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ECV 5648 ESTRUTURAS DE CONCRETO

Exemplos de dimensionamento à Flexão 1

Exemplo 01 Uma viga bi-apoiada de concreto armado de seção retangular com altura de 50 cm e largura de 15 cm, será executada usando-se concreto C 20 e aço CA 50. A solicitação máxima é de um momento fletor característico de 88,10 kN.m. O estribo é de 5 mm de diâmetro, o cobrimento adotado é de 2,5 cm e o agregado graúdo é a brita 1.

Dados: fck = 20 MPa = 2 kN/cm2 fyk = 500 MPa = 50 kN/cm2 h = 50 cm bw = 15 cm Mk = 8810 kN.cm

1) Estimativa da altura útil d d” = 0,1.h = 0,1.50 = 5 cm d = h – d” = 50 -5 = 45 cm 2) Momento Fletor de cálculo

Md = γf.Mk = 1,4.8810 = 12334 kN.cm 3) Valor de cálculo da resistência à compressão do concreto

fcd = fck/γc = 2/1,4 = 1,43 kN/cm2 4) Altura da parte comprimida x x = 1,25.d [ 1 – (1 - Md/0,425.bw.d2.fcd)1/2] x = 1,25.45.[ 1- (1 - 12334/0,425.15.452.1,43)1/2 x =56,25. [1- (1- 0,668)1/2] = 23,84 cm 5) Definição do domínio Altura relativa: x/d = 23,84/45 = 0,53 Domínio 3: 0,259 < 0,53 < 0,628 6) Armadura necessária As = Md/fyd.(d- 0,4.x) As = 12334/43,48.(45 - 0,4.23,84) = 8 cm2

15

50

d”



7) Escolha da armadura Opções:

φ 10 ⇒ as10 = 0,80 cm2 ⇒ n = As/as10 = 8 /0,8 = 10 (8,00 cm2)

φ 12,5 ⇒ as12,5 = 1,25 cm2 ⇒ n = As/as12,5 = 8/1,25 =6,4=7 (8,75 cm2)

φ 16 ⇒ as16 = 2,00 cm2 ⇒ n = As/as16 = 8 /2 = 4 (8,00 cm2)

φ 20 ⇒ as20 = 3,15 cm2 ⇒ n = As/as20 = 8 /3,15 =2,5= 3 (9,45 cm2) 8) Armadura adotada

4 φ 16 (8,00 cm2) 9 ) Número de barras por camada Largura disponível para as barras bw,disp = 15 – 2(2,5 +0,5) = 9 cm

Diâmetro máximo do agregado brita 1 → dmáx = 1,9 cm eh = 1,2.dmáx = 1,2.1,9 = 2,28 cm,

n1 = (bw,disp + eh ) / (φ + eh) n1 = (9 + 2,28) / (1,6 + 2,28) = 2,9 = 2 10) Altura do centro de gravidade CG da armadura

d” = c + φt + φL+ ev/2 = 2,5 + 0,5 +1,6 + 1 = 5,6 cm defe = h – d” = 50 – 5,6 = 44,4 cm

Figura – Detalhe da seção transversal e diagrama das deformações

Verificação da altura da linha neutra Para o valor de defe (efetivo): x = 24,42 cm

x/d = 24,42/44,4 = 0,55 → Domínio 3 Deformação na armadura

εs = εc.(d-x)/x = 3,5.(44,4-24,42)/24,42 = 2,86 %o

15

50

5,6 4 φ 16 ( 2+2 )

d - x = 19,98

x = 24,42 cm

εc = 3,5 %o

εs = 2,86 %o

D3



Exemplo 02 Dimensionar e detalhar a viga do exemplo anterior usando a mínima altura possível para a solução com armadura simples. Mostrando as deformações relativas ao ELU.

Dados: fck = 20 MPa = 2 kN/cm2 fyk = 500 MPa = 50 kN/cm2 bw = 15 cm Mk = 8810 kN.cm

1) Momento Fletor de cálculo

Md = γf.Mk = 1,4.8810 = 12334 kN.cm 2) Estimativa da altura útil mínima d d34 = (Md/0,32.bw.fcd)1/2 d34 = 12334/0,32.15.1,43 = 42,4 cm Adotando d = 43 cm 3) Valor de cálculo da resistência à compressão do concreto

fcd = fck/γc = 2/1,4 = 1,43 kN/cm2 4) Altura da parte comprimida x x = 1,25.d [ 1 – (1 - Md/0,425.bw.d2.fcd)1/2] x = 1,25.43.[ 1- (1 - 12334/0,425.15.432.1,43)1/2 x =53,75. [1- (1- 0,732)1/2] = 25,92 cm 5) Definição do domínio Altura relativa: x/d = 25,92/43 = 0,603 Domínio 3: 0,259 < 0,603 < 0,628 6) Armadura necessária As = Md/fyd.(d- 0,4.x) As = 12334/43,48.(43 - 0,4.25,92) = 8,69 cm2

