ8c/10

PAR2/365

PAR3-1182 43,21 11,84 1580 1,42 3,56

PAR4A/

LF2(h=15cm)

319 PAR5A -1065 35,42 11,10 1421 1,27 3,20

203 mx 82 11,57 5,70 91 0,10 0,42 (φ6.3c/17 ) my 0,31 0,69 (φ6.3c/17 ) LF1 -1446 21,67 1933 2,49 4,54 φ8c/11

PAR4B/

PAR1/PAR2(h=12cm)

530PAR5B

-281 11,57 2,18 384 0,45 1,07

203 mx 82 11,57 5,70 91 0,10 0,42 (φ6.3c/17 ) my 0,31 0,69 (φ6.3c/17 ) LF2 -1182 21,32 1565 1,96 3,74 φ8c/13

PAR4A/

PAR3/PAR2(h=12cm)

203 PAR5A -279 11,57 5,70 367 0,43 1,14




203 mx 90 11,57 5,70 102 0,12 0,45 (φ6.3c/17 ) my 0,27 0,61 (φ6.3c/17 ) LF2 -1065 18,91 1412 1,75 3,35 φ8c/15

PAR2/

PAR4A/PAR5A(h=12cm)

203PAR3

-279 11,57 5,70 367 0,43 1,14 (φ6.3c/17 )

203 mx 78 11,57 5,70 85 0,10 0,40 (φ6.3c/17 ) my 0,33 0,74 (φ6.3c/17 ) LF1 -1889 28,42 2525 3,40 6,03 φ10c/13

PAR1/

PAR4B/PAR5B(h=12cm)

203PAR2

-281 11,57 5,70 369 0,43 1,15 (φ6.3c/17 )

5.9.4 Cálculo como Viga Parede

Distribuição das cargas: Determinação das reações nos pilares

LF1 (KN/m) LF 2 (KN/m) LT 1 (KN/m) LT 2 (KN/m)

px =4

lp x× 21,67 18,91 3,65 3,19

py =

y

x x

ll

-2xp 28,42 21,32 4,79 3,59

PAR1 (12x215)

Peso Próprio: 6,45 KN/mLT1: 3,65 KN/mLF1: 21,67 KN/mTotal: 31,77 KN/m

Reações nos Pilares:R 9 = 56,71 KNR 10 = 56,71 KN

PAR2 (12x215)

Peso Próprio: 6,45 KN/mLT1: 3,65 KN/mLF1: 21,67 KN/mLT2: 3,59 KN/mLF2: 21,32 KN/mTotal: 56,68 KN/m

Reações nos Pilares:R 14 = 101,17 KNR 15 = 101,17 KN




PAR3 (12x215)

Peso Próprio: 6,45 KN/mLT1: 3,59 KN/mLF1: 21,32 KN/m

Total: 31,36 KN/m Reações nos Pilares:R 19 = 55,98 KNR 20 = 55,98 KN

PAR4 e PAR5 (12x215)“A” AAA “B”BBB

Peso Próprio: 6,45 KN/m 6,45 KN/mLT1: 4,79 KN/mLF1: 28,42 KN/mLT2: 3,19 KN/mLF2: 18,91 KN/mTotal: 39,66 KN/m 28,55 KN/m

Reações nos Pilares:R 19 / R 20 = 13,90 KNR 14 / R 15 = 201,1 KNR 9 / R 10 = 86,10 KN

As reações dos apoios extremos devem ser majorados de cerca de 10%:

R 19 / R 20 = 15,30 KNR 9 / R 10 = 94,71 KN

ΣFy = 0 ⇒ R 14 / R 15 = 191 KN

5.9.4.1 - Viga Parede PAR1

m571zhe2lx20z

m152helh

he

ParedeVigadeCaso271hl

3,57mlm152h

,)(,

,

,,

=⇒+=

=⇒≤

∴<=⇒==

==8

plx4,1Md

2

71 KNm

==2plx4,1Vd 79 KN




==z

MdRsd 45 KN

Rsd=As x f yd ⇒ As = 1,04 cm 2

Ancoragem junto aos apoios:

=apoiosR 0,8 x Rsd = 36 KN

a disp = h-c = 12-2,5 = 9,5 cm

tensão de aderência: 23/2cdbu cm/KN247,0MPa47,2xf 42,0 ===τ

=apoiosR a disp x(perímetro) x buτ ⇒ (perímetro) = 15,3 cm

(2x2 φ12 5 = 15,7 cm e 5 cm 2)

as = 0,25 he – 0,05 l = 35 cm

Verificação ao Cisalhamento: 0,10 f cd = 0,14 KN/cm 2 > =bxhe

Vd0,03 KN/cm 2

Carga a suspender: 28,12 KN

As susp. = =ydf

Nd 0,65 cm 2/m; atendida pela armadura proveniente do cálculo como placa.

5.9.4.2 – Viga Parede PAR2

m571zhe2lx20z

m152helh

he


3,57mlm152h

,)(,

,

,,

=⇒+=

=⇒≤

∴<=⇒==

==8

plx4,1Md

2

126 KNm

==2pl

x4,1Vd 142 KN

== z

Md

Rsd 81 KN







a disp = h-c = 12-2,5 = 9,5 cm


=apoiosR a disp x(perímetro) x buτ ⇒ (perímetro) = 27 cm

(2x3 φ16 = 30 cm e 12 cm 2)

as = 0,25 he – 0,05 l = 35 cm


Vd0,06 KN/cm 2


As susp. = =ydf


5.9.4.3 – Viga Parede PAR3

m571zhe2lx20z

m152helh

he


3,57mlm152h

,)(,

,

,,

=⇒+=

=⇒≤

∴<=⇒==

==8

plx4,1Md

2

69,94 KNm

==2pl

x4,1Vd 78,37 KN

==z

MdRsd 44,55 KN






=apoiosR 0,8 x Rsd = 35,64 KN

a disp = h-c = 12-2,5 = 9,5 cm


=apoiosR a disp x(perímetro) x buτ ⇒ (perímetro) = 15,2 cm

(2x2 φ12 5 = 15,7 cm e 5 cm 2)

as = 0,25 he – 0,05 l = 35 cm

Verificação ao Cisalhamento: 0,10 f cd = 0,14 KN/cm2

> =bxheVd

0,03 KN/cm2


As susp. = =ydf

Nd0,64 cm 2/m; atendida pela armadura proveniente do cálculo como placa.

5.9.4.4 – Viga Parede PAR4 e PAR5

Paredes contínuas, logo:

m711zhe51lx20z

m152helh

he


m305lm152h

,),(,

,

,,,,

=⇒+=

=⇒≤

∴<=⇒==

Md+ = 131 KNmMd – = 141 KNmVd max= 124,10 KN

==+

+

zMd

Rsd 77 KN

==−

−

zMd

Rsd 83 KN

Rsd + = As x f yd ⇒ As + = 1,77 cm 2




Rsd – = As x f yd ⇒ As – = 1,91 cm 2 (2 φ12 5)

Ancoragem junto aos apoios (As +):


a disp = h-c = 12-2,5 = 9,5 cm


=apoiosR a disp x(perímetro) x buτ ⇒ (perímetro) = 26 cm

(2x3 φ16 = 30 cm e 12 cm 2)

as = 0,25 he – 0,05 l = 30 cm


Vd0,05 KN/cm 2

Carga máxima a suspender: 34,9 KN

As susp. = =ydf


Armadura Complementar:

=

=

face)(pors b001,0

face)(pors b001,0

hw

vw

Asv

Ash

⇒ ==s

Ashs

Asv1,2 cm 2/m

Figura 5.2

5.9.4.4 – Limites para as Reações de Apoio

As regiões do apoio possuem nervuras de enrijecimento (mísulas) o que implica na nãonecessidade de verificar os valores das reações.

A sv1 Ash1

a 1 = 45 a s

a 2 = 65

b1 = 45

b2 = 110

a 1 ≅ b 1 = 0,2 h e = 0,43 m(adotado 45 cm)

a 2 = 0,3 h e = 0,65 m

b2 = 0,5 h e = 1,08 m(adotado 110 cm)




5.9.5 Detalhamento






















6 – Escadas

6.1 Introdução

As escadas são elementos estruturais que servem para unir, através degraus sucessivos,os diferentes níveis de uma construção.