15

h

d”




φ 12,5 ⇒ as12,5 =1,25 cm2 ⇒ n = As/as12,5 = 8,69/1,25=6,9=7(8,75 cm2)

φ 16 ⇒ as16 = 2,00 cm2 ⇒ n = As/as16 = 8,69/2 = 4,35 = 5 (10,0 cm2)

φ 20 ⇒ as20 = 3,15 cm2 ⇒ n = As/as20=8,69/3,15 =2,75=3(9,45 cm2) 8) Armadura adotada

7 φ 12,5 (8,75 cm2) 9 ) Número de barras por camada

Largura disponível para as barras

bw,disp = 15 – 2(2,5 +0,5) = 9 cm

Diâmetro máximo do agregado brita 1 → dmáx = 1,9 cm

eh = 1,2.dmáx = 1,2.1,9 = 2,28 cm,

n1 = (bw,disp + eh ) / (φ + eh)

n1 = (9 + 2,28) / (1,25 + 2,28) = 3,11 = 3

n2 = 3 e n3 = 1 10) Altura do centro de gravidade CG da armadura

y1 = c + φt + φL/2 = 2,5 + 0,5 +1,25/2 = 3,625 cm

y2 = y1 + φL + ev = 3,625 + 1,25 + 2 = 6,875 cm

y3 = y2 +φL + ev = 6,875 + 1,25 + 2 = 10,125 cm

d” = (n1.y1+n2.y2+n3.y3)/n = (3.3,625+3.6,875+1.10,125)/7 = 5,95 cm

defe = h – d” = 50 – 5,95 = 44,05 cm

xefe = 24,77 cm → εs = εc.(d-x)/x = 3,5.(44,05-24,77)/24,77 = 2,72 %o


15

50

5,95

7 φ 12,5

(3+3+1)

d - x = 19,28

x = 24,77cm

εc = 3,5 %o

εs = 2,72 %o

D3



11) Verificação da altura efetiva da linha neutra Considerando a altura da parte comprimida x = 1,25.d.(1-(1-Md/0,425.bw.d2.fcd)1/2) x = 1,25.44,05.(1-(1-12334/0,425.15.44,052.1,43)1/2) x = 24,76 cm Considerando que a armadura adotada é maior que a necessária (8,69 cm2) x = As.fyd/0,68.bw.fcd x = 8,75.43,48/0,68.15.1,43 = 26,08 cm

x/d = 26,08/44,05 = 0,59 → Domínio 3 12) Deformação na armadura

εs = εc.(d-x)/x = 3,5.(44,05-26,08)/26,08 = 2,41 %o

13) Verificação da distância entre o CG da armadura e a sua face mais tracionada

yf = d” – c + φt = 5,95 – 2,5 – 0,5 = 2,95 cm < 0,1.h = 5 cm OK! 14) Armadura mínima As,min = 0,15% bw.h = 0,0015.15.50 = 1,13 cm2 Exercício 1 Dimensionar e detalhar a seção de uma viga de largura 17 cm usando a mínima altura possível. A viga tem momento fletor de 88,10 kN.m e será executada em um local de classe de agressividade II (C-25 e cobrimento c = 2,5 cm), tem estribos de 5 mm, será usada brita 1 e aço CA-50. Mostre as deformações finais, relativas ao ELU, no aço e no concreto.

17

?

? n φ

d - x

x = ? cm

εc = ? %o

εs = ? %o

D3



Exemplo 03 Dimensionar e detalhar a viga do exemplo anterior usando a altura correspondente ao limite dos domínios 2 e 3 para a solução com armadura simples. Mostrando as deformações relativas ao ELU.

Dados: fck = 20 MPa = 2 kN/cm2 fyk = 500 MPa = 50 kN/cm2 bw = 15 cm Mk = 8810 kN.cm


Md = γf.Mk = 1,4.8810 = 12334 kN.cm 2) Estimativa da altura útil d no limite entre os domínios 2 e 3. d34 = (Md/0,16.bw.fcd)1/2 d34 = 12334/0,16.15.1,43 = 59,95 cm Adotando d = 60 cm 3) Valor de cálculo da resistência à compressão do concreto

fcd = fck/γc = 2/1,4 = 1,43 kN/cm2 4) Altura da parte comprimida x x = 1,25.d [ 1 – (1 - Md/0,425.bw.d2.fcd)1/2] x = 1,25.60.[ 1- (1 - 12334/0,425.15.602.1,43)1/2 x =75. [1- (1- 0,537)1/2] = 15,75 cm 5) Definição do domínio Altura relativa: x/d = 15,75/60 = 0,262 Domínio 3: 0,259 < 0,262 < 0,628 6) Armadura necessária As = Md/fyd.(d- 0,4.x) As = 12334/43,48.(60 - 0,4.15,75) = 5,28 cm2