6.2 Terminologia dos Elementos Constituintes

A linha de plano horizontal é a projeção sobre um plano horizontal do trajeto seguido poruma pessoa que transita pela escada. Em geral, esta linha ideal se situa na parte centraldos degraus quando a largura da escada é inferior ou igual a 110 cm. Quando esta últimagrandeza excede 110 cm a linha dos planos horizontais se traça a 50 ou 55 cm do bordointerior. Esta é a distância de circulação de uma pessoa que se apóia com a mão nocorrimão lateral.

O conjunto de degraus compreendidos entre dois patamares ou descansos sucessivoschama-se lance.

Recomenda-se que um lance não tenha mais do que 20 ou 22 degraus. Se o número dedegraus exceder este valor é preciso intercalar um descanso intermediário, cuja largura

deverá ser de uns três planos horizontais, mas com um mínimo de 85 cm a fim deoferecer uma interrupção cômoda e agradável do lance.

Em cada piso a escada termina em um descanso que se chama meseta, patamar do pisoou descanso de chegada. Tem largura igual ou às vezes maior que a de dois degraus.

A inclinação de uma escada deve ser constante em um mesmo lance. O valor do planohorizontal e da altura ou plano vertical não devem variar jamais de um descanso a outro.Contudo, é aceitável uma exceção quando se trata do degrau de saída. Este último podeter um plano horizontal de 2 a 5 cm superior aos outros degraus.

O local cujo interior se encontra a escada denomina-se caixa. O espaço ou vazio situadoentre um ou dois lances, na parte central da escada(na projeção horizontal) chama-seolho ou vão. Quando essa parte é cheia ou maciça chama-se eixo ou árvore da escada.Rebordo é o nome que se dá à borda que limita a escada pela parte do olho(ou do eixo).

A escapada é a altura vertical disponível entre a borda de um degrau e o teto existente.Normalmente, para deixar passagem suficiente quando se transporta móveis, a escapadadeve estar compreendida entre 200 a 400 cm.

6.3 Dimensões Usuais




As dimensões a (altura do degrau, espelho) e b (passo, pisada) e são variáveis segundo otipo de utilização da escada. Em geral, para escadas interiores, adota-se b = 25 cm e a =18 cm. Escadas mais abruptas podem ter b = 25 cm e a = 20 cm e escadas maisconfortáveis podem ter b =28 cm e a = 16 cm.

Para uma boa funcionabilidade é necessário que sejam observadas as seguintescondições:

a) cm65ba260 <+<

=→=→→=

cm19máxprivativousocm18máxcoletivouso

espelhodoalturaa

=→=→→=

cm25mínprivativousocm27míncoletivousomar)passo(patab

b)=

==

m1,50reuniãodelocaishospitais,m1,20geralemcoletivouso

m0,80privativousolmín

c) As escadas de uso comum ou coletivo deverão ter patamar intermediário quandomudarem de direção ou vencerem desníveis superiores a 2,90 m.




6.4 Classificação

6.4.1 Escadas em Laje

A grande maioria das escadas existentes são armadas em uma direção e são calculadascomo lajes armadas em uma só direção.

a) Escada armada transversalmente

b) Escada armada longitudinalmente

c) Escada armada em cruz

d) Escada helicoidal(em balanço, engastada em uma coluna circular)






d) Vigas helicoidais com duplo balanço

6.4.3 Outros Tipos

a) Escadas em cascatas

b) Escada auto-portante com patamar

6.5 Carregamentos

As cargas geralmente atuantes nas escadas são o peso próprio, os revestimentos, asobrecarga acidental(em projeção horizontal) e a carga de parapeito segundo a NB-5

A sobrecarga de utilização é tomada como carga vertical por metro quadrado de projeçãohorizontal da escada, podendo-se adotar os seguintes valores:

Tabela 1 – Sobrecarga de Utilização em EscadasEscadas Secundárias 3.0 kN/m²Escadas de Edifícios Residenciais 2.5 kN/m²






6.6 Cálculo dos Esforços Solicitantes e Dimensionamento

6.6.1 Esquema Estrutural e Justificativa

O esquema estrutural usual é admitir como viga simplesmente apoiada com o apoiodeslocável.