15

h

d”




φ 12,5 ⇒ as12,5 =1,25 cm2 ⇒ n = As/as12,5 = 5,28/1,25=4,2=5(6,25 cm2)

φ 16 ⇒ as16 = 2,00 cm2 ⇒ n = As/as16 = 5,28/2 = 2,64 = 3 (6,0 cm2)

φ 20 ⇒ as20 = 3,15 cm2 ⇒ n = As/as20=5,28/3,15 =1,68=2(6,30 cm2) 8) Armadura adotada

5 φ 12,5 (6,25 cm2) 9 ) Número de barras por camada

Largura disponível para as barras

bw,disp = 15 – 2(2,5 +0,5) = 9 cm

Diâmetro máximo do agregado brita 1 → dmáx = 1,9 cm

eh = 1,2.dmáx = 1,2.1,9 = 2,28 cm,

n1 = (bw,disp + eh ) / (φ + eh)

n1 = (9 + 2,28) / (1,25 + 2,28) = 3,11 = 3

n2 = 2 10) Altura do centro de gravidade CG da armadura

y1 = c + φt + φL/2 = 2,5 + 0,5 +1,25/2 = 3,625 cm

y2 = y1 + φL + ev = 3,625 + 1,25 + 2 = 6,875 cm

d” = (n1.y1+n2.y2)/n = (3.3,625+2.6,875)/5 = 4,925 cm

defe = h – d” = 65 – 4,925 = 60,075 cm

xefe = 15,72 cm → εs = 9,874


15

65

4,925

5 φ 12,5

(3+3+1)

d - x = 43,35

x = 15,72cm

εc = 3,5 %o

εs = 9,874 %o

D3



11) Verificação da altura da linha neutra Considerando a altura da parte comprimida x = 1,25.d.(1-(1-Md/0,425.bw.d2.fcd)1/2) x = 1,25.60,075.(1-(1-12334/0,425.15.60,0752.1,43)1/2) x = 15,722 cm Mas para armadura adotada (maior que 5,28 cm2) x = As.fyd/0,68.bw.fcd x = 6,25.43,48/0,68.15.1,43 = 18,63 cm

x/d = 18,63/60,075 = 0,31 → Domínio 3 12) Deformação efetiva na armadura

εs = εc.(d-x)/x = 3,5.(60,075-18,63)/18,63 = 7,786 %o

13) Verificação da distância entre o CG da armadura e a sua face mais tracionada

yf = d” – c + φt = 5,95 – 2,5 – 0,5 = 2,95 cm < 0,1.h = 5 cm OK! 14) Armadura mínima As,min = 0,15% bw.h = 0,0015.15.50 = 1,13 cm2 Exemplo 03 Dimensionar a viga bi-apoiada de concreto armado de seção retangular com a imposição da altura da linha neutra em 0,5.d. Usar largura de 15 cm, considerar que a viga será executada usando-se concreto C 20 e aço CA 50. A solicitação máxima é de um momento fletor característico de 88,10 kN.m. O estribo é de 5 mm de diâmetro, o cobrimento adotado é de 2,5 cm e o agregado graúdo é a brita 1.

Dados: fck = 20 MPa = 2 kN/cm2 fyk = 500 MPa = 50 kN/cm2 h = 55 cm bw = 15 cm Mk = 8810 kN.cm

15

55

d”





fcd = fck/γc = 2/1,4 = 1,43 kN/cm2 3) Altura da parte comprimida x x = 0,5.d = 0,5.45 = 22,5 cm 4) Estimativa da altura útil d correspondente a x = 0,5.d d = (Md/0,27.bw.fcd)1/2 d = (12334/0,27.15.1,43)1/2 d = 46,15 cm 5) Armadura As = Md/fyd.(d – 0,4.d) = 12334/43,48.(46,15 – 0,4.22,5) = 7,63 cm2


φ 10 ⇒ as10 = 0,80 cm2 ⇒ n = As/as10 = 7,63/0,8 = 9,5 = 10 (8,00 cm2)

φ 12,5 ⇒ as8 = 1,25 cm2 ⇒ n = As/as12 = 7,63 /1,25 = 6,1 = 6 (7,50 cm2) 7,5/7,63 = 0,98 (diferença de – 2%) 7) Armadura adotada

6 φ 12,5 (7,50 cm2) 8) Número de barras por camada Largura disponível para as barras bw,disp = 15 – 2(2,5 +0,5) = 9 cm


n1 = (bw,disp + eh ) / (φ + eh) n1 = (9 + 2,28) / (1,25 + 2,28) = 3,19 = 3 ; n2 = 3 9) Altura do centro de gravidade CG da armadura

d” = c + φt + φL+ ev/2 = 2,5 + 0,5 +1,6 + 1 = 5,6 cm h = d + d” = 46,15 + 5,6 = 51,75 cm = 52 cm defe = h – d” = 52 – 5,6 = 46,4 cm