2Pl

R R VerticalReação V2v1 === (altura perpendicular ao eixo da barra)

8

2 Pl M

máx =

2P.l.cos α

VV BA == (Força cortante no apoio)

6.6.1.1 Justificativa do esquema estrutural exposto




Resumindo:

6.6.2 Escadas armadas longitudinalmente (esquemas estruturais)

sem patamar

com patamar superior




com patamar interno

tipo sanfonado

lances inclinados




com dois lances retos(em L)

escada com lances retos em “U”






Obs: Não é permitido o seguinte detalhe da armadura:

Escada com patamar intermediário




6.7 Cálculo da escada do edifício exemplo










Dimensionamento das escadas:

a) Escadas dos níveis +0,516 a +1,375 e +1,891 a +2,75

60,75 110 60,75

12

85,94

• Cálculo das cargas:

pp 1 = 25 x 0,12 = 3,0 kN/m 2

pp 2 = 2kN/m3,8)38cos

0,12(x25 =

degrau = 2kN/m1,9)2

0,1719(x22 =

revestimento = 1,0 kN/m 2 sobrecarga = 2,5 kN/m 2

acidental no corrimão = 2 kN/m = 2kN/m1,651,215

2 =

• Esquema estrutural:

85,94R1

R2

60,75137,533,25

6,5 kN/m10,85 kN/m

6,5 kN/m




• Dimensionamento

R 1 = 10,9 kN/mR 2 = 10,2 kN/m

M = 6,54 kNm/mh = 12 cmd = 9 cmx = 1,10 cm

A s = 2,46 cm 2 / m

A smín = 0,15% b h = 1,8 cm 2 / m Asec = 0,2 A s = 0,2 x 2,46 = 0,49 cm 2 / m

b) Escadas dos níveis 0 a +0,516 e +1,375 a +1,891

12 121,5 55 123 19

51,56

• Cálculo das cargas:

pp 1 = 25 x 0,12 = 3,0 kN/m 2

pp 2 = 2kN/m3,8)38cos

0,12(x25 =

degrau = 2kN/m1,9)2

0,1719(x22 =

revestimento = 1,0 kN/m 2 sobrecarga = 2,5 kN/m 2

acidental no corrimão = 2 kN/m = 2kN/m1,651,215

2 =

R1 = 10,9 kN/m = 10,9/1,215 = 8,97 kN/m 2

R2 = 10,2 kN/m = 10,2/1,215 = 8,40 kN/m 2




• Esquema estrutural:

R4

R3

100 82,5 132,5

51,56

8,40 kN/m6,50 kN/m 10,85 kN/m

8,97 kN/m6,50 kN/m

• Dimensionamento

R3 = 21,5 kN/mR4 = 22,4 kN/m

M = 15,89 kNm/mh = 12 cmd = 9 cmx = 2,92 cm

As = 6,53 cm 2 / m

c) VE (19/55)






d) Detalhamento









7 – Fundações

7.1 Sapatas

7.1.1 Sapatas Corridas

7.1.1.1 Introdução

A sapata corrida é normalmente utilizada como apoio direto de paredes, muros, e depilares alinhados, próximos entre si.

Figura 1.1

Os esforços solicitantes na sapata são considerados uniformes, mesmo para o caso dafig.1.1.b onde, de maneira aproximada, a carga do pilar dividida por a, pode serconsiderada como carga uniformemente distribuída na sapata corrida. Desta forma, aanálise principal consiste em estudar uma faixa de largura unitária sujeita a esforços n, me v, respectivamente, força normal, momento fletor e força cortante, todos eles definidospor unidade de largura.

A fig. 1.2. mostra a seção transversal do muro. As abas podem ter espessura constante h,ou variável (de ho a h).

Figura 1.2

a) apoio de paredeem alvenaria

b) apoio de pilaresalinhados e

próximos entre si

pilares

viga de rigidezsapata corrida

a

a

a

h hv

ho

α

solicitações

distribuídasuniformesn v m v

n

m

h cm

hcm

h

hh

o

o

v b

≥

≥

≤

≥

25

20

3

30

0 8

(*)

/

,

α

l

l b = comprimento de ancoragem da armadurada parede ou do pilar (quando for o caso)

c

c = (a - ap) / 2










Figura 4.1

As duas últimas parcelas são negativas e, eventualmente, podem ultrapassar o valor daprimeira parcela (positiva) tornando necessária a presença de armadura de flexão junto àface superior das abas.