10) Detalhamento da armadura

Figura – Detalhe da seção transversal e diagrama das deformações 11) Verificação da altura da linha neutra Considerando a altura da parte comprimida x = 1,25.d.(1-(1-Md/0,425.bw.d2.fcd)1/2) x = 1,25.46,4.(1-(1-12334/0,425.15.46,42.1,43)1/2) x = 22,65 cm Mas para armadura adotada (maior que 5,28 cm2) x = As.fyd/0,68.bw.fcd x = 7,5.43,48/0,68.15.1,43 = 22,36 cm

x/d = 22,36/46,4 = 0,48 → Domínio 3

15) Deformação no concreto εc = 3,5%o

16) Deformação na armadura

εs = εc.(d-x)/x = 3,5.(45-22,36)/22,36 = 3,76 %o

15

52

5,6 6 φ 12,5 ( 3+3 )

d - x = 24,04

x = 22,36 cm

εc = 3,5 %o

εs = 3,76 %o

D3

Arm. construtiva 2 φ 5



Armadura dupla Para a mesma viga do exemplo anterior resolver a seção mais solicitada para a altura de 40 cm. Indicar as deformações no aço e no concreto. Parcela de momento 1) Estimativa da altura útil d d” = 0,1.h = 0,1.50 = 5 cm d = h – d” = 50 -5 = 45 cm 2) Momento Fletor de cálculo


fcd = fck/γc = 2/1,4 = 1,43 kN/cm2 4) Altura da parte comprimida x x = 0,5.d = 0,5.45 = 22,5 cm 5) Força resultante no concreto Rcd = 0,68.fcd.bw.0,5.d = 0,34.1,43.15.45 = 328,2 kN 6) Parcela de Momento correspondente a resultante no concreto Md1 = Rcd.z = 328,2.(45 – 0,4.22,5) = 11076 kN.cm

17

40

? ? φ ?

?

x = ? cm

εc = ? %o

εs = ? %o

D3

2 φ ?



6) Armadura correspondente a parcela Md1 Ast1 = Md1/fyd.z = 11076/43,48.33,75 = 7,55 cm2 7) Parcela de momento a ser equilibrado pela armadura comprimida Md2 = Md – Md1 =12334 – 11076 = 1258 kN.cm 8) Armadura comprimida As2 = Md2/fyd.(d - d´) = 1258/43,48.(45 - 3) = 0,69 cm2


φ 8 ⇒ as8 = 0,50 cm2 ⇒ n = As/as10 = 0,69 /0,5 = 1,4 = 2 (1,00 cm2)

φ 10 ⇒ as10 = 0,80 cm2 ⇒ n = As/as10 = 0,69/0,8 = 0,9 = 2 (1,60 cm2) 8) Armadura adotada

2 φ 8 (1,00 cm2) 9) Armadura tracionada Ast = Ast1 + Ast2 = 7,55 + 0,69 = 8,24 cm2 10) Escolha da armadura Opções:

φ 10 ⇒ as10 = 0,80 cm2 ⇒ n = As/as10 = 8,2/0,8 = 10 (8,00 cm2)

φ 12,5 ⇒ as12,5 = 1,25 cm2 ⇒ n = As/as12,5 = 8,2/1,25 =6,4=7(8,75 cm2)

φ 16 ⇒ as16 = 2,00 cm2 ⇒ n = As/as16 = 8,2/2 = 4 (8,00 cm2) 11) Armadura adotada

4 φ 16 (8,00 cm2) 12) Número de barras por camada Largura disponível para as barras bw,disp = 15 – 2(2,5 +0,5) = 9 cm


n1 = (bw,disp + eh ) / (φ + eh) n1 = (9 + 2,28) / (1,6 + 2,28) = 2,9 = 2



13) Altura do centro de gravidade CG da armadura

d” = c + φt + φL+ ev/2 = 2,5 + 0,5 +1,6 + 1 = 5,6 cm defe = h – d” = 50 – 5,6 = 44,4 cm

14) Detalhamento


15) Deformação no concreto εc = 3,5%o

16) Deformação nas armaduras

εs = εc.(d-x)/x = 3,5.(45-22,5)/22,5 = 3,50 %o

εs´ = εc.(x-d´)/x = 3,5.(45-22,5)/22,5 = 3,50 %o

15

50

4,5 4 φ 16 ( 2+2 )

d - x = 22,5

x = 22,5 cm

εc = 3,5 %o

εs = 3,5 %o

D3

ε´s = 3,04 %o

3 2 φ 8

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