A armadura principal pode ser quantificada de maneira aproximada através da seguinteexpressão:

yd1d1

s f )d8,0(m A⋅⋅

= → (armadura para a faixa de largura unitária)

Onde d1 é a altura útil junto à face do pilar ou parede. Convém observar ρ = ≥A

b ds

1 1 0 15%, ,onde b1é a largura unitária da seção.

As barras que compõem a armadura principal de flexão de sapatas devem cobrir toda aextensão a da base e ter ganchos de extremidade. Pode-se adotar φ ≥ 10 mm eespaçamento s ≤ 20 cm.

Para a armadura secundária pode-se adotar φmin = 6,3 mm e smax = 30 cm.

7.1.1.4.2. cisalhamento

A resistência ao esforço cortante pode ser verificada na seção S 2 de largura unitáriadefinida na fig. 4.2.

A força cortante (v2) na seção S 2 contem três parcelas:Devido à tensão no solo ( σsolo );O peso da aba (g bf2) além da seção S 2; eO peso do solo sobre a aba (g sf2) além da seção S 2.

tensõesnormais nosolo (σsolo)

a a

c ap c 0,15a0,15a

S

gsf

gb d1≤1,5c

c ap c0,15ap0,15ap

S

gsf

gbf d1≤1,5c

gsf

gbf

gsf

gbf




Figura 4.2

A tensão de cisalhamento deve ser limitada a τ2u .

u222

d2d2 db

v τ≤⋅

=τ

onde

b2 é a largura unitária da seção.

Para sapatas corridas rígidas:

γ⋅=τ

c

cku2

f 63,0 ou cdu2 f 15,0=τ ;

Para sapatas corridas semi-rígidas pode-se admitir:

c

cku2

f )

hc945,0048,2(

γ⋅⋅−=τ .

Obs.: pode ser dispensada a armadura transversal para sapata corrida flexível quando

c

ckd2

f 158,0γ

⋅≤τ (valores em MPa).

7.1.2 Sapatas Isoladas

7.1.2.1 Introdução

A sapata isolada é utilizada como apoio direto de pilares. Geralmente, tem forma

retangular ou circular centrada no pilar.

tensõesnormais nosolo (σsolo)

a a

c ap c d1/2

S2

gsf2

gbf2 d1≤1,5c

c2

d2≤1,5c

c ap cd1/2

gsf2

gbf d1≤1,5c

c2

d2

S2






a)61

be

ae ba ≤+ b)

61

be

ae ba ≥+

Figura 1.4

7.1.2.2 Tensão na interface sapata/soloa) Base retangular

Quando61

be

ae ba ≤+ tem-se:

−−⋅

=σ++⋅

=σbe6

ae61

baN;

be6

ae61

baN babas

bbabas

a .

Quando 61

be

ae ba

≥+ , a máxima tensão é dada por:

baNbas

a⋅

⋅η=σ (η na tab.2.1), ou

bakN1

bas1a

⋅⋅=σ=σ e

144b k σ⋅−=σ=σ (fictício)

(k1 e k4 no ábaco da fig. 2.1).

Va N

Ma VbN

Mb

a bh

Nbas = N + Gbas + Gs Ma,bas = Ma + Va . hMb,bas = Mb + Vb . h

ea = Ma / Nbaseb = Mb / Nbas

Gbas = peso dasapata

Gs = peso do solosobre a sapata

Gbas Gbas

solo sobrea sapata

ea

eb

Nba

b

a

ea eb

Nba

b

a tensõesnormais no solo

σa σa

σb






Observação:

neste caso, para a atuação da carga permanente, a base deve estar

inteiramente comprimida, isto é:61

be

ae gbga ≤+ ;

adicionalmente, para a situação mais desfavorável, deve se ter pelo menos ametade da base comprimida (que garante uma segurança contra tombamento

maior do que 1,5); esta condição é verificada quando91

be

ae 2

b2

a ≤

+

;

b) Base circular

Para base circular, cheia ou oca, tem-se:)r r (

Nk 2i

2bas

r a−π

⋅=σ (kr na tab. 2.2).

r i / r e / r 0,00 0,50 0,60 0,70 0,80 0,90 1,00

0,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,000,05 1,20 1,16 1,15 1,13 1,12 1,11 1,100,10 1,40 1,32 1,29 1,27 1,24 1,22 1,200,15 1,60 1,64 1,59 1,54 1,49 1,44 1,400,20 1,80 1,64 1,59 1,54 1,49 1,44 1,40 100%0,25 2,00 1,80 1,73 1,67 1,61 1,55 1,500,30 2,23 1,96 1,88 1,81 1,73 1,66 1,600,35 2,48 2,12 2,04 1,94 1,85 1,77 1,700,40 2,76 2,29 2,20 2,07 1,98 1,88 1,800,45 3,11 2,51 2,39 2,23 2,10 1,99 1,900,50 3,55 2,80 2,61 2,42 2,26 2,10 2,000,55 4,15 3,14 2,89 2,67 2,42 2,26 2,170,60 4,96 3,58 3,24 2,92 2,64 2,42 2,26 >50%0,65 6,00 4,34 3,80 3,30 2,92 2,64 2,420,70 7,48 5,40 4,65 3,86 3,33 2,95 2,640,75 9,93 7,26 5,97 4,81 3,93 3,33 2,890,80 13,9 10,1 8,80 6,53 4,93 3,96 3,270,85 21,1 15,6 13,3 10,4 7,16 4,90 3,77 <50%0,90 38,3 30,8 25,8 19,9 14,6 7,13 4,710,95 96,1 72,2 62,2 50,2 34,6 19,8 6,72

área comprimida

Tabela 2.2 - Valores de k r para base circular, cheia ou oca

7.1.2.3 Estabilidade da sapata

a) tombamento

momento estabilizante = Mest momento desestabiliz. = Mdesest

5,1M

MFSdesest

est ≥= .

b) deslizamentoforça estabilizante = Rest força desestabilizante = Rdesest

5,1R

RFSdesest

est ≥= .

r i

r

e Nbas












De fato, devido à simetria, ocorre um recalque vertical constante (u). A reação numaestaca vertical é dada por:

u AEukRvert ⋅⋅=⋅=l

.

A reação em uma estaca inclinada vale

α⋅=α⋅⋅=α⋅⋅α

⋅=⋅= 2vert

2inclinclincl cosRcos)uk()cosu(

cos AEukR

l.

Portanto,

vert3

incl,ppv

inclincl,pvertpvinclvertbas

R)cosnn(2

)cosR(n2Rn2)cosR(RN

⋅α+=

α⋅+=α⋅+=∑ ∑

c) Bloco com estacas verticais (np,vert pares) e estacas inclinadas de α (np,incl pares,distribuídos em duas linhas) sujeitas a carga vertical Nbas , a momento (Mbas) e a forçahorizontal (Vbas), fig. 1.4.a.

(a) (b) (c)

Figura 1.4 A força normal na estaca vertical genérica k é dada por:

∑+

α+=

vert

2i

k03

incl,pvert,p

bask,vert

aaM

)cosnn(2NR ;

Nbas Mba Vbas

α

O

ho

80 40 40 80

ak1 2 3 4

M0

Vbas

a a

θ




E na estaca inclinada genérica (i), por:

α±

α+α=

senn2V

)cosnn(2cosNR

incl,pbas

3incl,pvert,p

2bas

i,incl

sendo obasbaso hVMM ⋅−= = momento em relação ao ponto O.

De fato, as parcelas devidas a N bas já são conhecidas. Os demais efeitos resultam comose mostra a seguir.

Efeito isolado de Vbas aplicado em O, fig. 1.4.b: as estacas verticais não sãosolicitadas, pois o momento é nulo, ocorrendo uma translação do bloco; a força Vbas ésimplesmente decomposta segundo as direções das estacas inclinadas resultando,assim, o segundo termo de R incl.i, pois:

Vbas = 2.np,incl.senα;

Efeito de Mo , fig. 1.4.c: provoca uma rotação do bloco em torno do ponto O de modoque as estacas inclinadas não são solicitadas; o equilíbrio é garantido pelos binárioscorrespondentes a cada par de estacas verticais; tem-se:

kk au ⋅θ= ; kkk,v akukR ⋅θ⋅=⋅=

∑ ∑ ⋅θ⋅=⋅= 2iii,vo a)k()aR(M →

∑=⋅θ 2

i

o

aMk e, portanto

k2i

ok,v a

aMR ⋅=

∑ (segundo termo de Rvert,k).

7.2.1.2 Bloco simétrico sujeito a cargas atuando segundo os dois planos de simetria

Sejam:

Nbas (força vertical),Mbas,a e Mbas,b (momentos), eVbas,a e Vbas,b (forças horizontais)

Os esforços atuantes no centro do grupo de estacas junto à base (topo das estacas),fig. 2.1.

Sejam, ainda,

np,vert pares de estacas verticais,np,incl,a pares de estacas inclinadas segundo a direção a,np,incl,b pares de estacas inclinadas segundo a direção b






sendo: oaa,basa,basoa hVMM ⋅−= = momento em relação ao ponto O a

obb,basb,basob hVMM ⋅−= = momento em relação ao ponto O b.

7.2.2 Verificações de Concreto Armado

Geralmente, os blocos têm forma retangular ou poligonal em planta, fig 3.1.

Figura 3.1

As abas podem ter espessura constante h, ou variável (de h o a h), fig. 3.2.

Figura 3.2

hcm

hcm

h

c a a

ca

ca a

c b b

b

o

est est

oest

s

ao

bo

a p

b p

≥

≥

= ⋅

≥

≤≤

= −

= −

30

0 8

30

3

2 5 3

25

30

30

2

2

,

/

( , )

l

φαα

a

b ap cao

bp

cbo cb ca

co

co

aes

ces

cest

h ho

αaa ca a ca

a a

cao co cao co

h ho

αbb cb b cb

b b

cbo co cbo co






7.2.2.2 Cisalhamento

Em geral, a resistência ao esforço cortante pode ser verificada nas seções S 2 (S2a e S 2b)definidas na fig. 3.4.

V2a = soma das reações das estacasposicionadas na área A 2a

V2b = soma das reações das estacasposicionadas na área A 2b

Figura 3.4Obs.: quando uma ou mais estacas estiverem situadas a distâncias inferiores a d 1 /2 daface do pilar, a seção S 2 deve ser tomada junto à face deste pilar com largura b 2 e alturaútil d1; e no cômputo das forças cortantes, pode-se desprezar a inclinação das estacas(admitir cosα ≅ 1)

A tensão de cisalhamento deve ser limitada a τ2u .

u2

22

d2d2 db

V τ≤⋅

=τ .

onde

γ⋅=τ

c

cku2

f 63,0 ou cdu2 f 15,0=τ .

A resistência ao esforço cortante deve ser verificada, também, junto às estacas de canto,fig. 3.5. Deve-se verificar:

u2c2c2

f dbR τ≤γ .

b

cb

bp

cb

d1b/2

d1b≤1,5c

c2b

d2b

S2

a

c ap ca

S2d1a≤1,5c

d1a/2 c2

d2a≤1,5c2

A2b

A2a

d1b/2

d1a/2

bp +

ap + d1




Figura 3.5

7.2.2.3 Observações

a) em blocos com estacas alinhadas, fig. 3.6, convêm adotar estribos com ρwmin , portaestribos de mesmo diâmetro e armaduras de pele;

Figura 3.6

b) em blocos com estacas em disposição poligonal, as armaduras de tração podem serposicionadas segundo os lados do polígono; em geral, a quantidade de armadura A s,l sobre cada par de estacas adjacentes pode ser estimada como segue, fig. 3.7:

d1c

aestd1c /2

d2c

b2c = aest + d1c

R






7.2.3 Blocos sobre duas Estacas pelo modelo Biela-Tirante

a) Verificação do concreto:

Fixação das dimensões:tanθ = d / ( 3l /2 - a/4) (45o ≤ θ ≤ 55o)dmin = 0,5 ( l - a/2); dmax = 0,71 ( l - a/2)

Compressão nas bielas:cd2

p

dpbiel,cd, f 1,4

θsen AQ

σ ≤=

cd2est

destbiel,cd, f 85,0

θsen2AQ

σ ≤=

c) Armadura:

Estribos: (Asw/s)min = 0,15 %8cm ≤ s ≤ 15cm

“Pele”: (As/s) = 0,075% (cada face)10cm ≤ s ≤ 20cm

ae bp a ae

b

h

ao ao

d

l

Qd

h

ao ao

d

l

Qd




7.2.4 Blocos sobre três Estacas

a) Verificação do concreto

Fixação das dimensões:tanθ ≅ d / ( 3l /3 - 0,3a) (45o ≤ θ ≤ 55o)dmin = 0,58 ( l - a/2); dmax = 0,83 ( l - a/2)

Compressão nas bielas:fcd75,1

θ2sen pA

d N p biel,cd,

σ ≤=

fcd0,85θsen3A

Nestbiel,cd,σ

2est

d ≤=

b) Armadura

Estribos: (Asw/s)min = 0,15 %8cm ≤ s ≤ 15cm

h

ao ao

d

l

Qd

ae

a

a

Rest

θ




7.2.5 Blocos sobre quatro Estacas – Aplicação ao Edifício Exemplo

Solução para a fundação do pilar P7: quatro estacas pré-moldadas φ40 para 700KN cada.

7.2.5.1 Formas:




7.2.5.2 Esforços Solicitantes:

Peso Próprio do Bloco: 25x(1,80x2,10x0,70)=71 KN

7.2.5.3 Reações nas Estacas:

KN5722x00,1

67,212x30,1

96,644

712358 R1 =−−+=

KN6222x00,1

67,212x30,1

96,644

712358 R2 =−++=

KN5932x00,1

67,212x30,1

96,644

712358 R3 =+−+=

KN6432x00,1

67,212x30,1

96,644

172358 R4 =+++=

Segue que R MAX = 643 KN < Ru,estaca = 700 KN OK!

Mx = 21,67 KNm

My = 64,96 KNm

Nk = 2358,3 KN

1 2

3 4

Mx

My




7.2.5.4 Determinação da altura d:

oo 55θ45 ;xdarctgθ ≤≤=

Para θ = 45o ⇒ d = 66,5 cm; adotado d = 70 cm⇒ θ = 46,5o

7.2.5.5 Verificação junto ao pilar

OK! KN/m375004,1

x250001.2KN/m138535,46xsin65,0x19,0

4,1x643f 1,2 Apxsin

d,Neq

222d,bp

cd2d,bp

=<==σ

≤θ=σ

⇒

7.2.5.6 Verificação junto à estaca

OK! KN/m151794,1

x2500085,0KN/m136225,46xsin

440,0x

4,1x643

f 85,0 Aexsin

d,Neq

22

22be

cd2be

=<=π

=σ

≤θ

=σ

⇒

Rsθ

Biela comprimida




7.2.5.7 Determinação das Armaduras

KN415cosxtgRe1Rs =β

θ=

KN447senxtgRe2Rs =β

θ=

2ykn KN/cm48,341,15f

σ sd ;σ sd

dxRs, As ==γ=

As1 = 2cm7,1448,43 x4154,1x1,1 =

As2 = 2cm8,1548,43 x4474,1x1,1 = (adotado 8φ16 (16 cm2))

Será adotado a mesma armadura para ambas direções dos blocos. Ancoragem: φ= 10-lb0,8l nec,a

Onde lb = lb1yd

ef ,sdf

σ

Para f ck = 25 MPa e f yk = 500 MPa tem-se que lb1 = 38φ

Portanto: 2ef ,sd cmKN/3916

8,15x15,1x1,1

50 ==σ

E cm7,273,1710-

1,155039380,8l nec,a =φ≈φ

φ= (existente: φe – 3cm = 37cm ok!)

Rs1

Rs2 θ

Re

β = 47,1o

β




7.2.5.8 Detalhamento

Corte A



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Exemplo de um Projeto Completo de um Edifício de Concreto Armado